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1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,提升数学抽象的核心素养.2.通过判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　全称量词命题的否定
知识归纳
全称量词命题 全称量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) 全称量词命题的
否定是 命题
x∈M,﹁p(x)
存在量词
知识点二　存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) 存在量词命题的
否定是 命题
x∈M,﹁p(x)
全称量词
·知识辨析·
常见正面词语的否定举例:
正面词语 等于(=) 大于(>) 小于 (<) 是 都是
否定 不等于(≠) 不大于 (≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多
有n个
否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有
n+1个
基础自测
1.命题“ x>2,x2+1≤0”的否定是(　　)
[A] x≤2,x2+1≥0
[B] x>2,x2+1>0
[C] x≤2,x2+1>0
[D] x>2,x2+1≥0
B
【解析】 由题意知,“ x>2,x2+1≤0”的否定为“ x>2,x2+1>0”.故选B.
2.设命题p: x∈Z,x2≥6x+5,则p的否定为(　　)
[A] x Z,x2<6x+5
[B] x Z,x2<6x+5
[C] x∈Z,x2<6x+5
[D] x∈Z,x2<6x+5
C
【解析】 p的否定为“ x∈Z,x2<6x+5”.故选C.
3.命题“小数都是无理数”的否定为(　　)
[A]所有小数都不是无理数
[B]有些小数是无理数
[C]有些小数不是无理数
[D]所有小数都是无理数
C
【解析】 原命题为全称量词命题,其否定为“有些小数不是无理数”.故选C.
4.(人教A版必修第一册P32习题1.5 T4改编)下列命题的否定为真命题的是
(　　)
[A]对任意的x∈R, x2≥0
[B]所有的正方形都是矩形
[C]至少有一个实数x,使x+1=0
[D]存在x∈R,x2+2≤0
D
【解析】 A,B,C都是真命题,其否定是假命题;D是假命题,其否定为真命题.故选D.
关键能力·素养培优
[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+2x+5>0;
题型一　全称量词命题的否定
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,x2+2x+5≤0.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
(2)菱形的对角线互相垂直;
(3)方程x2-8x-20=0的每一个根都不是奇数.
【解】 (2)该命题的否定:至少存在一个菱形,它的对角线不互相垂直.因为所有菱形的对角线均互相垂直,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
【解】 (3)该命题的否定:方程x2-8x-20=0至少有一个根是奇数.因为方程的两个根为-2,10,都不是奇数,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
·解题策略·
(1)对全称量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.
②否定结论:原命题中的“是”“成立”等分别改为“不是”“不成立”等.
·解题策略·
(2)全称量词命题否定后的真假判断方法.
若全称量词命题为真命题,则其否定就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定就是真命题.任何一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假.
提醒:对于省略量词的命题写其否定时,要注意添加相应的量词.
[变式训练] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,2x+1>0;
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,2x+1≤0.当x=-1时,2x+1=-1≤0,所以原命题为假命题,其否定为真命题.
(2)每个三角形至少有两个锐角;
【解】 (2)该命题的否定:存在一个三角形至多有一个锐角.原命题为真命题,其否定为假命题.
(3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
【解】 (3)该命题的否定:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.根据圆的切线的定义可知,原命题为真命题,其否定为假命题.
(4)末位数是偶数的数能被4整除.
【解】 (4)该命题的否定:存在末位数是偶数的数,不能被4整除.存在末位数是偶数的数,例如10,不能被4整除,所以原命题为假命题,其否定为真命题.
题型二　存在量词命题的否定
[例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+4=0;
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,x2+4≠0.原命题为假命题,其否定为真命题.
(2)一元二次方程不总有实数根;
【解】 (2)该命题的否定:任意一个一元二次方程都有实数根.原命题为真命题,其否定为假命题.
·解题策略·
(1)对存在量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.
②否定结论:原命题中的“有”“存在”等分别更改为“没有”“不存在”等.
(2)存在量词命题否定后的真假判断方法.
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
[变式训练] (北师大版必修第一册P22例7)写出下列存在量词命题的否定:
(1)某箱产品中至少有一件次品;
【解】 (1)“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”.
