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第2课时　集合的表示
【课程标准要求】　1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.
知识归纳
知识点一　列举法
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
(1)元素间用“,”隔开.
(2)当元素个数较少时,把元素一一列举出来并用“{　}”括起来即可.
(3)当元素个数较多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚,然后加省略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}.
知识点二　描述法
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
(1)写清集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.
(2)语言简明、准确,不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的.
(3)所有描述的内容都要写在花括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N*”不符合要求,应将“m∈N*”写进“{　}”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N*}.
(4)对于元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系看,若x∈R是明确的,则x∈R可以省略,只写其元素x.如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1或x>1}.
(6)“{　}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但写成{x|x是所有实数},{x|x是全体实数},{x|x是实数集},{R}都是错误的.
(7)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数},{实数}等.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P5习题1.1 T2改编)方程x2-3x+2=0的所有实数根组成的集合为(　　)
[A]{x=1,y=2} [B](1,2)
[C]{1,2} [D]{(1,2)}
【答案】 C
【解析】 解方程x2-3x+2=0,得x=1或x=2,解集为{1,2}.故选C.
2.已知集合M={1,5,9,13,17},则M=(　　)
[A]{x|x=2n+1,n∈N,n≤8}
[B]{x|x=2n-1,n∈N,n≤9}
[C]{x|x=4n+1,n∈N,n≤4}
[D]{x|x=4n-3,n∈N,n≤5}
【答案】 C
【解析】 因为集合M={1,5,9,13,17},根据集合中5个元素的特点知x=1+4n,n∈N,n≤4,所以{x|x=4n+1,n∈N,n≤4}.故选C.
3.若集合A={-a,|a|},则a应满足(　　)
[A]a>0 [B]a<0
[C]a=0 [D]a≤0
【答案】 A
【解析】 由元素的互异性可知|a|≠-a,所以a>0.故选A.
4.已知集合M={(2,-2),2,-2},则集合M中元素的个数是　　　　.
【答案】 3
【解析】 集合M中有3个元素,分别是(2,-2),2,-2,注意(2,-2)是一个元素.
题型一　用列举法表示集合
[例1] 用列举法表示下列集合:
(1)不小于-5的所有负整数组成的集合A;
(2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合B;
(3)直线y=2x+2与x轴的交点所组成的集合C;
(4)由所有正奇数组成的集合D.
【解】 (1)A={-5,-4,-3,-2,-1}.
(2)因为方程x2+x=0的解为x=-1或x=0,所以B={-1,0}.
(3)由得即所求交点为(-1,0),所以C={(-1,0)}.
(4)正奇数有1,3,5,7,…,所以D={1,3,5,7,…}.
适合用列举法表示的集合的特征
(1)含有有限个元素且个数较少的集合.
(2)元素较多,但排列呈现有一定规律的集合.
(3)元素特征不容易统一表述的集合,例如{2,x2+3,π}.
[变式训练] 用列举法表示下列集合(只写出结果):
(1)中国国旗的颜色名称组成的集合;
(2)满足-3≤x<3且x∈Z的元素x组成的集合;
(3)15的正约数组成的集合;
(4)方程组的解集.
【解】 (1){红色,黄色}.
(2){-3,-2,-1,0,1,2}.
(3){1,3,5,15}.
(4){(1,2)}.
题型二　用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合:
(1)在自然数集内,小于1 000的奇数组成的集合;
(2)二次函数y=2x2+1的图象上所有的点组成的集合;
(3)二次函数y=2x2+1的函数值组成的集合;
(4)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合.
【解】 (1){x|x=2n+1且x<1 000,n∈N}.
(2){(x,y)|y=2x2+1,x∈R}.
(3){y|y≥1,y∈R}.
(4){(x,y)|x<0且y>0,x∈R,y∈R}.
用描述法表示集合的步骤
(1)写出代表元素:弄清楚集合的元素是数、点还是其他形式,一般地,数用字母表示,点用有序实数对表示.
(2)明确元素的特征:语言力求简明、准确,对代表元素以外的字母要指出其含义或取值范围.
(3)用花括号括起来:一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件.
[变式训练] (苏教版必修第一册P7例2)用描述法表示下列集合:
(1)大于1的所有偶数组成的集合;
(2)不等式2x-3>5的解集.
【解】 (1)设大于1的偶数为x,并且满足条件x>1,x=2k,k∈N.
因此,这个集合表示为A={x|x>1,x=2k,k∈N}.
(2)由2x-3>5可得x>4,故不等式2x-3>5的解集为{x∈R|x>4}.
题型三　由集合元素个数求参数
[例3] 已知集合A={x∈R|(a2-1)x2+2(a+1)x+1=0,a∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
【解】 (1)若A中只有一个元素,则方程(a2-1)x2+2(a+1)x+1=0有且只有一个实数根.
①若解得a=1,此时方程为4x+1=0,解得x=-,即集合A中的元素是-.
②若无解.
综上所述,若A中只有一个元素,则a=1,此时集合A中的元素是-.
(2)由(1)知,当集合A中只有一个元素时,a=1;当集合A中有两个元素时,
解得a>-1,且a≠1.
综上,a的取值范围是{a|a>-1}.
此类问题往往用集合表示方程的解集,集合中的元素就是方程的实数根,若是求解一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解.
[变式训练] 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中至多有一个元素,求k的取值范围.
【解】 因为集合A={x|kx2-8x+16=0}中至多有一个元素,
当k=0时,A={x|-8x+16=0}={2},符合题意;
当k≠0时,则Δ=64-64k≤0,解得k≥1.
综上所述,k的取值范围为{k|k≥1或k=0}.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知集合A={x|x>1且x∈N},则(　　)
[A]0∈A [B]π∈A
[C]∈A [D]1 A
【答案】 D
【解析】 A={2,3,4,5,…}.故选D.
