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章末复习提升
题型一　指数、对数的运算
1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化,对数、指数的运算性质以及换底公式等,会利用运算性质进行化简、计算、证明.
2.指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
3.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质、对数恒等式、换底公式及其推论.
[典例1] (2024·全国甲卷)已知a>1,且-=-,则a等于　　　　.
【答案】 64
【解析】 由题-=-log2a=-,整理得-5log2a-6=0,解得log2a=-1或log2a=6,
又a>1,所以log2a=6=log226,故a=26=64.
[跟踪训练] (2022·浙江卷)已知2a=5,log83=b,则4a-3b等于(　　)
[A]25 [B]5
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为2a=5,b=log83=log23,即23b=3,所以4a-3b====.故选C.
题型二　指数、对数函数的图象及应用
1.已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”,解此类题要注意利用定义域、奇偶性、单调性、关键点和关键线,注意指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移、对称、翻折等变换.
2.判断方程的根的个数或解不等式时,通常不具体解方程或不等式,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.
[典例2] (多选)已知函数f(x)=若存在不相等的实数a,b,c,d满足a[A]k∈(0,1]
[B]a+b=-6
[C]cd=1
[D]a+b+c+d的取值范围为(-2,]
【答案】 ACD
【解析】 A选项,画出|f(x)|与y=k的图象如下,要想满足|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|=k,则0B选项,由对称性可知,a+b=2×(-2)=-4,B错误;C选项,令-lg x=1,解得x=,故≤c<1,令lg x=1,解得x=10,故1所以y=c+∈(2,],a+b+c+d=c+-4∈(-2,],D正确.故选ACD.
[跟踪训练] 函数f(x)=的部分图象大致为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=的定义域为(-∞,-)∪(-,0)∪(0,)∪(,+∞),
且f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除B,D;又当0题型三　指数、对数性质的应用
1.以函数的性质为依托,结合运算考查函数的图象性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.在解含对数式的方程或不等式时,不能忘记对数中真数大于0,以免出现增根或扩大范围.
2.要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用函数的单调性进行转化,对含参数的问题进行分类讨论.
3.含有指数式或对数式的函数也常使用换元法.
[典例3] (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln (x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(　　)
[A] [B] [C] [D]1
【答案】 C
【解析】 由题意可知,f(x)的定义域为(-b,+∞),令x+a=0解得x=-a;令ln (x+b)=0解得x=1-b;
则当x∈(-b,1-b)时,ln (x+b)<0,故x+a≤0,所以1-b+a≤0;当x∈(1-b,+∞)时,ln (x+b)>0,故x+a≥0,所以1-b+a≥0;
故1-b+a=0, 则a2+b2=a2+(a+1)2=2(a+)2+≥,
当且仅当a=-,b=时,等号成立,所以a2+b2的最小值为.故选C.
[跟踪训练] (2024·北京卷)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则(　　)
[A]log2<
[B]log2>
[C]log2[D]log2>x1+x2
【答案】 B
【解析】 由题意不妨设x1对于选项A,B,可得>=,即>>0,根据函数y=log2x是增函数,所以log2>log2=,故B正确,A错误;对于选项C,例如x1=-1,x2=-2,则y1=,y2=,可得log2=log2=log23-3∈(-2,-1),即log2>-3=x1+x2,故C错误;对于选项D,例如x1=0,x2=1,则y1=1,y2=2,可得log2=log2∈(0,1),即log2<1=x1+x2,故D错误.故选B.
题型四　函数的零点
1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间,主要利用了转化思想,把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题.
2.掌握函数零点存在定理及转化思想,提升逻辑推理和直观想象的核心素养.
[典例4] (2022·天津卷)设a∈R,对任意实数x,记f(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5}.若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为　　　　.
【答案】 [10,+∞)
【解析】 设g(x)=x2-ax+3a-5,h(x)=|x|-2,由|x|-2=0可得x=±2.要使得函数f(x)至少有3个零点,
则函数g(x)至少有一个零点,则Δ=a2-12a+20≥0,解得a≤2或a≥10.
①当a=2时,g(x)=x2-2x+1,作出函数g(x),h(x)的图象如下图所示:
此时函数f(x)只有两个零点,不符合题意;
②当a<2时,设函数g(x)的两个零点分别为x1,x2(x1所以无解;
③当a=10时,g(x)=x2-10x+25,作出函数g(x),h(x)的图象如下图所示:
由图可知,函数f(x)的零点个数为3,符合题意;
④当a>10时,设函数g(x)的两个零点分别为x3,x4(x3可得解得a>4,此时a>10.综上所述,实数a的取值范围是[10,+∞).
