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【课程标准要求】　1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.2.能将实际问题转化为熟悉的模型,建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
知识归纳
知识点　常见的几类函数模型
1.一次函数模型
形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,一次函数的图象为直线.
2.二次函数模型
(1)形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.
(2)二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型,依据实际问题建立二次函数模型,写出解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的单调性求最值,从而解决最大、最小值等问题.
3.常用的幂函数模型有两个:y=kxn,y=k(1+x)n(k,n是常数,k≠0),当n=1,2时,就是特殊的一次函数和二次函数模型.
4.分段函数模型
(1)分段函数模型.
分段函数是指函数解析式由几段组成的函数,根据自变量取值范围的不同,由题设确定出不同的函数关系式.
(2)分段函数模型的应用.
①分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式.
②要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象去求解.
基础自测
1.已知在一定范围内,某种产品的购买量y(单位:t)与单价x(单位:元)之间满足一次函数关系.如果购买1 000 t,则每吨800元;如果购买2 000 t,则每吨700元.若一客户购买400 t,则其价格为每吨(　　)
[A]820元 [B]840元
[C]860元 [D]880元
【答案】 C
【解析】 设y=kx+b(k≠0),则
解得则y=-10x+9 000,
由400=-10x+9 000,解得x=860.故选C.
2.某产品的总成本y(单元:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-
0.1x2(0[A]100台 [B]120台
[C]150台 [D]180台
【答案】 C
【解析】 依题意,利润g(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)≥0,整理得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150,
又x∈(0,240),所以最低产量是150台.故选C.
3.已知某种茶叶的茶水温度y(单位:℃)和泡茶时间t(单位:min)满足关系式y=
若喝茶的最佳口感水温大约是60 ℃,则需要等待的时间为(　　)
[A]1.5 min [B]2 min
[C]3 min [D]4 min
【答案】 D
【解析】 令60=-10t+100,解得t=4;令=60,解得t=2(舍去),所以需要等待的时间为4 min.故选D.
4.(人教A版必修第一册P96习题3.4 T1改编)已知某学校宿舍与办公室相距a m.某同学有材料要送交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中,这位同学行进的速度v(t)和行走的路程S(t)都是时间t的函数,则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的(　　)
[A]①② [B]③④
[C]①④ [D]②③
【答案】 A
【解析】 依题意,
行进的速度v(t)=
行走的路程S(t)=
由速度函数及路程函数的解析式可知,其图象分别为①②.故选A.
题型一　一次函数模型
[例1] 为了改善学校办公条件,某校计划购买A,B两种型号的笔记本电脑共15台,已知A型笔记本电脑每台5 200元,B型笔记本电脑每台6 400元,设购买A型笔记本电脑x台,购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元.
(1)求出y关于x的函数解析式.
(2)若因为经费有限,学校预算不超过9万元,且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,请问:学校共有几种购买方案 哪种方案费用最少 求出费用最少的方案所需的费用.
【解】 (1)由题知购买A型笔记本电脑x台,则购买B型笔记本电脑(15-x)台,
所以y=5 200x+6 400(15-x)=-1 200x+96 000.所以y关于x的函数解析式为y=-1 200x+
96 000,x∈N.
(2)因为学校预算不超过9万元,购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,
所以解得5≤x≤10,x∈N,故x可取5,6,7,8,9,10,
又函数y=-1 200x+96 000在定义域上单调递减,
所以当x=10时,y取得最小值,即ymin=84 000,此时15-x=5.
故学校共有6种购买方案,当购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少,该方案所需费用为84 000元.
一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)当一次项系数为正时,一次函数在其定义域上为增函数;当一次项系数为负时,一次函数在其定义域上为减函数.
(3)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是设元、列式、求解.
[变式训练] 某通讯公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的A,B两种卡在某市范围内每月(按30天计)的通话时间x(单位:min)与通话费用y(单位:元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
【解】 (1)由题图可设y1=k1x+30(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1=k1x+30(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),得k1=,k2=.
所以y1=x+30(x≥0),y2=x(x≥0).
(2)令y1=y2,即x+30=x,则x=90.
所以当一个月内通话时间为90 min时,y1=y2,两种卡收费一致;
当一个月内通话时间少于90 min时,y1>y2,使用B卡便宜;
当一个月内通话时间多于90 min时,y1题型二　二次函数模型
[例2] 某超市销售一种水果,进价为每箱40元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱
72元,每月可销售60箱.经市场调查发现:若这种水果的售价每箱降低2元,则平均每月的销量将增加10箱.设每箱水果降价x元(x为偶数),平均每月的销量为y箱.
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元,则如何定价才能使每月销售这种水果的利润最大 最大利润是多少元
【解】 (1)因为每箱价格降低2元,平均每月多销售10箱,所以每箱降价x元(x为偶数),平均每月多销售5x箱,
根据题意知y=5x+60(0≤x≤32,且x为偶数).
