资源简介

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　周期性与奇偶性
【课程标准要求】　1.理解周期函数的概念,能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性,能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.
知识归纳
知识点一　正弦、余弦函数的周期性
1.周期函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.正弦、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
(2)余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
(1)“每一个x”强调定义域中每一个值都得成立.
(2)周期函数的周期不唯一,任何T的非零整数倍都是函数的周期.
(3)三角函数的周期是函数的整体性质,我们在研究函数时,只需研究一个周期上的图象和性质即可.
(4)若不加特殊说明,一般求三角函数的周期的问题,求的是函数的最小正周期.
知识点二　正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P203练习T2改编)下列函数中,最小正周期为π的是(　　)
[A]y=sin x [B]y=cos x
[C]y=sin x　 [D]y=cos 2x
2.函数f(x)=sin xcos x是(　　)
[A]奇函数　 [B]偶函数
[C]非奇非偶函数　 [D]无法确定
3.设函数f(x)=sin(2x-),x∈R,则f(x)是(　　)
[A]最小正周期为π的奇函数　
[B]最小正周期为π的偶函数
[C]最小正周期为的奇函数
[D]最小正周期为的偶函数
-cos 2x=f(x),所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.故选B.
4.若f(x+1)=-f(x),则f(x)的一个周期为　　　　.
题型一　正弦、余弦函数的周期性
[例1] 求下列三角函数的周期:
(1)y=sin x,x∈R;
(2)y=cos x,x∈R;
(3)y=|cos x|,x∈R.
法二　T==3π.
(2)法一　因为cos(x+2π)=cos x,由周期函数的定义知,y=cos x的周期为2π.
法二　T==2π.
(3)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的周期为π.
求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法,对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=.
(3)图象法,即通过观察函数图象求其周期.
提醒:y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数,而y=cos|x|是周期为2π的周期函数,y=sin|x|则不是周期函数.
[变式训练] 求下列函数的周期:
(1)y=cos(4x+);
(2)y=3sin(-x+);
(3)y=|sin x+|.
(2)函数y=3sin(-x+)的周期为T==4π.
(3)结合y=|sin x+|的图象(如图)可知其周期为T=2π.
题型二　正弦、余弦函数的奇偶性
[例2] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin(x+);
(2)f(x)=|sin x|+cos x;
(3)f(x)=x2cos(x+);
(4)f(x)=.
又f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),
所以函数f(x)=sin(x+)是偶函数.
(2)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R,
因为 x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),
所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数.
(3)f(x)=x2cos(x+)=-x2sin x,x∈R,
因为 x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x),
所以函数f(x)=x2cos(x+)为奇函数.
(4)因为2sin 2x-1≥0,所以sin 2x≥,
所以+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),
即x∈[+kπ,+kπ](k∈Z),
定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
(1)判断函数奇偶性应把握好两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称(提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则);二看f(x)与f(-x)的关系.
(2)对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断,规律如下:
对y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0),当φ=kπ(k∈Z)时,是奇函数;当φ=+kπ(k∈Z)时,是偶函数.对y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0),当φ=kπ(k∈Z)时,是偶函数;当φ=+kπ(k∈Z)时,是奇函数.φ为其他值时,均为非奇非偶函数.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=2cos(x+);
(2)f(x)=2sin(x+);
(3)f(x)=;
(4)f(x)=.
2cos(x+)=-2sin x,又f(-x)=-2·sin(-x)=2sin x=-f(x).所以f(x)为奇函数.
(2)函数的定义域为R,f(0)=2sin =1≠0,所以f(x)=2sin(x+)不是奇函数,f(-)=2sin 0=0,f()=
2sin =,则f(-)≠f(),则y=2sin(x+)不是偶函数,所以y=f(x)=2sin(x+)为非奇非偶函数.
(3)由cos x≠1,解得x≠2kπ,k∈Z,即函数f(x)=的定义域为D={x|x≠2kπ,k∈Z},
因为 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)===-f(x),所以函数f(x)=为奇函数.
(4)法一　由sin x≠1,解得x≠+2kπ,k∈Z,即函数f(x)=的定义域为{x+2kπ,k∈Z},不关于原点对称,所以函数f(x)=为非奇非偶函数.
法二　f()没有意义,f(-)=0有意义,所以函数f(x)=为非奇非偶函数.
题型三　利用奇偶性与周期性求值(或解析式)
[例3] 定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,]时,f(x)=sin x.
(1)求f()的值;
(2)求当x∈[-π,0]时函数的解析式.
(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
因为x∈[0,]时,f(x)=sin x,
所以当x∈[-,0]时,-x∈[0,],
所以f(-x)=sin(-x)=-sin x=f(x),
即当x∈[-,0]时,f(x)=-sin x,
当x∈[-π,-]时,x+π∈[0,],
又因为f(x)的周期为π,
所以f(x)=f(x+π)=sin(x+π)=-sin x,
即当x∈[-π,-]时,f(x)=-sin x.综上所述,当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin x.
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值,利用函数的奇偶性,可以找到一x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
[变式训练] 已知f(x)为奇函数,且周期为,若f()=-1,则f()=　　　　.
培优拓展　奇偶性、对称性和周期的关系
[典例] 已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(x-)=-f(x),且当x∈(0,]时,f(x)=2x-3,则f(2 024)+
f(2 025)-f(2 026)=　　　　.
f(2 024)+f(2 025)-f(2 026)=f(-1)+f(0)-f(1)=-f(1)+0-f(1)=-2f(1),此时f(1)中的1 (0,],继续转化:在f(x-)=-f(x)中令x=1有f(1-)=-f(1),所以f(1)=-f(1-)=-f(-)=f()=2×-3=-2,所以原式=-2×(-2)=4.
推得函数周期的常见形式
(1)平移、相反数和倒数关系中的周期.
①若f(x+a)=f(x),则f(x)的周期为T=|a|;
②若f(x+a)=f(x+b),则f(x)的周期为T=|a-b|;
③若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期为T=|2a|;
④若f(x+a)=±,则f(x)的周期为T=|2a|.
(2)对称性与周期.
①若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
②若f(a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
③若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=4|a-b|.
(3)奇偶性与周期.
①已知f(x)为偶函数,f(x+a)为奇函数,则f(x)的周期为T=4|a|;
②已知f(x)为奇函数,f(x+a)为偶函数,则f(x)的周期为T=4|a|.
[跟踪训练] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3,则f(2)+f(3)+…+f(50)等于(　　)
[A]3 [B]2 [C]0 [D]50
则f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-3,在①中,令x=x+2,得f(x+2)=-f(x)=f(x-2),则f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,即f(4)=f(0)=0,则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+0+(-3)+0=0,所以f(2)+f(3)+…+f(50)=
f(1)+f(2)+…+f(50)-f(1)=[f(1)+f(2)+…+f(48)]+f(4×12+1)+f(4×12+2)-f(1)=12×0+f(1)+f(2)-f(1)=
f(2)=0.故选C.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分.
1.函数f(x)=7sin(x+)是(　　)
[A]周期为3π的偶函数
[B]周期为2π的奇函数
[C]周期为3π的奇函数
[D]周期为的偶函数
2.函数y=4sin(2x-π)的图象关于(　　)
[A]x轴对称 [B]原点对称
[C]y轴对称 [D]直线x=对称
3.已知函数y=sin(x++φ)是偶函数,则φ的值可以是(　　)
[A]　　 [B]-　
[C]　　 [D]-
4.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则f()等于(　　)
[A]1 [B] [C]-1 [D]-
5.函数y=-2xcos x的部分图象是(　　)
[A]　 [B]
[C] [D]
6.关于函数f(x)=sin(x+φ)(x∈R),下列命题正确的是(　　)
[A]存在φ,使f(x)是偶函数
[B]对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数
[C]存在φ,使f(x)既是奇函数,又是偶函数　
[D]对任意的φ,f(x)都不是奇函数
7.(5分)已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=,且f(1)=,则f(2 026)=　　　　.
8.(5分)如果函数f(x)=cos(ωx+) (ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω=　　　　.
9.(14分)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=cos(+2x)cos(π+x);
(2)f(x)=3sin x+4cos x;
(3)f(x)=+;
(4)f(x)=+.
x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=sin(-2x)cos(-x)=-sin 2xcos x=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
(2)因为f()=+=,f(-)=-+=,故f(-)≠f()且f(-)≠-f(),所以f(x)为非奇非偶
函数.
(3)因为cos x-1≥0且1-cos x≥0,所以cos x=1,定义域为D={x|x=2kπ,k∈Z},因为 x∈D,都有
-x∈D,且f(x)=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x).所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)因为sin =1,sin(-)=-1,所以f()=0,f(-)没有意义,所以f(x)为非奇非偶函数.
10.(15分)(1)已知f(x)是周期为π的偶函数,当x∈[0,]时,f(x)=1-sin x,求f(),f(-).
(2)设函数f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,求f(π).
所以f()=f(3π+)=f()=1-sin =1-,
f(-)=f(-4π-)=f(-)=f()=1-sin =.
(2)由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数.
而f(x)是奇函数,所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
11.设f(x)是定义域为R,最小正周期为3π的函数,且f(x)=则f(-)+f()等于(　　)
[A] [B]- [C]1 [D]-1
所以f(-)+f()=f(-+102π)+f(-99π)=f(-)+f()=cos(-)+sin =cos +
sin(π+)=cos(π-)+sin(π+)=-cos -sin =--=-1.故选D.
12.(5分)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(x)是周期为　　 　　的周期函数;若当x∈[-2,2]时,f(x)=-x2+1,则当x∈[-6,-2]时,f(x)的解析式为　　　　　.
13.(16分)设f(x)=log3.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
(2)由(1)知定义域关于原点对称,又f(-x)=log3=log3()-1=-log3=-f(x),故该函数为奇函数.
