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4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　函数零点
知识归纳
1.概念:对于一般函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系:
f(x)=0
x轴
f(x)=0
·疑难解惑·
(1)零点不是点,是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)求零点可转化为求对应方程的解.
(3)并不是所有的函数都有零点,如函数y=2x,y=|x|+1都没有零点.
知识点二　函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,且有
,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解.
连续不断
f(a)f(b)<0
至少
f(c)=0
1.(人教A版必修第一册P144练习T1改编)下列图象表示的函数中恰有一个零点的是 (　　)
基础自测
B
[A] [B] [C] [D]
【解析】 根据零点的定义,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标.选项A中函数图象与x轴没有交点,即函数没有零点;选项B中函数图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点;选项C,D中函数图象与x轴有两个交点,即函数有两个零点.故选B.
2.函数f(x)=x2-4x+3的零点为(　　)
[A](1,0) [B](1,3)
[C]1和3 [D](1,0)和(3,0)
C
【解析】 令x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以函数的零点为1和3.故选C.
C
4.函数f(x)=x3+x2-5的一个零点所在区间为(　　)
[A](0,1) [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
B
【解析】 因为y=x3与y=x2-5均在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x3+x2-5在(0,+∞)上单调递增,
又f(1)=-3,f(2)=7,所以f(1)f(2)<0,所以f(x)在(1,2)上存在一个零点.故选B.
关键能力·素养培优
题型一　求函数的零点
[例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,求出函数的零点;如果不存在,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
【解】 (1)令f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数f(x)存在零点,零点是-1和-6.
(2)f(x)=2x-1-3;
【解】 (2)令f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数f(x)存在零点,零点是log26.
(3)f(x)=(x2+x+1)(2x+1);
·解题策略·
函数零点的两种求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.
(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
[变式训练] 若一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,则函数g(x)=bx2-kx的图象可能是(　　)
B
【解析】 因为一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,所以-2k+b=0,即b=2k,对于g(x)=bx2-kx,令g(x)=0,
则bx2-kx=0,则x(bx-k)=0,即x(2kx-k)=0,解得x=0或x=0.5,所以g(x)有两个零点,分别为0和0.5,符合题意的只有B选项.故选B.
题型二　函数零点所在区间问题
[例2] (多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) -4 -2 1 4 2 -1 -3
在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为(　 　)
[A](1,2) [B](2,3)
[C](5,6) [D](5,7)
BCD
【解析】 由所给的函数值表知,f(1)f(2)>0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0,f(5)f(7)<0,
由零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(5,6),(5,7)内分别至少有一个零点.故选BCD.
·解题策略·
判断函数y=f(x)在所给区间(a,b)上
是否有零点的常用方法
(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
C
题型三　函数零点个数的问题
(2)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
·解题策略·
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解,转化为解方程,有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数.
(3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
4
法二　y=f(x)的图象如图(1)所示, 故y=|f(x)|的图象如图(2)所示.令y=|f(x)|-1=0,即|f(x)|=1,y=|f(x)|的图象与y=1有4个交点,故函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.
感谢观看4.5.1　函数的零点与方程的解
【课程标准要求】　1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
知识归纳
知识点一　函数零点
1.概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系:
(1)零点不是点,是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)求零点可转化为求对应方程的解.
(3)并不是所有的函数都有零点,如函数y=2x,y=|x|+1都没有零点.
知识点二　函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P144练习T1改编)下列图象表示的函数中恰有一个零点的是 (　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 根据零点的定义,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标.选项A中函数图象与x轴没有交点,即函数没有零点;选项B中函数图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点;选项C,D中函数图象与x轴有两个交点,即函数有两个零点.故选B.
2.函数f(x)=x2-4x+3的零点为(　　)
[A](1,0) [B](1,3)
[C]1和3 [D](1,0)和(3,0)
【答案】 C
【解析】 令x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以函数的零点为1和3.故选C.
