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5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
【课程标准要求】　1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程,会用“五点法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换,能通过函数图象解决简单的问题.
知识归纳
知识点一　正弦函数、余弦函数的图象
函数 y=sin x y=cos x
图象
图象 画法 五点法
关键 五点 (0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0) (0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1)
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线.
(2)余弦函数的图象叫做余弦曲线.
知识点二　正弦函数、余弦函数的图象的关系
将正弦函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,就得到余弦函数y=cos x的图象.
基础自测
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象(　　)
[A]重合
[B]形状相同,位置不同
[C]关于y轴对称
[D]形状不同,位置不同
【答案】 B
【解析】 根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,但形状相同.故选B.
2.用五点法作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标是(　　)
[A]0,,π,,2π
[B]0,,,,π
[C]0,π,2π,3π,4π
[D]0,,,,
【答案】 A
【解析】 由五点作图法可知,首先描出的五个点的横坐标为x=0,,π,,2π.故选A.
3.函数y=cos(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　)
[A]　　 　 [B]
[C]　 　　 [D]
【答案】 B
【解析】 由y=cos(-x)=cos x知,其图象和y=cos x 的图象相同.故选B.
4.(人教A版必修第一册P200练习T1改编)函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象在区间[-2π,π]的交点个数为　　　　.
【答案】 3
【解析】 分别作出f(x)=sin x,g(x)=cos x在区间[-2π,π]上的图象,如图所示,
由图象可知f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象在区间[-2π,π]上的交点个数为3.
题型一　正弦函数、余弦函数图象的初步认识
[例1] (多选)下列叙述正确的有(　　)
[A]y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称
[B]y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称
[C]正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
[D]正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称
【答案】 ABC
【解析】 分别画出函数y=sin x,x∈[0,2π]和y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象观察可知A,B,C均正确.故选ABC.
对于正弦、余弦函数的图象问题,要能画出正确的正弦曲线、余弦曲线,两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
[变式训练] (多选)关于函数y=cos x的图象,下列说法正确的是(　　)
[A]函数图象可以向左右无限延伸
[B]函数图象与x轴有无数个交点
[C]利用五点法画函数y=cos x的图象时,其中一个关键点为(,1)
[D]函数y=1+cos x的图象可由y=cos x的图象向下平移1个单位长度得到
【答案】 AB
【解析】 结合余弦函数y=cos x的图象可知A,B正确;利用五点法画函数y=cos x的图象时,其中一个关键点为(,0),故C错误;函数y=1+cos x的图象可由y=cos x的图象向上平移1个单位长度得到,故D错误.故选AB.
题型二　“五点法”作正、余弦函数的图象
[例2] 用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=+sin x,x∈[0,2π];
(2)y=1-cos x,x∈[0,2π].
【解】 (1)按五个关键点列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
+sin x -
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):
(2)按五个关键点列表:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
1-cos x 0 1 2 1 0
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):
作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤:
[变式训练] 用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)y=2-sin x,x∈[0,2π];
(2)y=2cos x-1,x∈[0,2π].
【解】 (1)由题知y=2-sin x,x∈[0,2π],
列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y 2 1 2 3 2
根据表格画出图象如下:
(2)y=2cos x-1,x∈[0,2π],
列表如下:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
y=2cos x-1 1 -1 -3 -1 1
作出图象,如图所示.
题型三　正弦函数、余弦函数图象的应用
[例3] (1)不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为　　　　.
(2)不等式2sin x-1≥0,x∈R的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　.
(3)不等式【答案】 (1)[,]
(2){x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}
(3){x≤+2kπ或+2kπ≤x<+2kπ,k∈Z}
【解析】 (1)因为2sin x-1≥0,所以sin x≥.在同一平面直角坐标系下,作出函数y=sin x,x∈[0,2π]以及直线y=的图象,如图,由函数的图象知,sin =sin =.所以sin x≥的解集为[,].
(2)由(1)知不等式在x∈[0,2π]上的解集为[,].所以当x∈R时,不等式的解集为{x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.
(3)在同一平面直角坐标系下作出正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象和直线y=和y=的图象,如图所示.
