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4.5.3　函数模型的应用
【课程标准要求】　1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.3.能解决实际问题中的函数模型选择问题.
知识归纳
知识点一　常见的几种函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)=axα+b(a,b为常数,a≠0)
知识点二　建立函数模型的基本过程
基础自测
1.两个变量的散点图如图,用如下函数进行拟合比较合理的是(　　)
[A]y=a·xb [B]y=a·ebx
[C]y=a+bln x [D]y=a·
【答案】 C
【解析】 由散点图可知,此曲线类似对数型函数曲线,因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合.故选C.
2.(人教A版必修第一册P150练习T2改编)某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为 180只,则15年后它们发展到(　　)
[A]300只 [B]400只
[C]600只 [D]720只
【答案】 D
【解析】 由题知,该动物的繁殖数量y与引入时间x的关系为y=alog2(x+1),
将x=1,y=180代入y=alog2(x+1),得180=alog2(1+1),解得a=180,所以y=180·log2(x+1),所以当x=15时,y=180·log2(15+1)=180×4=720,所以15年后它们发展到720只.故选D.
3.种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下种群数量呈指数增长模型,其数学模型公式为Nt=N0λt.其中N0是该种群的起始数量,t为时间(单位:年),λ是该种群数量每年增长的倍数,Nt表示t年后该种群数量.若某种群满足“J”型增长模型,λ为定值,1年后该种群数量是起始数量的倍,则5年后该种群数量是起始数量的(　　)
[A] 倍 [B] 倍
[C] 倍 [D] 倍
【答案】 A
【解析】 由题意知N1=N0,λ=,则N5=N0·=N0,故5年后该种群数量是起始数量的倍.故选A.
4.某工厂在某年12月份的产值是这年1月份产值的m倍,则该厂在该年度的产值的月平均增长率为(　　)
[A] [B]
[C]-1 [D]-1
【答案】 D
【解析】 设该厂在该年度的产值的月平均增长率为p,则(1+p)11=m,解得p=-1.故选D.
题型一　应用已知函数模型解决实际问题
[例1] 物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃(θ1>θ0),则x min后物体的温度θ(x)满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0)e-kx(k为常数).实验测算,当x=12时,满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0).
(1)求k的值;
(2)某种茶叶泡制的茶水,刚沏出来时茶水温度为75 ℃,等茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳.已知空气温度为25 ℃,则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 (结果保留一位小数,参考数值:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6)
【解】 (1)由题意可知,
由①÷②,得2e-12k=1,即12k=ln 2,所以k=.
(2)设刚沏出来的茶水大约需要放置t min才能达到最佳饮用口感,由题意可知,θ1=75,θ0=25,θ(t)=55,所以55-25=(75-25),即=,所以t=≈≈8.6,
所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6 min才能达到最佳饮用口感.
利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数.
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题.
(3)涉及较为复杂的指数运算时,常常利用等式两边取对数的方法,将指数运算转化为对数运算.
[变式训练] 火箭是能使物体达到宇宙速度,克服或摆脱地球引力束缚,进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式:v=uln .u表示气体相对于火箭的喷射速度(单位:km/s),M0表示火箭的初始质量(火箭壳与推进剂的总质量,单位:t),M表示推进剂用完后火箭的质量(单位:t),目前使用液氢液氧推进剂的发动机能达到的喷射速度约为4 km/s.理想情况下,对于初始质量为24 t的单级火箭,速度要达到11.2 km/s,则需装载的推进剂的吨数约为(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,e0.4≈1.5)(　　)
[A]22.1 [B]22.3
[C]22.5 [D]22.7
【答案】 C
【解析】 由题意可得M0=24,u=4,v=11.2,所以代入公式,可得11.2=4×ln ,所以2.8=ln 24-ln M,所以ln M=ln 24-2.8,因为ln 24=ln (8×3)=3ln 2+ln 3≈3.2,所以ln M=3.2-2.8=0.4,所以M=e0.4≈1.5,所以需装载的推进剂的吨数约为M0-M≈24-1.5=22.5.故选C.
题型二　建立函数模型解决实际问题
[例2] 某医学研究所研发一种药物.据监测,如果成人在0.5 h内按规定的剂量注射该药,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,每升血液中的药物含量y(单位:mg)与开始注射后的时间t(单位:h)之间近似满足如图所示的曲线,y与t的函数关系为y=mat(a>0,且a≠1).根据图中提供的信息:
(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y(单位:mg)关于时间t(单位:h)的函数关系式;
(2)据测定,每升血液中药物含量不少于0.08 mg 时该药有效,那么该药的药效时间有多长(结果保留小数点后两位)
(3)若第一次药物注射完成2 h后,马上进行第二次注射,则第二次注射完成后再过1 h,该人每升血液中药物含量为多少(结果保留小数点后两位)
(参考数据:ln 2≈0.69,ln 5≈1.61)
【解】 (1)当0≤t≤时,设y=kt,将(,2)代入y=kt得2=k,解得k=4,此时y=4t;
当t>时,设y=mat(a>0,且a≠1),将(,2),(1,1)代入y=mat得解得
此时y=4·()t=41-t.