2.已知集合A={x|x(x+1)=0},则下列结论正确的是(　　)
[A]0∈A [B]1∈A
[C]-1 A [D](0,-1)∈A
【答案】 A
【解析】 由方程x(x+1)=0,解得x=0或x=-1,所以A={0,-1},所以0∈A,1 A,-1∈A,(0,-1) A.故选A.
3.(多选)一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是(　　)
[A]{1,-2}
[B]{x=1,y=-2}
[C]{(1,-2)}
[D]{(x,y)|}
【答案】 CD
【解析】 解方程组得故一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是{(x,y)|}或{(1,-2)},而{1,-2},{x=1,y=-2}为数集,不符合题意.故选CD.
4.能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为(　　)
[A]{x|x=8k,k∈N}
[B]{x|x=8k+8,k∈N}
[C]{1,2,4}
[D]{1,2,4,8}
【答案】 B
【解析】 能被8整除的所有正整数组成的集合应含有无限个元素,因此C,D排除;利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合,选项A中的集合包含0,不符合正整数的要求,因此A排除;而选项B符合能被8整除的所有正整数组成的集合.故选B.
5.(多选)下列说法正确的有(　　)
[A]10以内的质数组成的集合是{0,2,3,5,7}
[B]由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2}
[C]方程x2-2x+1=0的解集是{1,1}
[D]在平面直角坐标系内,第一、第三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy>0}
【答案】 BD
【解析】 0不是质数,故A错误;根据集合中元素的无序性可知{1,2,3}={3,1,2},故B正确;根据集合中元素的互异性可知方程x2-2x+1=0的解集是{1},故C错误;第一象限内的点(x,y)满足x>0,y>0,第三象限内的点(x,y)满足x<0,y<0,故D正确.故选BD.
6.若a∈{1,2,a3},则a的所有可能取值构成的集合为(　　)
[A]{0} [B]{0,-1}
[C]{0,2} [D]{0,-1,2}
【答案】 D
【解析】 若a=1,则a3=1,显然不满足集合中元素的互异性;若a=2,则a3=8,此时集合为{1,2,8};若a=a3,则a=0或a=-1(a=1舍去),当a=0时,集合为{0,1,2},当a=-1时,集合为{-1,1,2}.综上,a的取值集合为{0,-1,2}.故选D.
7.(5分)若集合A={(x,y)|},用列举法表示集合A,则A=　　　　　.
【答案】 {(-2,2),(1,2)}
【解析】 由解得或所以集合A={(-2,2),(1,2)}.
8.(5分)若 -5∈{x|x2-ax-5=0},则集合 {x|x2-3x+a=0}中所有元素之和为　　　　.
【答案】 3
【解析】 -5∈{x|x2-ax-5=0},则有(-5)2-a(-5)-5=0,解得a=-4,所以方程x2-3x+a=0,即为x2-3x-4=0,解得x=4或x=-1,所以{x|x2-3x-4=0}={4,-1},故所有元素之和为3.
9.(14分)用另一种方法表示下列集合:
(1){-3,-1,1,3,5};
(2){1,22,32,42,…};
(3)M={2,3},P={(x,y)|x∈M,y∈M},写出集合P;
(4)集合A={x∈Z|-2≤x≤2},B={x2-1|x∈A},写出集合B.
【解】 (1)利用描述法表示为{x|x=2k-1,k∈Z,且-1≤k≤3}或{x|(x+3)(x+1)(x-1)(x-3)(x-5)=0}.
(2)利用描述法表示为{x|x=n2,n∈N*}.
(3)利用列举法表示为P={(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}.
(4)利用列举法表示为B={3,0,-1}.
10.(14分)已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求实数a的值,并用列举法表示集合M.
【解】 根据集合中元素的互异性知,当方程(x-a)(x2-ax+a-1)=0有重根时,重根只能算作集合的一个元素,由(x-a)(x2-ax+a-1)=(x-a)(x-1)[x-(a-1)]=0,
当a=1时,可得M={0,1},不符合题意;当a-1=1,即a=2时,可得M={1,2},符合题意;
当a≠1且a≠2时,M={1,a,a-1},可得1+a+a-1=3,解得a=,此时M={,1,},符合题意.
综上可得,实数a的值为2或.当a=2时,M={1,2};当a=时,M={,1,}.
11.已知集合A={x∈Z|-1≤x[A]4[C]3≤m<4 [D]3【答案】 D
【解析】 由题意可知A={-1,0,1,2,3},可得312.(多选)集合A={x∈N|∈N}还可以表示为(　　)
[A]{3,6}
[B]{x|x(x2-3x+2)=0}
[C]{0,1,2}
[D]{x∈N|-1≤x<3}
【答案】 BCD
【解析】 A={x∈N|∈N}={0,1,2},选项A不符合;
{x|x(x2-3x+2)=0}={x|x(x-1)(x-2)=0}={0,1,2},选项B符合;选项C符合;
{x∈N|-1≤x<3}={0,1,2},选项D符合.故选BCD.
13.(14分)(1)求方程组的解集;
(2)若关于x,y的方程组的解集中只有一个元素,求实数k的值.
【解】 (1)由消去y整理得x2+2(2x-1)2=3,解得x1=1,x2=-,
所以方程组的解为或所以方程组的解集为{(1,1),(-,-)}.
(2)由消去y整理得k2x2+(2k-4)x+1=0.
当k=0时,解得x=,此时方程组的解为符合题意;当k≠0时,则Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,此时方程组的解为符合题意.综上可得k=0或k=1.
14.(5分)已知集合A={1,2,3,4,5},平面直角坐标系xOy中的点集B={(x,y)|x∈A,y∈A,
x-y∈A}.若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集B中的所有点,则这张纸片的面积至少是　　 　　.
【答案】
【解析】 因为A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},
所以B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},
如图,所以这张纸片的面积至少是×3×3=.(共32张PPT)
第2课时　集合的表示
1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　列举法
知识归纳
把集合的所有元素 出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
一一列举
·疑难解惑·
(1)元素间用“,”隔开.
