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(共34张PPT)
5.5.2　简单的三角恒等变换
第1课时　简单的三角恒等变换(一)
1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正弦、余弦公式,通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、
证明.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　半角公式
知识归纳
·疑难解惑·
知识点二　积化和差
sin αcos β
cos αsin β
cos αcos β
sin αsin β
知识点三　和差化积
(1)sin θ+sin φ= ;
(2)sin θ-sin φ= ;
(3)cos θ+cos φ= ;
(4)cos θ-cos φ= .
·疑难解惑·
(1)积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,
cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.
1.(人教A版必修第一册P226练习T1改编)下列各式与tan α相等的是(　　)
基础自测
D
C
2.对任意的实数α,β,下列等式恒成立的是(　　)
C
关键能力·素养培优
题型一　利用半角公式求值
(2)角α在第一象限.
·解题策略·
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,求解时务必依据角的取值范围,求出相应半角的取值范围.
·解题策略·
D
题型二　利用和差化积、积化和差求值
[例2] 求sin270°+cos240°-sin 70°cos 40°的值.
·解题策略·
和差化积、积化和差公式不要求记忆,使用它们时,注意利用以下方法做简单推导.
(1)和差化积公式需要结合角的变换:
cos 40°+cos 80°=cos(60°-20°)+cos(60°+20°).
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°.
【解】 (2)原式=sin(30°-10°)+sin(30°+10°)-sin(90°-10°)=sin 30°cos 10°-
cos 30°sin 10°+sin 30°cos 10°+cos 30°sin 10°-cos 10°=2sin 30°cos 10°-
cos 10°=cos 10°-cos 10°=0.
题型三　三角函数式的化简
·解题策略·
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择适用于它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
题型四　三角函数式的证明
·解题策略·
三角函数式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形以消除它们之间的差异,简言之,化异求同.
·解题策略·
(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到回溯至已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
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第2课时　简单的
三角恒等变换(二)
1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　辅助角公式
知识归纳
sin(x+φ)
·温馨提示·
1.函数y=2sin x-cos x(x∈R)的最小正周期为(　　)
基础自测
A
B
B
4.(人教A版必修第一册P228练习T2改编)以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为　　　　.
25
【解析】 如图,设∠NOB=θ,则矩形面积S=5sin θ×2×5cos θ=50sin θ·cos θ=
25sin 2θ,所以当sin 2θ=1时,S取得最大值25.
关键能力·素养培优
题型一　辅助角公式的应用
·解题策略·
·解题策略·
(2)求函数f(x)取得最大值时x的取值集合;
[例2] 如图,某城市有一条公路从正西方沿MO通过市中心O后转到北偏东30°的ON上,为了缓解城市交通压力,现准备修建一条绕城高速公路L,并在MO,
ON上分别设置两个出口A,B.若要求市中心O与AB的距离为10 km,则线段AB最短为(　　)
题型二　三角函数在平面几何中的应用
D
·解题策略·
(1)三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角函数来解决,这体现了数学中的化归思想.
(2)当几何问题中某个角α比较容易表示与之相关的线段的长度时,一般选择这个角α作为自变量,构建三角函数关系式,要注意结合实际问题确定角α的取值范围.
(1)设∠AOM=x,将四边形MEOF的面积S表示成x的函数,并写出x的取值范围;
(2)求四边形MEOF的面积S的最大值.
感谢观看5.5.2　简单的三角恒等变换
第1课时　简单的三角恒等变换(一)
【课程标准要求】　1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正弦、余弦公式,通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.
知识归纳
知识点一　半角公式
(1)sin =±;
(2)cos =±;
(3)tan =±;
(4)tan ==.
半角公式中的“±”符号不能去掉,若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留“±”两个符号;若给出α的具体范围,则先求的所在范围,然后根据所在的范围选用符号.
知识点二　积化和差
(1)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
(2)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)];
(3)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
(4)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
知识点三　和差化积
(1)sin θ+sin φ=2sin cos ;
(2)sin θ-sin φ=2cos sin ;
(3)cos θ+cos φ=2cos cos ;
(4)cos θ-cos φ=-2sin ·sin .
(1)积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.
(2)积化和差从右边通过展开计算可以得到左边,和差化积结合角变换θ=+,
φ=-从左边计算得到右边.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P226练习T1改编)下列各式与tan α相等的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 ===tan α.故选D.
2.对任意的实数α,β,下列等式恒成立的是(　　)
[A]cos α+cos β=2sin ·sin
[B]cos α-cos β=2cos ·cos
[C]2sin α·cos β=sin(α+β)+sin(α-β)
[D]2cos α·sin β=cos(α+β)+cos(α-β)
【答案】 C
【解析】 因为cos α+cos β=cos(+)+cos(-)=2cos ·cos ,故A错误;因为cos α-cos β=cos(+)-cos(-)=-2sin ·sin ,故B错误;sin(α+β)=sin αcos β+
cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,以上两式相加,整理得2sin α·cos β=sin(α+β)+
sin(α-β),故C正确;cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,以上两式相加,整理得cos(α+β)+cos(α-β)=2cos α·cos β,故D错误.故选C.
3.化简的结果是(　　)
[A]-cos 1 [B]cos 1
[C]cos 1 [D]-cos 1
【答案】 C
【解析】 原式==,因为0<1<,故原式=cos 1.故选C.
4.已知cos 2α=,α∈(,π),则sin α=　　　　.
【答案】
【解析】 因为α∈(,π),所以sin α>0,
所以sin α===.
题型一　利用半角公式求值
[例1] (湘教版必修第二册P84例1)已知sin α=,求下列条件下sin ,cos ,tan 的值:
(1)0<α<;
(2)角α在第一象限.
【解】 (1)当0<α<时,0<<.
