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(共39张PPT)
1.2　集合间的基本关系
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.2.在具体的情境中,了解空集的含义.3.能使用Venn图表达集合间的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用,提升数学抽象、直观想象的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　子集
知识归纳
1.定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.
2.符号表示: (或B A).读作“A B”(或“B包含A”).
任意一个
A B
包含于
3.Venn图表示:
4.性质:(1)任何一个集合是它本身的子集,即 .
(2)对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么 .
A A
A C
·疑难解惑·
(1)“集合A为集合B的子集”的含义:由任意x∈A,能推出x∈B,同时集合B中可以有不是集合A的元素.
(2)在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这里注意“内部”这个条件,就是说曲线上的点是不表示集合的元素的.
知识点二　集合相等
1.定义:一般地,如果集合A的 元素都是集合B的元素,同时集合B的 元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.
2.符号表示:若A B,且B A,则 .
任何一个
任何一个
A=B
3.Venn图表示:
4.性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A=C.
·疑难解惑·
集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A B,且B A,则A=B”,反之亦成立.
知识点三　真子集
1.定义:如果集合A B,但存在元素x∈B,且 ,就称集合A是集合B的真子集.
x A
A B
真包含于
3.Venn图表示:
·温馨提示·
知识点四　空集
1.定义:一般地,我们把 的集合叫做空集.
2.符号表示: .
3.规定:空集是任何集合的 ,是任何非空集合的真子集.
不含任何元素
子集

·疑难解惑·
基础自测
1.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T2改编)设集合A={菱形}, B={平行四边形}, C={四边形}, D={正方形},则这些集合的关系是(　　)
A
2.下列四组集合中集合相等的是(　　)
[A]M={(3,2)},N={(2,3)}
[B]M={4,5},N={5,4}
[C]M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
[D]M={1,2},N={(1,2)}
B
【解析】 对于A选项,M≠N;对于B选项,M=N;对于C选项,M为点集,N为数集,则M≠N;对于D选项,M为数集,N为点集,则M≠N.故选B.
3.下列四个集合中是空集的是(　　)
B
[B]{x∈R|x2+1=0}
[C]{x|1[D]{x|x2+2x+1=0}
4.已知集合M={1,2,3},N={a,b},若N M,则a+b不可能等于(　　)
[A]2 [B]3 [C]4 [D]5
A
【解析】 因为N M,所以N的所有可能情况为{1,2},{1,3},{2,3},所以a+b不可能等于2.故选A.
关键能力·素养培优
[例1] (湘教版必修第一册P7例6)设S={R,B,G}是计算机作图的三种基本
色——红、蓝、绿组成的集合,写出S的所有子集.
题型一　子集与真子集的概念
(2)写出所有由一个元素构成的子集:{R},{B},{G};
(3)写出所有由两个元素构成的子集:{R,B},{R,G},{B,G};
(4)写出所有由三个元素构成的子集:{R,B,G}.
·解题策略·
[变式训练] 求集合A={x|x2-x-2=0}的子集和真子集.
题型二　集合间关系的判断
[例2] 指出下列各对集合之间的包含关系:
(1)A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*};
【解】 (1)A={1,3,5,7, …},B={3,5,7, …},故B A.
(2)A={x|0【解】 (2)用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.
(3)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
【解】 (3)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(4)A={x|x是正三角形},B={x|x是等腰三角形}.
【解】 (4)正三角形即为等边三角形,是三条边都相等的三角形,等腰三角形是有两条边相等的三角形,故A B.
·解题策略·
判断集合间关系的常用方法
B
[例3] 已知集合A={x|-1(1)若A B,求m的取值范围;
题型三　由集合间的关系求参数范围
·解题策略·
(1)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值.
(2)要注意“空集”的情况,空集是任何集合的子集.
