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5.1.2　弧度制
1.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　角的单位制
1.角度制
度
2.弧度制
长度等于 的圆弧所对的 叫做1弧度的角.以 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制,它的单位符号是rad,读作 .
3.角的弧度数的求法
一般地,正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 .
半径长
圆心角
弧度
弧度
正数
负数
0
·疑难解惑·
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.
知识点二　角度与弧度的互化
1.角度与弧度的换算公式
2π
360°
π
180°
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
60°
180°
2π
·疑难解惑·
(1)弧度单位 rad可以省略.
(2)在同一个题目中,弧度与角度不能混用.
知识点三　角度制、弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式
α·R
lR
基础自测
1.下列说法错误的是(　　)
[A]度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
[C]根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
[D]不论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短有关
D
C
3.若α=-3 rad,则它是(　　)
[A]第一象限角　 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
C
π
关键能力·素养培优
[例1] (1)下列命题中,正确的是(　　)
[A]1弧度是1度的圆心角所对的弧
[B]1弧度是长度为半径长的弧
[C]1弧度是1度的弧与1度的角之和
[D]1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
题型一　弧度制的概念
【解析】 (1)因为1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角,所以选项A,B,C说法不正确,D正确.故选D.
D
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　)
D
·解题策略·
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
[变式训练] 下列说法中,正确的是(　　)
[A]1弧度角的大小与圆的半径无关
[B]大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
[C]圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
[D]用弧度来表示的角都是正角
A
[例2] (1)(苏教版必修第一册P173例3)把下列各角从弧度化为度:
题型二　角度制与弧度制的相互转化
②3.5.
(2)(苏教版必修第一册P173例4)把下列各角从度化为弧度:
①252°;
②11°15′.
·解题策略·
角度与弧度的互化技巧
[变式训练] 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;
(2)-15°;
[例3] 已知α=-1 520°.
(1)将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出它是第几象限角;
题型三　利用弧度表示角
(2)求与α终边相同的角θ,满足-4π≤θ<0.
·解题策略·
(1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
[变式训练] (1)用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(　　)
D
(2)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是(　　)
D
[例4] 已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=120°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
题型四　弧度制下的扇形的弧长与面积公式
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角;
(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
·解题策略·
(2)找关键.涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
[A]该扇形的半径为6π
[B]该扇形的周长为9π
[C]该扇形的面积为9π　
[D]该扇形的面积为9π2
AD
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【课程标准要求】　1.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.
知识归纳
知识点一　角的单位制
1.角度制
角可以用度为单位进行度量,1度的角等于周角的.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2.弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制,它的单位符号是rad,读作弧度.
3.角的弧度数的求法
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|=.
一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.
知识点二　角度与弧度的互化
1.角度与弧度的换算公式
角度化弧度 弧度化角度
360°=2π rad 2π rad=360°
180°=π rad π rad=180°
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=()°≈57.30°=57°18′
度数×=弧度数 弧度数×()°=度数
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
(1)弧度单位 rad可以省略.
(2)在同一个题目中,弧度与角度不能混用.
知识点三　角度制、弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式
度量制 公式
弧长公式 扇形面积公式
角度制 l= S=
弧度制 l=α·R (0<α<2π) S=lR= αR2(0<α<2π)
基础自测
1.下列说法错误的是(　　)
[A]度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
[B]1度的角是周角的,1弧度的角是周角的
[C]根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
[D]不论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短有关
2.-320°用弧度制表示为(　　)
[A]- [B]- [C]- [D]
3.若α=-3 rad,则它是(　　)
[A]第一象限角　 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
4.(人教A版必修第一册P175练习T6改编)已知扇形的圆心角为120°,半径为,则此扇形的面积为　　　　,周长为　　　　.
题型一　弧度制的概念
[例1] (1)下列命题中,正确的是(　　)
[A]1弧度是1度的圆心角所对的弧
[B]1弧度是长度为半径长的弧
[C]1弧度是1度的弧与1度的角之和
[D]1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　)
[A] [B] [C]3 [D]
(2)如图,等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形,则线段AB所对的圆心角∠AOB=,作OM⊥AB,垂足为M,在Rt△AOM 中,AO=r,∠AOM=,所以AM=r,AB=r,所以l=r,所以长度等于圆内接正三角形的边长的圆弧所对圆心角的弧度数为α==.故选D.