3.函数f(x)=的零点个数是(　　)
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
【答案】 C
【解析】 当x≤0时,令f(x)=x2-2=0,解得x=-;当x>0时,令f(x)=2x-6=0,解得x=3.
所以函数f(x)有2个零点.故选C.
4.函数f(x)=x3+x2-5的一个零点所在区间为(　　)
[A](0,1) [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
【答案】 B
【解析】 因为y=x3与y=x2-5均在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x3+x2-5在(0,+∞)上单调递增,
又f(1)=-3,f(2)=7,所以f(1)f(2)<0,所以f(x)在(1,2)上存在一个零点.故选B.
题型一　求函数的零点
[例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,求出函数的零点;如果不存在,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=2x-1-3;
(3)f(x)=(x2+x+1)(2x+1);
(4)f(x)=
【解】 (1)令f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数f(x)存在零点,零点是-1和-6.
(2)令f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数f(x)存在零点,零点是log26.
(3)因为x2+x+1=(x+)2+≥>0,2x+1>1>0,所以f(x)=(x2+x+1)(2x+1)>0,
所以函数f(x)不存在零点.
(4)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3(x=1舍去);当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
所以函数f(x)=存在零点,零点为-3和e2.
函数零点的两种求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.
(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
[变式训练] 若一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,则函数g(x)=bx2-kx的图象可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,所以-2k+b=0,即b=2k,对于g(x)=bx2-kx,令g(x)=0,
则bx2-kx=0,则x(bx-k)=0,即x(2kx-k)=0,解得x=0或x=0.5,所以g(x)有两个零点,分别为0和0.5,符合题意的只有B选项.故选B.
题型二　函数零点所在区间问题
[例2] (多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) -4 -2 1 4 2 -1 -3
在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为(　　)
[A](1,2) [B](2,3)
[C](5,6) [D](5,7)
【答案】 BCD
【解析】 由所给的函数值表知,f(1)f(2)>0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0,f(5)f(7)<0,
由零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(5,6),(5,7)内分别至少有一个零点.故选BCD.
判断函数y=f(x)在所给区间(a,b)上
是否有零点的常用方法
(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
[变式训练] 已知x0是函数f(x)=-x+3的一个零点,则x0所在区间为(　　)
[A](1,2) [B](2,3)
[C](3,4) [D](4,5)
【答案】 C
【解析】 由题意知函数f(x)=-x+3在R上连续且单调递减,且f(1)=-1+3>0,f(2)=-2+3>0,f(3)=-3+3>0,f(4)=-4+3<0,所以f(3)f(4)<0,所以函数f(x)的零点在区间(3,4)内,即x0∈(3,4).故选C.
题型三　函数零点个数的问题
[例3] 判断下列函数的零点个数.
(1)f(x)=+x2-2x;
(2)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
【解】 (1)解方程+x2-2x=0,即=0,即(x-1)(x2-x-1)=0,解得x1=1,x2=,x3=,所以方程有三个解,即函数f(x)=+x2-2x有3个零点.
(2)法一　因为f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg 3-2>0,所以f(x)在(0,2)上必定存在零点,
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在定义域(-1,+∞)上为增函数,所以f(x)有且只有一个零点.
法二　令f(x)=2x+lg(x+1)-2=0,即2-2x=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的大致图象,如图所示,由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,
即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解,转化为解方程,有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数.
(3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
[变式训练] 函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数为　　　　.
【答案】 4
【解析】 法一　令y=|f(x)|-1=0,得|f(x)|=1,即f(x)=1或f(x)=-1.当x>0时,由ln x=1或ln x=-1,得x=e或x=;
当x≤0时,由kx+2=1或kx+2=-1,得x=-<0或x=-<0.则函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.