(2)当元素个数较少时,把元素一一列举出来并用“{　}”括起来即可.
(3)当元素个数较多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚,然后加省略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}.
知识点二　描述法
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ,这种表示集合的方法称为描述法.
{x∈A|P(x)}
·疑难解惑·
(1)写清集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.
(2)语言简明、准确,不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的.
(3)所有描述的内容都要写在花括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N*”不符合要求,应将“m∈N*”写进“{　}”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N*}.
·疑难解惑·
(4)对于元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系看,若x∈R是明确的,则x∈R可以省略,只写其元素x.如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<
-1或x>1}.
(6)“{　}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但写成{x|x是所有实数},{x|x是全体实数},{x|x是实数集},{R}都是错误的.
·疑难解惑·
(7)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数},{实数}等.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P5习题1.1 T2改编)方程x2-3x+2=0的所有实数根组成的集合为(　　)
[A]{x=1,y=2} [B](1,2)
[C]{1,2} [D]{(1,2)}
C
【解析】 解方程x2-3x+2=0,得x=1或x=2,解集为{1,2}.故选C.
2.已知集合M={1,5,9,13,17},则M=(　　)
[A]{x|x=2n+1,n∈N,n≤8}
[B]{x|x=2n-1,n∈N,n≤9}
[C]{x|x=4n+1,n∈N,n≤4}
[D]{x|x=4n-3,n∈N,n≤5}
C
【解析】 因为集合M={1,5,9,13,17},根据集合中5个元素的特点知x=1+4n,
n∈N,n≤4,所以{x|x=4n+1,n∈N,n≤4}.故选C.
3.若集合A={-a,|a|},则a应满足(　　)
[A]a>0 [B]a<0
[C]a=0 [D]a≤0
A
【解析】 由元素的互异性可知|a|≠-a,所以a>0.故选A.
4.已知集合M={(2,-2),2,-2},则集合M中元素的个数是　　　　.
3
【解析】 集合M中有3个元素,分别是(2,-2),2,-2,注意(2,-2)是一个元素.
关键能力·素养培优
[例1] 用列举法表示下列集合:
(1)不小于-5的所有负整数组成的集合A;
题型一　用列举法表示集合
【解】 (1)A={-5,-4,-3,-2,-1}.
(2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合B;
【解】 (2)因为方程x2+x=0的解为x=-1或x=0,所以B={-1,0}.
(3)直线y=2x+2与x轴的交点所组成的集合C;
(4)由所有正奇数组成的集合D.
【解】 (4)正奇数有1,3,5,7,…,所以D={1,3,5,7,…}.
·解题策略·
适合用列举法表示的集合的特征
(1)含有有限个元素且个数较少的集合.
(2)元素较多,但排列呈现有一定规律的集合.
(3)元素特征不容易统一表述的集合,例如{2,x2+3,π}.
[变式训练] 用列举法表示下列集合(只写出结果):
(1)中国国旗的颜色名称组成的集合;
【解】 (1){红色,黄色}.
(2)满足-3≤x<3且x∈Z的元素x组成的集合;
【解】 (2){-3,-2,-1,0,1,2}.
(3)15的正约数组成的集合;
【解】 (3){1,3,5,15}.
【解】 (4){(1,2)}.
题型二　用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合:
(1)在自然数集内,小于1 000的奇数组成的集合;
【解】 (1){x|x=2n+1且x<1 000,n∈N}.
(2)二次函数y=2x2+1的图象上所有的点组成的集合;
【解】 (2){(x,y)|y=2x2+1,x∈R}.
(3)二次函数y=2x2+1的函数值组成的集合;
【解】 (3){y|y≥1,y∈R}.
(4)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合.
【解】 (4){(x,y)|x<0且y>0,x∈R,y∈R}.
·解题策略·
用描述法表示集合的步骤
(1)写出代表元素:弄清楚集合的元素是数、点还是其他形式,一般地,数用字母表示,点用有序实数对表示.
(2)明确元素的特征:语言力求简明、准确,对代表元素以外的字母要指出其含义或取值范围.
(3)用花括号括起来:一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件.
[变式训练] (苏教版必修第一册P7例2)用描述法表示下列集合:
(1)大于1的所有偶数组成的集合;
【解】 (1)设大于1的偶数为x,并且满足条件x>1,x=2k,k∈N.
因此,这个集合表示为A={x|x>1,x=2k,k∈N}.
[变式训练] (苏教版必修第一册P7例2)用描述法表示下列集合:
(1)大于1的所有偶数组成的集合;
【解】 (1)设大于1的偶数为x,并且满足条件x>1,x=2k,k∈N.
因此,这个集合表示为A={x|x>1,x=2k,k∈N}.
(2)不等式2x-3>5的解集.
【解】 (2)由2x-3>5可得x>4,故不等式2x-3>5的解集为{x∈R|x>4}.
[例3] 已知集合A={x∈R|(a2-1)x2+2(a+1)x+1=0,a∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
题型三　由集合元素个数求参数
(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
·解题策略·
此类问题往往用集合表示方程的解集,集合中的元素就是方程的实数根,若是求解一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解.
[变式训练] 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中至多有一个元素,求k的取值范围.
【解】 因为集合A={x|kx2-8x+16=0}中至多有一个元素,
当k=0时,A={x|-8x+16=0}={2},符合题意;
当k≠0时,则Δ=64-64k≤0,解得k≥1.
综上所述,k的取值范围为{k|k≥1或k=0}.
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第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
第1课时　集合的概念
1.通过实例了解集合与元素的含义,能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　元素与集合的概念
知识归纳
1.元素:一般地,我们把 统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些 组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
3.集合相等:构成两个集合的元素是 的.
研究对象
元素
一样
·疑难解惑·
集合中的元素特征
(1)确定性:给定一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.
(2)互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的.
(3)无序性:集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换.
知识点二　元素与集合的关系
1.属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作 .