[跟踪训练] 已知函数f(x)=-,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是(　　)
[A](0,) [B](,)
[C](,1) [D](1,4)
【答案】 B
【解析】 因为y=,y=-在(0,+∞)上单调递减,则f(x)=-在(0,+∞)上单调递减,f(0)=-=1-0=1>0,f()=->0(因为幂函数y=在(0,+∞)上单调递增),
f()=-<0(因为指数函数y=在R上单调递减),f(1)=-1=-<0,f(4)题型五　函数模型的应用
1.已知函数模型解决实际问题,高考中以此类问题为主.解此类问题的关键是理解已知函数模型中有关参数的实际意义,多数题目需要根据已知条件先求得已知函数模型中的的参数,熟练掌握指数和对数运算是基本功.
2.根据实际问题构建出切合实际的函数模型,并应用函数模型解决实际问题,实际命题时,一般会提供一些常见的函数模型,关键是利用题目的条件正确选择函数模型.
[典例5] (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
[A]p1≥p2 [B]p2>10p3
[C]p3=100p0 [D]p1≤100p2
【答案】 ACD
【解析】 由题意可知,∈[60,90],∈[50,60],=40.
对于选项A,可得-=20×lg -20×lg =20×lg ,因为≥,则-=20×lg ≥0,即lg ≥0,
所以≥1且p1,p2>0,可得p1≥p2,故A正确;对于选项B,可得-=20×lg -20×lg =20×lg ,因为-=-40≥10,则20×lg ≥10,即lg ≥,所以≥且p2,p3>0,可得p2≥p3,当且仅当=50时,等号成立,故B错误;
对于选项C,因为=20×lg =40,即lg =2,
可得=100,即p3=100p0,故C正确;
对于选项D,由选项A的分析可知,-=20×lg ,且-≤90-50=40,则20×lg ≤40,即lg ≤2,可得≤100,且p1,p2>0,所以p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
[跟踪训练] (2024·北京卷)生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　)
[A]3N2=2N1 [B]2N2=3N1
[C]= [D]=
【答案】 D
【解析】 由题意得=2.1,=3.15,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,所以=.故选D.
第四章　章末检测卷
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在下列区间中,一定包含函数f(x)=2x+x-5的零点的是(　　)
[A](0,1) [B](1,2) [C](2,3) [D](3,4)
【答案】 B
【解析】 显然f(x)=2x+x-5单调递增,且图象连续,f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,f(2)=1>0,由函数零点存在定理可知,一定包含函数f(x)=2x+x-5的零点的是(1,2).故选B.
2.若2x=3,y=log8,则x+3y的值是(　　)
[A]3 [B]log34
[C]2 [D]-2
【答案】 C
【解析】 由2x=3,得x=log23,又y=log8=log2,所以x+3y=log23+log2=log24=2.故选C.
3.函数f(x)=ln(x2-2x-3)的单调递减区间是(　　)
[A](-∞,1) [B](1,+∞)
[C](-∞,-1) [D]无单调递减区间
【答案】 C
【解析】 令x2-2x-3>0,解得x>3或x<-1,可知函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),又因为y=
ln u在定义域内单调递增,且u=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,可知f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1).故选C.
4.设a=log36,b=21.2,c=0.51.2,则(　　)
[A]b[C]c【答案】 C
【解析】 因为log332,c=0.51.2<0.50=1,所以c故选C.
5.在同一平面直角坐标系中画出函数y=loga x,y=ax,y=x+a的图象,正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 函数y=ax与y=loga x的单调性相同,由此可排除C;直线y=x+a与y轴交点的纵坐标为a,则选项A中01,显然与y=ax的图象不符,排除A,B.故选D.
6.如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=lox,y=,y=的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为(　　)
[A](,) [B](,)
[C](,) [D](,)
【答案】 A
【解析】 由yA=2,则yA=lo xA=2,即xA==,即xD=,又yB=yA=2,则yB==2,即xB=22=4,则xC=xB=4,即有yC===,即yD=,即D(,).故选A.
7.已知甲和乙刚开始的“日能力值”相同,之后甲通过学习,“日能力值”都在前一天的基础上进步3%,而乙疏于学习,“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.若要使甲的“日能力值”达到乙的“日能力值”的20倍,则大约需要经过的天数为(参考数据:lg 103≈2.012 8,lg 99≈1.995 6,lg 2≈
0.301 0)(　　)
[A]76 [B]77 [C]78 [D]79
【答案】 A
【解析】 令甲和乙刚开始的“日能力值”为1,n天后,甲、乙的“日能力值”分别为(1+3%)n,(1-1%)n,依题意可得=20,即=20,两边取对数得nlg =lg 20,即nlg =
lg 20,因此n==≈76,所以大约需要经过76天,甲的“日能力值”是乙的“日能力值”的20倍.故选A.
