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3.1.1　函数的概念
第1课时　函数的概念(一)
【课程标准要求】　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素,能求简单函数的函数值,提升数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点一　函数的概念
概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
三 要 素 对应 关系 y=f(x),x∈A
定义域 x的取值范围A
值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}
(1)A,B是非空的实数集,定义域是A,值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性.
(3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象、表格或其他的对应关系.
(4)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数.
知识点二　一次函数、二次函数和反比例函数的定义域和值域
1.一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R,值域是R.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R,值域是B.当a>0时,B={y|y≥};当a<0时,
B={y|y≤}.
3.反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}.
基础自测
1.下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是(　　)
[A]x+|y|=1 [B]x2+y2=1
[C]2x2+y=1 [D]2x+y2=1
【答案】 C
【解析】 对于A,x+|y|=1,当x=0时,得|y|=1,即y=±1,不满足函数定义,故A错误;
对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误;
对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数定义,故C正确;
对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误.故选C.
2.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是(　　)
[A]0 [B]3a2-1
[C]6a2-2 [D]6a2
【答案】 A
【解析】 f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.故选A.
3.(人教A版必修第一册P64练习T3改编)如图,f:A→B表示从集合A到集合B的函数,若f(a)=2,则a的值为(　　)
[A]1 [B]2
[C]1或2 [D]3
【答案】 C
【解析】 由题图可知,若f(a)=2,则a=1或2.故选C.
4.下列函数的值域为R的是 (　　)
[A]y=x+1
[B]y=x2
[C]y=-x2+1
[D]y=
【答案】 A
【解析】 选项A中,y=x+1的定义域为R,值域为R,故A正确;显然其余选项的值域均不为R.故选A.
题型一　函数的概念
[例1] (多选)已知下列集合M,N与对应关系f,则f:M→N为从M到N的函数的是(　　)
[A]M={1,2,3},N={2,4,6},f:M中的数乘以2
[B]M={1,2,3},N={2,4,6,8},f:M中的数乘以2
[C]M={1,4},N={-2,-1,1,2},f:M中的数开平方
[D]M={-2,-1,1,2},N={1,4},f:M中的数平方
【答案】 ABD
【解析】 对于A,B,因为1×2=2∈N,2×2=4∈N,3×2=6∈N,符合题意,故A,B正确;对于C,因为集合M中的1开平方后有±1两个值与其对应,不符合函数的定义,故C错误;对于D,因为(-2)2=22=4∈N,(-1)2=12=1∈N,符合题意,故D正确.故选ABD.
(1)判断一个对应关系是不是函数的方法.
(2)判断图形是不是函数关系的步骤.
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
[变式训练] 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)
[A]①②③④ [B]②③
[C]①②③ [D]②
【答案】 B
【解析】 对于①,从题图中可看出,M中有些元素在N中没有对应元素,例如x=1.5,不符合集合M到集合N的函数关系;②③符合集合M到集合N的函数关系;对于④,任取x=1,在图中可看到有两个y值与之对应,不符合函数定义.故选B.
题型二　函数的定义域和值域的理解
[例2] 已知集合A={1,2},B={3,4},f:A→B为集合A到B的一个函数,写出所有符合条件的函数,并指出其定义域和值域.
【解】 满足题意的函数共有4个:
(1)定义域{1,2},值域{3};
(2)定义域{1,2},值域{4};
(3)定义域{1,2},值域{3,4};
(4)定义域{1,2},值域{3,4}.
(1)函数f:A→B有三个要素:定义域、对应关系与值域,但是集合B不一定是函数的值域{f(x)|x∈A},需要明确,值域是B的子集;在这三个要素中,定义域是第一位的,对应关系是第二位的,定义域和对应关系一旦确定,这个函数就确定了,值域随之确定.
(2)当集合A与B都是含有有限个元素的集合时,构建函数f:A→B要注意分类讨论.
[变式训练] 下列四种说法中,正确的是　　　　.(填序号)
①在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应;②函数的定义域和值域一定是无限集合;③定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了;④若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素.
【答案】 ①③④
【解析】 在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应,①正确;若函数y=0,定义域为R,但值域为{0},②错误;定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了,③正确;由于对任意的x,有唯一的y与之对应,故函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素,④正确.
题型三　求函数值
[例3] (湘教版必修第一册P67例3)已知定义域为R的函数f(x)=x+1和g(x)=x2,计算下列各式:
(1)f(2)+g(3);
(2)f(a2)-g(a);
(3)f(f(f(0))).
【解】 (1)f(2)+g(3)=(2+1)+32=3+9=12.
(2)f(a2)-g(a)=(a2+1)-a2=1.
(3)因为f(0)=0+1=1,
所以f(f(0))=f(1)=1+1=2,
从而f(f(f(0)))=f(2)=2+1=3.
求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
(2)已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
[变式训练] 已知函数f(x)=,若f(x)+f()=3,则f(x)+f(2-x)=　　　　.
【答案】 6
【解析】 因为函数f(x)=,且f(x)+f()=3,即+=-=3,解得a=3,
所以f(x)=,则f(x)+f(2-x)=+==6.
培优拓展　构建函数关系的问题情境
[典例] 试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=10(1+x)2来描述.
【解】 若限制x的取值范围,例如x∈{x|0某地“桃花节”的观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2025年约有10万人次,设观赏人数的年平均增长率为x,2027年观赏人数为y万,则y=10(1+x)2.其中x的取值范围是{x|0由函数关系构建问题情境的策略
(1)分析条件中的函数解析式,确定其函数类型、定义域、值域、对应关系.
(2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境,必要时,可适当限制x的取值范围.
(3)既要描述情境,又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.
[跟踪训练] 构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式y= 来描述.
【解】 设面积为x的正方形的边长为y,则y=,定义域为{x|x>0},值域为{y|y>0}.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列对应关系中,满足从集合M={-2,0,2}到集合N={0,2}的一个函数是(　　)
[A]y=x [B]y=|x|
[C]y= [D]y=x2
【答案】 B
【解析】 对于A,当x=-2时,y=-2 N,A不符合题意;对于B,集合M中的每个值,按y=|x|,在集合N中都有唯一的值与之对应,B符合题意;对于C,集合N中没有元素与集合M中的0对应,C不符合题意;对于D,当x=±2时,y=4 N,D不符合题意.故选B.
2.已知函数f(x)=2x-4,若f(2a2-1)=10,则a的值为(　　)
[A]2 [B]-2
[C]±2 [D]±4
【答案】 C
【解析】 因为f(x)=2x-4,f(2a2-1)=10,所以2(2a2-1)-4=10,解得a=±2.故选C.