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
[变式训练] 下列说法中,正确的是(　　)
[A]1弧度角的大小与圆的半径无关
[B]大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
[C]圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
[D]用弧度来表示的角都是正角
题型二　角度制与弧度制的相互转化
[例2] (1)(苏教版必修第一册P173例3)把下列各角从弧度化为度:
①;②3.5.
(2)(苏教版必修第一册P173例4)把下列各角从度化为弧度:
①252°;②11°15′.
②3.5 rad=3.5×()°≈200.54°.
(2)①252°=252× rad= rad.
②11°15′=11.25°=11.25× rad= rad.
角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×()°=度数.一般情况下,省略弧度单位rad.
[变式训练] 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;(2)-15°;
(3) rad;(4)- rad.
(2)-15°=-15× rad=- rad.
(3) rad=×()°=105°.
(4)- rad=-×()°=-396°.
题型三　利用弧度表示角
[例3] 已知α=-1 520°.
(1)将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求与α终边相同的角θ,满足-4π≤θ<0.
(2)α=-10π=-+2π-10π=--8π,所以与α终边相同的角可表示为θ=-+2kπ(k∈Z),令-4π≤-+2kπ<0,解得-≤k<(k∈Z),所以k=-1,0.当k=-1时,θ=--2π=-π;当k=0时,θ=-.所以θ=-π或θ=-.
(1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
[变式训练] (1)用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(　　)
[A]{β}
[B]{β}
[C]{β}
[D]{β}
(2)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是(　　)
[A](,)　
[B][2kπ+,2kπ+](k∈Z)
[C][,]
[D][2kπ+,2kπ+](k∈Z)
(2)阴影部分的两条边界分别是,角的终边,所以α的取值范围是[2kπ+,2kπ+](k∈Z).故选D.
题型四　弧度制下的扇形的弧长与面积公式
[例4] 已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=120°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角;
(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
(2)由题意得解得(舍去),
故扇形圆心角为 rad.
(3)由题意知l+2R=20,所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以当R=5 cm时,S取得最大值25 cm2,
此时l=10 cm,α=2 rad.
(1)记公式.面积公式:S=lR=αR2,弧长公式:l=αR(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0<α<2π).
(2)找关键.涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
[变式训练] (多选)已知某扇形的弧长为3π,圆心角为,则(　　)
[A]该扇形的半径为6π
[B]该扇形的周长为9π
[C]该扇形的面积为9π　
[D]该扇形的面积为9π2
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列说法错误的是(　　)
[A]半圆所对的圆心角是π rad
[B]圆周角的大小等于2π
[C]1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
[D]长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2.将-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是(　　)
[A]--8π　 [B]-8π　
[C]-10π　 [D]-10π
3.下列各角中,与-终边相同的角是(　　)
[A]- [B] [C] [D]
4.若α=-+kπ,k∈Z,则α终边所在象限为(　　)
[A]第一象限 [B]第一、三象限
[C]第二象限 [D]第二、四象限
5.自行车的大链轮有88齿,小链轮有20齿,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮转过的弧度数是(　　)
[A] [B] [C]　 [D]
6.(多选)下列集合表示正确的是(　　)
[A]终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}
[B]终边在第二象限的角的集合为{α+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}
[C]终边在坐标轴上的角的集合是{α,k∈Z}
[D]终边在直线y=x上的角的集合是{α+2kπ,k∈Z}
7.(5分)一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长,则这段圆弧所对的圆心角为　　　　.
8.(5分)若集合A={x9.(13分)如图,用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
　图(1)　　　　　　 　图(2)　　　
(2)以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z),以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1,左边阴影部分所表示的集合为M2,
则M1={α+2kπ,k∈Z},M2={α+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2={α+2kπ或+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}.
10.(15分)已知扇形的圆心角为α,半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值;
(2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值.
法二　扇形面积S=(C-2r)·r=(C-2r)·2r≤()2=C2,当且仅当C-2r=2r,即r=C时,等号成立,此时α==2.
(2)由题意,可得αr2=S,即αr=,则扇形周长C=2r+αr=2r+≥4,当且仅当2r=,即r=时,等号成立,故当r=时,C取得最小值4,此时α==2.
11.如图所示的几何图形,设弧AD的长度是l1,弧BC的长度是l2,扇环ABCD的面积为S1,扇形BOC的面积为S2.若=3,则等于(　　)
[A]3 [B]4 [C]6 [D]8
12.若角α与角x+的终边相同,角β与角x-的终边相同,那么α与β间的关系为(　　)
[A]α+β=0
[B]α-β=0
[C]α+β=2kπ(k∈Z)
[D]α-β=+2kπ(k∈Z)
故选D.