由图可知,在[0,2π]上,当[典例迁移1] 下列x的取值范围能使cos x[A][0,) [B](,)
[C](,) [D](,2π)
【答案】 B
【解析】 如图分别为函数y=cos x,y=sin x在区间[0,2π]内的图象.当cos x=sin x 时,x=或x=,结合图象可知满足cos x[典例迁移2](多选)关于函数f(x)=1+cos x,x∈(,2π)的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是(　　)
[A]当t<0或t≥2时,有0个交点
[B]当t=0或≤t<2时,有1个交点
[C]当0[D]当0【答案】 AB
【解析】 根据函数的解析式作出函数f(x)的图象如图所示,对于选项A,当t<0或t≥2时,有0个交点,故A正确;对于选项B,当t=0或≤t<2时,有1个交点,故B正确;对于选项C,当t=时,只有1个交点,故C错误;对于选项D,当≤t<2时,只有1个交点,故D错误.故选AB.
[典例迁移3] 函数f(x)=lg x与g(x)=cos x的图象的交点个数为(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 C
【解析】 画出图象如图所示,由lg 1=0,lg 10=1,cos x∈[-1,1],可得f(x)=lg x 与g(x)=cos x的图象的交点个数为3.故选C.
(1)利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤.
①作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象;
②确定在[0,2π]上sin x=a(cos x=a)的x的值;
③写出不等式在区间[0,2π]上的解集;
④根据诱导公式一写出定义域内的解集.
(2)涉及y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象与y=t交点问题,一是直接作出y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象,也可以适当变形转化为作出y=sin x或y=cos x的图象,这时求t的范围需要求解关于t的方程或不等式.
(3)涉及y=sin x(或y=cos x)的图象与其他曲线的交点情况,常利用数形结合思想求解,注意计算一些关键点的纵坐标,以确定图象的交点情况.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象与函数y=1的图象的交点个数是(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 A
【解析】 将y=sin x,x∈[0,2π]与y=1的函数图象绘制在同一平面直角坐标系中,如图所示,数形结合可知,只有1个交点.故选A.
2.函数y=-cos x(x≥0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)
[A](,1)　 [B](π,1)
[C](0,1) [D](2π,1)
【答案】 B
【解析】 用五点法画出函数y=-cos x(x≥0)的部分图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1).故选B.
3.函数y=sin(-x),x∈[-π,π]的图象是(　　)
[A]　 [B]
[C]　 [D]
【答案】 D
【解析】 对任意x∈(-π,0),有-x∈(0,π),所以sin(-x)>0.这表明y=sin(-x)的图象在x∈(-π,0)的部分都应在x轴上方,只有D符合题意.故选D.
4.在[0,2π]上,函数y=的定义域是(　　)
[A][0,]　 [B][,]
[C][,] [D][,π]
【答案】 B
【解析】 依题意得2sin x-≥0,即sin x≥.作出y=sin x在[0,2π]上的图象及直线y=,如图所示.
由图象可知,满足sin x≥的x的取值范围是[,].故选B.
5.(多选)函数y=|cos x|,x∈(,)的图象与直线y=t(t为常数,t∈R)的交点可能有(　　)
[A]0个 [B]1个 [C]2个 [D]3个
【答案】 ABC
【解析】 作出y=|cos x|,x∈(,)的图象观察可知,当t<0或t>1时,y=|cos x|的图象与直线y=t的交点个数为0;当t=0或t=1或t=时,y=|cos x|的图象与直线y=t的交点个数为1;当06.在(0,2π)内,使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　)
[A](,) [B](,)∪(,]
[C](,) [D](,)
【答案】 A
【解析】 y=sin x以及y=|cos x|的图象如图所示,由图可知,x∈(,).故选A.
7.(5分)-≤cos x≤的解集是　　　　　　　　　　　　 　　　.
【答案】 {x≤x≤2kπ-或 2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
【解析】 在[-π,π]上,直线y=-,y=与函数y=cos x的图象的交点的横坐标从左到右依次为-,-,,,所以满足不等式-≤cos x≤的解集为{x≤x≤2kπ-或2kπ+≤x≤2kπ+,
k∈Z}.
8.(5分)若函数f(x)=2sin x-1-a在[,π]上有两个零点,则实数a的取值范围是　 .
【答案】 [-1,1)
【解析】 令f(x)=0得2sin x=1+a.作出y=2sin x在x∈[,π]上的图象,如图所示.
要使函数f(x)在[,π]上有两个零点,需满足≤1+a<2,所以-1≤a<1.
9.(13分)用“五点法”作出函数y=cos(x+),x∈[-,]的简图.