法二　y=f(x)的图象如图(1)所示, 故y=|f(x)|的图象如图(2)所示.令y=|f(x)|-1=0,即|f(x)|=1,y=|f(x)|的图象与y=1有4个交点,故函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的有(　　)
[A]若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[B]若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[C]若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[D]若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
【答案】 C
【解析】 A项,当函数f(x)=x2时,f(-1)f(1)=1>0,存在0∈(-1,1),使得f(0)=0,故A错误;
B项,当函数f(x)=x(x-1)(x-2)时,f(-1)f(3)=-6×6=-36<0,存在0∈(-1,3),1∈(-1,3),2∈(-1,3)使得f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,故B错误;
C项,由A的分析可知C正确;
D项,由函数零点存在定理知若f(a)f(b)<0,则存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,故D错误.故选C.
2.已知函数f(x)=2-,在下列区间中,一定包含f(x)零点的区间是(　　)
[A](,) [B](,1)
[C](1,2) [D](2,4)
【答案】 B
【解析】 因为f()=2-=-3<0,f()=2-=-2<0,f(1)=2-=1>0,
又函数在(0,+∞)上单调递增,所以f()·f(1)<0,所以函数f(x)在(,1)上存在零点.故选B.
3.函数f(x)=的零点个数为(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
【答案】 C
【解析】 当x≤0时,由x5-x3=0,解得x=0或 x=-1或x=1(舍去);当x>0时,令g(x)=ln x-,由y=
ln x和y=-均在(0,+∞)上单调递增可得,g(x)=ln x-在(0,+∞)上单调递增.
又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(e)=ln e-=1->0,根据函数零点存在定理可得,g(x)在(1,e)上存在一个零点,
根据函数的单调性可知,g(x)=ln x-在(0,+∞)上存在唯一的零点.
综上所述,f(x)的零点个数为3.故选C.
4.已知实数a[A](-∞,a)和(a,b)
[B](b,c)和(c,+∞)
[C](a,b)和(b,c)
[D](-∞,a)和(c,+∞)
【答案】 C
【解析】 设f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),由a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在定理知,f(x)的零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0的两个实根分别属于区间(a,b)和(b,c).故选C.
5.(多选)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,则下列说法不正确的是(　　)
[A]函数f(x)在区间(0,1)内有零点
[B]函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
[C]函数f(x)在区间(1,8)内无零点
[D]函数f(x)在区间[2,8)内无零点
【答案】 ABC
【解析】 因为函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,所以函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,可知函数f(x)在区间[2,8)内无零点.故A,B,C不正确,D正确.故选ABC.
6.(多选)下列函数在区间[-1,3]上存在唯一的零点的是(　　)
[A]f(x)=x2-2x-8
[B]f(x)=-2
[C]f(x)=2x-1-1
[D]f(x)=1-ln(x+2)
【答案】 BCD
【解析】 因为f(x)=x2-2x-8=0的解为x=-2或x=4,所以f(x)在区间[-1,3]上没有零点,故A错误;
因为f(x)=-2在[0,+∞)上单调递增,且f(0)=-2<0,f(3)=-2>0,所以f(x)在区间[-1,3]上存在唯一的零点,故B正确;
由f(x)=2x-1-1=0得x=1∈[-1,3],故C正确;
因为f(x)=1-ln(x+2)在(-2,+∞)上单调递减,且f(-1)=1>0,f(3)=1-ln 5<0,所以f(x)在区间[-1,3]上存在唯一的零点,故D正确.故选BCD.
7.(5分)已知f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则这三个零点之和等于　　　　.
【答案】 0
【解析】 因为奇函数的图象关于原点对称,所以若f(x) 有三个零点,则其和必为0.
8.(5分)已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　.
【答案】 -,-
【解析】 由题意知,方程x2-ax-b=0的两根分别为2,3,所以即a=5,b=-6,
所以方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-,-,即为函数g(x)的零点.
9.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2,若函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的区间为(n,n+1),求整数n的值.
【解】 因为-1和2是函数f(x)=x2+ax+b的零点,所以-1和2是x2+ax+b=0的两个实数解,所以-1+2=-a,-1×2=b,即a=-1,b=-2.