2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作 .
a∈A
a A
知识点三　常见的数集及表示符号
数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 有理 数集
符号 N 或N+ Z Q R
整数集
实数集
N*
·温馨提示·
(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写.
(2)0∈N.
基础自测
1.下列各项中,不能组成集合的是(　　)
[A]所有正数
[B]方程x2=1的实数根
[C]接近于0的数
[D]不等于0的偶数
C
【解析】 “接近于0的数”是不确定的元素,故不能组成集合.故选C.
2.(人教A版必修第一册P5练习T2改编)下列给出的元素与集合的关系,其中正确的个数为(　　)
B
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【解析】 R表示实数集,①正确;Z表示整数集,②正确;N*表示正整数集,③错误;Q表示有理数集,④错误.故选B.
3.若“maths”中的字母构成一个集合,则该集合中的元素有　　　　个;若“element”中的字母构成一个集合,该集合中的元素有　　　　个.
5
【解析】 “maths”中5个字母互不相同,共有5个元素m,a,t,h,s;“element”中的字母“e”重复出现3次,只能算1个元素,所以共有5个元素e,l,m,n,t.
5
4.已知集合P中含有两个元素1和4,集合Q中含有两个元素1和a2,若集合P与Q相等,则a=　 .
±2
【解析】 由题意得a2=4,a=±2.
关键能力·素养培优
[例1] (多选)考查下列每组对象,能构成集合的是(　 　)
[A]中国各地的美丽的乡村
[B]直角坐标系中横、纵坐标相等的点
[C]不小于3的自然数
[D]我省2025年参加高考的学生
题型一　集合的基本概念
BCD
【解析】 对于A,“美丽的”标准不明确,不符合确定性,无法构成集合,A错误;对于B,直角坐标系中横、纵坐标相等的点具有确定性,可以构成集合,B正
确;对于C,不小于3的自然数具有确定性,可以构成集合,C正确;对于D,我省2025年参加高考的学生具有确定性,可以构成集合,D正确.故选BCD.
·解题策略·
(1)判断研究对象是否能构成集合,关键在于能否满足确定性、互异性、无序性,同时还要注意集合中的元素具有广泛性,即任何一组确定的对象都可以组成集合,数、式、图形等都可以作为集合中的元素.
(2)若两个集合相等,则这两个集合的元素相同,但是要注意其中元素的顺序不一定一一对应.
[变式训练] (多选)下列各组中集合P与Q相等的是(　 　)
[B]P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合
[C]P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
[D]P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x(x+1)(x-1)=0的解构成的集合
AD
【解析】 由于A,D中P,Q的元素完全相同,所以集合P与Q相等,而B,C中P,Q的元素不相同,所以集合P与Q不相等.故选AD.
题型二　元素与集合的关系
ACD
·解题策略·
判断元素与集合的关系的方法
(1)直接法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
[变式训练] 用符号“∈”或“ ”填空:


∈

∈

(3)若面积为2的正方形的边长为a,则a　　　Q.
[例3] 已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-2是集合A中的元素,试求实数a的值.
题型三　由集合中元素的特征求参数
(2)-5能否为集合A中的元素 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
【解】(2)不能.理由如下:若-5∈A,则a-3=-5或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,
不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-2-3=-5,不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
·解题策略·
由集合中元素的特征求参数的一般步骤
(1)根据集合中元素的确定性,解出参数的所有值.
(2)根据集合中元素的互异性,对解出的值进行检验,舍去不符合题意的参数取值.
(3)写出所有符合题意的参数取值.
[变式训练] 已知集合A中含有三个元素0,1,x,若x2∈A,求实数x的值.
【解】 (1)当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,不符合题意.
(2)当x2=1时,得x=±1.
若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,不符合题意;
若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.
(3)当x2=x时,得x=0或x=1,由(1)(2)可知都不符合题意.
综上,x=-1.
感谢观看第1课时　集合的概念
【课程标准要求】　1.通过实例了解集合与元素的含义,能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号.
知识归纳
知识点一　元素与集合的概念
1.元素:一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
3.集合相等:构成两个集合的元素是一样的.
集合中的元素特征
(1)确定性:给定一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.
(2)互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的.
(3)无序性:集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换.
知识点二　元素与集合的关系
1.属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作 a∈A.
2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作 a A.
知识点三　常见的数集及表示符号
数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N N*或N+ Z Q R
(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写.
(2)0∈N.
基础自测
1.下列各项中,不能组成集合的是(　　)
[A]所有正数
[B]方程x2=1的实数根
[C]接近于0的数
[D]不等于0的偶数
2.(人教A版必修第一册P5练习T2改编)下列给出的元素与集合的关系,其中正确的个数为(　　)
①∈R;②2∈Z;③|-3| N*;④|-|∈Q.
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
3.若“maths”中的字母构成一个集合,则该集合中的元素有　　　　个;若“element”中的字母构成一个集合,该集合中的元素有　　　　个.
4.已知集合P中含有两个元素1和4,集合Q中含有两个元素1和a2,若集合P与Q相等,则a=　 .
题型一　集合的基本概念
[例1] (多选)考查下列每组对象,能构成集合的是(　　)
[A]中国各地的美丽的乡村
[B]直角坐标系中横、纵坐标相等的点
[C]不小于3的自然数
[D]我省2025年参加高考的学生
(1)判断研究对象是否能构成集合,关键在于能否满足确定性、互异性、无序性,同时还要注意集合中的元素具有广泛性,即任何一组确定的对象都可以组成集合,数、式、图形等都可以作为集合中的元素.
(2)若两个集合相等,则这两个集合的元素相同,但是要注意其中元素的顺序不一定一一
对应.