【解】 由题知y=cos(x+),x∈[-,],
列表如下:
x -
x+ 0 π 2π
y 1 0 -1 0 1
根据表格画出图象如下:
10.(14分)当x∈[-2π,2π]时,作出下列函数的图象,把这些图象与y=sin x的图象进行比较,你能发现图象变换的什么规律
(1)y=|sin x|;
(2)y=sin |x|.
【解】 (1)y=|sin x|=
将y=sin x的图象在x轴上方部分保持不变,下方部分作关于x轴对称的图形,即可得到y=|sin x|的图象.
(2)y=sin |x|=将y=sin x 的图象在y轴右边部分保持不变,并作其关于y轴对称的图形,即可得到y=sin |x| 的图象.
11.(多选)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是(　　)
[A]1 [B]2 [C]4 [D]6
【答案】 ABC
【解析】 由题意可得f(x)=sin x+2|sin x|=作出函数y=f(x)和y=k的图象如图所示.
当k<0或k>3时,直线y=k与函数f(x)的图象没有交点;当k=3时,直线y=k与函数f(x)的图象只有1个交点;当112.(5分)函数f(x)=2|cos x|-x的零点个数为　　　　.
【答案】 4
【解析】 令f(x)=0,得x=0或2|cos x|=.设y1=2|cos x|,y2=,在平面直角坐标系中先画出y=2cos x的图象,保留x轴上方的部分图象并把x轴下方的图象向上翻折即得y1=2|cos x|的图象,再作出y2=的图象,如图所示,由图可知两者共有3个交点.综上所述,函数f(x)共有4个
零点.
13.(15分)已知函数f(x)=
(1)作出该函数的图象;
(2)若f(x)=,求x的值;
(3)若a∈R,讨论方程f(x)=a的解的个数.
【解】 (1)f(x)的函数图象如下:
(2)当-π≤x<0时,f(x)=cos x=,解得x=-,当0≤x≤π时,f(x)=sin x=,解得x=或,综上,x=-或或.
(3)方程f(x)=a的解的个数等价于y=f(x)与y=a的图象的交点个数,则由(1)中函数图象可得,当a>1或a<-1时,解的个数为0;当-1≤a<0或a=1时,解的个数为1;当0≤a<1时,解的个数为3.
14.(多选)若函数f(x)=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则(　　)
[A]当x∈(,)时,f(x)<0
[B]f(0)=1
[C]f()=0
[D]所围图形的面积为2π
【答案】 AC
【解析】 作出函数f(x)=2cos x,x∈[0,2π]的图象,其与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.由图可知,当x∈(,)时,f(x)<0,故A正确;
f(0)=2cos 0=2,故B错误;f()=2cos =0,故C正确;利用图象的对称性,知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,因为OA=2,OC=2π,所以S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π,故D错误.故选AC.5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
【课程标准要求】　1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程,会用“五点法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换,能通过函数图象解决简单的问题.
知识归纳
知识点一　正弦函数、余弦函数的图象
函数 y=sin x y=cos x
图象
图象 画法 五点法
关键 五点 (0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0) (0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1)
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线.
(2)余弦函数的图象叫做余弦曲线.
知识点二　正弦函数、余弦函数的图象的关系
将正弦函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,就得到余弦函数y=cos x的图象.
基础自测
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象(　　)
[A]重合
[B]形状相同,位置不同
[C]关于y轴对称
[D]形状不同,位置不同
2.用五点法作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标是(　　)
[A]0,,π,,2π
[B]0,,,,π
[C]0,π,2π,3π,4π
[D]0,,,,
3.函数y=cos(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　)
[A]　　 　 [B]
[C]　 　　 [D]
4.(人教A版必修第一册P200练习T1改编)函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象在区间[-2π,π]的交点个数为　　　　.
由图象可知f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象在区间[-2π,π]上的交点个数为3.
题型一　正弦函数、余弦函数图象的初步认识
[例1] (多选)下列叙述正确的有(　　)
[A]y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称
[B]y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称
[C]正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
[D]正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称
对于正弦、余弦函数的图象问题,要能画出正确的正弦曲线、余弦曲线,两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
[变式训练] (多选)关于函数y=cos x的图象,下列说法正确的是(　　)
[A]函数图象可以向左右无限延伸
[B]函数图象与x轴有无数个交点
[C]利用五点法画函数y=cos x的图象时,其中一个关键点为(,1)
[D]函数y=1+cos x的图象可由y=cos x的图象向下平移1个单位长度得到
题型二　“五点法”作正、余弦函数的图象
[例2] 用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=+sin x,x∈[0,2π];
(2)y=1-cos x,x∈[0,2π].