综上,y=
(2)当0≤t≤时,由4t≥0.08,解得0.02≤t≤,当t>时,由41-t≥0.08,得t≤+,
而+≈2.83,故(3)完成第二次注射药物1 h后,
每升血液中第一次注射药物的含量为y1=4-3=0.015 625,
每升血液中第二次注射药物的含量为y2=4-0.5=0.5,
所以该人每升血液中药物含量为y1+y2=0.015 625+0.5≈0.52 (mg).
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
[变式训练] 某水库有a万条鱼,计划每年捕捞一些鱼,假设水库中鱼不繁殖,鱼的数量只会因捕捞而减少,且每年捕捞的鱼的数量所占比例相等.捕捞鱼的数量达到原数量的所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡,鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止,水库里鱼的剩余数量为原数量的.
(1)求每年捕捞的鱼的数量所占比例;
(2)到今年为止,该水库已捕捞了多少年
(3)今年之后,为了保证水库的生态平衡,最多还能捕捞多少年
【解】 (1)设每年捕捞的鱼的数量所占比例为x,由题意可得a(1-x)6=a-a,即(1-x)6=,解得x=1-,
则每年捕捞的鱼的数量所占比例为1-().
(2)设到今年为止该水库已捕捞t年,则a(1-x)t=a,由(1)知,==,所以=,解得t=3,
即到今年为止,该水库已捕捞了3年.
(3)设今年之后,最多还能捕捞n年,则n年后,水库里鱼的剩余数量为a(1-x)n.
由题意可得a(1-x)n≥a,则≥,所以≤,解得n≤9,
故今年之后,最多还能捕捞9年.
题型三　拟合函数解决实际问题
[例3] 某地区不同身高x(单位:cm)未成年男性体重平均值y(单位:kg)如下表:
身高x/cm 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重y/kg 10 12 15 17 20 27 31 45 50 67
根据表中数据及散点图,为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)的关系,现有以下三种模型提供选择:①y=abx+c;②y=-x3+ax2+bx+c;③y=klogax+b.
(1)你认为最符合实际的函数模型是哪个(说明理由) 并利用(80,10),(120,20),(160,50)这三组数据求出此函数模型的解析式.
(2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么该地区一名身高为164 cm,体重为62 kg 的未成年男性的体重是否正常
(参考数据:lg 3≈10lg 1.1)
【解】 (1)选择模型①y=abx+c,因为体重y随着身高x的增大而增大,并且增长的速度越来越快,属于指数爆炸型增长模型.把(80,10),(120,20),(160,50)这三组数据分别代入y=abx+c,
可得①
消去c,可得②
将两式相除可得b40=3(b40=1舍去),
将其代入①式,可得
解得故y=·+5.
(2)由(1)得y=·+5,所以当x=164时,y=×34.1+5=×34×30.1+5=45×30.1+5,
由lg 3≈10lg 1.1可得lg 30.1≈lg 1.1,所以30.1≈1.1,所以y≈45×1.1+5=54.5,
因为62÷54.5≈1.14∈(0.8,1.2),故该未成年男性的体重正常.
建立拟合函数与预测的基本步骤
[变式训练] 为研究某种病毒的繁殖速度,某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察,每隔单位时间T进行一次记录,用x表示经过单位时间的个数,用y(单位:万个)表示此病毒的数量,得到如下数据:
x 1 2 3 4 5 6 …
y/万个 … 10 … 50 … 250 …
若该病毒的数量y(单位:万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y=px2+q与y=kax(k>0,a>1)可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式.
(2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个
参考数据:≈2.236,≈2.449,lg 2≈0.301,lg 6≈0.778.
【解】 (1)若选y=px2+q,将x=2,y=10和x=4,y=50代入可得解得故y=x2-,将x=6代入,得y=×62-=与y=250相差太大,不符合题意;
若选y=kax(k>0,a>1),将x=2,y=10和x=4,y=50代入可得解得故y=2·,将x=6代入,得y=2·=250,符合题意.
综上,选择函数y=kax(k>0,a>1)更合适,解析式为y=2·.
(2)依题意,设至少需要x个单位时间,则2≥120 000,即≥60 000,
两边同时取对数,可得xlg ≥lg 6+4,则x≥=≈≈13.671,
因为x∈N*,所以x的最小值为14,故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.放射性物质的衰变规律为M=M0×,其中M0指初始质量,t为衰变时间,T为半衰期,M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1,T2(单位:天),若两种物质的初始质量相同,1 024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍,则-等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 由题意可得M0×=,即=-3,所以-=.故选A.
