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4.4.3　不同函数增长的差异
【课程标准要求】　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型.
知识归纳
知识点　三种常见函数模型的增长差异
　　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0)
在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋 于稳定 增长速 度不变
续　表
　　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0)
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度;总会存在一个x0,当x>x0时,恒有logax增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax
(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长幅度很大时,常常选用对数函数模型.
(3)一次函数增长速度不变,平稳变化.
(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上.
基础自测
1.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　)
[A]一次函数 [B]幂函数
[C]对数函数 [D]指数函数
2.有三个函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x,以下四个选项错误的是(　　)
[A]f(x)的增长速度始终不变
[B]f(x)的增长速度越来越快
[C]g(x)的增长速度越来越快
[D]h(x)的增长速度越来越慢
3.在一次物理实验中,某同学采集到如下一组数据:
x 0.5 0.99 2.01 3.98
y -0.99 0.01 0.98 2.00
在下列四个函数模型中,最能反映x,y函数关系的是(　　)
[A]y=2x [B]y=x2-1
[C]y=2x-2 [D]y=log2x
4.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
题型一　几类函数增长的差异
[例1] 三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
则关于x 分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为(　　)
[A]y1,y2,y3 [B]y2,y1,y3
[C]y3,y2,y1 [D]y1,y3,y2
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
[变式训练] 下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是(　　)
[A]y=50 [B]y=1 000x
[C]y=2ln x [D]y=ex
题型二　幂函数、指数函数、对数函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=2x,g(x)=x3的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),x1得1x2,观察题图知,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),则f(2 026)>g(2 026);
又g(2 026)>g(6),所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6).
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.特别的,呈直线上升的是一次函数.
[变式训练] 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出C1,C2分别对应的函数;
(2)以两图象的交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.
(2)当0f(x);当x1g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
题型三　函数模型的选择
[例3] 某制造厂引进了一条装配流水线,本年第一季度统计数据如表所示.
月份 1月 2月 3月
产品数量x/件 30 60 80
创造的收益y/元 4 800 6 000 4 800
(1)根据表格数据,从下列三个函数模型:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=ax+b,选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的产品数量x(单位:件)与创造的收益y(单位:元)之间的关系,并写出这个函数关系式.
(2)利用上述你选取的函数模型计算,若这家工厂希望在一月内利用这条流水线创收6 020元以上,那么它在一月内大约应生产多少件产品
解得所以y=-2(x-55)2+6 050=-2x2+220x.
(2)设在一月内大约应生产x件产品,根据题意,可得-2x2+220x>6 020,即-2x2+220x-6 020>0,即x2-110x+3 010<0,解得55-建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素、主要变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,且能得出正确结论.
(3)反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题.
[变式训练] 某科研小组自元旦开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况,并测得最初绿球藻的生长面积为n(单位:m2),此后每隔一个月(每月月底)测量一次,一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了4 m2,二月底测得绿球藻的生长面积为(4+2) m2,科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢,绿球藻生长面积y(单位: m2)与时间x(单位:月)的关系有两个函数模型可供选择,一个是y=nax(n>0,a>1);另一个是y=p+n(p>0,n>0),记元旦最初测量时间x的值为0.
(1)请你判断哪个函数模型更适合,说明理由,并求出该函数模型的解析式.
(2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积n的7倍
所以y=4+2.
(2)由题意得4+2=2×7=14,解得x=9.
所以该水域中绿球藻生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍.
课时作业
(满分:80分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列函数中,当x充分大时,增长速度最快的是(　　)
[A]y=10×1.05x [B]y=20+x1.5
[C]y=30+lg (x-1) [D]y=50x+100
2.在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:
x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则y与x的关系与下列函数最接近的是(其中a为待定系数)(　　)
[A]y=ax [B]y=ax2+1
[C]y=loga(x+1) [D]y=
3.下面对函数f(x)=lox与g(x)=在区间(0,+∞)上的衰减情况的说法正确的是(　　)
[A]f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快
[B]f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢
[C]f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢
[D]f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快
由图象可判断出衰减情况为f(x),g(x)的衰减速度越来越慢.故选C.
4.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加值y(单位:万公顷)关于年数x(单位:年)的函数关系较为接近的是(　　)
[A]y=0.2x [B]y=0.1x2+0.1x
[C]y=0.2+log4x [D]y=
综上,选用函数关系y=较为近似.故选D.