(2)方程x2-8x+15=0有一个根是偶数;
【解】 (2)“方程x2-8x+15=0有一个根是偶数”的否定是“方程x2-8x+15=0的每一个根都不是偶数”.
(3) x∈R,使x2+x+1≤0.
【解】 (3)“ x∈R,使x2+x+1≤0”的否定是“ x∈R,有x2+x+1>0”.
[例3] 已知命题p: x∈{x|4≤x≤9},x(1)若p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
题型三　由含量词命题的否定求参数
【解】 (1)法一　由题意得,p的否定: x∈{x|4≤x≤9},x≥a+4,为真命题,
则9≥a+4,即a≤5,
故当p的否定为真命题时,实数a的取值范围为{a|a≤5}.
法二　当p为真命题时,a+4>xmax=9,即a>5,故当p的否定为真命题时,
实数a的取值范围为{a|a≤5}.
(2)若命题p和命题q至少有一个是真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (2)显然当x∈R时,x2≥0,所以当q为真命题时,a+4>0,即a>-4,由(1)知当p为真命题时,a>5.
法一　当p,q同时为假命题时,a≤-4且a≤5,即a≤-4,所以当p和q至少有一个是真命题时,实数a的取值范围是{a|a>-4}.
法二　当p和q至少有一个是真命题时,
实数a的取值范围是{a|a>5}∪{a|a>-4},即{a|a>-4}.
·解题策略·
由含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题.
[变式训练] 已知命题p: x∈{x|0【解】 由命题p是真命题,得{x|0由命题q是假命题,得q的否定: x∈R,使得mx2+4x-1=0为真命题,即关于x的方程mx2+4x-1=0有实数根.
当m=0时,方程4x-1=0有实数根;当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4,
且m≠0,所以m≥-4.
因为p为真命题,q为假命题,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.
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【课程标准要求】　1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,提升数学抽象的核心素养.2.通过判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点一　全称量词命题的否定
全称量词命题 全称量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) x∈M,﹁p(x) 全称量词命题的 否定是存在量词命题
知识点二　存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) x∈M,﹁p(x) 存在量词命题的 否定是全称量词命题
常见正面词语的否定举例:
正面 词语 等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是
否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小 于(≥) 不是 不都 是
正面 词语 至少有 一个 至多有 一个 任意的 所有 的 至多 有n个
否定 一个也 没有 至少有 两个 某个 某些 至少有 n+1个
基础自测
1.命题“ x>2,x2+1≤0”的否定是(　　)
[A] x≤2,x2+1≥0
[B] x>2,x2+1>0
[C] x≤2,x2+1>0
[D] x>2,x2+1≥0
2.设命题p: x∈Z,x2≥6x+5,则p的否定为(　　)
[A] x Z,x2<6x+5
[B] x Z,x2<6x+5
[C] x∈Z,x2<6x+5
[D] x∈Z,x2<6x+5
3.命题“小数都是无理数”的否定为(　　)
[A]所有小数都不是无理数
[B]有些小数是无理数
[C]有些小数不是无理数
[D]所有小数都是无理数
4.(人教A版必修第一册P32习题1.5 T4改编)下列命题的否定为真命题的是(　　)
[A]对任意的x∈R, x2≥0
[B]所有的正方形都是矩形
[C]至少有一个实数x,使x+1=0
[D]存在x∈R,x2+2≤0
题型一　全称量词命题的否定
[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+2x+5>0;
(2)菱形的对角线互相垂直;
(3)方程x2-8x-20=0的每一个根都不是奇数.
(2)该命题的否定:至少存在一个菱形,它的对角线不互相垂直.因为所有菱形的对角线均互相垂直,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
(3)该命题的否定:方程x2-8x-20=0至少有一个根是奇数.因为方程的两个根为-2,10,都不是奇数,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
(1)对全称量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.
②否定结论:原命题中的“是”“成立”等分别改为“不是”“不成立”等.
(2)全称量词命题否定后的真假判断方法.
若全称量词命题为真命题,则其否定就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定就是真命题.任何一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假.
