资源简介

(共33张PPT)
5.2.2　同角三角函数的基本关系
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点　同角三角函数的基本关系
平方关系:sin2α+cos2α= ;
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
1
tan α
·疑难解惑·
(2)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2.
基础自测
D
A
A
4.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α=　　　　.
1
【解析】 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
关键能力·素养培优
题型一　利用同角三角函数的基本关系求值
[例1] 根据下列条件,求三角函数值:
[典例迁移1] 已知角α终边上有一点P(-1,2),求下列各式的值.
(1)tan α;
·解题策略·
(1)已知一个三角函数值可以求出另外两个,即“知一求二”.
①若角α所在的象限已经确定,求另外两个三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
②注意记住常见的“勾股数”,如6,8,10;5,12,13;8,15,17等,可以方便解题.
·解题策略·
题型二　sin θ±cos θ型求值问题
(1)sin θcos θ;
(2)sin θ-cos θ;
(3)sin θ和cos θ和tan θ.
·解题策略·
已知sin θ±cos θ,sin θcos θ型求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ.
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ.
(3)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
(4)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2.
上述三角恒等式告诉我们,若已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
-2
题型三　利用同角三角函数的基本关系化简和证明
·解题策略·
(1)三角函数式的化简技巧.
①化切为弦,即把正切都化为正弦、余弦,从而减少函数名称,达到化简的目的;
②对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的;
③对于含高次幂的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
·解题策略·
(2)证明三角恒等式的常用方法.
①从左向右推导或从右向左推导;
②左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子;
③化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异;
感谢观看5.2.2　同角三角函数的基本关系
【课程标准要求】　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.
知识归纳
知识点　同角三角函数的基本关系
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:=tan α.(α≠kπ+,k∈Z )
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
(1)sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α∈{α+kπ(k∈Z)}成立.
(2)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P184练习T1改编)已知α是第四象限角,若cos α=,则tan α等于(　　)
[A] [B]-
[C]2 [D]-2
【答案】 D
【解析】 因为cos α=,sin2α+cos2α=1,所以sin2α=,因为α是第四象限角,所以 sin α<0,则sin α=-,所以tan α==-2.故选D.
2.已知tan α=3,则的值为(　　)
[A]- [B] [C]-2 [D]2
【答案】 A
【解析】 由tan α==3可得cos α≠0,分式的分子和分母同时除以cos α可得,===-.故选A.
3.已知=,则等于(　　)
[A] [B]-
[C] [D]-
【答案】 A
【解析】 从=可得,cos x≠0,所以sin x≠±1,而====.故选A.
4.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α=　　　　.
【答案】 1
【解析】 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
题型一　利用同角三角函数的基本关系求值
[例1] 根据下列条件,求三角函数值:
(1)已知sin α=,且α为第二象限角,求 cos α,tan α的值;
(2)已知tan α=-,求sin α,cos α的值.
【解】 (1)因为sin α=,且sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1-sin2α=,又α为第二象限角,所以cos α<0,所以cos α=-,tan α==-.
(2)因为tan α=-,所以sin α=-cos α,且α是第二或第四象限角;
联立得cos2α=.当α是第二象限角时,cos α=-,sin α=-cos α=;当α是第四象限角时,cos α=,sin α=-cos α=-.所以cos α=-,sin α=或cos α=,sin α=-.
[典例迁移1] 已知角α终边上有一点P(-1,2),求下列各式的值.
(1)tan α;
(2);
(3).
【解】 (1)因为角α的终边过点P(-1,2),所以由三角函数定义可得tan α==-2.
(2)由(1)知,tan α=-2,所以===-.
(3)原式====-.
[典例迁移2] 已知=-1,求sin2α+sin αcos α+1的值.
【解】 法一(弦化切)　由==-1,得tan α=1,
所以sin2α+sin αcos α+1
=
=
=
===2.
法二　因为=-1,所以sin α=cos α,所以sin2α+sin αcos α+1=sin2α+cos2α+1=2.
(1)已知一个三角函数值可以求出另外两个,即“知一求二”.
①若角α所在的象限已经确定,求另外两个三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
②注意记住常见的“勾股数”,如6,8,10;5,12,13;8,15,17等,可以方便解题.
