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第3课时　诱导公式的综合应用
【课程标准要求】　1.熟练掌握诱导公式的结构特征.2.会利用诱导公式求值、化简与证明.
题型一　利用诱导公式证明恒等式
[例1] 求证:=.
【证明】 因为左边==
==-==右边,所以原式成立.
对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
[变式训练] 证明:sin(217°-α)cos(α-127°)+cos2(127°-α)tan2(53°+α)=1.
【证明】 sin(217°-α)=sin[180°+(37°-α)]=-sin(37°-α),
cos(α-127°)=cos(127°-α)=-sin(37°-α),cos2(127°-α)=sin2(37°-α),
tan2(53°+α)=
==,
故等式左边=sin2(37°-α)+cos2(37°-α)=1,等式成立.
题型二　诱导公式在解三角形中的应用
[例2] 已知在△ABC中,sin =sin ,试判断△ABC的形状.
【解】 因为A+B+C=π,所以A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.又sin =sin ,所以sin =
sin ,所以sin(-C)=sin(-B),所以cos C=cos B.又B,C为△ABC的内角,所以C=B,所以△ABC为等腰三角形.
利用诱导公式解决实际问题时,需注意公式四和公式五中的互补和互余,是广义上的互补和互余.在涉及三角形问题时,一定要注意根据三角形内角和A+B+C=π以及题目的具体条件进行适当变形,再化简求值.
[变式训练] 已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cos2+cos2=1;
(2)若cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
【证明】 (1)因为在△ABC中,A+B=π-C,所以=-,所以cos=cos(-)=sin ,
所以cos2+cos2=sin2+cos2=1.
(2)因为cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,所以-sin A·(-cos B)·tan C<0,即sin Acos Btan C<0.
又A,B,C∈(0,π),所以sin A>0,所以cos Btan C<0,即cos B<0,tan C>0或 tan C<0,cos B>0,所以B为钝角或C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
题型三　三角函数的综合应用
[例3] 已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(,).
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β是将角α的终边顺时针旋转得到的,求5sin β-5cos β+3tan β的值.
【解】 (1)根据题意,sin α==,cos α==,tan α==,sin(α+π)=
-sin α=-.
(2)根据题意,β=α-,故5sin β-5cos β+3tan β=5sin(α-)-5cos(α-)+3tan(α-)=5cos α+
5sin α-=5×+5×-3×=-.
对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少.对于特殊角的三角函数值,有时候先求出角然后化简比较简单.
[变式训练] 已知tan(α-180°)=-,且90°<α<180°,求cos(α-360°)+sin(180°+α)值.
【解】 法一　tan(α-180°)=tan α=-,
又cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos α-sin α,
则(cos α-sin α)2
=
===4.
又90°<α<180°,所以sin α>0,cos α<0,
即cos α-sin α<0,所以cos α-sin α=-2,
即cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos α-sin α=-2.
法二　因为tan(α-180°)=tan α=-,90°<α<180°,所以α=120°,
所以cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos(120°-360°)+sin(180°+120°)=cos 120°-sin 120°=
--×=-2.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.计算sin(3π-)-cos(+)+tan(-)等于(　　)
[A]+1 [B]1
[C]-1 [D]-+1
【答案】 A
【解析】 原式=sin(π-)-cos(+)+tan(-)=sin +sin +tan =+1.故选A.
2.已知角α和角β的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边关于y轴对称,则下列关系正确的是(　　)
[A]sin α=sin β [B]cos α=cos β
[C]sin α=cos β [D]cos α=sin β
【答案】 A
【解析】 由题意,角α和β的终边关于y轴对称,则α+β=(2k+1)π(k∈Z),即α=(2k+1)π-β(k∈Z),所以sin α=sin[(2k+1)π-β]=sin(π-β)=sin β(k∈Z),cos α=cos[(2k+1)π-β]=cos(π-β)=-cos β(k∈Z),故A正确,B,C,D均错误.故选A.
3.若sin(α+β)=1,则tan(2α+β)+tan β等于(　　)
[A]0 [B]1 [C]-1 [D]2
【答案】 A
【解析】 法一　取α=,β=0,则满足sin(α+β)=1,此时tan(π+0)+tan 0=0+0=0.故选A.
法二　由sin(α+β)=1,得α+β=2kπ+(k∈Z),则α=2kπ+-β(k∈Z),因此tan(2α+β)+tan β=
tan[2(2kπ+-β)+β]+tan β=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0.故选A.
4.已知f(sin x)=cos 3x(x为锐角),则f(cos 10°)的值为(　　)
[A]- [B] [C]- [D]
【答案】 A
【解析】 法一　f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=-.故选A.
法二　用-x替换f(sin x)=cos 3x中的x,则f(cos x)=f(sin(-x))=cos[3(-x)]=-sin 3x,
所以f(cos 10°)=-sin 30°=-.故选A.
5.(多选)在△ABC中,下列等式一定成立的是(　　)
[A]sin(A+C)=sin B
[B]cos(B+C)=cos A
[C]sin =cos
[D]sin2+cos2=1
【答案】 AC
【解析】 A选项,sin(A+C)=sin(π-B)=sin B,A正确;B选项,cos(B+C)=cos(π-A)=-cos A,B错误;C选项,sin =sin(-)=cos ,C正确;D选项,因为cos2=cos2(-)=sin2,故sin2+cos2=2sin2不一定等于1,D错误.故选AC.
6.(多选)已知sin(+α)=,则角α的终边可能在(　　)
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]x轴的非正半轴上
【答案】 BCD
【解析】 原等式可化为-cos α=,所以-cos α=,所以|cos α|=-cos α,所以cos α≤0,所以α的终边在第二、第三象限或在x轴的非正半轴上.故选BCD.
7.(5分)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线x+y=0上,则=　　　　.
【答案】 -1
【解析】 sin(2π-α)=-sin α,cos(-α)=cos(-α)=sin α,sin2(α+)=cos2α,故原式==-tan2α,由题得点M(1,-1)在角α的终边上,故tan α==-1,故原式=-1.
8.(5分)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α=　　　　.
【答案】
【解析】 由2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0,
可得-2tan α+3sin β+5=0,
即2tan α-3sin β-5=0,①
由tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,
可得tan α-6sin β-1=0,②
由①×2-②得3tan α-9=0,所以tan α=3,
即=3.因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=,又α为锐角,所以sin α=.
9.(13分)求证:sin[nπ+(-1)n·]=cos[2nπ+(-1)n·](n∈Z).