13.(15分)如图所示,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.
所在的圆的半径是 dm,圆心角为.
所以点A走过的路径长是三段圆弧之和,即2×+1×+×=(dm).
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2+××1+××=(dm2).
14.(多选)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图,设扇形的面积为S1,其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面为“美观扇面”,下列结论正确的是(　　)
[A]=
[B]若=,扇形的半径R=3,则S1=2π
[C]若扇面为“美观扇面”,则θ=(3-)π
[D]若扇面为“美观扇面”,半径R=20,则扇形面积为200(3-)π
(3-)π×400=200(3-)π,故D正确.故选ACD.5.1.2　弧度制
【课程标准要求】　1.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.
知识归纳
知识点一　角的单位制
1.角度制
角可以用度为单位进行度量,1度的角等于周角的.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2.弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制,它的单位符号是rad,读作弧度.
3.角的弧度数的求法
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|=.
一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.
知识点二　角度与弧度的互化
1.角度与弧度的换算公式
角度化弧度 弧度化角度
360°=2π rad 2π rad=360°
180°=π rad π rad=180°
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=()°≈57.30°=57°18′
度数×=弧度数 弧度数×()°=度数
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
(1)弧度单位 rad可以省略.
(2)在同一个题目中,弧度与角度不能混用.
知识点三　角度制、弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式
度量制 公式
弧长公式 扇形面积公式
角度制 l= S=
弧度制 l=α·R (0<α<2π) S=lR= αR2(0<α<2π)
基础自测
1.下列说法错误的是(　　)
[A]度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
[B]1度的角是周角的,1弧度的角是周角的
[C]根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
[D]不论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短有关
【答案】 D
【解析】 根据角度制和弧度制的定义可知,度与弧度是度量角的两种不同的度量单位,所以A正确;由圆周角的定义知,1度的角是周角的,1弧度的角是周角的,所以B正确;根据弧度的定义知,180°一定等于π弧度,所以C正确;无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短无关,只与弧长与半径的比值有关,所以D不正确.故选D.
2.-320°用弧度制表示为(　　)
[A]- [B]- [C]- [D]
【答案】 C
【解析】 -320°=-320×=-.故选C.
3.若α=-3 rad,则它是(　　)
[A]第一象限角　 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
【答案】 C
【解析】 因为-π<-3<-,所以-3 rad是第三象限角.故选C.
4.(人教A版必修第一册P175练习T6改编)已知扇形的圆心角为120°,半径为,则此扇形的面积为　　　　,周长为　　　　.
【答案】 π　+2
【解析】 设扇形的圆心角的弧度数为α,半径为r,由题意可得α=,r=,所以扇形面积为S=αr2=××=π,扇形周长为αr+2r=×+2=+2.
题型一　弧度制的概念
[例1] (1)下列命题中,正确的是(　　)
[A]1弧度是1度的圆心角所对的弧
[B]1弧度是长度为半径长的弧
[C]1弧度是1度的弧与1度的角之和
[D]1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　)
[A] [B] [C]3 [D]
【答案】 (1)D　(2)D
【解析】 (1)因为1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角,所以选项A,B,C说法不正确,D正确.故选D.
(2)如图,等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形,则线段AB所对的圆心角∠AOB=,作OM⊥AB,垂足为M,在Rt△AOM 中,AO=r,∠AOM=,所以AM=r,AB=r,所以l=r,所以长度等于圆内接正三角形的边长的圆弧所对圆心角的弧度数为α==.故选D.
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
[变式训练] 下列说法中,正确的是(　　)
[A]1弧度角的大小与圆的半径无关
[B]大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
[C]圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
[D]用弧度来表示的角都是正角
【答案】 A
【解析】 由弧度的定义得,弧度数的大小与圆的半径无关,它由比值唯一确定,故A正确;大圆中1弧度角与小圆中1弧度角的大小相等,故B错误;圆心角为1弧度的扇形的弧长与半径大小有关,半径不相等,则扇形的弧长不相等,故C错误;正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,故D错误.故选A.
题型二　角度制与弧度制的相互转化
[例2] (1)(苏教版必修第一册P173例3)把下列各角从弧度化为度:
①;②3.5.
(2)(苏教版必修第一册P173例4)把下列各角从度化为弧度:
①252°;②11°15′.
