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4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念
1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　对数函数的概念
知识归纳
一般地,函数 叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是 .
y=logax(a>0,且a≠1)
(0,+∞)
·疑难解惑·
(1)对数函数的系数为1.
(2)真数只能是一个x.
(3)底数a>0,且a≠1.
1.下列函数是对数函数的是(　　)
[A]y=log2x [B]y=ln(x+1)
[C]y=logxe [D]y=logxx
基础自测
A
【解析】 对数函数y=logax(a>0,且a≠1),其中a为常数,x为自变量.对于选项A,符合对数函数定义;对于选项B,真数部分是x+1,不是自变量x,故它不是对数函数;对于选项C,底数是变量x,不是常数,故它不是对数函数;对于选项D,底数是变量x,不是常数,故它不是对数函数.故选A.
C
3.(人教A版必修第一册P131练习T1改编)函数y=log(x-3)(7-x)的定义域是
(　　)
[A](-∞,7) [B](3,7)
[C](3,4)∪(4,7) [D](3,+∞)
C
4.某种动物的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的函数关系式为y=
alog2(x+1).若这种动物第1年有100只,则第7年它们的数量为 (　　)
[A]300只 [B]400只
[C]500只 [D]600只
A
【解析】 由题意知,100=alog2(1+1),解得a=100.则当x=7时,
y=100log2(7+1)=100×3=300.故选A.
关键能力·素养培优
题型一　对数函数的概念
C
·解题策略·
5
题型二　求对数型函数的定义域
(-1,0)∪(0,3]
D
D
·解题策略·
求对数型函数的定义域的注意事项
(1)真数大于0.
(2)底数大于零且不等于1.
(3)对数出现在分母上时,真数除了大于0,还不能为1.
题型三　对数函数模型的应用
(2)如果业务员甲获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
【解】 (2)由(1)知当0≤x≤20时,奖金不可能为10万元,
所以令2+2log2(x-15)=10,即log2(x-15)=4,解得x=31.
即业务员甲的销售利润是31万元.
·解题策略·
利用对数函数解决应用问题的步骤
(1)列出与对数有关的函数解析式,并根据实际问题确定变量的取值范围.
(2)代入自变量的值后,利用对数的运算性质、换底公式计算.
感谢观看4.4.1　对数函数的概念
【课程标准要求】　1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
知识归纳
知识点　对数函数的概念
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(1)对数函数的系数为1.
(2)真数只能是一个x.
(3)底数a>0,且a≠1.
(4)对于函数y=2log2x等这一类的函数,根据对数的运算法则,它可以化为对数函数,因为它与对数函数y=lox有相同的定义域和对应关系,所以是同一个函数.
基础自测
1.下列函数是对数函数的是(　　)
[A]y=log2x [B]y=ln(x+1)
[C]y=logxe [D]y=logxx
【答案】 A
【解析】 对数函数y=logax(a>0,且a≠1),其中a为常数,x为自变量.对于选项A,符合对数函数定义;对于选项B,真数部分是x+1,不是自变量x,故它不是对数函数;对于选项C,底数是变量x,不是常数,故它不是对数函数;对于选项D,底数是变量x,不是常数,故它不是对数函数.故选A.
2.设f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(2)=,则f()等于(　　)
[A]2 [B]-2 [C]- [D]
【答案】 C
【解析】 因为f(x)=logax(a>0,且a≠1),f(2)=,所以f(2)=loga2=,即=2,解得a=4.
所以f(x)=log4x,则f()=log4=-.故选C.
3.(人教A版必修第一册P131练习T1改编)函数y=log(x-3)(7-x)的定义域是(　　)
[A](-∞,7) [B](3,7)
[C](3,4)∪(4,7) [D](3,+∞)
【答案】 C
【解析】 由得34.某种动物的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的函数关系式为y=alog2(x+1).若这种动物第1年有100只,则第7年它们的数量为 (　　)
[A]300只 [B]400只
[C]500只 [D]600只
【答案】 A
【解析】 由题意知,100=alog2(1+1),解得a=100.则当x=7时,y=100log2(7+1)=100×3=300.故选A.
