资源简介

(共24张PPT)
4.2　指数函数
4.2.1　指数函数的
概念
1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型函数在实际问题中的应用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　指数函数的概念
知识归纳
一般地,函数 (a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
y=ax
·疑难解惑·
函数的特征
(1)底数a>0,且a≠1.
(2)指数幂的系数为1.
(3)自变量在指数上.
知识点二　指数增长型和指数衰减型函数模型
1.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当 时为指数增长型函数模型.
2.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当 时为指数衰减型函数模型.
a>1
0基础自测
1.下列函数是指数函数的是(　　)
[A]y=2x+1 [B]y=2x+1
[C]y=2-x [D]y=-2x
C
2.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)等于(　　)
A
D
4.(人教A版必修第一册P119习题4.2 T2改编)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,剩余的这种物质为上一年的84%,设该物质最初的质量是1,则该物质的剩余量y关于经过年数x的函数关系式为　　　 　　　　.
y=0.84x(x∈N*)
【解析】 经过1年,剩余量y=1×0.84=0.841;经过2年,剩余量y=0.84×0.84=
0.842;一般地,经过x年,剩余量y=0.84x(x∈N*).
关键能力·素养培优
[例1] 若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,则有(　　)
[A]a=2 [B]a=3
[C]a=2或a=3 [D]a>2,且a≠3
题型一　指数函数的概念
A
【解析】 因为y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,所以a2-5a+7=1,整理得(a-2)(a-3)=0,又4-2a=0,所以a=2.故选A.
·解题策略·
判断一个函数为指数函数的方法
(1)看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构特征.
(2)明特征:看是否具备指数函数解析式的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数.
[变式训练] 给出下列函数:①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;
⑥y=4x2;⑦y=xx; ⑧y=(a-1)x(a>1),其中是幂函数的为　　　;是指数函数的为　　　　.(填序号)
②
①⑤
【解析】 因为指数函数为y=ax(a>0,且a≠1),故①⑤是指数函数;由幂函数定义知,y=x4是幂函数,故②是幂函数;由幂函数和指数函数的定义知,③④⑥⑦既不是幂函数,也不是指数函数;对于⑧,当a=2时,y=(a-1)x=1x,既不是幂函数,也不是指数函数.
题型二　求指数函数的解析式或函数值
·解题策略·
(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
C
题型三　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
A
·解题策略·
指数型函数在实际问题中的应用
(1)函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律非常有用的函数模型,一般当k>0时,若a>1,则刻画指数增长变化规律;若0(2)解决此类问题可利用待定系数法,根据条件确定出解析式中的系数后,利用指数运算解题.
[变式训练] 某人2025年7月1日到某银行存入a元,若按年利率x复利计算,则到2028年7月1日可取款(　　)
[A]a(1+x)2元 [B]a(1+x)4元
[C]a+(1+x)3元 [D]a(1+x)3元
D
【解析】 由题意知,2026年7月1日可取款a(1+x)元,2027年7月1日可取款a(1+x)·(1+x)=a(1+x)2元,2028年7月1日可取款a(1+x)2·(1+x)=a(1+x)3元.故选D.
感谢观看4.2.1　指数函数的概念
【课程标准要求】　1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型函数在实际问题中的应用.
知识归纳
知识点一　指数函数的概念
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
函数的特征
(1)底数a>0,且a≠1.
(2)指数幂的系数为1.
(3)自变量在指数上.
知识点二　指数增长型和指数衰减型函数模型
1.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当a>1时为指数增长型函数模型.
2.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当0基础自测
1.下列函数是指数函数的是(　　)
[A]y=2x+1 [B]y=2x+1
[C]y=2-x [D]y=-2x
2.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)等于(　　)
[A] [B]2x
[C] [D]
3.若函数f(x)=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则a的值为(　　)
[A]2 [B]1
[C]1或 [D]
4.(人教A版必修第一册P119习题4.2 T2改编)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,剩余的这种物质为上一年的84%,设该物质最初的质量是1,则该物质的剩余量y关于经过年数x的函数关系式为　　　　　　　.