又sin α=,
所以cos α===,
所以sin ===,
cos ===,
tan ===.
(2)当角α在第一象限时,
2kπ<α<2kπ+(k∈Z),
则kπ<当k为偶数时,角在第一象限,故由(1)可得sin =,cos =,tan =.
当k为奇数时,角在第三象限,此时有sin =-,cos =-,tan =.
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,求解时务必依据角的取值范围,求出相应半角的取值范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan ==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的取值范围问题;涉及半角公式的正弦、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算.
[变式训练] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　)
[A] [B]
[C] [D]
(2)已知sin α=-,α∈(π,),则tan =　　　　.
【答案】 (1)D　(2)-
【解析】 (1)因为cos α=1-2sin2=,而α为锐角,所以sin ===.
故选D.
(2)法一　因为sin α=-,α∈(π,),所以cos α=-.因为α∈(π,),所以∈(,),所以
tan <0.
所以tan =-=-.
法二　因为sin α=-,α∈(π,),所以cos α=-,所以tan ===-=-.
题型二　利用和差化积、积化和差求值
[例2] 求sin270°+cos240°-sin 70°cos 40°的值.
【解】 原式=+-sin 70°cos 40°=1+(cos 40°+cos 80°)-sin 70°cos 40°=
1+cos 60°cos 20°-(sin 110°+sin 30°)=1+cos 20°-cos 20°-=1-=.
和差化积、积化和差公式不要求记忆,使用它们时,注意利用以下方法做简单推导.
(1)和差化积公式需要结合角的变换:cos 40°+cos 80°=cos(60°-20°)+cos(60°+20°).
(2)积化和差公式需要利用解方程组的思想方法:
[变式训练] 求下列各式的值:
(1)sin cos ;
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°.
【解】 (1)原式=[sin(+)+sin(-)]=(sin+sin)=+.
(2)原式=sin(30°-10°)+sin(30°+10°)-sin(90°-10°)=sin 30°cos 10°-cos 30°sin 10°+
sin 30°cos 10°+cos 30°sin 10°-cos 10°=2sin 30°cos 10°-cos 10°=cos 10°-cos 10°=0.
题型三　三角函数式的化简
[例3] 化简:.
【解】 原式====tan 2α.
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择适用于它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
[变式训练] 化简:+(π<α<).
【解】 因为π<α<,所以<<,
原式=+=-(sin +cos )+(sin -cos )=-cos .
题型四　三角函数式的证明
[例4] (人教B版必修第三册P107例4)已知A+B+C=180°,求证:sin A+sin B+sin C=
4cos cos cos .
【证明】 因为A+B+C=180°,
所以C=180°-(A+B),=90°-,
因此sin A+sin B+sin C=2sin ·cos +sin(A+B)
=2sin cos +2sin ·cos
=2sin (cos +cos )
=2sin ×2cos cos
=2cos ×2cos cos
=4cos cos cos .
三角函数式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形以消除它们之间的差异,简言之,化异求同.
(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到回溯至已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
[变式训练] 已知2tan α=3tan β,求证:tan(α-β)=.
【证明】 左边===,
右边===,
因此,tan(α-β)=.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知cos =,720°<α<900°,则sin 等于(　　)
[A]- [B]-
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为720°<α<900°,所以180°<<225°,因为cos =,
所以sin =-=-=-.故选A.
2.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有(　　)
[A]c[C]a【答案】 C
【解析】 a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°,b=2sin 13°cos 13°=sin 26°,
c=sin 25°,因为y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增,所以a3.若tan α=,且α为第一象限角,则sin 等于(　　)
[A] [B]±
[C] [D]-
【答案】 B
【解析】 因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,且是第一或第三象限角.当是
第一象限角时,sin ==;当是第三象限角时,sin =-=-.故sin =±.
故选B.
4.已知α是锐角,cos α=,则cos(+)等于(　　)
[A]- [B]+
[C]- [D]-
【答案】 D
【解析】 因为α是锐角,所以0<<,因为sin2===,cos2===,所以
sin =,cos =,所以cos(+)=cos cos -sin sin =×-×=-.故选D.
5.设直角三角形中两锐角分别为A和B,则cos Acos B的取值范围是(　　)
[A](0,]　　 [B](0,1)　
[C][,1) [D][,1)
【答案】 A
【解析】 因为直角三角形中两锐角分别为A和B,所以A+B=C=,
则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B),再结合A-B∈(-,),可得cos(A-B)∈(0,1],
所以cos(A-B)∈(0,],即cos Acos B∈(0,].故选A.
6.(多选)已知2sin α=1+cos α,则tan 的可能取值为(　　)
[A] [B]1
[C]2 [D]不存在
【答案】 AD
【解析】 2sin α=4sin cos =1+cos α=2cos2,当cos =0时,tan 不存在,当cos ≠0时,
tan =.故选AD.
7.(5分)将下列各式化成积的形式:
(1)sin(α+)-sin(α-)=　　　　;
(2)sin x+=　　　　　　　　　　.
【答案】 (1)cos α　
(2)2sin(+)cos(-)
【解析】 (1)sin(α+)-sin(α-)
=2cos ·sin =2cos αsin =cos α.(也可直接展开合并)
(2)sin x+=sin x+sin =2sin ·cos =2sin(+)cos(-).
8.(5分)计算:tan 20°+4sin 20°=　　　　.
【答案】
【解析】 原式=+4sin 20°
==
=
==.
9.(14分)某同学在一次研究性学习中发现,以下四个式子的值都等于同一个常数.
①sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°;
②sin212°+cos242°+sin 12°cos 42°;
③sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°;
④sin2(-10°)+cos220°+sin(-10)°cos 20°.
(1)试从上述四个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
【解】 (1)选择③,计算如下:
sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=++×=.