题型一　对数函数的概念
[例1] 已知函数①y=4x;②y=logx2;③y=-log3x;④y=log0.2;⑤y=log3x+1;⑥y=log2(x+1).其中是对数函数的为(　　)
[A]①②③ [B]③④⑤
[C]③④ [D]②④⑥
【答案】 C
【解析】 根据对数函数的定义,只有符合y=logax(a>0,且a≠1)形式的函数才是对数函数,其中x是自变量,a是常数.易知,①是指数函数;②中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数;③y=-log3x=lox是对数函数;④y=log0.2=log0.04x是对数函数;⑤⑥中函数显然不是对数函数.由此可知只有③④是对数函数.故选C.
一般地,若一个函数是对数函数,则该函数必须是y=logax(a>0,且a≠1)的形式,但是需要注意y=blogax (a>0,且a≠1;b≠0)也是对数函数,因为它可以化为y=lox的形式.若是利用待定系数法求解对数函数解析式,则只需设所求对数函数为y=logax(a>0,且a≠1)即可.
[变式训练] 若函数f(x)=log(a-1)x+a2-3a-10是对数函数,则a=　　　　.
【答案】 5
【解析】 由对数函数的定义可知解得a=5.
题型二　求对数型函数的定义域
[例2] 函数y=的定义域为　　　　　　　.
【答案】 (-1,0)∪(0,3]
【解析】 由解得-1[典例迁移1] 函数f(x)=log2(x+3)+log2(x-1)的定义域是(　　)
[A][-3,1] [B](-3,1)
[C](-∞,-3) [D](1,+∞)
【答案】 D
【解析】 由题意得解得x>1.所以f(x)的定义域是(1,+∞).故选D.
[典例迁移2] 函数f(x)=log(2x-1)的定义域为(　　)
[A][,+∞) [B](,1)∪(1,+∞)
[C](,+∞) [D](,1)∪(1,+∞)
【答案】 D
【解析】 由题意得解得x>1或求对数型函数的定义域的注意事项
(1)真数大于0.
(2)底数大于零且不等于1.
(3)对数出现在分母上时,真数除了大于0,还不能为1.
题型三　对数函数模型的应用
[例3] 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超出A万元,则超出部分按2log2(A+5)进行奖励,记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式.
(2)如果业务员甲获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
【解】 (1)由题意得,当0≤x≤20时,y=0.1x;当x>20时,y=0.1×20+2log2(x-20+5)=2+2log2(x-15).
所以奖金y关于销售利润x的关系式为y=
(2)由(1)知当0≤x≤20时,奖金不可能为10万元,所以令2+2log2(x-15)=10,即log2(x-15)=4,解得x=31.
即业务员甲的销售利润是31万元.
利用对数函数解决应用问题的步骤
(1)列出与对数有关的函数解析式,并根据实际问题确定变量的取值范围.
(2)代入自变量的值后,利用对数的运算性质、换底公式计算.
[变式训练] 设某同学单次持续背单词所花时间y(单位:min)与背出单词数x(单位:个)之间满足函数表达式y=k·lg (1-),其中常数k,b∈R且k,b≠0.已知该同学持续背单词50 min,背出了20个单词;持续背100 min,背出了30个单词.问:该同学持续背200 min,大约能背出多少个单词 (精确到个位)
【解】 由题意,得两式相除,得=,即1-=,解得b=40.所以k=,故y=·lg (1-).当y=200时,解得x=37.5≈38.
所以该同学持续背200 min,大约能背出38个单词.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分.
1.下列函数是对数函数的是(　　)
[A]y=log2(2x) [B]y=log2(x+2)
[C]y=log2x2 [D]y=2log2x
【答案】 D
【解析】 D项即y=2log2x=lox,符合对数函数的定义.故选D.
2.已知对数函数的图象过点M(125,3),则此对数函数的解析式为(　　)
[A]y=log5x [B]y=lox
[C]y=lox [D]y=log3x
【答案】 A
【解析】 设对数函数解析式为y=logax(a>0,且a≠1).由题意得3=loga125,得a=5,所以y=log5x.故选A.