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
+sin x -
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):
(2)按五个关键点列表:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
1-cos x 0 1 2 1 0
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):
作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤:
[变式训练] 用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)y=2-sin x,x∈[0,2π];
(2)y=2cos x-1,x∈[0,2π].
列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y 2 1 2 3 2
根据表格画出图象如下:
(2)y=2cos x-1,x∈[0,2π],
列表如下:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
y=2cos x-1 1 -1 -3 -1 1
作出图象,如图所示.
题型三　正弦函数、余弦函数图象的应用
[例3] (1)不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为　　　　.
(2)不等式2sin x-1≥0,x∈R的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　.
(3)不等式(2){x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}
(3){x≤+2kπ或+2kπ≤x<+2kπ,k∈Z}
(2)由(1)知不等式在x∈[0,2π]上的解集为[,].所以当x∈R时,不等式的解集为{x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.
(3)在同一平面直角坐标系下作出正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象和直线y=和y=的图象,如图所示.
由图可知,在[0,2π]上,当[典例迁移1] 下列x的取值范围能使cos x[A][0,) [B](,)
[C](,) [D](,2π)
[典例迁移2](多选)关于函数f(x)=1+cos x,x∈(,2π)的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是(　　)
[A]当t<0或t≥2时,有0个交点
[B]当t=0或≤t<2时,有1个交点
[C]当0[D]当0[典例迁移3] 函数f(x)=lg x与g(x)=cos x的图象的交点个数为(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
(1)利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤.
①作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象;
②确定在[0,2π]上sin x=a(cos x=a)的x的值;
③写出不等式在区间[0,2π]上的解集;
④根据诱导公式一写出定义域内的解集.
(2)涉及y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象与y=t交点问题,一是直接作出y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象,也可以适当变形转化为作出y=sin x或y=cos x的图象,这时求t的范围需要求解关于t的方程或不等式.
(3)涉及y=sin x(或y=cos x)的图象与其他曲线的交点情况,常利用数形结合思想求解,注意计算一些关键点的纵坐标,以确定图象的交点情况.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象与函数y=1的图象的交点个数是(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
2.函数y=-cos x(x≥0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)
[A](,1)　 [B](π,1)
[C](0,1) [D](2π,1)
3.函数y=sin(-x),x∈[-π,π]的图象是(　　)
[A]　 [B]
[C]　 [D]
4.在[0,2π]上,函数y=的定义域是(　　)
[A][0,]　 [B][,]
[C][,] [D][,π]
由图象可知,满足sin x≥的x的取值范围是[,].故选B.
5.(多选)函数y=|cos x|,x∈(,)的图象与直线y=t(t为常数,t∈R)的交点可能有(　　)
[A]0个 [B]1个 [C]2个 [D]3个
6.在(0,2π)内,使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　)
[A](,) [B](,)∪(,]
[C](,) [D](,)
7.(5分)-≤cos x≤的解集是　　　　　　　　　　　　 　　　.
k∈Z}.
8.(5分)若函数f(x)=2sin x-1-a在[,π]上有两个零点,则实数a的取值范围是　 .
要使函数f(x)在[,π]上有两个零点,需满足≤1+a<2,所以-1≤a<1.
9.(13分)用“五点法”作出函数y=cos(x+),x∈[-,]的简图.
列表如下:
x -
x+ 0 π 2π
y 1 0 -1 0 1
根据表格画出图象如下:
10.(14分)当x∈[-2π,2π]时,作出下列函数的图象,把这些图象与y=sin x的图象进行比较,你能发现图象变换的什么规律
(1)y=|sin x|;
(2)y=sin |x|.
将y=sin x的图象在x轴上方部分保持不变,下方部分作关于x轴对称的图形,即可得到y=|sin x|的图象.
(2)y=sin |x|=将y=sin x 的图象在y轴右边部分保持不变,并作其关于y轴对称的图形,即可得到y=sin |x| 的图象.
11.(多选)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是(　　)
[A]1 [B]2 [C]4 [D]6
当k<0或k>3时,直线y=k与函数f(x)的图象没有交点;当k=3时,直线y=k与函数f(x)的图象只有1个交点;当112.(5分)函数f(x)=2|cos x|-x的零点个数为　　　　.
零点.
13.(15分)已知函数f(x)=
(1)作出该函数的图象;
(2)若f(x)=,求x的值;
(3)若a∈R,讨论方程f(x)=a的解的个数.
