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第2课时　分段函数
1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.
3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
知识归纳
·疑难解惑·
(1)分段函数本质:函数在定义域不同的范围内,有着不同的对应关系.
(2)分段函数的定义域是各段范围的并集,值域为各段上值域的并集.
基础自测
1.(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　 )
AD
【解析】 A,D是分段函数;B,C不满足函数的定义,不是分段函数.故选AD.
[A]-3 [B]3
[C]-4 [D]4
A
【解析】 f(-1)=1+2=3,f(3)=32-2×3+3=6,f(-1)-f(3)=3-6=-3.故选A.
[A](-∞,-1) [B](-1,0)
[C](-1,0] [D][0,+∞)
C
4.(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数y=-|x|的图象是(　　)
D
[A] [B] [C] [D]
关键能力·素养培优
题型一　分段函数求值(范围)
(2)若f(a)=3,求实数a的值;
【解】 (2)当a≤-2时,f(a)=a+1≤-1,f(a)=3无解;
当-2当a≥2时,f(a)=2a-1=3,解得a=2.
综上,a=2或a=1.
(3)若f(m)>m,求实数m的取值范围.
【解】 (3)当m≤-2时,f(m)=m+1>m恒成立,所以m≤-2;
当-2m,解得m<-1或m>0,所以-2当m≥2时,f(m)=2m-1>m,解得m>1,所以m≥2.
综上,实数m的取值范围是{m|m<-1或m>0}.
·解题策略·
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定所求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验.
(3)解分段函数不等式的方法:在每段函数定义域限制之下结合每段函数的解析式解不等式,然后将各段的解集取并集.
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)求f(f(1));
[例2] (湘教版必修第一册P75例8)画出函数f(x)=|x-2|+|x+1|的图象.
题型二　分段函数的图象
【解】 为了去掉绝对值符号,需分段讨论:
当x<-1时,f(x)=(2-x)+(-x-1)=1-2x;
当-1≤x≤2时,f(x)=2-x+x+1=3;
当x>2时,f(x)=x-2+x+1=2x-1.
分段画出f(x)的图象,如图所示.
·解题策略·
分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意衔接点处点的虚实,保证不重不漏.
(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.
[变式训练] 某通讯公司欲采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(单位:min)与相应话费y(单位:元)之间的函数图象如图所示,则y与x之
间的函数关系式为　 .
[例3] 某厂生产某种零件,每个零件的出厂单价初始定为52元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于41元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为41元
题型三　分段函数的实际应用
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.
·解题策略·
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画出.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式.
[变式训练] 下表为某市居民用水阶梯水价表(单位:元/m3).
阶梯 户年用水量/m3 水价 其中
自来 水费 水资 源费 污水
处理费
第一阶梯 0～180(含) 5.00 2.1 1.5 1.4
第二阶梯 180～260(含) 7.00 4.1
第三阶梯 260以上 9.00 6.1
(1)试写出用户所交水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)的函数关系式.
(2)若某户居民一年交水费1 110元,求其中水资源费和污水处理费分别为多少
【解】 (2)当0≤x≤180时,y∈[0,900],当180因为210×1.5=315,210×1.4=294,
所以该户居民水资源费为315元,污水处理费为294元.
感谢观看第2课时　分段函数
【课程标准要求】　1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.
知识归纳
知识点　分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
(1)分段函数本质:函数在定义域不同的范围内,有着不同的对应关系.
(2)分段函数的定义域是各段范围的并集,值域为各段上值域的并集.
基础自测
1.(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　)
[A]f(x)=
[B]f(x)=
[C]f(x)=
[D]f(x)=
2.已知函数f(x)=则f(-1)-f(3)=(　　)
[A]-3 [B]3
[C]-4 [D]4
3.已知函数f(x)=则不等式f(x)<0的解集为(　　)
[A](-∞,-1) [B](-1,0)
[C](-1,0] [D][0,+∞)
当x>0时,由<0得x<0,不等式无解.
综上可得,f(x)<0的解集为(-1,0].故选C.
4.(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数y=-|x|的图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
题型一　分段函数求值(范围)
[例1] 已知函数f(x)=
(1)f(-5),f(-),f(f(-))的值;
(2)若f(a)=3,求实数a的值;
(3)若f(m)>m,求实数m的取值范围.
因为f(-)=-+1=-,所以f(f(-))=f(-)=+2×(-)=-.
(2)当a≤-2时,f(a)=a+1≤-1,f(a)=3无解;
当-2当a≥2时,f(a)=2a-1=3,解得a=2.
综上,a=2或a=1.
(3)当m≤-2时,f(m)=m+1>m恒成立,所以m≤-2;
当-2m,解得m<-1或m>0,所以-2当m≥2时,f(m)=2m-1>m,解得m>1,所以m≥2.
综上,实数m的取值范围是{m|m<-1或m>0}.
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定所求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验.
(3)解分段函数不等式的方法:在每段函数定义域限制之下结合每段函数的解析式解不等式,然后将各段的解集取并集.
[变式训练] 已知函数
f(x)=
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)求f(f(1));
(3)解不等式f(x+1)>.
又由0(2)f(1)=-=,f(f(1))=f()=×=.
(3)f(x+1)>等价于①
或②
或③
解①得-所以f(x+1)> 的解集为(-,0)∪[0,1)∪=(-,1).
题型二　分段函数的图象
[例2] (湘教版必修第一册P75例8)画出函数f(x)=|x-2|+|x+1|的图象.
当x<-1时,f(x)=(2-x)+(-x-1)=1-2x;
当-1≤x≤2时,f(x)=2-x+x+1=3;
当x>2时,f(x)=x-2+x+1=2x-1.
则f(x)=
分段画出f(x)的图象,如图所示.
分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意衔接点处点的虚实,保证不重不漏.
(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.
[变式训练] 某通讯公司欲采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(单位:min)与相应话费y(单位:元)之间的函数图象如图所示,则y与x之间的函数关系式为　 .
当x>100时,设函数为y=mx+n,则解得所以y=x+20.