14.(5分)已知f(n)=sin ,n∈Z,则f(1)+f(2)+…+f(100)=　　　　.
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sin +sin +sin +sin π=1+.第2课时　单调性与最值
【课程标准要求】　1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题.
知识归纳
知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [-1,1] [-1,1]
单调性 在[-+2kπ,+2kπ]上单调递增,在[+2kπ,+2kπ]上单调递减 在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增,在[2kπ,π+2kπ]上单调递减
最值 当x=+2kπ时,ymax=1; 当x=-+2kπ时,ymin=-1 当x=2kπ时,ymax=1; 当x=π+2kπ时,ymin=-1
(1)正弦函数、余弦函数都不是单调函数,但它们都有无数个单调区间.
(2)利用函数的单调性,可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
基础自测
1.下列命题中正确的是(　　)
[A]y=cos x在第一象限和第四象限内单调递减
[B]y=sin x在第一象限和第三象限内单调递增
[C]y=cos x在[-,]上单调递减
[D]y=sin x在[-,]上单调递增
2.若a=sin 47°,b=cos 37°,c=cos 47°,则a,b,c的大小关系为(　　)
[A]a>b>c [B]b>c>a
[C]b>a>c [D]c>b>a
3.(人教A版必修第一册P207练习T2改编)已知函数f(x)=sin(x+)在x0处取得最大值,则x0可能是(　　)
[A] [B] [C] [D]
4.在区间[0,2π]中,使函数y=sin x与y=cos x都单调递减的区间是　　　　　　　.
题型一　利用单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小.
(1)cos 与cos ;
(2)sin 265°和cos 165°;
(3)sin 和cos .
(2)sin 265°=sin(180°+85°)=-sin 85°,cos 165°=cos(90°+75°)=-sin 75°,因为函数y=sin x在[0,]上单调递增,则sin 85°>sin 75°,得-sin 85°<-sin 75°,即sin 265°(3)cos =sin(+),≈1.57<1.75=<3.24≈+<,又函数y=sin x在[,]上单调递减,所以
sin >sin(+)=cos ,即sin >cos .
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
[变式训练] (多选)下列不等式中成立的是(　　)
[A]sin 3[B]cos 3>cos 2
[C]cos(-)[D]sin 题型二　求正弦函数、余弦函数的单调区间
[例2] 求函数y=2sin(x-)的单调区间.
由z∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z),得x-∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z),即x∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z),故函数y=2sin(x-)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).同理可求函数y=2sin(x-)的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z).
[典例迁移1] 函数y=sin(-2x),x∈(0,π)的单调递增区间是(　　)
[A](0,]　 [B][,]
[C][,]　 [D][,π)
因为x∈(0,π),所以令k=0,得函数y=sin(-2x),x∈(0,π)的单调递增区间为[,].故选C.
法二　x∈(0,π) 2x-∈(-,),由2x-∈[,],可得x∈[,],所以函数y=sin(2x-)在[,]上单调递减,函数y=-sin(2x-)在[,]上单调递增.故选C.
[典例迁移2]求函数y=cos(-2x)的单调递增区间.
令z=2x-,函数 y=cos z的单调递增区间是[π+2kπ,2π+2kπ],k∈Z.
由π+2kπ≤2x-≤2π+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
因此,函数y=cos(-2x)的单调递增区间是[+kπ,+kπ],k∈Z.
求正弦函数、余弦函数单调区间的方法
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω>0)的单调区间,一般将ωx+φ视作整体,代入y=sin x(或y=cos x)相应单调区间所对应的不等式来求解.
(2)当ω<0时,先利用诱导公式将y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-φ)(或y=Acos(-ωx-φ))(A>0,ω<0),再求函数的单调区间.
(3)当A<0时,要注意单调区间的变化,不要将单调递增区间与单调递减区间混淆.
题型三　求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
[例3] 求下列函数的最大值、最小值以及对应的x值的集合:
(1)y=+;
(2)y=-2cos x;
(3)y=3sin(x-).
y=+取到最大值+,此时对应的x值的集合为{x+2kπ,k∈Z};
当y=sin x取到最小值-1时,
y=+取到最小值-,此时对应的x值的集合为{x+2kπ,k∈Z}.
(2)当y=cos x取到最小值-1时,
y=-2cos x取到最大值,此时对应的x值的集合为{x|x=π+2kπ,k∈Z};
当y=cos x取到最大值1时,
y=-2cos x取到最小值-,此时对应的x值的集合为{x|x=2kπ,k∈Z}.
(3)令x-=+2kπ,k∈Z,解得x=π+kπ,k∈Z,
所以y=3sin(x-)的最大值为3,此时对应的x值的集合为{xkπ,k∈Z};
令x-=-+2kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z,
所以y=3sin(x-)的最小值为-3,此时对应的x值的集合为{x+kπ,k∈Z}.
[典例迁移1] 已知函数f(x)=2sin(2x-),x∈[0,],则f(x)的值域是(　　)
[A][-2,2]
[B][-1,1]
[C][-1,2]
[D][-,2]
[典例迁移2] 函数f(x)=cos(2x+),x∈[-,0]的值域为　　　　　　.
(1)形如y=Asin x(或y=Acos x),可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意A的正、负对最值的影响.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b),可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).
(3)求给定区间上最值(值域)的问题,可利用换元思想,设t=ωx+φ,转换成y=Asin t(或y=Acos t)型的函数求值.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数f(x)=-sin 3x的单调递增区间为(　　)
[A][+,+](k∈Z)
[B][+,+](k∈Z)
[C][-+,+](k∈Z)
[D][-+,+](k∈Z)
2.下列函数中,最小正周期为π,且在[,]上单调递减的是(　　)
[A]y=sin(2x+) [B]y=cos(2x+)
[C]y=sin(x+) [D]y=cos(x+)
y=cos(x+)=-sin x,最小正周期是2π,所以D错误.故选A.
3.函数y=acos x+b(a<0)的最大值是(　　)
[A]a+b [B]-|a|+b
[C]|a|+b [D]|a+b|
acos x+b(a<0)的最大值是|a|+b.故选C.
4.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω的值为(　　)
[A]3 [B]2 [C] [D]
5.下列不等式中,正确的有(　　)
①sin 3>sin 4;②cos sin 1.5.
[A]①② [B]①③ [C]②③ [D]③④
cos =cos(-),②错误;由于0<1<2<π,且函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减,则cos 26.设函数f(x)=sin(x-),若对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为(　　)
[A]4 [B]2 [C]1 [D]
7.(5分)函数y=sin x+|sin x|的值域为　　　　.
(k∈Z)时,-1≤sin x≤0,则y=0.综上所述,函数y=sin x+|sin x|的值域为[0,2].
8.(5分)函数y=cos(sin x)的值域为　 .
9.(14分)已知函数f(x)=sin(-2x),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
(2)当-≤x≤时,-≤-2x≤,所以-≤sin(-2x)≤1,则-≤f(x)≤.当-2x=-,即x=时,f(x)取得最小值-;当-2x=,即x=-时,f(x)取得最大值,所以f(x)在区间[-,]上的最大值为,最小值为-.
10.(15分)已知函数f(x)=cos(-2x).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在[-π,π]上的单调递减区间;
(3)求函数f(x)在区间[-,]上的最小值和最大值.
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
令2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z),单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
(2)由(1)可得f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z),
令k=-1,得f(x)在[-,-]上单调递减;令k=0,得f(x)在[,]上单调递减,
因为x∈[-π,π],所以f(x)在[-π,π]上的单调递减区间是[-,-]和[,].
(3)由题意知f(x)=cos(-2x)=cos(2x-),当x∈[-,]时,-≤2x-≤,
根据y=cos x图象的性质可知,cos(2x-)∈[-,1],所以cos(2x-)∈[-,],
故当2x-=或2x-=-,即x=或x=-时,f(x)min=-;当2x-=0,即x=时,f(x)max=.
11.已知定义在R上的偶函数f(x)满足在区间(0,1)内单调递增,若m=cos ,n=cos ,t=cos(-),则f(m),f(n),f(t)的大小关系为(　　)
[A]f(m)[B]f(m)[C]f(n)[D]f(t)12.对于函数f(x)=下列说法中正确的是(　　)
[A]该函数的值域是[-1,1]
[B]当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
[C]当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1
[D]当且仅当2kπ+π由图象容易看出,该函数的值域是[-,1],A错误;当且仅当x=2kπ+,k∈Z或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1,B错误;当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-,C错误;当且仅当2kπ+π13.(15分)求下列函数的值域:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=4sin(x+)-cos(x-).
法二　由y=,得(3y+1)sin x=1-2y,易知y≠-,所以sin x=,则||≤1,解得y≥0或y≤-2,故f(x)=的值域为(-∞,-2]∪[0,+∞).
(2)因为f(x)=4sin(x+)-cos(x-)=4sin(x+)-cos[(x+)-],
所以f(x)=4sin(x+)-sin(x+)=3sin(x+),故f(x)∈[-3,3],
即函数f(x)=4sin(x+)-cos(x-)的值域为[-3,3].
14.(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上单调递增,α,β是锐角三角形的两个内角,则(　　)
[A]f(sin α)>f(cos β)
[B]f(sin α)[C]f(sin β)>f(cos α)　
[D]f(sin β)sin(-β)=cos β,且sin α∈(0,1),cos β∈(0,1),所以f(sin α)>f(cos β).同理,f(sin β)>f(cos α).故选AC.(共30张PPT)
第2课时　单调性与最值
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域
[-1,1]
[-1,1]
单调递增
单调递减
[-π+2kπ,2kπ]
[2kπ,π+2kπ]
2kπ
π+2kπ
·疑难解惑·
(1)正弦函数、余弦函数都不是单调函数,但它们都有无数个单调区间.
