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4.5.2　用二分法求
方程的近似解
1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　二分法
知识归纳
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)f(b)<0
一分为二
逐步逼近零点
·疑难解惑·
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.
(2)用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反,比如y=x2,该函数有零点为0,但不能用二分法求解.
知识点二　用二分法求函数零点的近似值
给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:
1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证 .
2.求区间(a,b)的中点 .
3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
(1)若f(c)=0(此时x0=c),则 就是函数的零点;
(2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈ ),则令b=c;
(3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈ ),则令a=c.
4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2～4.
f(a)f(b)<0
(a,c)
c
c
(c,b)
·疑难解惑·
(1)初始区间要包含函数的变号零点.
(2)精确度ε表示停止二分时区间的长度小于ε.
·轻松记忆·
定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办 精确度上来判断.
1.下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
[A]y=3x-1 [B]y=x3
[C]y=|x| [D]y=ln x
基础自测
C
2.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是(　　)
B
[A] [B] [C] [D]
【解析】 由题意可知,二分法求零点要求函数的图象连续不断且满足函数零点存在定理,即f(a)f(b)<0成立,对比选项可知,A,C,D均符合题意,但选项B中f(a)f(b)≥0恒成立,不满足函数零点存在定理,故B错误.故选B.
C
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为 (　　)
[A]1.5 [B]1.375
[C]1.437 5 [D]1.25
C
【解析】 因为f(1.406 25)<0,f(1.437 5)>0,所以f(1.406 25)f(1.437 5)<0,所以该方程的解在区间(1.406 25,1.437 5)内,
又因为|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.05,所以方程的近似解可以是1.437 5.故选C.
关键能力·素养培优
题型一　对二分法概念的理解
[例1] 已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出零点的近似值,则c的值是 (　　)
[A]9 [B]8
[C]7 [D]6
【解析】 依题意可知,x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则Δ=36-4c=0,所以c=9.故选A.
A
·解题策略·
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左、右两侧的函数值异号.
ABC
题型二　用二分法求函数零点的近似值
[例2] 已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
【解】 (1)令f(x)=2x+2x-5.因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.即原方程的解有且仅有1个,并在区间(1,2)内.
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1).
参考数据:
x 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.48 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
【解】(2)用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 0.83
(1,1.5) 1.25 -0.12
(1.25,1.5) 1.375 0.34
(1.25,1.375) 1.312 5 0.105
因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以函数的零点近似值为1.312 5,
即方程2x+2x=5的近似解可取为1.312 5.(或1.25或区间(1.25,1.312 5)内的任意值)
·解题策略·
二分法求函数零点的近似值
(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一值都可以作为零点的近似值,一般取端点作为零点的近似值.
题型三　二分法的实际应用
[例3] 一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点,已知电路不通的原因是某一个焊接点脱落,要想借助万用表,利用二分法的思想检测出哪一处焊接点脱落,至多需要检测(　　)
[A]4次 [B]6次
[C]7次 [D]50次
C
【解析】 第一次,可去掉50个结果,从剩余的50个中继续使用二分法;第二次,可去掉25个结果,从剩余的25个中继续使用二分法;第三次,可去掉12或13个结果,考虑至多的情况,所以去掉12个结果,从剩余的13个中继续使用二分法;第四次,可去掉6或7个结果,考虑至多的情况,所以去掉6个结果,从剩余的7个中继续使用二分法;第五次,可去掉3或4个结果,考虑至多的情况,所以去掉3个结果,从剩余的4个中继续使用二分法;第六次,可去掉2个结果,从剩余的2个中继续使用二分法;第七次,可去掉1个结果,得到最终结果.所以最多需要检测7次.故选C.