(2)已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法.
①对于形如或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正弦、余弦转化为正切,从而求值;
②对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的式子求值.
题型二　sin θ±cos θ型求值问题
[例2] 已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,求下列式子的值.
(1)sin θcos θ;
(2)sin θ-cos θ;
(3)sin θ和cos θ和tan θ.
【解】 (1)由sin θ+cos θ=,两边平方可得sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,所以1+2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=-.
(2)由sin θcos θ=-<0,又θ∈(0,π),
所以sin θ>0,所以cos θ<0,所以sin θ-cos θ>0,
所以sin θ-cos θ===.
(3)由
得tan θ==-.
已知sin θ±cos θ,sin θcos θ型求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ.
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ.
(3)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
(4)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2.
上述三角恒等式告诉我们,若已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
[变式训练] (1)若sin θ-cos θ=,则tan θ+=　　　　.　
(2)已知x∈(-,0),sin4x+cos4x=,则sin x-cos x=　　　　.
(3)已知1-sin α=cos α,α∈(-,),则tan α=　　　　.
【答案】 (1)-2　(2)-　(3)-
【解析】 (1)由已知得(sin θ-cos θ)2=2,所以sin θcos θ=-,所以tan θ+=+==-2.
(2)因为sin4x+cos4x=-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=,所以sin2xcos2x=,又x∈(-,0),所以sin x<0,cos x>0,即sin xcos x=-,sin x-cos x
=-
=-
=-=-.
(3)由题意1-sin α=cos α,所以(cos α+sin α)2=1=cos2α+sin2α,化简得cos2α+2cos αsin α=0,因为α∈(-,),所以cos α≠0,所以2tan α+1=0,解得tan α=-.
题型三　利用同角三角函数的基本关系化简和证明
[例3] (1)化简:.
(2)证明:=.
(1)【解】 原式====1.
(2)【证明】 法一　
左边==
====右边.所以原等式成立.
法二　因为(sin α-cos α+1)cos α=sin αcos α-cos2α+cos α=sin αcos α+cos α-(1-sin2α)=cos α
(sin α+1)-(1+sin α)(1-sin α)=(1+sin α)(cos α-1+sin α)=(1+sin α)(sin α+cos α-1),且sin α+
cos α-1≠0,cos α≠0,所以=.
(1)三角函数式的化简技巧.
①化切为弦,即把正切都化为正弦、余弦,从而减少函数名称,达到化简的目的;
②对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的;
③对于含高次幂的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
(2)证明三角恒等式的常用方法.
①从左向右推导或从右向左推导;
②左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子;
③化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异;
④变更命题法,如要证明=,可证ad=bc或证=等;
⑤比较法,即证明“左边-右边=0”或“=1”.
[变式训练] (1)化简:(1+tan2α)cos2α+.
(2)求证:=.
(1)【解】 因为(1+tan2α)cos2α
=(1+) cos2α=cos2α+sin2α=1.
=
==1.
所以(1+tan2α)cos2α+=1+1=2.
(2)【证明】 因为左边=
=
=
=,
右边=
=
=.
所以=.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知α∈(0,π),tan α=-2,则cos α等于(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
【答案】 D
【解析】 因为tan α==-2,所以sin α=-2cos α,又sin2α+cos2α=+cos2α=9cos2α=1,且α∈(0,π),tan α=-2<0,所以α∈(,π),
所以cos α=-.故选D.
2.已知角θ的终边在直线y=2x上,则的值为(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为角θ的终边在直线y=2x上,所以tan θ=2,所以===.故选D.
3.若A是三角形的一个内角,且sin A+cos A=,则这个三角形的形状是(　　)
[A]锐角三角形 [B]直角三角形
[C]钝角三角形 [D]无法确定
【答案】 C
【解析】 A是三角形的一个内角,所以A∈(0,π),又sin A+cos A=,平方得sin2A+cos2A+
2sin Acos A=,解得2sin Acos A=-<0,故sin A>0,cos A<0.所以A为钝角,即三角形为钝角三角形.故选C.
