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3.2.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
【课程标准要求】　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题.
知识归纳
知识点　函数的奇偶性
函数 偶函数 奇函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D
f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
结论 函数f(x)是 偶函数 函数f(x)是 奇函数
图象性质 关于y轴对称 关于原点对称
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.
(2)先判断定义域是否关于原点对称,对于 x∈D,都有-x∈D,即定义域关于原点对称,还需判断f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)≠±f(x),则函数为非奇非偶函数.
(3)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,反之也成立.
(4)若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0.
(5)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x) 既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集,但有无数个既奇又偶的函数.
基础自测
1.已知函数y=f(x),x∈[-1,a]是偶函数,则a等于 (　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]无法确定
2.(人教A版必修第一册P85练习T1改编)下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.函数f(x)=x3在R上为(　　)
[A]奇函数
[B]偶函数
[C]非奇非偶函数
[D]既是奇函数又是偶函数
4.已知函数f(x)=x3+x+a为奇函数,则a等于(　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
题型一　函数奇偶性的判断
[例1] (苏教版必修第一册P124例1)判定下列函数是否为偶函数或奇函数:
(1)f(x)=x2-1;
(2)f(x)=2x;
(3)f(x)=2|x|;
(4)f(x)=(x-1)2.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),
所以函数f(x)=x2-1是偶函数.
(2)函数f(x)=2x的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x),
所以函数f(x)=2x是奇函数.
(3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),
所以函数f(x)=2|x|是偶函数.
(4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.
因为f(1)=0,f(-1)=4,所以f(1)≠f(-1),f(1)≠-f(-1).
因此,根据函数奇偶性定义可以知道,函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数,也不是偶函数.
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法.
(2)图象法.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=x3-x,x∈[-3,3);
(3)f(x)=0,x∈[-1,1];
(4)f(x)=
(2)f(x)的定义域为[-3,3),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
(3)因为f(x)=0的定义域为[-1,1],关于原点对称,又f(-x)=-f(x)=f(x)=0,所以函数f(x)=0,x∈[-1,1]既是奇函数又是偶函数.
(4)f(x)的定义域为D={x|x≠0}, x∈D,-x∈D,
当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);
当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).
综上,对 x∈D,都有f(-x)=-f(x).所以f(x) 为奇函数.
题型二　奇、偶函数的图象问题
[例2] 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象,如图所示.
(1)请补足完整函数y=f(x)的图象;
(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
(2)由图可知,f(x)的单调递增区间为(-1,1).
(3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}.
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
[变式训练] 如图,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.
题型三　利用函数的奇偶性求值
[例3] 若f(x)=(a+1)x2+(a-1)x+2是闭区间[4-2b,b+1]上的偶函数,则a+b=　　　　.
(a+1)x2+(a-1)x+2是偶函数,则f(-x)=f(x),即(a+1)(-x)2+(a-1)(-x)+2=(a+1)x2+(a-1)x+2,即2(a-1)x=0,则a=1,所以a+b=6.
[典例迁移1] 若f(x)=为奇函数,则a=　　　　.
则f(-x)=,
由f(x)+f(-x)=0,+=0,所以4(6-a)x=0,
解得a=6.经检验,a=6满足题意.
[典例迁移2] 已知函数f(x)=ax3++2且f(17)=16,则f(-17)的值为　　　　.
-ax3-=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以g(17)+g(-17)=0,
即f(17)-2+f(-17)-2=0,代入f(17)=16,可得f(-17)=-12.
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求解.
(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-1,则f(-2)等于(　　)
[A]- [B]-
[C]-3 [D]3
2.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是 (　　)
[A]奇函数
[B]偶函数
[C]既是奇函数又是偶函数
[D]非奇非偶函数
3.已知函数f(x)=(x2-a)(x+b)为奇函数,则(　　)
[A]ab≠0 [B]a=0,b=0
[C]a=0,b∈R [D]a∈R,b=0
4.(多选)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(　　)
[A]f(x)=2x [B]f(x)=-
[C]f(x)=x3 [D]f(x)=
定义域不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数,故D错误.故选ABC.
5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,则下列说法正确的是(　　)
[A]f(x)g(x)是偶函数
[B]f(g(x))是奇函数
[C]f(x)-g(x)是奇函数
[D]g(f(x))是偶函数
g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),故g(f(x))为偶函数,故D正确.故选D.
6.已知定义在R上的函数f(x)+1为奇函数,且f(-1)=-2,则f(1)等于(　　)
[A]-2 [B]0
[C]1 [D]2
令x=1有f(-1)+f(1)=-2,又由f(-1)=-2,所以f(1)=0.故选B.
7.(5分)设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是　　　　.
因为当x∈[0,5]时,f(x)<0的解集为{x|2所以f(x)<0的解集是{x|-5≤x<-2或28.(5分)设f(x)=-x3-(a-2)x2+x是定义在[-b,b2-b-3]上的奇函数,则f(b)=　　　　.
所以f(b)=f(3)=-24.
9.(14分)判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=(1-x);
(3)f(x)=-;
(4)f(x)=
所以函数f(x)为奇函数.
(2)由≥0,得定义域为D=[-1,1),不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数.
(3)由得x=±,即该函数的图象由点(-,0),(,0)构成,
这两个点既关于原点对称,也关于y轴对称,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)f(x)的定义域为R, x∈R,-x∈R,
当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1,所以f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).
当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,所以f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x).
当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,所以f(-x)=0=f(x).
综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
10.(14分)已知f(x)是定义在[-3,3]上的偶函数.