2.等额分付资本回收是指起初投资P,在利率i、回收周期数n为定值的情况下,每期期末取出的资金A为多少时,才能在第n期期末把全部本利取出,即全部本利回收,其计算公式为A=P·.某农业种植公司投资28万元购买一大型农机设备,期望投资收益年利率为10%,若每年年底回笼资金5.6万元,则该公司能全部收回本利和的时间至少为(lg 11≈1.04,lg 2≈
0.30,lg 5≈0.70)(　　)
[A]9年 [B]8年 [C]7年 [D]6年
【答案】 B
【解析】 由题意,知A=5.6万元,P=28万元,i=10%,由公式可得5.6=28×,整理得=2,
等式两边取对数,得n==≈=7.5,则该公司能够全部收回本利和的时间至少为8年.故选B.
3.已知[x]表示不大于x的最大整数.某运动鞋店开店营业前10天的日销售利润(单位:元)用f(i)(i=1,2,…,10)表示,f(i)为第i天的日销售利润,当1≤i≤10时,f(i)与[]成正比.若该店营业前3天的日销售利润总额为300元,则该店营业第7天的日销售利润为(　　)
[A]600元 [B]700元
[C]800元 [D]900元
【答案】 D
【解析】 已知[x]表示不大于x的最大整数,又当1≤i≤10时,f(i)与[]成正比,设f(i)=k[],
则f(1)+f(2)+f(3)=k[2]+k[2]+k[]=6k=300,解得k=50,所以f(7)=50×[]=50×18=900,
所以该店营业第7天的日销售利润为900元.故选D.
4.从A地到B地的距离约为300 km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的数据如下:
v 0 40 60 80 120
Q 0 7 8 10 20
为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系,下列最符合实际的函数模型是(　　)
[A]Q=a+b
[B]Q=av3+bv2+cv
[C]Q=0.6v+b
[D]Q=klogav+b
【答案】 B
【解析】 依题意以及表中数据画出散点图,可知该函数必须满足三个条件:第一,定义域为[0,120];第二,在定义域上单调递增;第三,函数图象经过坐标原点.由散点图可知,函数图象不符合Q=a+b函数图象的特征,排除A;函数Q=0.6v+b单调递减,排除C;当v=0时,Q=klogav+b没有意义,排除D;故最符合实际的函数模型为Q=av3+bv2+cv.故选B.
5.某快递公司经过调查得出用户的投诉率y与从用户提出申请到业务员取件的时间t(单位:h)之间满足函数关系式:y=为保证用户的投诉率不高于15%,则从用户提出申请到业务员取件的时间至多为(参考数据:log23≈1.6)(　　)
[A]2 h [B]3 h [C]4 h [D]5 h
【答案】 C
【解析】 当0≤t<2时,y=t2单调递增,所以y<=0.4%,即投诉率恒小于15%;
当t≥2时,令×≤15%,即≤log23≈1.6,解得t≤4,所以2≤t≤4.
所以从用户提出申请到业务员取件的时间至多为4 h.故选C.
6.(多选)在实际应用中,通常用吸光度A和透光度T来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式为T=,如表所示为不同玻璃材料的透光率.
玻璃材料 材料1 材料2 材料3
T 0.6 0.7 0.8
[A]A1>2A2 [B]A2+A3>A1
[C]A1+A3>2A2 [D]A1A3<
【答案】 BCD
【解析】 由T=,得A=-lg T ,则A1=-lg 0.6,A2=-lg 0.7,A3=-lg 0.8,
2A2=-2lg 0.7=-lg 0.49,lg 0.6>lg 0.49,-lg 0.6<-lg 0.49,即A1<2A2,A错误;
A2+A3=-lg 0.7-lg 0.8=-lg 0.56>-lg 0.6=A1,B正确;
A1+A3=-lg 0.6-lg 0.8=-lg 0.48>-lg 0.49=-2lg 0.7=2A2,C正确;
A1A3=(-lg 0.6)(-lg 0.8)=lg 0.6·lg 0.8,=(-lg 0.7)2=(lg 0.7)2,
==log0.70.6,==log0.80.7,log0.70.6-=log0.7=log0.7()
=log0.7()log0.81=0,
所以log0.70.60,则A1A3<,D正确.故选BCD.
7.(5分)光线通过一块玻璃,其强度要失掉原来的,要使通过玻璃的光线强度为原来的以下,至少需要这样的玻璃板的块数为　　　　.(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
【答案】 7
【解析】 设至少需要x块玻璃板,由题意知<,即<,两边取对数lg 即x·(lg 9-lg 10)<-lg 2,即x·(1-2lg 3)>lg 2,x>≈6.57,所以x=7.
