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1.4.2　充要条件
1.进一步理解充要条件的意义,会判断一些简单的充要条件命题,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能对简单的充要条件进行证明,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 　充要条件
知识归纳
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有 ,又有 ,就记作 .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 ,简称为充要条件.
p q
q p
p q
充分必要条件
知识点二　条件关系判定的常用结论
·疑难解惑·
(1)充要条件的判断步骤:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断两者间的条件关系.
(2)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成q成立,当且仅当p成立,或p与q等价.
基础自测
1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
A
【解析】 若x=1,则x2-2x+1=0;若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x=1.故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.故选A.
2.“10”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
B
【解析】 因为当“10”,当“x>0”时不一定满足“14”,所以“10”的充分不必要条件.故选B.
3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T3(2)改编)已知△ABC,△A1B1C1,两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
C
4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=-1 对称的充要条件是(　　)
[A]m=-2 [B]m=2
[C]m=-1 [D]m=1
B
关键能力·素养培优
[例1] (湘教版必修第一册P17例3)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”
“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择适当的一种填空.
(1)a≥5是a为正数的　　　　　 　　;
题型一　四种条件关系的判断与探求
充分不必要条件
(2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的　　 　　　　　;
【解析】(2)四边形是矩形 四边形的两对角线相等,反之不成立,比如等腰梯形.因此应填“必要不充分条件”.
(3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的
　　　　 　　;
必要不充分条件
充要条件
【解析】 (3)四边形的一组对边平行且相等 四边形的两组对边分别平行,它们实际上都在描述四边形是平行四边形.因此应填“充要条件”.
(4)若x∈R,则x2=2是x=2的　　　　 　　　　　　.
既不充分也不必要条件
[典例迁移1] 下列选项中,p是q的充要条件的有(　　)
[A]p:0[B]p:-1[C]p:1[D]p:x<-2或x>2,q:|x|>2
D
【解析】 对于A,因为{x|0对于B,因为{x|-1对于C,设A={x|1所以p是q的既不充分也不必要条件;
对于D,因为{x|x<-2或x>2}={x||x|>2},所以p是q的充要条件.故选D.
[典例迁移2] 求关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要
条件.
·解题策略·
1.四种条件关系的判断方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:利用集合的包含关系判断.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论:
①若A=B,则p是q的充要条件;
·解题策略·
②若A B,则p是q的充分不必要条件;
③若A B,则p是q的必要不充分条件;
④若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.探求充要条件的方法
探求充要条件时常常先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件,再证明此条件是该对象的充分条件,即从充分性和必要性两方面说明.
题型二　充要条件的证明
[例2] 已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.[提示:a3+b3=
(a+b)·(a2-ab+b2)]
必要性(q p):因为a+b=1,所以b=1-a,
所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
综上所述,a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
·解题策略·
证明p是q的充要条件分两步:一是证充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;
二是证必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p.
[变式训练] 证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
【证明】 充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,
得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,
所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
[例3] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
(1)若p是q的充要条件,求实数m的取值范围;
题型三　条件关系的应用
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(3)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
·解题策略·
应用条件关系求参数的值(取值范围)
首先可以根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系,然后根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
[变式训练] 已知集合A={3,4},B={x|-3<3x-a<6},若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,求a的取值范围.
感谢观看1.4.2　充要条件
【课程标准要求】　1.进一步理解充要条件的意义,会判断一些简单的充要条件命题,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能对简单的充要条件进行证明,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点一 　充要条件
　如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p q,又有q p,就记作 p q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.
知识点二　条件关系判定的常用结论
条件p与结论q的关系 结论(p是q的)
p q,且qp 充分不必要条件
pq,且q p 必要不充分条件
p q,且q p 充要条件
pq,且qp 既不充分也不必要条件
(1)充要条件的判断步骤:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断两者间的条件关系.
(2)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成q成立,当且仅当p成立,或p与q
等价.
基础自测
1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
2.“10”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T3(2)改编)已知△ABC,△A1B1C1,两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=-1 对称的充要条件是(　　)
[A]m=-2 [B]m=2
[C]m=-1 [D]m=1
题型一　四种条件关系的判断与探求
[例1] (湘教版必修第一册P17例3)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择适当的一种填空.