(2)当-π≤x<0时,f(x)=cos x=,解得x=-,当0≤x≤π时,f(x)=sin x=,解得x=或,综上,x=-或或.
(3)方程f(x)=a的解的个数等价于y=f(x)与y=a的图象的交点个数,则由(1)中函数图象可得,当a>1或a<-1时,解的个数为0;当-1≤a<0或a=1时,解的个数为1;当0≤a<1时,解的个数为3.
14.(多选)若函数f(x)=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则(　　)
[A]当x∈(,)时,f(x)<0
[B]f(0)=1
[C]f()=0
[D]所围图形的面积为2π
f(0)=2cos 0=2,故B错误;f()=2cos =0,故C正确;利用图象的对称性,知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,因为OA=2,OC=2π,所以S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π,故D错误.故选AC.(共33张PPT)
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程,会用“五点法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换,能通过函数图象解决简单的问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　正弦函数、余弦函数的图象
(0,0)
(π,0)
(2π,0)
(0,1)
(π,-1)
(2π,1)
·温馨提示·
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线.
(2)余弦函数的图象叫做余弦曲线.
知识点二　正弦函数、余弦函数的图象的关系
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象(　　)
[A]重合
[B]形状相同,位置不同
[C]关于y轴对称
[D]形状不同,位置不同
基础自测
B
【解析】 根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,
x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,但形状相同.故选B.
A
B
3.函数y=cos(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　)
[A]　　 　 [B] [C]　 　　 [D]
【解析】 由y=cos(-x)=cos x知,其图象和y=cos x 的图象相同.故选B.
4.(人教A版必修第一册P200练习T1改编)函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象在区间[-2π,π]的交点个数为　　　　.
3
【解析】 分别作出f(x)=sin x,g(x)=cos x在区间[-2π,π]上的图象,如图所示,
由图象可知f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象在区间[-2π,π]上的交点个数为3.
关键能力·素养培优
题型一　正弦函数、余弦函数图象的初步认识
[例1] (多选)下列叙述正确的有(　 　)
[A]y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称
[B]y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称
[C]正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
[D]正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称
ABC
【解析】 分别画出函数y=sin x,x∈[0,2π]和y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象观察可知A,B,C均正确.故选ABC.
·解题策略·
对于正弦、余弦函数的图象问题,要能画出正确的正弦曲线、余弦曲线,两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
[变式训练] (多选)关于函数y=cos x的图象,下列说法正确的是( 　　)
[A]函数图象可以向左右无限延伸
[B]函数图象与x轴有无数个交点
[D]函数y=1+cos x的图象可由y=cos x的图象向下平移1个单位长度得到
AB
题型二　“五点法”作正、余弦函数的图象
[例2] 用“五点法”作出下列函数的简图:
【解】 (1)按五个关键点列表:
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):
(2)y=1-cos x,x∈[0,2π].
【解】 (2)按五个关键点列表:
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):
·解题策略·
作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤:
[变式训练] 用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)y=2-sin x,x∈[0,2π];
【解】 (1)由题知y=2-sin x,x∈[0,2π],
列表如下:
根据表格画出图象如下:
(2)y=2cos x-1,x∈[0,2π].
【解】 (2)y=2cos x-1,x∈[0,2π],
列表如下:
作出图象,如图所示.
题型三　正弦函数、余弦函数图象的应用
[例3] (1)不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为　　 　　.
(2)不等式2sin x-1≥0,x∈R的解集为　　　　　　　　　　　　　　　.
B
AB
[典例迁移3] 函数f(x)=lg x与g(x)=cos x的图象的交点个数为(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
C
【解析】 画出图象如图所示,由lg 1=0,lg 10=1,cos x∈[-1,1],可得f(x)=lg x 与g(x)=cos x的图象的交点个数为3.故选C.
·解题策略·
(1)利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤.
①作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象;
②确定在[0,2π]上sin x=a(cos x=a)的x的值;
③写出不等式在区间[0,2π]上的解集;
④根据诱导公式一写出定义域内的解集.
·解题策略·
(2)涉及y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象与y=t交点问题,一是直接作出y=asin x+b(或y=acos x+b)的图象,也可以适当变形转化为作出y=sin x或y=cos x的图象,这时求t的范围需要求解关于t的方程或不等式.
(3)涉及y=sin x(或y=cos x)的图象与其他曲线的交点情况,常利用数形结合思想求解,注意计算一些关键点的纵坐标,以确定图象的交点情况.
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