(2)利用函数的单调性,可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
1.下列命题中正确的是(　　)
[A]y=cos x在第一象限和第四象限内单调递减
[B]y=sin x在第一象限和第三象限内单调递增
基础自测
D
2.若a=sin 47°,b=cos 37°,c=cos 47°,则a,b,c的大小关系为(　　)
[A]a>b>c [B]b>c>a
[C]b>a>c [D]c>b>a
C
C
4.在区间[0,2π]中,使函数y=sin x与y=cos x都单调递减的区间是　　　　.
关键能力·素养培优
题型一　利用单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小.
(2)sin 265°和cos 165°;
·解题策略·
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
[变式训练] (多选)下列不等式中成立的是(　　 )
[A]sin 3[B]cos 3>cos 2
AC
题型二　求正弦函数、余弦函数的单调区间
C
·解题策略·
求正弦函数、余弦函数单调区间的方法
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω>0)的单调区间,一般将ωx+φ视作整体,代入y=sin x(或y=cos x)相应单调区间所对应的不等式来
求解.
(2)当ω<0时,先利用诱导公式将y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-φ)(或y=Acos(-ωx-φ))(A>0,ω<0),再求函数的单调区间.
(3)当A<0时,要注意单调区间的变化,不要将单调递增区间与单调递减区间混淆.
题型三　求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
[例3] 求下列函数的最大值、最小值以及对应的x值的集合:
C
·解题策略·
(1)形如y=Asin x(或y=Acos x),可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意A的正、负对最值的影响.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b),可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).
(3)求给定区间上最值(值域)的问题,可利用换元思想,设t=ωx+φ,转换成y=Asin t(或y=Acos t)型的函数求值.
感谢观看第2课时　单调性与最值
【课程标准要求】　1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题.
知识归纳
知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [-1,1] [-1,1]
单调性 在[-+2kπ,+2kπ]上单调递增,在[+2kπ,+2kπ]上单调递减 在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增,在[2kπ,π+2kπ]上单调递减
最值 当x=+2kπ时,ymax=1; 当x=-+2kπ时,ymin=-1 当x=2kπ时,ymax=1; 当x=π+2kπ时,ymin=-1
(1)正弦函数、余弦函数都不是单调函数,但它们都有无数个单调区间.
(2)利用函数的单调性,可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
基础自测
1.下列命题中正确的是(　　)
[A]y=cos x在第一象限和第四象限内单调递减
[B]y=sin x在第一象限和第三象限内单调递增
[C]y=cos x在[-,]上单调递减
[D]y=sin x在[-,]上单调递增
【答案】 D
【解析】 正弦、余弦函数的单调性只针对区间,不能针对象限,故A,B错误;对于y=cos x,该函数的单调递减区间为[2kπ,π+2kπ],k∈Z,故C错误;对于y=sin x,该函数的单调递增区间为[-+2kπ,+2kπ],k∈Z,故D正确.故选D.
2.若a=sin 47°,b=cos 37°,c=cos 47°,则a,b,c的大小关系为(　　)
[A]a>b>c [B]b>c>a
[C]b>a>c [D]c>b>a
【答案】 C
【解析】 由题意得sin 47°=sin(90°-43°)=cos 43°,因为y=cos x在[0,]上单调递减,所以b>a>c.故选C.
3.(人教A版必修第一册P207练习T2改编)已知函数f(x)=sin(x+)在x0处取得最大值,则x0可能是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 当x+=+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值.故选C.
4.在区间[0,2π]中,使函数y=sin x与y=cos x都单调递减的区间是　　　　　　　.
【答案】 [,π]
【解析】 在区间[0,2π]中,函数y=sin x的单调递减区间是[,],函数y=cos x的单调递减区间是[0,π].所以函数y=sin x和y=cos x都单调递减的区间是[,]∩[0,π]=[,π].
题型一　利用单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小.
(1)cos 与cos ;
(2)sin 265°和cos 165°;
(3)sin 和cos .
【解】 (1)因为cos =cos(2π-)=cos(-)=cos ,cos =cos(2π-)=cos(-)=cos ,由于函数y=cos x在[0,π]上单调递减,>,所以cos cos .
(2)sin 265°=sin(180°+85°)=-sin 85°,cos 165°=cos(90°+75°)=-sin 75°,因为函数y=sin x在[0,]上单调递增,则sin 85°>sin 75°,得-sin 85°<-sin 75°,即sin 265°(3)cos =sin(+),≈1.57<1.75=<3.24≈+<,又函数y=sin x在[,]上单调递减,所以
sin >sin(+)=cos ,即sin >cos .
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数.
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.
(3)利用函数的单调性比较大小.
[变式训练] (多选)下列不等式中成立的是(　　)
[A]sin 3[B]cos 3>cos 2
[C]cos(-)[D]sin 【答案】 AC
【解析】 对于A,因为<2<3<π,且函数y=sin x在[,π]上单调递减,所以sin 3sin .故选AC.
题型二　求正弦函数、余弦函数的单调区间
[例2] 求函数y=2sin(x-)的单调区间.
【解】 令z=x-,则y=2sin z.因为z=x-是增函数,所以y=2sin z单调递增(减)时,函数y=2sin(x-)也单调递增(减).
由z∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z),得x-∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z),即x∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z),故函数y=2sin(x-)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).同理可求函数y=2sin(x-)的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z).
[典例迁移1] 函数y=sin(-2x),x∈(0,π)的单调递增区间是(　　)
[A](0,]　 [B][,]
[C][,]　 [D][,π)
【答案】 C
【解析】 法一　由题意,得y=sin(-2x)=-sin(2x-).令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.所以函数y=sin(-2x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
因为x∈(0,π),所以令k=0,得函数y=sin(-2x),x∈(0,π)的单调递增区间为[,].故选C.
法二　x∈(0,π) 2x-∈(-,),由2x-∈[,],可得x∈[,],所以函数y=sin(2x-)在[,]上单调递减,函数y=-sin(2x-)在[,]上单调递增.故选C.
[典例迁移2]求函数y=cos(-2x)的单调递增区间.
【解】 cos(-2x)=cos(2x-).
令z=2x-,函数 y=cos z的单调递增区间是[π+2kπ,2π+2kπ],k∈Z.
由π+2kπ≤2x-≤2π+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
因此,函数y=cos(-2x)的单调递增区间是[+kπ,+kπ],k∈Z.
求正弦函数、余弦函数单调区间的方法
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω>0)的单调区间,一般将ωx+φ视作整体,代入y=sin x(或y=cos x)相应单调区间所对应的不等式来求解.
(2)当ω<0时,先利用诱导公式将y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A>0,ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-φ)(或y=Acos(-ωx-φ))(A>0,ω<0),再求函数的单调区间.
(3)当A<0时,要注意单调区间的变化,不要将单调递增区间与单调递减区间混淆.
题型三　求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
[例3] 求下列函数的最大值、最小值以及对应的x值的集合:
(1)y=+;
(2)y=-2cos x;
(3)y=3sin(x-).
【解】 (1)当y=sin x取到最大值1时,
y=+取到最大值+,此时对应的x值的集合为{x+2kπ,k∈Z};
当y=sin x取到最小值-1时,
y=+取到最小值-,此时对应的x值的集合为{x+2kπ,k∈Z}.
(2)当y=cos x取到最小值-1时,
y=-2cos x取到最大值,此时对应的x值的集合为{x|x=π+2kπ,k∈Z};
当y=cos x取到最大值1时,
y=-2cos x取到最小值-,此时对应的x值的集合为{x|x=2kπ,k∈Z}.
(3)令x-=+2kπ,k∈Z,解得x=π+kπ,k∈Z,
所以y=3sin(x-)的最大值为3,此时对应的x值的集合为{xkπ,k∈Z};
令x-=-+2kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z,
所以y=3sin(x-)的最小值为-3,此时对应的x值的集合为{x+kπ,k∈Z}.
[典例迁移1] 已知函数f(x)=2sin(2x-),x∈[0,],则f(x)的值域是(　　)
[A][-2,2]
[B][-1,1]
[C][-1,2]
[D][-,2]
【答案】 C
【解析】 因为x∈[0,],所以2x-∈[-,],所以sin(2x-)∈[-,1],所以2sin(2x-)∈[-1,2],所以f(x)的值域是[-1,2].故选C.
[典例迁移2] 函数f(x)=cos(2x+),x∈[-,0]的值域为　　　　　　.
【答案】 [-1,]
【解析】 因为-≤x≤0,所以-≤2x+≤,所以-≤cos(2x+)≤1,故-1≤cos(2x+)≤,即f(x)的值域是[-1,].
(1)形如y=Asin x(或y=Acos x),可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意A的正、负对最值的影响.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b),可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).
(3)求给定区间上最值(值域)的问题,可利用换元思想,设t=ωx+φ,转换成y=Asin t(或y=Acos t)型的函数求值.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数f(x)=-sin 3x的单调递增区间为(　　)
[A][+,+](k∈Z)
[B][+,+](k∈Z)
[C][-+,+](k∈Z)
[D][-+,+](k∈Z)
【答案】 B
【解析】 令+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是[+,+](k∈Z).故选B.
2.下列函数中,最小正周期为π,且在[,]上单调递减的是(　　)
[A]y=sin(2x+) [B]y=cos(2x+)
[C]y=sin(x+) [D]y=cos(x+)
【答案】 A
【解析】 对于选项A,y=sin(2x+)=cos 2x,最小正周期为π,当≤x≤时,≤2x≤π,所以y=cos 2x在[,]上单调递减,所以A正确;对于选项B,y=cos(2x+)=-sin 2x,最小正周期是π,在[,]上单调递增,所以B错误;对于选项C,y=sin(x+)=cos x,最小正周期是2π,所以C错误;对于选项D,
y=cos(x+)=-sin x,最小正周期是2π,所以D错误.故选A.