题型一　指数函数的概念
[例1] 若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,则有(　　)
[A]a=2 [B]a=3
[C]a=2或a=3 [D]a>2,且a≠3
判断一个函数为指数函数的方法
(1)看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构特征.
(2)明特征:看是否具备指数函数解析式的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数.
[变式训练] 给出下列函数:①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=4x2;⑦y=xx;
⑧y=(a-1)x(a>1),其中是幂函数的为　　　;是指数函数的为　　　　.(填序号)
题型二　求指数函数的解析式或函数值
[例2] 已知函数f(x)为指数函数,若f(2)=4f(1),则f()+f(-1)=　　　　.
(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
[变式训练] 已知指数函数y=f(x)满足f(-2)=,则f(2)·f(1)等于(　　)
[A]-3 [B]9
[C]27 [D]81
题型三　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
[例3] 全球变暖使某大洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%,按此规律,设2025年的冬季冰盖面积为m,从2025年起,经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系式是(　　)
[A]y=0.9·m
[B]y=(1-0.0)·m
[C]y=0.9550-x·m
[D]y=(1-0.0550-x)·m
指数型函数在实际问题中的应用
(1)函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律非常有用的函数模型,一般当k>0时,若a>1,则刻画指数增长变化规律;若0(2)解决此类问题可利用待定系数法,根据条件确定出解析式中的系数后,利用指数运算解题.
[变式训练] 某人2025年7月1日到某银行存入a元,若按年利率x复利计算,则到2028年7月1日可取款(　　)
[A]a(1+x)2元 [B]a(1+x)4元
[C]a+(1+x)3元 [D]a(1+x)3元
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列判断正确的是(　　)
[A]y=2x4是幂函数,且y=42x是指数函数
[B]y=2x4是幂函数,且y=42x不是指数函数
[C]y=2x4不是幂函数,且y=42x是指数函数
[D]y=2x4不是幂函数,且y=42x不是指数函数
2.已知指数函数f(x)=a-x(a>0,且a≠1),f(1)=,则f(-1)等于(　　)
[A]3 [B]2
[C] [D]
故选A.
3.已知指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点(2,4),则ab等于(　　)
[A]4 [B]1
[C]2 [D]
4.已知函数f(x)=3x,g(x)=9x,若f(a)·g(b)=,则下列各式正确的是(　　)
[A]a+b=-1 [B]a+b=1
[C]a+2b=-1 [D]a+2b=1
5.已知函数y=f(x),x∈R且f(0)=1,=2,=2,=2,…,=2,n∈N*,则y=f(x)的解析式可能为(　　)
[A]f(x)=4x [B]f(x)=2x
[C]f(x)=4x-1 [D]f(x)=2x-1
6.已知某种产品的成本是a元,今后m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x(0[A]y=a(1+p%)x(0[B]y=a(1-p%)x(0[C]y=a(p%)x(0[D]y=a-(p%)x(0所以x年后,成本为y=a(1-p%)x(07.(5分)若函数f(x)=(a-3)·ax是指数函数,则f()=　　　　.
8.(5分)已知定义域为R的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)f(y);②f()=4,则符合条件的f(x)的一个解析式为f(x)=　　　　.
又f()=4,解得a=8,所以符合条件的f(x)的一个解析式为f(x)=8x.
9.(14分)已知某购物中心开业10天(含10天)内,每天打卡人数P(x)(单位:万人)与第x天近似地满足函数P(x)=8+2x-k,k为正常数,且第 8天的打卡人数约为9万人.
(1)求k的值;
(2)求第10天的打卡人数.
(2)由(1)知,P(x)=8+2x-8,所以P(10)=8+210-8=12,即第10天的打卡人数约为 12万人.
10.(15分)已知二次函数f(x)=ax2+bx在x=-2处取得最大值,指数函数g(x)=.
(1)求g(-)的值;
(2)设函数h(x)=g(x)+,试判断h(x)的奇偶性,并说明理由.
