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4.4.2　对数函数的图象和性质
第1课时　对数函数的图象和性质(一)
【课程标准要求】　1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
知识归纳
知识点一　对数函数的图象和性质
项目 y=logax (a>0,且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
最值 无最大、最小值
奇偶性 非奇非偶
共点性 图象过定点(1,0),即x=1时,y=0
续　表
项目 y=logax (a>0,且a≠1)
函数值 特点 当x∈(0,1)时, y∈(-∞,0); 当x∈[1,+∞)时, y∈[0,+∞) 当x∈(0,1)时, y∈(0,+∞); 当x∈[1,+∞)时, y∈(-∞,0]
对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故函数图象过定点(1,0).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴.
(5)任意两个底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称.
知识点二　反函数
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P135练习T2改编)已知a=log25,b=log23,c=1,则(　　)
[A]b>a>c [B]a>c>b
[C]b>c>a [D]a>b>c
2.函数f(x)=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(　　)
[A](3,2) [B](2,1)
[C](2,0) [D](2,2)
3.函数y=lo(x-1)的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.不等式log2(2-x)≤log2(3x+10)的解集为　　　　.
题型一　对数函数的图象
[例1] 设a,b,c,d均为不等于1的正实数.如图,已知函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象分别是曲线C1,C2,C3,C4,试判断0,1,a,b,c,d的大小关系为　　　　　　　　　　.(用“<”连接)
[典例迁移1] 若函数f(x)=loga(2x+a)-6(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为(　　)
[A](0,-5) [B](0,-6)
[C](1,-6) [D](1,-5)
[典例迁移2] 已知f(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)满足f(-5)=1.
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)画出函数g(x)=loga|x-1|的图象;
(3)画出函数h(x)=|logax|的图象.
(1)函数f(x)=log5|x|的图象如图(1)所示.
图(1)
(2)g(x)=log5|x-1|,如图(2),g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的.
图(2)
(3)h(x)=|log5x|的图象如图(3)中实线部分所示.
图(3)
(1)对数函数底数对图象的影响.
其中a,b,c,d是图象对应的对数函数的底数,根据图象,其大小关系为0(2)关于定点问题.
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点时,只需令f(x)=1求出x0,即得定点为(x0,m).
(3)对数型函数图象的变换方法.
①作y=f(|x|)的图象时,保留y=f(x)(x>0)的图象不变,当x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称;
②作y=|f(x)|的图象时,保留y=f(x)在x轴及上方的图象不变,把x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折上去即可;
③有关对数函数图象的平移也符合“左加右减,上加下减”的规律;
④y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称,y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.
题型二　比较对数值的大小
[例2] (湘教版必修第一册P122例11)比较下列各组中两个数的大小:
(1)log27.6和log28.7;
(2)lo7.6和lo8.7;
(3)loga7.6和loga8.7(a>0,且a≠1);
(4)log0.82和20.8.
所以log27.6(2)因为函数y=lox在(0,+∞)上单调递减,且7.6<8.7,
所以lo7.6>lo8.7.
(3)当a>1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,且7.6<8.7,所以loga7.6当0loga8.7.
(4)因为函数y=log0.8x在(0,+∞)上单调递减,
所以log0.82又20.8>0,所以log0.82<20.8.
[典例迁移1] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log23,log32,log46;
(2)log3π,log2,log3.
(2)因为log2=log23,且11,所以log3π>log2>log3.
[典例迁移2] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log0.26,log0.36,log0.46;
(2)log23,log34,log45.
(2)因为log23-log34=-=>=>=0,
所以log23>log34.同理可证log34>log45,所以log23>log34>log45.
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
题型三　利用单调性解对数不等式
[例3] 解下列关于x的不等式:
(1)lox>lo(4-x);
(2)loga(2x-5)>loga(x-1).
(2)当a>1时,原不等式等价于解得x>4;
当0综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};当0对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如loa>loa(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.
[变式训练] 若-1当a>1时,<;
当0>a,所以0课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是(　　)
[A](-∞,7] [B](2,7]
[C][7,+∞) [D](2,+∞)
2.已知a=log30.3,b=log57,c=0.30.2,则(　　)
[A]a[C]c3.已知实数m>0且m≠1,函数y=logm(x+n)的大致图象如下,则m,n的取值范围可能为(　　)
[A]m>1,n>1
[B]m>1,0[C]01
[D]04.函数f(x)=log2(2x)的大致图象为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
5.(多选)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax与y=loga(x-2)的图象可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
当a>1时,函数y=ax在R上单调递增,函数y=loga(x-2)在(2,+∞)上单调递增,B项符合题意;
当06.(多选)若函数f(x)=lox,则下列说法正确的是(　　)
[A]函数的定义域为R
[B]当00
[C]f(x)>1的解集为(-∞,)
[D]f(f())=0
7.(5分)函数y=ax-2+loga(x-1)+7(a>0,且a≠1)的图象过定点　　　　.
8.(5分)已知f(x)=|lg x|,且>a>b>1,则f(a),f(b),f(c)的大小关系是　　　　　　　.(用“>”连接)
9.(12分)作出下列函数的大致图象:
(1)y=log2(x+1);
(2)y=log2(2-x);
(3)y=-log2(x-1);
(4)y=log2|x|.
图(1)
(2)y=log2(2-x)的图象可由y=log2x的图象先根据y轴对称,再向右平移2个单位长度得到,如图(2).
图(2)
(3)y=-log2(x-1)的图象可由y=log2x的图象先根据x轴对称,再向右平移1个单位长度得到,如图(3).