3.已知f(x)=ax5+1,且f(-2)=10,则f(2)=(　　)
[A]-8 [B]10
[C]9 [D]11
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=ax5+1,且f(-2)=10,所以a·(-2)5+1=10,解得a=-,所以f(x)=-x5+1,所以f(2)=-×25+1=-9+1=-8.故选A.
4.若函数y=f(x)的定义域为{x|-1≤x≤0},值域为{y|-1≤y≤1},则函数y=f(x)的图象可能是(　　)
[A [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 对于A,定义域为{x|0≤x≤1},值域为{y|0≤y≤1},与条件矛盾,错误;对于B,定义域为{x|-1≤x≤1},值域为{y|0≤y≤1},与条件矛盾,错误;对于C,存在一个自变量对应两个函数值,不是函数,与条件矛盾,错误;对于D,定义域为{x|-1≤x≤0},值域为{y|-1≤y≤1},与条件吻合且符合函数定义,正确.故选D.
5.直线x=a与函数y=f(x)的图象的交点个数是(　　)
[A]0 [B]1
[C]0或1 [D]2
【答案】 C
【解析】 设y=f(x)的定义域为D,若a D,根据函数的定义知,没有函数值与之对应;若a∈D,根据函数的定义知,有唯一的函数值与之对应.故交点个数是0或1.故选C.
6.(多选)已知圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…,如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n),则下列说法正确的是(　　)
[A]y=f(n),n∈N*是一个函数
[B]当n=5时,f(n)=3.141 59
[C]f(4)=f(8)
[D]f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
【答案】 ACD
【解析】 对于A,对于任意n∈N*,均存在唯一的f(n)与之对应,符合函数的定义,故A正确;对于B,C,因为f(4)=5,f(5)=9,f(8)=5,故B错误,C正确;
对于D,由定义可知f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D正确.故选ACD.
7.(5分)已知f:x→|x|是集合A到集合B的函数,如果集合B={0,1,2},那么集合A可能为　　　　.(填一个满足条件的集合即可)
【答案】 {1}(答案不唯一)
【解析】 依题意,f:x→|x|是集合A到集合B的函数,令|x|=0,得x=0,令|x|=1,得x=±1,
令|x|=2,得x=±2,因此集合A是集合{0,-1,1,-2,2}的非空子集,所以集合A可能为{1}.
8.(5分)已知函数f(x)=x+4,g(x)=-x2+2x,则f(g(1))=　　　　.
【答案】 5
【解析】 因为g(x)=-x2+2x,所以g(1)=-1+2=1.因为f(x)=x+4,所以f(g(1))=f(1)=1+4=5.
9.(14分)已知函数f(x)=.
(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗
(2)当x=4时,求f(x)的值.
(3)当f(x)=2时,求x的值.
【解】 (1)因为f(3)==-≠14,所以点(3,14)不在f(x)的图象上.
(2)当x=4时,f(4)==-3.
(3)若f(x)=2,则=2,即2x-12=x+2,解得x=14.
10.(14分)已知矩形的面积为10,设矩形的长为x,指出下列对应关系f的实际意义.(不必指出定义域、值域和说明理由)
(1)f(x)=;
(2)f(x)=2x+;
(3)f(x)=.
【解】 (1)对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的宽.
(2)对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的周长2x+.
(3)对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的对角线长.
11.若集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},其中a∈N*,k∈N*,f:x→y=3x+1.x∈A,y∈B是从定义域A到值域B的一个函数,则a+k的值为(　　)
[A]0 [B]7或0
[C]7 [D]5
【答案】 C
【解析】 由对应关系知1→4,2→7,3→10,k→3k+1,又a∈N*,所以a4≠10,所以a2+3a=10,
解得a=2或a=-5(舍去),所以a4=16,于是3k+1=16,所以k=5,所以a+k=7.故选C.
12.若一系列函数的对应关系相同、值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如对应关系为y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个:①y=2x2+1,x∈{-2};②y=2x2+1,
x∈{2};③y=2x2+1,x∈{-2,2}.那么对应关系为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有(　　)
[A]5个 [B]4个
[C]3个 [D]2个
【答案】 C
【解析】 由2x2+1=1解得x=0;由2x2+1=5解得x=±,则值域为{1,5}的自变量集合有{0,-},{0,},{0,-,},所以值域为{1,5}的“孪生函数”共有3个:y=2x2+1,x∈{0,-};
y=2x2+1,x∈{0,};y=2x2+1,x∈{0,-,}.故选C.
13.(15分)已知函数f(x)=.
(1)求f(2)与f(),f(3)与f().
(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f()有什么关系 证明你的发现.
(3)求f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 025)+f()的值.
【解】 (1)因为f(x)=,所以f(2)==-, f()==,f(3)==-,f()==.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f()=0,证明如下:
因为f(x)+f()=+=+=0,所以f(x)+f()=0.
(3)由(2)知f(x)+f()=0,所以f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 025)+f()=2 024×0=0.
14.(多选)如图所示为某加油站地下圆柱体储油罐示意图,已知储油罐长度为d,截面半径为r(d,r为常量),油面高度为h,油面宽度为w,储油量为v(h,w,v为变量),则有下列说法:①w是v的函数;②v是w的函数;③h是w的函数;④w是h的函数.其中正确的有(　　)
[A]① [B]②
[C]③ [D]④
【答案】 AD
【解析】 根据圆柱的体积公式可知,油面高度h会影响油面宽度w,从而影响储油量v.
对于①,若v确定,则h确定,w就确定,故①正确;对于②,若w确定,则h有两个值(上下对称),所以v也有两个值,故与函数的定义相矛盾,不是函数,故②错误;对于③,若w确定,则h有两个值(上下对称),故与函数的定义相矛盾,不是函数,故③错误;对于④,若h确定,则w确定,故④正确.故选AD.第2课时　函数的概念(二)
【课程标准要求】　1.理解区间的概念,并且能够利用区间表示集合.2.会判断两个函数是不是同一个函数.3.会求函数的定义域和简单函数的值域.
知识归纳
知识点一　区间的概念
设a,b∈R,且a定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} — [a,+∞)
{x|x>a} — (a,+∞)
{x|x≤b} — (-∞,b]
{x|x(1)区间只能表示连续的数集,开闭不能混淆.
(2)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别.
(3)区间是实数集的一种表示形式,集合的运算仍然成立.
(4)“∞”是一个符号,而不是一个数. 特别地,实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).
知识点二　同一个函数
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
基础自测
1.区间(0,2]等于(　　)
[A]{0,2} [B]{(0,2]}
[C]{x|02.(人教A版必修第一册P67练习T1改编)函数f(x)=的定义域是(　　)
[A][2,+∞) [B](2,+∞)
[C](-∞,2] [D](-∞,2)
3.下列四个函数中,与y=2x表示同一个函数的是(　　)
[A]y=2|x| [B]y=
[C]y= [D]y=
4.已知区间(2a-1,7],则实数a的取值范围是　　　　.(用区间表示)
题型一　求函数的定义域
[例1] 求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=·+(x-1)0.