(2)三角恒等式:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=.证明如下:
sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=++sin α(cos α-sin α)=
1-+(cos 2α-sin 2α)+sin 2α-(1-cos 2α)=1-+cos 2α-sin 2α+sin 2α-
+cos 2α=.
10.(15分)化简:
(1)+;
(2)(3π<α<4π).
【解】 (1)法一　原式=+=+==.
法二　原式====.
(2)由3π<α<4π,得<<2π,<<π,<<,则cos >0,cos <0,cos >0,
所以原式====
==2cos .
11.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(　　)
[A]-　 [B]-　　
[C]　　 [D]
【答案】 D
【解析】 因为sin α+sin β=(cos β-cos α),所以2sin cos =×(-2)sin ·sin ,所以tan =.又α∈(0,π),β∈(0,π),所以0<<,所以=,即α-β=.故选D.
12.(5分)在△ABC中,cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos Acos Bcos C=　　　　.
【答案】 -1
【解析】 法一　cos 2A+cos 2B+cos 2C
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2[π-(A+B)]-1
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1
=2cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]-1
=4cos(A+B)cos Acos B-1
=4cos(π-C)cos Acos B-1
=-4cos Acos Bcos C-1,
所以cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos A·cos Bcos C=-1.
法二　取特殊值A=B=C=,
则cos A=cos B=cos C=,cos 2A=cos 2B=cos 2C=-,
所以cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos Acos Bcos C=-×3+4×××=-1.
13.(15分)已知α,β∈(0,),且满足=cos(α+β).
(1)求证:tan β=.
(2)求tan β的最大值,并求当tan β取得最大值时tan(α+β)的值.
(1)【证明】 因为=cos(α+β),
所以=cos αcos β-sin αsin β,
所以sin β=sin αcos αcos β-sin2αsin β,
所以tan β=sin αcos α-sin2αtan β,
所以tan β=.
(2)【解】 由(1)得,tan β===,因为α,β∈(0,),所以tan α∈(0,+∞),
由tan β==≤=,当且仅当tan α=时,等号成立,此时tan β取得最大值.
因为=cos(α+β),所以=cos(α+β),
所以sin[(α+β)-α]=sin αcos(α+β),所以sin(α+β)cos α-sin αcos(α+β)=sin αcos(α+β),
所以sin(α+β)cos α=2sin αcos(α+β),所以tan(α+β)=2tan α=.
14.数学里有一种证明方法叫做无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明数学命题的方法.如下图,点C为半圆O上一点,CH⊥AB,垂足为H,记∠COB=θ,则由
tan ∠CAH=可以直接证明的三角函数公式是(　　)
[A]tan = 　[B]tan =
[C]tan = 　[D]tan =
【答案】 B
【解析】 由已知∠COB=θ,AO=OC,则∠CAH=,又tan ∠CAH=tan =,sin θ=,
cos θ=,AH=AO+OH=OC+OH,即CH=OC·sin θ,OH=OC·cos θ,所以tan ===
=.故选B.第2课时　简单的三角恒等变换(二)
【课程标准要求】　1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题.
知识归纳
知识点　辅助角公式
一般地,对于y=asin x+bcos x,
第一步:提常数,提取,得到y=·(sin x+cos x).
第二步:定角度,确定一个角φ满足cos φ=,sin φ=,
得到y=·(sin xcos φ+cos xsin φ).
第三步:合并,由和角公式化为一个三角函数式的辅助角公式,
即y=asin x+bcos x=·sin(x+φ)(其中tan φ=).
(1)该函数的最大值为,最小值为-.
(2)有时也利用y=asin x+bcos x=·cos(x-φ)(其中tan φ=).
基础自测
1.函数y=2sin x-cos x(x∈R)的最小正周期为(　　)
[A]2π [B]π
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 y=2sin x-cos x=sin(x+φ),其中tan φ=-,其最小正周期为T==2π.故选A.
2.已知α∈(0,π),且sin α-cos α=2,则tan α等于(　　)
[A]- [B]-
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由sin α-cos α=2,得sin α-cos α=1,即sin(α-)=1,由α∈(0,π),得α-∈(-,),则α-=,即α=,所以tan α=tan =-tan =-.故选B.
3.函数f(x)=sin x+sin(x+)的最大值为(　　)
[A]1 [B]
[C] [D]2
【答案】 B
【解析】 f(x)=sin x+sin(x+)=sin x+cos x=sin(x+).当sin(x+)=1时,函数取得最大值.故选B.
4.(人教A版必修第一册P228练习T2改编)以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为　　　　.
【答案】 25
【解析】 如图,设∠NOB=θ,则矩形面积S=5sin θ×2×5cos θ=50sin θ·cos θ=25sin 2θ,所以当sin 2θ=1时,S取得最大值25.
题型一　辅助角公式的应用
[例1] 已知函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x+.
(1)化简函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的值域;
(3)设α∈(,π),f()=,求sin α的值.
【解】 (1)f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).
(2)当x∈[0,]时,≤2x+≤,则-≤2sin(2x+)≤2,所以函数f(x)在区间[0,]上的值域为[-,2].
(3)因为f()=2sin(α+)=,所以sin(α+)=,因为α∈(,π),所以<α+<,所以cos(α+)=-,则sin α=sin[(α+)-]=sin(α+)cos -cos(α+)sin =×-(-)×=.
(1)研究三角函数的性质,如单调性和最值问题,通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换,转化为一种简单的三角函数,再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式,将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式,以便研究函数的性质.
(2)当函数可化为f(x)=asin2ωx+bsin ωxcos ωx+ccos2ωx的函数形式时,常先利用降幂公式sin2=,cos2=,sin αcos α=sin 2α,将函数统一化成f(x)=msin 2ωx+ncos 2ωx+k的形式,再利用辅助角公式化为f(x)=Asin(2ωx+φ)+k的形式来研究其性质.