图(3)
(4)y=log2|x|的图象由组成,其中y=log2(-x)的图象可由y=log2x的图象根据y轴对称得到,如图(4).
图(4)
10.(15分)比较下列a,b,c的大小:
(1)已知1(2)已知a=log36,b=log510,c=log714.
所以c=log2(log2x)所以b=log2x2=2log2x>log2x>a,所以c<0(2)因为a=log36=log3(3×2)=1+log32,b=log510=log5(5×2)=1+log52,c=log714=log7(7×2)=1+log72,且00,所以>>,所以log32>log52>log72,所以1+log32>1+log52>1+log72,即a>b>c.
11.已知偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(0.50.4),b=f(log0.50.4),c=f(log40.5),则(　　)
[A]a>b>c [B]a>c>b
[C]b>c>a [D]b>a>c
又由=0.51<0.50.4<0.50=1,|log40.5|=|lo2-1|=|-|=,log0.50.4>log0.50.5=1,所以|log40.5|<0.50.412.(5分)设a>0,且a≠1,若loga4>log2,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
当02(舍去),所以log2a<-2=log2,得0当a>1时,log2a>0,所以4>,所以0综上,实数a的取值范围是(0,)∪(1,4).
13.(16分)已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中常数a>0,且 a≠1.
(1)若a=2,求不等式2f(x)>g(x)+1的解集;
(2)若0所以2f(x)=log2(1+x)2,g(x)+1=log2[2(1-x)],则不等式等价于log2(1+x)2>log2[2(1-x)],则(1+x)2>2(1-x),即x2+4x-1>0,解得x>-2或x<--2,结合定义域x∈(-1,1)知不等式的解集为(-2,1).
(2)易知当01>1-x>0.
若a>1,则loga(1+x)>0,loga(1-x)<0,
所以A=loga(1+x),B=-loga(1-x),则A-B=loga(1-x2)若00,
所以A=-loga(1+x),B=loga(1-x),则A-B=-loga(1-x2)=lo(1-x2)14.已知当0[A](0,) [B](,1)
[C](1,) [D](,2)
当02=logaa2,则4.4.2　对数函数的
图象和性质
第1课时　对数函数的图象和性质(一)
1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.
3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　对数函数的图象和性质
知识归纳
项目 y=logax (a>0,且a≠1) 底数 a>1 0图象
定义域 值域 R 单调性 在(0,+∞)上是 函数 在(0,+∞)上是 函数
最值 无最大、最小值 奇偶性 共点性 图象过定点 ,即x=1时,y=0 (0,+∞)
增
减
非奇非偶
(1,0)
(-∞,0)
[0,+∞)
(0,+∞)
(-∞,0]
x轴
·疑难解惑·
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故函数图象过定点(1,0).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴.
(5)任意两个底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称.
知识点二　反函数
一般地,指数函数 (a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.
y=ax
1.(人教A版必修第一册P135练习T2改编)已知a=log25,b=log23,c=1,则(　　)
[A]b>a>c [B]a>c>b
[C]b>c>a [D]a>b>c
基础自测
D
【解析】 因为y=log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,则log25>log23>log22=1,所以a>b>c.故选D.
2.函数f(x)=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(　　)
[A](3,2) [B](2,1)
[C](2,0) [D](2,2)
D
【解析】 令x-1=1,解得x=2,此时f(2)=loga1+2=2,即函数f(x)的图象恒过定点(2,2).故选D.
A
[A] [B] [C] [D]
4.不等式log2(2-x)≤log2(3x+10)的解集为　　　　.
[-2,2)
【解析】 函数y=log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,
则由log2(2-x)≤log2(3x+10)可得0<2-x≤3x+10,解得-2≤x<2.
关键能力·素养培优
题型一　对数函数的图象
[例1] 设a,b,c,d均为不等于1的正实数.如图,已知函数y=logax,y=logbx,
y=logcx,y=logdx的图象分别是曲线C1,C2,C3,C4,试判断0,1,a,b,c,d的大小关系为　　　　　　　　　　.(用“<”连接)
0【解析】 如图,作直线y=1,从而可与函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象有四个交点,分别为(a,1),(b,1),(c,1),(d,1),从而可得0[典例迁移1] 若函数f(x)=loga(2x+a)-6(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为(　　)
[A](0,-5) [B](0,-6)
[C](1,-6) [D](1,-5)
A
【解析】 令2x+a=a,则x=0,此时f(0)=logaa-6=-5,所以图象恒过定点P(0,-5).故选A.
[典例迁移2] 已知f(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)满足f(-5)=1.
(1)画出函数f(x)的图象;
图(1)
(2)画出函数g(x)=loga|x-1|的图象;
(3)画出函数h(x)=|logax|的图象.
·解题策略·
(1)对数函数底数对图象的影响.
其中a,b,c,d是图象对应的对数函数的底数,根据图象,其大小关系为0·解题策略·
(2)关于定点问题.
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点时,只需令f(x)=1求出x0,即得定点为(x0,m).
(3)对数型函数图象的变换方法.
①作y=f(|x|)的图象时,保留y=f(x)(x>0)的图象不变,当x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称;
·解题策略·
②作y=|f(x)|的图象时,保留y=f(x)在x轴及上方的图象不变,把x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折上去即可;
③有关对数函数图象的平移也符合“左加右减,上加下减”的规律;
④y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称,y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.