[变式训练] (多选)下列各组中集合P与Q相等的是(　　)
[A]P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合
[B]P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合
[C]P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
[D]P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x(x+1)(x-1)=0的解构成的
集合
题型二　元素与集合的关系
[例2] (多选)已知集合M中的元素x满足x=a+b,其中a,b∈Z,则下列选项中属于集合M的是(　　)
[A]0 [B]
[C] [D]3-1
判断元素与集合的关系的方法
(1)直接法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
[变式训练] 用符号“∈”或“ ”填空:
(1)0　　　N*,　　　N*,(-1)0　　　N*;
(2)设集合B是由小于的全体实数构成的集合,则2　　　　B,1+　　　　B;
(3)若面积为2的正方形的边长为a,则a　　　Q.
(2)2=>,由=3+2<11,得1+<,故依次填 ,∈.
(3)因为正方形的面积为2,所以a2=2,a>0,所以a=,所以a是无理数,所以a Q.
题型三　由集合中元素的特征求参数
[例3] 已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-2是集合A中的元素,试求实数a的值.
(2)-5能否为集合A中的元素 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
综上所述,满足题意的实数a的值为1或-.
(2)不能.理由如下:若-5∈A,则a-3=-5或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-2-3=-5,不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
由集合中元素的特征求参数的一般步骤
(1)根据集合中元素的确定性,解出参数的所有值.
(2)根据集合中元素的互异性,对解出的值进行检验,舍去不符合题意的参数取值.
(3)写出所有符合题意的参数取值.
[变式训练] 已知集合A中含有三个元素0,1,x,若x2∈A,求实数x的值.
(2)当x2=1时,得x=±1.
若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,不符合题意;
若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.
(3)当x2=x时,得x=0或x=1,由(1)(2)可知都不符合题意.
综上,x=-1.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.(多选)下列说法错误的是(　　)
[A]某校很喜爱足球的同学能组成一个集合
[B]联合国安理会常任理事国能组成一个集合
[C]由1,0,5,,,,组成的集合中有 7个元素
[D]由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4
3,4,故D错误.故选ACD.
2.(多选)下列说法正确的是(　　)
[A]N*中最小的数是1
[B]若-a N*,则a∈N*
[C]若a∈N*,b∈N*,则a+b的最小值是2
[D]N与N*是同一个集合
3.设不等式5-2x<0的解集为M,则下列关系中正确的是 (　　)
[A]0∈M,3∈M [B]0 M,3∈M
[C]0∈M,3 M [D]0 M,3 M
4.若以集合A中的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是(　　)
[A]梯形 [B]平行四边形
[C]菱形 [D]矩形
5.已知由a2,2-a,3组成的一个集合A,若A中元素的个数不是2,则实数a的取值可以是(　　)
[A]-1 [B]1 [C] [D]2
6.设集合A含有-2,1两个元素,集合B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为(　　)
[A]-8 [B]-16 [C]8 [D]16
7.(5分)若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M,则M中元素的个数为　　　　.
8.(5分)已知集合A是由偶数组成的,集合B是由奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b　　　A;ab　　　A.(填“∈”或“ ”)
9.(14分)设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x的值.
(2)因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且-2∈A,所以x=-2.
10.(14分)(1)已知集合A含有两个元素1和2,集合B是由表示方程x2+ax+b=0的解组成的集合,且A=B,求ba;
(2)已知集合A中含有1,a,b三个元素,集合B中含有a,a2,ab三个元素,若A=B,求a-b.
(2)由题意,1∈B且a≠1,从而a2=1或ab=1.当a2=1时,ab=b,由a≠1知,a=-1,b=0,此时符合A=B;
当ab=1时,a2=b,于是a3=1,即a=1,与a≠1矛盾.
综上,a=-1,b=0,所以a-b=-1.
11.已知x,y为非零实数,代数式++的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是(　　)
[A]0∈M [B]-1∈M
[C]2∈M [D]1∈M
12.(5分)设a∈R,若由-1,a,a2+2组成的集合S中的最大元素为3,则a=　　　　.
13.(15分)设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1,a≠0).求证:
(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;
(2)集合A不可能是单元素集.
(2)若A为单元素集,则a=,即a2-a+1=0,但Δ=(-1)2-4=-3<0,方程无实数解.所以a≠,所以集合A不可能是单元素集.
14.(5分)已知2,3,a2-3a,a++7组成集合M,a-1,3组成集合N,4∈M且4 N,则a的值为　　　　.
综上,a=-2.第2课时　集合的表示
【课程标准要求】　1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.
知识归纳
知识点一　列举法
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
(1)元素间用“,”隔开.
(2)当元素个数较少时,把元素一一列举出来并用“{　}”括起来即可.
(3)当元素个数较多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚,然后加省略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}.
知识点二　描述法
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
(1)写清集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.
(2)语言简明、准确,不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的.
(3)所有描述的内容都要写在花括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N*”不符合要求,应将“m∈N*”写进“{　}”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N*}.
(4)对于元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系看,若x∈R是明确的,则x∈R可以省略,只写其元素x.如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1或x>1}.
(6)“{　}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但写成{x|x是所有实数},{x|x是全体实数},{x|x是实数集},{R}都是错误的.
(7)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数},{实数}等.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P5习题1.1 T2改编)方程x2-3x+2=0的所有实数根组成的集合为(　　)
[A]{x=1,y=2} [B](1,2)
[C]{1,2} [D]{(1,2)}
2.已知集合M={1,5,9,13,17},则M=(　　)
[A]{x|x=2n+1,n∈N,n≤8}
[B]{x|x=2n-1,n∈N,n≤9}
[C]{x|x=4n+1,n∈N,n≤4}
[D]{x|x=4n-3,n∈N,n≤5}
3.若集合A={-a,|a|},则a应满足(　　)
[A]a>0 [B]a<0
[C]a=0 [D]a≤0
4.已知集合M={(2,-2),2,-2},则集合M中元素的个数是　　　　.
题型一　用列举法表示集合
[例1] 用列举法表示下列集合:
(1)不小于-5的所有负整数组成的集合A;
(2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合B;
(3)直线y=2x+2与x轴的交点所组成的集合C;
(4)由所有正奇数组成的集合D.