[变式训练] 已知函数f(x)=2sin xcos x+sin2x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)取得最大值时x的取值集合;
(3)设函数f(x)在区间[,m]上单调递减,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)=2sin xcos x+sin2x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)当2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值,
故函数f(x)取得最大值时x的取值集合为{x,k∈Z}.
(3)当≤x≤m时,≤2x-≤2m-,由于函数f(x)在区间[,m]上单调递减,则解得题型二　三角函数在平面几何中的应用
[例2] 如图,某城市有一条公路从正西方沿MO通过市中心O后转到北偏东30°的ON上,为了缓解城市交通压力,现准备修建一条绕城高速公路L,并在MO,ON上分别设置两个出口A,B.若要求市中心O与AB的距离为10 km,则线段AB最短为(　　)
[A]10 km [B]20 km
[C]10 km [D]20 km
【答案】 D
【解析】 过点O作OD⊥AB,垂足为点D,设∠OAB=α,∠OBA=β,且α+β=60°,0<α<60°,
由题意可得AD==,BD==,所以AB=AD+BD=+=
=
=10(-1),
因为tan αtan β=tan αtan(60°-α)=,
令t=1+tan α∈(1,4),
则0当且仅当t=2时,等号成立,
故AB=10(-1)≥10×2=20(km).故选D.
(1)三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角函数来解决,这体现了数学中的化归思想.
(2)当几何问题中某个角α比较容易表示与之相关的线段的长度时,一般选择这个角α作为自变量,构建三角函数关系式,要注意结合实际问题确定角α的取值范围.
[变式训练] 如图,在扇形OAB中,∠AOB=,半径OA=2.在上取一点M,连接OM,过M点分别向半径OA,OB作垂线,垂足分别为E,F,得到一个四边形MEOF.
(1)设∠AOM=x,将四边形MEOF的面积S表示成x的函数,并写出x的取值范围;
(2)求四边形MEOF的面积S的最大值.
【解】 (1)S=S△MOE+S△MOF=×2sin x×2cos x+×2sin(-x)×2cos(-x)=sin 2x+sin(-2x)=
sin 2x-cos 2x=sin(2x-),由题意要得到四边形MEOF,则x∈(,).
(2)由(1)知,S=sin(2x-),因为x∈(,),所以2x-∈(,),所以当2x-=,即x=时,四边形MEOF的面积S取得最大值.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x,则f(x)的最小正周期为(　　)
[A]2π [B]π
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 f(x)=(cos4x-sin4x)-2sin xcos x=cos 2x-sin 2x=cos(2x+),所以f(x)的最小正周期为T==π.故选B.
2.已知sin α+cos α=-,则cos(2α+)的值为(　　)
[A]- [B]
[C]- [D]
【答案】 A
【解析】 sin α+cos α=2sin(α+)=-,即sin(α+)=-,
则cos(2α+)=cos[2(α+)]=1-2sin2(α+)=1-2×=-.故选A.
3.已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是奇函数,则tan φ等于(　　)
[A] [B]-
[C] [D]-
【答案】 D
【解析】 f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=2sin(x+φ+),因为函数为奇函数,所以φ+=kπ,k∈Z,
解得φ=-+kπ,k∈Z,所以tan φ=tan(-+kπ)=-tan =-.故选D.
4.函数f(x)=sin x-acos x(x∈R)的图象的一条对称轴方程是x=-,则a的值是(　　)
[A]1 [B]-1
[C]0 [D]±1
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=sin(x+φ)的最大值为,因为函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x=-,所以|f(-)|=|--a|=,解得a=1.故选A.
5.有一块矩形花圃ABCD如图所示,其中AB=10 m,BC=6 m,现引进了新品种需将其扩大成矩形区域EFGH,点A,B,C,D均落在矩形EFGH的边上(不包括顶点),则扩大后的花圃的最大面积为(　　)
[A]100 m2 [B]128 m2
[C]144 m2 [D]196 m2
【答案】 B
【解析】 设∠DAH=θ,则AH=ADcos θ=6cos θ,HD=ADsin θ=6sin θ;∠GDC=∠DAH=θ,
则DG=DCcos θ=10cos θ,AE=GC=DCsin θ=10sin θ.S=HG·HE=(6sin θ+10cos θ)(6cos θ+
10sin θ)=136cos θsin θ+60=68sin 2θ+60,当2θ=,即θ=时,面积有最大值为128 m2.故选B.
6.某大型商场为迎接新年的到来,在自动扶梯AC(AC>5 m)的C点的上方悬挂竖直高度为
5 m的广告牌DE,如图所示,广告牌底部点E正好为DC的中点,电梯AC的坡度∠CAB=30°.当人在A点时,观测到视角∠DAE的正切值为.当人运动到AC的中点P时,PE等于(　　)
[A]5 [B]5
[C]5 [D]2
【答案】 B
【解析】 由题意,E为CD的中点,DE=5,得EC=5,当人在A点时,如图所示,
设BC=x,则AB=x,AC=2x,
在△DAB中,tan ∠DAB=,
在△EAB中,tan ∠EAB=,
因为tan ∠DAB=tan(∠DAE+∠EAB)=,
所以=,解得x=或x=5,
因为AC>5,所以x>,则BC=5,则AB=5,
当人运动到AC的中点P时,作PQ⊥BC于点Q,如图所示,
则PQ=AB=,CQ=,
所以EQ=EC+CQ=5+=,
在Rt△PQE中,
PE===5.故选B.
7.(5分)如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于点Q,当△POQ的面积大于时,∠POQ的取值范围为　　　　.