(2)要使函数有意义,必须解得-2≤x<1或1(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)中含x0,则要注意x≠0.
(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义(即求各个式子有意义的交集).
[变式训练] (1)函数f(x)=的定义域是(　　)
[A][,+∞)
[B][,1)∪(1,+∞)
[C][,+∞)
[D](,1)∪(1,+∞)
(2)函数f(x)=的定义域为　　　　　　　　.
(2)由题意解得2≤x<3或3题型二　同一个函数的判断
[例2] (北师大版必修第一册P54例1)下列各组中的两个函数是不是同一个函数
(1)f(x)=,g(x)=()2;
(2)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2;
(3)f(x)=,g(x)=x-1;
(4)f(x)=x+,g(t)=t+.
(2)因为两个函数的对应关系不同,所以不是同一个函数.
(3)因为f(x)的定义域是{x|x≠-1},g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.
(4)f(x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同,但它们的定义域及对应关系都相同,所以是同一个函数.
判断两个函数是不是同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时,必须是等价变形.
[变式训练] (多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
[A]y=与y=1
[B]y=()3与y=x
[C]y=与y=x
[D]f(x)=与g(x)=·
题型三　求简单函数的值域
[例3] 求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=x2-4x+6(1≤x≤5);
(3)y=;
(4)y=2x-.
(2)由y=x2-4x+6=(x-2)2+2,可得其图象的对称轴为直线x=2,所以当x=2时,函数取得最小
值2;
又由当x=1时,y=3,当x=5时,y=11,所以函数的最大值为11.
所以函数y=x2-4x+6在区间[1,5]上的值域为[2,11].
(3)y===2+,显然≠0,所以y≠2,故所求函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(4)设t=,则t≥0,且x=t2+1,所以y=2(t2+1)-t=2(t-)2+,t≥0,其图象如图所示,
结合函数的图象可得原函数的值域为[,+∞).
(1)求函数的值域,应先确定定义域,由定义域及对应关系确定函数的值域.
(2)求函数值域的常用方法.
①对一些简单的函数,用观察法直接求解;
②对于二次函数,常用配方法求值域;
③对于分式类型的函数,采用分离常数法,转化为反比例函数的形式,便于求值域;
④对于带根号的函数,常用换元法转化为有理函数,间接地求原函数的值域.
[变式训练] 求下列函数的值域.
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=;
(4)y=(x>1).
(2)因为y=1-,且x2-x+1=(x-)2+≥,所以0<≤,所以-≤y<1,
故函数的值域为[-,1).
(3)y===,其中x≠1,==-,当x=1时,==-.
又因为≠0,所以y=≠.故函数的值域为(-∞,-)∪(-,)∪(,+∞).
(4)因为x>1,所以x-1>0,所以y===x-1++2≥2+2=8,当且仅当x-1=,即x=4时,等号成立,即y的最小值为8.故函数的值域为[8,+∞).
培优拓展　求抽象函数的定义域
[典例] (1)已知f(x)的定义域为[0,2],求y=f(x+1)的定义域;
(2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x)的定义域;
(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1],求函数y=f(x-2)的定义域.
(2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],则0≤x≤2,则1≤x+1≤3,即y=f(x)的定义域为[1,3].
(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,则-3≤2x-1≤1,由-3≤x-2≤1,得-1≤x≤3,即函数y=f(x-2)的定义域为[-1,3].
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x)) 的定义域是不等式a≤g(x)≤b的解集,其实质是由g(x)的取值范围求x的取值范围.
(2)已知函数y=f(g(x))的定义域为D,则函数f(x)的定义域是函数y=g(x)在D上的值域.
[跟踪训练] 已知函数f(x)=,则函数g(x)=f(2x)+f(x2)的定义域为(　　)
[A][-,]
[B](-∞,]
[C][1,]
[D][-,1]
解得-≤x≤1,所以g(x)的定义域为[-,1].故选D.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数y=的定义域为(　　)
[A](-1,+∞)
[B][-1,+∞)
[C](-1,0)∪(0,+∞)
[D][-1,0)∪(0,+∞)
2.下列函数中与f(x)=是同一个函数的是(　　)
[A]g(x)=x [B]g(x)=
[C]g(x)= [D]g(x)=x0·
3.若函数y=的定义域为M,值域为N,则M∩N=(　　)
[A](0,+∞) [B](2,+∞)
[C](1,2] [D][1,2)
所以函数y=的定义域M=(0,2),由0所以函数y=的值域N=[1,+∞),所以M∩N=[1,2).故选D.
4.下列函数中,值域是(0,+∞)的是(　　)
[A]y=
[B]y=,x∈(0,+∞)
[C]y=,x∈N
[D]y=
对于B,因为=1+≠1,即值域中没有1,故B错误;
对于C,函数的定义域为x∈N,所以函数的值域不连续,故C错误;
对于D,因为|x-1|的取值范围是(0,+∞),所以函数的值域为(0,+∞),故D正确.故选D.
5.已知函数y=f(3x+2)的定义域为[-,1],则函数y=的定义域为(　　)
[A](1,5] [B][1,5]
[C][-,1] [D](2,5]
6.(多选)已知函数y=x2-2x+2的值域是[1,2],则其定义域可能是(　　)
[A][0,1] [B][1,2]
[C][,2] [D][-1,1]
由y=x2-2x+2=2,得x2-2x=0,即x=0或x=2. 故定义域内必须含有1,0与2至少含有一个,
且定义域一定是[0,2]的子集,则A,B,C符合题意,D不符合题意.故选ABC.
7.(5分)下列各组函数:①f(x)=1,g(x)=x0;
②f(x)=,g(x)=;
③f(x)=x2-1,g(t)=;
④f(x)=,g(x)=x+3;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是　　　　.(填上所有正确的序号)
8.(5分)函数f(x)=x4-2x2-1,x∈(0,2]的值域为　　　　.
当x2=4,即x=2时,f(x)max=7,所以所求值域为[-2,7].
9.(14分)求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=·;
(3)y=;
(4)y=+.
(2)由题意得解得x=1,所以所求函数的定义域为{1}.
(3)由题意得解得x≤1且x≠0,所以所求函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1].
(4)由题意得解得-≤x≤- 或≤x≤,所以所求函数的定义域为[-,-]∪[,].
10.(14分)求下列函数的值域:
(1)f(x)=2x+4;
(2)f(x)=+.
令g(t)=-2t2+4t+6=-2(t-1)2+8,t∈[0,+∞),所以g(t)≤8,所以函数f(x)的值域为(-∞,8].
