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(共25张PPT)
4.3.2　对数的运算
第1课时　对数的运算
1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　对数的运算性质
知识归纳
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)= .
logaM+logaN
logaM-logaN
nlogaM
·疑难解惑·
(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义,而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.
性质(1)可以推广为loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中N1,N2,…,Nk>0,k∈N*.
『知识拓展』
基础自测
B
A
C
【解析】 因为lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,所以lg a+lg b=lg (ab)=0,因此ab=1.故选C.
B
关键能力·素养培优
题型一　对数运算性质的简单应用
(4)2log183+log182.
【解】 (4)2log183+log182=log189+log182=log1818=1.
·解题策略·
对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)lg 20+lg 5;
【解】 (1)lg 20+lg 5=lg 100=lg 102=2.
(2)log336-log312;
题型二　对数式的分拆
[例2] (北师大版必修第一册P102例2)已知log23=a,log25=b,用a,b表示下列各式的值:
(1)log230;
【解】 (1)log230=log2(2×3×5)=log22+log23+log25=1+a+b.
·解题策略·
用已知对数的值来表示所求对数的值时,要增强目标意识,把真数拆解成已知对数的真数,合理地把所求向已知条件转化.
题型三　利用对数的运算性质化简、求值
【解】 (3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=
2+(lg 10)2=2+1=3.
·解题策略·
利用对数的运算性质化简、求值
(1)“合”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用.
(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1,进行计算或化简.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2.
感谢观看第2课时　换底公式
【课程标准要求】　1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识归纳
知识点　对数换底公式
logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
知识拓展
对数换底公式的重要推论
(1)logaN=(N>0,且N≠1;a>0,且a≠1).
(2)lobm=logab(a>0,且a≠1;b>0).
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1).特别地logab·logba=1.
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
(2)在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logab=或logab=(a>0,且a≠1;b>0).
基础自测
1.化简log832的值为(　　)
[A] [B]2 [C]4 [D]
法二　log832===.故选D.
2.化简的值为 (　　)
[A] [B] [C]2 [D]3
3.(人教A版必修第一册P126练习T3改编)化简log23×log34×log45×log58的值为(　　)
[A]1 [B]3
[C]4 [D]8
4.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于 (　　)
[A] [B]
[C] [D]
题型一　对数换底公式的应用
[例1] (北师大版必修第一册P105例4)计算:
(1)log4+log23-log0.5;
(2)(log32+log23)2--.
(1)log4+log23-log0.5=+log23-=log2+log23-log25=log2(×3÷5)=log21=0.
(2)(log32+log23)2--=(+)2-×-×=()2+()2+2-()2-()2=2.
[典例迁移1] 计算的值.
[典例迁移2] 已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
法二　因为log189==a,所以lg 9=alg 18.因为18b=5,所以log185==b,所以lg 5=blg 18.又lg 18≠0,所以log3645=====.
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
题型二　对数运算性质的综合运用
[例2] 已知x,y,z都是大于1的实数,m>0且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,求logzm的值.
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
[变式训练] 已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.
所以x=log230=log22+log215=1+log215,y=log330=log33+log310=1+log310,
z=log530=log55+log56=1+log56.
题型三　实际问题中的对数运算
[例3] 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策,加装了污水过滤排放设备,在过滤过程中,污染物含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为M=M0e-kt(其中M0,k是正常数).已知经过1 h,该设备可以过滤掉20%的污染物,则过滤一半的污染物需要的时间最接近(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　　)
[A]3 h [B]4 h [C]5 h [D]6 h
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中,先将题目中数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算.
[变式训练] 假设学习的初始值为1,如果每天的“进步率”都是1%,那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是(1-1%)365=0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的=≈1 481倍.照此计算,当“进步者”是“退步者”的2倍时,大约经过天数为(参考数据:lg 1.01≈0.004 32,lg 0.99≈-0.004 36,lg 2≈0.301 0)(　　)
[A]33 [B]35 [C]37 [D]39
解得n=lo2=≈≈35.即经过约 35天,“进步者”是“退步者”的2倍.故选B.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.化简log29×log34等于(　　)
[A] [B] [C]2 [D]4
法二　原式=2log23×=2×2=4.故选D.