8.若函数f(x)=存在最大值,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-∞,] [B](0,]
[C](-,] [D](0,]
【答案】 B
【解析】 当x≥1时,f(x)=1-31-x在[1,+∞)上单调递增,此时f(x)∈[0,1),无最大值;又因为y=x2+2a在(-∞,0]上单调递减,在[0,1)上单调递增,故f(x)=lo(x2+2a)在(-∞,0]上单调递增,在[0,1)上单调递减,所以当x<1时,f(x)max=f(0)=lo(2a),结合题意可得lo(2a)≥1,解得0<2a≤,所以0二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数是奇函数,且满足对任意x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0的是(　　)
[A]f(x)=lox2
[B]f(x)=
[C]f(x)=
[D]f(x)=lg(x+)
【答案】 BD
【解析】 对任意x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)是在(0,+∞)上单调递增的奇函数.
对于A,函数f(x)=lo x2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=lo(-x)2=lo x2=f(x),f(x)不是奇函数,A错误;
对于B,y=-e-x与y=ex在R上都为增函数,故f(x)在R上为增函数,f(-x)==-f(x),
所以f(x)=是在(0,+∞)上单调递增的奇函数,B正确;
对于C,f(x)==-1+,易知f(x)在(0,+∞)上单调递减,C错误;
对于D,函数f(x)=lg(x+)的定义域为R,函数y=x+在(0,+∞)上单调递增,又y=lg u在定义域内是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(-x)=lg(-x+)=lg()=-lg(x+)=-f(x),f(x)是奇函数,D正确.故选BD.
10.下列命题中正确的是(　　)
[A]已知函数f(x)=,若函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,则a的取值范围是(0,1]
[B]函数f(x)=-4·+2在[0,3]上的值域为[1,2]
[C]若关于x的方程|2x-1|=m的两根分别为a,b,且a[D]函数f(x)=x-+2,则不等式f(t2)+f(2t-3)>2的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞)
【答案】 BCD
【解析】 函数f(x)=在区间(-∞,2)上是增函数,由函数y=是R上的减函数,得函数y=ax2-4x+3在(-∞,2)上单调递减,当a=0时符合题意,A选项错误;f(x)=-4·+2=4[()x]2-4·()x+2=+1,当x∈[0,3]时,()x∈[,1],
有()x-∈[-,],得[()x-]2∈[0,],所以函数f(x)=()x-1-4·()x+2在[0,3]上的值域为[1,2],B选项正确;若关于x的方程|2x-1|=m的两根分别为a,b,且ax-+1+(-x-+1)=0,即g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,又y=-及y=x+1都是增函数,所以g(x)为增函数,所以f(t2)+f(2t-3)>2 f(t2)-1+f(2t-3)-1>0 g(t2)+g(2t-3)>0,即g(t2)>-g(2t-3)=g(3-2t),故t2>3-2t,解得t∈(-∞,-3)∪(1,+∞),D选项正确.故选BCD.
11.已知f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值可能是(　　)
[A]e [B]1
[C]-1 [D]-e
【答案】 BCD
【解析】 在函数f(x)=x2+ex-(x<0)的图象上取点P(x,y),则点P关于y轴的对称点P′(-x,y)在函数g(x)的图象上,所以y=x2+ex-=(-x)2+ln(a-x),整理可得ln(a-x)=ex-,可得a=x+,所以实数a的取值范围即为函数h(x)=x+(x<0)的值域,因为u=ex-在(-∞,0)上单调递增,t=eu为增函数,故函数y=(x<0)单调递增,又因为函数y=x为增函数,故函数h(x)=x+(x<0)单调递增,所以h(x)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　.
【答案】 1
【解析】 因为函数f(x)=为奇函数,定义域为R,所以f(0)==0,即a=1.此时f(x)=,f(-x)====-=-f(x),即f(x)为奇函数,符合题意.
13.已知函数f(x)=lo(ax2-2x-1)在[2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 (,+∞)
【解析】 由于函数f(x)=lo(ax2-2x-1)在[2,+∞)上单调递减,又因为y=lo x在(0,+∞)上是减函数,所以函数g(x)=ax2-2x-1在[2,+∞)上单调递增,且g(x)>0.当a=0时,g(x)=-2x-1在[2,+∞)上单调递减,不符合题意;当a≠0时,由题意得解得a>.所以实数a的取值范围是(,+∞).