(2) 令y=+,则解得-2≤x≤2,所以函数的定义域为[-2,2],
易知y2=4+2,因为-2≤x≤2,所以0≤x2≤4,所以0≤4-x2≤4,则0≤≤2,所以4≤y2≤8,
显然y>0,所以2≤y≤2,即该函数的值域为[2,2].
11.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是(　　)
[A][0,8] [B][0,8)
[C](0,8] [D](0,8)
当a=0时,显然符合题意;
当a≠0时,Δ=a2-8a<0,即012.(5分)已知函数f(x)=x2-x+的定义域和值域都是[1,m](m>1),则m的值为　　　　.
即m2-4m+3=0,所以m=3或m=1, 又因为m>1,所以 m=3.
13.(16分)已知函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为[-1,2],求实数m的值;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围.
8≥0,
结合f(x)的定义域为[-1,2],故x=-1和x=2是一元二次方程(m2-m-6)x2+(m+2)x+8=0的两个不相等的实数根,因此解得m=2.
(2)f(x)的定义域为R,则(m2-m-6)x2+(m+2)x+8≥0对 x∈R均成立,
当m=3时,m2-m-6=0,此时不等式为5x+8≥0,解得x≥-,不符合题意,舍去;
当m=-2时,m2-m-6=0,此时不等式为8≥0,符合题意;
当m≠3且m≠-2时,m2-m-6≠0,不等式(m2-m-6)x2+(m+2)x+8≥0为一元二次不等式,要使解集为R,则解得m≥或m<-2.
综上可得,实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[,+∞).
14.(5分)若函数f(x)=x-1的定义域为[0,4],则函数y=f(x2)+[f(x)]2的值域为　　　　.
又y=x2-1+(x-1)2=2x2-2x,其图象的对称轴方程为x=,
所以当x=时,ymin=-,当x=2时,ymax=4,所以函数的值域为[-,4].第2课时　函数的概念(二)
【课程标准要求】　1.理解区间的概念,并且能够利用区间表示集合.2.会判断两个函数是不是同一个函数.3.会求函数的定义域和简单函数的值域.
知识归纳
知识点一　区间的概念
设a,b∈R,且a定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} — [a,+∞)
{x|x>a} — (a,+∞)
{x|x≤b} — (-∞,b]
{x|x(1)区间只能表示连续的数集,开闭不能混淆.
(2)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别.
(3)区间是实数集的一种表示形式,集合的运算仍然成立.
(4)“∞”是一个符号,而不是一个数. 特别地,实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).
知识点二　同一个函数
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
基础自测
1.区间(0,2]等于(　　)
[A]{0,2} [B]{(0,2]}
[C]{x|0【答案】 C
【解析】 根据区间的定义可知(0,2]={x|02.(人教A版必修第一册P67练习T1改编)函数f(x)=的定义域是(　　)
[A][2,+∞) [B](2,+∞)
[C](-∞,2] [D](-∞,2)
【答案】 A
【解析】 要使函数f(x)=有意义,则2x-4≥0,解得x≥2,所以函数f(x)=的定义域为[2,+∞).故选A.
3.下列四个函数中,与y=2x表示同一个函数的是(　　)
[A]y=2|x| [B]y=
[C]y= [D]y=
【答案】 D
【解析】 y=2|x|和y=2x的对应关系不相同,不是同一个函数,故A不符合题意;y==2|x|和y=2x的对应关系不相同,不是同一个函数,故B不符合题意;函数y=的定义域为{x|x≠0},函数y=2x的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数,故C不符合题意;函数y==2x的定义域和对应关系与y=2x都相同,是同一个函数,故D符合题意.故选D.
4.已知区间(2a-1,7],则实数a的取值范围是　　　　.(用区间表示)
【答案】 (-∞,4)
【解析】 依题意得2a-1<7,解得a<4,所以实数a的取值范围为(-∞,4).
题型一　求函数的定义域
[例1] 求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=·+(x-1)0.
【解】 (1)要使函数有意义,必须≥0,解得-(2)要使函数有意义,必须解得-2≤x<1或1(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)中含x0,则要注意x≠0.
(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义(即求各个式子有意义的交集).
[变式训练] (1)函数f(x)=的定义域是(　　)
[A][,+∞)
[B][,1)∪(1,+∞)
[C][,+∞)
[D](,1)∪(1,+∞)
(2)函数f(x)=的定义域为　　　　　　　　.
【答案】 (1)D　(2)[2,3)∪(3,5]
【解析】 (1)令解得x>且x≠1,所以函数f(x)的定义域是(,1)∪(1,+∞).故选D.
(2)由题意解得2≤x<3或3题型二　同一个函数的判断
[例2] (北师大版必修第一册P54例1)下列各组中的两个函数是不是同一个函数
(1)f(x)=,g(x)=()2;
(2)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2;
(3)f(x)=,g(x)=x-1;
(4)f(x)=x+,g(t)=t+.
【解】 (1)因为f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是[0,+∞),两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.
(2)因为两个函数的对应关系不同,所以不是同一个函数.
(3)因为f(x)的定义域是{x|x≠-1},g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.
(4)f(x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同,但它们的定义域及对应关系都相同,所以是同一个函数.
判断两个函数是不是同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时,必须是等价变形.
[变式训练] (多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
[A]y=与y=1
[B]y=()3与y=x
[C]y=与y=x
[D]f(x)=与g(x)=·
【答案】 BC
【解析】 A选项,定义域分别为{x|x≠0}和R,定义域不同,所以不是同一个函数;B选项,定义域分别为R和R,定义域相同,对应关系分别是y=()3=x和y=x,对应关系相同,所以是同一个函数;C选项,定义域分别为R和R,定义域相同,对应关系分别是y==x和y=x,对应关系相同,所以是同一个函数;D选项,定义域分别为{x|x≥3或x≤-3}和{x|x≥3},定义域不同,所以不是同一个函数.故选BC.
题型三　求简单函数的值域
[例3] 求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=x2-4x+6(1≤x≤5);
(3)y=;
(4)y=2x-.
【解】 (1)因为x2≥0,所以x2+1≥1,所以0<≤1,所以0(2)由y=x2-4x+6=(x-2)2+2,可得其图象的对称轴为直线x=2,所以当x=2时,函数取得最小
值2;
又由当x=1时,y=3,当x=5时,y=11,所以函数的最大值为11.
所以函数y=x2-4x+6在区间[1,5]上的值域为[2,11].
(3)y===2+,显然≠0,所以y≠2,故所求函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(4)设t=,则t≥0,且x=t2+1,所以y=2(t2+1)-t=2(t-)2+,t≥0,其图象如图所示,
结合函数的图象可得原函数的值域为[,+∞).