3.函数y=acos x+b(a<0)的最大值是(　　)
[A]a+b [B]-|a|+b
[C]|a|+b [D]|a+b|
【答案】 C
【解析】 因为a<0,-1≤cos x≤1,所以a≤acos x≤-a,所以a+b≤y≤-a+b=|a|+b,所以函数y=
acos x+b(a<0)的最大值是|a|+b.故选C.
4.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω的值为(　　)
[A]3 [B]2 [C] [D]
【答案】 C
【解析】 由题意=×=,所以ω=.故选C.
5.下列不等式中,正确的有(　　)
①sin 3>sin 4;②cos sin 1.5.
[A]①② [B]①③ [C]②③ [D]③④
【答案】 B
【解析】 由于<3<4<,且函数y=sin x在区间[,]上单调递减,则sin 3>sin 4,①正确;由于cos(-)=cos =cos ,0<<<π,且函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减,则cos >
cos =cos(-),②错误;由于0<1<2<π,且函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减,则cos 26.设函数f(x)=sin(x-),若对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为(　　)
[A]4 [B]2 [C]1 [D]
【答案】 B
【解析】 由题意得函数f(x)在x=x1处取得最小值,在x=x2处取得最大值,则|x1-x2|的最小值为相邻两条对称轴间的距离,又最小正周期T==4,故|x1-x2|的最小值为=2.故选B.
7.(5分)函数y=sin x+|sin x|的值域为　　　　.
【答案】 [0,2]
【解析】 当x∈[2kπ,π+2kπ](k∈Z)时,0≤sin x≤1,则y=2sin x,所以y∈[0,2];当x∈[-π+2kπ,2kπ]
(k∈Z)时,-1≤sin x≤0,则y=0.综上所述,函数y=sin x+|sin x|的值域为[0,2].
8.(5分)函数y=cos(sin x)的值域为　 .
【答案】 [cos 1,1]
【解析】 令t=sin x,可得-1≤t≤1,则y=cos t,t∈[-1,1].由于y=cos t在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,且cos(-1)=cos 1,则ymax=1,ymin=cos 1,故函数y=cos(sin x)的值域为[cos 1,1].
9.(14分)已知函数f(x)=sin(-2x),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
【解】 (1)因为函数f(x)=sin(-2x)=-sin(2x-),x∈R,所以函数f(x)的最小正周期T==π,又因为y=-sin x的单调递增区间为[+2kπ,+2kπ],k∈Z,令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)当-≤x≤时,-≤-2x≤,所以-≤sin(-2x)≤1,则-≤f(x)≤.当-2x=-,即x=时,f(x)取得最小值-;当-2x=,即x=-时,f(x)取得最大值,所以f(x)在区间[-,]上的最大值为,最小值为-.
10.(15分)已知函数f(x)=cos(-2x).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在[-π,π]上的单调递减区间;
(3)求函数f(x)在区间[-,]上的最小值和最大值.
【解】 (1)由题意知f(x)=cos(-2x)=cos(2x-),令2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
令2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z),单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
(2)由(1)可得f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z),
令k=-1,得f(x)在[-,-]上单调递减;令k=0,得f(x)在[,]上单调递减,
因为x∈[-π,π],所以f(x)在[-π,π]上的单调递减区间是[-,-]和[,].
(3)由题意知f(x)=cos(-2x)=cos(2x-),当x∈[-,]时,-≤2x-≤,
根据y=cos x图象的性质可知,cos(2x-)∈[-,1],所以cos(2x-)∈[-,],
故当2x-=或2x-=-,即x=或x=-时,f(x)min=-;当2x-=0,即x=时,f(x)max=.
11.已知定义在R上的偶函数f(x)满足在区间(0,1)内单调递增,若m=cos ,n=cos ,t=cos(-),则f(m),f(n),f(t)的大小关系为(　　)
[A]f(m)[B]f(m)[C]f(n)[D]f(t)【答案】 D
【解析】 因为n=cos =-cos ,t=cos(-)=cos ,由>>,可得012.对于函数f(x)=下列说法中正确的是(　　)
[A]该函数的值域是[-1,1]
[B]当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
[C]当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1
[D]当且仅当2kπ+π【答案】 D
【解析】 画出函数f(x)的图象如图中实线部分所示,
由图象容易看出,该函数的值域是[-,1],A错误;当且仅当x=2kπ+,k∈Z或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1,B错误;当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-,C错误;当且仅当2kπ+π13.(15分)求下列函数的值域:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=4sin(x+)-cos(x-).
【解】 (1)法一　f(x)==-+,因为-1≤sin x≤1,且sin x≠-,所以-1≤3sin x+2≤5,且3sin x+2≠0,所以≤-或≥,所以-+≤-2或-+≥0,故f(x)=的值域为(-∞,-2]∪[0,+∞).
法二　由y=,得(3y+1)sin x=1-2y,易知y≠-,所以sin x=,则||≤1,解得y≥0或y≤-2,故f(x)=的值域为(-∞,-2]∪[0,+∞).
(2)因为f(x)=4sin(x+)-cos(x-)=4sin(x+)-cos[(x+)-],
所以f(x)=4sin(x+)-sin(x+)=3sin(x+),故f(x)∈[-3,3],
即函数f(x)=4sin(x+)-cos(x-)的值域为[-3,3].
14.(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上单调递增,α,β是锐角三角形的两个内角,则(　　)
[A]f(sin α)>f(cos β)
[B]f(sin α)[C]f(sin β)>f(cos α)　
[D]f(sin β)【答案】 AC
【解析】 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.因为函数f(x)是偶函数且在[-4,-3]上单调递增,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.又α,β是锐角三角形的两个内角,所以α+β>,即>α>-β>0,因为y=sin x在[0,]上单调递增,所以sin α>
sin(-β)=cos β,且sin α∈(0,1),cos β∈(0,1),所以f(sin α)>f(cos β).同理,f(sin β)>f(cos α).故选AC.(共40张PPT)
5.4.2　正弦函数、
余弦函数的性质
第1课时　周期性与奇偶性
1.理解周期函数的概念,能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性,能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识归纳
知识点一　正弦、余弦函数的周期性
1.周期函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个 ,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做周期函数.
叫做这个函数的周期.若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是这个函数的周期.
非零常数T
f(x+T)=f(x)
非零常数T
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.正弦、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是 ,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是 .
(2)余弦函数是 ,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是 .
最小的正数
周期函数
2π
周期函数
2π
·疑难解惑·
(1)“每一个x”强调定义域中每一个值都得成立.
(2)周期函数的周期不唯一,任何T的非零整数倍都是函数的周期.
(3)三角函数的周期是函数的整体性质,我们在研究函数时,只需研究一个周期上的图象和性质即可.
(4)若不加特殊说明,一般求三角函数的周期的问题,求的是函数的最小正周期.
知识点二　正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是 ,余弦函数是 .
奇函数
偶函数
1.(人教A版必修第一册P203练习T2改编)下列函数中,最小正周期为π的是
(　　)
基础自测
D
2.函数f(x)=sin xcos x是(　　)
[A]奇函数　 [B]偶函数
[C]非奇非偶函数　 [D]无法确定
A
【解析】 f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),所以f(x)=sin xcos x是奇函数.故选A.
B
4.若f(x+1)=-f(x),则f(x)的一个周期为　　　　.
2
【解析】 因为f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)是周期函数且2是它的一个周期.
关键能力·素养培优
题型一　正弦、余弦函数的周期性
[例1] 求下列三角函数的周期:
(3)y=|cos x|,x∈R.
【解】 (3)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的周期为π.
·解题策略·
求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.
(3)图象法,即通过观察函数图象求其周期.
提醒:y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数,而y=cos|x|是周期为2π的周期函数,y=sin|x|则不是周期函数.
[变式训练] 求下列函数的周期:
题型二　正弦、余弦函数的奇偶性
[例2] 判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=|sin x|+cos x;
【解】 (2)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R,
因为 x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),
所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数.
·解题策略·
(1)判断函数奇偶性应把握好两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称(提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则);二看f(x)与f(-x)的关系.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
题型三　利用奇偶性与周期性求值(或解析式)
(2)求当x∈[-π,0]时函数的解析式.
·解题策略·
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值,利用函数的奇偶性,可以找到一x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
1
培优拓展　奇偶性、对称性和周期的关系
4
·反思总结·
推得函数周期的常见形式
(1)平移、相反数和倒数关系中的周期.
①若f(x+a)=f(x),则f(x)的周期为T=|a|;
②若f(x+a)=f(x+b),则f(x)的周期为T=|a-b|;
③若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期为T=|2a|;
④若f(x+a)=±,则f(x)的周期为T=|2a|.
·反思总结·
(2)对称性与周期.
①若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
②若f(a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
③若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=4|a-b|.
(3)奇偶性与周期.
①已知f(x)为偶函数,f(x+a)为奇函数,则f(x)的周期为T=4|a|;
②已知f(x)为奇函数,f(x+a)为偶函数,则f(x)的周期为T=4|a|.
[跟踪训练] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3,则f(2)+f(3)+…+f(50)等于(　　)
[A]3 [B]2 [C]0 [D]50
C
【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0,又f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)=f(2-x),即f(x)=-f(x-2),①
则f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-3,在①中,令x=x+2,得f(x+2)=-f(x)=f(x-2),
则f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,即f(4)=f(0)=0,
则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+0+(-3)+0=0,
所以f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)+…+f(50)-f(1)=[f(1)+f(2)+…+f(48)]+
f(4×12+1)+f(4×12+2)-f(1)=12×0+f(1)+f(2)-f(1)=f(2)=0.故选C.
感谢观看第3课时　正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
【课程标准要求】　1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质,能够了解函数的整体性质.2.能够解决简单的函数性质的综合问题.
题型一　形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
[例1] 求函数y=cos2x-sin x的值域.
