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2025—2026学年九年级数学上学期期末押题卷03
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B D A D A B A
1．B
本题考查了不可能事件的定义．
根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项进行判断．
解：选项A：投掷一枚硬币，反面向上可能发生，是随机事件；
选项B：袋子中只有黄球，摸出红球必然不会发生，是不可能事件；
选项C：圆总是中心对称图形，是必然事件；
选项D：射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，是随机事件；
只有选项B是不可能事件．
故选：B．
2．A
本题考查二次函数的性质，开口方向由系数a的符号决定，通过简化表达式得到二次函数的标准形式，根据二次项系数的正负判断开口方向．
解：，
，
，
抛物线开口向上，
故选：A．
3．B
本题考查了旋转的性质，平行线的性质．由旋转可知，再根据，，即可求解．
解：由旋转可知，
∵，
∴，
∴旋转角的度数为，
故选：B．
4．B
本题考查了圆内接多边形以及弧长公式，连接，求出圆心角的度数，再根据弧长公式求解，即可解题．
解：连接，
正六边形内接于，
，
的半径为6，
；
故选：B．
5．D
根据图象，得时，线段的长度是，此时，继而得到半径，根据垂径定理，解答即可．
本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键．
解：根据图象，得时，线段的长度是，此时，
又是中点，
故，
当时，连接，
则，
，
故，
根据题意，得运动一周的时间为4秒，路程为，
故点Q的运动速度为：，
此时，运动时间；
当Q运动到时，，
此时，运动时间，
故选：D．
6．A
此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
由题意得：，
∴
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴
即小孔到的距离为，
故选：A．
7．D
本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，熟练运用数形结合思想是解题的关键．由为的直径，是的切线，可得，进而有，由，得，从而有，则有，，根据阴影部分的面积=半圆面积计算出即可．
解： ∵是的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是，
故选：D．
8．A
连接，，得到，设，根据勾股定理，得，求得，，，过点作于点，得到，列比例式解答即可．
解：正方形的边在轴上，点是边上的一点，坐标为，如图，连接，
，，
沿折叠，点落在点处．
，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
设，
，坐标为，，，
．
，．
根据勾股定理，得，
解得，
故，，，
过点作于点，
，
，
，
解得，
．
故点；
故选：A．
本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，坐标与图形变化对称，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似的判定，勾股定理是解题的关键．
9．B
由题意不难得到，则有，可判断是等腰三角形，则不难判断①和②正确；易证，则有，再根据，，从而得到，利用相似三角形的性质可判断③错误；由此可知正确的结论有2个．
解：由题意可得，，，为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴点为的中点，
∴垂直平分线段，
故选项①，②正确，符合题意；
在和中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故选项③错误，不符合题意；
∴正确的结论有2个．
故选：B．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，解题的关键是对相似三角形的判定与性质的灵活运用．
10．A
根据抛物线的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，增减性，解答即可．
本题考查了抛物线的最值，增减性，待定系数法，抛物线与一元二次方程，熟练掌握性质是解题的关键．
解：根据题意，得，，根据图象，得当时，；
故①正确；
是方程的一个解；
故②正确；
根据题意，抛物线过，，
故，
解得，
故抛物线的解析式为，
故抛物线的对称轴是，
根据抛物线的开口向上，
故抛物线上的点，距离对称轴越大函数值越大，
，是抛物线上的两点，
且
故；
故③正确；
对于抛物线，时，
且
故时，取得最大值，且为；
又在中，
故时，取得最小值，且为
的取值范围是，
故④错误，
故选：A．
11．钝角
本题考查了绝对值，平方数的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，利用绝对值和平方的非负性可得，，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴
∴是钝角三角形，
故答案为：钝角．
12．
本题考查利用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键，根据频率估计概率，摸到白球的频率稳定在附近，即摸到白球的概率为，利用概率公式建立方程求解．
解：设黑球有个，则总球数为个．根据题意得：
，
解方程：．
经检验，是方程的解，
故答案为：11．
13．
本题考查三角形重心的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握重心的性质是解题关键．
连接并延长交于点，利用重心的性质，结合、判定四边形为平行四边形，再通过证明、，分别得出、，最后结合 ，计算得．
解：如图，连接并延长交于点．
为重心，
为中点，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