(1)求函数的值域,应先确定定义域,由定义域及对应关系确定函数的值域.
(2)求函数值域的常用方法.
①对一些简单的函数,用观察法直接求解;
②对于二次函数,常用配方法求值域;
③对于分式类型的函数,采用分离常数法,转化为反比例函数的形式,便于求值域;
④对于带根号的函数,常用换元法转化为有理函数,间接地求原函数的值域.
[变式训练] 求下列函数的值域.
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=;
(4)y=(x>1).
【解】 (1)因为0≤16-x2≤16,所以0≤≤4,所以函数y=的值域为[0,4].
(2)因为y=1-,且x2-x+1=(x-)2+≥,所以0<≤,所以-≤y<1,
故函数的值域为[-,1).
(3)y===,其中x≠1,==-,当x=1时,==-.
又因为≠0,所以y=≠.故函数的值域为(-∞,-)∪(-,)∪(,+∞).
(4)因为x>1,所以x-1>0,所以y===x-1++2≥2+2=8,当且仅当x-1=,即x=4时,等号成立,即y的最小值为8.故函数的值域为[8,+∞).
培优拓展　求抽象函数的定义域
[典例] (1)已知f(x)的定义域为[0,2],求y=f(x+1)的定义域;
(2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x)的定义域;
(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1],求函数y=f(x-2)的定义域.
【解】 (1)已知f(x)的定义域为[0,2],则0≤x≤2,由0≤x+1≤2,得-1≤x≤1,即y=f(x+1)的定义域为[-1,1].
(2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],则0≤x≤2,则1≤x+1≤3,即y=f(x)的定义域为[1,3].
(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,则-3≤2x-1≤1,由-3≤x-2≤1,得-1≤x≤3,即函数y=f(x-2)的定义域为[-1,3].
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x)) 的定义域是不等式a≤g(x)≤b的解集,其实质是由g(x)的取值范围求x的取值范围.
(2)已知函数y=f(g(x))的定义域为D,则函数f(x)的定义域是函数y=g(x)在D上的值域.
[跟踪训练] 已知函数f(x)=,则函数g(x)=f(2x)+f(x2)的定义域为(　　)
[A][-,]
[B](-∞,]
[C][1,]
[D][-,1]
【答案】 D
【解析】 f(x)=的定义域为(-∞,2],为使g(x)=f(2x)+f(x2)有意义,则
解得-≤x≤1,所以g(x)的定义域为[-,1].故选D.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数y=的定义域为(　　)
[A](-1,+∞)
[B][-1,+∞)
[C](-1,0)∪(0,+∞)
[D][-1,0)∪(0,+∞)
【答案】 D
【解析】 由得x≥-1且x≠0,故函数的定义域为[-1,0)∪(0,+∞).故选D.
2.下列函数中与f(x)=是同一个函数的是(　　)
[A]g(x)=x [B]g(x)=
[C]g(x)= [D]g(x)=x0·
【答案】 D
【解析】 函数f(x)==x,其定义域为{x|x≠0}.g(x)=x的定义域为R,两函数定义域不同,A不符合题意;g(x)==|x|,两函数对应关系不同,B不符合题意;g(x)==x,其定义域为{x|x>0},两函数定义域不同,C不符合题意;g(x)=x0·=x,其定义域为{x|x≠0},两函数是同一个函数,D符合题意.故选D.
3.若函数y=的定义域为M,值域为N,则M∩N=(　　)
[A](0,+∞) [B](2,+∞)
[C](1,2] [D][1,2)
【答案】 D
【解析】 由y=有意义可得2x-x2>0,所以x2-2x<0,所以0所以函数y=的定义域M=(0,2),由0所以函数y=的值域N=[1,+∞),所以M∩N=[1,2).故选D.
4.下列函数中,值域是(0,+∞)的是(　　)
[A]y=
[B]y=,x∈(0,+∞)
[C]y=,x∈N
[D]y=
【答案】 D
【解析】 对于A,当x=0时,y=0,即值域中有0,故A错误;
对于B,因为=1+≠1,即值域中没有1,故B错误;
对于C,函数的定义域为x∈N,所以函数的值域不连续,故C错误;
对于D,因为|x-1|的取值范围是(0,+∞),所以函数的值域为(0,+∞),故D正确.故选D.
5.已知函数y=f(3x+2)的定义域为[-,1],则函数y=的定义域为(　　)
[A](1,5] [B][1,5]
[C][-,1] [D](2,5]
【答案】 A
【解析】 由函数y=f(3x+2)的定义域为[-,1],得-≤x≤1,则-3≤3x+2≤5,即y=f(x)的定义域为[-3,5],在函数y=中,由解得16.(多选)已知函数y=x2-2x+2的值域是[1,2],则其定义域可能是(　　)
[A][0,1] [B][1,2]
[C][,2] [D][-1,1]
【答案】 ABC
【解析】 由y=x2-2x+2=1,得x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,得x1=x2=1.
由y=x2-2x+2=2,得x2-2x=0,即x=0或x=2. 故定义域内必须含有1,0与2至少含有一个,
且定义域一定是[0,2]的子集,则A,B,C符合题意,D不符合题意.故选ABC.
7.(5分)下列各组函数:①f(x)=1,g(x)=x0;
②f(x)=,g(x)=;
③f(x)=x2-1,g(t)=;
④f(x)=,g(x)=x+3;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是　　　　.(填上所有正确的序号)
【答案】 ③⑤
【解析】 对于①,定义域不同,所以两函数不是同一个函数;对于②,对应关系不同,所以两函数不是同一个函数;对于③,f(x)与g(t)的定义域均为R,且=t2-1,所以两函数是同一个函数;对于④,两函数的定义域均为R,因为f(x)==|x+3|≠g(x),所以两函数不是同一个函数;对于⑤,定义域和对应关系都相同,两函数是同一个函数.所以表示同一个函数的是③⑤.
8.(5分)函数f(x)=x4-2x2-1,x∈(0,2]的值域为　　　　.
【答案】 [-2,7]
【解析】 当x∈(0,2]时,x2∈(0,4],f(x)=-2,当x2=1,即x=1时,f(x)min=-2,
当x2=4,即x=2时,f(x)max=7,所以所求值域为[-2,7].
9.(14分)求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=·;
(3)y=;
(4)y=+.
【解】 (1)由题意得解得x≤0且x≠-,所以所求函数的定义域为(-∞,-)(,0].
(2)由题意得解得x=1,所以所求函数的定义域为{1}.
(3)由题意得解得x≤1且x≠0,所以所求函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1].
(4)由题意得解得-≤x≤- 或≤x≤,所以所求函数的定义域为[-,-]∪[,].
10.(14分)求下列函数的值域:
(1)f(x)=2x+4;
(2)f(x)=+.