(1)设g(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,将下面两个图补充完整;
(2)当-3(2)由图可知,f(x)在[-3,-1]上的图象为线段,设其对应的解析式为f(x)=ax+b(-3≤x≤-1),
则解得
所以f(x)=-3x-5(-3≤x≤-1).
当-3当-1≤m<0时,由图可知f(x)在[-3,m]上的最大值为f(-3)=4,最小值为f(-1)=-2,则f(x)在[-3,m]上的值域为[-2,4].
综上可知,当-311.若函数f(x)=为偶函数,则实数a的取值范围是(　　)
[A](-∞,-5]
[B](5,+∞)
[C][-5,5]
[D](-∞,-5]∪[5,+∞)
所以又-5≤x≤5,可得a≤-5.故选A.
12.(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,设函数g(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.
设h(x)=g(x)-1=,
则h(-x)===-h(x),所以h(x)为奇函数.则h(x)max+h(x)min=0,即M-1+m-1=0,
所以M+m=2.
13.(15分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈(-1,1),都有f(y)-f(x)=f(),且当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)判断f()+f(-)的正负,并说明理由.
令y=0,可得f(0)-f(x)=f(-x),即-f(x)=f(-x),所以f(x)在(-1,1)上为奇函数.
所以f()+f(-)=f()-f()=f()=f()=-f(-),
当x∈(-1,0)时,f(x)<0,即f(-)<0,所以f()+f(-)=-f(-)>0.
14.(多选)已知f(x)是二次函数,且对于任意的实数x,y,函数f(x)满足函数方程f(x)+f(y)=f(x+y)+xy+2,如果f(1)=.下列选项正确的是(　　)
[A]f(0)=2
[B]y=f(x)+x在(0,+∞)上单调递增
[C]y=f(x)-x为偶函数
[D]y=f(x+1)为偶函数
对于B,由f(x)+f(y)=f(x+y)+xy+2,令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)-x2+2,
即f(x)+f(-x)=4-x2,设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则ax2+bx+c+ax2-bx+c=4-x2,
即2ax2+2c=-x2+4,可得则所以f(x)=-x2+bx+2,由f(1)=-+b+2=,解得b=1,所以f(x)=-x2+x+2,函数y=f(x)+x=-x2+2x+2,则其图象的对称轴为直线x=2,
所以函数y=f(x)+x在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故B错误;
对于C,由B选项的分析可知y=f(x)-x=-x2+2,则其图象的对称轴为直线x=0,所以函数y=f(x)-x为偶函数,故C正确;
对于D,由B选项的分析可知y=f(x+1)=+(x+1)+2=-x2+,则其图象的对称轴为直线x=0,所以函数y=f(x+1)为偶函数,故D正确.故选ACD.第2课时　奇偶性的应用
【课程标准要求】　1.掌握用奇偶性求函数解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响,并能用以比较大小、求最值和解不等式.
题型一　根据函数的奇偶性求函数的解析式
[例1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+4,求f(x)的解析式.
【解】 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0;当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2×(-x)+4=
x2+2x+4,所以f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+4)=-x2-2x-4.
所以f(x)=
(1)已知函数在某区间上的解析式及函数的奇偶性,求其对称区间或整个定义域上的解析式的方法如下:①“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式就把x设在哪个区间上;②将已知区间上对应的解析式代入;③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而得出f(x)的解析式.
提醒:涉及奇函数在R上的解析式,不要忘记当x=0时,f(0)=0的特殊情况.
(2)已知函数f(x),g(x)的组合运算解析式与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解.
[变式训练] 若函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且其定义域均为{x|x∈R,x≠±1}.若f(x)+g(x)=,求f(x),g(x)的解析式.
【解】 依题意,函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,

解得f(x)=(x≠±1),g(x)=(x≠±1).
题型二　利用函数的奇偶性与单调性比较大小
[例2] 若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则a=f(-),b=f(),c=f()的大小关系是 (　　)
[A]b[C]a【答案】 D
【解析】 因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(-)=f(),又f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且<<,所以f()比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)若自变量不在同一个单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上,然后利用单调性比较大小.
[变式训练] 已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为(　　)
[A]f(1)>f(-10)
[B]f(1)[C]f(1)=f(-10)
[D]f(1),f(-10)的大小关系不定
【答案】 D
【解析】 依题意,奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,但无法确定f(x)在R上的单调性,所以f(1)和f(-10)的大小关系不定.故选D.
题型三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式
[例3] 已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上单调递增,则f(x-1)≥f(2x)的解集为(　　)
[A][-1,] [B][-1,]
[C][-1,1] [D][,1]∪{-1}
【答案】 D
【解析】 因为f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,所以2b+1-b=0,解得b=-1,所以函数的定义域为[-2,2];
又因为f(x)在[2b,0]上单调递增,即f(x)在[-2,0]上单调递增,所以f(x)在[0,2]上单调递减,
又因为f(x-1)≥f(2x),
所以解得≤x≤1或x=-1.
所以不等式的解集为[,1]∪{-1}.故选D.
利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系.
(2)由已知或利用奇偶性得出该区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的对应关系“f”,转化为解不等式(组)的问题.
提醒:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时,需转化为“f(x)”的形式,如已知f(1)=0,若f(x-1)<0,则f(x-1)[变式训练] 已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.若f(2)=0,则f(x)≥0的解集为(　　)
[A][-2,2]
[B](-∞,-2]∪[0,2]
[C][-2,0]∪[2,+∞)
[D](-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
【答案】 B
【解析】 由题意,奇函数f(x)的定义域为R,则f(0)=0,f(-2)=0,且f(x)在[-1,0]上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,可作出f(x)的大致图象.由图象可知f(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,2].故选B.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.如果函数f(x)=是奇函数,那么g(x)等于(　　)
[A]-x(x+1) [B]x(x+1)
[C]x(x-1) [D]-x(x-1)
【答案】 A
【解析】 当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1),又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-x(x+1),所以当x<0时,g(x)=-x(x+1).故选A.