综上,y与x之间的函数关系式为y=
题型三　分段函数的实际应用
[例3] 某厂生产某种零件,每个零件的出厂单价初始定为52元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于41元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为41元
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.
100+=650.
所以当一次订购量为650个时,零件的实际出厂单价降为41元.
(2)当0所以P=f(x)=
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画出.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式.
[变式训练] 下表为某市居民用水阶梯水价表(单位:元/m3).
阶梯 户年 用水量 /m3 水价 其中
自来 水费 水资 源费 污水 处理费
第一 阶梯 0~ 180(含) 5.00 2.1 1.5 1.4
第二 阶梯 180~ 260(含) 7.00 4.1
第三 阶梯 260以上 9.00 6.1
(1)试写出用户所交水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)的函数关系式.
(2)若某户居民一年交水费1 110元,求其中水资源费和污水处理费分别为多少
当180当x>260时,y=9(x-260)+900+560=9x-880.
综上,y=
(2)当0≤x≤180时,y∈[0,900],当180所以该户居民水资源费为315元,污水处理费为294元.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.设函数 f(x)=则f(f(-2))= (　　)
[A]-17 [B]9
[C]61 [D]22
2.某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km),以后每增加1 km,加收1.8元(不足1 km按 1 km 计价),则乘坐出租车的费用y(单位:元)与行驶的里程x(单位:km)之间的函数图象大致为(　　)
　
[A] [B]
[C] [D]
3.已知f(x)=若f(a)≤-3,则实数a的取值范围为(　　)
[A][-3,-1]∪[1,3]
[B](-3,-1]∪[1,3)
[C][-2,-1]∪[1,2]
[D][-3,3]
因此a∈[-3,-1]∪[1,3].故选A.
4.已知f (x)=│x│,g (x)=x2,设h(x)=则函数h(x)的大致图象是(　　)
[A] [B]
　
[C] [D]
因为h(x)=
所以根据图象可知D选项正确.故选D.
5.已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论错误的是(　　)
[A]f(f(-1))=1
[B]若f(x)=3,则x的值是
[C]f(x)<1的解集为(-∞,1)
[D]f(x)的值域为(-∞,4)
6.(多选)已知函数f(x)=若f(a)=2,则f(5-a)的值为(　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]
当0≤a≤4时,由=2可得a=4;
当a>4时,由a2-8a+14=2可得a=2或a=6,故a=6.
当a=4时,f(5-a)=f(1)==1;
当a=6时,f(5-a)=f(-1)=-2+2=0.故选BC.
7.(5分)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　.
当0≤x≤1时,设f(x)=kx,将(1,-1)代入,则k=-1,即f(x)=-x.
综上,f(x)=
8.(5分)已知函数f(x)=若f(|a-1|)<3,则实数a的取值范围是　　　　.
9.(14分)设f(x)=1+(-2≤x<2).
(1)用分段函数的形式表达f(x);
(2)在平面直角坐标系中画出f(x)的图象;
(3)写出函数f(x)的值域.
所以f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由(1)(2)知,函数f(x)的最小值为;当x=-2时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(-2)=,
所以函数f(x)在[-2,2)上的值域为[,].
10.(14分)如图,△OAB在平面直角坐标系xOy内,点A,B的坐标分别为(1,1)和(3,0),记△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形面积为f(t).
(1)求f()的值;
(2)求f(t)的解析式.
(2)当0当1设直线x=t与线段AB交于点C,与x轴交于点D,过点A作AE垂直于x轴,垂足为E,可知△BCD∽△BAE,得==.因为BD=3-t,所以CD=(3-t),则S△BCD=·BD·CD=(3-t)2,
此时f(t)=×3×1-(3-t)2=-(t-3)2+;
当t>3时,f(t)=×3×1=.
综上,f(t)=
11.已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+2a),则a的值为(　　)
[A]1 [B]-
[C]-1 [D]-或-1
当a<0时,1-a>1,1+2a<1,由f(1-a)=f(1+2a),得-(1-a)-2a=2(1+2a)+a,解得a=-,满足a<0,故a=-.故选B.
12.(多选)已知f(x)=
则(　　)
[A]2f(4)=f(5)
[B]2f(5)=f(6)
[C]f(1)=
[D]当x∈[4,5),f(x)=
f(6)=36,2f(5)≠f(6),故B错误;f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=,故C正确;当x∈[4,5)时,
x+1∈[5,6),所以f(x)=f(x+1)=,故D正确.故选ACD.
13.(15分)某水果网店为促销金柚,提供了阶梯式购买方案,购买方案如下表:
购买的金柚重量/kg 金柚单价/(元/kg)
不超过5 kg的部分 10
超过5 kg但不超 过10 kg的部分 9
超过10 kg的部分 8
记顾客购买的金柚重量为x kg,消费额为f(x) 元.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚,甲、乙计划购买的金柚重量分别为4 kg,8 kg.请你为他们设计一种购买方案,使得甲、乙两人的消费总额最少,并求出此时的消费总额.
当5当x>10时,f(x)=10×5+9×5+8(x-10)=8x+15.
综上可得,f(x)=
(2)当甲、乙两人各自购买时,消费总额为f(4)+f(8)=10×4+9×8+5=117(元);
当甲、乙两人一起购买时,消费总额为f(12)=8×12+15=111(元).
故当甲、乙两人一起购买时,他们的消费总额最少,此时消费总额是111元.
14.已知函数f(x)=若f(f(2m))≥0,则实数m的取值范围是(　　)
[A][-,2]∪[3,+∞)
[B][-,2]∪[,+∞)
[C][-1,]
[D][-1,]∪[2,+∞)
②当f(2m)>1时,由|f(2m)-2|-1≥0,解得f(2m)≥3或f(2m)≤1(舍去).当2m≤1,即m≤时,
f(2m)=1-4m2,由1-4m2≥3,解得m2≤-,显然不成立.当2m>1,即m>时,f(2m)=|2m-2|-1,由|2m-2|-1≥3,解得m≥3,此时m≥3.综上,实数m的取值范围是[-,2]∪[3,+∞).故选A.第2课时　分段函数
【课程标准要求】　1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.