2.化简的值是(　　)
[A]1 [B] [C] [D]2
3.设log34·log48·log8m=log416,则m等于(　　)
[A] [B]9 [C]18 [D]27
4.若+=,则t等于(　　)
[A]2 [B]12 [C]48 [D]144
5.设n=+,则n的值所在的区间为(　　)
[A](-2,-1) [B](-3,-2)
[C](1,2) [D](2,3)
6.(多选)设a,b,c均是不等于1的正实数, 则下列等式恒成立的是(　　)
[A]logab·logca=logcb
[B]loga(bc)=logab·logac
[C]loga(b+c)=logab+logac
[D]logab=lobc
令a=2,b=2,c=4,则loga(bc)=log28=3,logab·logac=log22·log24=2,B错误;
令a=2,b=4,c=4,则loga(b+c)=log28=3,logab+logac=log24+log24=4,C错误;
lobc===logab,D正确.故选AD.
7.(5分)计算log332×log49-log2+log26的值为　　　　.
8.(5分)若ln 3=a,则log9e=　　　　.(用a表示)
9.(12分)求下列各式的值:
(1)log6432×log2×log3×log5;
(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
(2)法一　原式=(log253+lo52+lo5)·(log52+lo22+lo23)=(3log25+log25+log25)(log52+log52+log52)=
(3+1+)×3×log25×log52=13.
法二　原式=(++)·(++)=(++)·(++)=×=13.
10.(14分)(1)设log182=a,试用含有a的代数式表示log32;
(2)设log35=a,log57=b,试用a,b表示log7563.
(2)因为log53==,log57=b,所以log7563=====.
11.(多选)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定,一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为M=lg (其中常数A0是距震中100 km处接收到的0级地震的地震波的最大振幅,Amax是指我们关注的这次地震在距震中100 km处接收到的地震波的最大振幅).地震的能量E(单位:J)是指当地震发生时,以地震波的形式放出的能量.已知E=104.8×101.5M,其中M为地震震级.下列说法正确的是(　　)
[A]若地震震级M增加2级,则最大振幅Amax增加到原来的20倍
[B]若地震震级M增加2级,则放出的能量E增加到原来的1 000倍
[C]若最大振幅Amax增加到原来的100倍,则放出的能量E增加到原来的 1 000 倍
[D]若最大振幅Amax增加到原来的100倍,则放出的能量E增加到原来的100倍
由E′=104.8×101.5M′=104.8×101.5(M+2)=104.8×101.5M+3=1 000E,故B正确;
因为M″=lg =M+2,所以E″=104.8×1=104.8×101.5(M+2)=104.8×101.5M+3=1 000E,故C正确,D错误.故选BC.
12.(5分)已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则ab=　　　　.
因为a>b>1,所以logba>1,则logba=3,所以a=b3,又ab=ba,所以(b3)b=,所以3b=b3,又b>1,所以b=,则a=3,所以ab=9.
13.(17分)(1)试利用对数的运算性质计算(+)的值;
(2)已知x,y,z为正数,若3x=4y=6z,求-的值;
(3)定义:一个自然数的数位的个数,叫做位数,例如23的位数是2,2 024的位数是4.试判断22 024的位数.(注:lg 2≈0.301 0)
(2)由题意,令3x=4y=6z=a,则a>0,所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,
所以-=-=×-×=-==.
(3)设22 024=t,则lg t=2 024×lg 2,又lg 2≈0.301 0,所以lg t≈2 024×0.301 0=609.224,所以t≈10609.224,
则t∈(10609,10610),所以22 024的位数为610.
[A]14 [B]15 [C]24 [D]254.3.2　对数的运算
第1课时　对数的运算
【课程标准要求】　1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识归纳
知识点　对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)loga=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义,而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.
知识拓展
性质(1)可以推广为loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中N1,N2,…,Nk>0,k∈N*.