2.如果奇函数f(x)在[2,5]上单调递减且最小值是4,那么f(x)在[-5,-2]上(　　)
[A]单调递减且最小值是-4
[B]单调递减且最大值是-4
[C]单调递增且最小值是-4
[D]单调递增且最大值是-4
【答案】 B
【解析】 由题意,奇函数f(x)在区间[2,5]上单调递减,根据奇函数的对称性,可得函数f(x)在区间[-5,-2]上也单调递减,又由奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是4,即f(5)=4,所以f(-5)=-f(5)=-4,所以函数f(x)在区间[-5,-2]上的最大值为f(-5)=-4.故选B.
3.已知f(x)是奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是(　　)
[A]f(-0.5)[B]f(-1)[C]f(0)[D]f(-1)【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)是奇函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在R上单调
递增,
所以f(-1)4.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则f(a2-2a+4)与f(-2)的大小关系为(　　)
[A]f(a2-2a+4)>f(-2)
[B]f(a2-2a+4)=f(-2)
[C]f(a2-2a+4)[D]不确定
【答案】 C
【解析】 因为f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则m=0,故f(x)=-x2+3,所以f(-2)=f(2),又可知f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;a2-2a+4=(a-1)2+3>2>0,所以f(a2-2a+4)5.(多选)已知函数f(x)为定义在[a,a+4]上的偶函数,当x∈[0,a+4]时,f(x)=-x,则(　　)
[A]a=-2
[B]当x∈[a,0]时,f(x)=+x
[C]f(x)在[a,0]上单调递增
[D]f(x)的值域为[-2,]
【答案】 ACD
【解析】 对于A项,因为f(x)是定义在[a,a+4]上的偶函数,所以a+a+4=0,解得 a=-2,故A正确;
对于B项,当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],则f(x)=f(-x)=-(-x)=+x,故B错误;
对于C项,因为y=与y=x都在[-2,0]上单调递增,所以f(x)=+x在[-2,0]上单调递增,故C正确;
对于D项,因为f(x)=+x在[-2,0]上单调递增,且f(-2)=-2,f(0)=,所以当x∈[-2,0]时,f(x)∈[-2,],由偶函数的对称性可知,f(x)的值域为[-2,],故D正确.故选ACD.
6.已知函数f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x<0时,函数的部分图象如图所示,则不等式<0的解集是(　　)
[A](-3,-1)∪(1,3)
[B](-3,-1)∪(0,1)∪(3,+∞)
[C](-∞,-3)∪(-1,1)∪(3,+∞)
[D](-∞,-3)∪(-1,0)∪(0,1)∪(3,+∞)
【答案】 D
【解析】 由题设=<0,即<0.当x<0时,<0 f(x)>0,由题图可知,当x∈(-∞,-3)∪(-1,0)时,f(x)>0,当x∈(-3,-1)时,f(x)<0.当x>0时,<0 f(x)<0,根据奇函数的对称性,当x∈(0,1)∪(3,+∞)时,f(x)<0,当x∈(1,3)时,f(x)>0,所以不等式的解集为(-∞,-3)∪(-1,0)∪(0,1)∪(3,+∞).故选D.
7.(5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是　　　.
【答案】 (-1,3)
【解析】 因为f(x)为偶函数,所以f(x-1)=f(|x-1|),又f(2)=0,f(x-1)>0,所以f(|x-1|)>f(2).因为|x-1|,2∈[0,+∞),且f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以|x-1|<2,即-28.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,若函数f(x)-2x为偶函数,函数f(x)-x2为奇函数,则f(1)=　　　　.
【答案】 3
【解析】 函数f(x)的定义域为R,设函数g(x)=f(x)-2x, h(x)=f(x)-x2,因为g(x)-g(-x)=0,
h(x)+h(-x)=0,所以f(x)-2x-[f(-x)+2x]=0,f(x)-x2+[f(-x)-x2]=0,
所以解得f(x)=2x+x2,所以f(1)=3.
9.(14分)已知函数f(x)为[-1,1]上的偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2-ax,且f()=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若实数t满足不等式f(t-1)>f(-2t),求t的取值范围.
【解】 (1)函数f(x)为[-1,1]上的偶函数,且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2-ax,因为f(-)=f()=,即+a=,解得a=1,所以当x∈[-1,0]时,f(x)=x2-x.
当0故有f(x)=
(2)由(1)知f(x)=可得f(x)在[-1,0]上单调递减,在(0,1]上单调递增.
又f(t-1)>f(-2t),
所以 解得0≤t<.
故t的取值范围是[0,).
10.(15分)已知函数f(x)=,x∈R.
(1)求不等式f(x)>的解集;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)已知|f(x)|【解】 (1)因为f(x)=,所以不等式f(x)>,即>,显然x2+1>0,所以4x>x2+1,
即x2-4x+1<0,解得2-的解集为(2-,2+).
(2)f(x)为奇函数.理由如下:
因为函数f(x)=,x∈R,又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)=为奇函数,且f(0)=0,
当x>0时,f(x)=>0,且f(x)==≤=1,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,
所以当x>0时,f(x)∈(0,1],则当x<0时,f(x)∈[-1,0),所以f(x)∈[-1,1],因为|f(x)|显然a>0,所以-a1,即实数a的取值范围为(1,+∞).