先证，可求出，利用勾股定理得，再根据从而求出的长．
解：∵是的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
，
在中，，
．
故答案为：．
15．
本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接，作轴于点，由正多边形的性质可得，，从而可得为等边三角形，由等边三角形的性质可得，再由勾股定理计算，然后根据点E所在象限即可写出坐标，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图：连接，作轴于点，
∵在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴顶点E的坐标是，
故答案为：．
16．①②④
本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，根据二次函数的对称性求函数值，的最值，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先分别求出，，再代入中计算，可判断①；
利用抛物线的对称轴与对称性，求出抛物线与轴的另一个交点，即可判断②；
根据抛物线与轴的交点，根据①求抛物线的解析式，从而可求得三点中的函数值，从而可比较它们的大小，由此可判断③；
根据抛物线与轴的交点，结合的范围、抛物线的顶点坐标，可确定的范围，从而可判断④．
解：抛物线，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，
故①正确；
∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴方程的根是，
故②正确；
∵抛物线，对称轴为直线，抛物线的开口向上，
∴在对称轴的右边，随的增大而增大，
∵抛物线与轴交于点，，点在抛物线上，对称轴为，
∴与都在对称轴的右侧，
∴，
∵点在抛物线上，对称轴为直线，
∴为抛物线的顶点，
∵抛物线的顶点在轴的下方，
∴，
∵点在抛物线上，抛物线与轴交于点，
∴，
∴，
故③错误；
抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为，
当时，的取值范围是，
故④正确，
综上所述，①②④是正确的，
故答案为：①②④．
本题考查了的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，根据二次函数的对称性求函数值，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
17．（1）；（2）
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和配方法求一元二次方程；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
（1）用配方法解答即可；
（2）把两个点的坐标分别代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可；
解：（1），
，
，
或，
故；
（2）把 代入中，
得：，
解得：，
所以，二次函数的表达式为．
18．(1)证明见解析
(2)的值为8
本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）设，由等边对等角得，由三角形外角性质得，进而得，则得证；
（2）先根据题目数据计算，再由（1）得，结合得，由相似三角形对应变成比例得，进而得到关于的等量关系式，计算可得，注意验证计算结果．
（1）解：平分，
，
设，
，
，，
是的一个外角，
，
即，
，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
又，
，
，
，
即，
解得或（线段长度不能为负，舍去），
的值为．
19．(1)
(2)186元
本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数和一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程和二次函数的最值问题．
（1）设平均每年下降的百分率为，利用，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设单价降低m元，则售价为元，每天销售量为个，每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润平均每天的销售量，列关于利润的二次函数，根据二次函数的最值问题求出最大利润时的m值，即可求出答案．
（1）解：设平均每年下降的百分率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每年下降的百分率为；
（2）解：设单价降低m元，则售价为元，每天销售量为个，每个利润为元，
总利润，
整理得，
∵，∴y有最大值，
当时，y最大，
售价为（元），
答：每个售价应为186元．
20．(1)见详解；
(2)
(3)
本题考查了垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，勾股定理等知识．熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由垂径定理可得，则，进而结论得证；
（2）如图，设，则，由勾股定理得即，求解即可；
（3）连接，得，由勾股定理得，代入求值即可．
（1）证明：∵半径，
∴，
∴，
∴平分
（2）解：∵半径，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
（3）由（1）得，
连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．(1)
(2)
(3)
本题考查了概率公式，画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，直接运用概率公式进行求解，即可作答．
（2）理解题意，先画树状图，得一共有种等可能的结果，乙拿到了甲的行李，甲拿到了乙的行李的结果只有种，再运用概率公式进行求解，即可作答．