8.(5分)带有无线覆盖功能的路由器,常称为WiFi,它主要应用于用户上网和无线覆盖.经测试发现,某品牌无线路由器发射信号初始强度为S0,其辐射信号强度S与距离d近似满足函数模型ln(S)=-d2+B,其中G,B为非零常数.已知发射信号初始强度S0=1时,在距无线路由器
2 m 的地方测得信号强度为a,则当S0=4时,信号强度为的位置距无线路由器的距离为
　　　　m.
【答案】 4
【解析】 根据题意,当S0=1,d=2,S=a时,ln a=-4G+B;当S=,S0=4时,ln (×2)=-d2+B,
即ln a=-d2+B,因此-4G+B=-d2+B,故d=4,即S0=4时,信号强度为的位置距无线路由器的距离为4 m.
9.(13分)数学建模研究表明:一天中,区域的居民活动类型(工作、学习和休闲)越丰富,活动地点总数越多,区域之间人口流动越频繁,城市活力度越高.Q市基于大数据测算城市活力度,发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数M(t)=来近似刻画,其中中午12点的城市活力度为20,是工作日内活力度的最高值;24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值.
(1)分别求m,n的值;
(2)求该工作日内,Q市活力度不大于10的总时长.
【解】 (1)由中午12点的城市活力度为20,知M(12)=20,代入数据得12m+5-6m=20,解得m=,
24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值,故M(24)=M(6)=6×+5-6×=5,
代入M(24)=M(12)·e-n(t-12)得5=20e-12n,解得n=.
(2)由(1)知M(t)=
当6≤t≤12时,令M(t)=t-10≤10,解得t∈[6,8],
当12可得t-12≥6,解得t∈[18,24],故一日内只有当t∈(8,18)时,活力度大于10,
即该工作日内有14 h活力度不大于10.
10.(多选)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b
(e=2.718…,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是120 h,在20 ℃的保鲜时间是30 h,则(　　)
[A]k>0
[B]储存温度越高保鲜时间越短
[C]在10 ℃的保鲜时间是60 h
[D]在30 ℃的保鲜时间是15 h
【答案】 BCD
【解析】 对于A,由题可知120=eb,30=e20k+b=e20k×eb,则e20k=,即e10k=,可得10k<0,即k<0,故A错误;对于B,由A选项的分析可知,y=kx+b在R上是减函数,且y=ex在R上是增函数,所以y=ekx+b在R上是减函数,则储存温度越高保鲜时间越短,B正确;对于C,由A选项的分析可知,e10k+b=e10k×eb=×120=60 h,C正确;对于D,由A选项的分析可知,e30k+b=e30k×eb=×120=15 h,D正确.故选BCD.
11.(多选)某化工厂每一天中污水污染指数f(x) 与时刻x(单位:h)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1),规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数,则使该厂每天的污水污染指数不超过3的a的取值可以为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 AB
【解析】 设t=log25(x+1),则当0≤x≤24时,0≤t≤1.可得g(t)=|t-a|+2a+1,t∈[0,1],
则g(t)=显然g(t)在[0,a)上单调递减,在[a,1]上单调递增,
则f(x)max=max{g(0),g(1)},且g(0)=3a+1,g(1)=a+2,则有解得a≤,
又a∈(0,1),故调节参数a应控制在(0,]内,结合选项可知,A,B正确,C,D错误.故选AB.
12.(14分)某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆,已知每瓶空气净化剂含量为a,投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少,根据经验,当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果,且至少需要持续净化12 h才能达到净化目的,现有9瓶该空气净化剂.
(1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶,能否达到净化的目的 如果能,说明理由;如果不能,最多可净化多长时间 (精确到0.1 h)
(2)如果9瓶空气净化剂分两次投放,在第一次投放后间隔6 h进行第二次投放,为达到净化目的,试给出两次投放的所有可能方案 (每次投放的瓶数为整数,投放用时忽略不计)
参考数据:lg 3≈0.477,0.96≈0.53.
【解】 (1)假设一次性投放9瓶,可持续净化x h,则9a·(1-10%)x≥3a(x≥0),所以0.9x≥,两边取常用对数得x·lg 0.9≥lg ,所以x≤≈10.4,因为10.4<12,所以不能达到净化目的,最多可净化 10.4 h.
(2)设第一次投放n瓶,第二次投放9-n瓶,n∈N*且n<9,依据题意得
由第一个不等式可得,n≥≈5.7,由第二个不等式可得,n≤≈7.1,所以5.7所以两次投放可能的投放方案为第一次投放6瓶,第二次投放3瓶;或在第一次投放7瓶,第二次投放2瓶.4.5.3　函数模型的应用
【课程标准要求】　1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.3.能解决实际问题中的函数模型选择问题.