·解题策略·
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛,二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障排查,还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
[变式训练] 在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻).现只有一台天平,请问:利用二分法的思想,至多称几次就一定可以找出这枚假币
【解】 第一次,将26枚金币平均分成两份,放在天平上,假币在轻的那13枚金币里面;
第二次,从这13枚金币中拿出 1枚,将剩下的12枚平均分成两份,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,称量结束;若不平衡,则假币一定在轻的那6枚金币里面,则进行第三次称量;
第三次,将这6枚平均分成两份,则假币一定在轻的那3枚金币里面;第四次,从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上,若平衡,则剩下的那一枚即是假币;若不平衡,则轻的那一枚为假币.
依据上述分析,至多称4次就可以发现这枚假币.
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【课程标准要求】　1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
知识归纳
知识点一　二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.
(2)用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反,比如y=x2,该函数有零点为0,但不能用二分法求解.
知识点二　用二分法求函数零点的近似值
给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:
1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
(1)若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
(2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;
(3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2～4.
(1)初始区间要包含函数的变号零点.
(2)精确度ε表示停止二分时区间的长度小于ε.
定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办 精确度上来判断.
基础自测
1.下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
[A]y=3x-1 [B]y=x3
[C]y=|x| [D]y=ln x
【答案】 C
【解析】 对于A,y=3x-1为增函数,有唯一零点x=,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点;
对于B,y=x3为增函数,有唯一零点x=0,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点;
对于C,y=|x|不是单调函数,有唯一零点x=0,但函数值在零点两侧同号,故不能用二分法求零点;
对于D,y=ln x为增函数,有唯一零点x=1,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点.故选C.
2.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由题意可知,二分法求零点要求函数的图象连续不断且满足函数零点存在定理,即f(a)f(b)<0成立,对比选项可知,A,C,D均符合题意,但选项B中f(a)f(b)≥0恒成立,不满足函数零点存在定理,故B错误.故选B.
3.用二分法研究函数f(x)=x3-2x+2的零点时,通过计算得f(-1)>0,f(-2)<0,则下一步应计算f(x1),则x1等于(　　)
[A]0 [B]-
[C]- [D]-
【答案】 C
【解析】 因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-2x+2的图象连续不断,所以函数f(x)=x3-2x+2在区间(-2,-1)内有零点,所以下一步应计算f(x1),x1==-.故选C.
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为 (　　)
[A]1.5 [B]1.375
[C]1.437 5 [D]1.25
【答案】 C
【解析】 因为f(1.406 25)<0,f(1.437 5)>0,所以f(1.406 25)f(1.437 5)<0,所以该方程的解在区间(1.406 25,1.437 5)内,
又因为|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.05,所以方程的近似解可以是1.437 5.故选C.
题型一　对二分法概念的理解
[例1] 已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出零点的近似值,则c的值是 (　　)
[A]9 [B]8
[C]7 [D]6
【答案】 A
【解析】 依题意可知,x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则Δ=36-4c=0,所以c=9.故选A.
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左、右两侧的函数值异号.
[变式训练] (多选)下列方程中能用二分法求近似解的为(　　)
[A]ln x+x=0
[B]ex-3x=0
[C]x3-3x+1=0
[D]4x2-4x+5=0
【答案】 ABC
【解析】 对于A项,设f(x)=ln x+x,则f()=ln +=-2+<0,f(1)=1>0,所以f()f(1)<0,可以使用二分法,故A正确;对于B项,设g(x)=ex-3x,则g(0)=1>0,g(1)=e-3<0,所以g(0)g(1)<0,可以使用二分法,故B正确;对于C项,设h(x)=x3-3x+1,则h(0)=1>0,h(1)=1-3+1=-1<0,所以h(0)h(1)<0,可以使用二分法,故C正确;对于D项,设k(x)=4x2-4x+5,因为k(x)=≥0恒成立,不存在函数值异号区间,所以不满足二分法的条件,故D错误.故选ABC.
题型二　用二分法求函数零点的近似值
[例2] 已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1).
参考数据:
x 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.48 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
【解】 (1)令f(x)=2x+2x-5.因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.即原方程的解有且仅有1个,并在区间(1,2)内.