（3）理解题意，先画树状图，得一共有24种等可能的结果，他们没有人拿到自己行李的结果有种，再运用概率公式进行求解，即可作答．
（1）解：∵车上只有4人：甲、乙、丙、丁，且他们各自带了一个行李．
∴下车后，甲在四人的行李中随机拿起一个就走，此时甲恰好拿到自己行李的概率为；
（2）解：把甲、乙、丙、丁的行李分别记为
依题意，画树状图，如图所示：
则一共有种等可能的结果，乙拿到了甲的行李，甲拿到了乙的行李的结果只有种，
∴乙拿到了甲的行李，甲拿到了乙的行李的概率是；
（3）解：把甲、乙、丙、丁的行李分别记为
依题意，画树状图，如图所示：
则一共有24种等可能的结果，他们没有人拿到自己行李的结果有种，
∴他们没有人拿到自己行李的概率是；
22．(1)证明见解析
(2)
本题主要考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，同时运用角度和差运算判定直角三角形，解题中还体现了转化、数形结合的数学思想，先通过旋转和证明三角形全等得到边与角的等量关系，再结合勾股定理完成线段长度的计算．
（）通过角的等量代换得到，再结合已知的，利用判定定理证明与全等，进而根据全等三角形对应边相等得出 ；
（）先依据()的全等结论得到长度，证明后在中用勾股定理求再根据等腰直角三角形中边的关系求出．
（1）证明：∵，
∴，即
∵，绕点顺时针旋转得到，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：由()知，
∵，
∴，
∵，
∴和都是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴， 即。
在中，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长为．
23．(1)见解析
(2)3
本题主要考查了切线的判定和性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等，掌握切线的判定和性质是解题的关键．
（1）连接，由等腰三角形的性质得，由角平分线定义得到，因此推出，得到半径，即可得证；
（2）连接，根据三角函数的定义求出，设，根据三角函数的定义求得，得到，由直角三角形斜边中线的性质即可求得答案．
（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
∴半径于点D，
是的切线；
（2）解：连接，
，
，
，，，
， ，
，
设，
，，
，
，
，
．
24．(1)，
(2)或
(3)或
（1）根据非负数的性质求得点A，B的坐标，再根据平移的性质即可得出点C，D的坐标；
（2）连接，利用求得的面积，设点，则，利用与面积相等建立方程求解即可；
（3）当点H在延长线上时，由角平分线的性质得，，由平移的性质得， 从而得，由外角的性质得，则，根据三角形内角和得，利用等角代换可证；同理可证当点H在线段上时，，再利用平角的性质和等角代换得；
（1）解：∵，
∴，
解得，
∴，，
∵平移线段得到线段，且C、D两点分别落在y轴和x轴上，
则线段先向左平移1个单位长度后，再向下平移3个单位长度，
∴，．
故答案为：，．
（2）如图，连接，
∵，，
∴，
∵将点向下移动1个单位得到点P，
∴点，
∴
，
设点，则，
∵与面积相等，
∴，
即，
解得或，
∴或．
（3）如图，当点H在延长线上时，延长交于G，令交于K，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当点H在线段上时，令交于K，交于G．
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
综上，或．
本题是坐标与图形综合问题，主要考查了非负数的性质、平移的性质、三角形的面积，平行线的性质和坐标系中的动点问题，熟练掌握以上性质并灵活运用是解题的关键．2025—2026学年九年级数学上学期期末押题卷03
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，反面向上 B．从只有黄球的袋子中摸出红球
C．任意画一个圆，它是中心对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
2．抛物线的开口方向是（ ）
A．向上 B．向左 C．向下 D．向右
3．如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，已知．当时，旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正六边形内接于，的半径为6，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是半径，是中点，在上从点开始沿逆时针方向匀速运动一周停止，运动时间是，线段的长度是，图2是随变化的关系图象，则当点运动到使时，的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为的直径，是上的一点，过点的的切线交的延长线于点，连接，，，若，的半径为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是边上的一点，坐标为，将沿折叠，点落在点处．若的延长线交于，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论①；②垂直平分线段；③；其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点、．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在中，，则是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
12．在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有 个．
13．如图，为的重心，过点作交于点，交于点，已知，则 ．