[变式训练] 已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A B,求a的值;
培优拓展　子集个数问题
[典例] 填写下表,并回答问题:
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
【解】
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
[跟踪训练] 已知集合A,B,C满足A B C,A中有2个元素,C中有6个元素,则满足条件的集合B的个数为(　　)
[A]4 [B]16 [C]38 [D]60
B
感谢观看【课程标准要求】　1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.2.在具体的情境中,了解空集的含义.3.能使用Venn图表达集合间的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用,提升数学抽象、直观想象的核心素养.
知识归纳
知识点一　子集
1.定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.
2.符号表示:A B(或B A).读作“A包含于B”(或“B包含A”).
3.Venn图表示:
4.性质:(1)任何一个集合是它本身的子集,即A A.
(2)对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
(1)“集合A为集合B的子集”的含义:由任意x∈A,能推出x∈B,同时集合B中可以有不是集合A的元素.
(2)在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这里注意“内部”这个条件,就是说曲线上的点是不表示集合的元素的.
知识点二　集合相等
1.定义:一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.
2.符号表示:若A B,且B A,则A=B.
3.Venn图表示:
4.性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A=C.
集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A B,且B A,则A=B”,反之亦成立.
知识点三　真子集
1.定义:如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集.
2.符号表示:A B(或BA),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
3.Venn图表示:
4.性质:对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.
熟记常用数集关系:N*NZQR.
知识点四　空集
1.定义:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集.
2.符号表示: .
3.规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;表示空集,不含有任何元素;{}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T2改编)设集合A={菱形}, B={平行四边形}, C={四边形}, D={正方形},则这些集合的关系是(　　)
[A]DABC [B]CBAD
[C]DACB [D]ADBC
2.下列四组集合中集合相等的是(　　)
[A]M={(3,2)},N={(2,3)}
[B]M={4,5},N={5,4}
[C]M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
[D]M={1,2},N={(1,2)}
3.下列四个集合中是空集的是(　　)
[A]{}
[B]{x∈R|x2+1=0}
[C]{x|1[D]{x|x2+2x+1=0}
4.已知集合M={1,2,3},N={a,b},若N M,则a+b不可能等于(　　)
[A]2 [B]3 [C]4 [D]5
题型一　子集与真子集的概念
[例1] (湘教版必修第一册P7例6)设S={R,B,G}是计算机作图的三种基本色——红、蓝、绿组成的集合,写出S的所有子集.
(2)写出所有由一个元素构成的子集:{R},{B},{G};
(3)写出所有由两个元素构成的子集:{R,B},{R,G},{B,G};
(4)写出所有由三个元素构成的子集:{R,B,G}.
故S的子集共有8个,分别为:,{R},{B},{G},{R,B},{R,G},{B,G},{R,B,G}.
写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.特别注意两个特殊的子集:(不取任何元素)和其本身(把所有元素都取出来).
[变式训练] 求集合A={x|x2-x-2=0}的子集和真子集.
集合A={-1,2}的子集是,{-1},{2},{-1,2},共4个;
集合A={-1,2}的真子集是,{-1},{2},共 3个.
题型二　集合间关系的判断
[例2] 指出下列各对集合之间的包含关系:
(1)A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*};
(2)A={x|0(3)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(4)A={x|x是正三角形},B={x|x是等腰三角形}.
(2)用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.
(3)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(4)正三角形即为等边三角形,是三条边都相等的三角形,等腰三角形是有两条边相等的三角形,故A B.
判断集合间关系的常用方法
[变式训练] 已知集合M={x|x=2m+,m∈Z},N={x|x=n-,n∈Z},P={x|x=p+,p∈Z},则M,N,P之间的关系为(　　)
[A]M=NP [B]MN=P
[C]MNP [D]NPM
题型三　由集合间的关系求参数范围
[例3] 已知集合A={x|-1(1)若A B,求m的取值范围;
(2)若BA,求m的取值范围.
则解得m≤1,所以m的取值范围为{m|m≤1}.
(2)当B=时,2m-5≥-m+3,解得m≥,此时BA;当B≠时,如图所示,
则(等号不同时成立),解得2≤m<.综上,m的取值范围为{m|m≥2}.