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数 近似值
(1,2) 1.5 0.83
(1,1.5) 1.25 -0.12
(1.25,1.5) 1.375 0.34
(1.25,1.375) 1.312 5 0.105
因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以函数的零点近似值为1.312 5,
即方程2x+2x=5的近似解可取为1.312 5.(或1.25或区间(1.25,1.312 5)内的任意值)
二分法求函数零点的近似值
(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一值都可以作为零点的近似值,一般取端点作为零点的近似值.
[变式训练] 函数g(x)=+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用二分法求零点的近似值(精确度为0.2);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
【解】 存在,理由如下.易得g(x)=+log2x-2是定义域内的增函数.因为g(1)=1-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0,
所以函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.因为g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,所以函数的零点在(1.5,2)内,
因为g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,所以函数的零点在(1.5,1.75)内,
1.75-1.5=0.25>0.2,=1.625,因为下一个零点所在的区间为(1.5,1.625)或(1.625,1.75),
|1.5-1.625|=|1.625-1.75|=0.125<0.2,所以g(x)零点的近似值可以取1.625.
题型三　二分法的实际应用
[例3] 一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点,已知电路不通的原因是某一个焊接点脱落,要想借助万用表,利用二分法的思想检测出哪一处焊接点脱落,至多需要检测(　　)
[A]4次 [B]6次 [C]7次 [D]50次
【答案】 C
【解析】 第一次,可去掉50个结果,从剩余的50个中继续使用二分法;第二次,可去掉25个结果,从剩余的25个中继续使用二分法;第三次,可去掉12或13个结果,考虑至多的情况,所以去掉12个结果,从剩余的13个中继续使用二分法;第四次,可去掉6或7个结果,考虑至多的情况,所以去掉6个结果,从剩余的7个中继续使用二分法;第五次,可去掉3或4个结果,考虑至多的情况,所以去掉3个结果,从剩余的4个中继续使用二分法;第六次,可去掉2个结果,从剩余的2个中继续使用二分法;第七次,可去掉1个结果,得到最终结果.所以最多需要检测7次.故选C.
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛,二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障排查,还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
[变式训练] 在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻).现只有一台天平,请问:利用二分法的思想,至多称几次就一定可以找出这枚假币
【解】 第一次,将26枚金币平均分成两份,放在天平上,假币在轻的那13枚金币里面;
第二次,从这13枚金币中拿出 1枚,将剩下的12枚平均分成两份,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,称量结束;若不平衡,则假币一定在轻的那6枚金币里面,则进行第三次称量;
第三次,将这6枚平均分成两份,则假币一定在轻的那3枚金币里面;第四次,从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上,若平衡,则剩下的那一枚即是假币;若不平衡,则轻的那一枚为假币.
依据上述分析,至多称4次就可以发现这枚假币.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分.
1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是(　　)
[A]4,4 [B]3,4 [C]4,3 [D]5,4
【答案】 C
【解析】 图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4,左、右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3.故选C.
2.用二分法求方程log4x-=0的近似解时,所取的第一个区间可以是(　　)
[A](0,1) [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
【答案】 B
【解析】 设函数f(x)=log4x-,因为函数y=log4x和y=-在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)=log4x-在(0,+∞)上单调递增;又f(1)=log41-=-<0,f(2)=log42-=>0,因此所取的第一个区间可以是(1,2).故选B.
3.下列方程中,不能用二分法求近似解的为(　　)
[A]log2x+x=0 [B]ex+x=0
[C]x2-2x+1=0 [D]+ln x=0
【答案】 C
【解析】 对于A,f(x)=log2x+x在(0,+∞)上单调递增,且f()=-1+<0,f(1)=1>0,可以使用二分法;对于B,f(x)=ex+x在R上连续且单调递增,且f(0)=1>0,f(-1)=e-1-1<0,可以使用二分法;对于C,x2-2x+1=(x-1)2≥0,故不可以使用二分法;对于D,f(x)=+ln x在(0,+∞)上单调递增,且f()=-1<0,f(1)=1>0,可以使用二分法.故选C.