5.(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).则以下结论正确的是(　　)
[A]当x>1时,甲走在最前面
[B]当01时,丁走在最后面
[C]丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面
[D]如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲
f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数,
当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,A不正确;
根据四种函数的变化特点,对数型函数的变化是先快后慢,又当 x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体重合,从而可知当01时,丁走在最后面,B正确;
指数型函数的变化是先慢后快,当运动的时间足够长,最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲物体,D正确;
结合对数型和指数型函数的图象(图略)变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,C正确.故选BCD.
6.(多选)某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体,有三种方案可以选择,这三种方案的注入量随时间的变化如下图所示:
横轴为时间(单位:h),纵轴为注入量,根据以上信息,若使注入量最多,下列说法正确的是(　　)
[A]注入时间在3 h以内(含3 h),采用方案一
[B]注入时间恰为4 h,不采用方案三
[C]注入时间恰为6 h,采用方案二
[D]注入时间恰为10 h,采用方案二
7.(5分)某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(单位:年)的函数关系如图所示.
以下三种说法:①前三年总产量增长的速度越来越快;②前三年总产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产.其中说法正确的序号是　　　　.
第三年后这种产品的总产量保持不变,所以产品停止生产,故③正确.
8.(5分)若x∈(0,+∞),在函数y=log2x,y=2x,y=2x中,增长较快的一个是　　　　;则使log2x<2x<2x成立的x的取值范围是　　　　.
由图可知,y=log2x的增长是由快变慢,y=2x是均匀增长,y=2x的增长是由慢变快,故增长较快的一个是y=2x;由图形可得log2x<2x<2x成立的x的取值范围是(1,2).
9.(14分)在某科学实验中,实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶,想测试染料的扩散效果.已知染料在水桶中扩散的速度是先快后慢,1 s后染料扩散的体积是1 cm3,2 s后染料扩散的体积是3 cm3,染料扩散的体积y(单位:cm3)与时间x(单位:s)的关系有两种函数模型可供选择:①y=m·3x;②y=mlog3x+b,其中m,b均为常数.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)若染料扩散的体积达到5 cm3,至少需要多少秒.
所以该模型的解析式为y=2log23·log3x+1=2log2x+1.
(2)由(1)知,y=2log2x+1.由题意知,y≥5,即2log2x+1≥5,则有2log2x≥4,所以log2x≥2,所以x≥4.所以至少需要4 s.
10.(5分)生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水面的高度随着时间的变化而变化,在图中请选择与容器相匹配的图象,A对应　　　　;B对应　　　　;C对应　　　　;D对应　　　　.
[A] [B] [C] [D]
11.(5分)已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa,a>0,且a≠1,给出下列结论:①当a>1时, x∈(0,+∞),函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方;② x0∈(0,+∞),当x>x0时,恒有h(x)>g(x);
③ a∈(0,1),方程f(x)=g(x),f(x)=h(x),g(x)=h(x)都有解.其中正确结论的序号是　　　　.
对于②,当01时,对数函数g(x)=logax和幂函数h(x)=xa在区间(0,+∞)上,随着x的增大,g(x)=logax增长得越来越慢,尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xa,但由于xa的增长快于logax的增长,则总存在一个x0,当x>x0时,就会有h(x)>g(x)成立,②正确;
对于③,0函数f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa的图象两两都分别有交点,所以方程f(x)=g(x),f(x)=h(x),g(x)=h(x)都有解,③正确.所以正确结论的序号是②③.
12.(14分)某公司经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:
km/h)(40≤v≤120)的数据关系如表所示:
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.9v+a;Q(v)=0.04v+b;Q(v)=0.000 025v3-
0.004v2+cv.
(1)请选出最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式.
(2)选择一段长度为100 km的平坦高速路段进行测试,这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少
若选择第二种模型,代入(40,5.2),得5.2=0.04×40+b,解得b=3.6,所以Q(v)=0.04v+3.6,
此时Q(90)=7.2,Q(100)=7.6,Q(120)=8.4,与实际数据相差较大,故第二种不符合;
经观察,第三种函数模型最符合实际,代入(40,5.2),可得0.000 025×403-0.004×402+c×40=5.2,即1.6-6.4+c×40=5.2,解得c=0.25,所以Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25 v.
此时,Q(60)=6,Q(90)=8.325,Q(100)=10,Q(120)=15.6,符合题意,所以Q(v)=0.000 025v3-
0.004v2+0.25v.
(2)设总耗油量为W,由题意得W=×Q=0.002 5v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9,40≤v≤120,当v=80时,W取得最小值为9.