(2)设每月销售这种水果的利润为w,则w=(72-x-40)(5x+60)-500=-5x2+100x+1 420=
-5(x-10)2+1 920,
当x=10时,w取得最大值,最大值为1 920.
故当售价为62元时,每月销售这种水果的利润最大,最大利润是1 920元.
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法:根据实际问题建立函数模型,写出解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[变式训练] 据市场分析,某海鲜加工公司当月某产品的产量在10 t至25 t时,月总成本y(单位:万元)可以看作月产量x(单位:t)的二次函数.当月产量为10 t时,月总成本为20万元;当月产量为15 t时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y关于月产量x的函数关系式.
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润
【解】 (1)设y=a(x-15)2+17.5(a≠0),将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5,解得a=0.1.
所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25).
(2)设最大利润为Q(x),则Q(x)=1.6x-y=1.6x-[0.1(x-15)2+17.5]=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).
所以当月产量为23 t时,可获最大利润12.9万元.
题型三　幂函数模型
[例3] 某种品牌的饼干,其100 g装的售价为1.6元,其400 g装的售价为4.8元,假定该商品的售价由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为m,包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n,利润率为20%,试写出该种饼干900 g装的合理售价.
【解】 设饼干的质量为x g,
则其售价y(单位:元)与x之间的函数解析式为y=(mx+n)·(1+0.2).
由题意得1.6=(100m+n)(1+0.2),即50m+5n=,①
4.8=(400m+n)(1+0.2),即100m+5n=1.②
由①②解得m=,n=.所以y=+.当x=900时,y=9.6.
故这种饼干900 g装的售价为9.6元.
(1)注意数学、物理中有一些基本的公式也是幂函数模型.例如,圆的面积公式S=πr2,正方体的体积公式V=a3等.
(2)含有二次根式的可以利用换元转化为二次函数模型.
[变式训练] 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量R(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.
(1)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s,求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量R的函数解析式;
(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量.(精确到1 cm3/s)
【解】 (1)由题意,设R=kr4(k是大于0的常数),r>0.
由r=3,R=400,得k·34=400,所以k=.
所以函数解析式为R=r4,r∈(0,+∞).
(2)因为R=r4,所以当r=5时,R=×54≈3 086.
故当通过半径为5 cm的管道时,该气体的流量为3 086 cm3/s.
题型四　分段函数模型
[例4] 某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买x台机器人的总成本为P(x)万元,且P(x)=(x∈N).
(1)若要使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台机器人
(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排n人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣,经实验知,每台机器人的日平均分拣量为q(n)=(单位:件,n∈N*),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 000件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少
【解】 (1)由题意,每台机器人的平均成本y==(x∈N).
当1≤x≤100时,y=x2-x+28,函数图象为开口向上的抛物线,且对称轴为直线x=50,则当x=50时,ymin=3;
当x>100时,y=x+1+≥2+1=2,当且仅当x=,即x=150时,等号成立.
由3>2,可得要使每台机器人的平均成本最低,则应买150台机器人.
(2)当1≤n≤25时,q(n)=n(50-n),取n==25,得q(n)max=×25×(50-25)=1 000.
当n>25时,q(n)=1 000,
则q(n)的最大值为1 000,此时n≥25,n∈N*,即引进机器人后,日平均分拣量的最大值为150×1 000=150 000(件),由题意,若是传统人工分拣则需=150(人),又150-25=125(人),故引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少125人.
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域或最值求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.
[变式训练] 某企业拥有一台大功率的耗电设备,每天至少运行1 h,但不超过20 h.假设该设备每天运行时间为x(单位:h),且每小时的平均耗电量C(x)(单位:kW·h)与每天的运行时间满足如下函数关系:
C(x)=
(1)当1≤x≤10时,若该设备每小时的平均耗电量不超过2 kW·h,求x的取值范围;
(2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间.
【解】 (1)当1≤x≤10时,C(x)=-+10,由题意得,C(x)≤2 -+10≤2,
即x2-14x+45≤0 (x-5)(x-9)≤0,解得5≤x≤9,又1≤x≤10,所以x的取值范围为[5,9].
(2)设该设备一天的耗电总量为W(x),
则W(x)=x·C(x)=
①当1≤x≤10时,W(x)=+10x-112≥2·-112=8,当且仅当=10x,即x=6时,等号成立;
②当10因为W(6)课时作业
(满分:80分)
单选每小题5分.