4.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为(　　)
[A][0,) [B][0,)
[C][0,ε) [D][0,2ε)
【答案】 B
【解析】 因为函数的零点在区间(a,b)内,设真实零点为t,那么a已知x0=,那么a-x0=,x0-b=.由于|a-b|<ε,所以|a-x0|=||<,|x0-b|=||<.所以近似值x0与真实零点的误差的取值范围是[0,).故选B.
5.已知函数f(x)在区间(2,3)内单调且f(2)·f(3)<0,用二分法求方程近似解时,若要求得近似解,则至少需要求中点值(精确度为0.001)(　　)
[A]4次 [B]7次 [C]10次 [D]13次
【答案】 C
【解析】 由所给区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作后,
区间长度变为,则≤0.001,解得n≥10,所以至少需要求中点值10次.故选C.
6.用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解时,设函数f(x)=2x+3x-7,通过计算列出了它的对应值表.
x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5
f(x) -0.87 -0.28 h -0.05 0.02 0.33
分析表中数据,则下列说法正确的是(　　)
[A]h>0
[B]方程2x+3x-7=0有实数解
[C]若精确度为0.1,则近似解可取为1.375
[D]若精确度为0.01,则近似解可取为1.437 5
【答案】 BC
【解析】 因为y=2x与y=3x-7都是R上的增函数,所以f(x)=2x+3x-7是R上的增函数,
所以f(x)在R上至多有一个零点,由表格中的数据可知,f(1.422)<0,f(1.437 5)>0,
所以f(x)在R上有唯一零点,零点所在的区间为(1.422,1.437 5),所以h<0,A错误;方程2x+3x-7=0有实数解,B正确;f(1.375)=-0.28<0,f(1.437 5)=0.02>0,1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,即若精确度为0.1,则近似解可取为1.375,C正确;f(1.422)=-0.05<0,f(1.437 5)=0.02>0,1.437 5-1.422=0.015 5>0.01,即若精确度为0.01,
则近似解不可取为1.437 5,D错误.故选BC.
7.(5分)已知函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[a,b],都有>0,且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],[a,],[a+1,],又 f()=0,则函数f(x)的零点为　　　　.
【答案】
【解析】 因为对任意x1,x2∈[a,b],都有>0,且f(a)f(b)<0,所以f(x)在[a,b]上单调递增,且f(a)<0,f(b)>0,
因为a+1>a恒成立,所以解得所以f(x)的零点为=.
8.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他取的x的4个值依次是　　　　　　　　.
【答案】 1.5,1.75,1.875,1.812 5
【解析】 第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).
9.(13分)证明方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一的实数解,并用二分法求出这个实数解的一个近似值(精确度为0.1).参考数据如下:
x 1.125 1.187 5 1.25 1.375 1.5
2x 2.18 2.28 2.38 2.59 2.83
【解】 设函数f(x)=2x+3x-6.因为f(1)=-1<0,f(2)=4>0,函数f(x)在其定义域内是增函数,所以函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点,即方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一的实数解.
设方程6-3x=2x的实数解为x0,则x0∈(1,2),因为f(1.5)=1.33>0,所以f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).
因为f(1.25)=0.13>0,所以f(1)·f(1.25)<0,所以x0∈(1,1.25).因为f(1.125)=-0.445<0,所以f(1.125)·f(1.25)<0,
所以x0∈(1.125,1.25).因为f(1.187 5)=-0.157 5<0,所以f(1.187 5)·f(1.25)<0,
所以x0∈(1.187 5,1.25).
因为|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1,所以可取x0=1.187 5为方程6-3x=2x的实数解的一个近似值.
10.(15分)已知函数f(x)=x+-3.
(1)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)用二分法求方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的一个近似解.(精确度为0.1)
【解】 (1)y=f(x)在(1,+∞)单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(1,+∞),不妨设x1f(x2)-f(x1)=x2-x1+-=,因为10,x1x2-1>0,x1x2>0,
可得f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以y=f(x)在(1,+∞)上单调递增.