14．如图，是的直径，是的切线，为上任意一点，为的中点，连接交于点．延长与相交于点，连接．若，，则的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O，顶点F，C在x轴上，顶点E的坐标是 ．
16．已知抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②方程的根是；③抛物线上有三点，则；④若，则的取值范围是；其中正确的有 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）解方程：；
（2）已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式．
18．如图，在中，是边上一点，连接，，的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)已知．若，求的值．
19．某电子器件厂生产一种电脑显卡，2023年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2024年，2025年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2025年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
(1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
(2)2025年赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果想要获得最大盈利，每个售价应为多少元？
20．如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
(3)在（2）的条件下，设与交与点F，求．
21．游学期间，为避免混乱和停车时间过久，游学老师要求大家下车后随便拿起一个行李就走，到车站内再进行交换．便于计算起见，假设车上只有4人：甲、乙、丙、丁，且他们各自带了一个行李．
(1)下车后，甲在四人的行李中随机拿起一个就走，计算此时甲恰好拿到自己行李的概率．
(2)甲随便拿了一个行李下车后，乙从剩下的行李中又随机拿了一个行李下车，求他们恰好拿到彼此行李的概率（即乙拿到了甲的行李，甲拿到了乙的行李）．
(3)若甲乙丙丁顺次随机拿了一个行李下车，求他们没有人拿到自己行李的概率．
22．如图，在中，，为直角，点在上，且不与两点重合，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
23．如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D．
(1)求证：直线为的切线．
(2)如图2，连结．若，，求的长．
24．如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上．
(1)点C坐标 ，点D坐标 ；
(2)如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上学期末押题卷03
试卷分析
知识点分布
一、单选题
1 0.94 事件的分类；中心对称图形的识别
2 0.85 负整数指数幂；y=ax 的图象和性质
3 0.75 两直线平行内错角相等；根据旋转的性质求解
4 0.65 正多边形和圆的综合；求弧长
5 0.65 动点问题的函数图象；利用垂径定理求值；圆周角定理
6 0.65 相似三角形的判定与性质综合；相似三角形实际应用
7 0.65 解直角三角形的相关计算；求其他不规则图形的面积；半圆（直径）所对的圆周角是直角；切线的性质定理
8 0.65 根据正方形的性质求线段长；相似三角形的判定与性质综合；全等的性质和HL综合（HL）；折叠问题
9 0.65 含30度角的直角三角形；解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；线段垂直平分线的性质
10 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号；根据二次函数图象确定相应方程根的情况
二、知识点分布
二、填空题
11 0.75 绝对值非负性；三角形内角和定理的应用；由特殊角的三角函数值判断三角形形状
12 0.65 由频率估计概率
13 0.65 平行四边形性质和判定的应用；重心的有关性质；由平行截线求相关线段的长或比值；相似三角形的判定与性质综合
14 0.65 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；切线的性质定理
15 0.65 正多边形和圆的综合；写出直角坐标系中点的坐标；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
16 0.64 根据二次函数的图象判断式子符号；根据二次函数的对称性求函数值；y=ax +bx+c的最值；根据二次函数图象确定相应方程根的情况
二、知识点分布
三、解答题
17 0.75 解一元二次方程——配方法；待定系数法求二次函数解析式
18 0.65 等边对等角；三角形的外角的定义及性质；相似三角形的判定与性质综合；三角形角平分线的定义；利用两角对应相等判定相似
19 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；销售问题(实际问题与二次函数)
20 0.65 解直角三角形的相关计算；利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形
21 0.65 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
22 0.65 根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；全等的性质和SAS综合（SAS）；用勾股定理解三角形
23 0.64 斜边的中线等于斜边的一半；解直角三角形的相关计算；等边对等角；证明某直线是圆的切线
24 0.4 绝对值非负性；坐标系中的动点问题（不含函数）；坐标与图形综合

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