1.A,B两车分别从甲、乙两市同时出发,A从甲市驶向乙市,B从乙市驶向甲市,两车同时出发并匀速行驶,两车之间的距离y(单位:km)与行驶时间x(单位:h)的关系如图,已知A的速度大于B的速度,则下列说法错误的是(　　)
[A]甲市与乙市之间的距离为d km
[B]两车在出发后a h相遇
[C]点M表示B在出发后b h时到达了甲市
[D]点N表示在出发后c h时两车都到达了目的地
【答案】 C
【解析】 由题图知,两车开始出发时的距离就是两市之间的距离,A正确;当x=a时,y=0,所以两车在出发后a h相遇,B正确;由于A的速度大于B的速度,所以A比B先到达目的地,所以在点M处即A在出发后b h时到达了乙市,之后在点N处即B在出发后c h时到达了甲市,C错误,D正确.故选C.
2.已知某种烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系式为h=-3.6t2+28.8t,则烟花冲出后在达到最高点爆裂的时刻是(　　)
[A]第4 s [B]第5 s
[C]第3.5 s [D]第3 s
【答案】 A
【解析】 由题意,h=-3.6t2+28.8t=-3.6(t2-8t+16)+57.6=-3.6(t-4)2+57.6,则当t=4时,烟花冲出后达到最高点,爆裂的时刻是第4 s.故选A.
3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,
计算公式为y=
其中x代表拟录用人数,y代表面试人数.若面试人数为60,则该公司拟录用人数为(　　)
[A]15 [B]25
[C]40 [D]130
【答案】 B
【解析】 由题得,y=(x∈N),令y=60,若4x=60,则x=15>10,不满足题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不满足题意.故该公司拟录用25人.故选B.
4.某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα,其中k和α为正常数,该类动物的某一个体在生长发育过程中,其体重增长到初始状态的16倍时,其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍,则α为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 设初始状态为(x1,y1),则x2=16x1,y2=8y1,又y1=k,y2=k,即8y1=k(16x1)α=k·16α,则=,所以16α=8,即24α=23,解得α=.故选D.
5.把长为6 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)
[A] cm2 [B]4 cm2
[C]3 cm2 [D] cm2
【答案】 D
【解析】 设其中一个正三角形的边长为x,面积之和为y,则另一个正三角形的边长为2-x,06.在一次为期15天的大型运动会期间,每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛,每辆大巴车可乘坐40人,已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是M(t)=(t∈Z),为了保证运动会期间运动员都能按时参赛,主办方应至少准备大巴车的数量是(　　)
[A]7辆 [B]8辆
[C]9辆 [D]10辆
【答案】 D
【解析】 当1≤t≤6时,函数M(t)为一次函数,且M(t)单调递增,在t=6时取得最大值,此时应准备大巴车=6(辆);
当7≤t≤15时,函数M(t)为图象开口向下的二次函数,对称轴方程为t=,由于t∈Z,故在t=10时取得最大值,此时应准备大巴车=9.95≈10(辆).
综上,应至少准备大巴车的数量是10辆.故选D.
7.(5分)某物流公司在甲、乙两仓库分别有某机器12台和6台,现决定销售给A市10台、B市8台.已知甲仓库调运一台机器到A市、B市的运费分别为400元和800元;乙仓库调运一台机器到A市、B市的运费分别为300元和500元.设从甲仓库调运x(x∈Z)台机器到A市,则总运费y(单位:元)关于x(单位:台)的函数关系式是 　　　　　　　　.
【答案】 y=-200x+10 600(4≤x≤10,x∈Z)
【解析】 设从甲仓库调运x台到A市,则从甲仓库调运(12-x)台到B市,从乙仓库调运(10-x)台到A市,从乙仓库调运6-(10-x)=(x-4)台到B市.
根据题意,y=400x+800(12-x)+300(10-x)+500(x-4)=-200x+10 600,其中且x∈Z,解得4≤x≤10,x∈Z,所以y=-200x+10 600(4≤x≤10,x∈Z).
8.(5分)函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置,生产x(x∈N*)台的收入函数R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数C(x)=500x+
4 000(单位:元),利润是收入与成本之差,设利润函数为P(x),则以下说法正确的有　　　　.
(填序号)
①P(x)取得最大值时每月产量为63台;②边际利润函数的表达式为MP(x)=2 480-40x(x∈N*);③利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值;④边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润差额在减少.
【答案】 ②③④
【解析】 对于①,P(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2 500x-4 000,因为二次函数P(x)的图象开口向下,对称轴方程为x==62.5,且x∈N*,所以P(x)取得最大值时每月产量为63台或62台,①错误;
对于②,MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000]-(-20x2+2 500x-4 000)=2 480-
40x(x∈N*),②正确;
对于③,P(x)max=P(62)=P(63)=74 120,因为函数MP(x)=2 480-40x为减函数,
则[MP(x)]max=MP(1)=2 440,③正确;
对于④,因为函数MP(x)=2 480-40x为减函数,说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润差额在减少,④正确.