(1)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值.
(2)要注意“空集”的情况,空集是任何集合的子集.
[变式训练] 已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A B,求a的值;
(2)若BA,求a的取值范围.
由根与系数的关系,
得解得a=1.
(2)由题意,若B=,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,解得a<-1;
若B≠,则B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0,解得a=-1,此时B={0},符合题意.
综上,a的取值范围是{a|a≤-1}.
培优拓展　子集个数问题
[典例] 填写下表,并回答问题:
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
集合 集合的子集 子集的个数
1
{a} ,{a} 2
{a,b} ,{a},{b},{a,b} 4
{a,b,c} ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
[跟踪训练] 已知集合A,B,C满足A B C,A中有2个元素,C中有6个元素,则满足条件的集合B的个数为(　　)
[A]4 [B]16 [C]38 [D]60
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.给出下列各式:①{0} {0,1,2};②{0,1,2} {2,1,0};③ {0,1,2};④={0};
⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}.其中正确的个数是(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
2.已知集合M={x|x2-3x=0},N={-2,0,3},则下列能正确表示M与N之间关系的Venn图是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.若集合C={(x,y)|y=x},集合D={(x,y)|}则集合C,D之间的关系为(　　)
[A]C D [B]D C
[C]C∈D [D]D∈C
4.已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},则下列关系正确的是(　　)
[A]AB [B]A=B
[C]A B [D]AB
5.已知集合A={1,a+2},B={a2,1,3},若对任意x∈A,都有x∈B,则a为(　　)
[A]1 [B]-1
[C]2 [D]1或2
当a=-1时,a+2=1,a2=1,A,B中元素均不满足互异性,舍去;
当a+2=3时,解得a=1,此时a2=1,B中元素不满足互异性,舍去.综上,a=2.故选C.
6.(多选)下列各项中的集合M,N,满足N是M的真子集的是(　　)
[A]M={x∈R|x2+x-1=0},N={x∈R|x2-x+1=0}
[B]M={-1,1},N={x∈Z|y=-,y∈Z}
[C]M={x|x=3k,k∈Z},N={x|x=6k,k∈Z}
[D]M={x|-1B项,因为M={-1,1},只有当x=1和x=-1时,y=-∈Z,故N={-1,1},
所以N=M, NM不成立;
C项,因为M={…,-12,-9,-6,-3,0,3,6,9,12,…},N={…,-12,-6,0,6,12,…},所以NM;
D项,因为M={x|-17.(5分)已知集合A={a,,1},B={a2,a+b,0},若A B且B A,则b2 024-a2 025=　　　　.
8.(5分)满足{1,2}M {1,2,3,4,5}的集合M有　　　　个.
9.(14分)已知集合M={x|-3≤x≤4},集合P={x|2m-1≤x≤m+1}.
(1)求证:集合M与集合P不可能相等.
(2)若集合M与P中,有一个集合是另一个集合的真子集,求实数m的取值范围.
若P是M的真子集,当2m-1>m+1,即m>2时,P=,符合题意;
当P≠时,(前两个等号不同时成立),故-1≤m≤2.
综上,实数m的取值范围为{m|m≥-1}.
10.(14分)(1)已知集合P={x|-2≤x≤5},Q={x|k+1≤x≤2k-1},且Q P,求实数k的取值范围;
(2)若集合A={x|x2-2x+a=0,x∈R},集合B={x|x2-3x+2=0},若A B,求实数a的取值范围.
综上所述,实数k的取值范围是{k|k≤3}.
(2)集合B={1,2},又因为A B,所以A=或A={1}或A={2}或A={1,2}.
当A=时,Δ=4-4a<0,解得a>1;
当A={1}时,方程x2-2x+a=0有两个相等的实数根,且都是1,则得a=1;
当A={2}时,两实数根之和2+2=4≠2,不符合题意;
当A={1,2}时,两实数根之和1+2=3≠2,不符合题意.