题型二　比较对数值的大小
[例2] (湘教版必修第一册P122例11)比较下列各组中两个数的大小:
(1)log27.6和log28.7;
【解】 (1)因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,且7.6<8.7,
所以log27.6(3)loga7.6和loga8.7(a>0,且a≠1);
【解】(3)当a>1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,且7.6<8.7,所以loga7.6当0loga8.7.
(4)log0.82和20.8.
【解】 (4)因为函数y=log0.8x在(0,+∞)上单调递减,
所以log0.82又20.8>0,所以log0.82<20.8.
[典例迁移1] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log23,log32,log46;
【解】 (1)因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以log23=log49>log46>1,又log32<1,所以log23>log46>log32.
[典例迁移2] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log0.26,log0.36,log0.46;
(2)log23,log34,log45.
·解题策略·
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
题型三　利用单调性解对数不等式
(2)loga(2x-5)>loga(x-1).
·解题策略·
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解.
感谢观看4.4.2　对数函数的图象和性质
第1课时　对数函数的图象和性质(一)
【课程标准要求】　1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
知识归纳
知识点一　对数函数的图象和性质
项目 y=logax (a>0,且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
最值 无最大、最小值
奇偶性 非奇非偶
共点性 图象过定点(1,0),即x=1时,y=0
续　表
项目 y=logax (a>0,且a≠1)
函数值 特点 当x∈(0,1)时, y∈(-∞,0); 当x∈[1,+∞)时, y∈[0,+∞) 当x∈(0,1)时, y∈(0,+∞); 当x∈[1,+∞)时, y∈(-∞,0]
对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故函数图象过定点(1,0).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴.
(5)任意两个底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称.
知识点二　反函数
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P135练习T2改编)已知a=log25,b=log23,c=1,则(　　)
[A]b>a>c [B]a>c>b
[C]b>c>a [D]a>b>c
【答案】 D
【解析】 因为y=log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,则log25>log23>log22=1,所以a>b>c.故选D.
2.函数f(x)=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(　　)
[A](3,2) [B](2,1)
[C](2,0) [D](2,2)
【答案】 D
【解析】 令x-1=1,解得x=2,此时f(2)=loga1+2=2,即函数f(x)的图象恒过定点(2,2).故选D.
3.函数y=lo(x-1)的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 函数y=lox在(0,+∞)上单调递减,且图象过点(1,0),又y=lo(x-1)的图象是由y=lox的图象向右平移1个单位长度得到的,则A满足.故选A.
4.不等式log2(2-x)≤log2(3x+10)的解集为　　　　.
【答案】 [-2,2)
【解析】 函数y=log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,则由log2(2-x)≤log2(3x+10)可得0<2-x≤3x+10,解得-2≤x<2.
题型一　对数函数的图象
[例1] 设a,b,c,d均为不等于1的正实数.如图,已知函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象分别是曲线C1,C2,C3,C4,试判断0,1,a,b,c,d的大小关系为　　　　　　　　　　.(用“<”连接)
【答案】 0【解析】 如图,作直线y=1,从而可与函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象有四个交点,分别为(a,1),(b,1),(c,1),(d,1),从而可得0[典例迁移1] 若函数f(x)=loga(2x+a)-6(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为(　　)
[A](0,-5) [B](0,-6)
[C](1,-6) [D](1,-5)
【答案】 A
【解析】 令2x+a=a,则x=0,此时f(0)=logaa-6=-5,所以图象恒过定点P(0,-5).故选A.
[典例迁移2] 已知f(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)满足f(-5)=1.
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)画出函数g(x)=loga|x-1|的图象;
(3)画出函数h(x)=|logax|的图象.
【解】 因为f(-5)=1,所以loga5=1,即a=5,故f(x)=log5|x|=
(1)函数f(x)=log5|x|的图象如图(1)所示.
图(1)
(2)g(x)=log5|x-1|,如图(2),g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的.
图(2)
(3)h(x)=|log5x|的图象如图(3)中实线部分所示.
图(3)
(1)对数函数底数对图象的影响.
其中a,b,c,d是图象对应的对数函数的底数,根据图象,其大小关系为0(2)关于定点问题.
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点时,只需令f(x)=1求出x0,即得定点为(x0,m).
(3)对数型函数图象的变换方法.
①作y=f(|x|)的图象时,保留y=f(x)(x>0)的图象不变,当x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称;
②作y=|f(x)|的图象时,保留y=f(x)在x轴及上方的图象不变,把x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折上去即可;
③有关对数函数图象的平移也符合“左加右减,上加下减”的规律;
④y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称,y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.
题型二　比较对数值的大小
[例2] (湘教版必修第一册P122例11)比较下列各组中两个数的大小:
(1)log27.6和log28.7;
(2)lo7.6和lo8.7;
(3)loga7.6和loga8.7(a>0,且a≠1);
(4)log0.82和20.8.
【解】 (1)因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,且7.6<8.7,
所以log27.6(2)因为函数y=lox在(0,+∞)上单调递减,且7.6<8.7,
所以lo7.6>lo8.7.
(3)当a>1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,且7.6<8.7,所以loga7.6当0loga8.7.
(4)因为函数y=log0.8x在(0,+∞)上单调递减,
所以log0.82又20.8>0,所以log0.82<20.8.
[典例迁移1] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log23,log32,log46;
(2)log3π,log2,log3.
【解】 (1)因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以log23=log49>log46>1,又log32<1,所以log23>log46>log32.
(2)因为log2=log23,且11,所以log3π>log2>log3.
[典例迁移2] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log0.26,log0.36,log0.46;
(2)log23,log34,log45.