9.(13分)某地因地制宜发展生态农业,打造特色水果示范区.已知该地区某种水果树的单株年产量φ(x)(单位:kg)与单株施肥量x(单位:kg)之间的函数关系为φ(x)=
且单株投入的年平均成本为10x元,若这种水果的销售价格为10元/kg,且水果销路畅通.记该种水果树的单株年利润为f(x)(单位:元).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求单株施肥量为多少时,该种水果树的单株年利润最大 最大利润是多少
【解】 (1)当x∈[0,3]时,f(x)=10(x2+36)-10x=10x2-10x+360;
当x∈(3,6]时,f(x)=10(45-)-10x=450--10x.
所以f(x)=
(2)当x∈[0,3]时,f(x)=10x2-10x+360,其图象开口向上,且对称轴方程为x=,又|0-|<|3-|,所以f(x)max=f(3)=420;
当x∈(3,6]时,f(x)=450--10x≤450-2=350,当且仅当=10x,即x=5时等号成立,所以f(x)max=f(5)=350.
显然350<420,所以单株施肥量为3 kg时,单株年利润最大,最大利润为420元.
10.(5分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC.已知AB+BC+CD为定值l,腰CD与直线BC的夹角为60°,设等腰梯形的面积为S,高为h,则S关于h的函数解析式为　　　　　　　　.
【答案】 S=h(l-h),0【解析】 如图,过点C作AD的垂线,交AD于点E,则∠EDC=60°,
在△CDE中,ED=CD,CE=h=CD,则CD=AB=h,而AB+BC+CD=l,
于是BC=l-h,AD=BC+2ED=l-h,由得0所以S==h(l-h),011.(5分)某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,在40 min 的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:min)之间的关系满足如图所示的图象,
当x∈[0,12]时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点A(10,80),图象过点B(12,78);
当x∈[12,40]时,图象是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳,则教师安排核心内容的时间段为　　 　　.
(写成区间形式)
【答案】 (4,28)
【解析】 当x∈[0,12]时,设f1(x)=a(x-10)2+80,将(12,78)代入,得78=a(12-10)2+80,解得a=-,则f1(x)=-·(x-10)2+80,由f1(x)=-(x-10)2+80>62,解得462,解得x<28,即12综上所述,教师在(4,28)这个时间段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳.
12.(17分)某公司生产的某种商品每件成本为22元,经过市场调研发现,这种商品在未来
40天内的部分日销售量m(单位:件)与时间x(单位:天)的关系如表:
时间x/天 1 3 6 10 36
日销售量m/件 94 90 84 76 24
已知在未来40天内,前20天每天的价格y1=x+25(1≤x≤20,且x∈Z),后20天每天的价格y2=-x+40(20(1)请利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识,写出日销售量m与时间x之间的关系式.
(2)请预测在未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少
(3)在实际销售的前20天中,该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(0【解】 (1)通过题目所给的表格可知m与x的变化规律符合一次函数的单调性,故设m=kx+b(k≠0),将(1,94)和(3,90)代入,解得k=-2,b=96,所以m=-2x+96,将(6,84)代入检验,m=-2×6+96=84,符合题意.
所以日销售量m与时间x之间的关系式为m=-2x+96.
(2)设日销售利润为W元,
①当1≤x≤20时,W=(-2x+96)(x+25-22)=-(x-18)2+450,所以当 x=18时,Wmax=450;
②当20因为405<450,所以在未来40天中,第18天的日销售利润最大,最大日销售利润为450元.
(3)由题意知,在前20天中,即当1≤x≤20时,W=(-2x+96)(x+25-22-a)=+
2a2-60a+450,函数图象开口向下,对称轴是直线x=2(a+9),要使日销售利润随时间x的增大而增大,则2(a+9)>19.5,所以a>0.75,又0即a的取值范围为(0.75,4.5].(共40张PPT)
3.4　函数的应用(一)
【课程标准要求】
1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.2.能将实际问题转化为熟悉的模型,建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
必备知识·归纳落实
知识点　常见的几类函数模型
1.一次函数模型
形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,一次函数的图象为直线.
2.二次函数模型
(2)二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型,依据实际问题建立二次函数模型,写出解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的单调性求最值,从而解决最大、最小值等问题.
知识归纳
3.常用的幂函数模型有两个:y=kxn,y=k(1+x)n(k,n是常数,k≠0),当n=1,2时,就是特殊的一次函数和二次函数模型.
4.分段函数模型
(1)分段函数模型.
分段函数是指函数解析式由几段组成的函数,根据自变量取值范围的不同,由题设确定出不同的函数关系式.
(2)分段函数模型的应用.
①分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式.
②要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象去求解.