综上,实数a的取值范围为{a|a≥1}.
11.(多选)若集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有1个子集,则a的值可以为(　　)
[A]-2 [B]
[C]-1 [D]-
当a-1=0,即a=1时,A={},不符合题意;
当a-1≠0,即a≠1时,由Δ=9+8(a-1)<0可得a<-.故选AC.
12.(5分)设ai(i=1,2,3)均为实数,若集合{a1,a2,a3}的所有非空真子集的元素之和为12,则a1+a2+a3=　　　　.
{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},
由题意可得3(a1+a2+a3)=12,解得a1+a2+a3=4.
13.(15分)(1)已知集合A={x|-1(2)已知集合A={x|x2-ax+4=0},且{m} A {1,m},求am的值.
即a的取值范围为{a|-≤a≤0}.
(2)由题意得m≠1,若A中只有1个元素,则A={m},且Δ=(-a)2-16=0,解得a=±4,
当a=4时,A={x|x2-4x+4=0}={2},所以m=2,此时am=4×2=8;
当a=-4时,A={x|x2+4x+4=0}={-2},所以m=-2,此时am=-4×(-2)=8.
若A中有2个元素,则A={1,m},则Δ=(-a)2-16>0,所以1,m为方程x2-ax+4=0的两根,
故1+m=a,1×m=4,解得m=4,a=5,满足Δ=(-a)2-16>0,故am=4×5=20.
综上,am的值为8或20.
14.(5分)设集合A={a1,a2,a3,a4},若集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B={2,3,4,6},则集合A=　　　　.
所以3(a1+a2+a3+a4)=2+3+4+6=15,故a1+a2+a3+a4=5,
所以不妨设a2+a3+a4=6,a1+a3+a4=4,a1+a2+a4=3,a1+a2+a3=2,
所以a1=5-(a2+a3+a4)=-1,a2=5-(a1+a3+a4)=1,a3=5-(a1+a2+a4)=2,a4=5-(a1+a2+a3)=3,
所以集合A={-1,1,2,3}.【课程标准要求】　1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.2.在具体的情境中,了解空集的含义.3.能使用Venn图表达集合间的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用,提升数学抽象、直观想象的核心素养.
知识归纳
知识点一　子集
1.定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.
2.符号表示:A B(或B A).读作“A包含于B”(或“B包含A”).
3.Venn图表示:
4.性质:(1)任何一个集合是它本身的子集,即A A.
(2)对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
(1)“集合A为集合B的子集”的含义:由任意x∈A,能推出x∈B,同时集合B中可以有不是集合A的元素.
(2)在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这里注意“内部”这个条件,就是说曲线上的点是不表示集合的元素的.
知识点二　集合相等
1.定义:一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.
2.符号表示:若A B,且B A,则A=B.
3.Venn图表示:
4.性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A=C.
集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A B,且B A,则A=B”,反之亦成立.
知识点三　真子集
1.定义:如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集.
2.符号表示:A B(或BA),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
3.Venn图表示:
4.性质:对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.
熟记常用数集关系:N*NZQR.
知识点四　空集
1.定义:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集.
2.符号表示: .
3.规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;表示空集,不含有任何元素;{}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P9习题1.2 T2改编)设集合A={菱形}, B={平行四边形}, C={四边形}, D={正方形},则这些集合的关系是(　　)
[A]DABC [B]CBAD
[C]DACB [D]ADBC
【答案】 A
【解析】 根据正方形、菱形、平行四边形的定义,可知DABC.故选A.
2.下列四组集合中集合相等的是(　　)
[A]M={(3,2)},N={(2,3)}
[B]M={4,5},N={5,4}
[C]M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
[D]M={1,2},N={(1,2)}
【答案】 B
【解析】 对于A选项,M≠N;对于B选项,M=N;对于C选项,M为点集,N为数集,则M≠N;对于D选项,M为数集,N为点集,则M≠N.故选B.
