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第2课时　指数函数的图象和性质(二)
1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.掌握指数函数图象和性质的综合应用.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
[例1] (苏教版必修第一册P144例1)比较下列各组数中两个数的大小:
(1)1.52.5,1.53.2;
题型一　利用指数函数的单调性比较大小
【解】 (1)考察指数函数y=1.5x.
因为1.5>1,
所以y=1.5x在R上是增函数.
又因为2.5<3.2,
所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.5-1.2,0.5-1.5;
【解】 (2)考察指数函数y=0.5x.
因为0<0.5<1,
所以y=0.5x在R上是减函数.
又因为-1.2>-1.5,
所以0.5-1.2<0.5-1.5.
(3)1.50.3,0.81.2.
【解】 (3)考察指数函数y=1.5x.
因为1.5>1,
所以y=1.5x在R上是增函数.
又因为0.3>0,
所以1.50.3>1.50=1.
同理0.81.2<0.80=1,
故1.50.3>0.81.2.
·解题策略·
比较幂的大小的方法
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.
B
[变式训练] 下列式子正确的是(　　)
[A]1.52.9>1.53.4 [B]0.20.4<0.50.4
[C]1.70.2<0.92.5 [D]0.80.5>0.90.4
【解析】 对于A,y=1.5x为增函数,因为2.9<3.4,所以1.52.9<1.53.4,A错误;对于B,y=x0.4在(0,+∞)上单调递增,因为0.2<0.5,所以0.20.4<0.50.4,B正确;对于C,因为y=1.7x为增函数,所以1.70.2>1.70=1,因为y=0.9x为减函数,所以0.92.5<0.90=1,所以1.70.2>0.92.5,C错误;对于D,因为y=0.8x为减函数,所以0.80.5<0.80.4,因为y=x0.4为增函数,所以0.80.4<0.90.4,所以0.80.5<0.90.4,D错误.故选B.
题型二　简单的指数不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式:
[典例迁移2] 解不等式:4x-2x-2>0.
【解】 因为4x-2x-2>0,所以(2x)2-2x-2>0,所以(2x+1)(2x-2)>0,又2x+1>1,
所以2x-2>0,所以2x>2,所以x>1.
故原不等式的解集为(1,+∞).
·解题策略·
(1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(3)解不等式k·a2x+m·ax+t>0(a>0,且a≠1,k,m≠0),可化为关于“ax”的一元二次不等式,使用换元法.
题型三　指数函数图象和性质的综合运用
(2)判断函数f(x)的单调性,并利用定义加以证明;
·解题策略·
(1)解题过程中要关注、体会性质的应用,如果性质应用不充分,会导致解题步骤繁琐或无法求解,如本题中奇偶性、单调性的应用,可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.
(2)一元二次不等式的恒成立问题,可以结合相应的二次函数的图象,转化为等价的条件求解,恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.
(2)求f(x)在[0,1]上的值域.
感谢观看4.2.2　指数函数的图象和性质
第1课时　指数函数的图象和性质(一)
【课程标准要求】　1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域问题.
知识归纳
知识点　指数函数的图象和性质
项目 a>1 0图象
定义域 R
值域 (0,+∞)
性 质 最值 无最值
过定点 过定点(0,1), 即x=0时,y=1
函数值 的变化 当x<0时, 00时, y>1 当x>0时, 01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶
对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称
(1)函数图象只出现在x轴上方.
(2)当x=0时,有a0=1,故图象过定点(0,1).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴.
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
基础自测
1.y=-1的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 函数y=-1是减函数,且当x=0时,y=0.故选B.
2.函数f(x)=ax-1-1(a>0,且a≠1)的图象过定点(　　)
[A](1,0) [B](1,-1)
[C](-1,0) [D](-1,-1)
【答案】 A
【解析】 令x-1=0,得x=1,代入解析式,得f(1)=0,故图象过定点(1,0).故选A.
3.(人教A版必修第一册P118练习T1改编)函数y=3x与y=的图象(　　)
[A]关于x轴对称
[B]关于y轴对称
[C]关于原点对称
[D]关于直线y=x对称
【答案】 B
【解析】 易知y==3-x,显然函数y=3x图象上的点(x,y)关于y轴的对称点(-x,y)都在函数y=3-x的图象上,所以函数y=3x与y=的图象关于y轴对称.故选B.
4.若指数函数f(x)=(a-1)x在R上为减函数,则a的取值范围为　　　　.
【答案】 (1,2)
【解析】 由题意得,0题型一　指数函数的图象
[例1] 如图是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与0和1的大小关系是(　　)
[A]0[C]1【答案】 B
【解析】 如图,作出直线x=1,与4个指数函数的图象自下至上分别交于点(1,b),(1,a),(1,d),(1,c),所以0解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在同一平面直角坐标系内,识别多个指数函数图象底数的大小,可借助直线x=1,根据直线x=1与各图象交点纵坐标的大小确定底数的大小. 在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”.
[变式训练] 如图,①②③④中不属于函数y=2x,y=3x,y=的图象的一个是(　　)
[A]① [B]② [C]③ [D]④
【答案】 B
【解析】 函数y=2x与y=3x在R上是增函数,结合“底大图高”,可知③对应y=3x,④对应y=2x.又y=()x的图象与y=2x的图象关于y轴对称,可知①对应y=()x.所以②不是已知函数的图象.故选B.