3.函数y=的定义域为(　　)
[A]{x|x>1} [B]{x|x>1,且x≠2}
[C]{x|x>2} [D]R
【答案】 B
【解析】 由题意,即解得x>1,且x≠2.因此,函数的定义域为{x|x>1,且x≠2}.故选B.
4.“每天进步一点点”可以用数学来诠释.假如你今天的数学水平是1,以后每天比前一天增加千分之五,则经过y天之后,你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　)
[A]y=log1.05x [B]y=log1.005x
[C]y=log0.95x [D]y=log0.995x
【答案】 B
【解析】 由题意得x=(1+0.005)y=1.005y,化为对数函数得y=log1.005x.故选B.
5.设函数f(x)=则f()的值为(　　)
[A]1 [B]2 [C]0 [D]-1
【答案】 A
【解析】 因为f(2)=log22=1,所以f()=f(1)=2-12=1.故选A.
6.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)”的是(　　)
[A]幂函数 [B]对数函数
[C]指数函数 [D]一次函数
【答案】 B
【解析】 选项A,取f(x)=xα(α为常数),则f(xy)=(xy)α=xαyα,而f(x)+f(y)=xα+yα,显然不满足题意;
选项B,取f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f(xy)=loga(xy)=logax+logay,而f(x)+f(y)=logax+logay,显然满足题意;
选项C,取f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f(xy)=axay,而f(x)+f(y)=ax+ay,显然不满足题意;
选项D,取f(x)=kx+b(k≠0),则f(xy)=kxy+b,而f(x)+f(y)=k(x+y)+2b,显然不满足题意.故选B.
7.(5分)某公司为了业务发展,制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额为x万元时,奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y=2log4x-2,某业务员要得到5万元奖励,则他的销售额应为
　　　　万元.
【答案】 128
【解析】 由题意得5=2log4x-2,即7=log2x,得x=27=128.
8.(5分)函数y=lg(x2-2x)的定义域是　　　　　　　　.
【答案】 (-∞,0)∪(2,+∞)
【解析】 根据题意得,x2-2x>0,即x(x-2)>0,解得x<0或x>2.所以该函数的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).
9.(15分)求下列函数的定义域:
(1)f(x)=ln(3+x)+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=.
【解】 (1)由题意得解得-3所以函数f(x)的定义域为(-3,0].
(2)由题意得解得x<-1或x>2,且x≠3.
故f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(2,3)∪(3,+∞).
(3)由题意得
即解得x>,且x≠1.
所以函数f(x)的定义域为(,1)∪(1,+∞).
10.(15分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.经研究发现大西洋鲑鱼的游速可以表示为v=log3(单位:m/s),θ表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条大西洋鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是多少
(2)计算一条大西洋鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
(3)若一条大西洋鲑鱼的游速提高1 m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的多少倍
【解】 (1)当θ=2 700时,v=log327=.即当一条大西洋鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是 m/s.
(2)由v=log3=0可得θ=100.
即当一条大西洋鲑鱼静止时耗氧量的单位数为100.
(3)设大西洋鲑鱼的游速为v1时,它的耗氧量的单位数为θ1;游速为v2时,它的耗氧量的单位数为θ2,
令v2-v1=log3-log3=log3=1,可得=9.
所以若一条大西洋鲑鱼的游速提高1 m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的9倍.
11.下列选项中的两个函数是同一个函数的是 (　　)
[A]y=log3x2与y=2log3x
[B]y=lg 10x与y=10lg x
[C]y=log3x2与y=2log3|x|
[D]y=lg x与y=ln x
【答案】 C
【解析】 A,B选项定义域不同;D选项对应关系不同;C选项定义域和对应关系都相同,是同一个函数.故选C.
12.设函数f(x)=f()lg x+1,则f(10)的值是(　　)
[A]1 [B]-1
[C]10 [D]
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=f()lg x+1,将式中x换成,所以f()=f(x)lg +1=-f(x)lg x+1.
由以上两式,得f(x)=,
所以f(10)==1.故选A.
13.(15分)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义.求实数a的取值范围.
【解】 设t(x)=3-ax,因为a>0,且a≠1,所以t(x)=3-ax为减函数,则当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a.