所以这辆车应以80 km/h的速度行驶才能使总耗油量最少.(共29张PPT)
4.4.3　不同函数
增长的差异
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
　　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx
(k>0)
在(0,+∞) 上的增减性
图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋 于稳定 增长速
度不变
知识点　三种常见函数模型的增长差异
知识归纳
单调递增
单调递增
单调递增
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过 的增长速度;总会存在一个x0,当x>x0时,恒有 增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有 y=kx(k>0)
logaxax>kx>logax
·疑难解惑·
(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长幅度很大时,常常选用对数函数模型.
(3)一次函数增长速度不变,平稳变化.
(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上.
1.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　)
[A]一次函数 [B]幂函数
[C]对数函数 [D]指数函数
基础自测
C
【解析】 从题图可以看出这个函数的增长速率越来越慢,反映的是对数函数的增长趋势.故选C.
2.有三个函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x,以下四个选项错误的是(　　)
[A]f(x)的增长速度始终不变
[B]f(x)的增长速度越来越快
[C]g(x)的增长速度越来越快
[D]h(x)的增长速度越来越慢
B
【解析】 作出三个函数的图象,由图可知A,C,D正确,B错误.故选B.
D
3.在一次物理实验中,某同学采集到如下一组数据:
x 0.5 0.99 2.01 3.98
y -0.99 0.01 0.98 2.00
在下列四个函数模型中,最能反映x,y函数关系的是(　　)
[A]y=2x [B]y=x2-1
[C]y=2x-2 [D]y=log2x
【解析】 对于A,当x=0.5时,y=1,与-0.99相差过大,故排除;对于B,当x=2.01时,y=3.040 1,与0.98相差过大,故排除;对于C,当x=2.01时,y=2.02,与0.98相差过大,故排除;对于D,由对数函数性质知,表格里的数与y=log2x图象上的点相差较小,故正确.故选D.
4.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)
[A] [B] [C] [D]
B
【解析】 在2 h内,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且函数单调递增,排除A;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,排除C;停止注射后,血液中最终药物含量趋近于0,但不小于0,排除D;能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.故选B.
关键能力·素养培优
题型一　几类函数增长的差异
[例1] 三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
则关于x 分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为(　　)
[A]y1,y2,y3 [B]y2,y1,y3
[C]y3,y2,y1 [D]y1,y3,y2
C
【解析】 由题表可知,y2随着x的增大而迅速增大,是指数型函数变化;y3随着x的增大而增大,但是变化缓慢,是对数型函数变化;y1相对于y2增长得要慢一些,相当于y3增长得要快一些,故y1是直线型函数的变化.故选C.
·解题策略·
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
[变式训练] 下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是(　　)
D
题型二　幂函数、指数函数、对数函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=2x,g(x)=x3的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),x1【解】 由已知及f(1)=2>1=g(1),f(2)=4<8=g(2),f(9)=512<729=g(9),f(10)=
1 024>1 000=g(10),
得1x2,观察题图知,当x1f(x)当x>x2时,f(x)>g(x),则f(2 026)>g(2 026);
又g(2 026)>g(6),所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6).
·解题策略·
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.特别的,呈直线上升的是一次函数.
[变式训练] 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出C1,C2分别对应的函数;
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1;C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)以两图象的交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.
【解】 (2)当0f(x);当x1g(x);当x>x2时,
g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
题型三　函数模型的选择
[例3] 某制造厂引进了一条装配流水线,本年第一季度统计数据如表所示.
月份 1月 2月 3月
产品数量x/件 30 60 80
创造的收益y/元 4 800 6 000 4 800
(1)根据表格数据,从下列三个函数模型:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=ax+b,选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的产品数量x(单位:件)与创造的收益y(单位:元)之间的关系,并写出这个函数关系式.
(2)利用上述你选取的函数模型计算,若这家工厂希望在一月内利用这条流水线创收6 020元以上,那么它在一月内大约应生产多少件产品
·解题策略·
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素、主要变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,且能得出正确结论.
(3)反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题.
(1)请你判断哪个函数模型更适合,说明理由,并求出该函数模型的解析式.
(2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积n的7倍
感谢观看4.4.3　不同函数增长的差异
【课程标准要求】　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型.
知识归纳
知识点　三种常见函数模型的增长差异
　　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0)
在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋 于稳定 增长速 度不变
续　表
　　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0)
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度;总会存在一个x0,当x>x0时,恒有logax增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax
(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长幅度很大时,常常选用对数函数模型.