(2)因为方程x2+x=0的解为x=-1或x=0,所以B={-1,0}.
(3)由得即所求交点为(-1,0),所以C={(-1,0)}.
(4)正奇数有1,3,5,7,…,所以D={1,3,5,7,…}.
适合用列举法表示的集合的特征
(1)含有有限个元素且个数较少的集合.
(2)元素较多,但排列呈现有一定规律的集合.
(3)元素特征不容易统一表述的集合,例如{2,x2+3,π}.
[变式训练] 用列举法表示下列集合(只写出结果):
(1)中国国旗的颜色名称组成的集合;
(2)满足-3≤x<3且x∈Z的元素x组成的集合;
(3)15的正约数组成的集合;
(4)方程组的解集.
(2){-3,-2,-1,0,1,2}.
(3){1,3,5,15}.
(4){(1,2)}.
题型二　用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合:
(1)在自然数集内,小于1 000的奇数组成的集合;
(2)二次函数y=2x2+1的图象上所有的点组成的集合;
(3)二次函数y=2x2+1的函数值组成的集合;
(4)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合.
(2){(x,y)|y=2x2+1,x∈R}.
(3){y|y≥1,y∈R}.
(4){(x,y)|x<0且y>0,x∈R,y∈R}.
用描述法表示集合的步骤
(1)写出代表元素:弄清楚集合的元素是数、点还是其他形式,一般地,数用字母表示,点用有序实数对表示.
(2)明确元素的特征:语言力求简明、准确,对代表元素以外的字母要指出其含义或取值范围.
(3)用花括号括起来:一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件.
[变式训练] (苏教版必修第一册P7例2)用描述法表示下列集合:
(1)大于1的所有偶数组成的集合;
(2)不等式2x-3>5的解集.
因此,这个集合表示为A={x|x>1,x=2k,k∈N}.
(2)由2x-3>5可得x>4,故不等式2x-3>5的解集为{x∈R|x>4}.
题型三　由集合元素个数求参数
[例3] 已知集合A={x∈R|(a2-1)x2+2(a+1)x+1=0,a∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
①若解得a=1,此时方程为4x+1=0,解得x=-,即集合A中的元素是-.
②若无解.
综上所述,若A中只有一个元素,则a=1,此时集合A中的元素是-.
(2)由(1)知,当集合A中只有一个元素时,a=1;当集合A中有两个元素时,
解得a>-1,且a≠1.
综上,a的取值范围是{a|a>-1}.
此类问题往往用集合表示方程的解集,集合中的元素就是方程的实数根,若是求解一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是不是零,否则容易漏解.
[变式训练] 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中至多有一个元素,求k的取值范围.
当k=0时,A={x|-8x+16=0}={2},符合题意;
当k≠0时,则Δ=64-64k≤0,解得k≥1.
综上所述,k的取值范围为{k|k≥1或k=0}.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知集合A={x|x>1且x∈N},则(　　)
[A]0∈A [B]π∈A
[C]∈A [D]1 A
2.已知集合A={x|x(x+1)=0},则下列结论正确的是(　　)
[A]0∈A [B]1∈A
[C]-1 A [D](0,-1)∈A
3.(多选)一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是(　　)
[A]{1,-2}
[B]{x=1,y=-2}
[C]{(1,-2)}
[D]{(x,y)|}
4.能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为(　　)
[A]{x|x=8k,k∈N}
[B]{x|x=8k+8,k∈N}
[C]{1,2,4}
[D]{1,2,4,8}
5.(多选)下列说法正确的有(　　)
[A]10以内的质数组成的集合是{0,2,3,5,7}
[B]由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2}
[C]方程x2-2x+1=0的解集是{1,1}
[D]在平面直角坐标系内,第一、第三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy>0}
6.若a∈{1,2,a3},则a的所有可能取值构成的集合为(　　)
[A]{0} [B]{0,-1}
[C]{0,2} [D]{0,-1,2}
7.(5分)若集合A={(x,y)|},用列举法表示集合A,则A=　　　　　.
8.(5分)若 -5∈{x|x2-ax-5=0},则集合 {x|x2-3x+a=0}中所有元素之和为　　　　.
9.(14分)用另一种方法表示下列集合:
(1){-3,-1,1,3,5};
(2){1,22,32,42,…};
(3)M={2,3},P={(x,y)|x∈M,y∈M},写出集合P;
(4)集合A={x∈Z|-2≤x≤2},B={x2-1|x∈A},写出集合B.
(2)利用描述法表示为{x|x=n2,n∈N*}.
(3)利用列举法表示为P={(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}.
(4)利用列举法表示为B={3,0,-1}.
10.(14分)已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求实数a的值,并用列举法表示集合M.
当a=1时,可得M={0,1},不符合题意;当a-1=1,即a=2时,可得M={1,2},符合题意;
当a≠1且a≠2时,M={1,a,a-1},可得1+a+a-1=3,解得a=,此时M={,1,},符合题意.
综上可得,实数a的值为2或.当a=2时,M={1,2};当a=时,M={,1,}.
11.已知集合A={x∈Z|-1≤x[A]4[C]3≤m<4 [D]312.(多选)集合A={x∈N|∈N}还可以表示为(　　)
[A]{3,6}
[B]{x|x(x2-3x+2)=0}
[C]{0,1,2}
[D]{x∈N|-1≤x<3}
{x|x(x2-3x+2)=0}={x|x(x-1)(x-2)=0}={0,1,2},选项B符合;选项C符合;
{x∈N|-1≤x<3}={0,1,2},选项D符合.故选BCD.
13.(14分)(1)求方程组的解集;
(2)若关于x,y的方程组的解集中只有一个元素,求实数k的值.
所以方程组的解为或所以方程组的解集为{(1,1),(-,-)}.
(2)由消去y整理得k2x2+(2k-4)x+1=0.