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在[0,+∞)上单调递增,则下列结论错误的是(　　)
[A]f(f(-1))[B]f(-g(1))[C]g(f(-1))[D]g(g(-1))【答案】 A
【解析】 由题意可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,g(x)在R上单调递增.
f(-1)=f(1)由条件可知,0=g(0)因为f(-1)=f(1)因为g(x)在R上单调递增,所以g(-1)12.已知函数f(x)在R上是减函数,且y=f(x-1)-2为奇函数.若实数t满足不等式f(t2-t)+
f(-t-5)>4,则的取值范围是(　　)
[A](-∞,) [B](,)
[C](,+∞) [D](-1,3)
【答案】 A
【解析】 记g(x)=f(x-1)-2,则g(x)在R上为奇函数且是减函数,则不等式f(t2-t)+f(-t-5)>4可转化为f(t2-t)-2>-[f(-t-5)-2],即f(t2-t+1-1)-2>-[f(-t-5+1-1)-2],等价于g(t2-t+1)>g(4+t),所以可得t2-t+1<4+t,解得-113.(15分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+3,且当x>0时,f(x)>-3.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)+3为奇函数;
(2)求证:f(x)在R上是增函数;
(3)若f(1)=2,解关于x的不等式f(x2+x)+f(1-2x)>9.
(1)【解】 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+3,取x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)+3,所以f(0)=-3,
x∈R,取y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)+3=-3,于是f(x)+3=-f(-x)-3=-[f(-x)+3],所以f(x)+3为奇
函数.
(2)【证明】 x1,x2∈R,x10,由当x>0时,f(x)>-3,得f(x2-x1)>-3,
f(x2)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)+f(x2-x1)+3>f(x1),所以f(x)在R上是增函数.
(3)【解】 由f(1)=2,得f(2)=f(1)+f(1)+3=7,f(3)=f(1)+f(2)+3=12,
不等式f(x2+x)+f(1-2x)>9 f(x2+x)+f(1-2x)+3>12,则f(x2-x+1)>f(3),由(2)知,x2-x+1>3,即x2-x-2>0,解得x<-1或 x>2,所以原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).
14.已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),满足对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0,且f(2)=2,则不等式f(x)>x的解集为(　　)
[A](-2,0)∪(0,2)
[B](-∞,-2)∪(0,2)
[C](-2,0)∪(2,+∞)
[D](-∞,-2)∪(2,+∞)
【答案】 B
【解析】 构造函数g(x)=,其中x≠0,则g(-x)===g(x),所以函数g(x)为偶函数,
对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0,不妨设x1可得>,即g(x1)>g(x2),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,则该函数在(-∞,0)上单调递增,且g(2)==1,g(-2)=g(2)=1,当x>0时,由f(x)>x可得g(x)=>1=g(2),可得0当x<0时,由f(x)>x可得g(x)=<1=g(-2),可得x<-2.综上所述,不等式f(x)>x的解集为(-∞,-2)∪(0,2).故选B.(共16张PPT)
第2课时　奇偶性的应用
1.掌握用奇偶性求函数解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响,并能用以比较大小、求最值和解不等式.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一　根据函数的奇偶性求函数的解析式
[例1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+4,求f(x)的解析式.
·解题策略·
(1)已知函数在某区间上的解析式及函数的奇偶性,求其对称区间或整个定义域上的解析式的方法如下:①“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式就把x设在哪个区间上;②将已知区间上对应的解析式代入;③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而得出f(x)的解析式.
提醒:涉及奇函数在R上的解析式,不要忘记当x=0时,f(0)=0的特殊情况.
(2)已知函数f(x),g(x)的组合运算解析式与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解.
题型二　利用函数的奇偶性与单调性比较大小
[A]b[C]aD
·解题策略·
比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)若自变量不在同一个单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上,然后利用单调性比较大小.
[变式训练] 已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为(　　)
[A]f(1)>f(-10)
[B]f(1)[C]f(1)=f(-10)
[D]f(1),f(-10)的大小关系不定
D
【解析】 依题意,奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,但无法确定f(x)在R上的单调性,所以f(1)和f(-10)的大小关系不定.故选D.
[例3] 已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上单调递增,则f(x-1)≥
f(2x)的解集为(　　)
题型三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式
D
·解题策略·
利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系.
(2)由已知或利用奇偶性得出该区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的对应关系“f”,转化为解不等式(组)的问题.
提醒:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时,需转化为“f(x)”的形式,如已知f(1)=0,若f(x-1)<0,则f(x-1)[变式训练] 已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.若f(2)=0,则f(x)≥0的解集为(　　)
[A][-2,2]
[B](-∞,-2]∪[0,2]
[C][-2,0]∪[2,+∞)
[D](-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
B
【解析】 由题意,奇函数f(x)的定义域为R,则f(0)=0,f(-2)=0,且f(x)在[-1,0]上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,可作出f(x)的大致图象.由图象可知f(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,2].故选B.
感谢观看3.2.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
【课程标准要求】　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题.
知识归纳
知识点　函数的奇偶性
函数 偶函数 奇函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D
f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
结论 函数f(x)是 偶函数 函数f(x)是 奇函数
图象性质 关于y轴对称 关于原点对称
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.
(2)先判断定义域是否关于原点对称,对于 x∈D,都有-x∈D,即定义域关于原点对称,还需判断f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)≠±f(x),则函数为非奇非偶函数.
(3)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,反之也成立.
(4)若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0.
(5)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x) 既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集,但有无数个既奇又偶的函数.
基础自测
1.已知函数y=f(x),x∈[-1,a]是偶函数,则a等于 (　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]无法确定
【答案】 C
【解析】 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a=1.故选C.