基础自测
1.计算log62+log63等于(　　)
[A]0 [B]1
[C]2 [D]3
2.计算log2等于(　　)
[A]-2 [B]- [C] [D]2
3.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T2(2))若lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,则(　　)
[A]a+b=0 [B]a-b=0
[C]ab=1 [D]=1
4.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为 (　　)
[A]a-b [B]a-2b
[C] [D]
题型一　对数运算性质的简单应用
[例1] 求下列各式的值:
(1)log3(9×27);
(2)lg +lg +lg 100;
(3)log7-log7;
(4)2log183+log182.
(2)lg +lg +lg 100=lg (××100)=lg 1003=lg 106=6.
(3)log7-log7=log7(÷)=log7=log77-1=-1.
(4)2log183+log182=log189+log182=log1818=1.
对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)lg 20+lg 5;(2)log336-log312;
(3)lo;
(4)log535-log5-log514.
(2)log336-log312=log3=log33=1.
(3)lo=lo=lo=18.
(4)log535-log5-log514=log5(35÷÷14)=log5125=log553=3.
题型二　对数式的分拆
[例2] (北师大版必修第一册P102例2)已知log23=a,log25=b,用a,b表示下列各式的值:
(1)log230;(2)log2;(3)log2.
(2)log2=log25-log29=log25-log232=log25-2log23=b-2a.
(3)log2=log21-log22=log215-log220=(log23+log25)-(log24+log25)=(a+b)-(2+b)=--1.
用已知对数的值来表示所求对数的值时,要增强目标意识,把真数拆解成已知对数的真数,合理地把所求向已知条件转化.
[变式训练] (湘教版必修第一册P117例3)设A=logax,B=logay,C=logaz,用A,B,C表示下列各式:
(1)loga;(2)loga.
(2)loga=3logax+logay-logaz=3A+B-C.
题型三　利用对数的运算性质化简、求值
[例3] 计算下列各式的值:
(1)3log3-log3+log34+log37;
(2);
(3)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.
法二　原式=3(1-log32)-(log37-2log32)+log32+log37=3.
(2)原式===.
(3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.
利用对数的运算性质化简、求值
(1)“合”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用.
(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1,进行计算或化简.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)lg -lg +lg;
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2.
(2)原式=(1-lg 2)2+2lg 2-(lg 2)2=1-2lg 2+ (lg 2)2+2lg 2-(lg 2)2=1.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.log23+log26-log29的值为(　　)
[A]1 [B]-1
[C]log23 [D]log35
2.“ln 成立”是“ln M-ln N成立”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]既不充分也不必要条件
[D]充要条件
ln M-ln N成立;若则ln 成立不能推出ln M-ln N成立.而ln M-ln N 成立一定能推出ln 成立,所以“ln 成立”是“ln M-ln N成立”的必要不充分条件.故选B.
3.已知3a=2,则log38-2log36用a表示为 (　　)
[A]a-2 [B]5a-2
[C]3a-(1+a)2 [D]3a-a2
4.若lg x-lg y=t,则lg -lg 等于 (　　)
[A]3t [B]t
[C]t [D]
5.已知5a=10b(a≠0,b≠0),则等于(　　)
[A] [B]2
[C]log510 [D]1-lg 2
故选D.
6.(多选)若x>0,y>0,则下列各式中一定成立的是(　　)
[A]lg x+lg y=lg (x+y)
[B]lg =lg x-lg y
[C]lg x2=(lg x)2
[D]lg =3lg y-lg x
7.(5分)计算log2+lo8=　　　　.
8.(5分)若log4x+log4y=2,log2x-log2y=1,则x+y=　　　　.
因为log2x-log2y=1,所以x>0,y>0,且log2=1,即=2,②
联立①②解得x=4,y=2,所以x+y=6.
9.(14分)用lg x,lg y,lg z表示下列各式:
(1)lg (xyz);
(2)lg ;
(3)lg ;
(4)lg .
(2)lg =lg (xy2)-lg z=lg x+2lg y-lg z.
(3)lg =lg (xy3)-lg =lg x+3lg y-lg z.