知识归纳
知识点　分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
(1)分段函数本质:函数在定义域不同的范围内,有着不同的对应关系.
(2)分段函数的定义域是各段范围的并集,值域为各段上值域的并集.
基础自测
1.(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　)
[A]f(x)=
[B]f(x)=
[C]f(x)=
[D]f(x)=
【答案】 AD
【解析】 A,D是分段函数;B,C不满足函数的定义,不是分段函数.故选AD.
2.已知函数f(x)=则f(-1)-f(3)=(　　)
[A]-3 [B]3
[C]-4 [D]4
【答案】 A
【解析】 f(-1)=1+2=3,f(3)=32-2×3+3=6,f(-1)-f(3)=3-6=-3.故选A.
3.已知函数f(x)=则不等式f(x)<0的解集为(　　)
[A](-∞,-1) [B](-1,0)
[C](-1,0] [D][0,+∞)
【答案】 C
【解析】 当x≤0时,由x2-1<0得-1当x>0时,由<0得x<0,不等式无解.
综上可得,f(x)<0的解集为(-1,0].故选C.
4.(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数y=-|x|的图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为y=-|x|=所以D选项正确.故选D.
题型一　分段函数求值(范围)
[例1] 已知函数f(x)=
(1)f(-5),f(-),f(f(-))的值;
(2)若f(a)=3,求实数a的值;
(3)若f(m)>m,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由已知得f(-5)=-5+1=-4,f(-)=+2×(-)=3-2.
因为f(-)=-+1=-,所以f(f(-))=f(-)=+2×(-)=-.
(2)当a≤-2时,f(a)=a+1≤-1,f(a)=3无解;
当-2当a≥2时,f(a)=2a-1=3,解得a=2.
综上,a=2或a=1.
(3)当m≤-2时,f(m)=m+1>m恒成立,所以m≤-2;
当-2m,解得m<-1或m>0,所以-2当m≥2时,f(m)=2m-1>m,解得m>1,所以m≥2.
综上,实数m的取值范围是{m|m<-1或m>0}.
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定所求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验.
(3)解分段函数不等式的方法:在每段函数定义域限制之下结合每段函数的解析式解不等式,然后将各段的解集取并集.
[变式训练] 已知函数
f(x)=
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)求f(f(1));
(3)解不等式f(x+1)>.
【解】 (1)f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪[2,)=(0,).
又由0(2)f(1)=-=,f(f(1))=f()=×=.
(3)f(x+1)>等价于①
或②
或③
解①得-所以f(x+1)> 的解集为(-,0)∪[0,1)∪=(-,1).
题型二　分段函数的图象
[例2] (湘教版必修第一册P75例8)画出函数f(x)=|x-2|+|x+1|的图象.
【解】 为了去掉绝对值符号,需分段讨论:
当x<-1时,f(x)=(2-x)+(-x-1)=1-2x;
当-1≤x≤2时,f(x)=2-x+x+1=3;
当x>2时,f(x)=x-2+x+1=2x-1.
则f(x)=
分段画出f(x)的图象,如图所示.
分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意衔接点处点的虚实,保证不重不漏.
(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.
[变式训练] 某通讯公司欲采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(单位:min)与相应话费y(单位:元)之间的函数图象如图所示,则y与x之间的函数关系式为　 .
【答案】 y=
【解析】 由题图知,当0≤x≤100时,设函数为y=kx,则40=100k,得k=,所以y=x;
当x>100时,设函数为y=mx+n,则解得所以y=x+20.
综上,y与x之间的函数关系式为y=
题型三　分段函数的实际应用
[例3] 某厂生产某种零件,每个零件的出厂单价初始定为52元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于41元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为41元
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.
【解】 (1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为41元时,一次订购量为x0个,则x0=
100+=650.
所以当一次订购量为650个时,零件的实际出厂单价降为41元.
(2)当0所以P=f(x)=
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画出.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式.
[变式训练] 下表为某市居民用水阶梯水价表(单位:元/m3).
阶梯 户年 用水量 /m3 水价 其中
自来 水费 水资 源费 污水 处理费
第一 阶梯 0~ 180(含) 5.00 2.1 1.5 1.4
第二 阶梯 180~ 260(含) 7.00 4.1
第三 阶梯 260以上 9.00 6.1
(1)试写出用户所交水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)的函数关系式.
(2)若某户居民一年交水费1 110元,求其中水资源费和污水处理费分别为多少
【解】 (1)当0≤x≤180时,y=5x;
当180当x>260时,y=9(x-260)+900+560=9x-880.
综上,y=
(2)当0≤x≤180时,y∈[0,900],当180所以该户居民水资源费为315元,污水处理费为294元.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.设函数 f(x)=则f(f(-2))= (　　)
[A]-17 [B]9
[C]61 [D]22
【答案】 B
【解析】 因为f(-2)=(-2)2-2×(-2)-2=6,所以f(f(-2))=f(6)=2×6-3=9.故选B.
2.某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km),以后每增加1 km,加收1.8元(不足1 km按 1 km 计价),则乘坐出租车的费用y(单位:元)与行驶的里程x(单位:km)之间的函数图象大致为(　　)
　
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由已知得y=故B选项正确.故选B.
3.已知f(x)=若f(a)≤-3,则实数a的取值范围为(　　)
[A][-3,-1]∪[1,3]
[B](-3,-1]∪[1,3)
[C][-2,-1]∪[1,2]
[D][-3,3]
【答案】 A
【解析】 当a≤0时,a2+4a≤-3,解得a∈[-3,-1];当a>0时,a2-4a≤-3,解得a∈[1,3].
因此a∈[-3,-1]∪[1,3].故选A.
4.已知f (x)=│x│,g (x)=x2,设h(x)=则函数h(x)的大致图象是(　　)
[A] [B]
　
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 在同一平面直角坐标系中,作出函数f (x)=|x|,g (x)=x2的图象,如图,
因为h(x)=
所以根据图象可知D选项正确.故选D.