(1)a≥5是a为正数的　　　　 　　　;
(2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的　　　　　　　;
(3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的　　　　　　;
(4)若x∈R,则x2=2是x=2的　　　　　 　　　　　.
(2)四边形是矩形 四边形的两对角线相等,反之不成立,比如等腰梯形.因此应填“必要不充分条件”.
(3)四边形的一组对边平行且相等 四边形的两组对边分别平行,它们实际上都在描述四边形是平行四边形.因此应填“充要条件”.
(4)当x∈R时,x2=2x=2,x=2x2=2.因此应填“既不充分也不必要条件”.
[典例迁移1] 下列选项中,p是q的充要条件的有(　　)
[A]p:0[B]p:-1[C]p:1[D]p:x<-2或x>2,q:|x|>2
对于B,因为{x|-1对于C,设A={x|1对于D,因为{x|x<-2或x>2}={x||x|>2},所以p是q的充要条件.故选D.
[典例迁移2] 求关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件.
当m≠0时,方程为一元二次方程,设x1,x2是方程的解,则x1+x2=,若x1+x2=2,则=2,解得m=-或m=1,但当m=-或m=1时,Δ<0,即当m=-或m=1时,方程无解.综上,只有m=0符合题意,所以关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件为m=0.
1.四种条件关系的判断方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:利用集合的包含关系判断.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论:
①若A=B,则p是q的充要条件;
②若A B,则p是q的充分不必要条件;
③若A B,则p是q的必要不充分条件;
④若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.探求充要条件的方法
探求充要条件时常常先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件,再证明此条件是该对象的充分条件,即从充分性和必要性两方面说明.
题型二　充要条件的证明
[例2] 已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
充分性(p q):因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0,
因为ab≠0,所以a2-ab+b2=(a-b)2+b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.
必要性(q p):因为a+b=1,所以b=1-a,所以
a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
综上所述,a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
证明p是q的充要条件分两步:一是证充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;二是证必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p.
[变式训练] 证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
题型三　条件关系的应用
[例3] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
(1)若p是q的充要条件,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(3)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
(1)因为p是q的充要条件,所以A=B,所以无解,所以实数m的取值范围是 .
(2)因为p是q的充分不必要条件,所以A B,所以或【此处也可表述为(等号不同时成立)】解得m≥9,即实数m的取值范围为{m|m≥9}.
(3)因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件,所以B A,
故有(等号不同时成立),解得m≤3.又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0应用条件关系求参数的值(取值范围)
首先可以根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系,然后根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
[变式训练] 已知集合A={3,4},B={x|-3<3x-a<6},若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,求a的取值范围.
又B={x|-3<3x-a<6},所以3∈B,且4∈B,即
解得6课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.“a=b”是“ac=bc”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
2.使“x∈{x|x≥3或x≤-}”成立的一个充分不必要条件是(　　)
[A]x≥0 [B]x<0或x>2
[C]x∈{-1,3,5} [D]x≥3或x≤-
3.设a,b是实数, 则“|a|<|b|”是“a[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
4.设p是q的充分不必要条件,r是q的必要不充分条件,s是r的充要条件,则s是p的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
5.(多选)设计如图所示的四个电路图,p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
6.(多选)设集合A={x|x2-x-6=0},B={x|ax-1=0且a≠0}.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,则实数a的值可以为(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
则BA,因为a≠0,所以B≠,即B={3}或B={-2}.当B={3}时,满足3a-1=0,所以a=;当B={-2}时,满足-2a-1=0,所以a=-,所以a的值可以是,-.故选AD.
7.(5分)设a为实数,则“a3=-1”是“a2=-1”的　　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
8.(5分)已知p:q:2m-19.(14分)已知a+b≠0,证明:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0,则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0,因为a+b≠0,所以a+b-1=0,
即a+b=1,即必要性成立.
综上,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
10.(14分)已知p:x-2>0,q:ax-4>0,其中a∈R且a≠0.
(1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
当a<0时,B={x|x<};当a>0时,B={x|x>}.
(1)若p是q的充分不必要条件,则AB,当a<0时,不符合题意;
当a>0时,只要<2,所以a>2,即实数a的取值范围为{a|a>2}.