(2)因为函数f(x)=x+-3在区间(1,+∞)上是连续且单调的,可知其在区间(1,+∞)上的零点即为方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的解,且f(2)<0,f(3)>0,可得f(x)在(1,+∞)内有且仅有一个零点x0∈(2,3),
在区间(1,+∞)上利用二分法列表如下:
区间 中点x0 中点函数值 f(x0) 区间 长度
(2,3) =2.5 f()<0 1
(,3) =2.75 f()>0
(,) =2.625 f()>0
(,) =2.562 5 f()<0
此时解在区间(,)上,此区间长度为,<,满足精确度为0.1,故区间[,],即区间[2.562 5,
2.625]内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解,比如2.6是方程f(x)=0在(1,+∞)上的一个近似解.
11.用二分法求方程ln x-=0在[1,2]上的解时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为 (　　)
[A][1,1.25] [B][1,1.5]
[C][1.25,1.5] [D][1.5,2]
【答案】 D
【解析】 令f(x)=ln x-,易得f(x)为增函数,
又因为f(1)=-1<0,f(2)=ln 2-=ln 2-ln >ln 2-ln =ln 2-ln 2=0,
f(1.5)=ln -=ln -ln e=ln -ln e2=(ln -ln e2)<(ln 4-2)<0,所以下一个有根区间为[1.5,2].故选D.
12.若函数f(x)的零点与函数g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是(　　)
[A]f(x)=4x-1 [B]f(x)=log3(2-x)
[C]f(x)=3x-1 [D]f(x)=2x-3
【答案】 A
【解析】 对A,f(x)=4x-1的零点为;对B,f(x)=log3(2-x)的零点为1;对C,f(x)=3x-1的零点为0;对D,f(x)=2x-3的零点为.g(0)=40-2=-1<0,g()=+2×-2=1>0,g(0)·g()<0,故g(x)的零点在(0,)之间,再用二分法,取x=,g()=+2×-2=-<0,g()·g()<0,故g(x)的零点x0∈(,),由题意知f(x),g(x)的零点之差的绝对值不超过0.25,则只有f(x)=4x-1的零点符合.故选A.
13.(17分)已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)在(-1,+∞)上的单调性.(不需要证明)
(2)判断方程[1+f(x)]log2f(x)=2是否存在实根.若存在,设此根为x0,请求出一个长度为的区间(a,b),使x0∈(a,b);若不存在,请说明理由.(注:区间(a,b)的长度为b-a)
【解】 (1)因为f(x)===-1,所以函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.
(2)由[1+f(x)]log2f(x)=2,可知>0,即<0,解得-1可得log2=x+1,构造函数g(x)=x+1-log2,由(1)可知,函数u=在(-1,1)上单调递减,
而函数y=log2u在其定义域上为增函数,则函数y=-log2在(-1,1)上单调递增,又因为函数y=x+1在(-1,1)上也单调递增,故函数g(x)=x+1-log2在(-1,1)上单调递增,因为g(0)=1>0,
g(-)=-log23<-1<0,由零点存在定理可知,函数g(x)在区间(-,0)上存在零点,且零点记为x0,因为-=8-=>0,所以>,所以g(-)=-log2=log2-log2>0,故x0∈(-,-),
因为g(-)=-log2<-1<0,故x0∈(-,-),且区间(-,-)的长度为-+=.
故满足条件的一个区间为(-,-).
14.(5分)为确定传染病的感染者,医学上可采用“二分检测法”.假设待检测的总人数是2m(m∈N*)将2m个人的样本混合在一起做第1轮检测(检测一次),如果检测结果为阴性,可确定这批人未感染;如果检测结果为阳性,可确定其中有感染者,则将这批人平均分为两组,每组2m-1人的样本混合在一起做第2轮检测,每组检测1次,依此类推,每轮检测后,排除结果为阴性的一组,而将每轮检测后结果为阳性的组再平均分成两组,做下一轮检测,直到检测出所有感染者(感染者必须通过检测来确定).若待检测的总人数为8,采用“二分检测法”检测,经过4轮共7次检测后确定了所有感染者,则感染者人数至多为　　　　.若待检测的总人数为2m(m≥3),且假设其中有不超过2名感染者,采用“二分检测法”所需检测总次数记为n,则n的最大值为　　　　.