14.已知f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有5个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 {0}∪(,+∞)
【解析】 画出f(x)的图象如图,令t=f(x),要使函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有5个不同的零点,
即函数h(t)=t2-at-1有两个零点,-12或-1当-1即h(-1)=a=0,所以h(t)=t2-1=0有两根-1和1,符合题意;
当-12时,又h(0)=-1,
所以解得a>.
综上,a的取值范围为{0}∪(,+∞).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)求值:
(1)2×3×;
(2)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0;
(3)已知-=2,求式子的值.
【解】 (1)2×3×=6×××=6××=18.
(2)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0=log3+lg 100+2+1=+2+3=.
(3)因为-=2,显然a>0,则=a+a-1-2=12,即a+a-1=14,
又因为=a+a-1+2=16,且+>0,可得+=4,所以==.
16.(15分)设奇函数f(x)=ln|-e|+b.(e为自然对数的底数,e≈2.718 28…)
(1)求f(x)的定义域和b;
(2)若x∈(,1),求函数f(x)的值域.
【解】 (1)因为f(x)=ln|-e|+b=ln(e||)+b=ln||+b+1,令||>0,可得x≠±1,可知f(x)的定义域为{x|x≠±1};因为f(x)是奇函数,则f(0)=b+1=0,解得b=-1,可得f(x)=ln||,则f(x)+f(-x)=ln||+ln||=ln 1=0,即f(x)=-f(-x),可知f(x)是奇函数.综上,b=-1.
(2)由(1)可知f(x)=ln||=ln|-1|,令t=-1,则y=ln |t|,因为t=-1在(,1)上单调递减,当x=时,t=e,当x=1时,t=0,所以t∈(0,e),即|t|∈(0,e),且y=ln x在定义域内为增函数,则y17.(15分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2,4).
(1)求a的值;
(2)设F(x)=22x+2-2x-2m[f(x)-],求F(x)在[0,1]上的最小值g(m)的表达式,并求g(m)的最值.
【解】 (1)由题意,a2=4,而a>0且a≠1,故a=2.
(2)由(1)知a=2,则f(x)=2x.令t=f(x)-,则t=2x-=2x-=2x-2-x,
考虑到y=2x和y=-都是增函数,所以t=2x-=2x-是增函数,故x∈[0,1]时,t∈[0,],
而22x+2-2x=+2=t2+2,所以F(x)可看作h(t)=t2-2mt+2,t∈[0,],对称轴为t=m,
①m≤0时,h(t)的最小值,也是F(x)在[0,1]上的最小值,为h(0)=2,
②0③m≥时,h(t)的最小值,也是F(x)在[0,1]上的最小值,为h()=-3m+,
所以g(m)=
易知0综上所述,g(m)的最大值是2,无最小值.
18.(17分)科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料,该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位:g)的函数.研究过程中的部分数据如下表:
x(单位:g) 0 2 6 10 …
y -4 8 8 …
已知当x≥7时,y=,其中m为常数.当0≤x<7时,y和x的关系为以下三种函数模型中的一个:①y=ax2+bx+c;②y=k·ax(a>0且a≠1);③y=kloga x(a>0且a≠1),其中k,a,b,c均为常数.
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系,并求出其解析式;
(2)求该新材料的含量x为多少克时,产品的性能达到最大.
【解】 (1)由表格知当x=0时,y=-4,若选①y=ax2+bx+c,则c=-4,若选②y=k·ax(a>0且a≠1),则k=-4,此时y=-4ax(a>0且a≠1)不满足x=2时,y=8,故不选,若选③y=kloga x(a>0且a≠1),x=0时无意义,故不选,所以选①的函数模型来描述x,y之间的关系,当x=2,y=8时,4a+2b=12;当x=6,y=8时,36a+6b=12,联立
解得又c=4,所以当0≤x<7时,y=-x2+8x-4.
(2)由(1)知,当0≤x<7时,y=-x2+8x-4,又当x≥7时,y=,将x=10,y=代入上式有= 3-2=3m-10,解得m=8,即当x≥7时,y=,
综上,y=
当0≤x<7时,y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,所以当x=4时,ymax=12;当x≥7时,y=单调递减,所以当x=7时,ymax==3,故当新材料的含量x=4 g时,产品的性能达到最大.