2.(人教A版必修第一册P85练习T1改编)下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
3.函数f(x)=x3在R上为(　　)
[A]奇函数
[B]偶函数
[C]非奇非偶函数
[D]既是奇函数又是偶函数
【答案】 A
【解析】 因为当x∈R时,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) 恒成立,所以函数f(x)=x3是R上的奇函数.故选A.
4.已知函数f(x)=x3+x+a为奇函数,则a等于(　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=x3+x+a为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,所以a=0,经检验符合题意.故选B.
题型一　函数奇偶性的判断
[例1] (苏教版必修第一册P124例1)判定下列函数是否为偶函数或奇函数:
(1)f(x)=x2-1;
(2)f(x)=2x;
(3)f(x)=2|x|;
(4)f(x)=(x-1)2.
【解】 (1)函数f(x)=x2-1的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),
所以函数f(x)=x2-1是偶函数.
(2)函数f(x)=2x的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x),
所以函数f(x)=2x是奇函数.
(3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),
所以函数f(x)=2|x|是偶函数.
(4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.
因为f(1)=0,f(-1)=4,所以f(1)≠f(-1),f(1)≠-f(-1).
因此,根据函数奇偶性定义可以知道,函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数,也不是偶函数.
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法.
(2)图象法.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=x3-x,x∈[-3,3);
(3)f(x)=0,x∈[-1,1];
(4)f(x)=
【解】 (1)f(x)=+的定义域为D={x|x≠0}, x∈D,-x∈D,且f(-x)=+=+=f(x),所以f(x)为偶函数.
(2)f(x)的定义域为[-3,3),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
(3)因为f(x)=0的定义域为[-1,1],关于原点对称,又f(-x)=-f(x)=f(x)=0,所以函数f(x)=0,x∈[-1,1]既是奇函数又是偶函数.
(4)f(x)的定义域为D={x|x≠0}, x∈D,-x∈D,
当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);
当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).
综上,对 x∈D,都有f(-x)=-f(x).所以f(x) 为奇函数.
题型二　奇、偶函数的图象问题
[例2] 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象,如图所示.
(1)请补足完整函数y=f(x)的图象;
(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
【解】 (1)由题意作出函数图象如图所示:
(2)由图可知,f(x)的单调递增区间为(-1,1).
(3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}.
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
[变式训练] 如图,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.
【解】 由偶函数的图象关于y轴对称可作出它在y轴右侧的图象,如图,易知f(1)>f(3).
题型三　利用函数的奇偶性求值
[例3] 若f(x)=(a+1)x2+(a-1)x+2是闭区间[4-2b,b+1]上的偶函数,则a+b=　　　　.
【答案】 6
【解析】 因为f(x)是区间[4-2b,b+1]上的偶函数,则4-2b=-(b+1),解得b=5,由f(x)=
(a+1)x2+(a-1)x+2是偶函数,则f(-x)=f(x),即(a+1)(-x)2+(a-1)(-x)+2=(a+1)x2+(a-1)x+2,即2(a-1)x=0,则a=1,所以a+b=6.
[典例迁移1] 若f(x)=为奇函数,则a=　　　　.
【答案】 6
【解析】 f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(x)=为奇函数,
则f(-x)=,
由f(x)+f(-x)=0,+=0,所以4(6-a)x=0,
解得a=6.经检验,a=6满足题意.
[典例迁移2] 已知函数f(x)=ax3++2且f(17)=16,则f(-17)的值为　　　　.
【答案】 -12
【解析】 令g(x)=f(x)-2=ax3+,定义域为{x|x≠0}且关于原点对称,因为g(-x)=a(-x)3+=
-ax3-=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以g(17)+g(-17)=0,
即f(17)-2+f(-17)-2=0,代入f(17)=16,可得f(-17)=-12.
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求解.
(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-1,则f(-2)等于(　　)
[A]- [B]-
[C]-3 [D]3
【答案】 C
【解析】 由题意可知f(2)=22-1=3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-3.故选C.
2.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是 (　　)
[A]奇函数
[B]偶函数
[C]既是奇函数又是偶函数
[D]非奇非偶函数
【答案】 B
【解析】 因为F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),又(-a,a)关于原点对称,所以F(x)是偶函数.故选B.
3.已知函数f(x)=(x2-a)(x+b)为奇函数,则(　　)
[A]ab≠0 [B]a=0,b=0
[C]a=0,b∈R [D]a∈R,b=0
【答案】 D
【解析】 由题意可知,f(-x)=-f(x),即[(-x)2-a](-x+b)=-(x2-a)(x+b),得2b(x2-a)=0对于 x∈R恒成立,所以a∈R,b=0.故选D.
4.(多选)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(　　)
[A]f(x)=2x [B]f(x)=-
[C]f(x)=x3 [D]f(x)=
【答案】 ABC
【解析】 对于A,f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=-2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,且f(x)=2x在R上单调递增,故A正确;对于B,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,且f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故B正确;对于C,f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以f(x)为奇函数,且f(x)=x3在R上单调递增,故C正确;对于D,f(x)的定义域为{x|x≠1},
定义域不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数,故D错误.故选ABC.
5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,则下列说法正确的是(　　)
[A]f(x)g(x)是偶函数
[B]f(g(x))是奇函数
[C]f(x)-g(x)是奇函数
[D]g(f(x))是偶函数
【答案】 D
【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x);g(x)是定义在R上的偶函数,所以g(-x)=g(x),则f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)为奇函数,故A错误;f(g(-x))=f(g(x)),所以f(g(x))为偶函数,故B错误;f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x),则f(x)-g(x)为非奇非偶函数,故C错误;
g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),故g(f(x))为偶函数,故D正确.故选D.