知识归纳
知识点一　常见的几种函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)=axα+b(a,b为常数,a≠0)
知识点二　建立函数模型的基本过程
基础自测
1.两个变量的散点图如图,用如下函数进行拟合比较合理的是(　　)
[A]y=a·xb [B]y=a·ebx
[C]y=a+bln x [D]y=a·
2.(人教A版必修第一册P150练习T2改编)某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为 180只,则15年后它们发展到(　　)
[A]300只 [B]400只
[C]600只 [D]720只
将x=1,y=180代入y=alog2(x+1),得180=alog2(1+1),解得a=180,所以y=180·log2(x+1),所以当x=15时,y=180·log2(15+1)=180×4=720,所以15年后它们发展到720只.故选D.
3.种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下种群数量呈指数增长模型,其数学模型公式为Nt=N0λt.其中N0是该种群的起始数量,t为时间(单位:年),λ是该种群数量每年增长的倍数,Nt表示t年后该种群数量.若某种群满足“J”型增长模型,λ为定值,1年后该种群数量是起始数量的倍,则5年后该种群数量是起始数量的(　　)
[A] 倍 [B] 倍
[C] 倍 [D] 倍
4.某工厂在某年12月份的产值是这年1月份产值的m倍,则该厂在该年度的产值的月平均增长率为(　　)
[A] [B]
[C]-1 [D]-1
题型一　应用已知函数模型解决实际问题
[例1] 物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃(θ1>θ0),则x min后物体的温度θ(x)满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0)e-kx(k为常数).实验测算,当x=12时,满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0).
(1)求k的值;
(2)某种茶叶泡制的茶水,刚沏出来时茶水温度为75 ℃,等茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳.已知空气温度为25 ℃,则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 (结果保留一位小数,参考数值:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6)
由①÷②,得2e-12k=1,即12k=ln 2,所以k=.
(2)设刚沏出来的茶水大约需要放置t min才能达到最佳饮用口感,由题意可知,θ1=75,θ0=25,θ(t)=55,所以55-25=(75-25),即=,所以t=≈≈8.6,
所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6 min才能达到最佳饮用口感.
利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数.
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题.
(3)涉及较为复杂的指数运算时,常常利用等式两边取对数的方法,将指数运算转化为对数运算.
[变式训练] 火箭是能使物体达到宇宙速度,克服或摆脱地球引力束缚,进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式:v=uln .u表示气体相对于火箭的喷射速度(单位:km/s),M0表示火箭的初始质量(火箭壳与推进剂的总质量,单位:t),M表示推进剂用完后火箭的质量(单位:t),目前使用液氢液氧推进剂的发动机能达到的喷射速度约为4 km/s.理想情况下,对于初始质量为24 t的单级火箭,速度要达到11.2 km/s,则需装载的推进剂的吨数约为(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,e0.4≈1.5)(　　)
[A]22.1 [B]22.3
[C]22.5 [D]22.7
题型二　建立函数模型解决实际问题
[例2] 某医学研究所研发一种药物.据监测,如果成人在0.5 h内按规定的剂量注射该药,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,每升血液中的药物含量y(单位:mg)与开始注射后的时间t(单位:h)之间近似满足如图所示的曲线,y与t的函数关系为y=mat(a>0,且a≠1).根据图中提供的信息:
(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y(单位:mg)关于时间t(单位:h)的函数关系式;
(2)据测定,每升血液中药物含量不少于0.08 mg 时该药有效,那么该药的药效时间有多长(结果保留小数点后两位)
(3)若第一次药物注射完成2 h后,马上进行第二次注射,则第二次注射完成后再过1 h,该人每升血液中药物含量为多少(结果保留小数点后两位)
(参考数据:ln 2≈0.69,ln 5≈1.61)
当t>时,设y=mat(a>0,且a≠1),将(,2),(1,1)代入y=mat得解得
此时y=4·()t=41-t.
综上,y=
(2)当0≤t≤时,由4t≥0.08,解得0.02≤t≤,当t>时,由41-t≥0.08,得t≤+,
而+≈2.83,故(3)完成第二次注射药物1 h后,
每升血液中第一次注射药物的含量为y1=4-3=0.015 625,
每升血液中第二次注射药物的含量为y2=4-0.5=0.5,
所以该人每升血液中药物含量为y1+y2=0.015 625+0.5≈0.52 (mg).
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
[变式训练] 某水库有a万条鱼,计划每年捕捞一些鱼,假设水库中鱼不繁殖,鱼的数量只会因捕捞而减少,且每年捕捞的鱼的数量所占比例相等.捕捞鱼的数量达到原数量的所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡,鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止,水库里鱼的剩余数量为原数量的.