【答案】 (,)
【解析】 设∠POQ=θ(0<θ<),则PQ=sin θ,OQ=cos θ,所以=sin θcos θ=sin 2θ,由sin 2θ>,得sin 2θ>.又2θ∈(0,π),所以<2θ<,则<θ<,所以∠POQ的取值范围为(,).
8.(5分)已知函数f(x)=asin 2x+cos 2x的图象关于(-,0)对称,则a的值为　　　　.
【答案】 1
【解析】 由辅助角公式得f(x)=asin 2x+cos 2x=sin(2x+φ),其中tan φ=,因为f(x)的图象关于(-,0)对称,所以f(-)=·sin(-+φ)=0 -+φ=kπ φ=kπ+,k∈Z,
则tan(kπ+)=1= a=1.
9.(14分)已知函数f(x)=2cos2x+cos(2x-)-1.
(1)求函数y=f(x)的最值;
(2)求方程f(x)=在x∈[0,π]上的解.
【解】 (1)由题意得f(x)=1+cos 2x+cos 2x+sin 2x-1=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),
所以f(x)max=,f(x)min=-.
(2)由(1)可得f(x)=sin(2x+)=,即sin(2x+)=,所以2x+=+2kπ(k∈Z)或2x+=+2kπ
(k∈Z),解得x=-+kπ(k∈Z)或x=+kπ(k∈Z),又x∈[0,π],所以x=或 x=.
10.(15分)已知函数f(x)=sin(+x)sin(-x)+sin xcos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,若f(-)=1,求sin B+sin C 的最大值.
【解】 (1)依题意,f(x)=sin(+x)sin[-(+x)]+sin 2x=sin(+x)cos(+x)+sin 2x=
sin(+2x)+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由(1)知,f(-)=sin[2(-)+]=sin(A+)=1,
在△ABC中,0sin(-B)=sin B+cos B+sin B=sin B+cos B=sin(B+),显然011.(多选)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x+1,则(　　)
[A]f(x)的最小正周期是π
[B]f(x)的图象关于点(-,1)中心对称
[C]f(x+)是偶函数
[D]f(x)在[-,]上恰有4个零点
【答案】 ABD
【解析】 f(x)=sin 2x+cos 2x+1=2sin(2x+)+1,f(x)的最小正周期是=π,所以A正确;
因为f(-)=2sin(-+)+1=1,所以f(x)的图象关于点(-,1)中心对称,所以B正确;
f(x+)=2sin(2x++)+1=2sin(2x+)+1,令g(x)=f(x+)=2sin(2x+)+1,
则g(-x)=2sin(-2x+)+1=-2sin(2x-)+1≠g(x),所以f(x+)不是偶函数,所以C错误;
由f(x)=2sin(2x+)+1=0,得sin(2x+)=-,所以2x+=-+2kπ,k∈Z或2x+=+2kπ,k∈Z,
得x=-+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,因为x∈[-,],所以x=-,x=,x=,x=,所以f(x)在[-,]上恰有4个零点,所以D正确.故选ABD.
12.(5分)有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它按如图所示的方式截成一块正方形的钢板EFGH,使其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角
x=　　　　来截.
【答案】 或
【解析】 设正方形EFGH的边长为1,则正方形ABCD的边长为BC=BF+CF=CG+CF=
sin x+cos x,由题意可得=,即1+sin 2x=,可得sin 2x=,因为x∈(0,),则2x∈(0,π),所以2x=或2x=,解得x=或x=.
13.(15分) 如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=8,Rt△MPN 的直角顶点P为AD的中点,点M,N分别在边AB,CD上,令∠DPN=θ(≤θ≤).
(1)当tan θ=时,求梯形BCNM的面积S;
(2)求△MPN的周长l的最小值,并求此时角θ的值.
【解】 (1)DN=DPtan θ=4×=2,因为∠DPN=∠PMA=θ,所以tan ∠PMA==,
所以AM=4×=,所以NC=2,MB=,所以S=(2+)×8×=.
(2)由(1)可知,PN=,PM=,
所以MN=4=4=.
所以l=++=4(),sin θ+cos θ=sin(θ+),因为θ+∈[,],
所以sin(θ+)∈[,1].
令sin θ+cos θ=t∈[,],则sin θcos θ=(t2-1),即l==,当t=,即θ=时,
lmin==8(+1).
14.已知当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最小值,则等于(　　)
[A]- [B]
[C] [D]-
【答案】 B
【解析】 f(x)=2sin x-cos x=(sin x-cos x)=sin(x-α),其中cos α=,sin α=,所以当x=θ=2kπ+α-,k∈Z时,函数f(x)取得最小值-,所以sin θ=-cos α=-,cos θ=sin α=,所以tan θ=-2,所以===.故选B.5.5.2　简单的三角恒等变换
第1课时　简单的三角恒等变换(一)
【课程标准要求】　1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正弦、余弦公式,通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.
知识归纳
知识点一　半角公式
(1)sin =±;
(2)cos =±;
(3)tan =±;
(4)tan ==.
半角公式中的“±”符号不能去掉,若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留“±”两个符号;若给出α的具体范围,则先求的所在范围,然后根据所在的范围选用符号.
知识点二　积化和差
(1)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
(2)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)];
(3)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
(4)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
知识点三　和差化积
(1)sin θ+sin φ=2sin cos ;
(2)sin θ-sin φ=2cos sin ;
(3)cos θ+cos φ=2cos cos ;
(4)cos θ-cos φ=-2sin ·sin .
(1)积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.
(2)积化和差从右边通过展开计算可以得到左边,和差化积结合角变换θ=+,
φ=-从左边计算得到右边.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P226练习T1改编)下列各式与tan α相等的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
2.对任意的实数α,β,下列等式恒成立的是(　　)
[A]cos α+cos β=2sin ·sin
[B]cos α-cos β=2cos ·cos
[C]2sin α·cos β=sin(α+β)+sin(α-β)
[D]2cos α·sin β=cos(α+β)+cos(α-β)
cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,以上两式相加,整理得2sin α·cos β=sin(α+β)+
sin(α-β),故C正确;cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,以上两式相加,整理得cos(α+β)+cos(α-β)=2cos α·cos β,故D错误.故选C.
