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第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质
1.会通过函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.
2.结合三角恒等变换中的有关公式,研究三角函数y=Asin(ωx+φ)的综合性问题.3.会求解简单的匀速圆周运动的数学模型y=Asin(ωx+φ)+B.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一　已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
·解题策略·
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
·解题策略·
(2)待定系数法:将若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入式子.
(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数.
π
题型二　函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质
·解题策略·
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质
·解题策略·
(2)是否存在正实数m,使f(x)图象向左平移m个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数 若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
题型三　匀速圆周运动的数学模型
[例3] 如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟逆时针转动1圈,当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的距离z(单位:m,在水面以下,z为负数)表示为时间t(单位:s)的函数;
(2)在水轮转动1圈内,有多长时间点P位于水面上方
·解题策略·
匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值,半径决定A,周期能确定ω,初始位置的不同对φ有影响,还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系.
[变式训练] 如图所示,某风车的半径为2 m,每12 s 旋转一周,它的最低点O距离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(单位:s)后与地面的距离为h(单位:m),则h与t满足的函数关系为(　　)
C
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5.6　函数y=Asin(ωx+φ)
第 1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.理解函数y=Asin(ωx+φ)中φ,ω,A对图象的影响.2.掌握函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.3.会用
“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ),x∈R图象的影响
知识归纳
1.φ对函数y=sin(x+φ),x∈R图象的影响
左
右
2.ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响
缩短
伸长
3.A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
缩短
伸长
·疑难解惑·
对A,ω,φ(A>0,ω>0)的三点说明:
(1)A越大,函数的最大值越大,最大值与A是正比例关系.
(2)ω越大,函数的周期越小,ω越小,函数的周期越大,周期与ω为反比例关系.
(3)φ 大于0时,函数图象向左平移,φ小于0时,函数图象向右平移,即“左加右减”.
1.为了得到函数y=sin 4x,x∈R的图象,只需把正弦曲线y=sin x上所有点的
(　　)
基础自测
B
D
3.要得到函数y=sin(3x+3)的图象,只需将函数y=sin 3x的图象(　　)
[A]向左平移1个单位长度
[B]向右平移1个单位长度
[C]向左平移3个单位长度
[D]向右平移3个单位长度
A
【解析】 因为y=sin[3(x+1)]=sin(3x+3),所以只要将函数y=sin 3x的图象向左平移1个单位长度即可得到函数y=sin(3x+3)的图象.故选A.
关键能力·素养培优
题型一　三角函数图象的平移变换
·解题策略·
D
D
[A]f(x)=sin 2x　　
[B]f(x)=-sin 2x
[C]f(x)=cos 2x　
[D]f(x)=-cos 2x
题型二　三角函数图象的伸缩变换
伸长
3
·解题策略·
(2)在研究A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响时,将y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变),即可得到y=Asin(ωx+φ)的图象.
C
题型三　函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系
·解题策略·
(1)由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示,如图所示.
·解题策略·
(2)两种变换仅影响平移的单位长度,其余参数不受影响.
(3)若相应变换的函数名称不同,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移变换或伸缩变换.
题型四　“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
描点连线,画图如下.
·解题策略·
(1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤.
·解题策略·
·解题策略·
(3)在画指定区间上的函数图象时,先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值,然后再确定ωx+φ整体后面的取值.
感谢观看第1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象
【课程标准要求】　1.理解函数y=Asin(ωx+φ)中φ,ω,A对图象的影响.2.掌握函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.3.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
知识归纳
知识点　A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ),x∈R图象的影响
1.φ对函数y=sin(x+φ),x∈R图象的影响
2.ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响
3.A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
对A,ω,φ(A>0,ω>0)的三点说明:
(1)A越大,函数的最大值越大,最大值与A是正比例关系.
(2)ω越大,函数的周期越小,ω越小,函数的周期越大,周期与ω为反比例关系.
(3)φ 大于0时,函数图象向左平移,φ小于0时,函数图象向右平移,即“左加右减”.
基础自测
1.为了得到函数y=sin 4x,x∈R的图象,只需把正弦曲线y=sin x上所有点的(　　)
[A]横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变　
[B]横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
[C]纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变　
[D]纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
【答案】 B
【解析】 ω=4>1,因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变.
故选B.
2.(人教A版必修第一册P240习题5.6 T1改编)为了得到函数y=cos x的图象,只需把余弦曲线y=cos x上所有点的(　　)
[A]横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变　
[B]横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
[C]纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
[D]纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
【答案】 D
【解析】 将y=cos x图象上所有点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,即可得到函数y=cos x的图象.故选D.