【证明】 (1)当n=2k,k∈Z时,
左边=sin[2kπ+(-1)2k·]=sin =,
右边=cos[4kπ+(-1)2k·]=cos =,
即左边=右边;
(2)当n=2k+1,k∈Z时,
左边=sin[2kπ+π+(-1)2k+1·]=sin(π-)=sin =,
右边=cos[2(2k+1)π+(-1)2k+1·]=cos(-)=cos =,
即左边=右边.
综上可得sin[nπ+(-1)n·]=cos[2nπ+(-1)n·](n∈Z),故命题得证.
10.(14分)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
【解】 由题意得sin A=sin B,cos A=cos B,两边平方相加得2cos2A=1,则cos A=±,又A∈(0,π),所以A=或.
当A=时,cos B=-<0,所以B∈(,π),此时A,B均为钝角,不符合题意,舍去.所以A=,cos B=,所以B=,所以C=.
综上所述,A=,B=,C=.
11.(多选)已知函数f(x)=,且f(α)=2,α∈(0,π),则下列结论正确的是(　　)
[A]f(2 025π-α)=
[B]tan α=
[C]sin2α-2sin αcos α=
[D]sin4(+α)+cos4(-α)=
【答案】 AC
【解析】 由题意=2得=2,解得tan α=-3,故B错误;
所以f(2 025π-α)
=
===,故A正确;sin2α-2sin αcos α====,故C正确;
sin αcos α====-,sin4(+α)+cos4(-α)=cos4α+sin4α=(sin2α+cos2α)2-
2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1-2(sin αcos α)2=1-2×=,故D错误.故选AC.
12.(5分)化简:=　　　　.
【答案】 cos 6-sin 6
【解析】 原式===|cos 6-sin 6|.因为<6<2π,所以cos 6>0,sin 6<0,因此cos 6-sin 6>0,所以原式=cos 6-sin 6.
13.(15分)已知在单位圆中,锐角α的终边与单位圆相交于点P(m,),连接圆心O和P得到射线OP,将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B(图略),其中θ∈(0,).
(1)求出m的值和锐角α的大小;
(2)求的值;
(3)记点B的横坐标为f(θ),若f(θ-)=,求cos(θ-)+cos(θ-)的值.
【解】 (1)由于点P在单位圆上,且α是锐角,可得
m>0,m2+()2=1,则m=,所以cos α=,
且α为锐角,可得α=∠xOP=.
(2)==2cos α=1.
(3)由(1)可知α=∠xOP=,根据三角函数定义可得,f(θ)=cos(θ+),因为f(θ-)=cos(θ+)=>0,
且θ∈(0,),因此θ+∈(,),所以sin(θ+)=.所以cos(θ-)+cos(θ-)=cos[(θ+)-]+
cos[(θ+)-π]=sin(θ+)-cos(θ+)=.
14.(5分)计算:(1)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=　　　　.
(2)sin21′+sin22′+sin23′+…+sin289°59′=　　　　.
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)设S=sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°,①
则S=sin289°+sin288°+…+sin22°+sin21°=cos21°+cos22°+…+cos288°+cos289°,②
①+②可得2S=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin289°+cos289°)=89,所以S=.
(2)类似(1)的解法,设S=sin 21′+sin22′+sin23′+…+sin289°59′,则2S=5 399,所以S=.(共27张PPT)
第 2课时　诱导公式五、六
1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵及结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　诱导公式五
y=x
cos α
sin α
知识点二　诱导公式六
cos α
-sin α
·轻松记忆·
(2)记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”.
『知识拓展』
基础自测
C
A
A
关键能力·素养培优
题型一　化简
·解题策略·
(1)化简方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,熟练应用“奇变偶不变,符号看象限”,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.
(2)常用技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.
题型二　求值
B
0
·解题策略·
(1)知值求值问题的求解方法.
①观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数,将不同的角化为相同的角是解决问题的关键.
②对于有条件的三角函数求值题,求解的一般方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知式完成求值.
·解题策略·
③当所给的角是复合角时,不易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系.
题型三　诱导公式的综合应用
(1)化简f(α);
·解题策略·
诱导公式综合应用要“三看”
一看角:化大为小;看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,以便逆用平方和差、立方和差公式等.
感谢观看第2课时　诱导公式五、六
【课程标准要求】　1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵及结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
知识归纳
知识点一　诱导公式五
1.角-α与角α的终边关于直线y=x对称,如图所示.
2.公式:sin(-α) =cos α,cos(-α)=sin α.
知识点二　诱导公式六
1.公式五与公式六中角的联系为+α=π-(-α).
2.公式:sin(+α)=cos α,cos(+α)=-sin α.
(1)记忆方法:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”.
知识拓展
公式七:sin(-α)=-cos α,cos(-α)=-sin α.
公式八:sin(+α)=-cos α,cos(+α)=sin α.
诱导公式一～八可以统一概括为α+k·(k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号,简称为“奇变偶不变,符号看象限”.当k=0,1,2,3时,±α的具体情况如下表:
不变名 变名
k=0 k=2 k=1 k=3
±α -α π-α π+α -α +α -α +α
α看成锐角时, ±α所在象限 四 二 三 一 二 三 四
基础自测
1.下列等式恒成立的是(　　)
[A]sin(π+α)=sin α　
[B]cos(α-)=-sin α
[C]sin(-+α)=cos α
[D]tan(π+α)=-tan α
【答案】 C
【解析】 sin(π+α)=-sin α,故A错误;cos(α-)=cos(-α)=sin α,故B错误;sin(-+α)=cos α,故C正确;tan(π+α)=tan α,故D错误.故选C.
2.已知cos(-α)=,则cos(+α)等于(　　)
[A]- [B] [C]- [D]
【答案】 A
【解析】 因为cos(-α)=sin α=,所以cos(+α)=-sin α=-.故选A.
3.(人教A版必修第一册P195习题5.3 T8改编)已知sin(60°+α)=-,则cos(30°-α)的值为(　　)
[A]- [B]
[C]- [D]
【答案】 A
【解析】 cos(30°-α)=cos[90°-(60°+α)]=sin(60°+α)=-.故选A.
4.化简:=　　　　.
【答案】
【解析】 原式==.
题型一　化简
[例1] 化简:+.
【解】 原式=+=+=tan2α-tan2α=0.
(1)化简方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,熟练应用“奇变偶不变,符号看象限”,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.
(2)常用技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.
[变式训练] 化简:
.
【解】 原式
=
==-cos α.
题型二　求值
[例2] 已知cos(-α)=,求cos(+α)-sin2(α-)+sin(--α)的值.