(3)一次函数增长速度不变,平稳变化.
(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上.
基础自测
1.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　)
[A]一次函数 [B]幂函数
[C]对数函数 [D]指数函数
【答案】 C
【解析】 从题图可以看出这个函数的增长速率越来越慢,反映的是对数函数的增长趋势.故选C.
2.有三个函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x,以下四个选项错误的是(　　)
[A]f(x)的增长速度始终不变
[B]f(x)的增长速度越来越快
[C]g(x)的增长速度越来越快
[D]h(x)的增长速度越来越慢
【答案】 B
【解析】 作出三个函数的图象,由图可知A,C,D正确,B错误.故选B.
3.在一次物理实验中,某同学采集到如下一组数据:
x 0.5 0.99 2.01 3.98
y -0.99 0.01 0.98 2.00
在下列四个函数模型中,最能反映x,y函数关系的是(　　)
[A]y=2x [B]y=x2-1
[C]y=2x-2 [D]y=log2x
【答案】 D
【解析】 对于A,当x=0.5时,y=1,与-0.99相差过大,故排除;对于B,当x=2.01时,y=3.040 1,与0.98相差过大,故排除;对于C,当x=2.01时,y=2.02,与0.98相差过大,故排除;对于D,由对数函数性质知,表格里的数与y=log2x图象上的点相差较小,故正确.故选D.
4.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 在2 h内,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且函数单调递增,排除A;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,排除C;停止注射后,血液中最终药物含量趋近于0,但不小于0,排除D;能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.故选B.
题型一　几类函数增长的差异
[例1] 三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
则关于x 分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为(　　)
[A]y1,y2,y3 [B]y2,y1,y3
[C]y3,y2,y1 [D]y1,y3,y2
【答案】 C
【解析】 由题表可知,y2随着x的增大而迅速增大,是指数型函数变化;y3随着x的增大而增大,但是变化缓慢,是对数型函数变化;y1相对于y2增长得要慢一些,相当于y3增长得要快一些,故y1是直线型函数的变化.故选C.
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
[变式训练] 下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是(　　)
[A]y=50 [B]y=1 000x
[C]y=2ln x [D]y=ex
【答案】 D
【解析】 依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数,故随着x的增长,y=ex的增长速度最快.故选D.
题型二　幂函数、指数函数、对数函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=2x,g(x)=x3的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),x1【解】 由已知及f(1)=2>1=g(1),f(2)=4<8=g(2),f(9)=512<729=g(9),f(10)=1 024>1 000=g(10),
得1x2,观察题图知,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),则f(2 026)>g(2 026);
又g(2 026)>g(6),所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6).
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.特别的,呈直线上升的是一次函数.
[变式训练] 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出C1,C2分别对应的函数;
(2)以两图象的交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1;C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当0f(x);当x1g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
题型三　函数模型的选择
[例3] 某制造厂引进了一条装配流水线,本年第一季度统计数据如表所示.
月份 1月 2月 3月
产品数量x/件 30 60 80
创造的收益y/元 4 800 6 000 4 800
(1)根据表格数据,从下列三个函数模型:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=ax+b,选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的产品数量x(单位:件)与创造的收益y(单位:元)之间的关系,并写出这个函数关系式.
(2)利用上述你选取的函数模型计算,若这家工厂希望在一月内利用这条流水线创收6 020元以上,那么它在一月内大约应生产多少件产品
【解】 (1)由题表可知,随着x的增大,y的值先增大后减小,而函数y=ax+b及y=ax+b均为单调函数,故不符合题意,所以选取②y=ax2+bx+c.由(30,4 800),(60,6 000),(80,4 800)三点,可得二次函数图象的对称轴为直线x==55,故可将函数解析式设为y=a(x-55)2+h,即得到
解得所以y=-2(x-55)2+6 050=-2x2+220x.
(2)设在一月内大约应生产x件产品,根据题意,可得-2x2+220x>6 020,即-2x2+220x-6 020>0,即x2-110x+3 010<0,解得55-建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素、主要变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,且能得出正确结论.
(3)反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题.
[变式训练] 某科研小组自元旦开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况,并测得最初绿球藻的生长面积为n(单位:m2),此后每隔一个月(每月月底)测量一次,一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了4 m2,二月底测得绿球藻的生长面积为(4+2) m2,科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢,绿球藻生长面积y(单位: m2)与时间x(单位:月)的关系有两个函数模型可供选择,一个是y=nax(n>0,a>1);另一个是y=p+n(p>0,n>0),记元旦最初测量时间x的值为0.