3.要得到函数y=sin(3x+3)的图象,只需将函数y=sin 3x的图象(　　)
[A]向左平移1个单位长度
[B]向右平移1个单位长度
[C]向左平移3个单位长度
[D]向右平移3个单位长度
【答案】 A
【解析】 因为y=sin[3(x+1)]=sin(3x+3),所以只要将函数y=sin 3x的图象向左平移1个单位长度即可得到函数y=sin(3x+3)的图象.故选A.
4.用“五点法”作函数y=2sin(x-)的图象时,描出的五个点的横坐标依次是　 .
【答案】 π,,4π,π,7π
【解析】 用“五点法”作图时,当x-分别取0,,π,,2π时,x的值分别为π,,4π,,7π.
题型一　三角函数图象的平移变换
[例1] (1)函数y=sin x的图象可以看作是由函数y=sin(x-)的图象经过怎样的变换而得到的
(2)求函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式.
(3)由函数y=sin(x+)的图象经过怎样的变换可以得到函数y=cos x的图象
【解】 (1)函数y=sin x的图象可以看作是由函数y=sin(x-)图象上的所有点向左平移个单位长度而得到的.
(2)函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin[2(x-)],即y=sin(2x-)的
图象.
(3)因为y=sin(x+)=cos[-(x+)]=cos(-x)=cos(x-),所以只需将函数y=sin(x+)的图象向左平移个单位长度即可得到函数y=cos x的图象.
对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同,则先化为同名函数,再观察x的系数,当x的系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循“左加右减”的原则,
且ωx→ωx+φ的平移量为||个单位长度.
[变式训练] (1)要得到函数y=sin(2x-)的图象,需要将函数y=sin 2x的图象(　　)
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
(2)函数g(x)=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度得到函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)的解析式为(　　)
[A]f(x)=sin 2x　　
[B]f(x)=-sin 2x
[C]f(x)=cos 2x　
[D]f(x)=-cos 2x
【答案】 (1)D　(2)D
【解析】 (1)因为y=sin(2x-)=sin[2(x-)],为了得到函数y=sin(2x-)的图象,需要将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度.故选D.
(2)由函数g(x)=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度得到函数y=f(x)的图象,
所以f(x)=sin[2(x+)-]=-cos 2x.故选D.
题型二　三角函数图象的伸缩变换
[例2] (1)把函数y=sin(2x-)图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,则所得图象的函数解析式为　　　　　　　　　　.
(2)函数y=sin(2x-)的图象上所有点的横坐标保持不变,将纵坐标　 　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　　　　倍,将会得到函数y=3sin(2x-)的图象.
【答案】 (1)y=sin(4x-)　(2)伸长　3
【解析】 (1)由题意,所得图象的函数解析式为y=sin(2x×2-)=sin(4x-).
(2)A=3>1,故函数y=sin(2x-)的图象上所有点的横坐标保持不变,将纵坐标伸长为原来的3倍,即可得到函数y=3sin(2x-)的图象.
(1)在研究ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响时,将y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),即可得到y=sin(ωx+φ)的图象.
(2)在研究A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响时,将y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变),即可得到y=Asin(ωx+φ)的图象.
[变式训练] 将函数f(x)=cos(2x-)的图象上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标变为原来的2倍,得到的函数g(x)的图象的解析式为(　　)
[A]g(x)=2cos(8x-)
[B]g(x)=cos(8x-)
[C]g(x)=2cos(x-)
[D]g(x)=cos(x-)
【答案】 C
【解析】 由题意g(x)=2cos(2××x-)=2cos(x-).故选C.
题型三　函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系
[例3] 由y=3sin x的图象变换得到y=3sin(x+)的图象主要有两个方法:先平移后伸缩和先伸缩后平移,前者需向左平移　 　个单位长度,后者需向左平移　 　　　个单位长度.
【答案】 　
【解析】 (1)y=3sin x的图象y=3sin(x+)的图象y=3sin(x+)的图象.
(2)y=3sin x的图象y=3sin x 的图象y=3sin[(x+)]=3sin(x+)的图象.
(1)由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示,如图所示.
(2)两种变换仅影响平移的单位长度,其余参数不受影响.
(3)若相应变换的函数名称不同,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移变换或伸缩变换.
[变式训练] 将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移个单位长度得到函数y=Asin x的图象,则ω=　　,φ=　　.
【答案】 　
【解析】 法一　将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移个单位长度得到y=Asin[2ω(x-)+φ]=Asin[2ωx+2ω×(-)+φ]=Asin x,所以2ω=1,2ω×(-)+φ=0,所以ω=,φ=.
法二　将函数y=Asin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=Asin(x+)的图象,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=Asin(x+)的图象,即为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=Asin(x+),所以ω=,φ=.
题型四　“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
[例4] 用“五点法”画函数y=2sin(3x+),x∈[0,]的图象.