19.(17分)定义:若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都有唯一的x2使f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数f(x)为“伴随函数”.
(1)判断g(x)=ln x是否为“伴随函数”,并说明理由;
(2)若函数f(x)=2 024x-t在定义域[m,n]上为“伴随函数”,试证明:m+n=2t;
(3)已知函数h(x)=(x-a)2(a≤2)在[,3]上为“伴随函数”,若 x∈[,3], t∈(1,+∞),恒有k·h(x)≤logt16+log2t-x,求k的取值范围.
(1) 【解】 函数g(x)=ln x的定义域为(0,+∞),取x1=1,则g(x1)=ln x1=ln 1=0,此时不存在x2∈(0,+∞),使得g(x1)g(x2)=1,因此函数g(x)=ln x不是“伴随函数”.
(2)【证明】 因为函数f(x)=2 024x-t在定义域[m,n]上为增函数,则存在x1∈[m,n],使得f(x1)·f(m)=1,
若x1∈[m,n),则f(m)·f(x1)=1f(n)f(m),矛盾,故x1=n,所以f(m)f(n)=2 024m-t·2 024n-t=2 024m+n-2t=1,所以m+n-2t=0,即m+n=2t.
(3)【解】 若≤a≤2,则当x∈[,3]时,h(x)min=h(a)=0,此时不存在x0∈[,3],使得h(a)h(x0)=1,则函数h(x)不是“伴随函数”,所以a<,
所以函数h(x)=(x-a)2在[,3]上单调递增,则h(x)min=h()=,h(x)max=h(3)=(3-a)2,由“伴随函数”的定义可得h()h(3)=(3-a)2=1,因为a<,解得a=0,即h(x)=x2,x∈[,3],当t>1时,ln t>0,则logt16+log2t=+=+≥2=4,当且仅当=(t>1),即t=4时,等号成立,因为 x∈[,3], t∈(1,+∞),恒有k·h(x)≤logt 16+log2 t-x,则kx2≤4-x,
所以k≤-,令q=∈[,3],则k≤4q2-q,由题意可得k≤,令s(q)=4q2-q,q∈[,3],函数s(q)在[,3]上单调递增,所以s(q)max=s(3)=36-3=33,则k≤33,
因此,实数k的取值范围是(-∞,33].(共32张PPT)
章末复习提升
核心题型突破
1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化,对数、指数的运算性质以及换底公式等,会利用运算性质进行化简、计算、证明.
2.指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
3.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质、对数恒等式、换底公式及其推论.
题型一　指数、对数的运算
64
C
题型二　指数、对数函数的图象及应用
1.已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”,解此类题要注意利用定义域、奇偶性、单调性、关键点和关键线,注意指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移、对称、翻折等变换.
2.判断方程的根的个数或解不等式时,通常不具体解方程或不等式,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.
ACD
A
[A] [B] [C] [D]
题型三　指数、对数性质的应用
1.以函数的性质为依托,结合运算考查函数的图象性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.在解含对数式的方程或不等式时,不能忘记对数中真数大于0,以免出现增根或扩大范围.
2.要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用函数的单调性进行转化,对含参数的问题进行分类讨论.
3.含有指数式或对数式的函数也常使用换元法.
C
B
1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间,主要利用了转化思想,把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题.
2.掌握函数零点存在定理及转化思想,提升逻辑推理和直观想象的核心素养.
题型四　函数的零点
[典例4] (2022·天津卷)设a∈R,对任意实数x,记f(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5}.
若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为　　　　.
[10,+∞)
此时函数f(x)只有两个零点,不符合题意;
③当a=10时,g(x)=x2-10x+25,作出函数g(x),h(x)的图象如下图所示:
由图可知,函数f(x)的零点个数为3,符合题意;
B
题型五　函数模型的应用
1.已知函数模型解决实际问题,高考中以此类问题为主.解此类问题的关键是理解已知函数模型中有关参数的实际意义,多数题目需要根据已知条件先求得已知函数模型中的的参数,熟练掌握指数和对数运算是基本功.
2.根据实际问题构建出切合实际的函数模型,并应用函数模型解决实际问题,实际命题时,一般会提供一些常见的函数模型,关键是利用题目的条件正确选择函数模型.
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　 　)
[A]p1≥p2 [B]p2>10p3
[C]p3=100p0 [D]p1≤100p2
ACD
D
感谢观看章末复习提升
题型一　指数、对数的运算
1.指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化,对数、指数的运算性质以及换底公式等,会利用运算性质进行化简、计算、证明.
2.指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
3.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质、对数恒等式、换底公式及其推论.