题型二　指数函数图象的应用
[例2] 已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=mx-n的图象不经过(　　)
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
【答案】 B
【解析】 由已知条件得当x=2时,f(2)=2,则函数f(x)的图象恒过点M(2,2),即m=2,n=2,此时g(x)=2x-2,
由于g(x)的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到的,且过点(0,-1),由此可知g(x)的图象不经过第二象限.故选B.
[典例迁移1] 函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　)
[A]a>1,b<0
[B]a>1,b>0
[C]00
[D]0【答案】 D
【解析】 由题图可知,函数f(x)为减函数,从而有0法一　由f(x)=ax-b的图象知,函数图象与y轴交点的纵坐标y∈(0,1),令x=0,得y=a-b,由0法二　函数f(x)的图象可看作是由y=ax(00,即b<0.故选D.
[典例迁移2] 若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值可以是(　　)
[A] [B] [C]2 [D]4
【答案】 A
【解析】 当a>1时,画出函数y=|ax-1|的图象,如图(1).
若直线y=2a与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,则0<2a<1,所以01,所以此种情况不存在;
当0若直线y=2a与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,则0<2a<1,所以0综上,a的取值范围是(0,).故选A.
(1)定点问题:令函数解析式中的指数为0,可求出横坐标,再求纵坐标即可.
(2)平移问题:对于横坐标x满足“左加右减”.
(3)确定参数问题:根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的取值范围,利用函数图象与y轴的交点,确定b,c的取值范围,也可利用图象的平移变化确定b,c的取值范围.
题型三　与指数函数有关的定义域(值域)问题
[例3] 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
【解】 (1)由x-2≠0得x≠2,所以y=的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞);
由于≠0,故≠1,又>0,所以y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)因为5x-1≥0,即x≥,所以函数y=的定义域为[,+∞);
因为≥0,所以≥30=1,因此函数y=的值域为[1,+∞).
(3)函数y=的定义域为R;
因为x2-3≥-3,所以0<≤()-3=27,因此函数y=的值域为(0,27].
y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数的定义域、值域的求法
(1)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的值域时,先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
[变式训练] 求函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域.
【解】 f(x)的定义域是R.
因为-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4,所以当a>1时,函数f(x)的值域为(0,a4];当0课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数f(x)=ax-1+xa-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(　　)
[A](0,-1) [B](0,1)
[C](1,0) [D](1,1)
【答案】 D
【解析】 令x-1=0,得x=1,所以f(1)=a0+1a-1=1,所以图象恒过定点(1,1).故选D.
2.已知两个指数函数y=ax,y=bx的部分图象如图所示,则(　　)
[A]0[C]a>b>1 [D]b>a>1
【答案】 D
【解析】 由题图可知函数y=ax,y=bx均单调递增,则a>1,b>1.当x=-1时,a-1=>b-1=,得aa>1.故选D.
3.若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象不经过第二象限,则有(　　)
[A]a>1且b<1 [B]0[C]00 [D]a>1且b≤0
【答案】 D
【解析】 当00,且a≠1)的图象必经过第二象限,故排除选项B,C;
由题意得函数图象与y轴的交点不在x轴上方,
所以当x=0时,y=a0+b-1≤0,即b≤0.故选D.
4.函数f(x)=·3x的图象大致形状是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 当x>0时,f(x)=3x,其在(0,+∞)上单调递增,C,D错误;
当x<0时,f(x)=-3x,其在(-∞,0)上单调递减,B错误,A正确.故选A.
5.已知函数y=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2但不与该直线相交,则(　　)
[A]a=-2,b=2 [B]a=2,b=2
[C]a=-1,b=2 [D]a=2,b=1
【答案】 A
【解析】 由题意得0=a+b,即a+b=0.当x→+∞时,→0,故a+b→b,故b=2,解得a=-2.故选A.
6.设函数f(x)=a-x-2(a>0,且a≠1)的图象经过第二、第三、第四象限,则不等式f(1-m)[A](-2,1)
[B](0,1)
[C](-2,1]
[D](-∞,-2)∪(1,+∞)
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=a-x-2=-2(a>0,且a≠1)的图象经过第二、第三、第四象限,则0<<1,解得a>1,
则函数f(x)在定义域R上是减函数,不等式f(1-m) m2-1,即m2+m-2<0,解得-27.(5分)已知指数函数y=的图象如图所示,则二次函数y=2ax2+bx+c图象顶点的横坐标的取值范围为　　　　　.
【答案】 (-,0)
【解析】 由指数函数y=的图象可知0<<1,所以二次函数y=2ax2+bx+c图象顶点的横坐标x0=-∈(-,0).
8.(5分)若关于x的方程=k有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为　　　　　.
【答案】 (0,1)
【解析】 由题意知,函数y=的图象与直线y=k有两个不同的交点,又y==作出大致图象如图所示, 所以09.(12分)求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=.
【解】 (1)函数的定义域为R;
因为x2+1≥1,所以0<≤1,所以30<≤31,即1<≤3,所以所求函数的值域为(1,3].
(2)由题意知1-≥0,所以≤1=,所以x+2≥0,即x≥-2,所以函数的定义域为[-2,+∞);
因为0<≤1,所以0≤1-<1,即0≤y<1,所以所求函数的值域为[0,1).
10.(15分)已知函数f(x)=.