【解】 (1) 因为log0.26=,log0.36=,log0.46=,且lg 6>0,lg 0.2log0.36>log0.46.
(2)因为log23-log34=-=>=>=0,
所以log23>log34.同理可证log34>log45,所以log23>log34>log45.
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
题型三　利用单调性解对数不等式
[例3] 解下列关于x的不等式:
(1)lox>lo(4-x);
(2)loga(2x-5)>loga(x-1).
【解】 (1)由题意可得解得0(2)当a>1时,原不等式等价于解得x>4;
当0综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};当0对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如loa>loa(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.
[变式训练] 若-1【答案】 (0,)∪(,+∞)
【解析】 因为-1当a>1时,<;
当0>a,所以0课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是(　　)
[A](-∞,7] [B](2,7]
[C][7,+∞) [D](2,+∞)
【答案】 B
【解析】 由题意得0<2x-4≤10,即22.已知a=log30.3,b=log57,c=0.30.2,则(　　)
[A]a[C]c【答案】 B
【解析】 依题意得,a=log30.3log55=1,03.已知实数m>0且m≠1,函数y=logm(x+n)的大致图象如下,则m,n的取值范围可能为(　　)
[A]m>1,n>1
[B]m>1,0[C]01
[D]0【答案】 C
【解析】 由题图可知函数y=logm(x+n)是减函数,所以01.故选C.
4.函数f(x)=log2(2x)的大致图象为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 令f(x)=0,解得x=.由题意,f(x)=log2(2x)=log2x+1,且x>0,所以f(x)的图象由函数y=log2x的图象向上平移一个单位长度即可.故选C.
5.(多选)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax与y=loga(x-2)的图象可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 BD
【解析】 对于函数y=loga(x-2),有x-2>0,可得x>2,故函数y=loga(x-2)的定义域为(2,+∞).
当a>1时,函数y=ax在R上单调递增,函数y=loga(x-2)在(2,+∞)上单调递增,B项符合题意;
当06.(多选)若函数f(x)=lox,则下列说法正确的是(　　)
[A]函数的定义域为R
[B]当00
[C]f(x)>1的解集为(-∞,)
[D]f(f())=0
【答案】 BD
【解析】 由题知,f(x)=lox,函数的定义域为(0,+∞),故A错误;f(x)=lox在(0,+∞)上单调递减,当0lo1=0,故B正确;f(x)>1,即lox>lo,解得07.(5分)函数y=ax-2+loga(x-1)+7(a>0,且a≠1)的图象过定点　　　　.
【答案】 (2,8)
【解析】 令即x=2,此时y=a0+loga1+7=8,所以函数y=ax-2+loga(x-1)+7(a>0,且a≠1)的图象过定点(2,8).
8.(5分)已知f(x)=|lg x|,且>a>b>1,则f(a),f(b),f(c)的大小关系是　　　　　　　.(用“>”连接)
【答案】 f(c)>f(a)>f(b)
【解析】 先作出函数y=lg x的图象,再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,于是得到f(x)=|lg x|的图象(如图).由图象可知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.由>a>b>1得f()>f(a)>f(b),又f()=|lg |=|-lg c|=|lg c|=f(c),所以f(c)>f(a)>f(b).
9.(12分)作出下列函数的大致图象:
(1)y=log2(x+1);
(2)y=log2(2-x);
(3)y=-log2(x-1);
(4)y=log2|x|.
【解】 (1)y=log2(x+1)的图象可由y=log2x的图象向左平移1个单位长度得到,如图(1).
图(1)
(2)y=log2(2-x)的图象可由y=log2x的图象先根据y轴对称,再向右平移2个单位长度得到,如图(2).
图(2)
(3)y=-log2(x-1)的图象可由y=log2x的图象先根据x轴对称,再向右平移1个单位长度得到,如图(3).
图(3)
(4)y=log2|x|的图象由组成,其中y=log2(-x)的图象可由y=log2x的图象根据y轴对称得到,如图(4).
图(4)
10.(15分)比较下列a,b,c的大小:
(1)已知1(2)已知a=log36,b=log510,c=log714.
【解】 (1)因为1所以c=log2(log2x)所以b=log2x2=2log2x>log2x>a,所以c<0(2)因为a=log36=log3(3×2)=1+log32,b=log510=log5(5×2)=1+log52,c=log714=log7(7×2)=1+log72,且00,所以>>,所以log32>log52>log72,所以1+log32>1+log52>1+log72,即a>b>c.
11.已知偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(0.50.4),b=f(log0.50.4),c=f(log40.5),则(　　)
[A]a>b>c [B]a>c>b
[C]b>c>a [D]b>a>c
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)是偶函数,所以a=f(0.50.4),b=f(log0.50.4),c=f(|log40.5|),
又由=0.51<0.50.4<0.50=1,|log40.5|=|lo2-1|=|-|=,log0.50.4>log0.50.5=1,所以|log40.5|<0.50.412.(5分)设a>0,且a≠1,若loga4>log2,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
【答案】 (0,)∪(1,4)
【解析】 由loga4>log2,得>log2,得>log2a,所以>log2a.
当02(舍去),所以log2a<-2=log2,得0当a>1时,log2a>0,所以4>,所以0综上,实数a的取值范围是(0,)∪(1,4).
13.(16分)已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中常数a>0,且 a≠1.
(1)若a=2,求不等式2f(x)>g(x)+1的解集;
(2)若0【解】 (1)当a=2时,f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1-x),易知即x∈(-1,1).