【解】 因为cos(+α)=cos[π-(-α)]=-cos(-α)=-,
sin2(α-)=1-cos2(-α)=,sin(--α)=sin[-+(-α)]=-sin[-(-α)]=-cos(-α)=-,
所以原式=--×-=-.
[典例迁移1] 已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
【答案】 B
【解析】 sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)=-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)·
(-tan 31°)=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°==.故选B.
[典例迁移2] 若cos(-α)=,则sin(+α)+sin(α-)=　　　　.
【答案】 0
【解析】 因为sin(+α)=sin[-(-α)]=cos(-α)=.sin(α-)=sin[--(-α)]=-sin[+(-α)]=
-cos(-α)=-.所以原式=-=0.
(1)知值求值问题的求解方法.
①观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数,将不同的角化为相同的角是解决问题的关键.
②对于有条件的三角函数求值题,求解的一般方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知式完成求值.
③当所给的角是复合角时,不易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系.
(2)常见的互余、互补关系.一般常见的互余关系有-α与+α;+α与-α;+α与-α等.常见的互补关系有+α与-α;+α与-α等.
题型三　诱导公式的综合应用
[例3] 已知:
f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos(2π-α)=-,且α为第二象限角,求f(-α)的值.
【解】 (1)f(α)
=
==-tan α.
(2)由cos(2π-α)=-,得cos α=-,
又α为第二象限角,则sin α==,
所以tan α==-,
所以f(-α)=-tan(-α)=-=-=-=.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角:化大为小;看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,以便逆用平方和差、立方和差公式等.
[变式训练] 已知sin α是方程5x2-7x-6=0的其中一个根,α是第三象限角,求
·tan2(π-α)的值.
【解】 方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-,x2=2(舍去),由α是第三象限角,
得sin α=-,则cos α=-,
所以·tan2(π-α)
=·tan2α
=·tan2α=-tan2α
=-=-.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知sin(π+α)=,则cos(-α)等于(　　)
[A]- [B] [C]- [D]
【答案】 B
【解析】 因为sin(π+α)=-sin α=,所以cos(-α)=-sin α=.故选B.
2.若sin(-θ)<0,且cos(+θ)>0,则θ是(　　)
[A]第一象限角 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
【答案】 C
【解析】 因为sin(-θ)=cos θ<0,cos(+θ)=-sin θ>0,即sin θ<0,所以θ是第三象限角.故选C.
3.已知角α的终边过点P(3,-3),则sin(α+)等于(　　)
[A] [B] [C]- [D]-
【答案】 A
【解析】 因为角α的终边过点P(3,-3),所以cos α===,所以sin(α+)=
cos α=.故选A.
4.若cos(α-)=,则sin(-α)等于(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为cos(α-)=,即cos[(α-)-]=,所以sin(α-)=,则sin(-α)=sin[-(α-)]=
-sin(α-)=-.故选A.
5.已知sin(+α)=,那么tan(-α)等于(　　)
[A]- [B]±2 [C] [D]2
【答案】 B
【解析】 因为sin(+α)=,所以cos(-α)=cos[-(+α)]=sin(+α)=,则sin(-α)=
±=±,所以tan(-α)==±2.故选B.
6.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(　　)
[A]sin(3π-x)=sin x
[B]sin =cos
[C]cos(+3x)=sin 3x
[D]cos(+2x)=-sin 2x
【答案】 AB
【解析】 sin(3π-x)=sin(π-x)=sin x,A正确;sin =sin(-)=cos ,B正确;cos(+3x)=
cos(+3x)=-sin 3x,C错误;cos(+2x)=sin 2x,D错误.故选AB.
7.(5分)若sin(75°+α)=,则cos(α-15°)+sin(105°-α)=　　　　.
【答案】
【解析】 因为(75°+α)-(α-15°)=90°,(75°+α)+(105°-α)=180°,所以cos(α-15°)+sin(105°-α)=
cos[90°-(75°+α)]+sin[180°-(75°+α)]=2sin(75°+α)=2×=.
8.(5分)已知cos(-x)+sin(π-x)=,则sin x·sin(+x)=　　　　.
【答案】 -
【解析】 由cos(-x)+sin(π-x)=,得cos x+sin x=,两边平方得1+2sin xcos x=,
解得sin xcos x=-,所以sin x·sin(+x)=sin xcos x=-.
9.(13分)已知α是第三象限角,且f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos(α-)=,求f(α)的值.
【解】 (1)f(α)
=
==-cos2α.
(2)若cos(α-)=,则-sin α=,
即sin α=-,所以cos2α=1-sin2α=,
所以f(α)=-cos2α=-.
10.(15分)已知:
=.
(1)求tan x的值;
(2)若sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,求m2+3n的值.
【解】 (1)因为=,
所以=,所以=,解得tan x=2.
(2)因为sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,所以所以m2+3n=(sin x+cos x)2+3sin xcos x=1+5sin xcos x,又sin xcos x====,所以m2+3n=1+5×=3.
11.已知cos(37°+α)=,且0°<α<90°,则tan(37°+α)sin2(53°-α)-cos(143°-α)等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为0°<α<90°,cos(37°+α)=>0,故37°<37°+α<90°,则sin(37°+α)=,
则tan(37°+α)=2,又sin2(53°-α)=sin2[90°-(37°+α)]=cos2(37°+α)=,cos(143°-α)=
cos[180°-(37°+α)]=-cos(37°+α)=-,故原式=2×-(-)=.故选D.
12.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,则下列角β中,可能与角α“广义互余”的是(　　)
[A]sin β= [B]cos(π+β)=
[C]tan β= [D]tan β=
【答案】 AC
【解析】 因为sin(π+α)=-sin α=-,所以sin α=,若α+β=,则β=-α,所以sin β=sin(-α)=
cos α=±,故A符合条件;cos(π+β)=-cos(-α)=-sin α=-,故B不符合条件;tan β=,即sin β=
cos β,又sin2β+cos2β=1,所以sin β=±,故C符合条件;tan β=,即sin β=cos β,又sin2β+cos2β=1,所以sin β=±,故D不符合条件.故选AC.
13.(15分)已知
f(α)=.
(1)若α∈(0,2π),且f(α)=-,求α的值;
(2)若f(α)-f(+α)=,且α∈(,),求tan α的值.
【解】 (1)f(α)=
===sin α,所以f(α)=sin α=-,因为α∈(0,2π),所以α=或α=.