所以g(x)=-x3-2x+4.因为g(1)=1,g(2)=-8,g(1)g(2)<0,所以g(x)在区间(1,2)内有零点.
又y=-x3和y=-2x+4在R上均单调递减,所以g(x)在R上单调递减,所以g(x)只有一个零点,g(x)的零点所在的区间为(1,2),所以n=1.
10.(14分)求下列函数的零点.
(1)f(x)=x-2-3;
(2)f(x)=x2-(3a-1)x+(2a2-2);
(3)f(x)=x+ln x-1;
(4)f(x)=2x+2x-8.
【解】 (1)由x-2-3=0,得(+1)(-3)=0,又≥0,所以=3,即x=9,所以函数f(x)的零点为9.
(2)由x2-(3a-1)x+(2a2-2)=0,得[x-(a+1)][x-2(a-1)]=0,
①当a+1=2(a-1),即a=3时,函数f(x)有唯一的零点4;
②当a+1≠2(a-1),即a≠3时,函数f(x)有两个零点a+1和2(a-1).
(3)由f(x)=x+ln x-1,得f(1)=1+0-1=0,又函数y=x,y=ln x-1在(0,+∞)上都单调递增,
所以函数f(x)=x+ln x-1在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的零点为1.
(4)由f(x)=2x+2x-8,得f(2)=4+4-8=0,又函数y=2x,y=2x-8都是增函数,
所以函数f(x)=2x+2x-8是增函数,所以函数f(x)的零点为2.
11.(多选)函数f(x)=9lg x-x2+9的零点所在区间为(　　)
[A](0,1) [B](2,3)
[C](3,4) [D](4,5)
【答案】 AC
【解析】 因为f(x)的定义域为(0,+∞),分别画出函数y=9lg x与y=x2-9的图象,结合图象可知两函数图象的交点有2个,且f()=9lg -+9=-<0,f(1)=9lg 1-1+9=8>0,
所以f()·f(1)<0,所以f(x)在(0,1)内有零点,又因为f(3)=9lg 3-9+9=9lg 3>0,f(4)=9lg 4-16+9=3lg 64-7<3lg 100-7=-1<0,所以f(3)·f(4)<0,所以f(x)在(3,4)内有零点.故选AC.
12.(多选)已知x0是函数f(x)=ex+2x-4的零点(其中e=2.718 28…为自然对数的底数),则下列说法正确的有(　　)
[A]x0∈(,1) [B]ln(4-2x0)=x0
[C]>1 [D]2x0+1->0
【答案】 ABD
【解析】 对于A,f(x)=ex+2x-4是R上的增函数,f()=-3<0 ,f(1)=e-2>0,故函数有唯一的零点x0∈(,1),A正确;
对于B,+2x0-4=0,即=4-2x0,x0∈(,1),即ln (4-2x0)=x0,B正确;
对于C,x0∈(,1),<<1,C错误;
对于D,x0∈(,1),=4-2x0,2x0+1-=2x0+1-==>0,D正确.故选ABD.
13.(15分)已知函数y=f(x)(x≥0)的图象由曲线段OA:y=loga(x+b)(其中a>0,且a≠1)和射线AB构成,如图所示.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)在同一坐标系中,作出函数y=(x>0)的大致图象,并从“形”的角度直观判断方程x·f(x)=2的实根个数,再从“数”的角度加以验证.
【解】 (1)在曲线段OA中,由即
又a>0,且a≠1,解得
设射线AB:f(x)=kx+m(m≥3).由解得
故所求解析式为f(x)=
(2)函数y=(x>0)的大致图象如图,
从“形”的角度直观判断:
因为函数y=f(x)与y=(x>0)的图象有且仅有两个交点,所以方程x·f(x)=2(x>0)有且仅有2个不相等的实根.