当k=0时,解得x=,此时方程组的解为符合题意;当k≠0时,则Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,此时方程组的解为符合题意.综上可得k=0或k=1.
14.(5分)已知集合A={1,2,3,4,5},平面直角坐标系xOy中的点集B={(x,y)|x∈A,y∈A,
x-y∈A}.若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集B中的所有点,则这张纸片的面积至少是　　 　　.
所以B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},
如图,所以这张纸片的面积至少是×3×3=.第1课时　集合的概念
【课程标准要求】　1.通过实例了解集合与元素的含义,能利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号.
知识归纳
知识点一　元素与集合的概念
1.元素:一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
3.集合相等:构成两个集合的元素是一样的.
集合中的元素特征
(1)确定性:给定一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.
(2)互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的.
(3)无序性:集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换.
知识点二　元素与集合的关系
1.属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作 a∈A.
2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作 a A.
知识点三　常见的数集及表示符号
数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N N*或N+ Z Q R
(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写.
(2)0∈N.
基础自测
1.下列各项中,不能组成集合的是(　　)
[A]所有正数
[B]方程x2=1的实数根
[C]接近于0的数
[D]不等于0的偶数
【答案】 C
【解析】 “接近于0的数”是不确定的元素,故不能组成集合.故选C.
2.(人教A版必修第一册P5练习T2改编)下列给出的元素与集合的关系,其中正确的个数为(　　)
①∈R;②2∈Z;③|-3| N*;④|-|∈Q.
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 B
【解析】 R表示实数集,①正确;Z表示整数集,②正确;N*表示正整数集,③错误;Q表示有理数集,④错误.故选B.
3.若“maths”中的字母构成一个集合,则该集合中的元素有　　　　个;若“element”中的字母构成一个集合,该集合中的元素有　　　　个.
【答案】 5　5
【解析】 “maths”中5个字母互不相同,共有5个元素m,a,t,h,s;“element”中的字母“e”重复出现3次,只能算1个元素,所以共有5个元素e,l,m,n,t.
4.已知集合P中含有两个元素1和4,集合Q中含有两个元素1和a2,若集合P与Q相等,则a=　 .
【答案】 ±2
【解析】 由题意得a2=4,a=±2.
题型一　集合的基本概念
[例1] (多选)考查下列每组对象,能构成集合的是(　　)
[A]中国各地的美丽的乡村
[B]直角坐标系中横、纵坐标相等的点
[C]不小于3的自然数
[D]我省2025年参加高考的学生
【答案】 BCD
【解析】 对于A,“美丽的”标准不明确,不符合确定性,无法构成集合,A错误;对于B,直角坐标系中横、纵坐标相等的点具有确定性,可以构成集合,B正确;对于C,不小于3的自然数具有确定性,可以构成集合,C正确;对于D,我省2025年参加高考的学生具有确定性,可以构成集合,D正确.故选BCD.
(1)判断研究对象是否能构成集合,关键在于能否满足确定性、互异性、无序性,同时还要注意集合中的元素具有广泛性,即任何一组确定的对象都可以组成集合,数、式、图形等都可以作为集合中的元素.
(2)若两个集合相等,则这两个集合的元素相同,但是要注意其中元素的顺序不一定一一
对应.
[变式训练] (多选)下列各组中集合P与Q相等的是(　　)
[A]P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合
[B]P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合
[C]P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
[D]P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x(x+1)(x-1)=0的解构成的
集合
【答案】 AD
【解析】 由于A,D中P,Q的元素完全相同,所以集合P与Q相等,而B,C中P,Q的元素不相同,所以集合P与Q不相等.故选AD.
题型二　元素与集合的关系
[例2] (多选)已知集合M中的元素x满足x=a+b,其中a,b∈Z,则下列选项中属于集合M的是(　　)
[A]0 [B]
[C] [D]3-1
【答案】 ACD
【解析】 当a=b=0时,x=0,所以0∈M,A正确;当a=-1,b=-1时,x=-1-=∈M,C正确;当a=-1,b=3时,x=3-1∈M,D正确;因为a∈Z,b∈Z,故x=a+b≠, M,B错误.故选ACD.
判断元素与集合的关系的方法
(1)直接法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
[变式训练] 用符号“∈”或“ ”填空:
(1)0　　　N*,　　　N*,(-1)0　　　N*;
(2)设集合B是由小于的全体实数构成的集合,则2　　　　B,1+　　　　B;
(3)若面积为2的正方形的边长为a,则a　　　Q.
【答案】 (1) 　 　∈　(2) 　∈　(3)
【解析】 (1)0不是正整数,不是正整数,(-1)0=1是正整数,故依次填 , ,∈.
(2)2=>,由=3+2<11,得1+<,故依次填 ,∈.
(3)因为正方形的面积为2,所以a2=2,a>0,所以a=,所以a是无理数,所以a Q.
题型三　由集合中元素的特征求参数
[例3] 已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-2是集合A中的元素,试求实数a的值.
(2)-5能否为集合A中的元素 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
【解】 (1)因为-2∈A,所以-2=a-3或-2=2a-1,所以a=1或a=-.当a=1时,集合A中含有两个元素-2,1,符合要求;当a=-时,集合A中含有两个元素-,-2,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为1或-.
(2)不能.理由如下:若-5∈A,则a-3=-5或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-2-3=-5,不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
由集合中元素的特征求参数的一般步骤
(1)根据集合中元素的确定性,解出参数的所有值.
(2)根据集合中元素的互异性,对解出的值进行检验,舍去不符合题意的参数取值.
(3)写出所有符合题意的参数取值.
[变式训练] 已知集合A中含有三个元素0,1,x,若x2∈A,求实数x的值.
【解】 (1)当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,不符合题意.
(2)当x2=1时,得x=±1.
若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,不符合题意;
若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.
(3)当x2=x时,得x=0或x=1,由(1)(2)可知都不符合题意.