(2)由(1)知,f(α)=sin α,所以f(α)-f(+α)=sin α-sin(+α)=sin α+cos α=,所以sin α=-cos α,所以cos2α+(-cos α)2=1,即(5cos α-4)(10cos α+6)=0,可得cos α=或cos α=-.
因为α∈(,),所以cos α=-,所以sin α=-cos α=-(-)=,所以tan α==×(-)=-.
14.在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动,M点运动的角速度为 rad/s,若点M的初始位置为(,),则经过3 s,动点M所处的位置的坐标为(　　)
[A](,) [B](-,)
[C](-,) [D](-,-)
【答案】 C
【解析】 M点运动的角速度为 rad/s,则经过 3 s,转了×3= rad,设点M的初始位置坐标为(cos α,sin α),则cos α=,sin α=,经过3 s,动点M所处的位置的坐标为(cos(α+),sin(α+)),即(-sin α,cos α),所以经过3 s,动点M所处的位置的坐标为(-,).故选C.第1课时　诱导公式二、三、四
【课程标准要求】　1.理解诱导公式二、三、四的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵和结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
知识归纳
知识点一　诱导公式二
1.角π+α与角α的终边关于原点对称,如图所示.
2.公式:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.
知识点二　诱导公式三
1.角-α与角α的终边关于x轴对称,如图所示.
2.公式:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
知识点三　诱导公式四
1.角π-α与角α的终边关于y轴对称,如图所示.
2.公式:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.
诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ+,k∈Z.
(1)记忆方法:2kπ+α,-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”,“口诀”的正确理解:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数值在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值.
基础自测
1.sin 120°的值是(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
2.cos 的值是(　　)
[A] [B]- [C]- [D]
3.若tan(π+α)=-4,则等于(　　)
[A]4 [B] [C]-4 [D]-
4.(人教A版必修第一册P191练习T3改编)化简:=　　　　.
==1.
题型一　给角求值
[例1] 利用公式求下列三角函数值:
(1)sin 870°+cos(-1 100°)+tan(-2 040°);
(2)sin(-) cos(-) tan .
=sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°=,
cos(-1 110°)=cos(-3×360°-30°)
=cos(-30°)=cos 30°=,
tan(-2 040°)=-tan 2 040°
=-tan(6×360°-120°)
=-tan(-120°)=tan 120°
=tan(180°-60°)=-tan 60°=-,
所以原式=+-=.
(2)因为sin(-) =sin(-6π+)
=sin =sin(π-)=sin =,
cos(-)=cos =cos(4π+)
=cos =cos(π-)=-cos =-,
tan =tan(5π+)=tan(π+)=tan =1,所以原式=×(-)×1=-.
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化.
(2)“大化小”——用公式一将角化为0到2π间的角.
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于的角转化为锐角.
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
[变式训练] (1)cos(-480°)+sin 210°=　　　　.
(2)sin(-)·cos ·tan =　　　　.
cos(180°-60°)-=-cos 60°-=--=-1.
(2)原式=sin(-4π+)·cos(4π-)·tan(6π+)=sin ·cos(-)·tan =sin(π+)·cos ·tan =
-sin ·cos ·tan =-××=-.
题型二　给值(式)求值
[例2] (1)已知cos(-α)=,求cos(+α)-sin2(α-)的值;
(2)已知cos(α-75°)=-,且α为第四象限角,求sin(105°+α)的值.
sin2(α-)=sin2[-(-α)]=sin2(-α)=1-cos2(-α)=,
因此,cos(+α)-sin2(α-)=--=-.
(2)因为α为第四象限角,
所以270°+k·360°<α<360°+k·360°(k∈Z),
所以195°+k·360°<α-75°<285°+k·360°(k∈Z),
所以sin(α-75°)<0,
则sin(α-75°)=-=-,
因此sin(105°+α)=sin[(α-75°)+180°]=-sin(α-75°)=.
(1)解决给值求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间角的差异及联系,用已知角表示待求角.
(2)利用诱导公式将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
[变式训练] (1)已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是(　　)
[A]- [B]　 [C]±　 [D]
(2)若cos(-α)=-,则cos(α+)的值为(　　)
[A] [B]-
[C]- [D]
cos α==.故选B.
(2)cos(α+)=cos[3π-(-α)]=-cos(-α)=.故选A.
题型三　利用公式进行化简
[例3] 化简:(1);
(2).
===1.
(2)原式
=
==-1.
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.
(2)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变.
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.
[变式训练] 化简:
(1);
(2)(n∈Z).
==-1.
(2)当n为偶数时,==;
当n为奇数时,==-.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.sin 等于(　　)
[A] [B]0 [C]- [D]-
2.化简sin2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1的结果为(　　)
[A]1 [B]2sin2α [C]0 [D]2
3.若sin(π+α)=,α∈(-,0),则tan(π-α)等于(　　)
[A]- [B]- [C]- [D]
所以tan α==-,所以tan(π-α)=-tan α=.故选D.
4.已知α为锐角,且cos(α+)=,则sin(-α)等于(　　)
[A] [B]- [C] [D]±
=.sin(-α)=sin[π-(α+)]=sin(α+)=,即sin(-α)=.故选C.
5.(多选)已知△ABC的内角A,B,C,下列式子中正确的有(　　)
[A]sin(B+C)=sin A
[B]cos(B+C)=cos A
[C]tan(B+C)=tan A
[D]sin2A+cos2(B+C)=1
cos(π-A)=-cos A,B错误;tan(B+C)=tan(π-A)=-tan A,C错误;sin2A+cos2(B+C)=sin2A+cos2A=1,D正确.故选AD.
6.(多选)下列化简正确的是(　　)
[A]tan(π+1)=tan 1
[B]=cos α
[C]=tan α
[D]=1
7.(5分)已知sin(45°+α)=,则sin(135°-α)=　　　　.
8.(5分)已知tan(-α)=,则tan(+α)=　　　　.
9.(13分)计算:
(1);
(2)cos +cos +cos +cos .
-,sin(-420°)=-sin 420°=-sin(360°+60°)=-sin 60°=-,sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=-sin 30°=
-,cos(-600°)=cos 600°=cos(3×180°+60°)=-cos 60°=-,所以原式===-.
(2)因为cos =cos(π-)=-cos ,cos =cos(π-)=-cos ,
所以原式=cos +cos -cos -cos =0.
10.(14分)(1)若tan(7π+α)=a,求的值.
(2)已知sin(3π+θ)=,
求+的值.
(2)因为sin(3π+θ)=,所以sin θ=-,
所以+
=+
=+=+===32.