【解】 由题意得y=cos2x-sin x=-sin2x-sin x+1=-(sin x+) 2+,令sin x=t,t∈[-1,1],
则f(t)=-(t+)2+,所以当t=- 时,f(t)max=f(-)=;
当t=1时,f(1)=-1;当t=-1时,f(-1)=1,故f(t)∈[-1,],所以函数y=cos2x-sin x 的值域为[-1,].
求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型
函数最值(值域)的方法
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的取值范围需要根据定义域来确定.若是y=asin2x+bcos x+c,还需利用同角三角函数的基本关系,转化成同名三角函数求值.
[变式训练] 函数f(x)=sin2x+cos x-(x∈[0,])的最大值是　　　　.
【答案】 1
【解析】 f(x)=1-cos2x+cos x-=-cos2x+cos x+=-(cos x-)2+1,由x∈[0,],可得
cos x∈[0,1],当cos x=时,函数f(x)取得最大值1.
题型二　正弦函数、余弦函数的对称性
[例2] 函数y=sin(2x+)的图象的对称轴方程为　　　　　　,对称中心为　　　　　　.
【答案】 x=+(k∈Z)　(-,0)(k∈Z)
【解析】 由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),由2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函数y=sin(2x+)的对称轴方程为x=+(k∈Z),对称中心为(-,0)(k∈Z).
(1)曲线y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0,下同)的对称轴方程可令ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得,对称中心横坐标可令ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
(2)曲线y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程可令ωx+φ=kπ(k∈Z)求得,对称中心横坐标可令ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
(3)以上两种曲线的对称轴x=x0一定分别过曲线的最高点或最低点,即此时sin(ωx0+φ)=±1(或cos(ωx0+φ)=±1),函数取最大值或最小值;曲线的对称中心横坐标x0一定使得sin(ωx0+φ)=0(或cos(ωx0+φ)=0).
[变式训练] 函数f(x)=2cos(2x+)+的图象的对称轴方程为　　　　　　　　,对称中心为　　　　　　　　　　.
【答案】 x=-+,k∈Z　(+,),k∈Z
【解析】 因为f(x)=2cos(2x+)+,令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,所以f(x)图象的对称轴方程为x=-+,k∈Z;令2x+=kπ+,k∈Z,可得x=+,k∈Z,此时f(x)=,故函数f(x)图象的对称中心为(+,),k∈Z.
题型三　函数性质的综合应用
[例3] 若函数y=f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在区间[-,]上单调递增,则y=f(x)的解析式可以是(　　)
[A]y=sin(2x-)
[B]y=sin(-)
[C]y=cos(2x-)
[D]y=cos(2x+)
【答案】 A
【解析】 逐一验证,因为函数f(x)的最小正周期为π,而选项B中函数最小正周期为=4π,故排除B;又cos(2×-)=cos =0,所以y=cos(2x-)的图象不关于直线x=对称,故排除C;若-≤x≤,则0≤2x+≤π,故函数y=cos(2x+)在[-,]上单调递减,故排除D;令-≤2x-≤,得-≤x≤,所以函数y=sin(2x-)在[-,]上单调递增,由周期公式可得T==π,当x=时,sin(2×-)=
sin =1,所以函数y=sin(2x-)同时满足三个性质.故选A.
研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合的方法.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
[变式训练] (1)(多选)已知函数f(x)=2cos(2x+),则(　　)
[A]f(x)的最小正周期为π
[B]f(x)的图象关于直线x=对称
[C]f(x)的图象关于点(,0)对称
[D]f(x)在区间(0,π)上有两个零点
(2)(多选)若函数f(x)=2sin(x-),则(　　)
[A]f(x)的最小正周期为10
[B]f(x)的图象关于点(,0)对称
[C]f(x)在(0,)上有最小值
[D]f(x)的图象关于直线x=对称
【答案】 (1)ABD　(2)AD
【解析】 (1)T==π,A正确;f()=2cos(2×+)=-2,B正确;f()=2cos(2×+)≠0,C错误;当x∈(0,π)时,2x+∈(,),函数y=2cos x在(,)上有两个零点,故f(x)在区间(0,π)上有两个零点,D正确.故选ABD.
(2)T==10,A正确;
因为f()=2sin(-)≠0,所以f(x)的图象不关于点(,0)对称,B错误;
若x∈(0,),则x-∈(-,π),由y=sin x的图象可知,f(x)在(0,)上有最大值,没有最小值,C错误;
因为f()=2sin =2,所以f(x)的图象关于直线x=对称,D正确.故选AD.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数f(x)=cos(4x+)的图象的相邻两个对称中心间的距离为(　　)
[A] [B] [C] [D]π
【答案】 A
【解析】 相邻两个对称中心间的距离是半个周期,即为=×=.故选A.
2.函数f(x)=sin(x-)图象的一条对称轴方程为(　　)
[A]x=　 [B]x=　
[C]x= [D]x=
【答案】 D
【解析】 法一　f()=sin(-)=-,f()=sin 0=0,f()=sin =,均不是最值,故A,B,C错误;
f()=sin =1,为最大值,可知x=为函数f(x)图象的一条对称轴方程,D正确.故选D.
法二　由x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,当k=0时,x=.故选D.
3.最小正周期为π,且图象关于点(,0)对称的一个函数是(　　)
[A]y=sin(+) [B]y=sin(2x+)
[C]y=cos(2x-) [D]y=sin(2x-)
【答案】 D
【解析】 对于A,由于函数的最小正周期为π,所以=π,所以w=2,所以A错误;对于B,
f()=sin(2×+)=sin =-≠0,所以B错误;对于C,f()=cos(2×-)=cos π=-1≠0,所以C错误;对于D,f()=sin(2×-)=sin π=0,所以D正确.故选D.
4.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么当|φ|取最小值时,φ的值为(　　)
[A]± [B] [C]- [D]±
【答案】 D
【解析】 由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,可得2π+φ=+kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,
k∈Z,当|φ|取最小值时,k=1,即φ=-或k=2,即φ=,故当|φ|取最小值时,φ的值为±.故选D.
5.(多选)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(,0)中心对称,则(　　)
[A]φ=
[B]f(x)在区间(,)上有两个零点
[C]直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴
[D]f(x)在区间(0,)上单调递增
【答案】 ABD
【解析】 由已知sin(2×+φ)=0,可得+φ=kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,A正确;所以f(x)=
sin(2x+),T==π,-=π,区间(,)是函数的一个周期,而f()=f()=1≠0,因此f(x)在区间(,)上有两个零点,B正确;f()=sin(2×+)=0,C错误;当x∈(0,)时,2x+∈(,),f(x)在此区间上单调递增,D正确.故选ABD.
6.(多选)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)+1(其中ω,φ均为常数,且ω>0,|φ|<π)恰能满足下列4个条件中的3个:①函数f(x)的最小正周期为π;②函数f(x)的图象经过点(0,);③函数f(x)的图象关于点(,1)对称;④函数f(x)的图象关于直线x=-对称.则这3个条件的序号可以是(　　)
[A]①②③ [B]①②④
[C]①③④ [D]②③④
【答案】 AB
【解析】 若①正确,则=π,解得ω=2;若②正确,则f(0)=cos φ+1=,即cos φ=,又|φ|<π,故φ=±;若③正确,则+φ=+k1π,k1∈Z;若④正确,则-+φ=k2π,k2∈Z.对于A,ω=2,取φ=-,-=,满足条件,此时④不满足条件,正确;对于B,ω=2,取φ=,-+=0,满足条件,此时③不满足条件,正确;对于C,ω=2,+φ-(-+φ)==+k3π,k3∈Z,不成立,错误;对于D,相减得+==
+k3π,k3∈Z,则ω=(+k3),k3∈Z,此时-+φ=-×(+k3)+φ=-(+k3)π+φ=k2π,k2∈Z,整理得7φ=(7k2+2k3)π+π,k2,k3∈Z,而φ=±,故不成立,错误.故选AB.
7.(5分)当x∈[,]时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为　　　　.
【答案】 [,2]
【解析】 因为x∈[,],所以sin x∈[-,1].又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)=2(sin x-
)2+,所以当sin x=时,ymin=;当sin x=-或sin x=1时,ymax=2,即函数的值域为[,2].
8.(5分)设函数f(x)=cos(ωx-)(ω>0),若f(x)≤f()对任意的实数x都成立,则f()=　　　　,ω的最小值为　　　　.
【答案】 1　
【解析】 因为f(x)≤f()对任意的实数x都成立,所以当x=时,f(x)取得最大值1,即f()=
cos(-)=1,所以-=2kπ,k∈Z,所以ω=8k+,k∈Z.因为ω>0,所以当k=0时,ω取得最小值.
9.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),若f(x)的图象关于点(-,0)对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x);
(2)求f(x)的单调递增区间.
【解】 (1)依题意T=π,所以ω=2,f(x)=sin(2x+φ),又f(x)的图象关于点(-,0)对称,
所以2×(-)+φ=kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,又|φ|≤,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+).
(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
10.(13分)设函数f(x)=sin2x+cos x+a.
(1)若1≤f(x)≤对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若关于x的方程f(x)=0在[-,]上有实数解,求实数a的取值范围.
【解】 (1)由函数f(x)=sin2x+cos x+a=-cos2x+cos x+a+1,
令t=cos x∈[-1,1],可得f(t)=-t2+t+a+1,
因为1≤f(x)≤对一切实数x恒成立,即对任意的t∈[-1,1],1≤f(t)≤恒成立,又由函数f(t)=
-t2+t+a+1的图象开口向下,对称轴为直线t=,当t=时,f(t)max=a+;当t=-1时,f(t)min=a-1,则解得2≤a≤3,所以实数a的取值范围为[2,3].