[典例1] (2024·全国甲卷)已知a>1,且-=-,则a等于　　　　.
又a>1,所以log2a=6=log226,故a=26=64.
[跟踪训练] (2022·浙江卷)已知2a=5,log83=b,则4a-3b等于(　　)
[A]25 [B]5
[C] [D]
题型二　指数、对数函数的图象及应用
1.已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”,解此类题要注意利用定义域、奇偶性、单调性、关键点和关键线,注意指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移、对称、翻折等变换.
2.判断方程的根的个数或解不等式时,通常不具体解方程或不等式,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.
[典例2] (多选)已知函数f(x)=若存在不相等的实数a,b,c,d满足a[A]k∈(0,1]
[B]a+b=-6
[C]cd=1
[D]a+b+c+d的取值范围为(-2,]
B选项,由对称性可知,a+b=2×(-2)=-4,B错误;C选项,令-lg x=1,解得x=,故≤c<1,令lg x=1,解得x=10,故1所以y=c+∈(2,],a+b+c+d=c+-4∈(-2,],D正确.故选ACD.
[跟踪训练] 函数f(x)=的部分图象大致为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
且f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除B,D;又当0题型三　指数、对数性质的应用
1.以函数的性质为依托,结合运算考查函数的图象性质,以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.在解含对数式的方程或不等式时,不能忘记对数中真数大于0,以免出现增根或扩大范围.
2.要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用函数的单调性进行转化,对含参数的问题进行分类讨论.
3.含有指数式或对数式的函数也常使用换元法.
[典例3] (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln (x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(　　)
[A] [B] [C] [D]1
则当x∈(-b,1-b)时,ln (x+b)<0,故x+a≤0,所以1-b+a≤0;当x∈(1-b,+∞)时,ln (x+b)>0,故x+a≥0,所以1-b+a≥0;
故1-b+a=0, 则a2+b2=a2+(a+1)2=2(a+)2+≥,
当且仅当a=-,b=时,等号成立,所以a2+b2的最小值为.故选C.
[跟踪训练] (2024·北京卷)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则(　　)
[A]log2<
[B]log2>
[C]log2[D]log2>x1+x2
对于选项A,B,可得>=,即>>0,根据函数y=log2x是增函数,所以log2>log2=,故B正确,A错误;对于选项C,例如x1=-1,x2=-2,则y1=,y2=,可得log2=log2=log23-3∈(-2,-1),即log2>-3=x1+x2,故C错误;对于选项D,例如x1=0,x2=1,则y1=1,y2=2,可得log2=log2∈(0,1),即log2<1=x1+x2,故D错误.故选B.
题型四　函数的零点
1.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间,主要利用了转化思想,把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题.
2.掌握函数零点存在定理及转化思想,提升逻辑推理和直观想象的核心素养.
[典例4] (2022·天津卷)设a∈R,对任意实数x,记f(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5}.若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为　　　　.
则函数g(x)至少有一个零点,则Δ=a2-12a+20≥0,解得a≤2或a≥10.
①当a=2时,g(x)=x2-2x+1,作出函数g(x),h(x)的图象如下图所示:
此时函数f(x)只有两个零点,不符合题意;
②当a<2时,设函数g(x)的两个零点分别为x1,x2(x1所以无解;
③当a=10时,g(x)=x2-10x+25,作出函数g(x),h(x)的图象如下图所示:
由图可知,函数f(x)的零点个数为3,符合题意;
④当a>10时,设函数g(x)的两个零点分别为x3,x4(x3可得解得a>4,此时a>10.综上所述,实数a的取值范围是[10,+∞).
[跟踪训练] 已知函数f(x)=-,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是(　　)
[A](0,) [B](,)
[C](,1) [D](1,4)
f()=-<0(因为指数函数y=在R上单调递减),f(1)=-1=-<0,f(4)题型五　函数模型的应用
1.已知函数模型解决实际问题,高考中以此类问题为主.解此类问题的关键是理解已知函数模型中有关参数的实际意义,多数题目需要根据已知条件先求得已知函数模型中的的参数,熟练掌握指数和对数运算是基本功.
2.根据实际问题构建出切合实际的函数模型,并应用函数模型解决实际问题,实际命题时,一般会提供一些常见的函数模型,关键是利用题目的条件正确选择函数模型.