所以2f(x)=log2(1+x)2,g(x)+1=log2[2(1-x)],则不等式等价于log2(1+x)2>log2[2(1-x)],则(1+x)2>2(1-x),即x2+4x-1>0,解得x>-2或x<--2,结合定义域x∈(-1,1)知不等式的解集为(-2,1).
(2)易知当01>1-x>0.
若a>1,则loga(1+x)>0,loga(1-x)<0,
所以A=loga(1+x),B=-loga(1-x),则A-B=loga(1-x2)若00,
所以A=-loga(1+x),B=loga(1-x),则A-B=-loga(1-x2)=lo(1-x2)14.已知当0[A](0,) [B](,1)
[C](1,) [D](,2)
【答案】 B
【解析】 当a>1时,在区间(0,]上,y=4x>0,y=logax<0,不符合题意;
当02=logaa2,则第2课时　对数函数的图象和性质(二)
1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用对数函数的性质求解与对数函数有关的综合性问题.3.了解反函数的概念和图象特点.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一　与对数函数有关的定义域、值域问题
[-2,0)∪(2,4]
·解题策略·
(2)形如函数f(x)=logag(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解.
(3)形如函数f(x)=logag(x)的值域为R的问题转化为g(x)可以取到所有正数问题求解.
[变式训练] 已知函数f(x)=lg(mx2+mx+1),若此函数的定义域为R,则实数m的取值范围是　　　 　　;若此函数的值域为R,则实数m的取值范围是　　　　　.
[0,4)
[4,+∞)
题型二　与对数函数有关的综合性问题
(2)讨论函数f(x)的单调性.
·解题策略·
(1) 求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的奇偶性问题,一定要注意先研究函数的定义域,利用定义域关于原点对称求解参数更加简单.
(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性,一是利用单调性定义,二是利用复合函数的单调性.
(3)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:
①求函数的定义域;
②将原函数拆分成y=logau(a>0,且a≠1),u=f(x)两个函数;
③由定义域求u的取值范围;
④利用函数y=logau(a>0,且a≠1)的单调性求值域.
[变式训练] 已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
题型三　反函数
【解析】 y=ex的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,故y=ex与y=f(x)互为反函数,故f(x)=ln x,所以f(2e)=ln (2e)=1+ln 2.故选C.
C
·解题策略·
互为反函数的两个函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
D
感谢观看第2课时　对数函数的图象和性质(二)
【课程标准要求】　1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用对数函数的性质求解与对数函数有关的综合性问题.3.了解反函数的概念和图象特点.
题型一　与对数函数有关的定义域、值域问题
[例1] 函数y=的定义域为　　　　　　　　　.
【答案】 [-2,0)∪(2,4]
【解析】 由题意知,
即解得x∈[-2,0)∪(2,4].
所以函数的定义域为[-2,0)∪(2,4].
(1)求形如y=的定义域时,其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉,结合对数函数的单调性,求出x的取值范围.
(2)形如函数f(x)=logag(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解.
(3)形如函数f(x)=logag(x)的值域为R的问题转化为g(x)可以取到所有正数问题求解.
[变式训练] 已知函数f(x)=lg(mx2+mx+1),若此函数的定义域为R,则实数m的取值范围是　　　　　;若此函数的值域为R,则实数m的取值范围是　　　　　.
【答案】 [0,4)　[4,+∞)
【解析】 若函数的定义域为R,即mx2+mx+1>0恒成立.当m=0时,1>0恒成立,当m>0时,Δ= m2-4m<0,解得0题型二　与对数函数有关的综合性问题
[例2] 已知a≠2,函数f(x)=lg(-(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
【解】 (1)法一　因为函数f(x)=lg(-所以f(-x)+f(x)=lg+lg=lg(·)=0,
可得·=1对于-所以f(x)=lg(-法二　由题意得>0,又f(x)是奇函数,其定义域关于坐标原点对称,所以由x≠-知,必有x≠,所以x=是1+ax=0的根,所以1+a=0,即a=-2,此时f(x)=lg(-所以f(x)=lg(-(2) x1,x2∈(-,),且x1所以f(x2)-f(x1)=lg-lg=lg所以f(x2)(1) 求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的奇偶性问题,一定要注意先研究函数的定义域,利用定义域关于原点对称求解参数更加简单.
(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性,一是利用单调性定义,二是利用复合函数的单调性.
(3)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:
①求函数的定义域;
②将原函数拆分成y=logau(a>0,且a≠1),u=f(x)两个函数;
③由定义域求u的取值范围;
④利用函数y=logau(a>0,且a≠1)的单调性求值域.
[变式训练] 已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在[1,]上的值域.
【解】 (1)由f(2)=2得loga2+loga(4-2)=2,即2loga2=2,所以loga2=1,解得a=2,
所以f(x)=log2x+log2(4-x),由解得0(2)由(1)知,f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)]=log2[-(x-2)2+4].
设t(x)=-(x-2)2+4,x∈[1,],则当x=2
时,t(x)max=4;当x=1时,t(x)=3;当x=时,t(x)=.所以当x∈[1,]时,t(x)min=,即t(x)∈[,4],所以f(x)max=log24=2,f(x)min=log2=log27-2,所以f(x)在[1,]上的值域为[log27-2,2].
题型三　反函数
[例3] 已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(2e)等于(　　)
[A]2e2 [B]2e
[C]1+ln 2 [D]lg (2e)
【答案】 C
【解析】 y=ex的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,故y=ex与y=f(x)互为反函数,故f(x)=ln x,所以f(2e)=ln (2e)=1+ln 2.故选C.