(1)求每年捕捞的鱼的数量所占比例;
(2)到今年为止,该水库已捕捞了多少年
(3)今年之后,为了保证水库的生态平衡,最多还能捕捞多少年
则每年捕捞的鱼的数量所占比例为1-().
(2)设到今年为止该水库已捕捞t年,则a(1-x)t=a,由(1)知,==,所以=,解得t=3,
即到今年为止,该水库已捕捞了3年.
(3)设今年之后,最多还能捕捞n年,则n年后,水库里鱼的剩余数量为a(1-x)n.
由题意可得a(1-x)n≥a,则≥,所以≤,解得n≤9,
故今年之后,最多还能捕捞9年.
题型三　拟合函数解决实际问题
[例3] 某地区不同身高x(单位:cm)未成年男性体重平均值y(单位:kg)如下表:
身高x/cm 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重y/kg 10 12 15 17 20 27 31 45 50 67
根据表中数据及散点图,为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)的关系,现有以下三种模型提供选择:①y=abx+c;②y=-x3+ax2+bx+c;③y=klogax+b.
(1)你认为最符合实际的函数模型是哪个(说明理由) 并利用(80,10),(120,20),(160,50)这三组数据求出此函数模型的解析式.
(2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么该地区一名身高为164 cm,体重为62 kg 的未成年男性的体重是否正常
(参考数据:lg 3≈10lg 1.1)
可得①
消去c,可得②
将两式相除可得b40=3(b40=1舍去),
将其代入①式,可得
解得故y=·+5.
(2)由(1)得y=·+5,所以当x=164时,y=×34.1+5=×34×30.1+5=45×30.1+5,
由lg 3≈10lg 1.1可得lg 30.1≈lg 1.1,所以30.1≈1.1,所以y≈45×1.1+5=54.5,
因为62÷54.5≈1.14∈(0.8,1.2),故该未成年男性的体重正常.
建立拟合函数与预测的基本步骤
[变式训练] 为研究某种病毒的繁殖速度,某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察,每隔单位时间T进行一次记录,用x表示经过单位时间的个数,用y(单位:万个)表示此病毒的数量,得到如下数据:
x 1 2 3 4 5 6 …
y/万个 … 10 … 50 … 250 …
若该病毒的数量y(单位:万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y=px2+q与y=kax(k>0,a>1)可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式.
(2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个
参考数据:≈2.236,≈2.449,lg 2≈0.301,lg 6≈0.778.
若选y=kax(k>0,a>1),将x=2,y=10和x=4,y=50代入可得解得故y=2·,将x=6代入,得y=2·=250,符合题意.
综上,选择函数y=kax(k>0,a>1)更合适,解析式为y=2·.
(2)依题意,设至少需要x个单位时间,则2≥120 000,即≥60 000,
两边同时取对数,可得xlg ≥lg 6+4,则x≥=≈≈13.671,
因为x∈N*,所以x的最小值为14,故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.放射性物质的衰变规律为M=M0×,其中M0指初始质量,t为衰变时间,T为半衰期,M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1,T2(单位:天),若两种物质的初始质量相同,1 024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍,则-等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
2.等额分付资本回收是指起初投资P,在利率i、回收周期数n为定值的情况下,每期期末取出的资金A为多少时,才能在第n期期末把全部本利取出,即全部本利回收,其计算公式为A=P·.某农业种植公司投资28万元购买一大型农机设备,期望投资收益年利率为10%,若每年年底回笼资金5.6万元,则该公司能全部收回本利和的时间至少为(lg 11≈1.04,lg 2≈
0.30,lg 5≈0.70)(　　)
[A]9年 [B]8年 [C]7年 [D]6年
等式两边取对数,得n==≈=7.5,则该公司能够全部收回本利和的时间至少为8年.故选B.
3.已知[x]表示不大于x的最大整数.某运动鞋店开店营业前10天的日销售利润(单位:元)用f(i)(i=1,2,…,10)表示,f(i)为第i天的日销售利润,当1≤i≤10时,f(i)与[]成正比.若该店营业前3天的日销售利润总额为300元,则该店营业第7天的日销售利润为(　　)
[A]600元 [B]700元
[C]800元 [D]900元
则f(1)+f(2)+f(3)=k[2]+k[2]+k[]=6k=300,解得k=50,所以f(7)=50×[]=50×18=900,
所以该店营业第7天的日销售利润为900元.故选D.