从“数”的角度论证如下:
显然x≠0,只考虑x>0的情形.
①当x∈(0,3)时,函数g(x)=f(x)-=log2(x+1)-在(0,3)上单调递增.
而且g(1)=1-2=-1<0,g(2)=log23-1>0,所以g(x)在(0,3)上有且仅有一个零点.
所以方程f(x)=,即x·f(x)=2在(0,3)上有且仅有1个实根.
②当x∈[3,+∞)时,
法一　由x·f(x)=2,得x(5-x)=2,即x2-5x+2=0,解得x=或x=(舍去).
所以方程x·f(x)=2(x>0)在[3,+∞)上有且仅有1个实根.
法二　因为函数h(x)=x2-5x+2在[3,+∞)上单调递增,且h(4)=-2<0,h(5)=2>0,
所以h(x)在[3,+∞)上有且仅有一个零点x0∈(4,5).
综上所述,方程x·f(x)=2有且仅有2个不相等的实根.
14.(5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+4)=2f(x),当x∈[0,4)时,f(x)=-x2+4x-1,则函数g(x)=f(x)-3在区间[0,12)内的零点个数为　　　　.
【答案】 5
【解析】 当 x∈[0,4)时,f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,可作图如图(1),由f(x+4)=2f(x)可得x∈[0,12)时,f(x)图象如图(2),令g(x)=0,得f(x)=3,函数g(x)=f(x)-3在区间[0,12)内的零点个数等于函数y=f(x)的图象与函数y=3的图象在该区间内的交点个数,如图(3)所示.
观察图象可得两曲线在区间[0,12)内有5个交点,故g(x)的零点个数为5.4.5.1　函数的零点与方程的解
【课程标准要求】　1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
知识归纳
知识点一　函数零点
1.概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系:
(1)零点不是点,是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)求零点可转化为求对应方程的解.
(3)并不是所有的函数都有零点,如函数y=2x,y=|x|+1都没有零点.
知识点二　函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P144练习T1改编)下列图象表示的函数中恰有一个零点的是 (　　)
[A] [B]
[C] [D]
2.函数f(x)=x2-4x+3的零点为(　　)
[A](1,0) [B](1,3)
[C]1和3 [D](1,0)和(3,0)
3.函数f(x)=的零点个数是(　　)
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
所以函数f(x)有2个零点.故选C.
4.函数f(x)=x3+x2-5的一个零点所在区间为(　　)
[A](0,1) [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
又f(1)=-3,f(2)=7,所以f(1)f(2)<0,所以f(x)在(1,2)上存在一个零点.故选B.
题型一　求函数的零点
[例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,求出函数的零点;如果不存在,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=2x-1-3;
(3)f(x)=(x2+x+1)(2x+1);
(4)f(x)=
(2)令f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数f(x)存在零点,零点是log26.
(3)因为x2+x+1=(x+)2+≥>0,2x+1>1>0,所以f(x)=(x2+x+1)(2x+1)>0,
所以函数f(x)不存在零点.
(4)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3(x=1舍去);当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
所以函数f(x)=存在零点,零点为-3和e2.
函数零点的两种求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.
(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
[变式训练] 若一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,则函数g(x)=bx2-kx的图象可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
则bx2-kx=0,则x(bx-k)=0,即x(2kx-k)=0,解得x=0或x=0.5,所以g(x)有两个零点,分别为0和0.5,符合题意的只有B选项.故选B.
题型二　函数零点所在区间问题
[例2] (多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) -4 -2 1 4 2 -1 -3
在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为(　　)
[A](1,2) [B](2,3)
[C](5,6) [D](5,7)
由零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(5,6),(5,7)内分别至少有一个零点.故选BCD.
判断函数y=f(x)在所给区间(a,b)上
是否有零点的常用方法
(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
[变式训练] 已知x0是函数f(x)=-x+3的一个零点,则x0所在区间为(　　)
[A](1,2) [B](2,3)
[C](3,4) [D](4,5)
题型三　函数零点个数的问题
[例3] 判断下列函数的零点个数.