11.(多选)已知A=++(k∈Z),则A的值可以是(　　)
[A]3 [B]-3 [C]1 [D]-1
12.(5分)已知α为第四象限角,化简:
+=　　　　.
+
=+
=+
=+
==.
13.(15分)已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限角,且sin(α+2 025π)=,求f(α)的值;
(3)若α=-,求f(α)的值.
(2)由sin(α+2 025π)=sin(α+π+2 024π)=-sin α=,所以sin α=-,又α是第三角限角,
所以cos α=-,所以f(α)=.
(3)因为α=-=-6×2π+,
所以f(-)=-cos(-6×2π+)=-cos =-cos =-.
14.黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形,由此我们可得sin 162°等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
sin(180°-18°)=sin 18°=.故选A.(共16张PPT)
第3课时　诱导公式的综合应用
1.熟练掌握诱导公式的结构特征.2.会利用诱导公式求值、化简与证明.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一　利用诱导公式证明恒等式
·解题策略·
对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
[变式训练] 证明:sin(217°-α)cos(α-127°)+cos2(127°-α)tan2(53°+α)=1.
题型二　诱导公式在解三角形中的应用
·解题策略·
利用诱导公式解决实际问题时,需注意公式四和公式五中的互补和互余,是广义上的互补和互余.在涉及三角形问题时,一定要注意根据三角形内角和A+B+C=π以及题目的具体条件进行适当变形,再化简求值.
[变式训练] 已知A,B,C为△ABC的内角.
题型三　三角函数的综合应用
(1)求sin(α+π)的值;
·解题策略·
对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少.对于特殊角的三角函数值,有时候先求出角然后化简比较简单.
感谢观看(共29张PPT)
5.3　诱导公式
第1课时　诱导公式二、三、四
1.理解诱导公式二、三、四的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵和结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　诱导公式二
1.角π+α与角α的终边关于 对称,如图所示.
原点
2.公式:sin(π+α)= ,cos(π+α)= ,tan(π+α)= .
-sin α
-cos α
tan α
知识点二　诱导公式三
1.角-α与角α的终边关于 轴对称,如图所示.
x
2.公式:sin(-α)= ,cos(-α)= ,tan(-α)= .
-sin α
cos α
-tan α
2.公式:sin(π-α)= ,cos(π-α)= ,tan(π-α)= .
知识点三　诱导公式四
1.角π-α与角α的终边关于 轴对称,如图所示.
y
sin α
-cos α
-tan α
·温馨提示·
·轻松记忆·
(1)记忆方法:2kπ+α,-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”,“口诀”的正确理解:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数值在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值.
基础自测
B
D
C
1
关键能力·素养培优
题型一　给角求值
[例1] 利用公式求下列三角函数值:
(1)sin 870°+cos(-1 100°)+tan(-2 040°);
·解题策略·
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化.
(2)“大化小”——用公式一将角化为0到2π间的角.
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
[变式训练] (1)cos(-480°)+sin 210°=　　　　.
-1
题型二　给值(式)求值
·解题策略·
(1)解决给值求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间角的差异及联系,用已知角表示待求角.
(2)利用诱导公式将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
B
A
题型三　利用公式进行化简
·解题策略·
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.
(2)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变.
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.
感谢观看第1课时　诱导公式二、三、四
【课程标准要求】　1.理解诱导公式二、三、四的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵和结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
知识归纳
知识点一　诱导公式二
1.角π+α与角α的终边关于原点对称,如图所示.
2.公式:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.
知识点二　诱导公式三
1.角-α与角α的终边关于x轴对称,如图所示.
2.公式:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
知识点三　诱导公式四
1.角π-α与角α的终边关于y轴对称,如图所示.
2.公式:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.
诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ+,k∈Z.
(1)记忆方法:2kπ+α,-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”,“口诀”的正确理解:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数值在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值.
基础自测
1.sin 120°的值是(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
【答案】 B
【解析】 sin 120°=sin(180°-60°)=sin 60°=.故选B.
2.cos 的值是(　　)
[A] [B]- [C]- [D]
【答案】 D
【解析】 cos =cos(4π-) =cos(-) =cos =.故选D.
3.若tan(π+α)=-4,则等于(　　)
[A]4 [B] [C]-4 [D]-
【答案】 C
【解析】 因为tan(π+α)=tan α=-4,所以==tan α=-4.故选C.
4.(人教A版必修第一册P191练习T3改编)化简:=　　　　.
【答案】 1
【解析】
==1.
题型一　给角求值
[例1] 利用公式求下列三角函数值:
(1)sin 870°+cos(-1 100°)+tan(-2 040°);
(2)sin(-) cos(-) tan .
【解】 (1)因为sin 870°=sin(2×360°+150°)
=sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°=,
cos(-1 110°)=cos(-3×360°-30°)
=cos(-30°)=cos 30°=,
tan(-2 040°)=-tan 2 040°
=-tan(6×360°-120°)
=-tan(-120°)=tan 120°
=tan(180°-60°)=-tan 60°=-,
所以原式=+-=.
(2)因为sin(-) =sin(-6π+)
=sin =sin(π-)=sin =,
cos(-)=cos =cos(4π+)
=cos =cos(π-)=-cos =-,
tan =tan(5π+)=tan(π+)=tan =1,所以原式=×(-)×1=-.
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化.
(2)“大化小”——用公式一将角化为0到2π间的角.
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于的角转化为锐角.
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
[变式训练] (1)cos(-480°)+sin 210°=　　　　.
(2)sin(-)·cos ·tan =　　　　.
【答案】 (1)-1　(2)-
【解析】 (1)原式=cos 480°+sin(180°+30°)=cos(360°+120°)-sin 30°=cos 120°-=
cos(180°-60°)-=-cos 60°-=--=-1.
(2)原式=sin(-4π+)·cos(4π-)·tan(6π+)=sin ·cos(-)·tan =sin(π+)·cos ·tan =
-sin ·cos ·tan =-××=-.
题型二　给值(式)求值
[例2] (1)已知cos(-α)=,求cos(+α)-sin2(α-)的值;
(2)已知cos(α-75°)=-,且α为第四象限角,求sin(105°+α)的值.
【解】 (1)cos(+α)=cos[π-(-α)]=-cos(-α)=-,
sin2(α-)=sin2[-(-α)]=sin2(-α)=1-cos2(-α)=,
因此,cos(+α)-sin2(α-)=--=-.