互为反函数的两个函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
[变式训练] 函数y=log3x(≤x≤81)的反函数的定义域为(　　)
[A](0,+∞) [B](,81)
[C](1,4) [D][-1,4]
【答案】 D
【解析】 由对数函数的性质可得,函数y=log3x(≤x≤81)的值域为[-1,4],则其反函数的定义域为[-1,4].故选D.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且满足f(2)=1,则f(x)=(　　)
[A]log2x [B]
[C]log0.5x [D]2x
【答案】 A
【解析】 函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数为y=logax,即f(x)=logax(a>0,且a≠1),又f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2,则f(x)=log2x.故选A.
2.若点(a,b)在函数y=lg x的图象上,且a≠1,则下列也在此图象上的点是 (　　)
[A](,b) [B](10a,1-b)
[C](,b+1) [D](a2,2b)
【答案】 D
【解析】 因为点(a,b)在函数y=lg x的图象上,所以b=lg a.当x=时,有y=lg =-lg a=-b,所以点(,b)不在此函数的图象上,A不符合;
当x=10a 时,有y=lg (10a)=1+lg a=1+b,所以点(10a,1-b)不在此函数的图象上,B不符合;
当x=时,有y=lg =1-lg a=1-b,所以点(,b+1)不在此函数的图象上,C不符合;
当x=a2时,有y=lg a2=2lg a=2b,所以点(a2,2b)在此函数的图象上,D符合.故选D.
3.函数f(x)=的定义域为(　　)
[A](e,+∞) [B](1,e]
[C](-∞,1) [D](0,1)∪(1,e]
【答案】 D
【解析】 要使函数有意义,即满足解得所以函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,e].故选D.
4.函数f(x)=lg |x|为 (　　)
[A]奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
[B]奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增
[C]偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增
[D]偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
【答案】 D
【解析】 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于坐标原点对称,且f(-x)=lg |-x|=lg |x|=f(x),所以f(x)是偶函数;当x>0时,f(x)=lg x在区间(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,所以f(x)=lg |x|在区间(-∞,0)上单调递减.故选D.
5.函数f(x)=的图象大致为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 要使函数f(x)有意义,即x2+1≠1,所以x≠0,故f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,排除选项B,C;当x>0时,-x<0,ln(x2+1)>ln 1=0,所以f(x)<0,所以排除选项A.故选D.
6.已知a=log72,b=log0.70.2,c=0.70.2,则a,b,c的大小关系为(　　)
[A]b[C]c【答案】 B
【解析】 因为0<0.7<1,所以b=log0.70.2>log0.70.7=1,c=0.70.2<0.70=1,即0因为7>1,所以0=log71所以=<0.70.2=c,即a7.(5分)函数f(x)=log2(-x2-4x+12)的值域是　　　　　　.
【答案】 (-∞,4]
【解析】 由题意得-x2-4x+12>0,解得-68.(5分)已知函数f(x)=lg (x≠-2)是定义在(-b,b)上的奇函数,则ab的取值范围为　　　　.
【答案】 (1,4]
【解析】 函数f(x)=lg(x≠-2)是定义在(-b,b)上的奇函数,则有f(0)=lg=0,解得a=2,此时f(-x)=lg==-lg=-f(x),满足在(-b,b)上为奇函数,即f(x)=lg.要使f(x)有意义,则>0,解得-29.(13分)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)在区间[4,16]上的最大值与最小值之差为2,求实数a的值;
(2)若函数g(x)=log2(x2-2x+a)的值域为[1,+∞),求使得f(1-t)≤1的实数t的取值范围.
【解】 (1)当a>1时,函数f(x)在[4,16]上单调递增,则loga16-loga4=loga4=2,所以a=2;
当0(2)因为函数g(x)=log2(x2-2x+a)的值域为[1,+∞),所以x2-2x+a=(x-1)2+a-1∈[2,+∞),即有a-1=2,解得a=3.因为f(1-t)≤1,所以log3(1-t)≤1=log33,即有0<1-t≤3,所以-2≤t<1,则实数t的取值范围为[-2,1).
10.(15分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=lo(-x+1).
(1)判断函数f(x)在(-∞,0]上的单调性并利用定义证明;
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.
【解】 (1)函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,证明如下:
x1,x2∈(-∞,0],且x1则f(x1)-f(x2)=lo(-x1+1)-lo(-x2+1)=lo,因为x1-x2+1>0,那么>1,又对数函数y=lou在(0,+∞)上单调递减,当u=>1时,lo<0,即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)(2)设x>0,则-x<0,因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=lo(x+1),所以f(x)=
(3)当x>0时,令f(x)=lo(x+1)=-1,则x+1==2,解得x=1,所以f(1)=-1,因为f(x)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,且f(x)是偶函数,所以f(a-1)<-1等价于f(|a-1|)1,即a-1>1或a-1<-1,解得a>2或a<0.所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
11.(多选)已知函数f(x)=log2(ex+e-x),g(x)是定义域为R的奇函数,则(　　)
[A]f(x)的定义域为R
[B]f(x)的值域为[1,+∞)
[C]y=f(x)g(x)是偶函数
[D]y=f(x)|g(x)|是偶函数
【答案】 ABD
【解析】 因为ex+e-x≥2=2(当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立),所以f(x)的定义域为R,故A正确;f(x)=log2(ex+e-x)≥log22=1,即f(x)的值域为[1,+∞),故B正确;因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.又y=f(x)g(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),则y=f(x)g(x)是奇函数,故C错误;因为y=f(x)|g(x)|的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)|g(-x)|=f(x)|-g(x)|=f(x)|g(x)|,则y=f(x)|g(x)|是偶函数,故D正确.故选ABD.