【答案】 2　4m-1
【解析】 若待检测的总人数为8,则第一轮需检测1次,第2轮需检测2次,第3轮需检测2次,第4轮需检测2次,则共需检测7次,此时感染者人数至多为2人;若待检测的总人数为2m(m≥3),且假设其中有不超过2名感染者,①若没有感染者,则只需1次检测即可;②若只有1个感染者,则只需1+2×m=2m+1次检测;③若只有2个感染者,若要检测次数最多,则第2轮检测时,2个感染者不位于同一组,此时相当于两个待检测数均为2m-1的组,每组1个感染者,此时每组需要1+2(m-1)=2m-1次检测,所以此时两组共需2(2m-1)=4m-2次检测,故有2个感染者,且检测次数最多,共需4m-2+1=4m-1次检测.因为m≥3,所以4m-1>2m+1>1,所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n,则n的最大值为4m-1.4.5.2　用二分法求方程的近似解
【课程标准要求】　1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
知识归纳
知识点一　二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.
(2)用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反,比如y=x2,该函数有零点为0,但不能用二分法求解.
知识点二　用二分法求函数零点的近似值
给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:
1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
(1)若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
(2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;
(3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2～4.
(1)初始区间要包含函数的变号零点.
(2)精确度ε表示停止二分时区间的长度小于ε.
定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办 精确度上来判断.
基础自测
1.下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
[A]y=3x-1 [B]y=x3
[C]y=|x| [D]y=ln x
对于B,y=x3为增函数,有唯一零点x=0,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点;
对于C,y=|x|不是单调函数,有唯一零点x=0,但函数值在零点两侧同号,故不能用二分法求零点;
对于D,y=ln x为增函数,有唯一零点x=1,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点.故选C.
2.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.用二分法研究函数f(x)=x3-2x+2的零点时,通过计算得f(-1)>0,f(-2)<0,则下一步应计算f(x1),则x1等于(　　)
[A]0 [B]-
[C]- [D]-
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为 (　　)
[A]1.5 [B]1.375
[C]1.437 5 [D]1.25
又因为|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.05,所以方程的近似解可以是1.437 5.故选C.
题型一　对二分法概念的理解
[例1] 已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出零点的近似值,则c的值是 (　　)
[A]9 [B]8
[C]7 [D]6
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左、右两侧的函数值异号.
[变式训练] (多选)下列方程中能用二分法求近似解的为(　　)
[A]ln x+x=0
[B]ex-3x=0
[C]x3-3x+1=0
[D]4x2-4x+5=0
题型二　用二分法求函数零点的近似值
[例2] 已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1).
参考数据:
x 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.48 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数 近似值
(1,2) 1.5 0.83
(1,1.5) 1.25 -0.12
(1.25,1.5) 1.375 0.34
(1.25,1.375) 1.312 5 0.105
因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以函数的零点近似值为1.312 5,
即方程2x+2x=5的近似解可取为1.312 5.(或1.25或区间(1.25,1.312 5)内的任意值)
二分法求函数零点的近似值
(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一值都可以作为零点的近似值,一般取端点作为零点的近似值.
[变式训练] 函数g(x)=+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用二分法求零点的近似值(精确度为0.2);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
所以函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.因为g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,所以函数的零点在(1.5,2)内,
因为g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,所以函数的零点在(1.5,1.75)内,
1.75-1.5=0.25>0.2,=1.625,因为下一个零点所在的区间为(1.5,1.625)或(1.625,1.75),
|1.5-1.625|=|1.625-1.75|=0.125<0.2,所以g(x)零点的近似值可以取1.625.
