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第3讲
代数式、整式与因式分解
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
代数式求值 题 17，2 分
幂的运算 题 5，3 分 题 4，3 分
整式的运算 题 17，2 分 题 15，4 分
因式分解 题 11，3 分 题 11，3 分 题 17，2 分
单项式与多
项式的概念 题 12，3 分
1.代数式－7x 的意义可以是(
)
C
D
A.－7 与 x 的和
C.－7 与 x 的积
B.－7 与 x 的差
D.－7 与 x 的商
2.(2025 长沙)智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器
人的一个机械手平均每分钟采摘 10 个苹果.若该机器人搭载 m 个
机械手(m＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为(
)
A.6m
B.m＋10
C.60m
D.10m
)
A
A
3.计算：2a－a＝(
B.－a
A.a
C.3a
D.1
4.(2025 广元)下列运算正确的是(
A.x2÷x-3＝x5
C.(xy3)2＝x2y5
)
B.2x2＋3x3＝5x5
D.(x－y)2＝x2－y2
)
5.以下因式分解正确的是(
A.ax2－a＝a(x2－1)
C.x2＋2x－3＝x(x＋2)－3
B.m3＋m＝m(m2＋1)
D.x2＋2x－3＝(x－3)(x＋1)
B
6.分解因式：x2－4＝____________.
7.(2025 威海)若 2x－3y＝2，则 6y－4x＋1＝________.
8.已知实数 a，b 满足 a＋b＝6，ab＝7，则 a2b＋ab2 的值为
________.
(x＋2)(x－2)
－3
42
1.代数式的概念
用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母
连接而成的式子叫做代数式.单独的数或单独的字母__________(填
“是”或“不是”)代数式.
是
回练课本
1.列代数式：某公园的门票价格是：成人票每张 10 元，学生
票每张 5 元.一个旅游团有成人 x 人、学生 y 人，那么该旅游团应
付__________元门票费.
(10x＋5y)
2.代数式的值
用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫
做代数式的值.求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计
算.要充分利用“整体”思想求代数式的值.
回练课本
2.在上面第 1 题的条件下，如果旅游团有成人 37 人、学生 15
人，那么他们应付________元门票费.
445
3.单项式与多项式
(1)由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式，单独的一个
数或一个字母也是单项式.
指数和
次数最高的项
(2)一个单项式中，所有字母的__________叫做这个单项式的
次数.
(3)几个单项式的和叫做多项式.
(4)一个多项式中，________________的次数，叫做这个多项
式的次数.
2
三
3
3x2
π
(2)多项式 a2b－3a2＋1 有_______项，次数是________.
3.(1)单项式 的系数是________，次数是________；
3
π
回练课本
4.整式的分类
整式分为单项式和多项式.
回练课本
单
多
5.同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同
类项.
回练课本
5.①x 与 y；②a2b 与 ab2；③－3pq 与 3pq；④abc 与 ac；⑤a2
与 a3.其中是同类项的是____________(填序号).
③
6.整式加减的一般步骤
(1)有括号先去括号；
(2)合并同类项：只把系数________，所含字母及字母的指数
不变.
回练课本
6.计算：
(2)4a－(a－3b)＝________________.
相加
3a＋3b
am－n
an
7.幂的运算性质
(1)有理数的乘方：①
＝________；
②性质：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，
奇次幂是负数；0 的任何次幂(0 除外)都是________；任何数的偶
次幂为非负数；
am＋n
amn
anbn
(2)am·an＝________(m，n 为整数，a≠0)；
(3)(am)n＝________(m，n 为整数，a≠0)；
(4)(ab)n＝________(n 为整数，ab≠0)；
(5)am÷an＝________(m，n 为整数，a≠0).
0
回练课本
7.计算：
(1)x2·x5＝__________；
(2)(a4)4＝__________；
(3)(－5b)3＝__________；
(4)x8÷x2＝__________.
x7
a16
－125b3
x6
8.整式的乘除
(1)单项式乘单项式：ac·bc2＝abc3；
(2)单项式乘多项式：p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc；
(3)多项式乘多项式：(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq；
(4)单项式除以单项式：abc3÷ac2＝bc；
(5)多项式除以单项式：(am＋bm)÷m＝a＋b.