(1)当a=1时,求f(x)的值域;
(2)若f(x)的最大值为9,求a的值.
【解】 (1)当a=1时,f(x)=,令t=x2+2x-3,由t=(x+1)2-4得t∈[-4,+∞),所以3t≥3-4=,所以f(x)的值域为[,+∞).
(2)令u=ax2+2x-3,y=3u,因为y=3u在定义域上为增函数,而f(x)的最大值为9,所以u=ax2+2x-3的最大值为2,所以所以a=-.
11.已知函数f(x)=若存在x1,x2,x3(x1[A](0,1] [B][0,1]
[C](-∞,1] [D](-∞,1)
【答案】 B
【解析】 作出f(x)的大致图象如图,其与直线y=a(0由图可知,x1,x2关于直线x=-1对称,x3>0,即x1+x2=-2,则x1+x2+x3>-2.由图象知,当x>-2时,f(x)∈[0,1],所以f(x1+x2+x3)∈[0,1].故选B.
12.(多选)已知函数f(x)=|5x-1|,若存在实数m>r>n,使得f(m)=f(n)>f(r),则下列关系式中成立的是(　　)
[A]5m+5n=2 [B]5m+5r>2
[C]5r+5n>2 [D]5r>2
【答案】 AB
【解析】 作出函数f(x)=|5x-1|的图象如图所示,
存在实数m>r>n,使得f(m)=f(n)>f(r),
由图可知,5m-1=1-5n,即5m+5n=2,A正确;因为函数y=5x在R上为增函数,则5m>5r>5n>0,所以5m+5r>5m+5n=2,B正确;5r+5n<5m+5n=2,C错误;5r<5m<5m+5n=2,D错误.故选AB.
13.(17分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象如图(1)所示,求a,b的值;
(2)若函数f(x)的图象如图(2)所示,求a,b的取值范围;
(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数根,求m的取值范围.
【解】 (1)由题图(1)知函数f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),所以又a>0,且a≠1,所以a=,b=-3.
(2)由题图(2)知函数f(x)在其定义域上为减函数,所以0故a的取值范围为(0,1),b的取值范围为(-∞,-1).
(3)由(1)知f(x)=()x-3,画出|f(x)|=|()x-3|的大致图象如图所示,
要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根,则m=0或m≥3.故m的取值范围为{0}∪[3,+∞).
14.函数f(x)=2x+3-x的图象可能为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=2x+3-x,x∈R,所以f(0)=20+30=2,f(1)=2+>2=f(0),故排除D;
又f(-1)=2-1+3=>f(0),故排除C;
f()=+=+=,==<=4,所以<2,即f()故选A.第2课时　指数函数的图象和性质(二)
【课程标准要求】　1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.掌握指数函数图象和性质的综合应用.
题型一　利用指数函数的单调性比较大小
[例1] (苏教版必修第一册P144例1)比较下列各组数中两个数的大小:
(1)1.52.5,1.53.2;
(2)0.5-1.2,0.5-1.5;
(3)1.50.3,0.81.2.
因为1.5>1,
所以y=1.5x在R上是增函数.
又因为2.5<3.2,
所以1.52.5<1.53.2.
(2)考察指数函数y=0.5x.
因为0<0.5<1,
所以y=0.5x在R上是减函数.
又因为-1.2>-1.5,
所以0.5-1.2<0.5-1.5.
(3)考察指数函数y=1.5x.
因为1.5>1,
所以y=1.5x在R上是增函数.
又因为0.3>0,
所以1.50.3>1.50=1.
同理0.81.2<0.80=1,
故1.50.3>0.81.2.
比较幂的大小的方法
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.
[变式训练] 下列式子正确的是(　　)
[A]1.52.9>1.53.4 [B]0.20.4<0.50.4
[C]1.70.2<0.92.5 [D]0.80.5>0.90.4
题型二　简单的指数不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式:
(1)>22x+3;
(2)≤.
所以原不等式的解集为(-∞,-1).
(2)因为≤,所以≤,所以≥4,所以x≥16.
故原不等式的解集为[16,+∞).
[典例迁移1] 解关于x的不等式:≤a6(a>0,且a≠1).
若0综上,当a>1时,原不等式的解集为{x|-1≤x≤3};当0[典例迁移2] 解不等式:4x-2x-2>0.
故原不等式的解集为(1,+∞).
(1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(2)解不等式af(x)>(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即af(x)> f(x)>g(x)(a>1)或f(x)(3)解不等式k·a2x+m·ax+t>0(a>0,且a≠1,k,m≠0),可化为关于“ax”的一元二次不等式,使用换元法.
题型三　指数函数图象和性质的综合运用
[例3] 已知函数f(x)=为奇函数.
(1)写出f(x)的定义域,并求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并利用定义加以证明;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
(2)由(1)知,f(x)===1-,则函数f(x)在定义域R上单调递增.证明如下:
x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=1--1+=,
因为x1>0,即-<0,又+1>0,+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)因为不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0对任意的t∈R恒成立,且函数f(x)为R上的奇函数,所以f(2t2-k)>-f(t2-2t)=f(2t-t2)对任意的t∈R恒成立,又函数f(x)为增函数,则2t2-k>2t-t2,即3t2-2t-k>0对任意的t∈R恒成立,所以Δ=4+12k<0,解得k<-.因此,实数k的取值范围是(-∞,-).