5.已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论错误的是(　　)
[A]f(f(-1))=1
[B]若f(x)=3,则x的值是
[C]f(x)<1的解集为(-∞,1)
[D]f(x)的值域为(-∞,4)
【答案】 C
【解析】 因为f(-1)=-1+2=1,所以f(f(-1))=f(1)=12=1,故A正确,不符合题意;当x≤-1时,由x+2=3,解得x=1(舍去),当-16.(多选)已知函数f(x)=若f(a)=2,则f(5-a)的值为(　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]
【答案】 BC
【解析】 当a<0时,由2a+2=2可得a=0,不符合题意;
当0≤a≤4时,由=2可得a=4;
当a>4时,由a2-8a+14=2可得a=2或a=6,故a=6.
当a=4时,f(5-a)=f(1)==1;
当a=6时,f(5-a)=f(-1)=-2+2=0.故选BC.
7.(5分)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　.
【答案】 f(x)=
【解析】 由题图可知,图象是由两段组成的,当-1≤x<0时,设f(x)=ax+b,将(-1,0),(0,1)代入解析式,则所以即f(x)=x+1;
当0≤x≤1时,设f(x)=kx,将(1,-1)代入,则k=-1,即f(x)=-x.
综上,f(x)=
8.(5分)已知函数f(x)=若f(|a-1|)<3,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 (-3,5)
【解析】 因为|a-1|≥0,则f(|a-1|)=2|a-1|-5,因为f(|a-1|)<3,所以2|a-1|-5<3,解得-39.(14分)设f(x)=1+(-2≤x<2).
(1)用分段函数的形式表达f(x);
(2)在平面直角坐标系中画出f(x)的图象;
(3)写出函数f(x)的值域.
【解】 (1)当-2≤x<1时,f(x)=1+=-x;当1≤x<2时,f(x)=1+=.
所以f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由(1)(2)知,函数f(x)的最小值为;当x=-2时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(-2)=,
所以函数f(x)在[-2,2)上的值域为[,].
10.(14分)如图,△OAB在平面直角坐标系xOy内,点A,B的坐标分别为(1,1)和(3,0),记△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形面积为f(t).
(1)求f()的值;
(2)求f(t)的解析式.
【解】 (1)当t=时,图形为直角边长为的等腰直角三角形,所以f()=××=.
(2)当0当1设直线x=t与线段AB交于点C,与x轴交于点D,过点A作AE垂直于x轴,垂足为E,可知△BCD∽△BAE,得==.因为BD=3-t,所以CD=(3-t),则S△BCD=·BD·CD=(3-t)2,
此时f(t)=×3×1-(3-t)2=-(t-3)2+;
当t>3时,f(t)=×3×1=.
综上,f(t)=
11.已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+2a),则a的值为(　　)
[A]1 [B]-
[C]-1 [D]-或-1
【答案】 B
【解析】 当a>0时,1-a<1,1+2a>1,由f(1-a)=f(1+2a),得2(1-a)+a=-(1+2a)-2a,解得a=-1,不满足a>0,故舍去;
当a<0时,1-a>1,1+2a<1,由f(1-a)=f(1+2a),得-(1-a)-2a=2(1+2a)+a,解得a=-,满足a<0,故a=-.故选B.
12.(多选)已知f(x)=
则(　　)
[A]2f(4)=f(5)
[B]2f(5)=f(6)
[C]f(1)=
[D]当x∈[4,5),f(x)=
【答案】 ACD
【解析】 因为f(x)=所以f(4)=f(5),即2f(4)=f(5),故A正确;f(5)=25,
f(6)=36,2f(5)≠f(6),故B错误;f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=,故C正确;当x∈[4,5)时,
x+1∈[5,6),所以f(x)=f(x+1)=,故D正确.故选ACD.
13.(15分)某水果网店为促销金柚,提供了阶梯式购买方案,购买方案如下表:
购买的金柚重量/kg 金柚单价/(元/kg)
不超过5 kg的部分 10
超过5 kg但不超 过10 kg的部分 9
超过10 kg的部分 8
记顾客购买的金柚重量为x kg,消费额为f(x) 元.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚,甲、乙计划购买的金柚重量分别为4 kg,8 kg.请你为他们设计一种购买方案,使得甲、乙两人的消费总额最少,并求出此时的消费总额.
【解】 (1)当0当5当x>10时,f(x)=10×5+9×5+8(x-10)=8x+15.
综上可得,f(x)=
(2)当甲、乙两人各自购买时,消费总额为f(4)+f(8)=10×4+9×8+5=117(元);
当甲、乙两人一起购买时,消费总额为f(12)=8×12+15=111(元).
故当甲、乙两人一起购买时,他们的消费总额最少,此时消费总额是111元.
14.已知函数f(x)=若f(f(2m))≥0,则实数m的取值范围是(　　)
[A][-,2]∪[3,+∞)
[B][-,2]∪[,+∞)
[C][-1,]
[D][-1,]∪[2,+∞)
【答案】 A
【解析】 ①当f(2m)≤1时,由1-[f(2m)]2≥0,解得-1≤f(2m)≤1.当2m≤1,即m≤时,f(2m)=1-4m2,由-1≤1-4m2≤1,解得-≤m≤.当2m>1,即m>时,f(2m)=|2m-2|-1,由-1≤|2m-2|-1≤1,解得②当f(2m)>1时,由|f(2m)-2|-1≥0,解得f(2m)≥3或f(2m)≤1(舍去).当2m≤1,即m≤时,
f(2m)=1-4m2,由1-4m2≥3,解得m2≤-,显然不成立.当2m>1,即m>时,f(2m)=|2m-2|-1,由|2m-2|-1≥3,解得m≥3,此时m≥3.综上,实数m的取值范围是[-,2]∪[3,+∞).故选A.3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
【课程标准要求】　1.掌握函数的三种表示法.2.掌握函数图象的作法和应用.3.会求函数的解析式.
知识归纳
知识点　函数的表示法
函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法.
解析法,就是用解析式表示两个变量之间的对应关系.