提醒:对于省略量词的命题写其否定时,要注意添加相应的量词.
[变式训练] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,2x+1>0;
(2)每个三角形至少有两个锐角;
(3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(4)末位数是偶数的数能被4整除.
(2)该命题的否定:存在一个三角形至多有一个锐角.原命题为真命题,其否定为假命题.
(3)该命题的否定:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.根据圆的切线的定义可知,原命题为真命题,其否定为假命题.
(4)该命题的否定:存在末位数是偶数的数,不能被4整除.存在末位数是偶数的数,例如10,不能被4整除,所以原命题为假命题,其否定为真命题.
题型二　存在量词命题的否定
[例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+4=0;
(2)一元二次方程不总有实数根;
(3) 存在一个实数x,使>2.
(2)该命题的否定:任意一个一元二次方程都有实数根.原命题为真命题,其否定为假命题.
(3)该命题的否定: x∈R,≤2.原命题为真命题,其否定为假命题.
(1)对存在量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.
②否定结论:原命题中的“有”“存在”等分别更改为“没有”“不存在”等.
(2)存在量词命题否定后的真假判断方法.
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
[变式训练] (北师大版必修第一册P22例7)写出下列存在量词命题的否定:
(1)某箱产品中至少有一件次品;
(2)方程x2-8x+15=0有一个根是偶数;
(3) x∈R,使x2+x+1≤0.
(2)“方程x2-8x+15=0有一个根是偶数”的否定是“方程x2-8x+15=0的每一个根都不是
偶数”.
(3)“ x∈R,使x2+x+1≤0”的否定是“ x∈R,有x2+x+1>0”.
题型三　由含量词命题的否定求参数
[例3] 已知命题p: x∈{x|4≤x≤9},x(1)若p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q至少有一个是真命题,求实数a的取值范围.
故当p的否定为真命题时,实数a的取值范围为{a|a≤5}.
法二　当p为真命题时,a+4>xmax=9,即a>5,故当p的否定为真命题时,实数a的取值范围为{a|a≤5}.
(2)显然当x∈R时,x2≥0,所以当q为真命题时,a+4>0,即a>-4,由(1)知当p为真命题时,a>5.
法一　当p,q同时为假命题时,a≤-4且a≤5,即a≤-4,所以当p和q至少有一个是真命题时,实数a的取值范围是{a|a>-4}.
法二　当p和q至少有一个是真命题时,实数a的取值范围是{a|a>5}∪{a|a>-4},
即{a|a>-4}.
由含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题.
[变式训练] 已知命题p: x∈{x|0由命题q是假命题,得q的否定: x∈R,使得mx2+4x-1=0为真命题,即关于x的方程mx2+4x-1=0有实数根.
当m=0时,方程4x-1=0有实数根;当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4,且m≠0,所以m≥-4.
因为p为真命题,q为假命题,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.命题“ x∈R,x2>x”的否定是(　　)
[A] x R,x2>x [B] x R,x2≤x
[C] x∈R,x2≤x [D] x∈R,x2≤x
2.命题“ a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0有实数根”的否定是(　　)
[A] a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0没有实数根
[B] a∈R,一元二次方程x2+ax+6≠0有实数根
[C] a∈R,一元二次方程x2+ax+6≠0有实数根
[D] a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0没有实数根
3.命题“方程x2-x-2=0有正根”的否定是(　　)
[A] x>0,x2-x-2≠0
[B] x<0,x2-x-2=0
[C] x>0,x2-x-2≠0
[D] x<0,x2-x-2=0
4.命题“矩形都有外接圆”的否定是(　　)
[A]全称量词命题、真命题
[B]全称量词命题、假命题
[C]存在量词命题、真命题
[D]存在量词命题、假命题
5.(多选)已知a,b∈Z,p:a+b是奇数;q:ab是偶数,则下列命题为真命题的是(　　)
[A]若p,则q [B]若q,则p
[C]若﹁q,则﹁p [D]若﹁p,则﹁q
6.“三个数a,b,c不都为0”的否定为(　　)
[A]三个数a,b,c都不是0
[B]三个数a,b,c至多有一个为0
[C]三个数a,b,c至少有一个为0
[D]三个数a,b,c都为0
7.(5分)已知命题p: x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且p的否定是假命题,则实数a的取值范围是　　　　　　.