(1)解题过程中要关注、体会性质的应用,如果性质应用不充分,会导致解题步骤繁琐或无法求解,如本题中奇偶性、单调性的应用,可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.
(2)一元二次不等式的恒成立问题,可以结合相应的二次函数的图象,转化为等价的条件求解,恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.
[变式训练] 设a>0,函数f(x)=+是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的值域.
由题意得-a=0,又a>0,所以a=1.
(2)由(1)可知f(x)=4x+,设任意的x1,x2∈[0,+∞),且x1因为0≤x10,所以>1,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)=4+=;最小值为f(0)=1+1=2.
故f(x)在[0,1]上的值域为[2,].
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若a=1.020.5,b=1.020.6,c=0.60.5,则(　　)
[A]c>a>b [B]c>b>a
[C]b>a>c [D]a>b>c
综上所述,b>a>c.故选C.
2.已知函数f(x)=a-为奇函数,则a等于(　　)
[A]2 [B]1 [C]0 [D]-1
由函数f(x)为奇函数,得f(-x)+f(x)=0,
即a-+a-=2a-(+)=2a-2=0,所以a=1,经检验满足题意.故选B.
3.函数f(x)=的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
当x>0时,f(x)>0,排除C.故选A.
4.函数f(x)=3x-3-x是(　　)
[A]奇函数,且在R上是增函数
[B]奇函数,且在R上是减函数
[C]偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
[D]偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
f(x)=3x+,因为y=3x在R上是增函数,所以y=-在R上是增函数,所以函数f(x)在R上是增函数.故选A.
5.已知指数函数f(x)=ax与g(x)=bx的图象如图所示,则(　　)
[A]a>ab>b>ba [B]a>ab>ba>b
[C]ab>a>ba>b [D]ab>a>b>ba
6.若对任意的x∈[-3,-2],都有(2m-1)2x≤1恒成立,则m的取值范围为(　　)
[A](-∞,2] [B](-∞,]
[C](-∞,4] [D](-∞,]
故m的取值范围为(-∞,].故选B.
7.(5分)不等式<0.的解集为　　　　.
则不等式的解集为{x|x<1}.
8.(5分)不等式9x-4×3x+1+27≤0的解集为　　　　　.
故不等式9x-4×3x+1+27≤0的解集为{x|1≤x≤2}.
9.(14分)已知m>0,a>0且a≠1,函数f(x)=(m2-4m-4)ax是指数函数,且f(2)=.
(1)求m和a的值;
(2)求f(x2-2x)-f(3)>0的解集.
则f(x)=ax,又f(2)=a2=,a>0且a≠1,所以a=.
(2)由(1)得f(x)=,它是定义在R上的减函数,不等式f(x2-2x)-f(3)>0化为f(x2-2x)>f(3),所以x2-2x<3,解得-110.(15分)已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)的值域;
(3)若不等式f(2a)+f(1-a)>0,求实数a的取值范围.
故f(x)=
(2)当x∈(0,1)时,f(x)=2x∈(1,2);当x=0时,f(x)=0;当x∈(-1,0)时,f(x)=-2-x∈(-2,-1).
所以f(x)的值域为(-2,-1)∪{0}∪(1,2).
(3)由(1)知,当x∈(0,1)时,f(x)=2x.则函数f(x)在(0,1)上单调递增,又由函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,则函数f(x)在(-1,1)上单调递增.由f(2a)+f(1-a)>0,有f(2a)>-f(1-a)=f(a-1),
所以解得0所以实数a的取值范围为(0,).
11.已知函数f(x)=
(a>0,且a≠1)在R上具有单调性,则实数a的取值范围为(　　)
[A](0,] [B](0,]∪(1,+∞)
[C][,1) [D](1,+∞)
(a>0,且a≠1)在R上具有单调性,当f(x)在R上单调递减时,解得01.
所以实数a的取值范围是(0,]∪(1,+∞).故选B.
12.(多选)已知函数f(x)=(k为常数)是定义域为R的奇函数,则下列说法正确的是(　　)
[A]k=±1
[B]f(x)在R上单调递减
[C]f(x)的值域为(-1,1)
[D]f(x)>0的解集为(-∞,0)
13.(15分)已知函数f(x)=(+)x3.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)求证:对定义域内的所有x,都有f(x)>0成立.
所以f(-x)=·(-x)3=·(-x)3=·x3=f(x),则函数f(x)是偶函数.
当x>0时,2x-1>0,此时(+)·x3>0,即f(x)>0成立,所以对定义域内的所有x,都有f(x)>0成立.
14.设函数f(x)=2|x|+1-,则下列不等式中正确的是(　　)
[A]f(50.3)>f(-)>f(0.35)
[B]f(-)>f(0.35)>f(50.3)
[C]f(0.35)>f(50.3)>f(-)
[D]f(-)>f(50.3)>f(0.35)(共28张PPT)
4.2.2　指数函数的
图象和性质
第1课时　指数函数的图象和性质(一)
1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
项目 a>1 0图象
定义域 R 值域 知识点　指数函数的图象和性质
知识归纳
(0,+∞)
性 质 最值 无最值 过定点 过定点 , 即x= 时,y= 函数值 的变化 当x<0时, ; 当x>0时, 当x>0时, ;
当x<0时,
单调性 在R上是 函数 在R上是 函数
奇偶性 对称性 y=ax与 的图象关于 对称 (0,1)
0
1
0y>1
0y>1
增
减
非奇非偶
y轴
·疑难解惑·
(1)函数图象只出现在x轴上方.