(2)若p是q的必要不充分条件,则BA,当a<0时,不符合题意;
当a>0时,只要>2,所以011.集合A,B之间的关系如图所示,p:a∈ UB,q:a∈A,则p是q的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
12.(多选)在四边形ABCD中,“四边形ABCD是梯形”的一个充分不必要条件可能是(　　)
[A]AB平行于CD,且AB等于CD
[B]AB平行于CD,且AB不等于CD
[C]AB平行于CD,且AD不平行于BC
[D]AB平行于CD或AD平行于BC
13.(14分)已知关于x的方程(m∈Z):①mx2-4x+4=0,②x2-4mx+4m2-4m-5=0,求方程①和②都有整数解的充要条件.
方程②有实数解的充要条件是Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥-.
所以-≤m≤1,又m∈Z,所以m=-1或m=0或m=1.
当m=-1时,方程①即-x2-4x+4=0,无整数解;当m=0时,方程②即x2-5=0,无整数解;当m=1时,方程①x2-4x+4=0有整数解x=2,方程②x2-4x-5=0有整数解x=-1或x=5,从而方程①②都有整数解.
所以方程①和②都有整数解的充要条件是m=1.
14.甲、乙、丙、丁四名同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:
A={x|0<△x<2},B={x|-3≤x≤5},C={x|0[A]3或4 [B]2或3
[C]1或2 [D]1或3
因为“x∈B”是“x∈A”成立的必要不充分条件,“x∈C”是“x∈A”成立的充分不必要条件,
所以A是B的真子集,C是A的真子集,
故≤5且>,解得≤△<3,故“△”表示的数字是1或2.故选C.1.4.2　充要条件
【课程标准要求】　1.进一步理解充要条件的意义,会判断一些简单的充要条件命题,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能对简单的充要条件进行证明,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点一 　充要条件
　如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p q,又有q p,就记作 p q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.
知识点二　条件关系判定的常用结论
条件p与结论q的关系 结论(p是q的)
p q,且qp 充分不必要条件
pq,且q p 必要不充分条件
p q,且q p 充要条件
pq,且qp 既不充分也不必要条件
(1)充要条件的判断步骤:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断两者间的条件关系.
(2)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成q成立,当且仅当p成立,或p与q
等价.
基础自测
1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 若x=1,则x2-2x+1=0;若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x=1.故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.故选A.
2.“10”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 因为当“10”,当“x>0”时不一定满足“10”的充分不必要条件.故选B.
3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T3(2)改编)已知△ABC,△A1B1C1,两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1;反之,△ABC≌△A1B1C1 两三角形对应角相等.所以两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的必要不充分条件.故选C.
4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=-1 对称的充要条件是(　　)
[A]m=-2 [B]m=2
[C]m=-1 [D]m=1
【答案】 B
【解析】 因为二次函数y=x2+mx+1的图象的对称轴为直线x=-,所以二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=-1对称的充要条件是x=-=-1,即m=2.故选B.
题型一　四种条件关系的判断与探求
[例1] (湘教版必修第一册P17例3)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择适当的一种填空.
(1)a≥5是a为正数的　　　　 　　　;
(2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的　　　　　　　;
(3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的　　　　　　;
(4)若x∈R,则x2=2是x=2的　　　　　 　　　　　.
【答案】 (1)充分不必要条件　(2)必要不充分条件　(3)充要条件　(4)既不充分也不必要条件
【解析】 (1)a≥5 a>0,a>0a≥5.因此应填“充分不必要条件”.
(2)四边形是矩形 四边形的两对角线相等,反之不成立,比如等腰梯形.因此应填“必要不充分条件”.
(3)四边形的一组对边平行且相等 四边形的两组对边分别平行,它们实际上都在描述四边形是平行四边形.因此应填“充要条件”.
(4)当x∈R时,x2=2x=2,x=2x2=2.因此应填“既不充分也不必要条件”.
[典例迁移1] 下列选项中,p是q的充要条件的有(　　)
[A]p:0[B]p:-1[C]p:1[D]p:x<-2或x>2,q:|x|>2
【答案】 D
【解析】 对于A,因为{x|0对于B,因为{x|-1对于C,设A={x|1对于D,因为{x|x<-2或x>2}={x||x|>2},所以p是q的充要条件.故选D.