4.从A地到B地的距离约为300 km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的数据如下:
v 0 40 60 80 120
Q 0 7 8 10 20
为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系,下列最符合实际的函数模型是(　　)
[A]Q=a+b
[B]Q=av3+bv2+cv
[C]Q=0.6v+b
[D]Q=klogav+b
5.某快递公司经过调查得出用户的投诉率y与从用户提出申请到业务员取件的时间t(单位:h)之间满足函数关系式:y=为保证用户的投诉率不高于15%,则从用户提出申请到业务员取件的时间至多为(参考数据:log23≈1.6)(　　)
[A]2 h [B]3 h [C]4 h [D]5 h
当t≥2时,令×≤15%,即≤log23≈1.6,解得t≤4,所以2≤t≤4.
所以从用户提出申请到业务员取件的时间至多为4 h.故选C.
6.(多选)在实际应用中,通常用吸光度A和透光度T来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式为T=,如表所示为不同玻璃材料的透光率.
玻璃材料 材料1 材料2 材料3
T 0.6 0.7 0.8
[A]A1>2A2 [B]A2+A3>A1
[C]A1+A3>2A2 [D]A1A3<
2A2=-2lg 0.7=-lg 0.49,lg 0.6>lg 0.49,-lg 0.6<-lg 0.49,即A1<2A2,A错误;
A2+A3=-lg 0.7-lg 0.8=-lg 0.56>-lg 0.6=A1,B正确;
A1+A3=-lg 0.6-lg 0.8=-lg 0.48>-lg 0.49=-2lg 0.7=2A2,C正确;
A1A3=(-lg 0.6)(-lg 0.8)=lg 0.6·lg 0.8,=(-lg 0.7)2=(lg 0.7)2,
==log0.70.6,==log0.80.7,log0.70.6-=log0.7=log0.7()
=log0.7()log0.81=0,
所以log0.70.60,则A1A3<,D正确.故选BCD.
7.(5分)光线通过一块玻璃,其强度要失掉原来的,要使通过玻璃的光线强度为原来的以下,至少需要这样的玻璃板的块数为　　　　.(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
即x·(lg 9-lg 10)<-lg 2,即x·(1-2lg 3)>lg 2,x>≈6.57,所以x=7.
8.(5分)带有无线覆盖功能的路由器,常称为WiFi,它主要应用于用户上网和无线覆盖.经测试发现,某品牌无线路由器发射信号初始强度为S0,其辐射信号强度S与距离d近似满足函数模型ln(S)=-d2+B,其中G,B为非零常数.已知发射信号初始强度S0=1时,在距无线路由器
2 m 的地方测得信号强度为a,则当S0=4时,信号强度为的位置距无线路由器的距离为
　　　　m.
即ln a=-d2+B,因此-4G+B=-d2+B,故d=4,即S0=4时,信号强度为的位置距无线路由器的距离为4 m.
9.(13分)数学建模研究表明:一天中,区域的居民活动类型(工作、学习和休闲)越丰富,活动地点总数越多,区域之间人口流动越频繁,城市活力度越高.Q市基于大数据测算城市活力度,发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数M(t)=来近似刻画,其中中午12点的城市活力度为20,是工作日内活力度的最高值;24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值.
(1)分别求m,n的值;
(2)求该工作日内,Q市活力度不大于10的总时长.
24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值,故M(24)=M(6)=6×+5-6×=5,
代入M(24)=M(12)·e-n(t-12)得5=20e-12n,解得n=.
(2)由(1)知M(t)=
当6≤t≤12时,令M(t)=t-10≤10,解得t∈[6,8],
当12可得t-12≥6,解得t∈[18,24],故一日内只有当t∈(8,18)时,活力度大于10,
即该工作日内有14 h活力度不大于10.
10.(多选)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b
(e=2.718…,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是120 h,在20 ℃的保鲜时间是30 h,则(　　)
[A]k>0
[B]储存温度越高保鲜时间越短
[C]在10 ℃的保鲜时间是60 h
[D]在30 ℃的保鲜时间是15 h
11.(多选)某化工厂每一天中污水污染指数f(x) 与时刻x(单位:h)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1),规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数,则使该厂每天的污水污染指数不超过3的a的取值可以为(　　)
[A] [B] [C] [D]
则g(t)=显然g(t)在[0,a)上单调递减,在[a,1]上单调递增,
则f(x)max=max{g(0),g(1)},且g(0)=3a+1,g(1)=a+2,则有解得a≤,
又a∈(0,1),故调节参数a应控制在(0,]内,结合选项可知,A,B正确,C,D错误.故选AB.
12.(14分)某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆,已知每瓶空气净化剂含量为a,投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少,根据经验,当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果,且至少需要持续净化12 h才能达到净化目的,现有9瓶该空气净化剂.