(2)当x=0时,有a0=1,故图象过定点(0,1).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴.
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
基础自测
B
[A] [B] [C] [D]
2.函数f(x)=ax-1-1(a>0,且a≠1)的图象过定点(　　)
[A](1,0) [B](1,-1)
[C](-1,0) [D](-1,-1)
A
【解析】 令x-1=0,得x=1,代入解析式,得f(1)=0,故图象过定点(1,0).故选A.
B
4.若指数函数f(x)=(a-1)x在R上为减函数,则a的取值范围为　　　　.
(1,2)
【解析】 由题意得,0关键能力·素养培优
[例1] 如图是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与0和1的大小关系是(　　)
[A]0[C]1题型一　指数函数的图象
B
【解析】 如图,作出直线x=1,与4个指数函数的图象自下至上分别交于点(1,b),(1,a),(1,d),(1,c),所以0·解题策略·
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在同一平面直角坐标系内,识别多个指数函数图象底数的大小,可借助直线x=1,根据直线x=1与各图象交点纵坐标的大小确定底数的大小. 在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”.
B
题型二　指数函数图象的应用
[例2] 已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=mx-n的图象不经过(　　)
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
B
【解析】 由已知条件得当x=2时,f(2)=2,则函数f(x)的图象恒过点M(2,2),
即m=2,n=2,此时g(x)=2x-2,
由于g(x)的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到的,
且过点(0,-1),由此可知g(x)的图象不经过第二象限.故选B.
[典例迁移1] 函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　)
[A]a>1,b<0
[B]a>1,b>0
[C]00
[D]0D
【解析】 由题图可知,函数f(x)为减函数,从而有0法一　由f(x)=ax-b的图象知,函数图象与y轴交点的纵坐标y∈(0,1),令x=0,得y=a-b,由0法二　函数f(x)的图象可看作是由y=ax(0-b>0,即b<0.故选D.
A
·解题策略·
(1)定点问题:令函数解析式中的指数为0,可求出横坐标,再求纵坐标即可.
(2)平移问题:对于横坐标x满足“左加右减”.
(3)确定参数问题:根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的取值范围,利用函数图象与y轴的交点,确定b,c的取值范围,也可利用图象的平移变化确定b,c的取值范围.
题型三　与指数函数有关的定义域(值域)问题
·解题策略·
y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数的定义域、值域的求法
(1)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的值域时,先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
【解】 f(x)的定义域是R.
因为-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4,所以当a>1时,函数f(x)的值域为(0,a4];
当0感谢观看第2课时　指数函数的图象和性质(二)
【课程标准要求】　1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.掌握指数函数图象和性质的综合应用.
题型一　利用指数函数的单调性比较大小
[例1] (苏教版必修第一册P144例1)比较下列各组数中两个数的大小:
(1)1.52.5,1.53.2;
(2)0.5-1.2,0.5-1.5;
(3)1.50.3,0.81.2.
【解】 (1)考察指数函数y=1.5x.
因为1.5>1,
所以y=1.5x在R上是增函数.
又因为2.5<3.2,
所以1.52.5<1.53.2.
(2)考察指数函数y=0.5x.
因为0<0.5<1,
所以y=0.5x在R上是减函数.
又因为-1.2>-1.5,
所以0.5-1.2<0.5-1.5.
(3)考察指数函数y=1.5x.
因为1.5>1,
所以y=1.5x在R上是增函数.
又因为0.3>0,
所以1.50.3>1.50=1.
同理0.81.2<0.80=1,
故1.50.3>0.81.2.
比较幂的大小的方法
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.
[变式训练] 下列式子正确的是(　　)
[A]1.52.9>1.53.4 [B]0.20.4<0.50.4
[C]1.70.2<0.92.5 [D]0.80.5>0.90.4
【答案】 B
【解析】 对于A,y=1.5x为增函数,因为2.9<3.4,所以1.52.9<1.53.4,A错误;对于B,y=x0.4在(0,+∞)上单调递增,因为0.2<0.5,所以0.20.4<0.50.4,B正确;对于C,因为y=1.7x为增函数,所以1.70.2>1.70=1,因为y=0.9x为减函数,所以0.92.5<0.90=1,所以1.70.2>0.92.5,C错误;对于D,因为y=0.8x为减函数,所以0.80.5<0.80.4,因为y=x0.4为增函数,所以0.80.4<0.90.4,所以0.80.5<0.90.4,D错误.故选B.
题型二　简单的指数不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式:
(1)>22x+3;
(2)≤.
【解】 (1)由>22x+3得2-3x-2>22x+3,所以-3x-2>2x+3,解得x<-1.
所以原不等式的解集为(-∞,-1).
(2)因为≤,所以≤,所以≥4,所以x≥16.
故原不等式的解集为[16,+∞).
[典例迁移1] 解关于x的不等式:≤a6(a>0,且a≠1).
【解】 若a>1,则不等式≤a6等价于x2-2x+3≤6,即(x+1)(x-3)≤0,解得-1≤x≤3;
若0综上,当a>1时,原不等式的解集为{x|-1≤x≤3};当0[典例迁移2] 解不等式:4x-2x-2>0.