(1)f(x)=+x2-2x;
(2)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
(2)法一　因为f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg 3-2>0,所以f(x)在(0,2)上必定存在零点,
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在定义域(-1,+∞)上为增函数,所以f(x)有且只有一个零点.
法二　令f(x)=2x+lg(x+1)-2=0,即2-2x=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的大致图象,如图所示,由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,
即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解,转化为解方程,有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数.
(3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
[变式训练] 函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数为　　　　.
当x≤0时,由kx+2=1或kx+2=-1,得x=-<0或x=-<0.则函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.
法二　y=f(x)的图象如图(1)所示, 故y=|f(x)|的图象如图(2)所示.令y=|f(x)|-1=0,即|f(x)|=1,y=|f(x)|的图象与y=1有4个交点,故函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的有(　　)
[A]若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[B]若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[C]若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[D]若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
B项,当函数f(x)=x(x-1)(x-2)时,f(-1)f(3)=-6×6=-36<0,存在0∈(-1,3),1∈(-1,3),2∈(-1,3)使得f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,故B错误;
C项,由A的分析可知C正确;
D项,由函数零点存在定理知若f(a)f(b)<0,则存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,故D错误.故选C.
2.已知函数f(x)=2-,在下列区间中,一定包含f(x)零点的区间是(　　)
[A](,) [B](,1)
[C](1,2) [D](2,4)
又函数在(0,+∞)上单调递增,所以f()·f(1)<0,所以函数f(x)在(,1)上存在零点.故选B.
3.函数f(x)=的零点个数为(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
ln x和y=-均在(0,+∞)上单调递增可得,g(x)=ln x-在(0,+∞)上单调递增.
又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(e)=ln e-=1->0,根据函数零点存在定理可得,g(x)在(1,e)上存在一个零点,
根据函数的单调性可知,g(x)=ln x-在(0,+∞)上存在唯一的零点.
综上所述,f(x)的零点个数为3.故选C.
4.已知实数a[A](-∞,a)和(a,b)
[B](b,c)和(c,+∞)
[C](a,b)和(b,c)
[D](-∞,a)和(c,+∞)
5.(多选)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,则下列说法不正确的是(　　)
[A]函数f(x)在区间(0,1)内有零点
[B]函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
[C]函数f(x)在区间(1,8)内无零点
[D]函数f(x)在区间[2,8)内无零点
6.(多选)下列函数在区间[-1,3]上存在唯一的零点的是(　　)
[A]f(x)=x2-2x-8
[B]f(x)=-2
[C]f(x)=2x-1-1
[D]f(x)=1-ln(x+2)
因为f(x)=-2在[0,+∞)上单调递增,且f(0)=-2<0,f(3)=-2>0,所以f(x)在区间[-1,3]上存在唯一的零点,故B正确;
由f(x)=2x-1-1=0得x=1∈[-1,3],故C正确;
因为f(x)=1-ln(x+2)在(-2,+∞)上单调递减,且f(-1)=1>0,f(3)=1-ln 5<0,所以f(x)在区间[-1,3]上存在唯一的零点,故D正确.故选BCD.
7.(5分)已知f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则这三个零点之和等于　　　　.
8.(5分)已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　.
所以方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-,-,即为函数g(x)的零点.
9.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2,若函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的区间为(n,n+1),求整数n的值.
所以g(x)=-x3-2x+4.因为g(1)=1,g(2)=-8,g(1)g(2)<0,所以g(x)在区间(1,2)内有零点.
又y=-x3和y=-2x+4在R上均单调递减,所以g(x)在R上单调递减,所以g(x)只有一个零点,g(x)的零点所在的区间为(1,2),所以n=1.
10.(14分)求下列函数的零点.