3.下列四个集合中是空集的是(　　)
[A]{}
[B]{x∈R|x2+1=0}
[C]{x|1[D]{x|x2+2x+1=0}
【答案】 B
【解析】 对于A,集合{}中有一个元素,故不是空集;对于B,方程x2+1=0无实数解,所以集合{x∈R|x2+1=0}为空集;对于C,{x|14.已知集合M={1,2,3},N={a,b},若N M,则a+b不可能等于(　　)
[A]2 [B]3 [C]4 [D]5
【答案】 A
【解析】 因为N M,所以N的所有可能情况为{1,2},{1,3},{2,3},所以a+b不可能等于2.故选A.
题型一　子集与真子集的概念
[例1] (湘教版必修第一册P7例6)设S={R,B,G}是计算机作图的三种基本色——红、蓝、绿组成的集合,写出S的所有子集.
【解】 (1)因为空集是所有集合的子集,所以首先写出;
(2)写出所有由一个元素构成的子集:{R},{B},{G};
(3)写出所有由两个元素构成的子集:{R,B},{R,G},{B,G};
(4)写出所有由三个元素构成的子集:{R,B,G}.
故S的子集共有8个,分别为:,{R},{B},{G},{R,B},{R,G},{B,G},{R,B,G}.
写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.特别注意两个特殊的子集:(不取任何元素)和其本身(把所有元素都取出来).
[变式训练] 求集合A={x|x2-x-2=0}的子集和真子集.
【解】 集合A={x|x2-x-2=0}={-1,2},
集合A={-1,2}的子集是,{-1},{2},{-1,2},共4个;
集合A={-1,2}的真子集是,{-1},{2},共 3个.
题型二　集合间关系的判断
[例2] 指出下列各对集合之间的包含关系:
(1)A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*};
(2)A={x|0(3)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(4)A={x|x是正三角形},B={x|x是等腰三角形}.
【解】 (1)A={1,3,5,7, …},B={3,5,7, …},故B A.
(2)用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.
(3)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(4)正三角形即为等边三角形,是三条边都相等的三角形,等腰三角形是有两条边相等的三角形,故A B.
判断集合间关系的常用方法
[变式训练] 已知集合M={x|x=2m+,m∈Z},N={x|x=n-,n∈Z},P={x|x=p+,p∈Z},则M,N,P之间的关系为(　　)
[A]M=NP [B]MN=P
[C]MNP [D]NPM
【答案】 B
【解析】 由N={x|x=n-,n∈Z}={x|x=(n-1)+,n∈Z},又M={x|x=2m+,m∈Z},P={x|x=p+,p∈Z},而2m为偶数,n-1和p为整数,所以MN=P.故选B.
题型三　由集合间的关系求参数范围
[例3] 已知集合A={x|-1(1)若A B,求m的取值范围;
(2)若BA,求m的取值范围.
【解】 (1)若A B,如图所示,
则解得m≤1,所以m的取值范围为{m|m≤1}.
(2)当B=时,2m-5≥-m+3,解得m≥,此时BA;当B≠时,如图所示,
则(等号不同时成立),解得2≤m<.综上,m的取值范围为{m|m≥2}.
(1)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值.
(2)要注意“空集”的情况,空集是任何集合的子集.
[变式训练] 已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A B,求a的值;
(2)若BA,求a的取值范围.
【解】 (1)由题意知集合B中最多有两个元素,而A={-4,0},A B,则B={-4,0},
由根与系数的关系,
得解得a=1.
(2)由题意,若B=,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,解得a<-1;
若B≠,则B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0,解得a=-1,此时B={0},符合题意.
综上,a的取值范围是{a|a≤-1}.