3.化简的结果是(　　)
[A]-cos 1 [B]cos 1
[C]cos 1 [D]-cos 1
4.已知cos 2α=,α∈(,π),则sin α=　　　　.
所以sin α===.
题型一　利用半角公式求值
[例1] (湘教版必修第二册P84例1)已知sin α=,求下列条件下sin ,cos ,tan 的值:
(1)0<α<;
(2)角α在第一象限.
又sin α=,
所以cos α===,
所以sin ===,
cos ===,
tan ===.
(2)当角α在第一象限时,
2kπ<α<2kπ+(k∈Z),
则kπ<当k为偶数时,角在第一象限,故由(1)可得sin =,cos =,tan =.
当k为奇数时,角在第三象限,此时有sin =-,cos =-,tan =.
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,求解时务必依据角的取值范围,求出相应半角的取值范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan ==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的取值范围问题;涉及半角公式的正弦、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算.
[变式训练] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　)
[A] [B]
[C] [D]
(2)已知sin α=-,α∈(π,),则tan =　　　　.
故选D.
(2)法一　因为sin α=-,α∈(π,),所以cos α=-.因为α∈(π,),所以∈(,),所以
tan <0.
所以tan =-=-.
法二　因为sin α=-,α∈(π,),所以cos α=-,所以tan ===-=-.
题型二　利用和差化积、积化和差求值
[例2] 求sin270°+cos240°-sin 70°cos 40°的值.
1+cos 60°cos 20°-(sin 110°+sin 30°)=1+cos 20°-cos 20°-=1-=.
和差化积、积化和差公式不要求记忆,使用它们时,注意利用以下方法做简单推导.
(1)和差化积公式需要结合角的变换:cos 40°+cos 80°=cos(60°-20°)+cos(60°+20°).
(2)积化和差公式需要利用解方程组的思想方法:
[变式训练] 求下列各式的值:
(1)sin cos ;
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°.
(2)原式=sin(30°-10°)+sin(30°+10°)-sin(90°-10°)=sin 30°cos 10°-cos 30°sin 10°+
sin 30°cos 10°+cos 30°sin 10°-cos 10°=2sin 30°cos 10°-cos 10°=cos 10°-cos 10°=0.
题型三　三角函数式的化简
[例3] 化简:.
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择适用于它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
[变式训练] 化简:+(π<α<).
原式=+=-(sin +cos )+(sin -cos )=-cos .
题型四　三角函数式的证明
[例4] (人教B版必修第三册P107例4)已知A+B+C=180°,求证:sin A+sin B+sin C=
4cos cos cos .
所以C=180°-(A+B),=90°-,
因此sin A+sin B+sin C=2sin ·cos +sin(A+B)
=2sin cos +2sin ·cos
=2sin (cos +cos )
=2sin ×2cos cos
=2cos ×2cos cos
=4cos cos cos .
三角函数式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形以消除它们之间的差异,简言之,化异求同.
(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到回溯至已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
[变式训练] 已知2tan α=3tan β,求证:tan(α-β)=.
右边===,
因此,tan(α-β)=.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知cos =,720°<α<900°,则sin 等于(　　)
[A]- [B]-
[C] [D]
所以sin =-=-=-.故选A.
2.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有(　　)
[A]c[C]ac=sin 25°,因为y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增,所以a3.若tan α=,且α为第一象限角,则sin 等于(　　)
[A] [B]±
[C] [D]-
第一象限角时,sin ==;当是第三象限角时,sin =-=-.故sin =±.
故选B.
4.已知α是锐角,cos α=,则cos(+)等于(　　)
[A]- [B]+
[C]- [D]-
sin =,cos =,所以cos(+)=cos cos -sin sin =×-×=-.故选D.
5.设直角三角形中两锐角分别为A和B,则cos Acos B的取值范围是(　　)
[A](0,]　　 [B](0,1)　
[C][,1) [D][,1)
则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B),再结合A-B∈(-,),可得cos(A-B)∈(0,1],
所以cos(A-B)∈(0,],即cos Acos B∈(0,].故选A.
6.(多选)已知2sin α=1+cos α,则tan 的可能取值为(　　)
[A] [B]1
[C]2 [D]不存在
tan =.故选AD.
7.(5分)将下列各式化成积的形式:
(1)sin(α+)-sin(α-)=　　　　;
(2)sin x+=　　　　　　　　　　.
(2)2sin(+)cos(-)
=2cos ·sin =2cos αsin =cos α.(也可直接展开合并)
(2)sin x+=sin x+sin =2sin ·cos =2sin(+)cos(-).
8.(5分)计算:tan 20°+4sin 20°=　　　　.
==
=
==.
9.(14分)某同学在一次研究性学习中发现,以下四个式子的值都等于同一个常数.
①sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°;
②sin212°+cos242°+sin 12°cos 42°;
③sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°;
④sin2(-10°)+cos220°+sin(-10)°cos 20°.
(1)试从上述四个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=++×=.
(2)三角恒等式:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=.证明如下:
sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=++sin α(cos α-sin α)=
1-+(cos 2α-sin 2α)+sin 2α-(1-cos 2α)=1-+cos 2α-sin 2α+sin 2α-
+cos 2α=.
10.(15分)化简:
(1)+;
(2)(3π<α<4π).
法二　原式====.
(2)由3π<α<4π,得<<2π,<<π,<<,则cos >0,cos <0,cos >0,
所以原式====
==2cos .