(2)由x∈[-,],令t=cos x∈[0,1],要使得关于x的方程f(x)=0在[-,]上有实数解,即f(t)=0在
t∈[0,1]上有实数解,即a+1=t2-t在t∈[0,1]上有实数解,令g(t)=t2-t,t∈[0,1],由g(t)=(t-)2-,可知y=g(t)在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增,当t=时,g(t)min=-,当t=0或t=1时,g(t)max=0,则-≤a+1≤0,解得-≤a≤-1,即实数a的取值范围为[-,-1].
11.(多选)已知函数f(x)=sin(2x-x2),则(　　)
[A]f(x)是周期函数
[B]f(x)的最小值是-1
[C]f(x)的图象至少有一条对称轴　
[D]f(x)在(0,)上单调递增
【答案】 BCD
【解析】 若f(x)是周期函数,则存在非零常数T,使得f(x)=sin(2x-x2)=sin[2(x+T)-(x+T)2]=f(x+T),化简得sin(2x-x2)=sin(2x-x2+2T-2Tx-T2),则2T-2Tx-T2=2kπ,k∈Z或2x-x2+2x-x2+2T-2Tx-T2=
2kπ+π,k∈Z,可知T均与x有关,故非零常数T不存在,A错误;
令t=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,则sin t∈[-1,1],故f(x)的最小值是-1,故B正确;
结合B选项的分析可得,f(1-x)=sin[-(1-x-1)2+1]=sin[-(1+x-1)2+1]=f(1+x),故f(x)的图象的对称轴方程为x=1,故C正确;
由B选项的分析易知t=2x-x2在(0,)上单调递增,且t=2x-x2∈(0,-) (0,),故y=sin t 单调递增,由复合函数单调性知f(x)在(0,)上单调递增,故D正确.故选BCD.
12.(多选)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(cos x),则下列结论正确的是(　　)
[A]f(x)的一个周期为2π
[B]f(x)的最大值为2
[C]f(x)的图象关于直线x=对称
[D]f(x)在区间(0,)上单调递增
【答案】 ACD
【解析】 f(x+2π)=sin[sin(x+2π)]+cos[cos(x+2π)]=sin(sin x)+cos(cos x)=f(x),故f(x)的一个周期为2π,A正确;
由sin x∈[-1,1],cos x∈[-1,1],则sin(sin x)<1,cos(cos x)≤1,故f(x)<2,B错误;
f(-x+π)=sin[sin(-x+π)]+cos[cos(-x+π)]=sin(sin x)+cos(-cos x)=sin(sin x)+cos(cos x)=f(x),故f(x)的图象关于直线x=对称,C正确;
当x∈(0,)时,sin x∈(0,1),且随x增大而增大,故sin(sin x)随x增大而增大,cos x∈(0,1),且随x增大而减小,故cos(cos x)随x增大而增大,故f(x)在区间(0,)上单调递增,D正确.故选ACD.
13.(15分)已知函数f(x)=2sin(2x-),x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间[0,]上有两个零点,求m的取值范围;
(3)若函数h(x)=f(x)-k(x-)(k∈R)有且仅有3个零点,求所有零点之和.
【解】 (1)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
故函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间[0,]上有两个零点,令g(x)=0,即函数y=f(x)的图象与直线y=m在区间[0,]上有两个交点,令t=2x-,由x∈[0,],得2x-∈[-,],即函数y=sin t的图象与直线y=在区间[-,]上有两个交点,画出函数y=sin t与y=在区间[-,]上的图象如图所示,由图可知∈[,1),m∈[,2).
(3)函数h(x)=f(x)-k(x-)(k∈R)有且仅有3个零点,因为y=k(x-)的图象关于(,0)成中心对称,而f(x)=2sin(2x-)的图象关于(,0)成中心对称,设三个零点分别为x1,x2,x3,则=,x2=,所以所有零点之和为+×2=.
14.(多选)设函数f(x)的定义域为R,f(x+π)为奇函数,f(x+2π)为偶函数,当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则下列结论正确的有(　　)
[A]f()=-1
[B]f(x)在(3π,)上单调递减
[C]点(8π,0)是函数f(x)的一个对称中心
[D]方程f(x)+lg x=0有5个实数解
【答案】 AD
【解析】 因为f(x+π)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(π,0)成中心对称,因为f(x+2π)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2π成轴对称.
则f(-x)=-f(x+2π)且f(-x)=f(x+4π),
所以f(x+4π)=-f(x+2π),即f(x+2π)=-f(x),
所以f(x+4π)=f(x),所以4π是函数f(x)的一个周期.
因为当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则可作出函数f(x)部分图象和y=-lg x图象的草图如图所示.
由图可知A,D正确,B,C不正确.故选AD.5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　周期性与奇偶性
【课程标准要求】　1.理解周期函数的概念,能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性,能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.
知识归纳
知识点一　正弦、余弦函数的周期性
1.周期函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.正弦、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
(2)余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
(1)“每一个x”强调定义域中每一个值都得成立.
(2)周期函数的周期不唯一,任何T的非零整数倍都是函数的周期.
(3)三角函数的周期是函数的整体性质,我们在研究函数时,只需研究一个周期上的图象和性质即可.
(4)若不加特殊说明,一般求三角函数的周期的问题,求的是函数的最小正周期.
知识点二　正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P203练习T2改编)下列函数中,最小正周期为π的是(　　)
[A]y=sin x [B]y=cos x
[C]y=sin x　 [D]y=cos 2x
【答案】 D
【解析】 选项A,B中,T=2π;选项C中,T==4π;选项D中,T==π.故选D.
2.函数f(x)=sin xcos x是(　　)
[A]奇函数　 [B]偶函数
[C]非奇非偶函数　 [D]无法确定
【答案】 A
【解析】 f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),所以f(x)=sin xcos x是奇函数.故选A.
3.设函数f(x)=sin(2x-),x∈R,则f(x)是(　　)
[A]最小正周期为π的奇函数　
[B]最小正周期为π的偶函数
[C]最小正周期为的奇函数
[D]最小正周期为的偶函数
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=sin(2x-)=-sin(-2x)=-cos 2x,x∈R,又T==π,且f(-x)=-cos(-2x)=
-cos 2x=f(x),所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.故选B.
4.若f(x+1)=-f(x),则f(x)的一个周期为　　　　.
【答案】 2
【解析】 因为f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)是周期函数且2是它的一个周期.
题型一　正弦、余弦函数的周期性
[例1] 求下列三角函数的周期:
(1)y=sin x,x∈R;
(2)y=cos x,x∈R;
(3)y=|cos x|,x∈R.
【解】 (1)法一　因为sin[(x+3π)]=sin(x+2π)=sin x,由周期函数的定义知,y=sin x的周期为3π.
法二　T==3π.
(2)法一　因为cos(x+2π)=cos x,由周期函数的定义知,y=cos x的周期为2π.
法二　T==2π.
(3)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的周期为π.
求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法,对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=.
(3)图象法,即通过观察函数图象求其周期.
提醒:y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数,而y=cos|x|是周期为2π的周期函数,y=sin|x|则不是周期函数.
[变式训练] 求下列函数的周期:
(1)y=cos(4x+);
(2)y=3sin(-x+);
(3)y=|sin x+|.
【解】 (1)函数y=cos(4x+)的周期为T==.
(2)函数y=3sin(-x+)的周期为T==4π.
(3)结合y=|sin x+|的图象(如图)可知其周期为T=2π.
题型二　正弦、余弦函数的奇偶性
[例2] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin(x+);
(2)f(x)=|sin x|+cos x;
(3)f(x)=x2cos(x+);
(4)f(x)=.
【解】 (1)f(x)=sin(x+)=-cos x,x∈R.因为 x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),
所以函数f(x)=sin(x+)是偶函数.
(2)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R,
因为 x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),
所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数.
(3)f(x)=x2cos(x+)=-x2sin x,x∈R,
因为 x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x),
所以函数f(x)=x2cos(x+)为奇函数.
(4)因为2sin 2x-1≥0,所以sin 2x≥,
所以+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),
即x∈[+kπ,+kπ](k∈Z),
定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
(1)判断函数奇偶性应把握好两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称(提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则);二看f(x)与f(-x)的关系.
(2)对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断,规律如下:
对y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0),当φ=kπ(k∈Z)时,是奇函数;当φ=+kπ(k∈Z)时,是偶函数.对y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0),当φ=kπ(k∈Z)时,是偶函数;当φ=+kπ(k∈Z)时,是奇函数.φ为其他值时,均为非奇非偶函数.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=2cos(x+);
(2)f(x)=2sin(x+);
(3)f(x)=;
(4)f(x)=.
【解】 (1)f(x)=2cos(x+),f(x)的定义域为R,因为 x∈R,都有-x∈R,f(x)=2cos(x+)=
2cos(x+)=-2sin x,又f(-x)=-2·sin(-x)=2sin x=-f(x).所以f(x)为奇函数.
(2)函数的定义域为R,f(0)=2sin =1≠0,所以f(x)=2sin(x+)不是奇函数,f(-)=2sin 0=0,f()=
2sin =,则f(-)≠f(),则y=2sin(x+)不是偶函数,所以y=f(x)=2sin(x+)为非奇非偶函数.
(3)由cos x≠1,解得x≠2kπ,k∈Z,即函数f(x)=的定义域为D={x|x≠2kπ,k∈Z},
因为 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)===-f(x),所以函数f(x)=为奇函数.
(4)法一　由sin x≠1,解得x≠+2kπ,k∈Z,即函数f(x)=的定义域为{x+2kπ,k∈Z},不关于原点对称,所以函数f(x)=为非奇非偶函数.
法二　f()没有意义,f(-)=0有意义,所以函数f(x)=为非奇非偶函数.
题型三　利用奇偶性与周期性求值(或解析式)
[例3] 定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,]时,f(x)=sin x.
(1)求f()的值;
(2)求当x∈[-π,0]时函数的解析式.
【解】 (1)f()=f(-2π)=f(-)=f()=sin =.