都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},所以{x|-3≤x≤2} {x|a-4≤x≤a+5},
则解得-3≤a≤1,即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}.
8.(5分)若命题p: x∈R,x2-4x+a=0为假命题,则实数a的取值范围是　　　　,p的否定是　　　　.
由存在量词命题的否定是全称量词命题得p的否定为“ x∈R,x2-4x+a≠0”.
9.(12分)写出下列命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实根;
(2) x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0.
因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,所以原命题为真命题,所以其否定为假命题.
(2)命题的否定: x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5=0.
因为x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2,当x=-1,y=2时,x2+y2+2x-4y+5=0成立,所以其否定为真命题.
10.(15分)已知命题p: x∈[1,+∞),a-2x2≤0,命题q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0.
(1)分别写出命题p,q的否定;
(2)若两个命题都是真命题,求实数a的取值范围.
因为q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0,所以命题q的否定: x∈{x|1≤x≤3},x+a<0.
(2)因为p: x∈[1,+∞),a-2x2≤0,所以 x∈[1,+∞),a≤2x2,又x≥1,所以2x2≥2,故a≤2;
因为q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0,所以 x∈{x|1≤x≤3},a≥-x,又-3≤-x≤-1,故a≥-3.
综上,当两个命题都是真命题时,实数a的取值范围为{a|-3≤a≤2}.
11.若命题p: x∈R,<0,则p的否定的准确表述是(　　)
[A] x∈R,≥0
[B] x∈R,≥0
[C] x∈R,>0或x-2=0
[D] x∈R,>0或x-2=0
12.(多选) 已知集合A={x|x-1>2},B={x|x<-1或x>2},则下列命题的否定为假命题的是(　　)
[A] x∈B,x∈A [B] x∈B,x A
[C] x∈A,x B [D] x∈A,x∈B
13.(16分)已知命题p: x∈R,均有x2-2x+k≠0,命题q:-2(1)写出p的否定,若p的否定为真命题,求实数k的取值范围;
(2)若命题p的否定与q一真一假,求实数k的取值范围.
(2)若命题p的否定为真,q为假,则得k≤-2;
若命题p的否定为假,q为真,则得1综上,若命题p的否定与q一真一假,则实数k的取值范围为{k|k≤-2或114.(5分)(1)命题“ x∈R, n∈N*,n≥2x+1”的否定是　　　　　　　　　　;
(2)命题“ x∈R, x2+x+1>0或x2-x+1=0”的否定是　　　　　　　　　.
(2) x∈R, x2+x+1≤0且x2-x+1≠0
﹁q”,“p且q”的否定是“﹁p或﹁q”,根据以上要求,答案为(1) x∈R, n∈N*,n<2x+1;
(2) x∈R, x2+x+1≤0且x2-x+1≠0.1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
【课程标准要求】　1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,提升数学抽象的核心素养.2.通过判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识归纳
知识点一　全称量词命题的否定
全称量词命题 全称量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) x∈M,﹁p(x) 全称量词命题的 否定是存在量词命题
知识点二　存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) x∈M,﹁p(x) 存在量词命题的 否定是全称量词命题
常见正面词语的否定举例:
正面 词语 等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是
否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小 于(≥) 不是 不都 是
正面 词语 至少有 一个 至多有 一个 任意的 所有 的 至多 有n个
否定 一个也 没有 至少有 两个 某个 某些 至少有 n+1个
基础自测
1.命题“ x>2,x2+1≤0”的否定是(　　)
[A] x≤2,x2+1≥0
[B] x>2,x2+1>0
[C] x≤2,x2+1>0
[D] x>2,x2+1≥0
【答案】 B
【解析】 由题意知,“ x>2,x2+1≤0”的否定为“ x>2,x2+1>0”.故选B.