因为当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.所以3-2a>0,即a<.又a>0,且a≠1,所以0所以实数a的取值范围为(0,1)∪(1,).
14.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a后开始下降,其二氧化碳的排放量S与时间t(单位:年)满足函数关系式S=abt,若经过5年,二氧化碳的排放量为.已知该地区通过植树造林、节能减排等方式,能抵消的二氧化碳的排放量为,则该地区要能实现二氧化碳“零排放”,至少需要经过(参考数据:lg 2≈0.3)(　　)
[A]28年 [B]29年 [C]30年 [D]31年
【答案】 C
【解析】 由题意,S=ab5=,即b5=,解得b=.令abt=,即bt=,故=,
即tlg =lg ,可得t(3lg 2-1)=-2lg 2,即t=≈=30.故选C.4.4.1　对数函数的概念
【课程标准要求】　1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
知识归纳
知识点　对数函数的概念
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(1)对数函数的系数为1.
(2)真数只能是一个x.
(3)底数a>0,且a≠1.
(4)对于函数y=2log2x等这一类的函数,根据对数的运算法则,它可以化为对数函数,因为它与对数函数y=lox有相同的定义域和对应关系,所以是同一个函数.
基础自测
1.下列函数是对数函数的是(　　)
[A]y=log2x [B]y=ln(x+1)
[C]y=logxe [D]y=logxx
2.设f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(2)=,则f()等于(　　)
[A]2 [B]-2 [C]- [D]
所以f(x)=log4x,则f()=log4=-.故选C.
3.(人教A版必修第一册P131练习T1改编)函数y=log(x-3)(7-x)的定义域是(　　)
[A](-∞,7) [B](3,7)
[C](3,4)∪(4,7) [D](3,+∞)
4.某种动物的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的函数关系式为y=alog2(x+1).若这种动物第1年有100只,则第7年它们的数量为 (　　)
[A]300只 [B]400只
[C]500只 [D]600只
题型一　对数函数的概念
[例1] 已知函数①y=4x;②y=logx2;③y=-log3x;④y=log0.2;⑤y=log3x+1;⑥y=log2(x+1).其中是对数函数的为(　　)
[A]①②③ [B]③④⑤
[C]③④ [D]②④⑥
一般地,若一个函数是对数函数,则该函数必须是y=logax(a>0,且a≠1)的形式,但是需要注意y=blogax (a>0,且a≠1;b≠0)也是对数函数,因为它可以化为y=lox的形式.若是利用待定系数法求解对数函数解析式,则只需设所求对数函数为y=logax(a>0,且a≠1)即可.
[变式训练] 若函数f(x)=log(a-1)x+a2-3a-10是对数函数,则a=　　　　.
题型二　求对数型函数的定义域
[例2] 函数y=的定义域为　　　　　　　.
[典例迁移1] 函数f(x)=log2(x+3)+log2(x-1)的定义域是(　　)
[A][-3,1] [B](-3,1)
[C](-∞,-3) [D](1,+∞)
[典例迁移2] 函数f(x)=log(2x-1)的定义域为(　　)
[A][,+∞) [B](,1)∪(1,+∞)
[C](,+∞) [D](,1)∪(1,+∞)
求对数型函数的定义域的注意事项
(1)真数大于0.
(2)底数大于零且不等于1.
(3)对数出现在分母上时,真数除了大于0,还不能为1.
题型三　对数函数模型的应用
[例3] 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超出A万元,则超出部分按2log2(A+5)进行奖励,记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式.
(2)如果业务员甲获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
所以奖金y关于销售利润x的关系式为y=
(2)由(1)知当0≤x≤20时,奖金不可能为10万元,所以令2+2log2(x-15)=10,即log2(x-15)=4,解得x=31.
即业务员甲的销售利润是31万元.
利用对数函数解决应用问题的步骤
(1)列出与对数有关的函数解析式,并根据实际问题确定变量的取值范围.
(2)代入自变量的值后,利用对数的运算性质、换底公式计算.