(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
因为x∈[0,]时,f(x)=sin x,
所以当x∈[-,0]时,-x∈[0,],
所以f(-x)=sin(-x)=-sin x=f(x),
即当x∈[-,0]时,f(x)=-sin x,
当x∈[-π,-]时,x+π∈[0,],
又因为f(x)的周期为π,
所以f(x)=f(x+π)=sin(x+π)=-sin x,
即当x∈[-π,-]时,f(x)=-sin x.综上所述,当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin x.
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值,利用函数的奇偶性,可以找到一x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
[变式训练] 已知f(x)为奇函数,且周期为,若f()=-1,则f()=　　　　.
【答案】 1
【解析】 因为f(x)为奇函数,且周期为,所以f()=f(8×-)=f(-)=-f(),又因为f()=-1,所以f()=1.
培优拓展　奇偶性、对称性和周期的关系
[典例] 已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(x-)=-f(x),且当x∈(0,]时,f(x)=2x-3,则f(2 024)+
f(2 025)-f(2 026)=　　　　.
【答案】 4
【解析】 因为f(x-)=-f(x),所以f(x-3)=-f(x-),所以f(x-3)=f(x),因此函数的周期为3,所以
f(2 024)+f(2 025)-f(2 026)=f(-1)+f(0)-f(1)=-f(1)+0-f(1)=-2f(1),此时f(1)中的1 (0,],继续转化:在f(x-)=-f(x)中令x=1有f(1-)=-f(1),所以f(1)=-f(1-)=-f(-)=f()=2×-3=-2,所以原式=-2×(-2)=4.
推得函数周期的常见形式
(1)平移、相反数和倒数关系中的周期.
①若f(x+a)=f(x),则f(x)的周期为T=|a|;
②若f(x+a)=f(x+b),则f(x)的周期为T=|a-b|;
③若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期为T=|2a|;
④若f(x+a)=±,则f(x)的周期为T=|2a|.
(2)对称性与周期.
①若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
②若f(a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=2|a-b|;
③若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中a≠b,则f(x)的周期为T=4|a-b|.
(3)奇偶性与周期.
①已知f(x)为偶函数,f(x+a)为奇函数,则f(x)的周期为T=4|a|;
②已知f(x)为奇函数,f(x+a)为偶函数,则f(x)的周期为T=4|a|.
[跟踪训练] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3,则f(2)+f(3)+…+f(50)等于(　　)
[A]3 [B]2 [C]0 [D]50
【答案】 C
【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0,又f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)=f(2-x),即f(x)=-f(x-2),①
则f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-3,在①中,令x=x+2,得f(x+2)=-f(x)=f(x-2),则f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,即f(4)=f(0)=0,则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+0+(-3)+0=0,所以f(2)+f(3)+…+f(50)=
f(1)+f(2)+…+f(50)-f(1)=[f(1)+f(2)+…+f(48)]+f(4×12+1)+f(4×12+2)-f(1)=12×0+f(1)+f(2)-f(1)=
f(2)=0.故选C.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分.
1.函数f(x)=7sin(x+)是(　　)
[A]周期为3π的偶函数
[B]周期为2π的奇函数
[C]周期为3π的奇函数
[D]周期为的偶函数
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=-7cos x,所以T=3π,f(x)为偶函数.故选A.
2.函数y=4sin(2x-π)的图象关于(　　)
[A]x轴对称 [B]原点对称
[C]y轴对称 [D]直线x=对称
【答案】 B
【解析】 因为y=4sin(2x-π)=-4sin 2x是奇函数,所以其图象关于原点对称.故选B.
3.已知函数y=sin(x++φ)是偶函数,则φ的值可以是(　　)
[A]　　 [B]-　
[C]　　 [D]-
【答案】 B
【解析】 y=sin(x++φ)为偶函数,则只需+φ=kπ+,k∈Z,从而φ=kπ+,k∈Z,显然当k=-1时,φ=-,满足题意.故选B.
4.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则f()等于(　　)
[A]1 [B] [C]-1 [D]-
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,所以周期T==π,解得ω=2,即f(x)=sin(2x+),所以f()=sin(2×+)=sin(+)=sin =1.故选A.
5.函数y=-2xcos x的部分图象是(　　)
[A]　 [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 函数的定义域为R,因为f(-x)=-2(-x)cos(-x)=2xcos x=-f(x),所以此函数为奇函数,图象关于原点对称,故排除A,C;因为当x∈(0,)时,y=-2xcos x<0,故排除B.故选D.
6.关于函数f(x)=sin(x+φ)(x∈R),下列命题正确的是(　　)
[A]存在φ,使f(x)是偶函数
[B]对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数
[C]存在φ,使f(x)既是奇函数,又是偶函数　
[D]对任意的φ,f(x)都不是奇函数
【答案】 A
【解析】 当φ=+kπ,k∈Z时,函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数,当φ=kπ,k∈Z时,函数f(x)=sin(x+φ)是奇函数,所以A正确,B,D错误;由分析可知,不存在φ∈R,使函数f(x)=sin(x+φ)既是奇函数,又是偶函数,所以C错误.故选A.
7.(5分)已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=,且f(1)=,则f(2 026)=　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题意得f(x+6)==f(x),所以f(x)的周期为6,所以f(2 026)=f(6×337+4)=f(4)==2.
8.(5分)如果函数f(x)=cos(ωx+) (ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω=　　　　.
【答案】 6
【解析】 因为函数f(x)=cos(ωx+) (ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,所以T=2×=,由=,解得ω=6.
9.(14分)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=cos(+2x)cos(π+x);
(2)f(x)=3sin x+4cos x;
(3)f(x)=+;
(4)f(x)=+.
【解】 (1)f(x)=cos(+2x)cos(π+x)=(-sin 2x)(-cos x)=sin 2xcos x,函数f(x)的定义域为R,因为
x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=sin(-2x)cos(-x)=-sin 2xcos x=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
(2)因为f()=+=,f(-)=-+=,故f(-)≠f()且f(-)≠-f(),所以f(x)为非奇非偶
函数.
(3)因为cos x-1≥0且1-cos x≥0,所以cos x=1,定义域为D={x|x=2kπ,k∈Z},因为 x∈D,都有
-x∈D,且f(x)=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x).所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)因为sin =1,sin(-)=-1,所以f()=0,f(-)没有意义,所以f(x)为非奇非偶函数.
10.(15分)(1)已知f(x)是周期为π的偶函数,当x∈[0,]时,f(x)=1-sin x,求f(),f(-).
(2)设函数f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,求f(π).
【解】 (1)因为T=π,且f(x)为偶函数,
所以f()=f(3π+)=f()=1-sin =1-,
f(-)=f(-4π-)=f(-)=f()=1-sin =.
(2)由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数.
而f(x)是奇函数,所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
11.设f(x)是定义域为R,最小正周期为3π的函数,且f(x)=则f(-)+f()等于(　　)
[A] [B]- [C]1 [D]-1
【答案】 D
【解析】 由于函数y=f(x)是最小正周期为3π的函数,且f(x)=
所以f(-)+f()=f(-+102π)+f(-99π)=f(-)+f()=cos(-)+sin =cos +
sin(π+)=cos(π-)+sin(π+)=-cos -sin =--=-1.故选D.
12.(5分)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(x)是周期为　　 　　的周期函数;若当x∈[-2,2]时,f(x)=-x2+1,则当x∈[-6,-2]时,f(x)的解析式为　　　　　.
【答案】 4　f(x)=-x2-8x-15
【解析】 由题意得f(-x)=f(x),f(2+x)=f(2-x),所以f(x+4)=f((x+2)+2)=f(2-(x+2))=f(-x)=f(x).故f(x)是以4为周期的周期函数.当x∈[-6,-2]时,x+4∈[-2,2].所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1=-x2-8x-15.
13.(16分)设f(x)=log3.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
【解】 (1)因为>0,所以-(2)由(1)知定义域关于原点对称,又f(-x)=log3=log3()-1=-log3=-f(x),故该函数为奇函数.
14.(5分)已知f(n)=sin ,n∈Z,则f(1)+f(2)+…+f(100)=　　　　.
【答案】 1+
【解析】 f(n)是以8为周期的周期函数,因为f(1)+f(2)+…+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(100)=
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sin +sin +sin +sin π=1+.第3课时　正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
【课程标准要求】　1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质,能够了解函数的整体性质.2.能够解决简单的函数性质的综合问题.
题型一　形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
[例1] 求函数y=cos2x-sin x的值域.
则f(t)=-(t+)2+,所以当t=- 时,f(t)max=f(-)=;
当t=1时,f(1)=-1;当t=-1时,f(-1)=1,故f(t)∈[-1,],所以函数y=cos2x-sin x 的值域为[-1,].
求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型
函数最值(值域)的方法
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的取值范围需要根据定义域来确定.若是y=asin2x+bcos x+c,还需利用同角三角函数的基本关系,转化成同名三角函数求值.
[变式训练] 函数f(x)=sin2x+cos x-(x∈[0,])的最大值是　　　　.
cos x∈[0,1],当cos x=时,函数f(x)取得最大值1.
题型二　正弦函数、余弦函数的对称性
[例2] 函数y=sin(2x+)的图象的对称轴方程为　　　　　　,对称中心为　　　　　　.
(1)曲线y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0,下同)的对称轴方程可令ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得,对称中心横坐标可令ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
(2)曲线y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程可令ωx+φ=kπ(k∈Z)求得,对称中心横坐标可令ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
(3)以上两种曲线的对称轴x=x0一定分别过曲线的最高点或最低点,即此时sin(ωx0+φ)=±1(或cos(ωx0+φ)=±1),函数取最大值或最小值;曲线的对称中心横坐标x0一定使得sin(ωx0+φ)=0(或cos(ωx0+φ)=0).