11.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(　　)
[A]-　 [B]-　　
[C]　　 [D]
12.(5分)在△ABC中,cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos Acos Bcos C=　　　　.
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2[π-(A+B)]-1
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1
=2cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]-1
=4cos(A+B)cos Acos B-1
=4cos(π-C)cos Acos B-1
=-4cos Acos Bcos C-1,
所以cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos A·cos Bcos C=-1.
法二　取特殊值A=B=C=,
则cos A=cos B=cos C=,cos 2A=cos 2B=cos 2C=-,
所以cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos Acos Bcos C=-×3+4×××=-1.
13.(15分)已知α,β∈(0,),且满足=cos(α+β).
(1)求证:tan β=.
(2)求tan β的最大值,并求当tan β取得最大值时tan(α+β)的值.
所以=cos αcos β-sin αsin β,
所以sin β=sin αcos αcos β-sin2αsin β,
所以tan β=sin αcos α-sin2αtan β,
所以tan β=.
由tan β==≤=,当且仅当tan α=时,等号成立,此时tan β取得最大值.
因为=cos(α+β),所以=cos(α+β),
所以sin[(α+β)-α]=sin αcos(α+β),所以sin(α+β)cos α-sin αcos(α+β)=sin αcos(α+β),
所以sin(α+β)cos α=2sin αcos(α+β),所以tan(α+β)=2tan α=.
14.数学里有一种证明方法叫做无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明数学命题的方法.如下图,点C为半圆O上一点,CH⊥AB,垂足为H,记∠COB=θ,则由
tan ∠CAH=可以直接证明的三角函数公式是(　　)
[A]tan = 　[B]tan =
[C]tan = 　[D]tan =
cos θ=,AH=AO+OH=OC+OH,即CH=OC·sin θ,OH=OC·cos θ,所以tan ===
=.故选B.第2课时　简单的三角恒等变换(二)
【课程标准要求】　1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题.
知识归纳
知识点　辅助角公式
一般地,对于y=asin x+bcos x,
第一步:提常数,提取,得到y=·(sin x+cos x).
第二步:定角度,确定一个角φ满足cos φ=,sin φ=,
得到y=·(sin xcos φ+cos xsin φ).
第三步:合并,由和角公式化为一个三角函数式的辅助角公式,
即y=asin x+bcos x=·sin(x+φ)(其中tan φ=).
(1)该函数的最大值为,最小值为-.
(2)有时也利用y=asin x+bcos x=·cos(x-φ)(其中tan φ=).
基础自测
1.函数y=2sin x-cos x(x∈R)的最小正周期为(　　)
[A]2π [B]π
[C] [D]
2.已知α∈(0,π),且sin α-cos α=2,则tan α等于(　　)
[A]- [B]-
[C] [D]
3.函数f(x)=sin x+sin(x+)的最大值为(　　)
[A]1 [B]
[C] [D]2
4.(人教A版必修第一册P228练习T2改编)以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为　　　　.
题型一　辅助角公式的应用
[例1] 已知函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x+.
(1)化简函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的值域;
(3)设α∈(,π),f()=,求sin α的值.
(2)当x∈[0,]时,≤2x+≤,则-≤2sin(2x+)≤2,所以函数f(x)在区间[0,]上的值域为[-,2].
(3)因为f()=2sin(α+)=,所以sin(α+)=,因为α∈(,π),所以<α+<,所以cos(α+)=-,则sin α=sin[(α+)-]=sin(α+)cos -cos(α+)sin =×-(-)×=.
(1)研究三角函数的性质,如单调性和最值问题,通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换,转化为一种简单的三角函数,再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式,将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式,以便研究函数的性质.
(2)当函数可化为f(x)=asin2ωx+bsin ωxcos ωx+ccos2ωx的函数形式时,常先利用降幂公式sin2=,cos2=,sin αcos α=sin 2α,将函数统一化成f(x)=msin 2ωx+ncos 2ωx+k的形式,再利用辅助角公式化为f(x)=Asin(2ωx+φ)+k的形式来研究其性质.
[变式训练] 已知函数f(x)=2sin xcos x+sin2x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)取得最大值时x的取值集合;
(3)设函数f(x)在区间[,m]上单调递减,求实数m的取值范围.
(2)当2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值,
故函数f(x)取得最大值时x的取值集合为{x,k∈Z}.
(3)当≤x≤m时,≤2x-≤2m-,由于函数f(x)在区间[,m]上单调递减,则解得题型二　三角函数在平面几何中的应用
[例2] 如图,某城市有一条公路从正西方沿MO通过市中心O后转到北偏东30°的ON上,为了缓解城市交通压力,现准备修建一条绕城高速公路L,并在MO,ON上分别设置两个出口A,B.若要求市中心O与AB的距离为10 km,则线段AB最短为(　　)
[A]10 km [B]20 km
[C]10 km [D]20 km
由题意可得AD==,BD==,所以AB=AD+BD=+=
=
=10(-1),
因为tan αtan β=tan αtan(60°-α)=,
令t=1+tan α∈(1,4),
则0当且仅当t=2时,等号成立,
故AB=10(-1)≥10×2=20(km).故选D.
(1)三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角函数来解决,这体现了数学中的化归思想.
(2)当几何问题中某个角α比较容易表示与之相关的线段的长度时,一般选择这个角α作为自变量,构建三角函数关系式,要注意结合实际问题确定角α的取值范围.
[变式训练] 如图,在扇形OAB中,∠AOB=,半径OA=2.在上取一点M,连接OM,过M点分别向半径OA,OB作垂线,垂足分别为E,F,得到一个四边形MEOF.
(1)设∠AOM=x,将四边形MEOF的面积S表示成x的函数,并写出x的取值范围;
(2)求四边形MEOF的面积S的最大值.
sin 2x-cos 2x=sin(2x-),由题意要得到四边形MEOF,则x∈(,).