4.已知tan2α-sin2α=2,则tan2αsin2α的值为(　　)
[A]3 [B] [C]2 [D]
【答案】 C
【解析】 tan2αsin2α=tan2α(1-cos2α)=tan2α-tan2αcos2α=tan2α-sin2α=2.故选C.
5.已知sin αcos α=-,α∈(0,π),则sin α-cos α等于(　　)
[A] [B]- [C] [D]-
【答案】 A
【解析】 因为α∈(0,π),所以sin α>0,又sin αcos α=-,所以cos α<0,所以sin α-cos α>0,又
(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2×(-) =,所以sin α-cos α=.故选A.
6.(多选)已知角α是锐角,若sin α,cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根,则下列关于实数m,n的判断正确的是(　　)
[A]m2-2n-1=0 [B]mn>0
[C]m+n+1>0 [D]m2-4n<0
【答案】 AC
【解析】 因为sin α,cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根,所以sin α+cos α=-m,
sin αcos α=n,因为角α是锐角,所以m<0,n>0,则mn<0,故B错误;又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=m2>1,即1+2n=m2,m<-1,所以m2-2n-1=0,故A正确;而m+n+1=m++1=>0,故C正确;因为方程有两个实数根,所以m2-4n≥0,故D错误.故选AC.
7.(5分)化简=　　　　.
【答案】
【解析】 原式
=
==.
8.(5分)若α∈(,π),且cos2α-sin α=,则tan α=　　　　.
【答案】 -
【解析】 因为cos2α-sin α=,所以4(1-sin2α)-4sin α-1=0,即4sin2α+4sin α-3=0,解得sin α=或sin α=-.因为α∈(,π),所以sin α=,所以cos α=-=-,所以tan α==-.
9.(14分)已知tan α=2.
(1)求的值;
(2)求cos2α+sin αcos α-sin2α的值.
【解】 (1)因为tan α=2,所以===.
(2)因为cos2α+sin αcos α-sin2α==,且tan α=2,所以cos2α+sin αcos α-sin2α==-.
10.(15分)(1)已知θ为第三象限角,化简+.
(2)求证:(1-tan4A)·cos2A+tan2A=1.
(1)【解】 +
=+
=+
=+=.
因为θ为第三象限角,所以sin θ<0,所以原式==-.
(2)【证明】 因为(1-tan4A)·cos2A+tan2A=(1-tan2A)(1+tan2A)·cos2A+tan2A=
(1-tan2A)()·cos2A+tan2A=(1-tan2A)+tan2A=1,所以原式成立.
11.已知θ是第三象限角,tan θ,cos θ是方程2x2+ax-=0的两根,则a等于(　　)
[A]2-1 [B]1-2
[C]-2 [D]2-
【答案】 B
【解析】 因为tan θ,cos θ是方程2x2+ax-=0的两根,则由根与系数的关系得
又因为θ是第三象限角,所以θ=π+2kπ(k∈Z),故tan θ+cos θ=
-=-,故a=1-2.故选B.
12.若α,β∈(0,),且4sin2α-sin2β+=0,则当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 若α,β∈(0,),且4sin2α-sin2β+=0,则2sin α=,则2sin α+cos β=+
,注意到2+a+b≤2(a+b),其中a,b>0,所以+≤,当且仅当a=b>0时,等号成立,所以2sin α+cos β=+≤=,当且仅当sin2β-=1-sin2β,即sin β=时,等号成立,所以当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为.
故选B.
13.(15分)已知方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ.
(1)求k的值;
(2)求sin θ-cos θ的值.
【解】 (1)由方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ,得sin θ+cos θ=-,sin θ·
cos θ=.
由sin2θ+cos2θ=1及(sin θ+cos θ)2=,得1+2sin θ·cos θ=,所以1+2×=,即9k2-8k-20=0,解得k=2或k=-.当k=2时方程Δ<0,故舍去;当k=-时满足条件.
综上,k=-.
(2)由(1)知sin θ·cos θ=-.所以(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θ·cos θ=1+2×=,所以
sin θ-cos θ=±.