(4)lg =lg -lg (y2z)=lg x-2lg y-lg z.
10.(14分)计算下列各式的值:
(1)log5-log5150;
(2);
(3)2log32-log3+log38-.
(2)原式===1.
(3)原式=log34-log3+log38-=log3(4××8)-=log39-9=2-9=-7.
11.已知正实数m,n满足ln m=ln (m-2n)-ln n,则等于(　　)
[A]1 [B]
[C]4 [D]1或
12.下列数据最接近的是(参考数据:lg 3≈0.477)(　　)
[A]10-34 [B]10-35 [C]10-36 [D]10-37
13.(16分)(1)已知10a=2,10b=500,求a+b的值;
(2)若ln a,ln b是方程4x2-8x+3=0的两个不等实根,求的值.
(2)由根与系数的关系可知ln a+ln b=2,ln a·ln b=,所以=(ln b-ln a)2=(ln b+ln a)2-
4ln a·ln b=22-4×=1.
14.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如[-3.2]=-4,[2.3]=2.则[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值是(　　)
[A]145 [B]857 [C]150 [D]243
[log33]=[log34]=[log35]=[log36]=[log37]=[log38]=1,共6个1;
[log39]=[log310]=…=[log326]=2,共18个2;
[log327]=[log328]=…=[log380]=3,共54个3;
[log381]=[log382]=…=[log3242]=4,共162个4;
[log3243]=5,共1个5.
所以[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]=2×0+6×1+18×2+54×3+162×4+5×1=857.故选B.(共25张PPT)
第2课时　
换底公式
1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　对数换底公式
知识归纳
对数换底公式的重要推论
『知识拓展』
·疑难解惑·
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
基础自测
D
D
B
B
关键能力·素养培优
题型一　对数换底公式的应用
[典例迁移2] 已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
·解题策略·
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
题型二　对数运算性质的综合运用
[例2] 已知x,y,z都是大于1的实数,m>0且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,求logzm的值.
·解题策略·
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
题型三　实际问题中的对数运算
A
·解题策略·
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中,先将题目中数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算.
B
感谢观看4.3.2　对数的运算
第1课时　对数的运算
【课程标准要求】　1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识归纳
知识点　对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)loga=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义,而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.
知识拓展
性质(1)可以推广为loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中N1,N2,…,Nk>0,k∈N*.
基础自测
1.计算log62+log63等于(　　)
[A]0 [B]1
[C]2 [D]3
【答案】 B
【解析】 log62+log63=log6(2×3)=log66=1.故选B.
2.计算log2等于(　　)
[A]-2 [B]- [C] [D]2
【答案】 A
【解析】 log2=log22-2=-2.故选A.
3.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T2(2))若lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,则(　　)
[A]a+b=0 [B]a-b=0
[C]ab=1 [D]=1
【答案】 C
【解析】 因为lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,所以lg a+lg b=lg (ab)=0,因此ab=1.故选C.
4.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为 (　　)
[A]a-b [B]a-2b
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为lg 3=a,lg 7=b,所以lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b.故选B.
题型一　对数运算性质的简单应用
[例1] 求下列各式的值:
(1)log3(9×27);
(2)lg +lg +lg 100;
(3)log7-log7;
(4)2log183+log182.
【解】 (1)log3(9×27)=log335=5.
(2)lg +lg +lg 100=lg (××100)=lg 1003=lg 106=6.
(3)log7-log7=log7(÷)=log7=log77-1=-1.
(4)2log183+log182=log189+log182=log1818=1.
对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)lg 20+lg 5;(2)log336-log312;
(3)lo;
(4)log535-log5-log514.
【解】 (1)lg 20+lg 5=lg 100=lg 102=2.
(2)log336-log312=log3=log33=1.
(3)lo=lo=lo=18.
(4)log535-log5-log514=log5(35÷÷14)=log5125=log553=3.
题型二　对数式的分拆
[例2] (北师大版必修第一册P102例2)已知log23=a,log25=b,用a,b表示下列各式的值:
(1)log230;(2)log2;(3)log2.