[典例迁移2] 求关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件.
【解】 当m=0时,方程为-x+2=0,解得x=2,符合题意;
当m≠0时,方程为一元二次方程,设x1,x2是方程的解,则x1+x2=,若x1+x2=2,则=2,解得m=-或m=1,但当m=-或m=1时,Δ<0,即当m=-或m=1时,方程无解.综上,只有m=0符合题意,所以关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件为m=0.
1.四种条件关系的判断方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:利用集合的包含关系判断.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论:
①若A=B,则p是q的充要条件;
②若A B,则p是q的充分不必要条件;
③若A B,则p是q的必要不充分条件;
④若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.探求充要条件的方法
探求充要条件时常常先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件,再证明此条件是该对象的充分条件,即从充分性和必要性两方面说明.
题型二　充要条件的证明
[例2] 已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
[提示:a3+b3=(a+b)·(a2-ab+b2)]
【证明】 设p:a3+b3+ab-a2-b2=0,q:a+b=1.
充分性(p q):因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0,
因为ab≠0,所以a2-ab+b2=(a-b)2+b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.
必要性(q p):因为a+b=1,所以b=1-a,所以
a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
综上所述,a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
证明p是q的充要条件分两步:一是证充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;二是证必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p.
[变式训练] 证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
【证明】 充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
题型三　条件关系的应用
[例3] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
(1)若p是q的充要条件,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(3)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
【解】 设A={x|-2≤x≤10},B={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)因为p是q的充要条件,所以A=B,所以无解,所以实数m的取值范围是 .
(2)因为p是q的充分不必要条件,所以A B,所以或【此处也可表述为(等号不同时成立)】解得m≥9,即实数m的取值范围为{m|m≥9}.
(3)因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件,所以B A,
故有(等号不同时成立),解得m≤3.又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0应用条件关系求参数的值(取值范围)
首先可以根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系,然后根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
[变式训练] 已知集合A={3,4},B={x|-3<3x-a<6},若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,求a的取值范围.
【解】 因为 “x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A B,
又B={x|-3<3x-a<6},所以3∈B,且4∈B,即
解得6课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.“a=b”是“ac=bc”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 当a=b时,可得ac=bc,即“a=b” “ac=bc”;当ac=bc时,不妨取c=0,则a,b不一定相等,即“ac=bc”“a=b”.所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件.故选B.
2.使“x∈{x|x≥3或x≤-}”成立的一个充分不必要条件是(　　)
[A]x≥0 [B]x<0或x>2
[C]x∈{-1,3,5} [D]x≥3或x≤-
【答案】 C
【解析】 各选项中,只有{-1,3,5}为{x|x≥3或x≤-}的真子集,其余均不为该集合的真子集,故“x∈{-1,3,5}”是“x∈{x|x≥3或x≤-}”的一个充分不必要条件.故选C.
3.设a,b是实数, 则“|a|<|b|”是“a[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 D
【解析】 充分性:不妨令a=1,b=-2,此时满足|a|<|b|,但a>b,充分性不成立;必要性:不妨令a=-1,b=0,此时满足a|b|,必要性不成立.故“|a|<|b|”是“a4.设p是q的充分不必要条件,r是q的必要不充分条件,s是r的充要条件,则s是p的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 因为p是q的充分不必要条件,所以p q且qp,因为r是q的必要不充分条件,所以q r且rq,因为s是r的充要条件,所以s r且r s,如图,所以p s且sp,故s是p的必要不充分条件.故选B.
5.(多选)设计如图所示的四个电路图,p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 BD
【解析】 由题知,A中电路图,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮,开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件;B中电路图,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S闭合,故B中p是q的充要条件;C中电路图,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮,则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件;D中电路图,开关S闭合,则灯泡L亮,灯泡L亮,则开关S闭合,故D中p是q的充要条件.故选BD.