(2)h(x)为偶函数.理由如下:
h(x)=g(x)+=4x+,其定义域为R,关于原点对称,又h(-x)=+4x=h(x),所以h(x)为偶函数.
11.(多选)已知函数f(x)=若f(a)=3,则实数a的值为(　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
所以a=-1.
综上,实数a的值为1或-1.故选AC.
12.已知y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=ax(a>0,且a≠1),且f(-)=-,则f(2)等于(　　)
[A]25 [B]-25 [C] [D]-
13.(15分)牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)的关系式为y=kerx(k,r,e为常数).若牛奶在0 ℃的冰箱中,保鲜时间约是100 h;在5 ℃的冰箱中,保鲜时间约是80 h.求在10 ℃的冰箱中,保鲜时间是多长
14.(5分)已知函数f(x)=g(x)+a·2x,若a=2,f(x)的图象关于原点对称;若a=4,f(x)的图象关于y轴对称,则g(x)=　　　　.
即g(-x)+2·2-x=-[g(x)+2·2x],
所以g(x)+2x+1+g(-x)+21-x=0.①
当a=4时,f(x)的图象关于y轴对称,故此时f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
即g(-x)+4·2-x=g(x)+4·2x,
所以g(x)+2x+2-g(-x)-22-x=0.②
①②两式相加得,2g(x)+2x+1+2x+2+21-x-22-x=0,整理得,g(x)=2-x-3×2x.4.2.1　指数函数的概念
【课程标准要求】　1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型函数在实际问题中的应用.
知识归纳
知识点一　指数函数的概念
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
函数的特征
(1)底数a>0,且a≠1.
(2)指数幂的系数为1.
(3)自变量在指数上.
知识点二　指数增长型和指数衰减型函数模型
1.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当a>1时为指数增长型函数模型.
2.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当0基础自测
1.下列函数是指数函数的是(　　)
[A]y=2x+1 [B]y=2x+1
[C]y=2-x [D]y=-2x
【答案】 C
【解析】 由指数函数的定义可知,y=2x+1带有常数项,A错误;y=2x+1=2×2x与y=-2x的系数都不为1,B,D错误;y=2-x=,符合题意,C正确.故选C.
2.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)等于(　　)
[A] [B]2x
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由题意,设f(x)=ax(a>0,且a≠1),因为f(2)=2,所以a2=2,解得a=.所以f(x)=.故选A.
3.若函数f(x)=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则a的值为(　　)
[A]2 [B]1
[C]1或 [D]
【答案】 D
【解析】 因为函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,所以2a2-3a+2=1,解得a=1或a=,又a>0,且a≠1,所以a=.故选D.
4.(人教A版必修第一册P119习题4.2 T2改编)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,剩余的这种物质为上一年的84%,设该物质最初的质量是1,则该物质的剩余量y关于经过年数x的函数关系式为　　　　　　　.
【答案】 y=0.84x(x∈N*)
【解析】 经过1年,剩余量y=1×0.84=0.841;经过2年,剩余量y=0.84×0.84=0.842;一般地,经过x年,剩余量y=0.84x(x∈N*).
题型一　指数函数的概念
[例1] 若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,则有(　　)
[A]a=2 [B]a=3
[C]a=2或a=3 [D]a>2,且a≠3
【答案】 A
【解析】 因为y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,所以a2-5a+7=1,整理得(a-2)(a-3)=0,又4-2a=0,所以a=2.故选A.
判断一个函数为指数函数的方法
(1)看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构特征.
(2)明特征:看是否具备指数函数解析式的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数.
[变式训练] 给出下列函数:①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=4x2;⑦y=xx;
⑧y=(a-1)x(a>1),其中是幂函数的为　　　;是指数函数的为　　　　.(填序号)
【答案】 ②　①⑤
【解析】 因为指数函数为y=ax(a>0,且a≠1),故①⑤是指数函数;由幂函数定义知,y=x4是幂函数,故②是幂函数;由幂函数和指数函数的定义知,③④⑥⑦既不是幂函数,也不是指数函数;对于⑧,当a=2时,y=(a-1)x=1x,既不是幂函数,也不是指数函数.
