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第十九章
二次根式
八年级数学人教版·下册
19.1 第2课时 二次根式的性质
教学目标
1.掌握二次根式的性质 , 并能将二次根式的性质运用于化简 ;（重点）
2.能运用二次根式的性质化简.（难点）
　2.当 a≥0 时, 叫什么 当 a<0 时 , 有意义吗
　1.什么叫二次根式
一般地 , 我们把形如 的式子叫作二次根式 .
二次根式 . 无意义 .
新课导入
新知探究
4
2
0
你能解释下列式子的含义吗
新知探究
　 是4的算术平方根 , 根据算术平方根的意义 , 是一个平方等于4的非负数 , 因此有( )2=4 . 是2的算术平方根 , 根据算术平方根的意义, 是一个平方等于2的非负数 , 因此有( )2=2.　 是 的算术平方根 , 根据算术平方根的意义 ,　 是一个平方等于 的非负数 ,因此有( )2= . 表示0的算术平方根 , 因此有 ( )2=0 .
知识归纳
二次根式的性质 : 一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数 , 即( )2=a (a≥0) .
新知探究
例1 : 计算 :
　(1) ( )2 ; (2) (2 )2 .
解: (1)
(2)
新知探究
...
平方运算
算术平方根
2
0.1
0
...
a(a≥0)
2
...
观察两者有什么关系？
填一填：
＝a (a≥0) .
新知探究
...
平方运算
算术平方根
-2
-0.1
...
2
...
观察两者有什么关系？
a(a＜0)
思考：当a＜0时 , =

-a
知识归纳
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值 .
的性质 :
新知探究
例2 : 计算：
解：
新知探究
如何区别 与
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方 , 后平方
先平方 , 后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a的平方的算术平方根
新知探究
例3 : 实数 a ,b 在数轴上的对应点如图所示 , 请你计算 :
解：由数轴可知 a＜0 , b＞0 , a-b＜0 ,
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a .
a
b
新知探究
变式题 : 实数 a , b 在数轴上的对应点如图所示 ,
计算 : .
解 : 根据数轴可知 b＜a＜0 ,
∴ a+2b＜0 , a-b＞0 ,
则
=|a+2b|+|a-b|
=-a-2b+a-b
=-3b．
0
a
b
课堂小结
二次根式的性质：
一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数 , 即( )2= a (a≥0) .
任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值 .
课堂小测
1.计算 的结果是　 (　　)
　A.-3　　　B.3　　　C.-9　　　D.9
B　
2.下列各式:①m2-3 ; ② (a>0) ; ③a-1=6 ; ④3x-5>0 ; ⑤ ; ⑥66 .
其中是二次根式的个数是 (　　)
　A.2个　　 B.3个　　 C.4个　　 D.5个
A
课堂小测
3. 的值是　　　　.
4.(1) 当x　　　　时 , = 2-x 成立 ;
(2) 计算 =　　　　.
≤ 2
π-3
课堂小测
5.计算：
课堂小测
6.若 x , y 是实数 , 且 y＜ , 求 的值 .
解 : 根据题意得 ,
∴ x=1 .
∵ y＜ ,
∴y＜ ,
∴ .
课堂小测
7.已知 a , b , c 是 △ABC的 三边长 , 计算 :
解 : ∵ a , b , c 是 △ABC 的三边长 .
∴ a+b＞c , b+c＞a , b+a＞c ,
∴ 原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．

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