[典例5] (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
[A]p1≥p2 [B]p2>10p3
[C]p3=100p0 [D]p1≤100p2
对于选项A,可得-=20×lg -20×lg =20×lg ,因为≥,则-=20×lg ≥0,即lg ≥0,
所以≥1且p1,p2>0,可得p1≥p2,故A正确;对于选项B,可得-=20×lg -20×lg =20×lg ,因为-=-40≥10,则20×lg ≥10,即lg ≥,所以≥且p2,p3>0,可得p2≥p3,当且仅当=50时,等号成立,故B错误;
对于选项C,因为=20×lg =40,即lg =2,
可得=100,即p3=100p0,故C正确;
对于选项D,由选项A的分析可知,-=20×lg ,且-≤90-50=40,则20×lg ≤40,即lg ≤2,可得≤100,且p1,p2>0,所以p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
[跟踪训练] (2024·北京卷)生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　)
[A]3N2=2N1 [B]2N2=3N1
[C]= [D]=
第四章　章末检测卷
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在下列区间中,一定包含函数f(x)=2x+x-5的零点的是(　　)
[A](0,1) [B](1,2) [C](2,3) [D](3,4)
2.若2x=3,y=log8,则x+3y的值是(　　)
[A]3 [B]log34
[C]2 [D]-2
3.函数f(x)=ln(x2-2x-3)的单调递减区间是(　　)
[A](-∞,1) [B](1,+∞)
[C](-∞,-1) [D]无单调递减区间
ln u在定义域内单调递增,且u=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,可知f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1).故选C.
4.设a=log36,b=21.2,c=0.51.2,则(　　)
[A]b[C]c故选C.
5.在同一平面直角坐标系中画出函数y=loga x,y=ax,y=x+a的图象,正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
6.如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=lox,y=,y=的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为(　　)
[A](,) [B](,)
[C](,) [D](,)
7.已知甲和乙刚开始的“日能力值”相同,之后甲通过学习,“日能力值”都在前一天的基础上进步3%,而乙疏于学习,“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.若要使甲的“日能力值”达到乙的“日能力值”的20倍,则大约需要经过的天数为(参考数据:lg 103≈2.012 8,lg 99≈1.995 6,lg 2≈
0.301 0)(　　)
[A]76 [B]77 [C]78 [D]79
lg 20,因此n==≈76,所以大约需要经过76天,甲的“日能力值”是乙的“日能力值”的20倍.故选A.
8.若函数f(x)=存在最大值,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-∞,] [B](0,]
[C](-,] [D](0,]
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数是奇函数,且满足对任意x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0的是(　　)
[A]f(x)=lox2
[B]f(x)=
[C]f(x)=
[D]f(x)=lg(x+)
对于A,函数f(x)=lo x2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=lo(-x)2=lo x2=f(x),f(x)不是奇函数,A错误;
对于B,y=-e-x与y=ex在R上都为增函数,故f(x)在R上为增函数,f(-x)==-f(x),
所以f(x)=是在(0,+∞)上单调递增的奇函数,B正确;
对于C,f(x)==-1+,易知f(x)在(0,+∞)上单调递减,C错误;
对于D,函数f(x)=lg(x+)的定义域为R,函数y=x+在(0,+∞)上单调递增,又y=lg u在定义域内是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(-x)=lg(-x+)=lg()=-lg(x+)=-f(x),f(x)是奇函数,D正确.故选BD.
10.下列命题中正确的是(　　)
[A]已知函数f(x)=,若函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,则a的取值范围是(0,1]
[B]函数f(x)=-4·+2在[0,3]上的值域为[1,2]
[C]若关于x的方程|2x-1|=m的两根分别为a,b,且a[D]函数f(x)=x-+2,则不等式f(t2)+f(2t-3)>2的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞)
有()x-∈[-,],得[()x-]2∈[0,],所以函数f(x)=()x-1-4·()x+2在[0,3]上的值域为[1,2],B选项正确;若关于x的方程|2x-1|=m的两根分别为a,b,且ax-+1+(-x-+1)=0,即g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,又y=-及y=x+1都是增函数,所以g(x)为增函数,所以f(t2)+f(2t-3)>2 f(t2)-1+f(2t-3)-1>0 g(t2)+g(2t-3)>0,即g(t2)>-g(2t-3)=g(3-2t),故t2>3-2t,解得t∈(-∞,-3)∪(1,+∞),D选项正确.故选BCD.
11.已知f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值可能是(　　)
[A]e [B]1
[C]-1 [D]-e
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　.
13.已知函数f(x)=lo(ax2-2x-1)在[2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
14.已知f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有5个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　.
即函数h(t)=t2-at-1有两个零点,-12或-1当-1即h(-1)=a=0,所以h(t)=t2-1=0有两根-1和1,符合题意;
当-12时,又h(0)=-1,
所以解得a>.