题型二　求指数函数的解析式或函数值
[例2] 已知函数f(x)为指数函数,若f(2)=4f(1),则f()+f(-1)=　　　　.
【答案】
【解析】 设f(x)=ax(a>0,且a≠1),由f(2)=4f(1),得a2=4a,解得a=4或a=0(舍去),所以f(x)=4x,则f()=2,f(-1)=,所以f()+f(-1)=2+=.
(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
[变式训练] 已知指数函数y=f(x)满足f(-2)=,则f(2)·f(1)等于(　　)
[A]-3 [B]9
[C]27 [D]81
【答案】 C
【解析】 设指数函数y=f(x)=ax(a>0,且a≠1),则a-2=,解得a=3,则指数函数的解析式为y=f(x)=3x,故f(2)·f(1)=32×31=27.故选C.
题型三　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
[例3] 全球变暖使某大洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%,按此规律,设2025年的冬季冰盖面积为m,从2025年起,经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系式是(　　)
[A]y=0.9·m
[B]y=(1-0.0)·m
[C]y=0.9550-x·m
[D]y=(1-0.0550-x)·m
【答案】 A
【解析】 设该大洋冬季冰盖面积的年均变化率为p,则p50=0.95,所以p=0.9,从2025年起,经过x年后冬季冰盖面积y=0.9·m.故选A.
指数型函数在实际问题中的应用
(1)函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律非常有用的函数模型,一般当k>0时,若a>1,则刻画指数增长变化规律;若0(2)解决此类问题可利用待定系数法,根据条件确定出解析式中的系数后,利用指数运算解题.
[变式训练] 某人2025年7月1日到某银行存入a元,若按年利率x复利计算,则到2028年7月1日可取款(　　)
[A]a(1+x)2元 [B]a(1+x)4元
[C]a+(1+x)3元 [D]a(1+x)3元
【答案】 D
【解析】 由题意知,2026年7月1日可取款a(1+x)元,2027年7月1日可取款a(1+x)·(1+x)=a(1+x)2元,2028年7月1日可取款a(1+x)2·(1+x)=a(1+x)3元.故选D.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列判断正确的是(　　)
[A]y=2x4是幂函数,且y=42x是指数函数
[B]y=2x4是幂函数,且y=42x不是指数函数
[C]y=2x4不是幂函数,且y=42x是指数函数
[D]y=2x4不是幂函数,且y=42x不是指数函数
【答案】 C
【解析】 由幂函数的定义可知,y=2x4不是幂函数;因为42x==16x,所以y=42x是指数函数.故选C.
2.已知指数函数f(x)=a-x(a>0,且a≠1),f(1)=,则f(-1)等于(　　)
[A]3 [B]2
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=a-x(a>0,且a≠1),f(1)=a-1==,所以a=3,所以f(x)=3-x,即f(-1)=3-(-1)=3.
故选A.
3.已知指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点(2,4),则ab等于(　　)
[A]4 [B]1
[C]2 [D]
【答案】 A
【解析】 由指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点(2,4),可得解得所以ab=4.故选A.
4.已知函数f(x)=3x,g(x)=9x,若f(a)·g(b)=,则下列各式正确的是(　　)
[A]a+b=-1 [B]a+b=1
[C]a+2b=-1 [D]a+2b=1
【答案】 C
【解析】 由题意得,f(a)·g(b)=3a·9b=3a·32b=3a+2b=,即3a+2b=3-1,从而a+2b=-1.故选C.
5.已知函数y=f(x),x∈R且f(0)=1,=2,=2,=2,…,=2,n∈N*,则y=f(x)的解析式可能为(　　)
[A]f(x)=4x [B]f(x)=2x
[C]f(x)=4x-1 [D]f(x)=2x-1
【答案】 B
【解析】 因为f(0)=1,故排除C,D;又=2,排除A;故f(x)=2x,逐个条件代入均满足.故选B.