基础自测
1.已知在一定范围内,某种产品的购买量y(单位:t)与单价x(单位:元)之间满足一次函数关系.如果购买1 000 t,则每吨800元;如果购买2 000 t,则每吨700元.若一客户购买400 t,则其价格为每吨(　　)
[A]820元 [B]840元
[C]860元 [D]880元
C
2.某产品的总成本y(单元:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=
3 000+20x-0.1x2(0[A]100台 [B]120台
[C]150台 [D]180台
C
【解析】 依题意,利润g(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)≥0,
整理得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150,
又x∈(0,240),所以最低产量是150台.故选C.
[A]1.5 min [B]2 min
[C]3 min [D]4 min
D
4.(人教A版必修第一册P96习题3.4 T1改编)已知某学校宿舍与办公室相距a m.某同学有材料要送交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中,这位同学行进的速度v(t)和行走的路程S(t)都是时间t的函数,则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的(　　)
[A]①② [B]③④
[C]①④ [D]②③
A
关键能力·素养培优
题型一　一次函数模型
[例1] 为了改善学校办公条件,某校计划购买A,B两种型号的笔记本电脑共15台,已知A型笔记本电脑每台5 200元,B型笔记本电脑每台6 400元,设购买A型笔记本电脑x台,购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元.
(1)求出y关于x的函数解析式.
【解】 (1)由题知购买A型笔记本电脑x台,则购买B型笔记本电脑(15-x)台,
所以y=5 200x+6 400(15-x)=-1 200x+96 000.所以y关于x的函数解析式为y=-1 200x+96 000,x∈N.
(2)若因为经费有限,学校预算不超过9万元,且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,请问:学校共有几种购买方案 哪种方案费用最少 求出费用最少的方案所需的费用.
【解】 (2)因为学校预算不超过9万元,购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,
又函数y=-1 200x+96 000在定义域上单调递减,
所以当x=10时,y取得最小值,即ymin=84 000,此时15-x=5.
故学校共有6种购买方案,当购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少,该方案所需费用为84 000元.
·解题策略·
一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)当一次项系数为正时,一次函数在其定义域上为增函数;当一次项系数为负时,一次函数在其定义域上为减函数.
(3)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是设元、列式、求解.
[变式训练] 某通讯公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的A,B两种卡在某市范围内每月(按30天计)的通话时间x(单位:min)与通话费用y(单位:元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
题型二　二次函数模型
[例2] 某超市销售一种水果,进价为每箱40元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱72元,每月可销售60箱.经市场调查发现:若这种水果的售价每箱降低2元,则平均每月的销量将增加10箱.设每箱水果降价x元(x为偶数),平均每月的销量为y箱.
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.
【解】 (1)因为每箱价格降低2元,平均每月多销售10箱,所以每箱降价x元(x为偶数),平均每月多销售5x箱,
根据题意知y=5x+60(0≤x≤32,且x为偶数).
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元,则如何定价才能使每月销售这种水果的利润最大 最大利润是多少元
【解】 (2)设每月销售这种水果的利润为w,
则w=(72-x-40)(5x+60)-500=-5x2+100x+1 420=-5(x-10)2+1 920,
当x=10时,w取得最大值,最大值为1 920.
故当售价为62元时,每月销售这种水果的利润最大,最大利润是1 920元.
·解题策略·
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法:根据实际问题建立函数模型,写出解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[变式训练] 据市场分析,某海鲜加工公司当月某产品的产量在10 t至25 t时,月总成本y(单位:万元)可以看作月产量x(单位:t)的二次函数.当月产量为10 t时,月总成本为20万元;当月产量为15 t时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y关于月产量x的函数关系式.
【解】 (1)设y=a(x-15)2+17.5(a≠0),将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5,解得a=0.1.
所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25).
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润
【解】 (2)设最大利润为Q(x),
则Q(x)=1.6x-y=1.6x-[0.1(x-15)2+17.5]=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).
所以当月产量为23 t时,可获最大利润12.9万元.
[例3] 某种品牌的饼干,其100 g装的售价为1.6元,其400 g装的售价为4.8元,假定该商品的售价由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为m,包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n,利润率为20%,试写出该种饼干900 g装的合理售价.
题型三　幂函数模型
·解题策略·
(1)注意数学、物理中有一些基本的公式也是幂函数模型.例如,圆的面积公式S=πr2,正方体的体积公式V=a3等.
(2)含有二次根式的可以利用换元转化为二次函数模型.
[变式训练] 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量R(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.
(1)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s,求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量R的函数解析式;
(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量.(精确到
1 cm3/s)
题型四　分段函数模型
(1)若要使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台机器人
·解题策略·
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域或最值求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.
(1)当1≤x≤10时,若该设备每小时的平均耗电量不超过2 kW·h,求x的取值范围;
(2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间.