【解】 (1)log230=log2(2×3×5)=log22+log23+log25=1+a+b.
(2)log2=log25-log29=log25-log232=log25-2log23=b-2a.
(3)log2=log21-log22=log215-log220=(log23+log25)-(log24+log25)=(a+b)-(2+b)=--1.
用已知对数的值来表示所求对数的值时,要增强目标意识,把真数拆解成已知对数的真数,合理地把所求向已知条件转化.
[变式训练] (湘教版必修第一册P117例3)设A=logax,B=logay,C=logaz,用A,B,C表示下列各式:
(1)loga;(2)loga.
【解】 (1)loga=loga(xy2)-logaz3=logax+2logay-3logaz=A+2B-3C.
(2)loga=3logax+logay-logaz=3A+B-C.
题型三　利用对数的运算性质化简、求值
[例3] 计算下列各式的值:
(1)3log3-log3+log34+log37;
(2);
(3)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.
【解】 (1)法一　原式=log3-log3+log3+log37=log3-log3+log32+log37=log3=log327=log333=3.
法二　原式=3(1-log32)-(log37-2log32)+log32+log37=3.
(2)原式===.
(3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.
利用对数的运算性质化简、求值
(1)“合”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用.
(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1,进行计算或化简.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)lg -lg +lg;
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2.
【解】 (1)原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=.
(2)原式=(1-lg 2)2+2lg 2-(lg 2)2=1-2lg 2+ (lg 2)2+2lg 2-(lg 2)2=1.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.log23+log26-log29的值为(　　)
[A]1 [B]-1
[C]log23 [D]log35
【答案】 A
【解析】 log23+log26-log29=log2(3×6÷9)=log22=1.故选A.
2.“ln 成立”是“ln M-ln N成立”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]既不充分也不必要条件
[D]充要条件
【答案】 B
【解析】 ln 成立,则>0,分为或两种情况.若则ln 成立能推出
ln M-ln N成立;若则ln 成立不能推出ln M-ln N成立.而ln M-ln N 成立一定能推出ln 成立,所以“ln 成立”是“ln M-ln N成立”的必要不充分条件.故选B.
3.已知3a=2,则log38-2log36用a表示为 (　　)
[A]a-2 [B]5a-2
[C]3a-(1+a)2 [D]3a-a2
【答案】 A
【解析】 因为3a=2,所以a=log32,所以log38-2log36=log323-2(log32+1)=log32-2=a-2.故选A.
4.若lg x-lg y=t,则lg -lg 等于 (　　)
[A]3t [B]t
[C]t [D]
【答案】 A
【解析】 lg -lg =3lg -3lg =3lg =3(lg x-lg y)=3t.故选A.
5.已知5a=10b(a≠0,b≠0),则等于(　　)
[A] [B]2
[C]log510 [D]1-lg 2
【答案】 D
【解析】 当a≠0,b≠0时,因为 5a=10b,所以lg 5a=lg 10b,所以alg 5=b,所以=lg 5=1-lg 2.
故选D.
6.(多选)若x>0,y>0,则下列各式中一定成立的是(　　)
[A]lg x+lg y=lg (x+y)
[B]lg =lg x-lg y
[C]lg x2=(lg x)2
[D]lg =3lg y-lg x
【答案】 BD
【解析】 lg x+lg y=lg (xy),故A不正确;根据对数的运算法则得lg =lg x-lg y,故B正确;lg x2=2lg x,故C不正确;lg =lg y3-lg =lg y3-lg =3lg y-lg x,故D正确.故选BD.
7.(5分)计算log2+lo8=　　　　.
【答案】
【解析】 log2+lo8=log2-log22+lo=-1+6=.
8.(5分)若log4x+log4y=2,log2x-log2y=1,则x+y=　　　　.
【答案】 6
【解析】 因为log4x+log4y=2,所以x>0,y>0,且log4(xy)=2,即xy=16,①
因为log2x-log2y=1,所以x>0,y>0,且log2=1,即=2,②
联立①②解得x=4,y=2,所以x+y=6.