【解】 因为4x-2x-2>0,所以(2x)2-2x-2>0,所以(2x+1)(2x-2)>0,又2x+1>1,所以2x-2>0,所以2x>2,所以x>1.
故原不等式的解集为(1,+∞).
(1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(2)解不等式af(x)>(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即af(x)> f(x)>g(x)(a>1)或f(x)(3)解不等式k·a2x+m·ax+t>0(a>0,且a≠1,k,m≠0),可化为关于“ax”的一元二次不等式,使用换元法.
题型三　指数函数图象和性质的综合运用
[例3] 已知函数f(x)=为奇函数.
(1)写出f(x)的定义域,并求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并利用定义加以证明;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
【解】 (1)对任意的x∈R,3x+1>0,则函数f(x)的定义域为R.由f(0)==0,解得a=-1,此时f(x)=,满足f(-x)====-f(x).故a=-1.
(2)由(1)知,f(x)===1-,则函数f(x)在定义域R上单调递增.证明如下:
x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=1--1+=,
因为x1>0,即-<0,又+1>0,+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)因为不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0对任意的t∈R恒成立,且函数f(x)为R上的奇函数,所以f(2t2-k)>-f(t2-2t)=f(2t-t2)对任意的t∈R恒成立,又函数f(x)为增函数,则2t2-k>2t-t2,即3t2-2t-k>0对任意的t∈R恒成立,所以Δ=4+12k<0,解得k<-.因此,实数k的取值范围是(-∞,-).
(1)解题过程中要关注、体会性质的应用,如果性质应用不充分,会导致解题步骤繁琐或无法求解,如本题中奇偶性、单调性的应用,可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.
(2)一元二次不等式的恒成立问题,可以结合相应的二次函数的图象,转化为等价的条件求解,恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.
[变式训练] 设a>0,函数f(x)=+是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的值域.
【解】 (1)由f(x)=f(-x),得+=+,即4x(-a)+(a-)=0,所以(4x-)(-a)=0,
由题意得-a=0,又a>0,所以a=1.
(2)由(1)可知f(x)=4x+,设任意的x1,x2∈[0,+∞),且x1因为0≤x10,所以>1,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)=4+=;最小值为f(0)=1+1=2.
故f(x)在[0,1]上的值域为[2,].
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若a=1.020.5,b=1.020.6,c=0.60.5,则(　　)
[A]c>a>b [B]c>b>a
[C]b>a>c [D]a>b>c
【答案】 C
【解析】 由函数y=1.02x在R上为增函数,则1.020.5<1.020.6,即a0.60.5,即a>c.
综上所述,b>a>c.故选C.
2.已知函数f(x)=a-为奇函数,则a等于(　　)
[A]2 [B]1 [C]0 [D]-1
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=a-的定义域为R.
由函数f(x)为奇函数,得f(-x)+f(x)=0,
即a-+a-=2a-(+)=2a-2=0,所以a=1,经检验满足题意.故选B.
3.函数f(x)=的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 f(x)的定义域为R,且f(-x)===f(x),故f(x)为偶函数,排除B,D;
当x>0时,f(x)>0,排除C.故选A.
4.函数f(x)=3x-3-x是(　　)
[A]奇函数,且在R上是增函数
[B]奇函数,且在R上是减函数
[C]偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
[D]偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=3x-3-x,定义域为R,且f(-x)=3-x-3x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数;
f(x)=3x+,因为y=3x在R上是增函数,所以y=-在R上是增函数,所以函数f(x)在R上是增函数.故选A.
5.已知指数函数f(x)=ax与g(x)=bx的图象如图所示,则(　　)
[A]a>ab>b>ba [B]a>ab>ba>b
[C]ab>a>ba>b [D]ab>a>b>ba
【答案】 A
【解析】 由题图可知,a>1,0ab>b>ba.故选A.
6.若对任意的x∈[-3,-2],都有(2m-1)2x≤1恒成立,则m的取值范围为(　　)
[A](-∞,2] [B](-∞,]
[C](-∞,4] [D](-∞,]
【答案】 B
【解析】 由(2m-1)2x≤1恒成立,得2m-1≤=恒成立,又x∈[-3,-2],所以y=的最小值为=4,所以2m-1≤4,解得m≤.
故m的取值范围为(-∞,].故选B.
7.(5分)不等式<0.的解集为　　　　.
【答案】 {x|x<1}
【解析】 原不等式可化为<,因为函数y=2x是增函数,所以3-2x<4-3x,解得x<1.
则不等式的解集为{x|x<1}.
8.(5分)不等式9x-4×3x+1+27≤0的解集为　　　　　.
【答案】 {x|1≤x≤2}
【解析】 不等式9x-4×3x+1+27≤0可化为-12×3x+27≤0,即(3x-3)(3x-9)≤0,解得3≤3x≤9,所以1≤x≤2.
故不等式9x-4×3x+1+27≤0的解集为{x|1≤x≤2}.
9.(14分)已知m>0,a>0且a≠1,函数f(x)=(m2-4m-4)ax是指数函数,且f(2)=.
(1)求m和a的值;
(2)求f(x2-2x)-f(3)>0的解集.
【解】 (1)因为函数f(x)=(m2-4m-4)ax是指数函数,所以m2-4m-4=1,又m>0,解得m=5;
则f(x)=ax,又f(2)=a2=,a>0且a≠1,所以a=.