(1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶,能否达到净化的目的 如果能,说明理由;如果不能,最多可净化多长时间 (精确到0.1 h)
(2)如果9瓶空气净化剂分两次投放,在第一次投放后间隔6 h进行第二次投放,为达到净化目的,试给出两次投放的所有可能方案 (每次投放的瓶数为整数,投放用时忽略不计)
参考数据:lg 3≈0.477,0.96≈0.53.
(2)设第一次投放n瓶,第二次投放9-n瓶,n∈N*且n<9,依据题意得
由第一个不等式可得,n≥≈5.7,由第二个不等式可得,n≤≈7.1,所以5.7所以两次投放可能的投放方案为第一次投放6瓶,第二次投放3瓶;或在第一次投放7瓶,第二次投放2瓶.(共36张PPT)
4.5.3　函数模型的应用
1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.3.能解决实际问题中的函数模型选择问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　常见的几种函数模型
知识归纳
指数型函数模型 f(x)= (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)= (a,b为常数,a≠0)
bax+c
axα+b
知识点二　建立函数模型的基本过程
1.两个变量的散点图如图,用如下函数进行拟合比较合理的是(　　)
基础自测
C
【解析】 由散点图可知,此曲线类似对数型函数曲线,因此可用函数y=a+
bln x模型进行拟合.故选C.
2.(人教A版必修第一册P150练习T2改编)某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为 180只,则15年后它们发展到(　　)
[A]300只 [B]400只
[C]600只 [D]720只
D
【解析】 由题知,该动物的繁殖数量y与引入时间x的关系为y=alog2(x+1),
将x=1,y=180代入y=alog2(x+1),得180=alog2(1+1),解得a=180,所以y=
180·log2(x+1),所以当x=15时,y=180·log2(15+1)=180×4=720,所以15年后它们发展到720只.故选D.
A
4.某工厂在某年12月份的产值是这年1月份产值的m倍,则该厂在该年度的产值的月平均增长率为(　　)
D
关键能力·素养培优
题型一　应用已知函数模型解决实际问题
(2)某种茶叶泡制的茶水,刚沏出来时茶水温度为75 ℃,等茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳.已知空气温度为25 ℃,则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 (结果保留一位小数,参考数值:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,
ln 5≈1.6)
·解题策略·
利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数.
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题.
(3)涉及较为复杂的指数运算时,常常利用等式两边取对数的方法,将指数运算转化为对数运算.
C
题型二　建立函数模型解决实际问题
[例2] 某医学研究所研发一种药物.据监测,如果成人在0.5 h内按规定的剂量注射该药,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,每升血液中的药物含量y(单位:mg)与开始注射后的时间t(单位:h)之间近似满足如图所示的曲线,y与t的函数关系为y=mat(a>0,且a≠1).根据图中提供的信息:
(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y(单位:mg)关于时间t(单位:h)的函数关系式;
(2)据测定,每升血液中药物含量不少于0.08 mg 时该药有效,那么该药的药效时间有多长(结果保留小数点后两位)
(3)若第一次药物注射完成2 h后,马上进行第二次注射,则第二次注射完成后再过1 h,该人每升血液中药物含量为多少(结果保留小数点后两位)
(参考数据:ln 2≈0.69,ln 5≈1.61)
【解】(3)完成第二次注射药物1 h后,
每升血液中第一次注射药物的含量为y1=4-3=0.015 625,
每升血液中第二次注射药物的含量为y2=4-0.5=0.5,
所以该人每升血液中药物含量为y1+y2=0.015 625+0.5≈0.52 (mg).
·解题策略·
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
(1)求每年捕捞的鱼的数量所占比例;
(2)到今年为止,该水库已捕捞了多少年
(3)今年之后,为了保证水库的生态平衡,最多还能捕捞多少年
题型三　拟合函数解决实际问题
[例3] 某地区不同身高x(单位:cm)未成年男性体重平均值y(单位:kg)如下表:
身高x/cm 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重y/kg 10 12 15 17 20 27 31 45 50 67
根据表中数据及散点图,为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)的关系,现有以下三种模型提供选择:①y=abx+c;②y=-x3+ax2+bx+c;③y=klogax+b.
(1)你认为最符合实际的函数模型是哪个(说明理由) 并利用(80,10),
(120,20),(160,50)这三组数据求出此函数模型的解析式.
(2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么该地区一名身高为164 cm,体重为62 kg 的未成年男性的体重是否正常
(参考数据:lg 3≈10lg 1.1)
·解题策略·
建立拟合函数与预测的基本步骤
[变式训练] 为研究某种病毒的繁殖速度,某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察,每隔单位时间T进行一次记录,用x表示经过单位时间的个数,用y(单位:万个)表示此病毒的数量,得到如下数据:
x 1 2 3 4 5 6 …
y/万个 … 10 … 50 … 250 …
若该病毒的数量y(单位:万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y=px2+q与y=kax(k>0,a>1)可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式.
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