列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
这三种方法是常用的函数表示法.
三种表示法的区别与联系
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
基础自测
1.购买某种饮料x瓶,所需钱数为y元.若每瓶2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　)
[A]y=2x
[B]y=2x(x∈R)
[C]y=2x(x∈{1,2,3,…})
[D]y=2x(x∈{1,2,3,4})
【答案】 D
【解析】 题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},结合选项知D正确.故选D.
2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(　　)
[A]甲比乙先出发
[B]乙比甲跑的路程多
[C]甲、乙两人的速度相同
[D]甲先到达终点
【答案】 D
【解析】 当t=0时,s=0,甲、乙同时出发;甲、乙路程一样,故A,B错误;甲跑完全程s所用的时间少于乙跑完全程所用时间,故甲先到达终点,则甲速度比乙速度快,则C错误,D正确.故选D.
3.对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 7 4 5 8 1 3 4
则f(f(1))的值为(　　)
[A]1 [B]3
[C]4 [D]5
【答案】 C
【解析】 由题表可得,f(1)=7,所以f(f(1))=f(7)=4.故选C.
4.(人教A版必修第一册P73习题3.1 T6改编)已知函数f(x)=kx+b为一次函数,且f(2)=-1,
f(4)=3,则f(-1)=(　　)
[A]3 [B]-3
[C]-7 [D]7
【答案】 C
【解析】 因为f(2)=-1,f(4)=3,所以解得所以f(x)=2x-5,所以f(-1)=2×(-1)-5=-7.故选C.
题型一　列表法表示函数
[例1] 已知函数f(x)如表所示,则不等式f(f(x))≥0的解集为(　　)
x -2 -1 0 1 2
f(x) 2 1 0 -1 -2
[A]{1,2,0} [B]{-1,-2,0}
[C]{1,2} [D]{-1,-2}
【答案】 A
【解析】 由f(f(x))≥0,得f(x)=0或f(x)=-1 或f(x)=-2.当f(x)=0时,x=0;当f(x)=-1时,x=1;当f(x)=-2时,x=2.综上所述,不等式f(f(x))≥0的解集为{1,2,0}.故选A.
求解用列表法表示的函数问题时,应根据表格中自变量对应的函数值求解.
[变式训练] 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x 4 5 6 7
f(x) 7 6 4 5
x 3 4 5 6
g(x) 4 6 5 4
下列能满足g(f(x))[A]3 [B]4
[C]5 [D]7
【答案】 C
【解析】 对于A,当x=3时,f(3)无意义,A错误;对于B,当x=4时,f(4)=7,所以g(f(4))=g(7)无意义,B错误;对于C,当x=5时,f(5)=6,g(5)=5,所以g(f(5))=g(6)=4,f(g(5))=f(5)=6,则g(f(5))<
f(g(5)),C正确;对于D,当x=7时,g(7)无意义,D错误.故选C.
题型二　图象法表示函数
[例2] 作出下列函数的图象,并写出函数的值域.
(1)y=-x-1,x∈{1,2,3,4};
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=(x-2)2.
【解】 (1)列表:
x 1 2 3 4
y -2 -3 -4 -5
描点作图,图象是一组离散的点,如图①所示,函数的值域为{-2,-3,-4,-5}.
(2)当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=图象的一部分,如图②所示,函数的值域为(0,1].
(3)法一(描点法)　利用描点法作出函数图象,图象是抛物线,如图③所示,函数的值域为[0,+∞).
法二(图象变换法)　先作出函数y=x2的图象,然后把它向右平移2个单位长度,就得到函数y=(x-2)2的图象,如图④所示,函数的值域为[0,+∞).
作函数y=f(x)图象的方法
(1)描点法:列表、描点、连线.
注意点:①要在定义域内作图;②要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
(2)图象变换法.
①左加右减:函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象.
②上加下减:函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y=f(x)+b的图象.
注意点:左右移动加减的是自变量,且不带系数与符号,上下移动加减的是函数值.
[变式训练] 函数y=的大致图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 法一　y=的定义域为{x|x≠-1},排除C,D;当x=0时,y=0,排除B.故选A.
法二　y==1-,所以将y=-的图象向左平移1个单位长度,得到y=-的图象,再将其向上平移1个单位长度得到所求图象.故选A.
题型三　求函数的解析式
[例3] (1)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式.
【解】 (1)f(x+1)=x2+4x+1=(x+1)2+2(x+1)-2,所以f(x)=x2+2x-2.
(2)法一(换元法)　令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
法二(配凑法)　f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1.因为+1≥1,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
[典例迁移1] (1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
【解】 (1)设f(x)=kx+b,k≠0,因为3f(x+1)-f(x)=2x+9,即3k(x+1)+3b-(kx+b)=2x+9,
整理得2kx+3k+2b=2x+9,所以解得所以f(x)=x+3.
(2)设f(x)=ax2+bx+c,a≠0,因为f(0)=1,所以c=1,因为f(x+1)-f(x)=2x,
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,整理得2ax+a+b=2x,所以
解得
所以f(x)=x2-x+1.
[典例迁移2] (1)已知f(x)+3f(-x)=x2-2x,求f(x)的解析式;
(2)已知2f()+f(x)=x(x≠0),求f(x)的解析式.
【解】 (1)因为f(x)+3f(-x)=x2-2x,可得f(-x)+3f(x)=(-x)2-(-2x),即
消去f(-x)可得f(x)=x2+x.
(2)2f()+f(x)=x(x≠0),①
用替换x得2f(x)+f()=(x≠0),②
由②得f()=-2f(x),③
将③代入①得f(x)=-(x≠0).
求函数解析式的常用方法
(1)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.换元时注意t的取值范围.
(2)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替等式两边所有的g(x)即可.
(3)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,则可设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.
(4)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解.