6.(多选)设集合A={x|x2-x-6=0},B={x|ax-1=0且a≠0}.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,则实数a的值可以为(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 AD
【解析】 由题得A={x|x2-x-6=0}={-2,3},B={x|x=},若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,
则BA,因为a≠0,所以B≠,即B={3}或B={-2}.当B={3}时,满足3a-1=0,所以a=;当B={-2}时,满足-2a-1=0,所以a=-,所以a的值可以是,-.故选AD.
7.(5分)设a为实数,则“a3=-1”是“a2=-1”的　　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
【答案】 必要不充分
【解析】 a3=-1 a=-1,故解集为{-1},而a2=-1在R内无解,解集为 ,由于 是任何非空集合的真子集,故“a3=-1”是“a2=-1”的必要不充分条件.
8.(5分)已知p:q:2m-1【答案】 {m|m≥}
【解析】 由已知得命题p:29.(14分)已知a+b≠0,证明:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
【证明】 充分性:若a+b=1,则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,即充分性成立;
必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0,则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0,因为a+b≠0,所以a+b-1=0,
即a+b=1,即必要性成立.
综上,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
10.(14分)已知p:x-2>0,q:ax-4>0,其中a∈R且a≠0.
(1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
【解】 设p:x-2>0对应的集合为A={x|x>2},q:ax-4>0对应的集合为B={x|ax-4>0}.
当a<0时,B={x|x<};当a>0时,B={x|x>}.
(1)若p是q的充分不必要条件,则AB,当a<0时,不符合题意;
当a>0时,只要<2,所以a>2,即实数a的取值范围为{a|a>2}.
(2)若p是q的必要不充分条件,则BA,当a<0时,不符合题意;
当a>0时,只要>2,所以011.集合A,B之间的关系如图所示,p:a∈ UB,q:a∈A,则p是q的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 由题图可知A UB,则p是q的必要不充分条件.故选B.
12.(多选)在四边形ABCD中,“四边形ABCD是梯形”的一个充分不必要条件可能是(　　)
[A]AB平行于CD,且AB等于CD
[B]AB平行于CD,且AB不等于CD
[C]AB平行于CD,且AD不平行于BC
[D]AB平行于CD或AD平行于BC
【答案】 BC
【解析】 对于选项A,由“AB平行于CD,且AB等于CD”推出“四边形ABCD是平行四边形”,选项A错误;对于选项B,因为“AB平行于CD,且AB不等于CD”可以推出“四边形ABCD是梯形”,但“四边形ABCD是梯形”推不出“AB平行于CD,且AB不等于CD”,也有可能是AD∥BC,且AD≠BC,选项B正确;对于选项C,“AB平行于CD,且AD不平行于BC” 可以推出“四边形ABCD是梯形”, 但“四边形ABCD是梯形”推不出“AB平行于CD,且AD不平行于BC”,也有可能是AD∥BC,且AB不平行于CD,选项C正确;对于选项D,由“AB平行于CD或AD平行于BC”不能推出“四边形ABCD是梯形”,选项D错误.故选BC.
13.(14分)已知关于x的方程(m∈Z):①mx2-4x+4=0,②x2-4mx+4m2-4m-5=0,求方程①和②都有整数解的充要条件.
【解】 方程①有实数解的充要条件是m=0或解得m≤1;
方程②有实数解的充要条件是Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥-.
所以-≤m≤1,又m∈Z,所以m=-1或m=0或m=1.
当m=-1时,方程①即-x2-4x+4=0,无整数解;当m=0时,方程②即x2-5=0,无整数解;当m=1时,方程①x2-4x+4=0有整数解x=2,方程②x2-4x-5=0有整数解x=-1或x=5,从而方程①②都有整数解.
所以方程①和②都有整数解的充要条件是m=1.
14.甲、乙、丙、丁四名同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:
A={x|0<△x<2},B={x|-3≤x≤5},C={x|0[A]3或4 [B]2或3
[C]1或2 [D]1或3
【答案】 C
【解析】 因为此数为小于5的正整数,所以A={x|0<△x<2}={x|0因为“x∈B”是“x∈A”成立的必要不充分条件,“x∈C”是“x∈A”成立的充分不必要条件,
所以A是B的真子集,C是A的真子集,
故≤5且>,解得≤△<3,故“△”表示的数字是1或2.故选C.

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