培优拓展　子集个数问题
[典例] 填写下表,并回答问题:
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
【解】
集合 集合的子集 子集的个数
1
{a} ,{a} 2
{a,b} ,{a},{b},{a,b} 4
{a,b,c} ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
[跟踪训练] 已知集合A,B,C满足A B C,A中有2个元素,C中有6个元素,则满足条件的集合B的个数为(　　)
[A]4 [B]16 [C]38 [D]60
【答案】 B
【解析】 设集合C中去掉集合A中的2个元素,剩下的4个元素构成集合D,集合B中去掉集合A中的2个元素构成集合E,则原题等价于满足 E D的集合E的个数,即集合D的子集个数,有24=16(个).所以满足条件的集合B有16个.故选B.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.给出下列各式:①{0} {0,1,2};②{0,1,2} {2,1,0};③ {0,1,2};④={0};
⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}.其中正确的个数是(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 B
【解析】 ①根据子集的定义可知{0} {0,1,2},①错误;②集合{0,1,2}与集合{2,1,0}相等,满足子集定义,②正确;③空集是任何集合的子集,③正确;④空集中不含任何元素,集合{0}中有一个元素,空集与集合{0}不相等,④错误;⑤集合{0,1}中有两个元素,集合{(0,1)}中有一个元素,且元素形式不一致,⑤错误;⑥ 0是元素,{0}是集合,元素与集合之间是属于或不属于的关系,应该为0∈{0},⑥错误.故选B.
2.已知集合M={x|x2-3x=0},N={-2,0,3},则下列能正确表示M与N之间关系的Venn图是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为集合M={x|x(x-3)=0}={0,3},N={-2,0,3},所以MN.故选C.
3.若集合C={(x,y)|y=x},集合D={(x,y)|}则集合C,D之间的关系为(　　)
[A]C D [B]D C
[C]C∈D [D]D∈C
【答案】 B
【解析】 集合D={(x,y)|}={(2,2)},而集合C={(x,y)|y=x}表示由直线y=x上所有点组成的集合,所以D C.故选B.
4.已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},则下列关系正确的是(　　)
[A]AB [B]A=B
[C]A B [D]AB
【答案】 D
【解析】 A=R,B={y|y≥0},所以B真包含于A.故选D.
5.已知集合A={1,a+2},B={a2,1,3},若对任意x∈A,都有x∈B,则a为(　　)
[A]1 [B]-1
[C]2 [D]1或2
【答案】 C
【解析】 由题意得A B,当a+2=a2时,解得a=2或a=-1,当a=2时,A={1,4},B={4,1,3},满足题意,
当a=-1时,a+2=1,a2=1,A,B中元素均不满足互异性,舍去;
当a+2=3时,解得a=1,此时a2=1,B中元素不满足互异性,舍去.综上,a=2.故选C.
6.(多选)下列各项中的集合M,N,满足N是M的真子集的是(　　)
[A]M={x∈R|x2+x-1=0},N={x∈R|x2-x+1=0}
[B]M={-1,1},N={x∈Z|y=-,y∈Z}
[C]M={x|x=3k,k∈Z},N={x|x=6k,k∈Z}
[D]M={x|-1【答案】 AC
【解析】 A项,因为M={,},N=,所以NM;
B项,因为M={-1,1},只有当x=1和x=-1时,y=-∈Z,故N={-1,1},
所以N=M, NM不成立;
C项,因为M={…,-12,-9,-6,-3,0,3,6,9,12,…},N={…,-12,-6,0,6,12,…},所以NM;
D项,因为M={x|-17.(5分)已知集合A={a,,1},B={a2,a+b,0},若A B且B A,则b2 024-a2 025=　　　　.
【答案】 1
【解析】 由题意得 {a,,1}={a2,a+b,0},所以a≠0,b=0,则{a,0,1}={a2,a,0},所以解得a=-1,此时集合为{-1,0,1},符合题意,所以b2 024-a2 025=0-(-1)2 025=1.
8.(5分)满足{1,2}M {1,2,3,4,5}的集合M有　　　　个.
【答案】 7
【解析】 由题意知集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此集合M的元素个数就是集合{3,4,5}的非空子集个数,即23-1=7.