2.设命题p: x∈Z,x2≥6x+5,则p的否定为(　　)
[A] x Z,x2<6x+5
[B] x Z,x2<6x+5
[C] x∈Z,x2<6x+5
[D] x∈Z,x2<6x+5
【答案】 C
【解析】 p的否定为“ x∈Z,x2<6x+5”.故选C.
3.命题“小数都是无理数”的否定为(　　)
[A]所有小数都不是无理数
[B]有些小数是无理数
[C]有些小数不是无理数
[D]所有小数都是无理数
【答案】 C
【解析】 原命题为全称量词命题,其否定为“有些小数不是无理数”.故选C.
4.(人教A版必修第一册P32习题1.5 T4改编)下列命题的否定为真命题的是(　　)
[A]对任意的x∈R, x2≥0
[B]所有的正方形都是矩形
[C]至少有一个实数x,使x+1=0
[D]存在x∈R,x2+2≤0
【答案】 D
【解析】 A,B,C都是真命题,其否定是假命题;D是假命题,其否定为真命题.故选D.
题型一　全称量词命题的否定
[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+2x+5>0;
(2)菱形的对角线互相垂直;
(3)方程x2-8x-20=0的每一个根都不是奇数.
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,x2+2x+5≤0.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
(2)该命题的否定:至少存在一个菱形,它的对角线不互相垂直.因为所有菱形的对角线均互相垂直,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
(3)该命题的否定:方程x2-8x-20=0至少有一个根是奇数.因为方程的两个根为-2,10,都不是奇数,所以原命题为真命题,其否定为假命题.
(1)对全称量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.
②否定结论:原命题中的“是”“成立”等分别改为“不是”“不成立”等.
(2)全称量词命题否定后的真假判断方法.
若全称量词命题为真命题,则其否定就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定就是真命题.任何一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假.
提醒:对于省略量词的命题写其否定时,要注意添加相应的量词.
[变式训练] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,2x+1>0;
(2)每个三角形至少有两个锐角;
(3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(4)末位数是偶数的数能被4整除.
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,2x+1≤0.当x=-1时,2x+1=-1≤0,所以原命题为假命题,其否定为真命题.
(2)该命题的否定:存在一个三角形至多有一个锐角.原命题为真命题,其否定为假命题.
(3)该命题的否定:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.根据圆的切线的定义可知,原命题为真命题,其否定为假命题.
(4)该命题的否定:存在末位数是偶数的数,不能被4整除.存在末位数是偶数的数,例如10,不能被4整除,所以原命题为假命题,其否定为真命题.
题型二　存在量词命题的否定
[例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假.
(1) x∈R,x2+4=0;
(2)一元二次方程不总有实数根;
(3) 存在一个实数x,使>2.
【解】 (1)该命题的否定: x∈R,x2+4≠0.原命题为假命题,其否定为真命题.
(2)该命题的否定:任意一个一元二次方程都有实数根.原命题为真命题,其否定为假命题.
(3)该命题的否定: x∈R,≤2.原命题为真命题,其否定为假命题.
(1)对存在量词命题否定的两个步骤.
①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.
②否定结论:原命题中的“有”“存在”等分别更改为“没有”“不存在”等.
(2)存在量词命题否定后的真假判断方法.
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
[变式训练] (北师大版必修第一册P22例7)写出下列存在量词命题的否定:
(1)某箱产品中至少有一件次品;
(2)方程x2-8x+15=0有一个根是偶数;
(3) x∈R,使x2+x+1≤0.
【解】 (1)“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”.
(2)“方程x2-8x+15=0有一个根是偶数”的否定是“方程x2-8x+15=0的每一个根都不是
偶数”.
(3)“ x∈R,使x2+x+1≤0”的否定是“ x∈R,有x2+x+1>0”.
题型三　由含量词命题的否定求参数
[例3] 已知命题p: x∈{x|4≤x≤9},x(1)若p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q至少有一个是真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (1)法一　由题意得,p的否定: x∈{x|4≤x≤9},x≥a+4,为真命题,则9≥a+4,即a≤5,
故当p的否定为真命题时,实数a的取值范围为{a|a≤5}.