(1)请你判断哪个函数模型更适合,说明理由,并求出该函数模型的解析式.
(2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积n的7倍
【解】 (1)函数模型y=nax(n>0,a>1),y=p+n(p>0,n>0)在[0,+∞)上都单调递增,y=nax(n>0,a>1)的函数值增加得越来越快,而y=p+n(p>0,n>0)的函数值增加得越来越慢,所以第二个函数模型y=p+n(p>0,n>0)满足要求.由题意知解得
所以y=4+2.
(2)由题意得4+2=2×7=14,解得x=9.
所以该水域中绿球藻生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍.
课时作业
(满分:80分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列函数中,当x充分大时,增长速度最快的是(　　)
[A]y=10×1.05x [B]y=20+x1.5
[C]y=30+lg (x-1) [D]y=50x+100
【答案】 A
【解析】 由于指数函数y=1.05x的底数大于1,其增长速度随着x的增大会越来越快,比幂函数、对数函数、一次函数的增长速度都快.故选A.
2.在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:
x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则y与x的关系与下列函数最接近的是(其中a为待定系数)(　　)
[A]y=ax [B]y=ax2+1
[C]y=loga(x+1) [D]y=
【答案】 A
【解析】 将对应的(x,y)在平面直角坐标系中画出(如图),根据图形形状可得,其与指数函数图象最为接近.故选A.
3.下面对函数f(x)=lox与g(x)=在区间(0,+∞)上的衰减情况的说法正确的是(　　)
[A]f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快
[B]f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢
[C]f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢
[D]f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快
【答案】 C
【解析】 在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示,
由图象可判断出衰减情况为f(x),g(x)的衰减速度越来越慢.故选C.
4.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加值y(单位:万公顷)关于年数x(单位:年)的函数关系较为接近的是(　　)
[A]y=0.2x [B]y=0.1x2+0.1x
[C]y=0.2+log4x [D]y=
【答案】 D
【解析】 由题意,最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,即(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76).对于A,y=0.2x,当x=3时,y=0.6和0.76相差较大;对于B,y=0.1x2+0.1x,当x=2时,y=0.6和0.4相差较大;对于C,y=0.2+log4x,当x=2时,y=0.7和0.4相差较大;对于D,y=,当x=1时,y=0.2,当x=2时,y=0.4,当x=3时,y=0.8和0.76相差0.04.
综上,选用函数关系y=较为近似.故选D.
5.(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).则以下结论正确的是(　　)
[A]当x>1时,甲走在最前面
[B]当01时,丁走在最后面
[C]丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面
[D]如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲
【答案】 BCD
【解析】 路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,
f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数,
当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,A不正确;
根据四种函数的变化特点,对数型函数的变化是先快后慢,又当 x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体重合,从而可知当01时,丁走在最后面,B正确;
指数型函数的变化是先慢后快,当运动的时间足够长,最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲物体,D正确;
结合对数型和指数型函数的图象(图略)变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,C正确.故选BCD.
6.(多选)某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体,有三种方案可以选择,这三种方案的注入量随时间的变化如下图所示:
横轴为时间(单位:h),纵轴为注入量,根据以上信息,若使注入量最多,下列说法正确的是(　　)
[A]注入时间在3 h以内(含3 h),采用方案一
[B]注入时间恰为4 h,不采用方案三
[C]注入时间恰为6 h,采用方案二
[D]注入时间恰为10 h,采用方案二
【答案】 ABC
【解析】 对于A,由题图可知,当注入时间在3 h 以内(含3 h)时,方案一的注入量大于其他两种方案,故A正确;对于B,当注入时间恰为4 h时,由题图可知,方案三的注入量小于其他两个方案,故B正确;对于C,当注入时间恰为6 h时,方案二的注入量大于其他两个方案,故C正确;对于D,当注入时间大于8 h 时,由题图可知,方案三的注入量最大,故应选择方案三,D错误.故选ABC.
7.(5分)某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(单位:年)的函数关系如图所示.
以下三种说法:①前三年总产量增长的速度越来越快;②前三年总产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产.其中说法正确的序号是　　　　.
【答案】 ②③
【解析】 由题图可知,前三年总产量增长的速度越来越慢,故①错误,②正确;
第三年后这种产品的总产量保持不变,所以产品停止生产,故③正确.