9.(14分)用lg x,lg y,lg z表示下列各式:
(1)lg (xyz);
(2)lg ;
(3)lg ;
(4)lg .
【解】 (1)lg (xyz)=lg x+lg y+lg z.
(2)lg =lg (xy2)-lg z=lg x+2lg y-lg z.
(3)lg =lg (xy3)-lg =lg x+3lg y-lg z.
(4)lg =lg -lg (y2z)=lg x-2lg y-lg z.
10.(14分)计算下列各式的值:
(1)log5-log5150;
(2);
(3)2log32-log3+log38-.
【解】 (1)原式=log5-log5=log5=log5=-1.
(2)原式===1.
(3)原式=log34-log3+log38-=log3(4××8)-=log39-9=2-9=-7.
11.已知正实数m,n满足ln m=ln (m-2n)-ln n,则等于(　　)
[A]1 [B]
[C]4 [D]1或
【答案】 B
【解析】 由ln m=ln (m-2n)-ln n,得ln =ln (m-2n),因此=m-2n>0,整理得2+-1=0,解得=,即=,经检验符合题意.所以=.故选B.
12.下列数据最接近的是(参考数据:lg 3≈0.477)(　　)
[A]10-34 [B]10-35 [C]10-36 [D]10-37
【答案】 C
【解析】 lg =lg 3361-lg 10 00052=361×lg 3-52×4≈361×0.477-52×4=-35.803,所以≈10-35.803,分析知选项C中10-36与其最接近.故选C.
13.(16分)(1)已知10a=2,10b=500,求a+b的值;
(2)若ln a,ln b是方程4x2-8x+3=0的两个不等实根,求的值.
【解】 (1)因为10a=2,10b=500,所以a=lg 2,b=lg 500,所以a+b=lg 2+lg 500=lg 1 000=3.
(2)由根与系数的关系可知ln a+ln b=2,ln a·ln b=,所以=(ln b-ln a)2=(ln b+ln a)2-
4ln a·ln b=22-4×=1.
14.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如[-3.2]=-4,[2.3]=2.则[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值是(　　)
[A]145 [B]857 [C]150 [D]243
【答案】 B
【解析】 [log31]=[log32]=0,共2个0;
[log33]=[log34]=[log35]=[log36]=[log37]=[log38]=1,共6个1;
[log39]=[log310]=…=[log326]=2,共18个2;
[log327]=[log328]=…=[log380]=3,共54个3;
[log381]=[log382]=…=[log3242]=4,共162个4;
[log3243]=5,共1个5.
所以[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]=2×0+6×1+18×2+54×3+162×4+5×1=857.故选B.第2课时　换底公式
【课程标准要求】　1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识归纳
知识点　对数换底公式
logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
知识拓展
对数换底公式的重要推论
(1)logaN=(N>0,且N≠1;a>0,且a≠1).
(2)lobm=logab(a>0,且a≠1;b>0).
(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1).特别地logab·logba=1.
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
(2)在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logab=或logab=(a>0,且a≠1;b>0).
基础自测
1.化简log832的值为(　　)
[A] [B]2 [C]4 [D]
【答案】 D
【解析】 法一　log832=lo25=log22=.故选D.
法二　log832===.故选D.
2.化简的值为 (　　)
[A] [B] [C]2 [D]3
【答案】 D
【解析】 =log327=3.故选D.
3.(人教A版必修第一册P126练习T3改编)化简log23×log34×log45×log58的值为(　　)
[A]1 [B]3
[C]4 [D]8
【答案】 B
【解析】 由题意可得,log23×log34×log45×log58=×××===3.故选B.
4.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于 (　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 log36===.故选B.
题型一　对数换底公式的应用
[例1] (北师大版必修第一册P105例4)计算:
(1)log4+log23-log0.5;
(2)(log32+log23)2--.
【解】 根据对数的换底公式,得
(1)log4+log23-log0.5=+log23-=log2+log23-log25=log2(×3÷5)=log21=0.