14.若α,β∈(-,),sin α,sin β为方程4x2+2x-1=0的两个根,则tan αtan β等于(　　)
[A]- [B]-
[C]- [D]-
【答案】 D
【解析】 因为sin α,sin β是方程4x2+2x-1=0的两根,则sin α+sin β=-<0,sin αsin β=-<0,且α,
β∈(-,),
则cos α>0,cos β>0,可得cos αcos β=
==
==,所以tan αtan β===-.故选D.5.2.2　同角三角函数的基本关系
【课程标准要求】　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.
知识归纳
知识点　同角三角函数的基本关系
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:=tan α.(α≠kπ+,k∈Z )
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
(1)sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α∈{α+kπ(k∈Z)}成立.
(2)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P184练习T1改编)已知α是第四象限角,若cos α=,则tan α等于(　　)
[A] [B]-
[C]2 [D]-2
2.已知tan α=3,则的值为(　　)
[A]- [B] [C]-2 [D]2
3.已知=,则等于(　　)
[A] [B]-
[C] [D]-
4.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α=　　　　.
题型一　利用同角三角函数的基本关系求值
[例1] 根据下列条件,求三角函数值:
(1)已知sin α=,且α为第二象限角,求 cos α,tan α的值;
(2)已知tan α=-,求sin α,cos α的值.
(2)因为tan α=-,所以sin α=-cos α,且α是第二或第四象限角;
联立得cos2α=.当α是第二象限角时,cos α=-,sin α=-cos α=;当α是第四象限角时,cos α=,sin α=-cos α=-.所以cos α=-,sin α=或cos α=,sin α=-.
[典例迁移1] 已知角α终边上有一点P(-1,2),求下列各式的值.
(1)tan α;
(2);
(3).
(2)由(1)知,tan α=-2,所以===-.
(3)原式====-.
[典例迁移2] 已知=-1,求sin2α+sin αcos α+1的值.
所以sin2α+sin αcos α+1
=
=
=
===2.
法二　因为=-1,所以sin α=cos α,所以sin2α+sin αcos α+1=sin2α+cos2α+1=2.
(1)已知一个三角函数值可以求出另外两个,即“知一求二”.
①若角α所在的象限已经确定,求另外两个三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
②注意记住常见的“勾股数”,如6,8,10;5,12,13;8,15,17等,可以方便解题.
(2)已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法.
①对于形如或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正弦、余弦转化为正切,从而求值;
②对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的式子求值.
题型二　sin θ±cos θ型求值问题
[例2] 已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,求下列式子的值.
(1)sin θcos θ;
(2)sin θ-cos θ;
(3)sin θ和cos θ和tan θ.
(2)由sin θcos θ=-<0,又θ∈(0,π),
所以sin θ>0,所以cos θ<0,所以sin θ-cos θ>0,
所以sin θ-cos θ===.
(3)由
得tan θ==-.
已知sin θ±cos θ,sin θcos θ型求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ.
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ.
(3)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
(4)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2.
上述三角恒等式告诉我们,若已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
[变式训练] (1)若sin θ-cos θ=,则tan θ+=　　　　.　
(2)已知x∈(-,0),sin4x+cos4x=,则sin x-cos x=　　　　.
(3)已知1-sin α=cos α,α∈(-,),则tan α=　　　　.
(2)因为sin4x+cos4x=-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=,所以sin2xcos2x=,又x∈(-,0),所以sin x<0,cos x>0,即sin xcos x=-,sin x-cos x
=-
=-
=-=-.
(3)由题意1-sin α=cos α,所以(cos α+sin α)2=1=cos2α+sin2α,化简得cos2α+2cos αsin α=0,因为α∈(-,),所以cos α≠0,所以2tan α+1=0,解得tan α=-.
题型三　利用同角三角函数的基本关系化简和证明
[例3] (1)化简:.
(2)证明:=.
左边==
====右边.所以原等式成立.
法二　因为(sin α-cos α+1)cos α=sin αcos α-cos2α+cos α=sin αcos α+cos α-(1-sin2α)=cos α
(sin α+1)-(1+sin α)(1-sin α)=(1+sin α)(cos α-1+sin α)=(1+sin α)(sin α+cos α-1),且sin α+
cos α-1≠0,cos α≠0,所以=.
(1)三角函数式的化简技巧.
①化切为弦,即把正切都化为正弦、余弦,从而减少函数名称,达到化简的目的;
②对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的;
③对于含高次幂的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
(2)证明三角恒等式的常用方法.