6.已知定义在R上的函数f(x)+1为奇函数,且f(-1)=-2,则f(1)等于(　　)
[A]-2 [B]0
[C]1 [D]2
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)+1为奇函数,所以f(-x)+1=-[f(x)+1] f(-x)+f(x)=-2,
令x=1有f(-1)+f(1)=-2,又由f(-1)=-2,所以f(1)=0.故选B.
7.(5分)设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是　　　　.
【答案】 {x|-5≤x<-2或2【解析】 因为偶函数的图象关于y轴对称,所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集.
因为当x∈[0,5]时,f(x)<0的解集为{x|2所以f(x)<0的解集是{x|-5≤x<-2或28.(5分)设f(x)=-x3-(a-2)x2+x是定义在[-b,b2-b-3]上的奇函数,则f(b)=　　　　.
【答案】 -24
【解析】 因为f(x)=-x3-(a-2)x2+x是定义在[-b,b2-b-3]上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-(-x)3-(a-2)(-x)2-x=-[-x3-(a-2)x2+x],所以a-2=0,解得a=2,所以f(x)=-x3+x,又-b+b2-b-3=0,解得b=3或b=-1.当b=-1时,定义域为[1,-1],不符合题意,舍去;当b=3时,定义域为[-3,3],符合题意,
所以f(b)=f(3)=-24.
9.(14分)判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=(1-x);
(3)f(x)=-;
(4)f(x)=
【解】 (1)由得定义域为D=[-1,0)∪(0,1], x∈D,-x∈D,又f(-x)==-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)由≥0,得定义域为D=[-1,1),不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数.
(3)由得x=±,即该函数的图象由点(-,0),(,0)构成,
这两个点既关于原点对称,也关于y轴对称,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)f(x)的定义域为R, x∈R,-x∈R,
当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1,所以f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).
当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,所以f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x).
当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,所以f(-x)=0=f(x).
综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
10.(14分)已知f(x)是定义在[-3,3]上的偶函数.
(1)设g(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,将下面两个图补充完整;
(2)当-3【解】 (1)补充完整的两个图,如图所示.
(2)由图可知,f(x)在[-3,-1]上的图象为线段,设其对应的解析式为f(x)=ax+b(-3≤x≤-1),
则解得
所以f(x)=-3x-5(-3≤x≤-1).
当-3当-1≤m<0时,由图可知f(x)在[-3,m]上的最大值为f(-3)=4,最小值为f(-1)=-2,则f(x)在[-3,m]上的值域为[-2,4].
综上可知,当-311.若函数f(x)=为偶函数,则实数a的取值范围是(　　)
[A](-∞,-5]
[B](5,+∞)
[C][-5,5]
[D](-∞,-5]∪[5,+∞)
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=为偶函数,所以f(-x)=f(x),即得=,y=的定义域为[-5,5],则在[-5,5] 或其子集上,-x-|a+x|=x-|a-x|,即2x=|a-x|-|a+x|,所以必有
所以又-5≤x≤5,可得a≤-5.故选A.
12.(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,设函数g(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.
【答案】 2
【解析】 g(x)===1+,
设h(x)=g(x)-1=,
则h(-x)===-h(x),所以h(x)为奇函数.则h(x)max+h(x)min=0,即M-1+m-1=0,
所以M+m=2.
13.(15分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈(-1,1),都有f(y)-f(x)=f(),且当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)判断f()+f(-)的正负,并说明理由.
(1)【证明】 因为函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,令x=y=0,得f(0)-f(0)=f(0),即f(0)=0,
令y=0,可得f(0)-f(x)=f(-x),即-f(x)=f(-x),所以f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)【解】 f()+f(-)>0.理由如下:因为f(x)在(-1,1)上为奇函数,
所以f()+f(-)=f()-f()=f()=f()=-f(-),
当x∈(-1,0)时,f(x)<0,即f(-)<0,所以f()+f(-)=-f(-)>0.
14.(多选)已知f(x)是二次函数,且对于任意的实数x,y,函数f(x)满足函数方程f(x)+f(y)=f(x+y)+xy+2,如果f(1)=.下列选项正确的是(　　)
[A]f(0)=2
[B]y=f(x)+x在(0,+∞)上单调递增
[C]y=f(x)-x为偶函数
[D]y=f(x+1)为偶函数
【答案】 ACD
【解析】 对于A,由f(x)+f(y)=f(x+y)+xy+2,令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0)+0+2,解得f(0)=2,故A正确;
对于B,由f(x)+f(y)=f(x+y)+xy+2,令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)-x2+2,
即f(x)+f(-x)=4-x2,设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则ax2+bx+c+ax2-bx+c=4-x2,
即2ax2+2c=-x2+4,可得则所以f(x)=-x2+bx+2,由f(1)=-+b+2=,解得b=1,所以f(x)=-x2+x+2,函数y=f(x)+x=-x2+2x+2,则其图象的对称轴为直线x=2,
所以函数y=f(x)+x在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故B错误;
对于C,由B选项的分析可知y=f(x)-x=-x2+2,则其图象的对称轴为直线x=0,所以函数y=f(x)-x为偶函数,故C正确;
对于D,由B选项的分析可知y=f(x+1)=+(x+1)+2=-x2+,则其图象的对称轴为直线x=0,所以函数y=f(x+1)为偶函数,故D正确.故选ACD.第2课时　奇偶性的应用
【课程标准要求】　1.掌握用奇偶性求函数解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响,并能用以比较大小、求最值和解不等式.
题型一　根据函数的奇偶性求函数的解析式
[例1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+4,求f(x)的解析式.
x2+2x+4,所以f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+4)=-x2-2x-4.