法二　当p为真命题时,a+4>xmax=9,即a>5,故当p的否定为真命题时,实数a的取值范围为{a|a≤5}.
(2)显然当x∈R时,x2≥0,所以当q为真命题时,a+4>0,即a>-4,由(1)知当p为真命题时,a>5.
法一　当p,q同时为假命题时,a≤-4且a≤5,即a≤-4,所以当p和q至少有一个是真命题时,实数a的取值范围是{a|a>-4}.
法二　当p和q至少有一个是真命题时,实数a的取值范围是{a|a>5}∪{a|a>-4},
即{a|a>-4}.
由含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题.
[变式训练] 已知命题p: x∈{x|0【解】 由命题p是真命题,得{x|0由命题q是假命题,得q的否定: x∈R,使得mx2+4x-1=0为真命题,即关于x的方程mx2+4x-1=0有实数根.
当m=0时,方程4x-1=0有实数根;当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4,且m≠0,所以m≥-4.
因为p为真命题,q为假命题,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.命题“ x∈R,x2>x”的否定是(　　)
[A] x R,x2>x [B] x R,x2≤x
[C] x∈R,x2≤x [D] x∈R,x2≤x
【答案】 C
【解析】 命题“ x∈R,x2>x”为存在量词命题,该命题的否定为“ x∈R,x2≤x”.故选C.
2.命题“ a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0有实数根”的否定是(　　)
[A] a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0没有实数根
[B] a∈R,一元二次方程x2+ax+6≠0有实数根
[C] a∈R,一元二次方程x2+ax+6≠0有实数根
[D] a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0没有实数根
【答案】 D
【解析】 命题“ a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0有实数根”的否定是“ a∈R,一元二次方程x2+ax+6=0没有实数根”.故选D.
3.命题“方程x2-x-2=0有正根”的否定是(　　)
[A] x>0,x2-x-2≠0
[B] x<0,x2-x-2=0
[C] x>0,x2-x-2≠0
[D] x<0,x2-x-2=0
【答案】 C
【解析】 命题“方程x2-x-2=0有正根”即“ x>0,x2-x-2=0”,故其否定为“ x>0,x2-x-2≠0”.故选C.
4.命题“矩形都有外接圆”的否定是(　　)
[A]全称量词命题、真命题
[B]全称量词命题、假命题
[C]存在量词命题、真命题
[D]存在量词命题、假命题
【答案】 D
【解析】 命题“矩形都有外接圆”即所有的矩形都有外接圆,为全称量词命题,且为真命题,则其否定为存在量词命题、假命题.故选D.
5.(多选)已知a,b∈Z,p:a+b是奇数;q:ab是偶数,则下列命题为真命题的是(　　)
[A]若p,则q [B]若q,则p
[C]若﹁q,则﹁p [D]若﹁p,则﹁q
【答案】 AC
【解析】 若a+b是奇数,则a,b一奇一偶,则ab是偶数,故A正确;若ab是偶数,举例a=2,b=4,此时a+b=6为偶数,故B错误;若ab不是偶数,则ab为奇数,则a,b均为奇数,则a+b为偶数,即a+b不是奇数,故C正确;若a+b不是奇数,则a+b为偶数,举例a=2,b=4,则ab此时为偶数,故D错误.故选AC.
6.“三个数a,b,c不都为0”的否定为(　　)
[A]三个数a,b,c都不是0
[B]三个数a,b,c至多有一个为0
[C]三个数a,b,c至少有一个为0
[D]三个数a,b,c都为0
【答案】 D
【解析】 因为“不都为”的否定是“都为”,所以“三个数a,b,c不都为0”的否定为“三个数a,b,c都为0”.故选D.
7.(5分)已知命题p: x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且p的否定是假命题,则实数a的取值范围是　　　　　　.
【答案】 {a|-3≤a≤1}
【解析】 因为p的否定是假命题,所以p是真命题,又 x∈{x|-3≤x≤2},
都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},所以{x|-3≤x≤2} {x|a-4≤x≤a+5},
则解得-3≤a≤1,即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}.