[变式训练] 设某同学单次持续背单词所花时间y(单位:min)与背出单词数x(单位:个)之间满足函数表达式y=k·lg (1-),其中常数k,b∈R且k,b≠0.已知该同学持续背单词50 min,背出了20个单词;持续背100 min,背出了30个单词.问:该同学持续背200 min,大约能背出多少个单词 (精确到个位)
所以该同学持续背200 min,大约能背出38个单词.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分.
1.下列函数是对数函数的是(　　)
[A]y=log2(2x) [B]y=log2(x+2)
[C]y=log2x2 [D]y=2log2x
2.已知对数函数的图象过点M(125,3),则此对数函数的解析式为(　　)
[A]y=log5x [B]y=lox
[C]y=lox [D]y=log3x
3.函数y=的定义域为(　　)
[A]{x|x>1} [B]{x|x>1,且x≠2}
[C]{x|x>2} [D]R
4.“每天进步一点点”可以用数学来诠释.假如你今天的数学水平是1,以后每天比前一天增加千分之五,则经过y天之后,你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　)
[A]y=log1.05x [B]y=log1.005x
[C]y=log0.95x [D]y=log0.995x
5.设函数f(x)=则f()的值为(　　)
[A]1 [B]2 [C]0 [D]-1
6.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)”的是(　　)
[A]幂函数 [B]对数函数
[C]指数函数 [D]一次函数
选项B,取f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f(xy)=loga(xy)=logax+logay,而f(x)+f(y)=logax+logay,显然满足题意;
选项C,取f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f(xy)=axay,而f(x)+f(y)=ax+ay,显然不满足题意;
选项D,取f(x)=kx+b(k≠0),则f(xy)=kxy+b,而f(x)+f(y)=k(x+y)+2b,显然不满足题意.故选B.
7.(5分)某公司为了业务发展,制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额为x万元时,奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y=2log4x-2,某业务员要得到5万元奖励,则他的销售额应为
　　　　万元.
8.(5分)函数y=lg(x2-2x)的定义域是　　　　　　　　.
9.(15分)求下列函数的定义域:
(1)f(x)=ln(3+x)+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=.
所以函数f(x)的定义域为(-3,0].
(2)由题意得解得x<-1或x>2,且x≠3.
故f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(2,3)∪(3,+∞).
(3)由题意得
即解得x>,且x≠1.
所以函数f(x)的定义域为(,1)∪(1,+∞).
10.(15分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.经研究发现大西洋鲑鱼的游速可以表示为v=log3(单位:m/s),θ表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条大西洋鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是多少
(2)计算一条大西洋鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
(3)若一条大西洋鲑鱼的游速提高1 m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的多少倍
(2)由v=log3=0可得θ=100.
即当一条大西洋鲑鱼静止时耗氧量的单位数为100.
(3)设大西洋鲑鱼的游速为v1时,它的耗氧量的单位数为θ1;游速为v2时,它的耗氧量的单位数为θ2,
令v2-v1=log3-log3=log3=1,可得=9.
所以若一条大西洋鲑鱼的游速提高1 m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的9倍.
11.下列选项中的两个函数是同一个函数的是 (　　)
[A]y=log3x2与y=2log3x
[B]y=lg 10x与y=10lg x
[C]y=log3x2与y=2log3|x|
[D]y=lg x与y=ln x
12.设函数f(x)=f()lg x+1,则f(10)的值是(　　)
[A]1 [B]-1
[C]10 [D]
由以上两式,得f(x)=,
所以f(10)==1.故选A.
13.(15分)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义.求实数a的取值范围.
因为当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.所以3-2a>0,即a<.又a>0,且a≠1,所以0所以实数a的取值范围为(0,1)∪(1,).
14.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a后开始下降,其二氧化碳的排放量S与时间t(单位:年)满足函数关系式S=abt,若经过5年,二氧化碳的排放量为.已知该地区通过植树造林、节能减排等方式,能抵消的二氧化碳的排放量为,则该地区要能实现二氧化碳“零排放”,至少需要经过(参考数据:lg 2≈0.3)(　　)
[A]28年 [B]29年 [C]30年 [D]31年
即tlg =lg ,可得t(3lg 2-1)=-2lg 2,即t=≈=30.故选C.

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