(2)因为α为第四象限角,
所以270°+k·360°<α<360°+k·360°(k∈Z),
所以195°+k·360°<α-75°<285°+k·360°(k∈Z),
所以sin(α-75°)<0,
则sin(α-75°)=-=-,
因此sin(105°+α)=sin[(α-75°)+180°]=-sin(α-75°)=.
(1)解决给值求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间角的差异及联系,用已知角表示待求角.
(2)利用诱导公式将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
[变式训练] (1)已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是(　　)
[A]- [B]　 [C]±　 [D]
(2)若cos(-α)=-,则cos(α+)的值为(　　)
[A] [B]-
[C]- [D]
【答案】 (1)B　(2)A
【解析】 (1)由sin(π+α)=,得sin α=-,因为cos(α-2π)=cos α,且α是第四象限角,所以
cos α==.故选B.
(2)cos(α+)=cos[3π-(-α)]=-cos(-α)=.故选A.
题型三　利用公式进行化简
[例3] 化简:(1);
(2).
【解】 (1)原式=
===1.
(2)原式
=
==-1.
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.
(2)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变.
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.
[变式训练] 化简:
(1);
(2)(n∈Z).
【解】 (1)
==-1.
(2)当n为偶数时,==;
当n为奇数时,==-.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.sin 等于(　　)
[A] [B]0 [C]- [D]-
【答案】 C
【解析】 因为sin =sin(6π-)=-sin =-,所以sin =-.故选C.
2.化简sin2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1的结果为(　　)
[A]1 [B]2sin2α [C]0 [D]2
【答案】 D
【解析】 原式=sin2α+cos2α+1=2.故选D.
3.若sin(π+α)=,α∈(-,0),则tan(π-α)等于(　　)
[A]- [B]- [C]- [D]
【答案】 D
【解析】 因为sin(π+α)=-sin α=,所以sin α=-,又α∈(-,0),所以cos α==,
所以tan α==-,所以tan(π-α)=-tan α=.故选D.
4.已知α为锐角,且cos(α+)=,则sin(-α)等于(　　)
[A] [B]- [C] [D]±
【答案】 C
【解析】 因为α为锐角,且cos(α+)=,所以α+也是锐角,所以sin(α+)==
=.sin(-α)=sin[π-(α+)]=sin(α+)=,即sin(-α)=.故选C.
5.(多选)已知△ABC的内角A,B,C,下列式子中正确的有(　　)
[A]sin(B+C)=sin A
[B]cos(B+C)=cos A
[C]tan(B+C)=tan A
[D]sin2A+cos2(B+C)=1
【答案】 AD
【解析】 依题意,在△ABC中,B+C=π-A.sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,A正确;cos(B+C)=
cos(π-A)=-cos A,B错误;tan(B+C)=tan(π-A)=-tan A,C错误;sin2A+cos2(B+C)=sin2A+cos2A=1,D正确.故选AD.
6.(多选)下列化简正确的是(　　)
[A]tan(π+1)=tan 1
[B]=cos α
[C]=tan α
[D]=1
【答案】 AB
【解析】 因为tan(π+1)=tan 1,故A正确;==cos α,故B正确;==-tan α,故C不正确;==-1,故D不正确.故选AB.
7.(5分)已知sin(45°+α)=,则sin(135°-α)=　　　　.
【答案】
【解析】 sin(135°-α)=sin [180°-(45°+α)]=sin(45°+α)=.
8.(5分)已知tan(-α)=,则tan(+α)=　　　　.
【答案】 -
【解析】 因为tan(+α)=tan[π-(-α)]=-tan(-α),且tan(-α)=,所以tan(+α)=-.
9.(13分)计算:
(1);
(2)cos +cos +cos +cos .
【解】 (1)tan 150°=tan(180°-30°)=-tan 30°=-,cos(-210°)=cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=
-,sin(-420°)=-sin 420°=-sin(360°+60°)=-sin 60°=-,sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=-sin 30°=
-,cos(-600°)=cos 600°=cos(3×180°+60°)=-cos 60°=-,所以原式===-.
(2)因为cos =cos(π-)=-cos ,cos =cos(π-)=-cos ,
所以原式=cos +cos -cos -cos =0.
10.(14分)(1)若tan(7π+α)=a,求的值.
(2)已知sin(3π+θ)=,
求+的值.
【解】 (1)由题意得tan(7π+α)=tan α=a,===.
(2)因为sin(3π+θ)=,所以sin θ=-,
所以+
=+
=+=+===32.
11.(多选)已知A=++(k∈Z),则A的值可以是(　　)
[A]3 [B]-3 [C]1 [D]-1
【答案】 AD
【解析】 当k为偶数时,A=++=3;当k为奇数时,A=-+=-1,所以A=3或A=-1.故选AD.
12.(5分)已知α为第四象限角,化简:
+=　　　　.
【答案】
【解析】 依题意知α为第四象限角,所以
+
=+
=+
=+
==.
13.(15分)已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限角,且sin(α+2 025π)=,求f(α)的值;
(3)若α=-,求f(α)的值.
【解】 (1)f(α)==-cos α.
(2)由sin(α+2 025π)=sin(α+π+2 024π)=-sin α=,所以sin α=-,又α是第三角限角,
所以cos α=-,所以f(α)=.
(3)因为α=-=-6×2π+,
所以f(-)=-cos(-6×2π+)=-cos =-cos =-.
14.黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形,由此我们可得sin 162°等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 如图,在△ABC中,∠BAC=36°,AB=AC,点D为BC的中点,底与腰之比为黄金分割比,所以∠BAD=18°,=,所以sin ∠BAD===×==sin 18°,所以sin 162°=
sin(180°-18°)=sin 18°=.故选A.第2课时　诱导公式五、六
【课程标准要求】　1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵及结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简.
知识归纳
知识点一　诱导公式五
1.角-α与角α的终边关于直线y=x对称,如图所示.
2.公式:sin(-α) =cos α,cos(-α)=sin α.
知识点二　诱导公式六
1.公式五与公式六中角的联系为+α=π-(-α).
2.公式:sin(+α)=cos α,cos(+α)=-sin α.
(1)记忆方法:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”.
知识拓展
公式七:sin(-α)=-cos α,cos(-α)=-sin α.
公式八:sin(+α)=-cos α,cos(+α)=sin α.