注意:写解析式时,应注明定义域.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知定义在[-2,2]上的函数y=f(x)表示为
x [-2,0) 0 (0,2]
y 1 0 -2
设f(1)=m,f(x)的值域为M,则(　　)
[A]m=1,M={-2,0,1}
[B]m=-2,M={-2,0,1}
[C]m=1,M={y|-2≤y≤1}
[D]m=-2,M={y|-2≤y≤1}
【答案】 B
【解析】 因为x=1满足x∈(0,2],所以m=f(1)=-2,由题表中数据可知,y的取值仅有1,0,-2三个值,所以f(x)的值域为M={-2,0,1}.故选B.
2.已知函数y=g(x)的对应关系如下表所示,函数y=f(x) 的图象是如图所示的曲线ABC,则g(f(3)-1)的值为(　　)
x 1 2 3
g(x) 3 0 -3
[A]3 [B]0
[C]-1 [D]5
【答案】 A
【解析】 根据题意,可得f(3)=2,g(f(3)-1)=g(1)=3.故选A.
3.已知函数f(x),x≠0,且f(x)满足f()+f(-x)=2x,则f(2)的值是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由于函数f(x)满足f()+f(-x)=2x,则
解得f(2)=.故选A.
4.若二次函数的图象开口向上且关于直线x=1对称,并过点(0,0),则此二次函数的解析式可能为(　　)
[A]f(x)=x2-1
[B]f(x)=-(x-1)2+1
[C]f(x)=(x-1)2+1
[D]f(x)=(x-1)2-1
【答案】 D
【解析】 由题意,设f(x)=a(x-1)2+c(a>0),因为点(0,0)在函数图象上,所以a+c=0,所以a=-c,
所以符合条件的二次函数的解析式是D.故选D.
5.已知函数f(3x+1)=6x-4,且f(m)=8,则 m等于(　　)
[A]2 [B]7
[C]25 [D]44
【答案】 B
【解析】 由函数f(3x+1)=6x-4,可得f(3x+1)=2(3x+1)-6,可知函数f(x)的解析式为f(x)=2x-6,
则f(m)=2m-6=8,解得m=7.故选B.
6.在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.从某个商标中抽象出一个图象如图,其对应的函数可能是(　　)
[A]f(x)=
[B]f(x)=
[C]f(x)=
[D]f(x)=
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)=的定义域为{x|x≠1},函数f(x)=的定义域为R,函数f(x)=与f(x)=的定义域均为{x|x≠±1},由题图知f(x)的定义域为{x|x≠±1},所以排除选项A,D;
对于f(x)=,当x=0时,f(0)=-1,不符合题图f(0)=1,所以排除选项C.故选B.
7.(5分)若y=f(x+3)的图象经过点P(1,4),则函数y=f(x)的图象必经过点　　　　.
【答案】 (4,4)
【解析】 法一　由于点P(1,4)在y=f(x+3)的图象上,且y=f(x)的图象是由y=f(x+3)的图象向右平移3个单位长度得到的,点P(1,4)也向右平移3个单位长度,变成点(4,4),因此y=f(x)的图象必经过点(4,4).
法二　因为y=f(x+3)的图象经过点P(1,4),所以f(1+3)=4,即f(4)=4,因此y=f(x)的图象必经过点(4,4).
8.(5分)设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象之一,则a的值为　　　　.
【答案】 -1
【解析】 若a>0,即图象开口向上,故排除图(1)和图(3),又因为b>0,所以对称轴x=-<0,故排除图(2)和图(4),则没有符合条件的图象;若a<0,即图象开口向下,因为b>0,所以对称轴x=->0,故函数图象为图(3).由图象知函数过点(0,0),所以a2-1=0,所以a=-1(a=1舍去).
9.(14分)画出下列函数的图象,并写出函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=-4x+5;
(3)y=x2-6x+7.
【解】 (1)反比例函数y=的图象如图(1)所示,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)一次函数y=-4x+5的图象如图(2)所示,定义域为R,值域为R.
(3)二次函数y=x2-6x+7的图象如图(3)所示,定义域为R,值域为[-2,+∞).
10.(15分)(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知函数f(x2+1)=x4-2x2,求f(x)的解析式.
【解】 (1)设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4.
所以解得或所以f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
(2)设x2+1=t,则t≥1,x2=t-1,所以f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,t≥1.
所以f(x)=x2-4x+3,x≥1.
11.(多选)如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中正确的为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 BCD
【解析】 对于选项A,水面的高度h的增加应是均匀的,因此不正确,其余选项均正确.故选BCD.
12.已知函数f(x-)=2x-(x>0),则f(x)=(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 令t=x-,所以x2-tx-1=0,结合x>0,得x=,所以f(t)=2×-=t+-=,即f(x)=.故选D.
13.(15分)(1)已知函数f(x)满足2f(x)-f(2-x)=x2+2x,求f(x)的解析式;
(2)已知函数f(x)满足f(2-x)+2f(2+)=x,求f(x)的解析式.
【解】 (1)由2f(x)-f(2-x)=x2+2x,得2f(2-x)-f(x)=(2-x)2+2(2-x),
于是消去f(2-x)得f(x)=x2-x+,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+.
(2)由f(2-x)+2f(2+)=x,①
用-替换x,得f(2+)+2f(2-x)=-,②
由①-②×2得,-3f(2-x)=x+,即f(2-x)=-(x+),x≠0.
令t=2-x,则t≠2,x=2-t,
则f(t)=-(2-t+)=(t+-2),t≠2.所以f(x)=(x+-2),x≠2.
14.若函数f(x)=的部分图象如图所示,则f(5)=(　　)
[A]- [B]-
[C]- [D]-
【答案】 D
【解析】 根据函数图象可知x=2和x=4不在函数f(x)的定义域内,因此x=2和x=4是方程ax2+bx+c=0的两根,可得f(x)=,又易知f(3)=1,可得a=-1,即f(x)=-,所以f(5)=-.故选D.(共31张PPT)
3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
1.掌握函数的三种表示法.2.掌握函数图象的作法和应用.3.会求函数的解析式.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　函数的表示法
函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法.
解析法,就是用 表示两个变量之间的对应关系.
列表法,就是 来表示两个变量之间的对应关系.
图象法,就是用 表示两个变量之间的对应关系.