所以f(x)=
(1)已知函数在某区间上的解析式及函数的奇偶性,求其对称区间或整个定义域上的解析式的方法如下:①“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式就把x设在哪个区间上;②将已知区间上对应的解析式代入;③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而得出f(x)的解析式.
提醒:涉及奇函数在R上的解析式,不要忘记当x=0时,f(0)=0的特殊情况.
(2)已知函数f(x),g(x)的组合运算解析式与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解.
[变式训练] 若函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且其定义域均为{x|x∈R,x≠±1}.若f(x)+g(x)=,求f(x),g(x)的解析式.

解得f(x)=(x≠±1),g(x)=(x≠±1).
题型二　利用函数的奇偶性与单调性比较大小
[例2] 若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则a=f(-),b=f(),c=f()的大小关系是 (　　)
[A]b[C]a且<<,所以f()比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)若自变量不在同一个单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上,然后利用单调性比较大小.
[变式训练] 已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为(　　)
[A]f(1)>f(-10)
[B]f(1)[C]f(1)=f(-10)
[D]f(1),f(-10)的大小关系不定
题型三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式
[例3] 已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上单调递增,则f(x-1)≥f(2x)的解集为(　　)
[A][-1,] [B][-1,]
[C][-1,1] [D][,1]∪{-1}
又因为f(x)在[2b,0]上单调递增,即f(x)在[-2,0]上单调递增,所以f(x)在[0,2]上单调递减,
又因为f(x-1)≥f(2x),
所以解得≤x≤1或x=-1.
所以不等式的解集为[,1]∪{-1}.故选D.
利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系.
(2)由已知或利用奇偶性得出该区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的对应关系“f”,转化为解不等式(组)的问题.
提醒:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时,需转化为“f(x)”的形式,如已知f(1)=0,若f(x-1)<0,则f(x-1)[变式训练] 已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.若f(2)=0,则f(x)≥0的解集为(　　)
[A][-2,2]
[B](-∞,-2]∪[0,2]
[C][-2,0]∪[2,+∞)
[D](-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.如果函数f(x)=是奇函数,那么g(x)等于(　　)
[A]-x(x+1) [B]x(x+1)
[C]x(x-1) [D]-x(x-1)
所以f(x)=-x(x+1),所以当x<0时,g(x)=-x(x+1).故选A.
2.如果奇函数f(x)在[2,5]上单调递减且最小值是4,那么f(x)在[-5,-2]上(　　)
[A]单调递减且最小值是-4
[B]单调递减且最大值是-4
[C]单调递增且最小值是-4
[D]单调递增且最大值是-4
3.已知f(x)是奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是(　　)
[A]f(-0.5)[B]f(-1)[C]f(0)[D]f(-1)递增,
所以f(-1)4.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则f(a2-2a+4)与f(-2)的大小关系为(　　)
[A]f(a2-2a+4)>f(-2)
[B]f(a2-2a+4)=f(-2)
[C]f(a2-2a+4)[D]不确定
5.(多选)已知函数f(x)为定义在[a,a+4]上的偶函数,当x∈[0,a+4]时,f(x)=-x,则(　　)
[A]a=-2
[B]当x∈[a,0]时,f(x)=+x
[C]f(x)在[a,0]上单调递增
[D]f(x)的值域为[-2,]
对于B项,当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],则f(x)=f(-x)=-(-x)=+x,故B错误;
对于C项,因为y=与y=x都在[-2,0]上单调递增,所以f(x)=+x在[-2,0]上单调递增,故C正确;
对于D项,因为f(x)=+x在[-2,0]上单调递增,且f(-2)=-2,f(0)=,所以当x∈[-2,0]时,f(x)∈[-2,],由偶函数的对称性可知,f(x)的值域为[-2,],故D正确.故选ACD.
6.已知函数f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x<0时,函数的部分图象如图所示,则不等式<0的解集是(　　)
[A](-3,-1)∪(1,3)
[B](-3,-1)∪(0,1)∪(3,+∞)
[C](-∞,-3)∪(-1,1)∪(3,+∞)
[D](-∞,-3)∪(-1,0)∪(0,1)∪(3,+∞)
7.(5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是　　　.
8.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,若函数f(x)-2x为偶函数,函数f(x)-x2为奇函数,则f(1)=　　　　.
h(x)+h(-x)=0,所以f(x)-2x-[f(-x)+2x]=0,f(x)-x2+[f(-x)-x2]=0,
所以解得f(x)=2x+x2,所以f(1)=3.
9.(14分)已知函数f(x)为[-1,1]上的偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2-ax,且f()=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若实数t满足不等式f(t-1)>f(-2t),求t的取值范围.
当0故有f(x)=
(2)由(1)知f(x)=可得f(x)在[-1,0]上单调递减,在(0,1]上单调递增.
又f(t-1)>f(-2t),
所以 解得0≤t<.
故t的取值范围是[0,).
10.(15分)已知函数f(x)=,x∈R.
(1)求不等式f(x)>的解集;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)已知|f(x)|即x2-4x+1<0,解得2-的解集为(2-,2+).
(2)f(x)为奇函数.理由如下:
因为函数f(x)=,x∈R,又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)=为奇函数,且f(0)=0,
当x>0时,f(x)=>0,且f(x)==≤=1,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,
所以当x>0时,f(x)∈(0,1],则当x<0时,f(x)∈[-1,0),所以f(x)∈[-1,1],因为|f(x)|显然a>0,所以-a1,即实数a的取值范围为(1,+∞).