综上,x=-1.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.(多选)下列说法错误的是(　　)
[A]某校很喜爱足球的同学能组成一个集合
[B]联合国安理会常任理事国能组成一个集合
[C]由1,0,5,,,,组成的集合中有 7个元素
[D]由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4
【答案】 ACD
【解析】 对于A,因为该校很喜爱足球的同学没有明确的标准,不符合集合的确定性,所以不能组成一个集合,故A错误;对于B,因为联合国安理会常任理事国有明确的标准,符合集合的确定性,所以能组成一个集合,故B正确;对于C,因为存在=,=,所以组成的集合中不可能有7个元素,故C错误;对于D,由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为0,1,2,
3,4,故D错误.故选ACD.
2.(多选)下列说法正确的是(　　)
[A]N*中最小的数是1
[B]若-a N*,则a∈N*
[C]若a∈N*,b∈N*,则a+b的最小值是2
[D]N与N*是同一个集合
【答案】 AC
【解析】 因为N*表示正整数集,容易判断A,C正确;对于B,若a=,则满足-a N*,但a N*,B错误;对于D,N表示自然数集,N与N*不是同一个集合,D错误.故选AC.
3.设不等式5-2x<0的解集为M,则下列关系中正确的是 (　　)
[A]0∈M,3∈M [B]0 M,3∈M
[C]0∈M,3 M [D]0 M,3 M
【答案】 B
【解析】 由5-2x<0得x>,所以有0 M,3∈M.故选B.
4.若以集合A中的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是(　　)
[A]梯形 [B]平行四边形
[C]菱形 [D]矩形
【答案】 A
【解析】 集合中的元素具有互异性,a,b,c,d互不相等,而梯形的4条边长是可以互不相等的.故选A.
5.已知由a2,2-a,3组成的一个集合A,若A中元素的个数不是2,则实数a的取值可以是(　　)
[A]-1 [B]1 [C] [D]2
【答案】 D
【解析】 由a2,2-a,3组成的一个集合A,A中元素的个数不是2,因为a2=2-a=3无解,故由a2,2-a,3组成的集合A的元素个数为3,故a2≠2-a≠3,即a≠-2,a≠1,a≠-1,a≠±,故a可取2,即A,B,C错误,D正确.故选D.
6.设集合A含有-2,1两个元素,集合B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为(　　)
[A]-8 [B]-16 [C]8 [D]16
【答案】 C
【解析】 集合A☉B中有2,-4,-1三个元素,故所有元素之积为8.故选C.
7.(5分)若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M,则M中元素的个数为　　　　.
【答案】 3
【解析】 方程x2-5x+6=0的解为2,3,方程x2-x-2=0的解为-1,2,所以集合M中的元素为-1,2,3,共3个.
8.(5分)已知集合A是由偶数组成的,集合B是由奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b　　　A;ab　　　A.(填“∈”或“ ”)
【答案】 　∈
【解析】 偶数+奇数=奇数,偶数×奇数=偶数,故a+b A,ab∈A.
9.(14分)设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x的值.
【解】 (1)根据集合中元素的互异性,可知解得x≠0且x≠3且x≠-1.
(2)因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且-2∈A,所以x=-2.
10.(14分)(1)已知集合A含有两个元素1和2,集合B是由表示方程x2+ax+b=0的解组成的集合,且A=B,求ba;
(2)已知集合A中含有1,a,b三个元素,集合B中含有a,a2,ab三个元素,若A=B,求a-b.
【解】 (1)因为集合A与集合B相等,且1∈A,2∈A,所以1∈B,2∈B,即1,2是方程x2+ax+b=0的两个实数根,所以即所以ba=2-3=.
(2)由题意,1∈B且a≠1,从而a2=1或ab=1.当a2=1时,ab=b,由a≠1知,a=-1,b=0,此时符合A=B;
当ab=1时,a2=b,于是a3=1,即a=1,与a≠1矛盾.
综上,a=-1,b=0,所以a-b=-1.
11.已知x,y为非零实数,代数式++的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是(　　)
[A]0∈M [B]-1∈M
[C]2∈M [D]1∈M
【答案】 B
【解析】 当x,y均为负数时,代数式++的值为-1;当x,y一负一正时,代数式++的值为-1;当x,y均为正数时,代数式++的值为3.所以集合M中有-1和3共两个元素.故选B.
12.(5分)设a∈R,若由-1,a,a2+2组成的集合S中的最大元素为3,则a=　　　　.
【答案】 1
【解析】 因为由-1,a,a2+2组成的集合S中的最大元素为3,所以a=3或a2+2=3,解得a=3或a=±1.当a=3时,a2+2=11>3,不符合题意,舍去;当a=-1时,不符合集合的互异性,舍去;当a=1时,集合S中的最大元素为3,所以a=1.
13.(15分)设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1,a≠0).求证:
(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;
(2)集合A不可能是单元素集.
【证明】 (1)若a∈A,则∈A(a≠1,a≠0),又2∈A,所以=-1∈A,所以=∈A,所以=2∈A.所以A中必还有另外两个元素,且另外两个元素为-1,.
(2)若A为单元素集,则a=,即a2-a+1=0,但Δ=(-1)2-4=-3<0,方程无实数解.所以a≠,所以集合A不可能是单元素集.
14.(5分)已知2,3,a2-3a,a++7组成集合M,a-1,3组成集合N,4∈M且4 N,则a的值为　　　　.
【答案】 -2
【解析】 若a2-3a=4,解得a=4或a=-1.当a=4时,a++7=,此时N中a-1=3,不满足集合中元素的互异性,舍去;当a=-1时,a++7=-1++7=4,此时M中a2-3a=a++7=4,不满足集合中元素的互异性,舍去.若a++7=4,解得a=-1或a=-2,前面已经分析a=-1不满足要求,当a=-2时,a2-3a=(-2)2-3×(-2)=10,此时集合M和N均满足集合中元素的性质.
综上,a=-2.

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