9.(14分)已知集合M={x|-3≤x≤4},集合P={x|2m-1≤x≤m+1}.
(1)求证:集合M与集合P不可能相等.
(2)若集合M与P中,有一个集合是另一个集合的真子集,求实数m的取值范围.
(1)【证明】 若集合M与集合P相等,则该方程组无解,故集合M与集合P不可能相等.
(2)【解】 若M是P的真子集,则(等号不同时成立),该不等式组无解;
若P是M的真子集,当2m-1>m+1,即m>2时,P=,符合题意;
当P≠时,(前两个等号不同时成立),故-1≤m≤2.
综上,实数m的取值范围为{m|m≥-1}.
10.(14分)(1)已知集合P={x|-2≤x≤5},Q={x|k+1≤x≤2k-1},且Q P,求实数k的取值范围;
(2)若集合A={x|x2-2x+a=0,x∈R},集合B={x|x2-3x+2=0},若A B,求实数a的取值范围.
【解】 (1)当k+1>2k-1,即k<2时,Q= P,满足条件;当k+1≤2k-1,即k≥2时,有解得-3≤k≤3,则2≤k≤3.
综上所述,实数k的取值范围是{k|k≤3}.
(2)集合B={1,2},又因为A B,所以A=或A={1}或A={2}或A={1,2}.
当A=时,Δ=4-4a<0,解得a>1;
当A={1}时,方程x2-2x+a=0有两个相等的实数根,且都是1,则得a=1;
当A={2}时,两实数根之和2+2=4≠2,不符合题意;
当A={1,2}时,两实数根之和1+2=3≠2,不符合题意.
综上,实数a的取值范围为{a|a≥1}.
11.(多选)若集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有1个子集,则a的值可以为(　　)
[A]-2 [B]
[C]-1 [D]-
【答案】 AC
【解析】 由集合A有且仅有1个子集可知,A=.
当a-1=0,即a=1时,A={},不符合题意;
当a-1≠0,即a≠1时,由Δ=9+8(a-1)<0可得a<-.故选AC.
12.(5分)设ai(i=1,2,3)均为实数,若集合{a1,a2,a3}的所有非空真子集的元素之和为12,则a1+a2+a3=　　　　.
【答案】 4
【解析】 集合{a1,a2,a3}的所有非空真子集为
{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},
由题意可得3(a1+a2+a3)=12,解得a1+a2+a3=4.
13.(15分)(1)已知集合A={x|-1(2)已知集合A={x|x2-ax+4=0},且{m} A {1,m},求am的值.
【解】 (1)结合数轴(图略)得解得-≤a≤0,
即a的取值范围为{a|-≤a≤0}.
(2)由题意得m≠1,若A中只有1个元素,则A={m},且Δ=(-a)2-16=0,解得a=±4,
当a=4时,A={x|x2-4x+4=0}={2},所以m=2,此时am=4×2=8;
当a=-4时,A={x|x2+4x+4=0}={-2},所以m=-2,此时am=-4×(-2)=8.
若A中有2个元素,则A={1,m},则Δ=(-a)2-16>0,所以1,m为方程x2-ax+4=0的两根,
故1+m=a,1×m=4,解得m=4,a=5,满足Δ=(-a)2-16>0,故am=4×5=20.
综上,am的值为8或20.
14.(5分)设集合A={a1,a2,a3,a4},若集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B={2,3,4,6},则集合A=　　　　.
【答案】 {-1,1,2,3}
【解析】 集合A中所有三个元素的子集中,每个元素均出现3次,
所以3(a1+a2+a3+a4)=2+3+4+6=15,故a1+a2+a3+a4=5,
所以不妨设a2+a3+a4=6,a1+a3+a4=4,a1+a2+a4=3,a1+a2+a3=2,
所以a1=5-(a2+a3+a4)=-1,a2=5-(a1+a3+a4)=1,a3=5-(a1+a2+a4)=2,a4=5-(a1+a2+a3)=3,
所以集合A={-1,1,2,3}.

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