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在[0,+∞)上单调递增,则下列结论错误的是(　　)
[A]f(f(-1))[B]f(-g(1))[C]g(f(-1))[D]g(g(-1))f(-1)=f(1)由条件可知,0=g(0)因为f(-1)=f(1)因为g(x)在R上单调递增,所以g(-1)12.已知函数f(x)在R上是减函数,且y=f(x-1)-2为奇函数.若实数t满足不等式f(t2-t)+
f(-t-5)>4,则的取值范围是(　　)
[A](-∞,) [B](,)
[C](,+∞) [D](-1,3)
13.(15分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+3,且当x>0时,f(x)>-3.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)+3为奇函数;
(2)求证:f(x)在R上是增函数;
(3)若f(1)=2,解关于x的不等式f(x2+x)+f(1-2x)>9.
x∈R,取y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)+3=-3,于是f(x)+3=-f(-x)-3=-[f(-x)+3],所以f(x)+3为奇
函数.
f(x2)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)+f(x2-x1)+3>f(x1),所以f(x)在R上是增函数.
不等式f(x2+x)+f(1-2x)>9 f(x2+x)+f(1-2x)+3>12,则f(x2-x+1)>f(3),由(2)知,x2-x+1>3,即x2-x-2>0,解得x<-1或 x>2,所以原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).
14.已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),满足对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0,且f(2)=2,则不等式f(x)>x的解集为(　　)
[A](-2,0)∪(0,2)
[B](-∞,-2)∪(0,2)
[C](-2,0)∪(2,+∞)
[D](-∞,-2)∪(2,+∞)
对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0,不妨设x1可得>,即g(x1)>g(x2),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,则该函数在(-∞,0)上单调递增,且g(2)==1,g(-2)=g(2)=1,当x>0时,由f(x)>x可得g(x)=>1=g(2),可得0当x<0时,由f(x)>x可得g(x)=<1=g(-2),可得x<-2.综上所述,不等式f(x)>x的解集为(-∞,-2)∪(0,2).故选B.(共31张PPT)
3.2.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　函数的奇偶性
知识归纳
函数 偶函数 奇函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D
结论 函数f(x)是 偶函数 函数f(x)是
奇函数
图象性质 关于 对称 关于 对称
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
y轴
原点
·疑难解惑·
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.
(2)先判断定义域是否关于原点对称,对于 x∈D,都有-x∈D,即定义域关于原点对称,还需判断f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)≠±f(x),则函数为非奇非偶函数.
(3)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,反之也成立.
(4)若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0.
(5)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x) 既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集,但有无数个既奇又偶的函数.
基础自测
1.已知函数y=f(x),x∈[-1,a]是偶函数,则a等于 (　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]无法确定
C
【解析】 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a=1.故选C.
2.(人教A版必修第一册P85练习T1改编)下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
[A] [B] [C] [D]
B
【解析】 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
3.函数f(x)=x3在R上为(　　)
[A]奇函数
[B]偶函数
[C]非奇非偶函数
[D]既是奇函数又是偶函数
A
【解析】 因为当x∈R时,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) 恒成立,所以函数f(x)=x3是R上的奇函数.故选A.
4.已知函数f(x)=x3+x+a为奇函数,则a等于(　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
B
【解析】 因为f(x)=x3+x+a为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,所以a=0,经检验符合题意.故选B.
关键能力·素养培优
题型一　函数奇偶性的判断
[例1] (苏教版必修第一册P124例1)判定下列函数是否为偶函数或奇函数:
(1)f(x)=x2-1;
【解】 (1)函数f(x)=x2-1的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),
所以函数f(x)=x2-1是偶函数.
(2)f(x)=2x;
【解】 (2)函数f(x)=2x的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x),
所以函数f(x)=2x是奇函数.
(3)f(x)=2|x|;
【解】 (3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),
所以函数f(x)=2|x|是偶函数.
(4)f(x)=(x-1)2.
【解】 (4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.
因为f(1)=0,f(-1)=4,所以f(1)≠f(-1),f(1)≠-f(-1).
因此,根据函数奇偶性定义可以知道,函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数,也不是偶函数.
·解题策略·
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法.
·解题策略·
(2)图象法.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(2)f(x)=x3-x,x∈[-3,3);
【解】 (2)f(x)的定义域为[-3,3),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
(3)f(x)=0,x∈[-1,1];
【解】 (3)因为f(x)=0的定义域为[-1,1],关于原点对称,又f(-x)=-f(x)=f(x)=0,所以函数f(x)=0,x∈[-1,1]既是奇函数又是偶函数.
【解】 (4)f(x)的定义域为D={x|x≠0}, x∈D,-x∈D,
当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);
当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).
综上,对 x∈D,都有f(-x)=-f(x).所以f(x) 为奇函数.
题型二　奇、偶函数的图象问题
[例2] 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象,如图所示.
(1)请补足完整函数y=f(x)的图象;
【解】 (1)由题意作出函数图象如图所示:
(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间;
【解】 (2)由图可知,f(x)的单调递增区间为(-1,1).
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
【解】 (3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}.
·解题策略·
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
[变式训练] 如图,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.
【解】 由偶函数的图象关于y轴对称可作出它在y轴右侧的图象,如图,易知f(1)>f(3).
[例3] 若f(x)=(a+1)x2+(a-1)x+2是闭区间[4-2b,b+1]上的偶函数,则a+b=
　　 　　.
题型三　利用函数的奇偶性求值
6
【解析】 因为f(x)是区间[4-2b,b+1]上的偶函数,则4-2b=-(b+1),解得b=5,
由f(x)=(a+1)x2+(a-1)x+2是偶函数,则f(-x)=f(x),
即(a+1)(-x)2+(a-1)(-x)+2=(a+1)x2+(a-1)x+2,即2(a-1)x=0,则a=1,
所以a+b=6.
6
-12
·解题策略·
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求解.
(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
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