这三种方法是常用的函数表示法.
解析式
知识归纳
列出表格
图象
·知识辨析·
三种表示法的区别与联系
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
基础自测
1.购买某种饮料x瓶,所需钱数为y元.若每瓶2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　)
[A]y=2x
[B]y=2x(x∈R)
[C]y=2x(x∈{1,2,3,…})
[D]y=2x(x∈{1,2,3,4})
【解析】 题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},结合选项知D正确.故选D.
D
2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(　　)
[A]甲比乙先出发
[B]乙比甲跑的路程多
[C]甲、乙两人的速度相同
[D]甲先到达终点
D
【解析】 当t=0时,s=0,甲、乙同时出发;甲、乙路程一样,故A,B错误;甲跑完全程s所用的时间少于乙跑完全程所用时间,故甲先到达终点,则甲速度比乙速度快,则C错误,D正确.故选D.
3.对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 7 4 5 8 1 3 4
则f(f(1))的值为(　　)
[A]1 [B]3
[C]4 [D]5
C
【解析】 由题表可得,f(1)=7,所以f(f(1))=f(7)=4.故选C.
4.(人教A版必修第一册P73习题3.1 T6改编)已知函数f(x)=kx+b为一次函数,且f(2)=-1,f(4)=3,则f(-1)=(　　)
[A]3 [B]-3
[C]-7 [D]7
C
关键能力·素养培优
[例1] 已知函数f(x)如表所示,则不等式f(f(x))≥0的解集为(　　)
题型一　列表法表示函数
x -2 -1 0 1 2
f(x) 2 1 0 -1 -2
A
[A]{1,2,0} [B]{-1,-2,0}
[C]{1,2} [D]{-1,-2}
【解析】 由f(f(x))≥0,得f(x)=0或f(x)=-1 或f(x)=-2.当f(x)=0时,x=0;当f(x)=-1时,x=1;当f(x)=-2时,x=2.综上所述,不等式f(f(x))≥0的解集为{1,2,0}.故选A.
·解题策略·
求解用列表法表示的函数问题时,应根据表格中自变量对应的函数值求解.
[变式训练] 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
C
x 4 5 6 7
f(x) 7 6 4 5
x 3 4 5 6
g(x) 4 6 5 4
下列能满足g(f(x))[A]3 [B]4
[C]5 [D]7
【解析】 对于A,当x=3时,f(3)无意义,A错误;对于B,当x=4时,f(4)=7,所以g(f(4))=g(7)无意义,B错误;对于C,当x=5时,f(5)=6,g(5)=5,所以g(f(5))=
g(6)=4,f(g(5))=f(5)=6,则g(f(5))[例2] 作出下列函数的图象,并写出函数的值域.
(1)y=-x-1,x∈{1,2,3,4};
题型二　图象法表示函数
【解】 (1)列表:
x 1 2 3 4
y -2 -3 -4 -5
描点作图,图象是一组离散的点,如图①所示,函数的值域为{-2,-3,-4,-5}.
(3)y=(x-2)2.
【解】 (3)法一(描点法)　利用描点法作出函数图象,图象是抛物线,如图③所示,函数的值域为[0,+∞).
法二(图象变换法)　先作出函数y=x2的图象,然后把它向右平移2个单位长度,就得到函数y=(x-2)2的图象,如图④所示,函数的值域为[0,+∞).
·解题策略·
作函数y=f(x)图象的方法
(1)描点法:列表、描点、连线.
注意点:①要在定义域内作图;②要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
·解题策略·
(2)图象变换法.
①左加右减:函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象.
②上加下减:函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y=f(x)+b的图象.
注意点:左右移动加减的是自变量,且不带系数与符号,上下移动加减的是函数值.
A
[A] [B] [C] [D]
[例3] (1)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式;
题型三　求函数的解析式
【解】 (1)f(x+1)=x2+4x+1=(x+1)2+2(x+1)-2,所以f(x)=x2+2x-2.
[典例迁移1] (1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
[典例迁移2] (1)已知f(x)+3f(-x)=x2-2x,求f(x)的解析式;
·解题策略·
求函数解析式的常用方法
(1)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.换元时注意t的取值范围.
(2)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替等式两边所有的g(x)即可.
(3)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,则可设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.
·解题策略·
(4)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解.
注意:写解析式时,应注明定义域.
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第1课时　函数的表示法
【课程标准要求】　1.掌握函数的三种表示法.2.掌握函数图象的作法和应用.3.会求函数的解析式.
知识归纳
知识点　函数的表示法
函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法.
解析法,就是用解析式表示两个变量之间的对应关系.
列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
这三种方法是常用的函数表示法.
三种表示法的区别与联系
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
基础自测
1.购买某种饮料x瓶,所需钱数为y元.若每瓶2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　)
[A]y=2x
[B]y=2x(x∈R)
[C]y=2x(x∈{1,2,3,…})
[D]y=2x(x∈{1,2,3,4})
2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(　　)
[A]甲比乙先出发
[B]乙比甲跑的路程多
[C]甲、乙两人的速度相同
[D]甲先到达终点
3.对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 7 4 5 8 1 3 4
则f(f(1))的值为(　　)
[A]1 [B]3
[C]4 [D]5
4.(人教A版必修第一册P73习题3.1 T6改编)已知函数f(x)=kx+b为一次函数,且f(2)=-1,
f(4)=3,则f(-1)=(　　)
[A]3 [B]-3
[C]-7 [D]7
题型一　列表法表示函数
[例1] 已知函数f(x)如表所示,则不等式f(f(x))≥0的解集为(　　)
x -2 -1 0 1 2
f(x) 2 1 0 -1 -2
[A]{1,2,0} [B]{-1,-2,0}
[C]{1,2} [D]{-1,-2}
求解用列表法表示的函数问题时,应根据表格中自变量对应的函数值求解.
[变式训练] 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x 4 5 6 7
f(x) 7 6 4 5
x 3 4 5 6
g(x) 4 6 5 4
下列能满足g(f(x))[A]3 [B]4
[C]5 [D]7
f(g(5)),C正确;对于D,当x=7时,g(7)无意义,D错误.故选C.