②当10因为W(6)感谢观看【课程标准要求】　1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.2.能将实际问题转化为熟悉的模型,建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
知识归纳
知识点　常见的几类函数模型
1.一次函数模型
形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,一次函数的图象为直线.
2.二次函数模型
(1)形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.
(2)二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型,依据实际问题建立二次函数模型,写出解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的单调性求最值,从而解决最大、最小值等问题.
3.常用的幂函数模型有两个:y=kxn,y=k(1+x)n(k,n是常数,k≠0),当n=1,2时,就是特殊的一次函数和二次函数模型.
4.分段函数模型
(1)分段函数模型.
分段函数是指函数解析式由几段组成的函数,根据自变量取值范围的不同,由题设确定出不同的函数关系式.
(2)分段函数模型的应用.
①分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式.
②要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象去求解.
基础自测
1.已知在一定范围内,某种产品的购买量y(单位:t)与单价x(单位:元)之间满足一次函数关系.如果购买1 000 t,则每吨800元;如果购买2 000 t,则每吨700元.若一客户购买400 t,则其价格为每吨(　　)
[A]820元 [B]840元
[C]860元 [D]880元
解得则y=-10x+9 000,
由400=-10x+9 000,解得x=860.故选C.
2.某产品的总成本y(单元:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-
0.1x2(0[A]100台 [B]120台
[C]150台 [D]180台
又x∈(0,240),所以最低产量是150台.故选C.
3.已知某种茶叶的茶水温度y(单位:℃)和泡茶时间t(单位:min)满足关系式y=
若喝茶的最佳口感水温大约是60 ℃,则需要等待的时间为(　　)
[A]1.5 min [B]2 min
[C]3 min [D]4 min
4.(人教A版必修第一册P96习题3.4 T1改编)已知某学校宿舍与办公室相距a m.某同学有材料要送交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中,这位同学行进的速度v(t)和行走的路程S(t)都是时间t的函数,则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的(　　)
[A]①② [B]③④
[C]①④ [D]②③
行进的速度v(t)=
行走的路程S(t)=
由速度函数及路程函数的解析式可知,其图象分别为①②.故选A.
题型一　一次函数模型
[例1] 为了改善学校办公条件,某校计划购买A,B两种型号的笔记本电脑共15台,已知A型笔记本电脑每台5 200元,B型笔记本电脑每台6 400元,设购买A型笔记本电脑x台,购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元.
(1)求出y关于x的函数解析式.
(2)若因为经费有限,学校预算不超过9万元,且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,请问:学校共有几种购买方案 哪种方案费用最少 求出费用最少的方案所需的费用.
所以y=5 200x+6 400(15-x)=-1 200x+96 000.所以y关于x的函数解析式为y=-1 200x+
96 000,x∈N.
(2)因为学校预算不超过9万元,购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,
所以解得5≤x≤10,x∈N,故x可取5,6,7,8,9,10,
又函数y=-1 200x+96 000在定义域上单调递减,
所以当x=10时,y取得最小值,即ymin=84 000,此时15-x=5.
故学校共有6种购买方案,当购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少,该方案所需费用为84 000元.
一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)当一次项系数为正时,一次函数在其定义域上为增函数;当一次项系数为负时,一次函数在其定义域上为减函数.
(3)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是设元、列式、求解.
[变式训练] 某通讯公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的A,B两种卡在某市范围内每月(按30天计)的通话时间x(单位:min)与通话费用y(单位:元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
所以y1=x+30(x≥0),y2=x(x≥0).
(2)令y1=y2,即x+30=x,则x=90.
所以当一个月内通话时间为90 min时,y1=y2,两种卡收费一致;
当一个月内通话时间少于90 min时,y1>y2,使用B卡便宜;
当一个月内通话时间多于90 min时,y1题型二　二次函数模型
[例2] 某超市销售一种水果,进价为每箱40元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱
72元,每月可销售60箱.经市场调查发现:若这种水果的售价每箱降低2元,则平均每月的销量将增加10箱.设每箱水果降价x元(x为偶数),平均每月的销量为y箱.
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元,则如何定价才能使每月销售这种水果的利润最大 最大利润是多少元
根据题意知y=5x+60(0≤x≤32,且x为偶数).
(2)设每月销售这种水果的利润为w,则w=(72-x-40)(5x+60)-500=-5x2+100x+1 420=
-5(x-10)2+1 920,
当x=10时,w取得最大值,最大值为1 920.
故当售价为62元时,每月销售这种水果的利润最大,最大利润是1 920元.
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法:根据实际问题建立函数模型,写出解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[变式训练] 据市场分析,某海鲜加工公司当月某产品的产量在10 t至25 t时,月总成本y(单位:万元)可以看作月产量x(单位:t)的二次函数.当月产量为10 t时,月总成本为20万元;当月产量为15 t时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y关于月产量x的函数关系式.