【解】 (1)令t=,则t∈[0,+∞),x=3-t2,则2x+4=2(3-t2)+4t=-2t2+4t+6,
令g(t)=-2t2+4t+6=-2(t-1)2+8,t∈[0,+∞),所以g(t)≤8,所以函数f(x)的值域为(-∞,8].
(2) 令y=+,则解得-2≤x≤2,所以函数的定义域为[-2,2],
易知y2=4+2,因为-2≤x≤2,所以0≤x2≤4,所以0≤4-x2≤4,则0≤≤2,所以4≤y2≤8,
显然y>0,所以2≤y≤2,即该函数的值域为[2,2].
11.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是(　　)
[A][0,8] [B][0,8)
[C](0,8] [D](0,8)
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)=的定义域为R,所以ax2+ax+2≠0恒成立.
当a=0时,显然符合题意;
当a≠0时,Δ=a2-8a<0,即012.(5分)已知函数f(x)=x2-x+的定义域和值域都是[1,m](m>1),则m的值为　　　　.
【答案】 3
【解析】 由题得,函数f(x)=x2-x+=(x-1)2+1图象的对称轴为直线x=1,顶点为(1,1)且开口向上,要使f(x)的定义域和值域都是[1,m],则有所以m2-m+=m,
即m2-4m+3=0,所以m=3或m=1, 又因为m>1,所以 m=3.
13.(16分)已知函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为[-1,2],求实数m的值;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由于f(x)=的定义域需要满足(m2-m-6)x2+(m+2)x+
8≥0,
结合f(x)的定义域为[-1,2],故x=-1和x=2是一元二次方程(m2-m-6)x2+(m+2)x+8=0的两个不相等的实数根,因此解得m=2.
(2)f(x)的定义域为R,则(m2-m-6)x2+(m+2)x+8≥0对 x∈R均成立,
当m=3时,m2-m-6=0,此时不等式为5x+8≥0,解得x≥-,不符合题意,舍去;
当m=-2时,m2-m-6=0,此时不等式为8≥0,符合题意;
当m≠3且m≠-2时,m2-m-6≠0,不等式(m2-m-6)x2+(m+2)x+8≥0为一元二次不等式,要使解集为R,则解得m≥或m<-2.
综上可得,实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[,+∞).
14.(5分)若函数f(x)=x-1的定义域为[0,4],则函数y=f(x2)+[f(x)]2的值域为　　　　.
【答案】 [-,4]
【解析】 由题意可知,y=f(x2)+[f(x)]2要有意义,则需即0≤x≤2,即函数的定义域为[0,2],
又y=x2-1+(x-1)2=2x2-2x,其图象的对称轴方程为x=,
所以当x=时,ymin=-,当x=2时,ymax=4,所以函数的值域为[-,4].(共41张PPT)
第2课时　函数的概念(二)
1.理解区间的概念,并且能够利用区间表示集合.2.会判断两个函数是不是同一个函数.3.会求函数的定义域和简单函数的值域.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　区间的概念
设a,b∈R,且a知识归纳
定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a[a,b]
(a,b)
{x|a≤x{x|a{x|x≥a} — [a,+∞)
[a,b)
(a,b]
{x|x>a} — (a,+∞)
{x|x≤b} — (-∞,b]
{x|x·疑难解惑·
(1)区间只能表示连续的数集,开闭不能混淆.
(2)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别.
(3)区间是实数集的一种表示形式,集合的运算仍然成立.
(4)“∞”是一个符号,而不是一个数. 特别地,实数集R可以用区间表示为
(-∞,+∞).
知识点二　同一个函数
如果两个函数的 相同,并且 完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
定义域
对应关系
基础自测
1.区间(0,2]等于(　　)
[A]{0,2} [B]{(0,2]}
[C]{x|0【解析】 根据区间的定义可知(0,2]={x|0C
[A][2,+∞) [B](2,+∞)
[C](-∞,2] [D](-∞,2)
A
3.下列四个函数中,与y=2x表示同一个函数的是(　　)
D
4.已知区间(2a-1,7],则实数a的取值范围是　　 　　.(用区间表示)
(-∞,4)
【解析】 依题意得2a-1<7,解得a<4,所以实数a的取值范围为(-∞,4).
关键能力·素养培优
[例1] 求下列函数的定义域:
题型一　求函数的定义域
·解题策略·
(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)中含x0,则要注意x≠0.
(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义(即求各个式子有意义的交集).
D
[2,3)∪(3,5]
[例2] (北师大版必修第一册P54例1)下列各组中的两个函数是不是同一个函数
题型二　同一个函数的判断
【解】 (1)因为f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是[0,+∞),两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.
(2)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2;
【解】 (2)因为两个函数的对应关系不同,所以不是同一个函数.
【解】 (3)因为f(x)的定义域是{x|x≠-1},g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.
【解】 (4)f(x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同,但它们的定义域及对应关系都相同,所以是同一个函数.
·解题策略·
判断两个函数是不是同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时,必须是等价变形.
[变式训练] (多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　 　)
BC
[例3] 求下列函数的值域:
题型三　求简单函数的值域
(2)y=x2-4x+6(1≤x≤5);
【解】 (2)由y=x2-4x+6=(x-2)2+2,可得其图象的对称轴为直线x=2,所以当x=2时,函数取得最小值2;
又由当x=1时,y=3,当x=5时,y=11,所以函数的最大值为11.
所以函数y=x2-4x+6在区间[1,5]上的值域为[2,11].
·解题策略·
(1)求函数的值域,应先确定定义域,由定义域及对应关系确定函数的值域.
(2)求函数值域的常用方法.
①对一些简单的函数,用观察法直接求解;
②对于二次函数,常用配方法求值域;
③对于分式类型的函数,采用分离常数法,转化为反比例函数的形式,便于求
值域;
④对于带根号的函数,常用换元法转化为有理函数,间接地求原函数的值域.
[变式训练] 求下列函数的值域.
培优拓展　求抽象函数的定义域
[典例] (1)已知f(x)的定义域为[0,2],求y=f(x+1)的定义域;
【解】 (1)已知f(x)的定义域为[0,2],则0≤x≤2,由0≤x+1≤2,得-1≤x≤1,
即y=f(x+1)的定义域为[-1,1].
(2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x)的定义域;
【解】 (2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],则0≤x≤2,则1≤x+1≤3,即y=f(x)的定义域为[1,3].
(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1],求函数y=f(x-2)的定义域.
【解】 (3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,则-3≤2x-1≤1,
由-3≤x-2≤1,得-1≤x≤3,即函数y=f(x-2)的定义域为[-1,3].
·反思总结·
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x)) 的定义域是不等式a≤g(x)≤b的解集,其实质是由g(x)的取值范围求x的取值范围.