回练课本
8.计算：
15x4
15a2－6ab
3x2＋7x＋2
(1)3x2·5x2＝________；
(2)3a(5a－2b)＝______________；
(3)(3x＋1)(x＋2)＝_________________；
(4)10ab3÷(－5ab)＝________________；
(5)(6ab＋5a)÷a＝_______________.
－2b2
6b＋5
9.乘法公式
a2－b2
a2±2ab＋b2
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝____________.
(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________________.
回练课本
9.计算：
(1)(3x＋2)(3x－2)＝__________________；
(2)(4m＋n)2＝____________________.
9x2－4
16m2＋8mn＋n2
10.分解因式的基本方法
(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝______________.
(2)公式法：
平方差公式：a2－b2＝________________；
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝______________.
m(a＋b＋c)
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
回练课本
10.分解因式：
(1)ax＋ay＝__________；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)＝________________；
(3)4x2－9＝______________；
(4)x2＋12x＋36＝_________________.
a(x＋y)
(b＋c)(2a－3)
(2x＋3)(2x－3)
(x＋6)2
11.分解因式的基本步骤
(1)先看各项有没有公因式，若有，则先提公因式；
(2)再考虑运用公式法；
(3)分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为
止，简记为一“提”、二“套”、三“检查”.
回练课本
11.分解因式：
ab(a＋1)(a－1)
3a(x＋y)2
(1)a3b－ab＝________________；
(2)3ax2＋6axy＋3ay2＝___________________.
代数式与代数式求值
1.某校计划给每个年级配发 n 套劳动工具，则 3 个年级共需配
发________套劳动工具.
3n
1
2.(2025 扬州)若 a2－2b＋1＝0，则代数式 2a2－4b＋3 的值是
______.
3.(2025 宁夏)编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点
出发向前直行 n 步后右转 15°，沿转后方向直行 n 步后右转 15°，
再沿转后方向直行 n 步后右转15°，…，依此方式继续行走，第一
次回到出发点时，该机器人共走了________步.
24n
D.2ab÷ ＝ab
整式的概念(单项式、多项式、合并同类项)、幂的运
算
4.单项式－5ab 的系数为________.
5.多项式 a3＋2ab＋a－3 的次数和常数项分别是(
)
A.6，3
B.6，－3
C.3，－3
D.3，3
6.(2025 德阳)下列各式计算正确的是(
)
A.2a＋3b＝5ab
C.－2×3a＝－6a
B.－(a＋3)＝－a＋3
－5
C
C
整式的运算
7.现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图
1(a＞1).某同学分别用 6 张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，
如图 2 和图 3，其面积分别为 S1，S2.
图 1
图 2
图 3
(1)请用含 a 的式子分别表示 S1 ，S2 ，当 a＝2 时，求 S1 ＋S2
的值；
(2)比较 S1 与 S2 的大小，并说明理由.
解：(1)由题图可知 S1＝(a＋2)(a＋1)＝a2＋3a＋2，
S2＝(5a＋1)×1＝5a＋1，
当 a＝2 时，S1＋S2＝4＋6＋2＋10＋1＝23.
(2)S1＞S2，理由：
∵S1－S2＝a2＋3a＋2－5a－1＝a2－2a＋1＝(a－1)2，
又∵a＞1，∴(a－1)2＞0，∴S1＞S2.
9.(2025 长春)先化简，再求值：(1＋x)2－2x，其中 x＝ .
因式分解、乘法公式
10.分解因式：x3－6x2＋9x＝______________.
11.若 a＋b＝2，a－b＝1，则 a2－b2 的值为________.
整式的运算与因式分解是相互联系的，常在小题考查或者在
解答题里穿插.要牢记乘法公式以及因式分解的方法，在运算时打
好草稿，步骤应清晰、有序.
x(x－3)2
2
12.(2025 广东)因式分解：a2b＋ab2＝__________.