题型二　图象法表示函数
[例2] 作出下列函数的图象,并写出函数的值域.
(1)y=-x-1,x∈{1,2,3,4};
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=(x-2)2.
x 1 2 3 4
y -2 -3 -4 -5
描点作图,图象是一组离散的点,如图①所示,函数的值域为{-2,-3,-4,-5}.
(2)当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=图象的一部分,如图②所示,函数的值域为(0,1].
(3)法一(描点法)　利用描点法作出函数图象,图象是抛物线,如图③所示,函数的值域为[0,+∞).
法二(图象变换法)　先作出函数y=x2的图象,然后把它向右平移2个单位长度,就得到函数y=(x-2)2的图象,如图④所示,函数的值域为[0,+∞).
作函数y=f(x)图象的方法
(1)描点法:列表、描点、连线.
注意点:①要在定义域内作图;②要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
(2)图象变换法.
①左加右减:函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象.
②上加下减:函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y=f(x)+b的图象.
注意点:左右移动加减的是自变量,且不带系数与符号,上下移动加减的是函数值.
[变式训练] 函数y=的大致图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
法二　y==1-,所以将y=-的图象向左平移1个单位长度,得到y=-的图象,再将其向上平移1个单位长度得到所求图象.故选A.
题型三　求函数的解析式
[例3] (1)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式.
(2)法一(换元法)　令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
法二(配凑法)　f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1.因为+1≥1,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
[典例迁移1] (1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
整理得2kx+3k+2b=2x+9,所以解得所以f(x)=x+3.
(2)设f(x)=ax2+bx+c,a≠0,因为f(0)=1,所以c=1,因为f(x+1)-f(x)=2x,
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,整理得2ax+a+b=2x,所以
解得
所以f(x)=x2-x+1.
[典例迁移2] (1)已知f(x)+3f(-x)=x2-2x,求f(x)的解析式;
(2)已知2f()+f(x)=x(x≠0),求f(x)的解析式.
消去f(-x)可得f(x)=x2+x.
(2)2f()+f(x)=x(x≠0),①
用替换x得2f(x)+f()=(x≠0),②
由②得f()=-2f(x),③
将③代入①得f(x)=-(x≠0).
求函数解析式的常用方法
(1)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.换元时注意t的取值范围.
(2)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替等式两边所有的g(x)即可.
(3)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,则可设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.
(4)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解.
注意:写解析式时,应注明定义域.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知定义在[-2,2]上的函数y=f(x)表示为
x [-2,0) 0 (0,2]
y 1 0 -2
设f(1)=m,f(x)的值域为M,则(　　)
[A]m=1,M={-2,0,1}
[B]m=-2,M={-2,0,1}
[C]m=1,M={y|-2≤y≤1}
[D]m=-2,M={y|-2≤y≤1}
2.已知函数y=g(x)的对应关系如下表所示,函数y=f(x) 的图象是如图所示的曲线ABC,则g(f(3)-1)的值为(　　)
x 1 2 3
g(x) 3 0 -3
[A]3 [B]0
[C]-1 [D]5
3.已知函数f(x),x≠0,且f(x)满足f()+f(-x)=2x,则f(2)的值是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
解得f(2)=.故选A.
4.若二次函数的图象开口向上且关于直线x=1对称,并过点(0,0),则此二次函数的解析式可能为(　　)
[A]f(x)=x2-1
[B]f(x)=-(x-1)2+1
[C]f(x)=(x-1)2+1
[D]f(x)=(x-1)2-1
所以符合条件的二次函数的解析式是D.故选D.
5.已知函数f(3x+1)=6x-4,且f(m)=8,则 m等于(　　)
[A]2 [B]7
[C]25 [D]44
则f(m)=2m-6=8,解得m=7.故选B.
6.在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.从某个商标中抽象出一个图象如图,其对应的函数可能是(　　)
[A]f(x)=
[B]f(x)=
[C]f(x)=
[D]f(x)=
对于f(x)=,当x=0时,f(0)=-1,不符合题图f(0)=1,所以排除选项C.故选B.
7.(5分)若y=f(x+3)的图象经过点P(1,4),则函数y=f(x)的图象必经过点　　　　.
法二　因为y=f(x+3)的图象经过点P(1,4),所以f(1+3)=4,即f(4)=4,因此y=f(x)的图象必经过点(4,4).
8.(5分)设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象之一,则a的值为　　　　.
9.(14分)画出下列函数的图象,并写出函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=-4x+5;
(3)y=x2-6x+7.
(2)一次函数y=-4x+5的图象如图(2)所示,定义域为R,值域为R.
(3)二次函数y=x2-6x+7的图象如图(3)所示,定义域为R,值域为[-2,+∞).
10.(15分)(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知函数f(x2+1)=x4-2x2,求f(x)的解析式.
所以解得或所以f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
(2)设x2+1=t,则t≥1,x2=t-1,所以f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,t≥1.
所以f(x)=x2-4x+3,x≥1.
11.(多选)如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中正确的为(　　)
[A] [B] [C] [D]
12.已知函数f(x-)=2x-(x>0),则f(x)=(　　)
[A] [B]
[C] [D]
13.(15分)(1)已知函数f(x)满足2f(x)-f(2-x)=x2+2x,求f(x)的解析式;
(2)已知函数f(x)满足f(2-x)+2f(2+)=x,求f(x)的解析式.
于是消去f(2-x)得f(x)=x2-x+,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+.
(2)由f(2-x)+2f(2+)=x,①
用-替换x,得f(2+)+2f(2-x)=-,②
由①-②×2得,-3f(2-x)=x+,即f(2-x)=-(x+),x≠0.
令t=2-x,则t≠2,x=2-t,
则f(t)=-(2-t+)=(t+-2),t≠2.所以f(x)=(x+-2),x≠2.
14.若函数f(x)=的部分图象如图所示,则f(5)=(　　)
[A]- [B]-
[C]- [D]-

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