[变式训练] 函数f(x)=2cos(2x+)+的图象的对称轴方程为　　　　　　　　,对称中心为　　　　　　　　　　.
题型三　函数性质的综合应用
[例3] 若函数y=f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在区间[-,]上单调递增,则y=f(x)的解析式可以是(　　)
[A]y=sin(2x-)
[B]y=sin(-)
[C]y=cos(2x-)
[D]y=cos(2x+)
sin =1,所以函数y=sin(2x-)同时满足三个性质.故选A.
研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合的方法.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
[变式训练] (1)(多选)已知函数f(x)=2cos(2x+),则(　　)
[A]f(x)的最小正周期为π
[B]f(x)的图象关于直线x=对称
[C]f(x)的图象关于点(,0)对称
[D]f(x)在区间(0,π)上有两个零点
(2)(多选)若函数f(x)=2sin(x-),则(　　)
[A]f(x)的最小正周期为10
[B]f(x)的图象关于点(,0)对称
[C]f(x)在(0,)上有最小值
[D]f(x)的图象关于直线x=对称
(2)T==10,A正确;
因为f()=2sin(-)≠0,所以f(x)的图象不关于点(,0)对称,B错误;
若x∈(0,),则x-∈(-,π),由y=sin x的图象可知,f(x)在(0,)上有最大值,没有最小值,C错误;
因为f()=2sin =2,所以f(x)的图象关于直线x=对称,D正确.故选AD.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数f(x)=cos(4x+)的图象的相邻两个对称中心间的距离为(　　)
[A] [B] [C] [D]π
2.函数f(x)=sin(x-)图象的一条对称轴方程为(　　)
[A]x=　 [B]x=　
[C]x= [D]x=
f()=sin =1,为最大值,可知x=为函数f(x)图象的一条对称轴方程,D正确.故选D.
法二　由x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,当k=0时,x=.故选D.
3.最小正周期为π,且图象关于点(,0)对称的一个函数是(　　)
[A]y=sin(+) [B]y=sin(2x+)
[C]y=cos(2x-) [D]y=sin(2x-)
f()=sin(2×+)=sin =-≠0,所以B错误;对于C,f()=cos(2×-)=cos π=-1≠0,所以C错误;对于D,f()=sin(2×-)=sin π=0,所以D正确.故选D.
4.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么当|φ|取最小值时,φ的值为(　　)
[A]± [B] [C]- [D]±
k∈Z,当|φ|取最小值时,k=1,即φ=-或k=2,即φ=,故当|φ|取最小值时,φ的值为±.故选D.
5.(多选)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(,0)中心对称,则(　　)
[A]φ=
[B]f(x)在区间(,)上有两个零点
[C]直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴
[D]f(x)在区间(0,)上单调递增
sin(2x+),T==π,-=π,区间(,)是函数的一个周期,而f()=f()=1≠0,因此f(x)在区间(,)上有两个零点,B正确;f()=sin(2×+)=0,C错误;当x∈(0,)时,2x+∈(,),f(x)在此区间上单调递增,D正确.故选ABD.
6.(多选)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)+1(其中ω,φ均为常数,且ω>0,|φ|<π)恰能满足下列4个条件中的3个:①函数f(x)的最小正周期为π;②函数f(x)的图象经过点(0,);③函数f(x)的图象关于点(,1)对称;④函数f(x)的图象关于直线x=-对称.则这3个条件的序号可以是(　　)
[A]①②③ [B]①②④
[C]①③④ [D]②③④
+k3π,k3∈Z,则ω=(+k3),k3∈Z,此时-+φ=-×(+k3)+φ=-(+k3)π+φ=k2π,k2∈Z,整理得7φ=(7k2+2k3)π+π,k2,k3∈Z,而φ=±,故不成立,错误.故选AB.
7.(5分)当x∈[,]时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为　　　　.
)2+,所以当sin x=时,ymin=;当sin x=-或sin x=1时,ymax=2,即函数的值域为[,2].
8.(5分)设函数f(x)=cos(ωx-)(ω>0),若f(x)≤f()对任意的实数x都成立,则f()=　　　　,ω的最小值为　　　　.
cos(-)=1,所以-=2kπ,k∈Z,所以ω=8k+,k∈Z.因为ω>0,所以当k=0时,ω取得最小值.
9.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),若f(x)的图象关于点(-,0)对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x);
(2)求f(x)的单调递增区间.
所以2×(-)+φ=kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,又|φ|≤,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+).
(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
10.(13分)设函数f(x)=sin2x+cos x+a.
(1)若1≤f(x)≤对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若关于x的方程f(x)=0在[-,]上有实数解,求实数a的取值范围.
令t=cos x∈[-1,1],可得f(t)=-t2+t+a+1,
因为1≤f(x)≤对一切实数x恒成立,即对任意的t∈[-1,1],1≤f(t)≤恒成立,又由函数f(t)=
-t2+t+a+1的图象开口向下,对称轴为直线t=,当t=时,f(t)max=a+;当t=-1时,f(t)min=a-1,则解得2≤a≤3,所以实数a的取值范围为[2,3].
(2)由x∈[-,],令t=cos x∈[0,1],要使得关于x的方程f(x)=0在[-,]上有实数解,即f(t)=0在
t∈[0,1]上有实数解,即a+1=t2-t在t∈[0,1]上有实数解,令g(t)=t2-t,t∈[0,1],由g(t)=(t-)2-,可知y=g(t)在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增,当t=时,g(t)min=-,当t=0或t=1时,g(t)max=0,则-≤a+1≤0,解得-≤a≤-1,即实数a的取值范围为[-,-1].
11.(多选)已知函数f(x)=sin(2x-x2),则(　　)
[A]f(x)是周期函数
[B]f(x)的最小值是-1
[C]f(x)的图象至少有一条对称轴　
[D]f(x)在(0,)上单调递增
2kπ+π,k∈Z,可知T均与x有关,故非零常数T不存在,A错误;
令t=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,则sin t∈[-1,1],故f(x)的最小值是-1,故B正确;
结合B选项的分析可得,f(1-x)=sin[-(1-x-1)2+1]=sin[-(1+x-1)2+1]=f(1+x),故f(x)的图象的对称轴方程为x=1,故C正确;
由B选项的分析易知t=2x-x2在(0,)上单调递增,且t=2x-x2∈(0,-) (0,),故y=sin t 单调递增,由复合函数单调性知f(x)在(0,)上单调递增,故D正确.故选BCD.
12.(多选)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(cos x),则下列结论正确的是(　　)
[A]f(x)的一个周期为2π
[B]f(x)的最大值为2
[C]f(x)的图象关于直线x=对称
[D]f(x)在区间(0,)上单调递增
由sin x∈[-1,1],cos x∈[-1,1],则sin(sin x)<1,cos(cos x)≤1,故f(x)<2,B错误;
f(-x+π)=sin[sin(-x+π)]+cos[cos(-x+π)]=sin(sin x)+cos(-cos x)=sin(sin x)+cos(cos x)=f(x),故f(x)的图象关于直线x=对称,C正确;
当x∈(0,)时,sin x∈(0,1),且随x增大而增大,故sin(sin x)随x增大而增大,cos x∈(0,1),且随x增大而减小,故cos(cos x)随x增大而增大,故f(x)在区间(0,)上单调递增,D正确.故选ACD.
13.(15分)已知函数f(x)=2sin(2x-),x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间[0,]上有两个零点,求m的取值范围;
(3)若函数h(x)=f(x)-k(x-)(k∈R)有且仅有3个零点,求所有零点之和.
故函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间[0,]上有两个零点,令g(x)=0,即函数y=f(x)的图象与直线y=m在区间[0,]上有两个交点,令t=2x-,由x∈[0,],得2x-∈[-,],即函数y=sin t的图象与直线y=在区间[-,]上有两个交点,画出函数y=sin t与y=在区间[-,]上的图象如图所示,由图可知∈[,1),m∈[,2).
(3)函数h(x)=f(x)-k(x-)(k∈R)有且仅有3个零点,因为y=k(x-)的图象关于(,0)成中心对称,而f(x)=2sin(2x-)的图象关于(,0)成中心对称,设三个零点分别为x1,x2,x3,则=,x2=,所以所有零点之和为+×2=.
14.(多选)设函数f(x)的定义域为R,f(x+π)为奇函数,f(x+2π)为偶函数,当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则下列结论正确的有(　　)
[A]f()=-1
[B]f(x)在(3π,)上单调递减
[C]点(8π,0)是函数f(x)的一个对称中心
[D]方程f(x)+lg x=0有5个实数解
则f(-x)=-f(x+2π)且f(-x)=f(x+4π),
所以f(x+4π)=-f(x+2π),即f(x+2π)=-f(x),
所以f(x+4π)=f(x),所以4π是函数f(x)的一个周期.
因为当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则可作出函数f(x)部分图象和y=-lg x图象的草图如图所示.
由图可知A,D正确,B,C不正确.故选AD.(共18张PPT)
第3课时　正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质,能够了解函数的整体性质.2.能够解决简单的函数性质的综合问题.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一　形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
[例1] 求函数y=cos2x-sin x的值域.
·解题策略·
求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型
函数最值(值域)的方法
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的取值范围需要根据定义域来确定.若是y=asin2x+bcos x+c,还需利用同角三角函数的基本关系,转化成同名三角函数求值.
1
题型二　正弦函数、余弦函数的对称性
·解题策略·
·解题策略·
(3)以上两种曲线的对称轴x=x0一定分别过曲线的最高点或最低点,即此时sin(ωx0+φ)=±1(或cos(ωx0+φ)=±1),函数取最大值或最小值;曲线的对称中心横坐标x0一定使得sin(ωx0+φ)=0(或cos(ωx0+φ)=0).
题型三　函数性质的综合应用
A
·解题策略·
研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合的方法.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
ABD
AD
感谢观看

展开更多......

收起↑