(2)(log32+log23)2--=(+)2-×-×=()2+()2+2-()2-()2=2.
[典例迁移1] 计算的值.
【解】 原式=×=lo×lo9=lo×lo32=-×log32×3log23=-log32×=-.
[典例迁移2] 已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
【解】 法一　因为18b=5,所以log185=b,于是log3645====.
法二　因为log189==a,所以lg 9=alg 18.因为18b=5,所以log185==b,所以lg 5=blg 18.又lg 18≠0,所以log3645=====.
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
题型二　对数运算性质的综合运用
[例2] 已知x,y,z都是大于1的实数,m>0且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,求logzm的值.
【解】 因为logxm=24, logym=40, logxyzm=12,所以logmx==,同理可得logmy=,logm(xyz)=,所以logmz=logm(xyz)-logmx-logmy=--=,因此logzm==60.
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
[变式训练] 已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.
【解】 令2x=3y=5z=k(k>0,且k≠1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k,所以=logk2,=logk3,=logk5,所以++=logk2+logk3+logk5=logk30=1,解得k=30,
所以x=log230=log22+log215=1+log215,y=log330=log33+log310=1+log310,
z=log530=log55+log56=1+log56.
题型三　实际问题中的对数运算
[例3] 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策,加装了污水过滤排放设备,在过滤过程中,污染物含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为M=M0e-kt(其中M0,k是正常数).已知经过1 h,该设备可以过滤掉20%的污染物,则过滤一半的污染物需要的时间最接近(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　　)
[A]3 h [B]4 h [C]5 h [D]6 h
【答案】 A
【解析】 由题意可知(1-20%)M0=M0e-k,所以e-k=0.8.由(1-50%)M0=M0e-kt,所以0.5=e-kt==(0.8)t,所以t=log0.80.5=====≈≈3.103,比较接近3.故选A.
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中,先将题目中数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算.
[变式训练] 假设学习的初始值为1,如果每天的“进步率”都是1%,那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是(1-1%)365=0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的=≈1 481倍.照此计算,当“进步者”是“退步者”的2倍时,大约经过天数为(参考数据:lg 1.01≈0.004 32,lg 0.99≈-0.004 36,lg 2≈0.301 0)(　　)
[A]33 [B]35 [C]37 [D]39
【答案】 B
【解析】 假设经过n天,“进步者”是“退步者”的2倍,列方程得=2,
解得n=lo2=≈≈35.即经过约 35天,“进步者”是“退步者”的2倍.故选B.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.化简log29×log34等于(　　)
[A] [B] [C]2 [D]4
【答案】 D
【解析】 法一　原式=×==4.故选D.
法二　原式=2log23×=2×2=4.故选D.
2.化简的值是(　　)
[A]1 [B] [C] [D]2
【答案】 B
【解析】 由题意可得===.故选B.
3.设log34·log48·log8m=log416,则m等于(　　)
[A] [B]9 [C]18 [D]27
【答案】 B
【解析】 因为log34·log48·log8m=××==2,所以lg m=2lg 3=lg 9,所以m=9.故选B.
4.若+=,则t等于(　　)
[A]2 [B]12 [C]48 [D]144
【答案】 D
【解析】 由对数的运算性质可知+=logt3+logt4=,即logt12=,解得t=144.故选D.
5.设n=+,则n的值所在的区间为(　　)
[A](-2,-1) [B](-3,-2)
[C](1,2) [D](2,3)
【答案】 D
【解析】 由题意可得n=+=+=log32+log35=log310,且 32=9<10,33=27>10,所以n=log310∈(2,3).故选D.
6.(多选)设a,b,c均是不等于1的正实数, 则下列等式恒成立的是(　　)
[A]logab·logca=logcb
[B]loga(bc)=logab·logac
[C]loga(b+c)=logab+logac
[D]logab=lobc
【答案】 AD
【解析】 依题意,logab·logca=·==logcb,A正确;
令a=2,b=2,c=4,则loga(bc)=log28=3,logab·logac=log22·log24=2,B错误;
令a=2,b=4,c=4,则loga(b+c)=log28=3,logab+logac=log24+log24=4,C错误;
lobc===logab,D正确.故选AD.