8.(5分)若x∈(0,+∞),在函数y=log2x,y=2x,y=2x中,增长较快的一个是　　　　;则使log2x<2x<2x成立的x的取值范围是　　　　.
【答案】 y=2x　(1,2)
【解析】 作出函数y=log2x,y=2x,y=2x在(0,+∞)上的大致图象如图.
由图可知,y=log2x的增长是由快变慢,y=2x是均匀增长,y=2x的增长是由慢变快,故增长较快的一个是y=2x;由图形可得log2x<2x<2x成立的x的取值范围是(1,2).
9.(14分)在某科学实验中,实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶,想测试染料的扩散效果.已知染料在水桶中扩散的速度是先快后慢,1 s后染料扩散的体积是1 cm3,2 s后染料扩散的体积是3 cm3,染料扩散的体积y(单位:cm3)与时间x(单位:s)的关系有两种函数模型可供选择:①y=m·3x;②y=mlog3x+b,其中m,b均为常数.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)若染料扩散的体积达到5 cm3,至少需要多少秒.
【解】 (1)在函数y=m·3x中,y随x的增长而增长,且增长的速度越来越快;在函数y=mlog3x+b中,y随x的增长而增长,且增长的速度越来越慢.根据染料扩散的速度是先快后慢,所以选第二个模型更合适,即y=mlog3x+b.由题意可得,解得
所以该模型的解析式为y=2log23·log3x+1=2log2x+1.
(2)由(1)知,y=2log2x+1.由题意知,y≥5,即2log2x+1≥5,则有2log2x≥4,所以log2x≥2,所以x≥4.所以至少需要4 s.
10.(5分)生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水面的高度随着时间的变化而变化,在图中请选择与容器相匹配的图象,A对应　　　　;B对应　　　　;C对应　　　　;D对应　　　　.
[A] [B] [C] [D]
【答案】 (4)　(1)　(3)　(2)
【解析】 A容器下粗上细,水面高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水面高度变化为快—慢—快,故与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水面高度的变化速度都应是不变的,但C容器细,D容器粗,故C容器水面高度变化更快些,与(3)对应,D容器水面高度变化更慢些,与(2)对应.
11.(5分)已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa,a>0,且a≠1,给出下列结论:①当a>1时, x∈(0,+∞),函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方;② x0∈(0,+∞),当x>x0时,恒有h(x)>g(x);
③ a∈(0,1),方程f(x)=g(x),f(x)=h(x),g(x)=h(x)都有解.其中正确结论的序号是　　　　.
【答案】 ②③
【解析】 对于①,取a=>e0=1,则f(x)=,f(e)==e,g(x)=lox,g(e)=loe=eln e=e,此时f(e)=g(e),不满足函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,①错误;
对于②,当01时,对数函数g(x)=logax和幂函数h(x)=xa在区间(0,+∞)上,随着x的增大,g(x)=logax增长得越来越慢,尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xa,但由于xa的增长快于logax的增长,则总存在一个x0,当x>x0时,就会有h(x)>g(x)成立,②正确;
对于③,0函数f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa的图象两两都分别有交点,所以方程f(x)=g(x),f(x)=h(x),g(x)=h(x)都有解,③正确.所以正确结论的序号是②③.
12.(14分)某公司经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:
km/h)(40≤v≤120)的数据关系如表所示:
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.9v+a;Q(v)=0.04v+b;Q(v)=0.000 025v3-
0.004v2+cv.
(1)请选出最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式.
(2)选择一段长度为100 km的平坦高速路段进行测试,这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少
【解】 (1)该函数模型应为增函数,故第一种函数模型不符合;
若选择第二种模型,代入(40,5.2),得5.2=0.04×40+b,解得b=3.6,所以Q(v)=0.04v+3.6,
此时Q(90)=7.2,Q(100)=7.6,Q(120)=8.4,与实际数据相差较大,故第二种不符合;
经观察,第三种函数模型最符合实际,代入(40,5.2),可得0.000 025×403-0.004×402+c×40=5.2,即1.6-6.4+c×40=5.2,解得c=0.25,所以Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25 v.
此时,Q(60)=6,Q(90)=8.325,Q(100)=10,Q(120)=15.6,符合题意,所以Q(v)=0.000 025v3-
0.004v2+0.25v.
(2)设总耗油量为W,由题意得W=×Q=0.002 5v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9,40≤v≤120,当v=80时,W取得最小值为9.
所以这辆车应以80 km/h的速度行驶才能使总耗油量最少.

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