12.若关于x的函数f(x)=lg[loga(x2+ax+2)]的定义域为R,则实数a的取值范围为(　　)
[A](0,1)∪(1,2)
[B](0,1)∪(1,2)
[C](1,2)
[D](1,2)
【答案】 C
【解析】 由题意,a>0,a≠1,
对任意x∈R,x2+ax+2>0,①
且loga(x2+ax+2)>0,②
对于①,Δ1=a2-8<0,结合a>0,a≠1,得a∈(0,1)∪(1,2).若a∈(0,1),由②知对任意x∈R,x2+ax+2∈(0,1),当x=0时,x2+ax+2=2,矛盾;若a∈(1,2),由②知对任意x∈R,x2+ax+2>1,即x2+ax+1>0,则Δ2=a2-4<0,得a∈(1,2).
综上,当a∈(1,2)时,对任意x∈R,①②同时成立.故选C.
13.(15分)已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值;
(2)求函数f(x)的最小值;
(3)若方程f(x)=x+b有实数根,求b的取值范围.
【解】 (1)函数f(x)=log9(9x+1)+kx的定义域为R,由函数f(x)为偶函数,得f(-x)=f(x),
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx,则log9()-kx=log9(9x+1)+kx,所以log99-x=2kx,解得k=-,所以f(x)=log9(9x+1)-x.
(2)由(1)知,f(x)=log9(9x+1)-log9=log9(9x+1)-log93x=log9(3x+3-x),令函数h(x)=3x+3-x,x≥0,设任意x1,x2∈[0,+∞),x10,即h(x1)(3)依题意,方程f(x)=x+b,即log9(9x+1)-x=b有实数根.令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数g(x)=log9(9x+1)-x的图象与直线y=b有交点,而g(x)=log9=log9(1+9-x),又1+9-x>1恒成立,则g(x)>0恒成立,所以b>0,即b的取值范围为(0,+∞).
14.(多选) 已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是(　　)
[A]a>b [B]g(a)<0[C]a+b=2 [D]g(a)>0>f(b)
【答案】 AD
【解析】 因为y=ex,y=ln x,y=x-2在其定义域上都单调递增,所以f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2在其定义域上都单调递增.因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,且f(a)=0,所以00,且g(b)=0,所以1因为a令f(x)=ex+x-2=0,g(x)=ln x+x-2=0,则ex=2-x,ln x=2-x,由于函数y=ex,y=ln x的图象都和直线y=2-x相交(如图所示),
且函数y=ex和函数y=ln x的图象关于直线y=x对称,直线y=2-x和直线y=x的交点为(1,1),所以=1,即a+b=2,即选项C正确.故选AD.第2课时　对数函数的图象和性质(二)
【课程标准要求】　1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用对数函数的性质求解与对数函数有关的综合性问题.3.了解反函数的概念和图象特点.
题型一　与对数函数有关的定义域、值域问题
[例1] 函数y=的定义域为　　　　　　　　　.
即解得x∈[-2,0)∪(2,4].
所以函数的定义域为[-2,0)∪(2,4].
(1)求形如y=的定义域时,其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉,结合对数函数的单调性,求出x的取值范围.
(2)形如函数f(x)=logag(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解.
(3)形如函数f(x)=logag(x)的值域为R的问题转化为g(x)可以取到所有正数问题求解.
[变式训练] 已知函数f(x)=lg(mx2+mx+1),若此函数的定义域为R,则实数m的取值范围是　　　　　;若此函数的值域为R,则实数m的取值范围是　　　　　.
题型二　与对数函数有关的综合性问题
[例2] 已知a≠2,函数f(x)=lg(-(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
所以f(-x)+f(x)=lg+lg=lg(·)=0,
可得·=1对于-所以f(x)=lg(-法二　由题意得>0,又f(x)是奇函数,其定义域关于坐标原点对称,所以由x≠-知,必有x≠,所以x=是1+ax=0的根,所以1+a=0,即a=-2,此时f(x)=lg(-所以f(x)=lg(-(2) x1,x2∈(-,),且x1所以f(x2)-f(x1)=lg-lg=lg所以f(x2)(1) 求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的奇偶性问题,一定要注意先研究函数的定义域,利用定义域关于原点对称求解参数更加简单.
(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性,一是利用单调性定义,二是利用复合函数的单调性.
(3)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:
①求函数的定义域;
②将原函数拆分成y=logau(a>0,且a≠1),u=f(x)两个函数;
③由定义域求u的取值范围;
④利用函数y=logau(a>0,且a≠1)的单调性求值域.
[变式训练] 已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在[1,]上的值域.
所以f(x)=log2x+log2(4-x),由解得0(2)由(1)知,f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)]=log2[-(x-2)2+4].
设t(x)=-(x-2)2+4,x∈[1,],则当x=2
时,t(x)max=4;当x=1时,t(x)=3;当x=时,t(x)=.所以当x∈[1,]时,t(x)min=,即t(x)∈[,4],所以f(x)max=log24=2,f(x)min=log2=log27-2,所以f(x)在[1,]上的值域为[log27-2,2].