(1)f(x)=x-2-3;
(2)f(x)=x2-(3a-1)x+(2a2-2);
(3)f(x)=x+ln x-1;
(4)f(x)=2x+2x-8.
(2)由x2-(3a-1)x+(2a2-2)=0,得[x-(a+1)][x-2(a-1)]=0,
①当a+1=2(a-1),即a=3时,函数f(x)有唯一的零点4;
②当a+1≠2(a-1),即a≠3时,函数f(x)有两个零点a+1和2(a-1).
(3)由f(x)=x+ln x-1,得f(1)=1+0-1=0,又函数y=x,y=ln x-1在(0,+∞)上都单调递增,
所以函数f(x)=x+ln x-1在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的零点为1.
(4)由f(x)=2x+2x-8,得f(2)=4+4-8=0,又函数y=2x,y=2x-8都是增函数,
所以函数f(x)=2x+2x-8是增函数,所以函数f(x)的零点为2.
11.(多选)函数f(x)=9lg x-x2+9的零点所在区间为(　　)
[A](0,1) [B](2,3)
[C](3,4) [D](4,5)
所以f()·f(1)<0,所以f(x)在(0,1)内有零点,又因为f(3)=9lg 3-9+9=9lg 3>0,f(4)=9lg 4-16+9=3lg 64-7<3lg 100-7=-1<0,所以f(3)·f(4)<0,所以f(x)在(3,4)内有零点.故选AC.
12.(多选)已知x0是函数f(x)=ex+2x-4的零点(其中e=2.718 28…为自然对数的底数),则下列说法正确的有(　　)
[A]x0∈(,1) [B]ln(4-2x0)=x0
[C]>1 [D]2x0+1->0
对于B,+2x0-4=0,即=4-2x0,x0∈(,1),即ln (4-2x0)=x0,B正确;
对于C,x0∈(,1),<<1,C错误;
对于D,x0∈(,1),=4-2x0,2x0+1-=2x0+1-==>0,D正确.故选ABD.
13.(15分)已知函数y=f(x)(x≥0)的图象由曲线段OA:y=loga(x+b)(其中a>0,且a≠1)和射线AB构成,如图所示.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)在同一坐标系中,作出函数y=(x>0)的大致图象,并从“形”的角度直观判断方程x·f(x)=2的实根个数,再从“数”的角度加以验证.
又a>0,且a≠1,解得
设射线AB:f(x)=kx+m(m≥3).由解得
故所求解析式为f(x)=
(2)函数y=(x>0)的大致图象如图,
从“形”的角度直观判断:
因为函数y=f(x)与y=(x>0)的图象有且仅有两个交点,所以方程x·f(x)=2(x>0)有且仅有2个不相等的实根.
从“数”的角度论证如下:
显然x≠0,只考虑x>0的情形.
①当x∈(0,3)时,函数g(x)=f(x)-=log2(x+1)-在(0,3)上单调递增.
而且g(1)=1-2=-1<0,g(2)=log23-1>0,所以g(x)在(0,3)上有且仅有一个零点.
所以方程f(x)=,即x·f(x)=2在(0,3)上有且仅有1个实根.
②当x∈[3,+∞)时,
法一　由x·f(x)=2,得x(5-x)=2,即x2-5x+2=0,解得x=或x=(舍去).
所以方程x·f(x)=2(x>0)在[3,+∞)上有且仅有1个实根.
法二　因为函数h(x)=x2-5x+2在[3,+∞)上单调递增,且h(4)=-2<0,h(5)=2>0,
所以h(x)在[3,+∞)上有且仅有一个零点x0∈(4,5).
综上所述,方程x·f(x)=2有且仅有2个不相等的实根.
14.(5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+4)=2f(x),当x∈[0,4)时,f(x)=-x2+4x-1,则函数g(x)=f(x)-3在区间[0,12)内的零点个数为　　　　.
观察图象可得两曲线在区间[0,12)内有5个交点,故g(x)的零点个数为5.

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