诱导公式一～八可以统一概括为α+k·(k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号,简称为“奇变偶不变,符号看象限”.当k=0,1,2,3时,±α的具体情况如下表:
不变名 变名
k=0 k=2 k=1 k=3
±α -α π-α π+α -α +α -α +α
α看成锐角时, ±α所在象限 四 二 三 一 二 三 四
基础自测
1.下列等式恒成立的是(　　)
[A]sin(π+α)=sin α　
[B]cos(α-)=-sin α
[C]sin(-+α)=cos α
[D]tan(π+α)=-tan α
2.已知cos(-α)=,则cos(+α)等于(　　)
[A]- [B] [C]- [D]
3.(人教A版必修第一册P195习题5.3 T8改编)已知sin(60°+α)=-,则cos(30°-α)的值为(　　)
[A]- [B]
[C]- [D]
4.化简:=　　　　.
题型一　化简
[例1] 化简:+.
(1)化简方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,熟练应用“奇变偶不变,符号看象限”,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.
(2)常用技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦.
[变式训练] 化简:
.
=
==-cos α.
题型二　求值
[例2] 已知cos(-α)=,求cos(+α)-sin2(α-)+sin(--α)的值.
sin2(α-)=1-cos2(-α)=,sin(--α)=sin[-+(-α)]=-sin[-(-α)]=-cos(-α)=-,
所以原式=--×-=-.
[典例迁移1] 已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
(-tan 31°)=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°==.故选B.
[典例迁移2] 若cos(-α)=,则sin(+α)+sin(α-)=　　　　.
-cos(-α)=-.所以原式=-=0.
(1)知值求值问题的求解方法.
①观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数,将不同的角化为相同的角是解决问题的关键.
②对于有条件的三角函数求值题,求解的一般方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知式完成求值.
③当所给的角是复合角时,不易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系.
(2)常见的互余、互补关系.一般常见的互余关系有-α与+α;+α与-α;+α与-α等.常见的互补关系有+α与-α;+α与-α等.
题型三　诱导公式的综合应用
[例3] 已知:
f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos(2π-α)=-,且α为第二象限角,求f(-α)的值.
=
==-tan α.
(2)由cos(2π-α)=-,得cos α=-,
又α为第二象限角,则sin α==,
所以tan α==-,
所以f(-α)=-tan(-α)=-=-=-=.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角:化大为小;看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,以便逆用平方和差、立方和差公式等.
[变式训练] 已知sin α是方程5x2-7x-6=0的其中一个根,α是第三象限角,求
·tan2(π-α)的值.
得sin α=-,则cos α=-,
所以·tan2(π-α)
=·tan2α
=·tan2α=-tan2α
=-=-.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知sin(π+α)=,则cos(-α)等于(　　)
[A]- [B] [C]- [D]
2.若sin(-θ)<0,且cos(+θ)>0,则θ是(　　)
[A]第一象限角 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
3.已知角α的终边过点P(3,-3),则sin(α+)等于(　　)
[A] [B] [C]- [D]-
cos α=.故选A.
4.若cos(α-)=,则sin(-α)等于(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
-sin(α-)=-.故选A.
5.已知sin(+α)=,那么tan(-α)等于(　　)
[A]- [B]±2 [C] [D]2
±=±,所以tan(-α)==±2.故选B.
6.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(　　)
[A]sin(3π-x)=sin x
[B]sin =cos
[C]cos(+3x)=sin 3x
[D]cos(+2x)=-sin 2x
cos(+3x)=-sin 3x,C错误;cos(+2x)=sin 2x,D错误.故选AB.
7.(5分)若sin(75°+α)=,则cos(α-15°)+sin(105°-α)=　　　　.
cos[90°-(75°+α)]+sin[180°-(75°+α)]=2sin(75°+α)=2×=.
8.(5分)已知cos(-x)+sin(π-x)=,则sin x·sin(+x)=　　　　.
解得sin xcos x=-,所以sin x·sin(+x)=sin xcos x=-.
9.(13分)已知α是第三象限角,且f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos(α-)=,求f(α)的值.
=
==-cos2α.
(2)若cos(α-)=,则-sin α=,
即sin α=-,所以cos2α=1-sin2α=,
所以f(α)=-cos2α=-.
10.(15分)已知:
=.
(1)求tan x的值;
(2)若sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,求m2+3n的值.
所以=,所以=,解得tan x=2.
(2)因为sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,所以所以m2+3n=(sin x+cos x)2+3sin xcos x=1+5sin xcos x,又sin xcos x====,所以m2+3n=1+5×=3.
11.已知cos(37°+α)=,且0°<α<90°,则tan(37°+α)sin2(53°-α)-cos(143°-α)等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
则tan(37°+α)=2,又sin2(53°-α)=sin2[90°-(37°+α)]=cos2(37°+α)=,cos(143°-α)=
cos[180°-(37°+α)]=-cos(37°+α)=-,故原式=2×-(-)=.故选D.
12.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,则下列角β中,可能与角α“广义互余”的是(　　)
[A]sin β= [B]cos(π+β)=
[C]tan β= [D]tan β=
cos α=±,故A符合条件;cos(π+β)=-cos(-α)=-sin α=-,故B不符合条件;tan β=,即sin β=
cos β,又sin2β+cos2β=1,所以sin β=±,故C符合条件;tan β=,即sin β=cos β,又sin2β+cos2β=1,所以sin β=±,故D不符合条件.故选AC.
13.(15分)已知
f(α)=.
(1)若α∈(0,2π),且f(α)=-,求α的值;
(2)若f(α)-f(+α)=,且α∈(,),求tan α的值.
===sin α,所以f(α)=sin α=-,因为α∈(0,2π),所以α=或α=.
(2)由(1)知,f(α)=sin α,所以f(α)-f(+α)=sin α-sin(+α)=sin α+cos α=,所以sin α=-cos α,所以cos2α+(-cos α)2=1,即(5cos α-4)(10cos α+6)=0,可得cos α=或cos α=-.
因为α∈(,),所以cos α=-,所以sin α=-cos α=-(-)=,所以tan α==×(-)=-.
14.在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动,M点运动的角速度为 rad/s,若点M的初始位置为(,),则经过3 s,动点M所处的位置的坐标为(　　)
[A](,) [B](-,)
[C](-,) [D](-,-)第3课时　诱导公式的综合应用
【课程标准要求】　1.熟练掌握诱导公式的结构特征.2.会利用诱导公式求值、化简与证明.
题型一　利用诱导公式证明恒等式
[例1] 求证:=.
==-==右边,所以原式成立.
对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
[变式训练] 证明:sin(217°-α)cos(α-127°)+cos2(127°-α)tan2(53°+α)=1.
cos(α-127°)=cos(127°-α)=-sin(37°-α),cos2(127°-α)=sin2(37°-α),
tan2(53°+α)=
==,
故等式左边=sin2(37°-α)+cos2(37°-α)=1,等式成立.