(2)由(1)得f(x)=,它是定义在R上的减函数,不等式f(x2-2x)-f(3)>0化为f(x2-2x)>f(3),所以x2-2x<3,解得-110.(15分)已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)的值域;
(3)若不等式f(2a)+f(1-a)>0,求实数a的取值范围.
【解】 (1)由题知,f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,则f(0)=0.设-1故f(x)=
(2)当x∈(0,1)时,f(x)=2x∈(1,2);当x=0时,f(x)=0;当x∈(-1,0)时,f(x)=-2-x∈(-2,-1).
所以f(x)的值域为(-2,-1)∪{0}∪(1,2).
(3)由(1)知,当x∈(0,1)时,f(x)=2x.则函数f(x)在(0,1)上单调递增,又由函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,则函数f(x)在(-1,1)上单调递增.由f(2a)+f(1-a)>0,有f(2a)>-f(1-a)=f(a-1),
所以解得0所以实数a的取值范围为(0,).
11.已知函数f(x)=
(a>0,且a≠1)在R上具有单调性,则实数a的取值范围为(　　)
[A](0,] [B](0,]∪(1,+∞)
[C][,1) [D](1,+∞)
【答案】 B
【解析】 f(x)=
(a>0,且a≠1)在R上具有单调性,当f(x)在R上单调递减时,解得01.
所以实数a的取值范围是(0,]∪(1,+∞).故选B.
12.(多选)已知函数f(x)=(k为常数)是定义域为R的奇函数,则下列说法正确的是(　　)
[A]k=±1
[B]f(x)在R上单调递减
[C]f(x)的值域为(-1,1)
[D]f(x)>0的解集为(-∞,0)
【答案】 BCD
【解析】 A选项,由题意得f(0)=0,即=0,解得k=1,经检验,当k=1时,f(x)=为奇函数,所以k=1,故A不正确;B选项,f(x)===-1+,因为y=3x在R上单调递增,所以f(x)在定义域R上单调递减,故B正确;C选项,当x>0时,3x>1,所以1+3x>2,则0<<1,故-1<-1+<0,即-10,得1-3x>0,解得x<0,故D正确.故选BCD.
13.(15分)已知函数f(x)=(+)x3.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)求证:对定义域内的所有x,都有f(x)>0成立.
(1)【解】 要使函数f(x)有意义,则2x-1≠0,即x≠0,则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)【解】 由(1)知f(x)的定义域关于原点对称,因为f(x)=(+)x3=·x3,
所以f(-x)=·(-x)3=·(-x)3=·x3=f(x),则函数f(x)是偶函数.
(3)【证明】 因为函数f(x)是偶函数,所以只要证明当x>0时,f(x)>0即可.
当x>0时,2x-1>0,此时(+)·x3>0,即f(x)>0成立,所以对定义域内的所有x,都有f(x)>0成立.
14.设函数f(x)=2|x|+1-,则下列不等式中正确的是(　　)
[A]f(50.3)>f(-)>f(0.35)
[B]f(-)>f(0.35)>f(50.3)
[C]f(0.35)>f(50.3)>f(-)
[D]f(-)>f(50.3)>f(0.35)
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=2|x|+1-的定义域为R,且f(-x)=2|-x|+1-=2|x|+1-=f(x),所以f(x)为偶函数,故f(-)=f().当x>0时,f(x)=2x+1-,因为y=2x+1,y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=2x+1-在(0,+∞)上单调递增.因为=50.5>50.3>1>0.35,所以f(-)>f(50.3)>f(0.35).故选D.4.2.2　指数函数的图象和性质
第1课时　指数函数的图象和性质(一)
【课程标准要求】　1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域问题.
知识归纳
知识点　指数函数的图象和性质
项目 a>1 0图象
定义域 R
值域 (0,+∞)
性 质 最值 无最值
过定点 过定点(0,1), 即x=0时,y=1
函数值 的变化 当x<0时, 00时, y>1 当x>0时, 01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶
对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称
(1)函数图象只出现在x轴上方.
(2)当x=0时,有a0=1,故图象过定点(0,1).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴.
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
基础自测
1.y=-1的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
2.函数f(x)=ax-1-1(a>0,且a≠1)的图象过定点(　　)
[A](1,0) [B](1,-1)
[C](-1,0) [D](-1,-1)
3.(人教A版必修第一册P118练习T1改编)函数y=3x与y=的图象(　　)
[A]关于x轴对称
[B]关于y轴对称
[C]关于原点对称
[D]关于直线y=x对称
4.若指数函数f(x)=(a-1)x在R上为减函数,则a的取值范围为　　　　.
题型一　指数函数的图象
[例1] 如图是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与0和1的大小关系是(　　)
[A]0[C]1解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在同一平面直角坐标系内,识别多个指数函数图象底数的大小,可借助直线x=1,根据直线x=1与各图象交点纵坐标的大小确定底数的大小. 在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”.
[变式训练] 如图,①②③④中不属于函数y=2x,y=3x,y=的图象的一个是(　　)
[A]① [B]② [C]③ [D]④
题型二　指数函数图象的应用
[例2] 已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=mx-n的图象不经过(　　)
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
由于g(x)的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到的,且过点(0,-1),由此可知g(x)的图象不经过第二象限.故选B.