7.(5分)计算log332×log49-log2+log26的值为　　　　.
【答案】 8
【解析】 原式=log325×lo32-log2+log26=5log32×log23-log2+log26=5-log2+log26=5+log2=5+log28=8.
8.(5分)若ln 3=a,则log9e=　　　　.(用a表示)
【答案】
【解析】 因为ln 3=a,所以ea=3,则log9e===.
9.(12分)求下列各式的值:
(1)log6432×log2×log3×log5;
(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
【解】 (1)原式=lo25×log25-2×log32-3×log53-2=×(-2)log25×(-3)log32×(-2)log53=-10×××=-10.
(2)法一　原式=(log253+lo52+lo5)·(log52+lo22+lo23)=(3log25+log25+log25)(log52+log52+log52)=
(3+1+)×3×log25×log52=13.
法二　原式=(++)·(++)=(++)·(++)=×=13.
10.(14分)(1)设log182=a,试用含有a的代数式表示log32;
(2)设log35=a,log57=b,试用a,b表示log7563.
【解】 (1)因为log182=a,所以=log218=log2(2×32)=log22+log232=1+2log23,所以log23==,即log32=.
(2)因为log53==,log57=b,所以log7563=====.
11.(多选)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定,一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为M=lg (其中常数A0是距震中100 km处接收到的0级地震的地震波的最大振幅,Amax是指我们关注的这次地震在距震中100 km处接收到的地震波的最大振幅).地震的能量E(单位:J)是指当地震发生时,以地震波的形式放出的能量.已知E=104.8×101.5M,其中M为地震震级.下列说法正确的是(　　)
[A]若地震震级M增加2级,则最大振幅Amax增加到原来的20倍
[B]若地震震级M增加2级,则放出的能量E增加到原来的1 000倍
[C]若最大振幅Amax增加到原来的100倍,则放出的能量E增加到原来的 1 000 倍
[D]若最大振幅Amax增加到原来的100倍,则放出的能量E增加到原来的100倍
【答案】 BC
【解析】 因为M′=M+2=2+lg =lg ,所以Amax′=100Amax,故A错误;
由E′=104.8×101.5M′=104.8×101.5(M+2)=104.8×101.5M+3=1 000E,故B正确;
因为M″=lg =M+2,所以E″=104.8×1=104.8×101.5(M+2)=104.8×101.5M+3=1 000E,故C正确,D错误.故选BC.
12.(5分)已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则ab=　　　　.
【答案】 9
【解析】 因为logab+logba=+logba=,所以3(logba)2-10logba+3=0,解得logba=3或logba=.
因为a>b>1,所以logba>1,则logba=3,所以a=b3,又ab=ba,所以(b3)b=,所以3b=b3,又b>1,所以b=,则a=3,所以ab=9.
13.(17分)(1)试利用对数的运算性质计算(+)的值;
(2)已知x,y,z为正数,若3x=4y=6z,求-的值;
(3)定义:一个自然数的数位的个数,叫做位数,例如23的位数是2,2 024的位数是4.试判断22 024的位数.(注:lg 2≈0.301 0)
【解】 (1)原式=(+)=×=.
(2)由题意,令3x=4y=6z=a,则a>0,所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,
所以-=-=×-×=-==.
(3)设22 024=t,则lg t=2 024×lg 2,又lg 2≈0.301 0,所以lg t≈2 024×0.301 0=609.224,所以t≈10609.224,
则t∈(10609,10610),所以22 024的位数为610.
14.数学中有这样一条定律:在大量b进制随机数据中,以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logb,如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.若P16(n)=(k∈N*,k>4),则k的值为(提示:an=a1+a2+a3+…+ak)(　　)
[A]14 [B]15 [C]24 [D]25
【答案】 A
【解析】 P16(n)=P16(5)+P16(6)+…+P16(k)=log16+log16+log16+…+log16=log16====log163,即log16=log163,所以=3,解得k=14.故选A.

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