题型三　二分法的实际应用
[例3] 一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点,已知电路不通的原因是某一个焊接点脱落,要想借助万用表,利用二分法的思想检测出哪一处焊接点脱落,至多需要检测(　　)
[A]4次 [B]6次 [C]7次 [D]50次
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛,二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障排查,还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
[变式训练] 在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻).现只有一台天平,请问:利用二分法的思想,至多称几次就一定可以找出这枚假币
第二次,从这13枚金币中拿出 1枚,将剩下的12枚平均分成两份,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,称量结束;若不平衡,则假币一定在轻的那6枚金币里面,则进行第三次称量;
第三次,将这6枚平均分成两份,则假币一定在轻的那3枚金币里面;第四次,从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上,若平衡,则剩下的那一枚即是假币;若不平衡,则轻的那一枚为假币.
依据上述分析,至多称4次就可以发现这枚假币.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分.
1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是(　　)
[A]4,4 [B]3,4 [C]4,3 [D]5,4
2.用二分法求方程log4x-=0的近似解时,所取的第一个区间可以是(　　)
[A](0,1) [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
3.下列方程中,不能用二分法求近似解的为(　　)
[A]log2x+x=0 [B]ex+x=0
[C]x2-2x+1=0 [D]+ln x=0
4.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为(　　)
[A][0,) [B][0,)
[C][0,ε) [D][0,2ε)
已知x0=,那么a-x0=,x0-b=.由于|a-b|<ε,所以|a-x0|=||<,|x0-b|=||<.所以近似值x0与真实零点的误差的取值范围是[0,).故选B.
5.已知函数f(x)在区间(2,3)内单调且f(2)·f(3)<0,用二分法求方程近似解时,若要求得近似解,则至少需要求中点值(精确度为0.001)(　　)
[A]4次 [B]7次 [C]10次 [D]13次
区间长度变为,则≤0.001,解得n≥10,所以至少需要求中点值10次.故选C.
6.用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解时,设函数f(x)=2x+3x-7,通过计算列出了它的对应值表.
x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5
f(x) -0.87 -0.28 h -0.05 0.02 0.33
分析表中数据,则下列说法正确的是(　　)
[A]h>0
[B]方程2x+3x-7=0有实数解
[C]若精确度为0.1,则近似解可取为1.375
[D]若精确度为0.01,则近似解可取为1.437 5
所以f(x)在R上至多有一个零点,由表格中的数据可知,f(1.422)<0,f(1.437 5)>0,
所以f(x)在R上有唯一零点,零点所在的区间为(1.422,1.437 5),所以h<0,A错误;方程2x+3x-7=0有实数解,B正确;f(1.375)=-0.28<0,f(1.437 5)=0.02>0,1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,即若精确度为0.1,则近似解可取为1.375,C正确;f(1.422)=-0.05<0,f(1.437 5)=0.02>0,1.437 5-1.422=0.015 5>0.01,即若精确度为0.01,
则近似解不可取为1.437 5,D错误.故选BC.
7.(5分)已知函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[a,b],都有>0,且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],[a,],[a+1,],又 f()=0,则函数f(x)的零点为　　　　.
因为a+1>a恒成立,所以解得所以f(x)的零点为=.
8.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他取的x的4个值依次是　　　　　　　　.
9.(13分)证明方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一的实数解,并用二分法求出这个实数解的一个近似值(精确度为0.1).参考数据如下:
x 1.125 1.187 5 1.25 1.375 1.5
2x 2.18 2.28 2.38 2.59 2.83
设方程6-3x=2x的实数解为x0,则x0∈(1,2),因为f(1.5)=1.33>0,所以f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).
因为f(1.25)=0.13>0,所以f(1)·f(1.25)<0,所以x0∈(1,1.25).因为f(1.125)=-0.445<0,所以f(1.125)·f(1.25)<0,
所以x0∈(1.125,1.25).因为f(1.187 5)=-0.157 5<0,所以f(1.187 5)·f(1.25)<0,
所以x0∈(1.187 5,1.25).