题型二　诱导公式在解三角形中的应用
[例2] 已知在△ABC中,sin =sin ,试判断△ABC的形状.
sin ,所以sin(-C)=sin(-B),所以cos C=cos B.又B,C为△ABC的内角,所以C=B,所以△ABC为等腰三角形.
利用诱导公式解决实际问题时,需注意公式四和公式五中的互补和互余,是广义上的互补和互余.在涉及三角形问题时,一定要注意根据三角形内角和A+B+C=π以及题目的具体条件进行适当变形,再化简求值.
[变式训练] 已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cos2+cos2=1;
(2)若cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
所以cos2+cos2=sin2+cos2=1.
(2)因为cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,所以-sin A·(-cos B)·tan C<0,即sin Acos Btan C<0.
又A,B,C∈(0,π),所以sin A>0,所以cos Btan C<0,即cos B<0,tan C>0或 tan C<0,cos B>0,所以B为钝角或C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
题型三　三角函数的综合应用
[例3] 已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(,).
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β是将角α的终边顺时针旋转得到的,求5sin β-5cos β+3tan β的值.
-sin α=-.
(2)根据题意,β=α-,故5sin β-5cos β+3tan β=5sin(α-)-5cos(α-)+3tan(α-)=5cos α+
5sin α-=5×+5×-3×=-.
对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少.对于特殊角的三角函数值,有时候先求出角然后化简比较简单.
[变式训练] 已知tan(α-180°)=-,且90°<α<180°,求cos(α-360°)+sin(180°+α)值.
又cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos α-sin α,
则(cos α-sin α)2
=
===4.
又90°<α<180°,所以sin α>0,cos α<0,
即cos α-sin α<0,所以cos α-sin α=-2,
即cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos α-sin α=-2.
法二　因为tan(α-180°)=tan α=-,90°<α<180°,所以α=120°,
所以cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos(120°-360°)+sin(180°+120°)=cos 120°-sin 120°=
--×=-2.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.计算sin(3π-)-cos(+)+tan(-)等于(　　)
[A]+1 [B]1
[C]-1 [D]-+1
2.已知角α和角β的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边关于y轴对称,则下列关系正确的是(　　)
[A]sin α=sin β [B]cos α=cos β
[C]sin α=cos β [D]cos α=sin β
3.若sin(α+β)=1,则tan(2α+β)+tan β等于(　　)
[A]0 [B]1 [C]-1 [D]2
法二　由sin(α+β)=1,得α+β=2kπ+(k∈Z),则α=2kπ+-β(k∈Z),因此tan(2α+β)+tan β=
tan[2(2kπ+-β)+β]+tan β=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0.故选A.
4.已知f(sin x)=cos 3x(x为锐角),则f(cos 10°)的值为(　　)
[A]- [B] [C]- [D]
法二　用-x替换f(sin x)=cos 3x中的x,则f(cos x)=f(sin(-x))=cos[3(-x)]=-sin 3x,
所以f(cos 10°)=-sin 30°=-.故选A.
5.(多选)在△ABC中,下列等式一定成立的是(　　)
[A]sin(A+C)=sin B
[B]cos(B+C)=cos A
[C]sin =cos
[D]sin2+cos2=1
6.(多选)已知sin(+α)=,则角α的终边可能在(　　)
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]x轴的非正半轴上
7.(5分)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线x+y=0上,则=　　　　.
8.(5分)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α=　　　　.
可得-2tan α+3sin β+5=0,
即2tan α-3sin β-5=0,①
由tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,
可得tan α-6sin β-1=0,②
由①×2-②得3tan α-9=0,所以tan α=3,
即=3.因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=,又α为锐角,所以sin α=.
9.(13分)求证:sin[nπ+(-1)n·]=cos[2nπ+(-1)n·](n∈Z).
左边=sin[2kπ+(-1)2k·]=sin =,
右边=cos[4kπ+(-1)2k·]=cos =,
即左边=右边;
(2)当n=2k+1,k∈Z时,
左边=sin[2kπ+π+(-1)2k+1·]=sin(π-)=sin =,
右边=cos[2(2k+1)π+(-1)2k+1·]=cos(-)=cos =,
即左边=右边.
综上可得sin[nπ+(-1)n·]=cos[2nπ+(-1)n·](n∈Z),故命题得证.
10.(14分)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
当A=时,cos B=-<0,所以B∈(,π),此时A,B均为钝角,不符合题意,舍去.所以A=,cos B=,所以B=,所以C=.
综上所述,A=,B=,C=.
11.(多选)已知函数f(x)=,且f(α)=2,α∈(0,π),则下列结论正确的是(　　)
[A]f(2 025π-α)=
[B]tan α=
[C]sin2α-2sin αcos α=
[D]sin4(+α)+cos4(-α)=
所以f(2 025π-α)
=
===,故A正确;sin2α-2sin αcos α====,故C正确;
sin αcos α====-,sin4(+α)+cos4(-α)=cos4α+sin4α=(sin2α+cos2α)2-
2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1-2(sin αcos α)2=1-2×=,故D错误.故选AC.
12.(5分)化简:=　　　　.
13.(15分)已知在单位圆中,锐角α的终边与单位圆相交于点P(m,),连接圆心O和P得到射线OP,将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B(图略),其中θ∈(0,).
(1)求出m的值和锐角α的大小;
(2)求的值;
(3)记点B的横坐标为f(θ),若f(θ-)=,求cos(θ-)+cos(θ-)的值.
m>0,m2+()2=1,则m=,所以cos α=,
且α为锐角,可得α=∠xOP=.
(2)==2cos α=1.
(3)由(1)可知α=∠xOP=,根据三角函数定义可得,f(θ)=cos(θ+),因为f(θ-)=cos(θ+)=>0,
且θ∈(0,),因此θ+∈(,),所以sin(θ+)=.所以cos(θ-)+cos(θ-)=cos[(θ+)-]+
cos[(θ+)-π]=sin(θ+)-cos(θ+)=.
14.(5分)计算:(1)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=　　　　.
(2)sin21′+sin22′+sin23′+…+sin289°59′=　　　　.
则S=sin289°+sin288°+…+sin22°+sin21°=cos21°+cos22°+…+cos288°+cos289°,②
①+②可得2S=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin289°+cos289°)=89,所以S=.
(2)类似(1)的解法,设S=sin 21′+sin22′+sin23′+…+sin289°59′,则2S=5 399,所以S=.

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