6.已知某种产品的成本是a元,今后m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x(0[A]y=a(1+p%)x(0[B]y=a(1-p%)x(0[C]y=a(p%)x(0[D]y=a-(p%)x(0【答案】 B
【解析】 因为产品的成本是a元,1年后,成本为a-p%·a=a(1-p%);2年后,成本为a(1-p%)-a(1-p%)·p%=a(1-p%)2;……,
所以x年后,成本为y=a(1-p%)x(07.(5分)若函数f(x)=(a-3)·ax是指数函数,则f()=　　　　.
【答案】 2
【解析】 因为函数f(x)=(a-3)·ax是指数函数,所以a-3=1,a>0且a≠1,解得a=8,所以f(x)=8x,所以f()==2.
8.(5分)已知定义域为R的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)f(y);②f()=4,则符合条件的f(x)的一个解析式为f(x)=　　　　.
【答案】 8x
【解析】 由f(x+y)=f(x)f(y),可知符合该性质的函数可以为指数函数y=ax(a>0,且a≠1),
又f()=4,解得a=8,所以符合条件的f(x)的一个解析式为f(x)=8x.
9.(14分)已知某购物中心开业10天(含10天)内,每天打卡人数P(x)(单位:万人)与第x天近似地满足函数P(x)=8+2x-k,k为正常数,且第 8天的打卡人数约为9万人.
(1)求k的值;
(2)求第10天的打卡人数.
【解】 (1)由题意知,P(8)=9,所以8+28-k=9,即28-k=1,解得k=8.
(2)由(1)知,P(x)=8+2x-8,所以P(10)=8+210-8=12,即第10天的打卡人数约为 12万人.
10.(15分)已知二次函数f(x)=ax2+bx在x=-2处取得最大值,指数函数g(x)=.
(1)求g(-)的值;
(2)设函数h(x)=g(x)+,试判断h(x)的奇偶性,并说明理由.
【解】 (1)因为该二次函数的对称轴方程为x=-,所以由题意可得a<0,-=-2,则=4,则g(x)=4x,即g(-)==.
(2)h(x)为偶函数.理由如下:
h(x)=g(x)+=4x+,其定义域为R,关于原点对称,又h(-x)=+4x=h(x),所以h(x)为偶函数.
11.(多选)已知函数f(x)=若f(a)=3,则实数a的值为(　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
【答案】 AC
【解析】 当a≥0时,f(a)=3a=3,所以a=1;当a<0时,f(a)==3,
所以a=-1.
综上,实数a的值为1或-1.故选AC.
12.已知y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=ax(a>0,且a≠1),且f(-)=-,则f(2)等于(　　)
[A]25 [B]-25 [C] [D]-
【答案】 C
【解析】 因为函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f()=-f(-)=,即f()====,所以a=,所以当x>0时,f(x)=,故f(2)==.故选C.
13.(15分)牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)的关系式为y=kerx(k,r,e为常数).若牛奶在0 ℃的冰箱中,保鲜时间约是100 h;在5 ℃的冰箱中,保鲜时间约是80 h.求在10 ℃的冰箱中,保鲜时间是多长
【解】 因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y=kerx(k,r,e为常数),所以解得所以y=100()x.当x=10时,y=100×=64,所以在10 ℃的冰箱中,保鲜时间为64 h.
14.(5分)已知函数f(x)=g(x)+a·2x,若a=2,f(x)的图象关于原点对称;若a=4,f(x)的图象关于y轴对称,则g(x)=　　　　.
【答案】 2-x-3×2x
【解析】 当a=2时,f(x)的图象关于原点对称,故此时f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
即g(-x)+2·2-x=-[g(x)+2·2x],
所以g(x)+2x+1+g(-x)+21-x=0.①
当a=4时,f(x)的图象关于y轴对称,故此时f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
即g(-x)+4·2-x=g(x)+4·2x,
所以g(x)+2x+2-g(-x)-22-x=0.②
①②两式相加得,2g(x)+2x+1+2x+2+21-x-22-x=0,整理得,g(x)=2-x-3×2x.

展开更多......

收起↑