①从左向右推导或从右向左推导;
②左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子;
③化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异;
④变更命题法,如要证明=,可证ad=bc或证=等;
⑤比较法,即证明“左边-右边=0”或“=1”.
[变式训练] (1)化简:(1+tan2α)cos2α+.
(2)求证:=.
=(1+) cos2α=cos2α+sin2α=1.
=
==1.
所以(1+tan2α)cos2α+=1+1=2.
=
=
=,
右边=
=
=.
所以=.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知α∈(0,π),tan α=-2,则cos α等于(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
所以cos α=-.故选D.
2.已知角θ的终边在直线y=2x上,则的值为(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
3.若A是三角形的一个内角,且sin A+cos A=,则这个三角形的形状是(　　)
[A]锐角三角形 [B]直角三角形
[C]钝角三角形 [D]无法确定
2sin Acos A=,解得2sin Acos A=-<0,故sin A>0,cos A<0.所以A为钝角,即三角形为钝角三角形.故选C.
4.已知tan2α-sin2α=2,则tan2αsin2α的值为(　　)
[A]3 [B] [C]2 [D]
5.已知sin αcos α=-,α∈(0,π),则sin α-cos α等于(　　)
[A] [B]- [C] [D]-
(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2×(-) =,所以sin α-cos α=.故选A.
6.(多选)已知角α是锐角,若sin α,cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根,则下列关于实数m,n的判断正确的是(　　)
[A]m2-2n-1=0 [B]mn>0
[C]m+n+1>0 [D]m2-4n<0
sin αcos α=n,因为角α是锐角,所以m<0,n>0,则mn<0,故B错误;又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=m2>1,即1+2n=m2,m<-1,所以m2-2n-1=0,故A正确;而m+n+1=m++1=>0,故C正确;因为方程有两个实数根,所以m2-4n≥0,故D错误.故选AC.
7.(5分)化简=　　　　.
=
==.
8.(5分)若α∈(,π),且cos2α-sin α=,则tan α=　　　　.
9.(14分)已知tan α=2.
(1)求的值;
(2)求cos2α+sin αcos α-sin2α的值.
(2)因为cos2α+sin αcos α-sin2α==,且tan α=2,所以cos2α+sin αcos α-sin2α==-.
10.(15分)(1)已知θ为第三象限角,化简+.
(2)求证:(1-tan4A)·cos2A+tan2A=1.
=+
=+
=+=.
因为θ为第三象限角,所以sin θ<0,所以原式==-.
(1-tan2A)()·cos2A+tan2A=(1-tan2A)+tan2A=1,所以原式成立.
11.已知θ是第三象限角,tan θ,cos θ是方程2x2+ax-=0的两根,则a等于(　　)
[A]2-1 [B]1-2
[C]-2 [D]2-
又因为θ是第三象限角,所以θ=π+2kπ(k∈Z),故tan θ+cos θ=
-=-,故a=1-2.故选B.
12.若α,β∈(0,),且4sin2α-sin2β+=0,则当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
,注意到2+a+b≤2(a+b),其中a,b>0,所以+≤,当且仅当a=b>0时,等号成立,所以2sin α+cos β=+≤=,当且仅当sin2β-=1-sin2β,即sin β=时,等号成立,所以当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为.
故选B.
13.(15分)已知方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ.
(1)求k的值;
(2)求sin θ-cos θ的值.
cos θ=.
由sin2θ+cos2θ=1及(sin θ+cos θ)2=,得1+2sin θ·cos θ=,所以1+2×=,即9k2-8k-20=0,解得k=2或k=-.当k=2时方程Δ<0,故舍去;当k=-时满足条件.
综上,k=-.
(2)由(1)知sin θ·cos θ=-.所以(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θ·cos θ=1+2×=,所以
sin θ-cos θ=±.
14.若α,β∈(-,),sin α,sin β为方程4x2+2x-1=0的两个根,则tan αtan β等于(　　)
[A]- [B]-
[C]- [D]-
β∈(-,),
则cos α>0,cos β>0,可得cos αcos β=
==
==,所以tan αtan β===-.故选D.

展开更多......

收起↑