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润
所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25).
(2)设最大利润为Q(x),则Q(x)=1.6x-y=1.6x-[0.1(x-15)2+17.5]=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).
所以当月产量为23 t时,可获最大利润12.9万元.
题型三　幂函数模型
[例3] 某种品牌的饼干,其100 g装的售价为1.6元,其400 g装的售价为4.8元,假定该商品的售价由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为m,包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n,利润率为20%,试写出该种饼干900 g装的合理售价.
则其售价y(单位:元)与x之间的函数解析式为y=(mx+n)·(1+0.2).
由题意得1.6=(100m+n)(1+0.2),即50m+5n=,①
4.8=(400m+n)(1+0.2),即100m+5n=1.②
由①②解得m=,n=.所以y=+.当x=900时,y=9.6.
故这种饼干900 g装的售价为9.6元.
(1)注意数学、物理中有一些基本的公式也是幂函数模型.例如,圆的面积公式S=πr2,正方体的体积公式V=a3等.
(2)含有二次根式的可以利用换元转化为二次函数模型.
[变式训练] 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量R(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.
(1)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s,求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量R的函数解析式;
(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量.(精确到1 cm3/s)
由r=3,R=400,得k·34=400,所以k=.
所以函数解析式为R=r4,r∈(0,+∞).
(2)因为R=r4,所以当r=5时,R=×54≈3 086.
故当通过半径为5 cm的管道时,该气体的流量为3 086 cm3/s.
题型四　分段函数模型
[例4] 某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买x台机器人的总成本为P(x)万元,且P(x)=(x∈N).
(1)若要使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台机器人
(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排n人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣,经实验知,每台机器人的日平均分拣量为q(n)=(单位:件,n∈N*),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 000件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少
当1≤x≤100时,y=x2-x+28,函数图象为开口向上的抛物线,且对称轴为直线x=50,则当x=50时,ymin=3;
当x>100时,y=x+1+≥2+1=2,当且仅当x=,即x=150时,等号成立.
由3>2,可得要使每台机器人的平均成本最低,则应买150台机器人.
(2)当1≤n≤25时,q(n)=n(50-n),取n==25,得q(n)max=×25×(50-25)=1 000.
当n>25时,q(n)=1 000,
则q(n)的最大值为1 000,此时n≥25,n∈N*,即引进机器人后,日平均分拣量的最大值为150×1 000=150 000(件),由题意,若是传统人工分拣则需=150(人),又150-25=125(人),故引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少125人.
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域或最值求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.
[变式训练] 某企业拥有一台大功率的耗电设备,每天至少运行1 h,但不超过20 h.假设该设备每天运行时间为x(单位:h),且每小时的平均耗电量C(x)(单位:kW·h)与每天的运行时间满足如下函数关系:
C(x)=
(1)当1≤x≤10时,若该设备每小时的平均耗电量不超过2 kW·h,求x的取值范围;
(2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间.
即x2-14x+45≤0 (x-5)(x-9)≤0,解得5≤x≤9,又1≤x≤10,所以x的取值范围为[5,9].
(2)设该设备一天的耗电总量为W(x),
则W(x)=x·C(x)=
①当1≤x≤10时,W(x)=+10x-112≥2·-112=8,当且仅当=10x,即x=6时,等号成立;
②当10因为W(6)课时作业
(满分:80分)
单选每小题5分.
1.A,B两车分别从甲、乙两市同时出发,A从甲市驶向乙市,B从乙市驶向甲市,两车同时出发并匀速行驶,两车之间的距离y(单位:km)与行驶时间x(单位:h)的关系如图,已知A的速度大于B的速度,则下列说法错误的是(　　)
[A]甲市与乙市之间的距离为d km
[B]两车在出发后a h相遇
[C]点M表示B在出发后b h时到达了甲市
[D]点N表示在出发后c h时两车都到达了目的地
2.已知某种烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系式为h=-3.6t2+28.8t,则烟花冲出后在达到最高点爆裂的时刻是(　　)
[A]第4 s [B]第5 s
[C]第3.5 s [D]第3 s
3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,
计算公式为y=
其中x代表拟录用人数,y代表面试人数.若面试人数为60,则该公司拟录用人数为(　　)
[A]15 [B]25
[C]40 [D]130
4.某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα,其中k和α为正常数,该类动物的某一个体在生长发育过程中,其体重增长到初始状态的16倍时,其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍,则α为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
5.把长为6 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)
[A] cm2 [B]4 cm2
[C]3 cm2 [D] cm2
6.在一次为期15天的大型运动会期间,每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛,每辆大巴车可乘坐40人,已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是M(t)=(t∈Z),为了保证运动会期间运动员都能按时参赛,主办方应至少准备大巴车的数量是(　　)
[A]7辆 [B]8辆
[C]9辆 [D]10辆
当7≤t≤15时,函数M(t)为图象开口向下的二次函数,对称轴方程为t=,由于t∈Z,故在t=10时取得最大值,此时应准备大巴车=9.95≈10(辆).