题型三　反函数
[例3] 已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(2e)等于(　　)
[A]2e2 [B]2e
[C]1+ln 2 [D]lg (2e)
互为反函数的两个函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
[变式训练] 函数y=log3x(≤x≤81)的反函数的定义域为(　　)
[A](0,+∞) [B](,81)
[C](1,4) [D][-1,4]
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且满足f(2)=1,则f(x)=(　　)
[A]log2x [B]
[C]log0.5x [D]2x
2.若点(a,b)在函数y=lg x的图象上,且a≠1,则下列也在此图象上的点是 (　　)
[A](,b) [B](10a,1-b)
[C](,b+1) [D](a2,2b)
当x=10a 时,有y=lg (10a)=1+lg a=1+b,所以点(10a,1-b)不在此函数的图象上,B不符合;
当x=时,有y=lg =1-lg a=1-b,所以点(,b+1)不在此函数的图象上,C不符合;
当x=a2时,有y=lg a2=2lg a=2b,所以点(a2,2b)在此函数的图象上,D符合.故选D.
3.函数f(x)=的定义域为(　　)
[A](e,+∞) [B](1,e]
[C](-∞,1) [D](0,1)∪(1,e]
4.函数f(x)=lg |x|为 (　　)
[A]奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减
[B]奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增
[C]偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增
[D]偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减
5.函数f(x)=的图象大致为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
因为f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,排除选项B,C;当x>0时,-x<0,ln(x2+1)>ln 1=0,所以f(x)<0,所以排除选项A.故选D.
6.已知a=log72,b=log0.70.2,c=0.70.2,则a,b,c的大小关系为(　　)
[A]b[C]c因为7>1,所以0=log71所以=<0.70.2=c,即a7.(5分)函数f(x)=log2(-x2-4x+12)的值域是　　　　　　.
8.(5分)已知函数f(x)=lg (x≠-2)是定义在(-b,b)上的奇函数,则ab的取值范围为　　　　.
9.(13分)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)在区间[4,16]上的最大值与最小值之差为2,求实数a的值;
(2)若函数g(x)=log2(x2-2x+a)的值域为[1,+∞),求使得f(1-t)≤1的实数t的取值范围.
当0(2)因为函数g(x)=log2(x2-2x+a)的值域为[1,+∞),所以x2-2x+a=(x-1)2+a-1∈[2,+∞),即有a-1=2,解得a=3.因为f(1-t)≤1,所以log3(1-t)≤1=log33,即有0<1-t≤3,所以-2≤t<1,则实数t的取值范围为[-2,1).
10.(15分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=lo(-x+1).
(1)判断函数f(x)在(-∞,0]上的单调性并利用定义证明;
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.
x1,x2∈(-∞,0],且x1则f(x1)-f(x2)=lo(-x1+1)-lo(-x2+1)=lo,因为x1-x2+1>0,那么>1,又对数函数y=lou在(0,+∞)上单调递减,当u=>1时,lo<0,即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)(2)设x>0,则-x<0,因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=lo(x+1),所以f(x)=
(3)当x>0时,令f(x)=lo(x+1)=-1,则x+1==2,解得x=1,所以f(1)=-1,因为f(x)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,且f(x)是偶函数,所以f(a-1)<-1等价于f(|a-1|)1,即a-1>1或a-1<-1,解得a>2或a<0.所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
11.(多选)已知函数f(x)=log2(ex+e-x),g(x)是定义域为R的奇函数,则(　　)
[A]f(x)的定义域为R
[B]f(x)的值域为[1,+∞)
[C]y=f(x)g(x)是偶函数
[D]y=f(x)|g(x)|是偶函数
12.若关于x的函数f(x)=lg[loga(x2+ax+2)]的定义域为R,则实数a的取值范围为(　　)
[A](0,1)∪(1,2)
[B](0,1)∪(1,2)
[C](1,2)
[D](1,2)
对任意x∈R,x2+ax+2>0,①
且loga(x2+ax+2)>0,②
对于①,Δ1=a2-8<0,结合a>0,a≠1,得a∈(0,1)∪(1,2).若a∈(0,1),由②知对任意x∈R,x2+ax+2∈(0,1),当x=0时,x2+ax+2=2,矛盾;若a∈(1,2),由②知对任意x∈R,x2+ax+2>1,即x2+ax+1>0,则Δ2=a2-4<0,得a∈(1,2).
综上,当a∈(1,2)时,对任意x∈R,①②同时成立.故选C.
13.(15分)已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值;
(2)求函数f(x)的最小值;
(3)若方程f(x)=x+b有实数根,求b的取值范围.
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx,则log9()-kx=log9(9x+1)+kx,所以log99-x=2kx,解得k=-,所以f(x)=log9(9x+1)-x.
(2)由(1)知,f(x)=log9(9x+1)-log9=log9(9x+1)-log93x=log9(3x+3-x),令函数h(x)=3x+3-x,x≥0,设任意x1,x2∈[0,+∞),x10,即h(x1)(3)依题意,方程f(x)=x+b,即log9(9x+1)-x=b有实数根.令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数g(x)=log9(9x+1)-x的图象与直线y=b有交点,而g(x)=log9=log9(1+9-x),又1+9-x>1恒成立,则g(x)>0恒成立,所以b>0,即b的取值范围为(0,+∞).
14.(多选) 已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是(　　)
[A]a>b [B]g(a)<0[C]a+b=2 [D]g(a)>0>f(b)
因为a令f(x)=ex+x-2=0,g(x)=ln x+x-2=0,则ex=2-x,ln x=2-x,由于函数y=ex,y=ln x的图象都和直线y=2-x相交(如图所示),
且函数y=ex和函数y=ln x的图象关于直线y=x对称,直线y=2-x和直线y=x的交点为(1,1),所以=1,即a+b=2,即选项C正确.故选AD.

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