因为|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1,所以可取x0=1.187 5为方程6-3x=2x的实数解的一个近似值.
10.(15分)已知函数f(x)=x+-3.
(1)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)用二分法求方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的一个近似解.(精确度为0.1)
任取x1,x2∈(1,+∞),不妨设x1f(x2)-f(x1)=x2-x1+-=,因为10,x1x2-1>0,x1x2>0,
可得f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以y=f(x)在(1,+∞)上单调递增.
(2)因为函数f(x)=x+-3在区间(1,+∞)上是连续且单调的,可知其在区间(1,+∞)上的零点即为方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的解,且f(2)<0,f(3)>0,可得f(x)在(1,+∞)内有且仅有一个零点x0∈(2,3),
在区间(1,+∞)上利用二分法列表如下:
区间 中点x0 中点函数值 f(x0) 区间 长度
(2,3) =2.5 f()<0 1
(,3) =2.75 f()>0
(,) =2.625 f()>0
(,) =2.562 5 f()<0
此时解在区间(,)上,此区间长度为,<,满足精确度为0.1,故区间[,],即区间[2.562 5,
2.625]内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解,比如2.6是方程f(x)=0在(1,+∞)上的一个近似解.
11.用二分法求方程ln x-=0在[1,2]上的解时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为 (　　)
[A][1,1.25] [B][1,1.5]
[C][1.25,1.5] [D][1.5,2]
又因为f(1)=-1<0,f(2)=ln 2-=ln 2-ln >ln 2-ln =ln 2-ln 2=0,
f(1.5)=ln -=ln -ln e=ln -ln e2=(ln -ln e2)<(ln 4-2)<0,所以下一个有根区间为[1.5,2].故选D.
12.若函数f(x)的零点与函数g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是(　　)
[A]f(x)=4x-1 [B]f(x)=log3(2-x)
[C]f(x)=3x-1 [D]f(x)=2x-3
13.(17分)已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)在(-1,+∞)上的单调性.(不需要证明)
(2)判断方程[1+f(x)]log2f(x)=2是否存在实根.若存在,设此根为x0,请求出一个长度为的区间(a,b),使x0∈(a,b);若不存在,请说明理由.(注:区间(a,b)的长度为b-a)
(2)由[1+f(x)]log2f(x)=2,可知>0,即<0,解得-1可得log2=x+1,构造函数g(x)=x+1-log2,由(1)可知,函数u=在(-1,1)上单调递减,
而函数y=log2u在其定义域上为增函数,则函数y=-log2在(-1,1)上单调递增,又因为函数y=x+1在(-1,1)上也单调递增,故函数g(x)=x+1-log2在(-1,1)上单调递增,因为g(0)=1>0,
g(-)=-log23<-1<0,由零点存在定理可知,函数g(x)在区间(-,0)上存在零点,且零点记为x0,因为-=8-=>0,所以>,所以g(-)=-log2=log2-log2>0,故x0∈(-,-),
因为g(-)=-log2<-1<0,故x0∈(-,-),且区间(-,-)的长度为-+=.
故满足条件的一个区间为(-,-).
14.(5分)为确定传染病的感染者,医学上可采用“二分检测法”.假设待检测的总人数是2m(m∈N*)将2m个人的样本混合在一起做第1轮检测(检测一次),如果检测结果为阴性,可确定这批人未感染;如果检测结果为阳性,可确定其中有感染者,则将这批人平均分为两组,每组2m-1人的样本混合在一起做第2轮检测,每组检测1次,依此类推,每轮检测后,排除结果为阴性的一组,而将每轮检测后结果为阳性的组再平均分成两组,做下一轮检测,直到检测出所有感染者(感染者必须通过检测来确定).若待检测的总人数为8,采用“二分检测法”检测,经过4轮共7次检测后确定了所有感染者,则感染者人数至多为　　　　.若待检测的总人数为2m(m≥3),且假设其中有不超过2名感染者,采用“二分检测法”所需检测总次数记为n,则n的最大值为　　　　.

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