(2)由(1)知,S=sin(2x-),因为x∈(,),所以2x-∈(,),所以当2x-=,即x=时,四边形MEOF的面积S取得最大值.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x,则f(x)的最小正周期为(　　)
[A]2π [B]π
[C] [D]
2.已知sin α+cos α=-,则cos(2α+)的值为(　　)
[A]- [B]
[C]- [D]
则cos(2α+)=cos[2(α+)]=1-2sin2(α+)=1-2×=-.故选A.
3.已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是奇函数,则tan φ等于(　　)
[A] [B]-
[C] [D]-
解得φ=-+kπ,k∈Z,所以tan φ=tan(-+kπ)=-tan =-.故选D.
4.函数f(x)=sin x-acos x(x∈R)的图象的一条对称轴方程是x=-,则a的值是(　　)
[A]1 [B]-1
[C]0 [D]±1
5.有一块矩形花圃ABCD如图所示,其中AB=10 m,BC=6 m,现引进了新品种需将其扩大成矩形区域EFGH,点A,B,C,D均落在矩形EFGH的边上(不包括顶点),则扩大后的花圃的最大面积为(　　)
[A]100 m2 [B]128 m2
[C]144 m2 [D]196 m2
则DG=DCcos θ=10cos θ,AE=GC=DCsin θ=10sin θ.S=HG·HE=(6sin θ+10cos θ)(6cos θ+
10sin θ)=136cos θsin θ+60=68sin 2θ+60,当2θ=,即θ=时,面积有最大值为128 m2.故选B.
6.某大型商场为迎接新年的到来,在自动扶梯AC(AC>5 m)的C点的上方悬挂竖直高度为
5 m的广告牌DE,如图所示,广告牌底部点E正好为DC的中点,电梯AC的坡度∠CAB=30°.当人在A点时,观测到视角∠DAE的正切值为.当人运动到AC的中点P时,PE等于(　　)
[A]5 [B]5
[C]5 [D]2
设BC=x,则AB=x,AC=2x,
在△DAB中,tan ∠DAB=,
在△EAB中,tan ∠EAB=,
因为tan ∠DAB=tan(∠DAE+∠EAB)=,
所以=,解得x=或x=5,
因为AC>5,所以x>,则BC=5,则AB=5,
当人运动到AC的中点P时,作PQ⊥BC于点Q,如图所示,
则PQ=AB=,CQ=,
所以EQ=EC+CQ=5+=,
在Rt△PQE中,
PE===5.故选B.
7.(5分)如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于点Q,当△POQ的面积大于时,∠POQ的取值范围为　　　　.
8.(5分)已知函数f(x)=asin 2x+cos 2x的图象关于(-,0)对称,则a的值为　　　　.
则tan(kπ+)=1= a=1.
9.(14分)已知函数f(x)=2cos2x+cos(2x-)-1.
(1)求函数y=f(x)的最值;
(2)求方程f(x)=在x∈[0,π]上的解.
所以f(x)max=,f(x)min=-.
(2)由(1)可得f(x)=sin(2x+)=,即sin(2x+)=,所以2x+=+2kπ(k∈Z)或2x+=+2kπ
(k∈Z),解得x=-+kπ(k∈Z)或x=+kπ(k∈Z),又x∈[0,π],所以x=或 x=.
10.(15分)已知函数f(x)=sin(+x)sin(-x)+sin xcos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,若f(-)=1,求sin B+sin C 的最大值.
sin(+2x)+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由(1)知,f(-)=sin[2(-)+]=sin(A+)=1,
在△ABC中,0sin(-B)=sin B+cos B+sin B=sin B+cos B=sin(B+),显然011.(多选)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x+1,则(　　)
[A]f(x)的最小正周期是π
[B]f(x)的图象关于点(-,1)中心对称
[C]f(x+)是偶函数
[D]f(x)在[-,]上恰有4个零点
因为f(-)=2sin(-+)+1=1,所以f(x)的图象关于点(-,1)中心对称,所以B正确;
f(x+)=2sin(2x++)+1=2sin(2x+)+1,令g(x)=f(x+)=2sin(2x+)+1,
则g(-x)=2sin(-2x+)+1=-2sin(2x-)+1≠g(x),所以f(x+)不是偶函数,所以C错误;
由f(x)=2sin(2x+)+1=0,得sin(2x+)=-,所以2x+=-+2kπ,k∈Z或2x+=+2kπ,k∈Z,
得x=-+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,因为x∈[-,],所以x=-,x=,x=,x=,所以f(x)在[-,]上恰有4个零点,所以D正确.故选ABD.
12.(5分)有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它按如图所示的方式截成一块正方形的钢板EFGH,使其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角
x=　　　　来截.
sin x+cos x,由题意可得=,即1+sin 2x=,可得sin 2x=,因为x∈(0,),则2x∈(0,π),所以2x=或2x=,解得x=或x=.
13.(15分) 如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=8,Rt△MPN 的直角顶点P为AD的中点,点M,N分别在边AB,CD上,令∠DPN=θ(≤θ≤).
(1)当tan θ=时,求梯形BCNM的面积S;
(2)求△MPN的周长l的最小值,并求此时角θ的值.
所以AM=4×=,所以NC=2,MB=,所以S=(2+)×8×=.
(2)由(1)可知,PN=,PM=,
所以MN=4=4=.
所以l=++=4(),sin θ+cos θ=sin(θ+),因为θ+∈[,],
所以sin(θ+)∈[,1].
令sin θ+cos θ=t∈[,],则sin θcos θ=(t2-1),即l==,当t=,即θ=时,
lmin==8(+1).
14.已知当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最小值,则等于(　　)
[A]- [B]
[C] [D]-

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