综上,a的取值范围为{0}∪(,+∞).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)求值:
(1)2×3×;
(2)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0;
(3)已知-=2,求式子的值.
(2)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0=log3+lg 100+2+1=+2+3=.
(3)因为-=2,显然a>0,则=a+a-1-2=12,即a+a-1=14,
又因为=a+a-1+2=16,且+>0,可得+=4,所以==.
16.(15分)设奇函数f(x)=ln|-e|+b.(e为自然对数的底数,e≈2.718 28…)
(1)求f(x)的定义域和b;
(2)若x∈(,1),求函数f(x)的值域.
(2)由(1)可知f(x)=ln||=ln|-1|,令t=-1,则y=ln |t|,因为t=-1在(,1)上单调递减,当x=时,t=e,当x=1时,t=0,所以t∈(0,e),即|t|∈(0,e),且y=ln x在定义域内为增函数,则y17.(15分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2,4).
(1)求a的值;
(2)设F(x)=22x+2-2x-2m[f(x)-],求F(x)在[0,1]上的最小值g(m)的表达式,并求g(m)的最值.
(2)由(1)知a=2,则f(x)=2x.令t=f(x)-,则t=2x-=2x-=2x-2-x,
考虑到y=2x和y=-都是增函数,所以t=2x-=2x-是增函数,故x∈[0,1]时,t∈[0,],
而22x+2-2x=+2=t2+2,所以F(x)可看作h(t)=t2-2mt+2,t∈[0,],对称轴为t=m,
①m≤0时,h(t)的最小值,也是F(x)在[0,1]上的最小值,为h(0)=2,
②0③m≥时,h(t)的最小值,也是F(x)在[0,1]上的最小值,为h()=-3m+,
所以g(m)=
易知0综上所述,g(m)的最大值是2,无最小值.
18.(17分)科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料,该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位:g)的函数.研究过程中的部分数据如下表:
x(单位:g) 0 2 6 10 …
y -4 8 8 …
已知当x≥7时,y=,其中m为常数.当0≤x<7时,y和x的关系为以下三种函数模型中的一个:①y=ax2+bx+c;②y=k·ax(a>0且a≠1);③y=kloga x(a>0且a≠1),其中k,a,b,c均为常数.
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系,并求出其解析式;
(2)求该新材料的含量x为多少克时,产品的性能达到最大.
解得又c=4,所以当0≤x<7时,y=-x2+8x-4.
(2)由(1)知,当0≤x<7时,y=-x2+8x-4,又当x≥7时,y=,将x=10,y=代入上式有= 3-2=3m-10,解得m=8,即当x≥7时,y=,
综上,y=
当0≤x<7时,y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,所以当x=4时,ymax=12;当x≥7时,y=单调递减,所以当x=7时,ymax==3,故当新材料的含量x=4 g时,产品的性能达到最大.
19.(17分)定义:若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都有唯一的x2使f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数f(x)为“伴随函数”.
(1)判断g(x)=ln x是否为“伴随函数”,并说明理由;
(2)若函数f(x)=2 024x-t在定义域[m,n]上为“伴随函数”,试证明:m+n=2t;
(3)已知函数h(x)=(x-a)2(a≤2)在[,3]上为“伴随函数”,若 x∈[,3], t∈(1,+∞),恒有k·h(x)≤logt16+log2t-x,求k的取值范围.
若x1∈[m,n),则f(m)·f(x1)=1f(n)f(m),矛盾,故x1=n,所以f(m)f(n)=2 024m-t·2 024n-t=2 024m+n-2t=1,所以m+n-2t=0,即m+n=2t.
所以函数h(x)=(x-a)2在[,3]上单调递增,则h(x)min=h()=,h(x)max=h(3)=(3-a)2,由“伴随函数”的定义可得h()h(3)=(3-a)2=1,因为a<,解得a=0,即h(x)=x2,x∈[,3],当t>1时,ln t>0,则logt16+log2t=+=+≥2=4,当且仅当=(t>1),即t=4时,等号成立,因为 x∈[,3], t∈(1,+∞),恒有k·h(x)≤logt 16+log2 t-x,则kx2≤4-x,
所以k≤-,令q=∈[,3],则k≤4q2-q,由题意可得k≤,令s(q)=4q2-q,q∈[,3],函数s(q)在[,3]上单调递增,所以s(q)max=s(3)=36-3=33,则k≤33,
因此,实数k的取值范围是(-∞,33].

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