(2)已知函数y=f(g(x))的定义域为D,则函数f(x)的定义域是函数y=g(x)在D上的值域.
D
感谢观看3.1.1　函数的概念
第1课时　函数的概念(一)
【课程标准要求】　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素,能求简单函数的函数值,提升数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点一　函数的概念
概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
三 要 素 对应 关系 y=f(x),x∈A
定义域 x的取值范围A
值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}
(1)A,B是非空的实数集,定义域是A,值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性.
(3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象、表格或其他的对应关系.
(4)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数.
知识点二　一次函数、二次函数和反比例函数的定义域和值域
1.一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R,值域是R.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R,值域是B.当a>0时,B={y|y≥};当a<0时,
B={y|y≤}.
3.反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}.
基础自测
1.下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是(　　)
[A]x+|y|=1 [B]x2+y2=1
[C]2x2+y=1 [D]2x+y2=1
对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误;
对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数定义,故C正确;
对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误.故选C.
2.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是(　　)
[A]0 [B]3a2-1
[C]6a2-2 [D]6a2
3.(人教A版必修第一册P64练习T3改编)如图,f:A→B表示从集合A到集合B的函数,若f(a)=2,则a的值为(　　)
[A]1 [B]2
[C]1或2 [D]3
4.下列函数的值域为R的是 (　　)
[A]y=x+1
[B]y=x2
[C]y=-x2+1
[D]y=
题型一　函数的概念
[例1] (多选)已知下列集合M,N与对应关系f,则f:M→N为从M到N的函数的是(　　)
[A]M={1,2,3},N={2,4,6},f:M中的数乘以2
[B]M={1,2,3},N={2,4,6,8},f:M中的数乘以2
[C]M={1,4},N={-2,-1,1,2},f:M中的数开平方
[D]M={-2,-1,1,2},N={1,4},f:M中的数平方
(1)判断一个对应关系是不是函数的方法.
(2)判断图形是不是函数关系的步骤.
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
[变式训练] 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)
[A]①②③④ [B]②③
[C]①②③ [D]②
题型二　函数的定义域和值域的理解
[例2] 已知集合A={1,2},B={3,4},f:A→B为集合A到B的一个函数,写出所有符合条件的函数,并指出其定义域和值域.
(1)定义域{1,2},值域{3};
(2)定义域{1,2},值域{4};
(3)定义域{1,2},值域{3,4};
(4)定义域{1,2},值域{3,4}.
(1)函数f:A→B有三个要素:定义域、对应关系与值域,但是集合B不一定是函数的值域{f(x)|x∈A},需要明确,值域是B的子集;在这三个要素中,定义域是第一位的,对应关系是第二位的,定义域和对应关系一旦确定,这个函数就确定了,值域随之确定.
(2)当集合A与B都是含有有限个元素的集合时,构建函数f:A→B要注意分类讨论.
[变式训练] 下列四种说法中,正确的是　　　　.(填序号)
①在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应;②函数的定义域和值域一定是无限集合;③定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了;④若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素.
题型三　求函数值
[例3] (湘教版必修第一册P67例3)已知定义域为R的函数f(x)=x+1和g(x)=x2,计算下列各式:
(1)f(2)+g(3);
(2)f(a2)-g(a);
(3)f(f(f(0))).
(2)f(a2)-g(a)=(a2+1)-a2=1.
(3)因为f(0)=0+1=1,
所以f(f(0))=f(1)=1+1=2,
从而f(f(f(0)))=f(2)=2+1=3.
求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
(2)已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
[变式训练] 已知函数f(x)=,若f(x)+f()=3,则f(x)+f(2-x)=　　　　.
所以f(x)=,则f(x)+f(2-x)=+==6.
培优拓展　构建函数关系的问题情境
[典例] 试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=10(1+x)2来描述.
某地“桃花节”的观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2025年约有10万人次,设观赏人数的年平均增长率为x,2027年观赏人数为y万,则y=10(1+x)2.其中x的取值范围是{x|0由函数关系构建问题情境的策略
(1)分析条件中的函数解析式,确定其函数类型、定义域、值域、对应关系.
(2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境,必要时,可适当限制x的取值范围.
(3)既要描述情境,又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.
[跟踪训练] 构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式y= 来描述.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列对应关系中,满足从集合M={-2,0,2}到集合N={0,2}的一个函数是(　　)
[A]y=x [B]y=|x|
[C]y= [D]y=x2
2.已知函数f(x)=2x-4,若f(2a2-1)=10,则a的值为(　　)
[A]2 [B]-2
[C]±2 [D]±4
3.已知f(x)=ax5+1,且f(-2)=10,则f(2)=(　　)
[A]-8 [B]10
[C]9 [D]11
4.若函数y=f(x)的定义域为{x|-1≤x≤0},值域为{y|-1≤y≤1},则函数y=f(x)的图象可能是(　　)
[A [B]
[C] [D]
5.直线x=a与函数y=f(x)的图象的交点个数是(　　)
[A]0 [B]1
[C]0或1 [D]2
6.(多选)已知圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…,如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n),则下列说法正确的是(　　)
[A]y=f(n),n∈N*是一个函数
[B]当n=5时,f(n)=3.141 59
[C]f(4)=f(8)
[D]f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
对于D,由定义可知f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D正确.故选ACD.
7.(5分)已知f:x→|x|是集合A到集合B的函数,如果集合B={0,1,2},那么集合A可能为　　　　.(填一个满足条件的集合即可)
令|x|=2,得x=±2,因此集合A是集合{0,-1,1,-2,2}的非空子集,所以集合A可能为{1}.
8.(5分)已知函数f(x)=x+4,g(x)=-x2+2x,则f(g(1))=　　　　.
9.(14分)已知函数f(x)=.
(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗
(2)当x=4时,求f(x)的值.
(3)当f(x)=2时,求x的值.
(2)当x=4时,f(4)==-3.
(3)若f(x)=2,则=2,即2x-12=x+2,解得x=14.
10.(14分)已知矩形的面积为10,设矩形的长为x,指出下列对应关系f的实际意义.(不必指出定义域、值域和说明理由)
(1)f(x)=;
(2)f(x)=2x+;
(3)f(x)=.
(2)对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的周长2x+.
(3)对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的对角线长.
11.若集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},其中a∈N*,k∈N*,f:x→y=3x+1.x∈A,y∈B是从定义域A到值域B的一个函数,则a+k的值为(　　)
[A]0 [B]7或0
[C]7 [D]5
解得a=2或a=-5(舍去),所以a4=16,于是3k+1=16,所以k=5,所以a+k=7.故选C.