8.(5分)若命题p: x∈R,x2-4x+a=0为假命题,则实数a的取值范围是　　　　,p的否定是　　　　.
【答案】 {a|a>4}　 x∈R,x2-4x+a≠0
【解析】 当命题p为真命题时,等价于x2-4x+a=0有实数根,Δ≥0,所以当命题p为假命题时,Δ=(-4)2-4a<0,解得a>4.
由存在量词命题的否定是全称量词命题得p的否定为“ x∈R,x2-4x+a≠0”.
9.(12分)写出下列命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实根;
(2) x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0.
【解】 (1)命题的否定:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.
因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,所以原命题为真命题,所以其否定为假命题.
(2)命题的否定: x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5=0.
因为x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2,当x=-1,y=2时,x2+y2+2x-4y+5=0成立,所以其否定为真命题.
10.(15分)已知命题p: x∈[1,+∞),a-2x2≤0,命题q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0.
(1)分别写出命题p,q的否定;
(2)若两个命题都是真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为p: x∈[1,+∞),a-2x2≤0,所以命题p的否定: x∈[1,+∞),a-2x2>0.
因为q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0,所以命题q的否定: x∈{x|1≤x≤3},x+a<0.
(2)因为p: x∈[1,+∞),a-2x2≤0,所以 x∈[1,+∞),a≤2x2,又x≥1,所以2x2≥2,故a≤2;
因为q: x∈{x|1≤x≤3},x+a≥0,所以 x∈{x|1≤x≤3},a≥-x,又-3≤-x≤-1,故a≥-3.
综上,当两个命题都是真命题时,实数a的取值范围为{a|-3≤a≤2}.
11.若命题p: x∈R,<0,则p的否定的准确表述是(　　)
[A] x∈R,≥0
[B] x∈R,≥0
[C] x∈R,>0或x-2=0
[D] x∈R,>0或x-2=0
【答案】 D
【解析】 由存在量词命题的否定是全称量词命题,且<0等价于x<2,其否定为x≥2,即>0或x-2=0,所以p的否定: x∈R,>0或x-2=0.故选D.
12.(多选) 已知集合A={x|x-1>2},B={x|x<-1或x>2},则下列命题的否定为假命题的是(　　)
[A] x∈B,x∈A [B] x∈B,x A
[C] x∈A,x B [D] x∈A,x∈B
【答案】 BD
【解析】 因为A={x|x>3},B={x|x<-1或x>2},所以A B,所以“ x∈A,x∈B”为真命题,其否定“ x∈A,x B”为假命题;“ x∈B,x A”为真命题,其否定“ x∈B,x∈A”为假命题.故选BD.
13.(16分)已知命题p: x∈R,均有x2-2x+k≠0,命题q:-2(1)写出p的否定,若p的否定为真命题,求实数k的取值范围;
(2)若命题p的否定与q一真一假,求实数k的取值范围.
【解】 (1)p的否定: x∈R,x2-2x+k=0.若p的否定为真命题,则方程x2-2x+k=0有实数解,即Δ=4-4k≥0,解得k≤1.所以实数k的取值范围为{k|k≤1}.
(2)若命题p的否定为真,q为假,则得k≤-2;
若命题p的否定为假,q为真,则得1综上,若命题p的否定与q一真一假,则实数k的取值范围为{k|k≤-2或114.(5分)(1)命题“ x∈R, n∈N*,n≥2x+1”的否定是　　　　　　　　　　;
(2)命题“ x∈R, x2+x+1>0或x2-x+1=0”的否定是　　　　　　　　　.
【答案】 (1) x∈R, n∈N*,n<2x+1
(2) x∈R, x2+x+1≤0且x2-x+1≠0
【解析】 含有多个量词的命题的否定,前面的量词都要改写,“p或q”的否定是“﹁p且
﹁q”,“p且q”的否定是“﹁p或﹁q”,根据以上要求,答案为(1) x∈R, n∈N*,n<2x+1;
(2) x∈R, x2+x+1≤0且x2-x+1≠0.

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