【解】 (1)① rad=×()°=108°.
②3.5 rad=3.5×()°≈200.54°.
(2)①252°=252× rad= rad.
②11°15′=11.25°=11.25× rad= rad.
角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×()°=度数.一般情况下,省略弧度单位rad.
[变式训练] 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;(2)-15°;
(3) rad;(4)- rad.
【解】 (1)20°=20× rad= rad.
(2)-15°=-15× rad=- rad.
(3) rad=×()°=105°.
(4)- rad=-×()°=-396°.
题型三　利用弧度表示角
[例3] 已知α=-1 520°.
(1)将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求与α终边相同的角θ,满足-4π≤θ<0.
【解】 (1)因为α=-1 520°=-360°×5+280°,280°==,所以α=-10π.因为<π<2π,所以α是第四象限角.
(2)α=-10π=-+2π-10π=--8π,所以与α终边相同的角可表示为θ=-+2kπ(k∈Z),令-4π≤-+2kπ<0,解得-≤k<(k∈Z),所以k=-1,0.当k=-1时,θ=--2π=-π;当k=0时,θ=-.所以θ=-π或θ=-.
(1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
[变式训练] (1)用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(　　)
[A]{β}
[B]{β}
[C]{β}
[D]{β}
(2)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是(　　)
[A](,)　
[B][2kπ+,2kπ+](k∈Z)
[C][,]
[D][2kπ+,2kπ+](k∈Z)
【答案】 (1)D　(2)D
【解析】 (1)因为150°=150×=,且角度和弧度不能在一个集合中同时使用,故与150°角的终边相同的角的集合为{β,k∈Z}.故选D.
(2)阴影部分的两条边界分别是,角的终边,所以α的取值范围是[2kπ+,2kπ+](k∈Z).故选D.
题型四　弧度制下的扇形的弧长与面积公式
[例4] 已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=120°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角;
(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
【解】 (1)由题意知α=120°= rad,所以弧长l=α·R=×10=(cm).
(2)由题意得解得(舍去),
故扇形圆心角为 rad.
(3)由题意知l+2R=20,所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以当R=5 cm时,S取得最大值25 cm2,
此时l=10 cm,α=2 rad.
(1)记公式.面积公式:S=lR=αR2,弧长公式:l=αR(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0<α<2π).
(2)找关键.涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
[变式训练] (多选)已知某扇形的弧长为3π,圆心角为,则(　　)
[A]该扇形的半径为6π
[B]该扇形的周长为9π
[C]该扇形的面积为9π　
[D]该扇形的面积为9π2
【答案】 AD
【解析】 设该扇形所在圆的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则r===6π,A正确;该扇形的周长为6π+6π+3π=15π,该扇形的面积为××(6π)2=9π2,B,C错误,D正确.故选AD.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列说法错误的是(　　)
[A]半圆所对的圆心角是π rad
[B]圆周角的大小等于2π
[C]1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
[D]长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【答案】 D
【解析】 由弧度制的定义可知,长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度,则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度,D的说法错误,根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知,A,B,C的说法正确.故选D.
2.将-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是(　　)
[A]--8π　 [B]-8π　
[C]-10π　 [D]-10π
【答案】 D
【解析】 -1 485°=-5×360°+315°,化为α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为-10π.故选D.
3.下列各角中,与-终边相同的角是(　　)
[A]- [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为--(-)=5π,-(-)=6.5π,-(-)=7.5π,-(-)=8π,所以与-的终边相同.故选D.
4.若α=-+kπ,k∈Z,则α终边所在象限为(　　)
[A]第一象限 [B]第一、三象限
[C]第二象限 [D]第二、四象限
【答案】 B
【解析】 因为-的终边在第三象限,则反向延长其终边射线经过第一象限,故α=-+kπ,k∈Z的终边在第一、三象限.故选B.
5.自行车的大链轮有88齿,小链轮有20齿,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮转过的弧度数是(　　)
[A] [B] [C]　 [D]
【答案】 B
【解析】 由题意知,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮逆时针转过周,则小链轮转过的弧度数是×2π=.故选B.