12.若一系列函数的对应关系相同、值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如对应关系为y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个:①y=2x2+1,x∈{-2};②y=2x2+1,
x∈{2};③y=2x2+1,x∈{-2,2}.那么对应关系为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有(　　)
[A]5个 [B]4个
[C]3个 [D]2个
y=2x2+1,x∈{0,};y=2x2+1,x∈{0,-,}.故选C.
13.(15分)已知函数f(x)=.
(1)求f(2)与f(),f(3)与f().
(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f()有什么关系 证明你的发现.
(3)求f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 025)+f()的值.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f()=0,证明如下:
因为f(x)+f()=+=+=0,所以f(x)+f()=0.
(3)由(2)知f(x)+f()=0,所以f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 025)+f()=2 024×0=0.
14.(多选)如图所示为某加油站地下圆柱体储油罐示意图,已知储油罐长度为d,截面半径为r(d,r为常量),油面高度为h,油面宽度为w,储油量为v(h,w,v为变量),则有下列说法:①w是v的函数;②v是w的函数;③h是w的函数;④w是h的函数.其中正确的有(　　)
[A]① [B]②
[C]③ [D]④
对于①,若v确定,则h确定,w就确定,故①正确;对于②,若w确定,则h有两个值(上下对称),所以v也有两个值,故与函数的定义相矛盾,不是函数,故②错误;对于③,若w确定,则h有两个值(上下对称),故与函数的定义相矛盾,不是函数,故③错误;对于④,若h确定,则w确定,故④正确.故选AD.(共29张PPT)
第三章　函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
3.1.1　函数的概念
第 1课时　函数的概念(一)
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素,能求简单函数的函数值,提升数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　函数的概念
实数集
知识归纳
概念 一般地,设A,B是非空的 ,如果对于集合A中的 ,按照某种 的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
任意一个数x
确定
唯一确定
三 要 素 对应 关系 y=f(x),x∈A
定义域 的取值范围A
值域 与x的值相对应的 值的集合{f(x)|x∈A}
x
y
·疑难解惑·
(1)A,B是非空的实数集,定义域是A,值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性.
(3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象、表格或其他的对应关系.
(4)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数.
知识点二　一次函数、二次函数和反比例函数的定义域和值域
1.一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是 ,值域是 .
R
R
R
基础自测
1.下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是(　　)
[A]x+|y|=1 [B]x2+y2=1
[C]2x2+y=1 [D]2x+y2=1
【解析】 对于A,x+|y|=1,当x=0时,得|y|=1,即y=±1,不满足函数定义,故A错误;
对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误;
对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数定义,故C正确;
对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误.故选C.
C
2.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是(　　)
[A]0 [B]3a2-1
[C]6a2-2 [D]6a2
A
【解析】 f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.故选A.
3.(人教A版必修第一册P64练习T3改编)如图,f:A→B表示从集合A到集合B的函数,若f(a)=2,则a的值为(　　)
[A]1 [B]2
[C]1或2 [D]3
C
【解析】 由题图可知,若f(a)=2,则a=1或2.故选C.
4.下列函数的值域为R的是 (　　)
[A]y=x+1
[B]y=x2
[C]y=-x2+1
A
【解析】 选项A中,y=x+1的定义域为R,值域为R,故A正确;显然其余选项的值域均不为R.故选A.
关键能力·素养培优
[例1] (多选)已知下列集合M,N与对应关系f,则f:M→N为从M到N的函数的是(　 　)
[A]M={1,2,3},N={2,4,6},f:M中的数乘以2
[B]M={1,2,3},N={2,4,6,8},f:M中的数乘以2
[C]M={1,4},N={-2,-1,1,2},f:M中的数开平方
[D]M={-2,-1,1,2},N={1,4},f:M中的数平方
题型一　函数的概念
ABD
【解析】 对于A,B,因为1×2=2∈N,2×2=4∈N,3×2=6∈N,符合题意,故A,B正确;对于C,因为集合M中的1开平方后有±1两个值与其对应,不符合函数的定义,故C错误;对于D,因为(-2)2=22=4∈N,(-1)2=12=1∈N,符合题意,故D正确.故选ABD.
·解题策略·
(1)判断一个对应关系是不是函数的方法.
·解题策略·
(2)判断图形是不是函数关系的步骤.
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
[变式训练] 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)
[A]①②③④ [B]②③
[C]①②③ [D]②
B
【解析】 对于①,从题图中可看出,M中有些元素在N中没有对应元素,例如x=1.5,不符合集合M到集合N的函数关系;②③符合集合M到集合N的函数关系;对于④,任取x=1,在图中可看到有两个y值与之对应,不符合函数定义.故选B.
[例2] 已知集合A={1,2},B={3,4},f:A→B为集合A到B的一个函数,写出所有符合条件的函数,并指出其定义域和值域.
题型二　函数的定义域和值域的理解
【解】 满足题意的函数共有4个:
·解题策略·
(1)函数f:A→B有三个要素:定义域、对应关系与值域,但是集合B不一定是函数的值域{f(x)|x∈A},需要明确,值域是B的子集;在这三个要素中,定义域是第一位的,对应关系是第二位的,定义域和对应关系一旦确定,这个函数就确定了,值域随之确定.
(2)当集合A与B都是含有有限个元素的集合时,构建函数f:A→B要注意分类讨论.
[变式训练] 下列四种说法中,正确的是　　　 　.(填序号)
①在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应;②函数的定义域和值域一定是无限集合;③定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了;④若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素.
①③④
【解析】 在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应,①正确;若函数y=0,定义域为R,但值域为{0},②错误;定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了,③正确;由于对任意的x,有唯一的y与之对应,故函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素,④正确.
[例3] (湘教版必修第一册P67例3)已知定义域为R的函数f(x)=x+1和g(x)=x2,计算下列各式:
(1)f(2)+g(3);
题型三　求函数值
【解】 (1)f(2)+g(3)=(2+1)+32=3+9=12.
(2)f(a2)-g(a);
【解】 (2)f(a2)-g(a)=(a2+1)-a2=1.
(3)f(f(f(0))).
【解】 (3)因为f(0)=0+1=1,
所以f(f(0))=f(1)=1+1=2,
从而f(f(f(0)))=f(2)=2+1=3.
·解题策略·
求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
(2)已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
6
培优拓展　构建函数关系的问题情境
[典例] 试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=10(1+x)2来描述.
【解】 若限制x的取值范围,例如x∈{x|0某地“桃花节”的观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2025年约有10万人次,设观赏人数的年平均增长率为x,2027年观赏人数为y万,则y=10(1+x)2.其中x的取值范围是{x|0·反思总结·
由函数关系构建问题情境的策略
(1)分析条件中的函数解析式,确定其函数类型、定义域、值域、对应关系.
(2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境,必要时,可适当限制x的取值
范围.
(3)既要描述情境,又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.
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