13.(2020 广东)如果单项式 3xmy 与－5x3yn 是同类项，那么 m＋
n＝________.
ab(a＋b)
4
14.(2024 广东)下列计算正确的是(
)
D
D
A.a2·a5＝a10
C.－2a＋5a＝7a
B.a8÷a2＝a4
D.(a2)5＝a10
15.(2021 广东)已知 9m＝3，27n＝4，则 32m+3n ＝(
)
A.1
B.6
C.7
D.12
1.整式 a4 的意义可以是(
)
B
(0.8a－10)
A.4 个 a 相加
C.a 个 4 相乘
B.4 个 a 相乘
D.a 的 4 倍
2.某种商品的原价为每件 a 元，第一次降价打“八折”，第二
次降价又减 10 元，则两次降价后的售价为____________元.
3.若 a＝b＋2，则(b－a)2＝________.
4
)
4.下列运算正确的是(
A.3x＋3y＝6xy
C.3(x＋8)＝3x＋8
B.(xy2)3＝xy6
D.x2·x3＝x5
5.计算 2x·3x2 的结果是(
)
D
a6
A.5x2
B.6x2
C.5x3
D.6x3
6.(2025 常州)计算(a2)3＝_________.
m(答案不唯一)
7.请写出 2m 的一个同类项：______________.
8.计算：(－x)2－x(x－1)＝______.
x
D
9.若一个多项式加上 y2＋3xy－4，结果是 3xy＋2y2－5，则这
个多项式为__________.
y2－1
A
D
10.(2025 广西)因式分解：a2－1＝(
)
A.(a＋1)(a－1)
C.(a＋1)2
B.a(a＋1)
D.(a－1)2
11.如果 a＋b＝3，ab＝1，那么 a3b＋2a2b2＋ab3 的值为(
)
A.0
B.1
C.4
D.9
12.分解因式：(a＋1)2－4a＝______________.
(a－1)2
13.先化简，再求值：(a＋1)(a－1)＋a2＋1，其中 a＝ .
解：原式＝a2－1＋a2＋1＝2a2，
14.先化简，再求值：(x＋2)2－(x3＋3x)÷x，其中 x＝－2.
解：原式＝(x2＋4x＋4)－(x2＋3)
＝x2＋4x＋4－x2－3＝4x＋1，
当 x＝－2 时，原式＝4×(－2)＋1＝－7.
15.已知 a2＋3ab＝5，求(a＋b)(a＋2b)－2b2 的值.
解：∵a2＋3ab＝5，
∴(a＋b)(a＋2b)－2b2
＝a2＋2ab＋ab＋2b2－2b2＝a2＋3ab＝5.
16.已知 a2－a－3＝0，则代数式(a－2)2＋(a－1)(a＋3)的值为
________.
7
12
17.如图是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小屋子”.
按照此规律继续摆下去，第________ 个“小屋子”中图形
“ ”个数是图形“ ”个数的 3 倍.
18.如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为 a，b 的正方形
秧田 A，B，其中阴影部分不能使用，面积为 M.
a2－M
(1)用含 a，M 的代数式表示 A 中能使用的面积为_________；
(2)若 a＋b＝10，a－b＝5，求 A 比 B 多出的使用面积.
解：A 比 B 多出的使用面积为(a2－M)－(b2－M)
＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝10×5＝50.
答：A 比 B 多出的使用面积为 50.
19.(2025 宁夏)定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字
的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”.例如三位
数 231，因为 3－1＝2，所以它是“极差数”.
【理解定义】(1)三位数 265 是否为“极差数”？________(填
“是”或“否”).
否
a＝b－c
【建模推理】(2)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字
分别为 a，b，c (记作“abc”)，则 a 与 b，c 的关系式为
__________________.
(3)任意一个“极差数”都能被 11 整除吗？为什么？
解：能，原因如下：由(2)知 b－c＝a，b＝a＋c，
∴ abc ＝100a＋10b＋c＝100a＋10(a＋c)＋c
＝110a＋11c＝11(10a＋c)，
∵a，b，c 为正整数，∴10a＋c 为正整数，
∴11(10a＋c)能被 11 整除，
即任意一个“极差数”都能被 11 整除.

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