综上,应至少准备大巴车的数量是10辆.故选D.
7.(5分)某物流公司在甲、乙两仓库分别有某机器12台和6台,现决定销售给A市10台、B市8台.已知甲仓库调运一台机器到A市、B市的运费分别为400元和800元;乙仓库调运一台机器到A市、B市的运费分别为300元和500元.设从甲仓库调运x(x∈Z)台机器到A市,则总运费y(单位:元)关于x(单位:台)的函数关系式是 　　　　　　　　.
根据题意,y=400x+800(12-x)+300(10-x)+500(x-4)=-200x+10 600,其中且x∈Z,解得4≤x≤10,x∈Z,所以y=-200x+10 600(4≤x≤10,x∈Z).
8.(5分)函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置,生产x(x∈N*)台的收入函数R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数C(x)=500x+
4 000(单位:元),利润是收入与成本之差,设利润函数为P(x),则以下说法正确的有　　　　.
(填序号)
①P(x)取得最大值时每月产量为63台;②边际利润函数的表达式为MP(x)=2 480-40x(x∈N*);③利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值;④边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润差额在减少.
对于②,MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000]-(-20x2+2 500x-4 000)=2 480-
40x(x∈N*),②正确;
对于③,P(x)max=P(62)=P(63)=74 120,因为函数MP(x)=2 480-40x为减函数,
则[MP(x)]max=MP(1)=2 440,③正确;
对于④,因为函数MP(x)=2 480-40x为减函数,说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润差额在减少,④正确.
9.(13分)某地因地制宜发展生态农业,打造特色水果示范区.已知该地区某种水果树的单株年产量φ(x)(单位:kg)与单株施肥量x(单位:kg)之间的函数关系为φ(x)=
且单株投入的年平均成本为10x元,若这种水果的销售价格为10元/kg,且水果销路畅通.记该种水果树的单株年利润为f(x)(单位:元).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求单株施肥量为多少时,该种水果树的单株年利润最大 最大利润是多少
当x∈(3,6]时,f(x)=10(45-)-10x=450--10x.
所以f(x)=
(2)当x∈[0,3]时,f(x)=10x2-10x+360,其图象开口向上,且对称轴方程为x=,又|0-|<|3-|,所以f(x)max=f(3)=420;
当x∈(3,6]时,f(x)=450--10x≤450-2=350,当且仅当=10x,即x=5时等号成立,所以f(x)max=f(5)=350.
显然350<420,所以单株施肥量为3 kg时,单株年利润最大,最大利润为420元.
10.(5分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC.已知AB+BC+CD为定值l,腰CD与直线BC的夹角为60°,设等腰梯形的面积为S,高为h,则S关于h的函数解析式为　　　　　　　　.
在△CDE中,ED=CD,CE=h=CD,则CD=AB=h,而AB+BC+CD=l,
于是BC=l-h,AD=BC+2ED=l-h,由得0所以S==h(l-h),011.(5分)某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,在40 min 的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:min)之间的关系满足如图所示的图象,
当x∈[0,12]时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点A(10,80),图象过点B(12,78);
当x∈[12,40]时,图象是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳,则教师安排核心内容的时间段为　　 　　.
(写成区间形式)
综上所述,教师在(4,28)这个时间段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳.
12.(17分)某公司生产的某种商品每件成本为22元,经过市场调研发现,这种商品在未来
40天内的部分日销售量m(单位:件)与时间x(单位:天)的关系如表:
时间x/天 1 3 6 10 36
日销售量m/件 94 90 84 76 24
已知在未来40天内,前20天每天的价格y1=x+25(1≤x≤20,且x∈Z),后20天每天的价格y2=-x+40(20(1)请利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识,写出日销售量m与时间x之间的关系式.
(2)请预测在未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少
(3)在实际销售的前20天中,该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(0所以日销售量m与时间x之间的关系式为m=-2x+96.
(2)设日销售利润为W元,
①当1≤x≤20时,W=(-2x+96)(x+25-22)=-(x-18)2+450,所以当 x=18时,Wmax=450;
②当20因为405<450,所以在未来40天中,第18天的日销售利润最大,最大日销售利润为450元.
(3)由题意知,在前20天中,即当1≤x≤20时,W=(-2x+96)(x+25-22-a)=+
2a2-60a+450,函数图象开口向下,对称轴是直线x=2(a+9),要使日销售利润随时间x的增大而增大,则2(a+9)>19.5,所以a>0.75,又0即a的取值范围为(0.75,4.5].

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