6.(多选)下列集合表示正确的是(　　)
[A]终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}
[B]终边在第二象限的角的集合为{α+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}
[C]终边在坐标轴上的角的集合是{α,k∈Z}
[D]终边在直线y=x上的角的集合是{α+2kπ,k∈Z}
【答案】 ABC
【解析】 A,B显然正确;对于C,终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z},终边在y轴上的角的集合为{α+kπ,k∈Z},其并集为{α,k∈Z},故C正确;对于D,终边在直线y=x上的角的集合为{α+2kπ,k∈Z}或{α+2kπ,k∈Z},其并集为{α+kπ,k∈Z},故D不正确.故选ABC.
7.(5分)一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长,则这段圆弧所对的圆心角为　　　　.
【答案】
【解析】 如图,设圆的半径为R,则正方形的边长为R,所以弧长l=R,所以所求圆心角α===.
8.(5分)若集合A={x【答案】 (2kπ,2kπ+),k∈Z　(2kπ+,2kπ+),k∈Z　(-,-)∪(-,)∪(,)
【解析】 A∩B=(2kπ,2kπ+),k∈Z;A∩C=(2kπ+,2kπ+),k∈Z;分别令k=-1,0,1,可得A∩D=(2kπ-,2kπ+)∩[-10,10]=(-,-)∪(-,)∪(,).
9.(13分)如图,用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
　图(1)　　　　　　 　图(2)　　　
【解】 (1)以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z),以OB为终边的角为-+2kπ(k∈Z),所以阴影部分内的角的集合为{α+2kπ<α<+2kπ,k∈Z}.　
(2)以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z),以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1,左边阴影部分所表示的集合为M2,
则M1={α+2kπ,k∈Z},M2={α+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2={α+2kπ或+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}.
10.(15分)已知扇形的圆心角为α,半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值;
(2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值.
【解】 (1)法一　由题意,可得2r+αr=C,即αr=C-2r,则扇形面积S=αr2=(C-2r)r=-r2+Cr=-(r-C)2+C2,故当r=C时,S取得最大值C2,此时α=-2=2.
法二　扇形面积S=(C-2r)·r=(C-2r)·2r≤()2=C2,当且仅当C-2r=2r,即r=C时,等号成立,此时α==2.
(2)由题意,可得αr2=S,即αr=,则扇形周长C=2r+αr=2r+≥4,当且仅当2r=,即r=时,等号成立,故当r=时,C取得最小值4,此时α==2.
11.如图所示的几何图形,设弧AD的长度是l1,弧BC的长度是l2,扇环ABCD的面积为S1,扇形BOC的面积为S2.若=3,则等于(　　)
[A]3 [B]4 [C]6 [D]8
【答案】 D
【解析】 设扇环ABCD所对的圆心角为α,可得l1=α·OA,l2=α·OB,因为=3,所以=3,又因为S扇形AOD=l1·OA,S扇形BOC=l2·OB,所以==9,所以=8,即=8.故选D.
12.若角α与角x+的终边相同,角β与角x-的终边相同,那么α与β间的关系为(　　)
[A]α+β=0
[B]α-β=0
[C]α+β=2kπ(k∈Z)
[D]α-β=+2kπ(k∈Z)
【答案】 D
【解析】 由题意得α=x++2k1π(k1∈Z),β=x-+2k2π(k2∈Z),所以α-β=+2(k1-k2)π(k1∈Z,k2∈Z).因为k1∈Z,k2∈Z,所以k1-k2∈Z,所以α-β=+2kπ(k∈Z),同理可得α+β=2x+2kπ(k∈Z).
故选D.
13.(15分)如图所示,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.
【解】 因为所在的圆的半径是2 dm,圆心角为;所在的圆的半径是1 dm,圆心角为;
所在的圆的半径是 dm,圆心角为.
所以点A走过的路径长是三段圆弧之和,即2×+1×+×=(dm).
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2+××1+××=(dm2).
14.(多选)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图,设扇形的面积为S1,其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面为“美观扇面”,下列结论正确的是(　　)
[A]=
[B]若=,扇形的半径R=3,则S1=2π
[C]若扇面为“美观扇面”,则θ=(3-)π
[D]若扇面为“美观扇面”,半径R=20,则扇形面积为200(3-)π
【答案】 ACD
【解析】 对于A,S1,S2所在的扇形的圆心角分别为θ,2π-θ,所以==,故A正确;对于B,若==,则θ=,又R=3,则S1=·θ·R2=××9=3π,故B错误;对于C,若==,所以θ=(3-)π,故C正确;对于D,若==,则θ=(3-)π,又R=20,所以S1=·θ·R2=×
(3-)π×400=200(3-)π,故D正确.故选ACD.

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