[典例迁移1] 函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　)
[A]a>1,b<0
[B]a>1,b>0
[C]00
[D]0法一　由f(x)=ax-b的图象知,函数图象与y轴交点的纵坐标y∈(0,1),令x=0,得y=a-b,由0法二　函数f(x)的图象可看作是由y=ax(00,即b<0.故选D.
[典例迁移2] 若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值可以是(　　)
[A] [B] [C]2 [D]4
若直线y=2a与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,则0<2a<1,所以01,所以此种情况不存在;
当0若直线y=2a与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,则0<2a<1,所以0综上,a的取值范围是(0,).故选A.
(1)定点问题:令函数解析式中的指数为0,可求出横坐标,再求纵坐标即可.
(2)平移问题:对于横坐标x满足“左加右减”.
(3)确定参数问题:根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的取值范围,利用函数图象与y轴的交点,确定b,c的取值范围,也可利用图象的平移变化确定b,c的取值范围.
题型三　与指数函数有关的定义域(值域)问题
[例3] 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
由于≠0,故≠1,又>0,所以y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)因为5x-1≥0,即x≥,所以函数y=的定义域为[,+∞);
因为≥0,所以≥30=1,因此函数y=的值域为[1,+∞).
(3)函数y=的定义域为R;
因为x2-3≥-3,所以0<≤()-3=27,因此函数y=的值域为(0,27].
y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数的定义域、值域的求法
(1)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的值域时,先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
[变式训练] 求函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域.
因为-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4,所以当a>1时,函数f(x)的值域为(0,a4];当0课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数f(x)=ax-1+xa-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(　　)
[A](0,-1) [B](0,1)
[C](1,0) [D](1,1)
2.已知两个指数函数y=ax,y=bx的部分图象如图所示,则(　　)
[A]0[C]a>b>1 [D]b>a>1
3.若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象不经过第二象限,则有(　　)
[A]a>1且b<1 [B]0[C]00 [D]a>1且b≤0
由题意得函数图象与y轴的交点不在x轴上方,
所以当x=0时,y=a0+b-1≤0,即b≤0.故选D.
4.函数f(x)=·3x的图象大致形状是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
当x<0时,f(x)=-3x,其在(-∞,0)上单调递减,B错误,A正确.故选A.
5.已知函数y=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2但不与该直线相交,则(　　)
[A]a=-2,b=2 [B]a=2,b=2
[C]a=-1,b=2 [D]a=2,b=1
6.设函数f(x)=a-x-2(a>0,且a≠1)的图象经过第二、第三、第四象限,则不等式f(1-m)[A](-2,1)
[B](0,1)
[C](-2,1]
[D](-∞,-2)∪(1,+∞)
则函数f(x)在定义域R上是减函数,不等式f(1-m) m2-1,即m2+m-2<0,解得-27.(5分)已知指数函数y=的图象如图所示,则二次函数y=2ax2+bx+c图象顶点的横坐标的取值范围为　　　　　.
8.(5分)若关于x的方程=k有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为　　　　　.
9.(12分)求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=.
因为x2+1≥1,所以0<≤1,所以30<≤31,即1<≤3,所以所求函数的值域为(1,3].
(2)由题意知1-≥0,所以≤1=,所以x+2≥0,即x≥-2,所以函数的定义域为[-2,+∞);
因为0<≤1,所以0≤1-<1,即0≤y<1,所以所求函数的值域为[0,1).
10.(15分)已知函数f(x)=.
(1)当a=1时,求f(x)的值域;
(2)若f(x)的最大值为9,求a的值.
(2)令u=ax2+2x-3,y=3u,因为y=3u在定义域上为增函数,而f(x)的最大值为9,所以u=ax2+2x-3的最大值为2,所以所以a=-.
11.已知函数f(x)=若存在x1,x2,x3(x1[A](0,1] [B][0,1]
[C](-∞,1] [D](-∞,1)
由图可知,x1,x2关于直线x=-1对称,x3>0,即x1+x2=-2,则x1+x2+x3>-2.由图象知,当x>-2时,f(x)∈[0,1],所以f(x1+x2+x3)∈[0,1].故选B.
12.(多选)已知函数f(x)=|5x-1|,若存在实数m>r>n,使得f(m)=f(n)>f(r),则下列关系式中成立的是(　　)
[A]5m+5n=2 [B]5m+5r>2
[C]5r+5n>2 [D]5r>2
存在实数m>r>n,使得f(m)=f(n)>f(r),
由图可知,5m-1=1-5n,即5m+5n=2,A正确;因为函数y=5x在R上为增函数,则5m>5r>5n>0,所以5m+5r>5m+5n=2,B正确;5r+5n<5m+5n=2,C错误;5r<5m<5m+5n=2,D错误.故选AB.
13.(17分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象如图(1)所示,求a,b的值;
(2)若函数f(x)的图象如图(2)所示,求a,b的取值范围;
(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数根,求m的取值范围.
(2)由题图(2)知函数f(x)在其定义域上为减函数,所以0故a的取值范围为(0,1),b的取值范围为(-∞,-1).
(3)由(1)知f(x)=()x-3,画出|f(x)|=|()x-3|的大致图象如图所示,
要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根,则m=0或m≥3.故m的取值范围为{0}∪[3,+∞).
14.函数f(x)=2x+3-x的图象可能为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
又f(-1)=2-1+3=>f(0),故排除C;
f()=+=+=,==<=4,所以<2,即f()故选A.

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