【解】 因为x∈[0,],所以3x+∈[,],列表如下:
3x+ π 2π
x 0
y 1 2 0 -2 0 1
描点连线,画图如下.
(1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤.
第一步:列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
(3)在画指定区间上的函数图象时,先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值,然后再确定ωx+φ整体后面的取值.
[变式训练] 已知函数f(x)=8sin(-).
(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横、纵坐标均变为原来的,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式.
【解】 (1)列表如下:
- 0 π 2π
x
f(x) 0 8 0 -8 0
描点连线,画图如下.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到y=8sin[(x-)-]=8sin(x-)的图象,
再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的,得到函数y=8sin(x-)的图象,
再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的,得到函数g(x)=4sin(x-)的图象.
课时作业
(满分:80分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数y=sin(2x+)的图象为C,为了得到函数y=sin(2x-)的图象,只要把C上所有的点(　　)
[A]向右平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向左平移个单位长度
【答案】 A
【解析】 由y=sin(2x+)向右平移个单位长度可得y=sin[2(x-)+]=sin(2x-)的图象.
故选A.
2.已知将函数f(x)=2sin(2x-)图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标变为原来的,可以得到函数g(x)的图象,则g()等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]1
【答案】 A
【解析】 将函数f(x)=2sin(2x-)图象上所有的点向左平移个单位长度,
得到y=2sin[2(x+)-]=2sin 2x的图象,再把所有点的横坐标变为原来的,
得到函数g(x)=2sin(2×2x)=2sin 4x,所以g()=2sin =.故选A.
3.将函数y=f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,
纵坐标不变,得到函数y=cos(2x-)的图象,则f(x)等于(　　)
[A]cos 4x　 [B]cos(4x-)
[C]cos(x-)　 [D]cos(x-)
【答案】 B
【解析】 由题意可得,将函数y=cos(2x-)的图象横坐标变为原来的,纵坐标不变,
可得y=cos(4x-)的图象,再将其向右平移个单位长度,得到y=cos[4(x-)-]=cos(4x-),即f(x)=cos(4x-)的图象.故选B.
4.(多选)为得到函数y=2sin(2x+)的图象,只需要将函数y=2sin 2x的图象(　　)
[A]向左平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
【答案】 AC
【解析】 由于y=2sin(2x+)=2sin[2(x+)],所以将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到y=2sin(2x+)的图象;又函数y=2sin(2x+)的最小正周期为π,所以将函数
y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度,也可得到y=2sin(2x+)的图象.故选AC.
5.(多选)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的可能取值为(　　)
[A]- [B]
[C] [D]
【答案】 AC
【解析】 由题意将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,所得函数图象的解析式为y=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),因为它是奇函数,所以φ+=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,
k∈Z,只有A,C满足题意.故选AC.
6.(多选)为了得到函数y=cos(2x-)的图象,只需将y=sin x图象上的所有点(　　)
[A]先向左平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍
[B]先向左平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的
[C]先将横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
[D]先将横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
【答案】 BD
【解析】 y=cos(2x-)=cos(2x+-)=cos[-(2x+)]=sin(2x+),把y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数y=sin 2x的图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)的图象;或者把y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数y=sin(x+)的图象,再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数y=sin(2x+)的图象.故选BD.
7.(5分)将函数y=1+2sin(-3x)的图象向下平移1个单位长度,可得函数　　　　　　　的图象;作出所得图象关于x轴的对称图形,可得函数　　　　　 　　的图象;再将所得图象上各点的纵坐标变为原来的,横坐标变为原来的3倍,可得函数　　　　　　　　的图象;再将此图象向左平移个单位长度,就可得到函数　　　　　　　的图象.
【答案】 y=2sin(-3x)　y=2sin(3x-)　y=sin(x-)　y=sin x
【解析】 将函数y=1+2sin(-3x)的图象向下平移1个单位长度,则函数减1可得函数y=2sin(-3x)的图象;关于x轴对称,可得函数 y=-2sin(-3x)=2sin(3x-)的图象;图象上各点的纵坐标变为原来的,横坐标变为原来的3倍,可得函数y=sin(x-)的图象;向左平移个单位长度,可得到函数y=sin(x+-)=sin x的图象.
8.(5分)把函数f(x)=sin(2x+φ)(-≤φ≤)的图象上所有的点向右平移个单位长度后,所得图象与函数g(x)=sin(2x-)的图象重合,则φ=　　　 　.
【答案】
【解析】 因为函数f(x)=sin(2x+φ)(-≤φ≤)的图象上所有的点向右平移个单位长度后,得到的图象与函数g(x)=sin(2x-)的图象重合,所以函数g(x)=sin(2x-)的图象上所有的点向左平移个单位长度后,得到的图象与函数f(x)=sin(2x+φ)(-≤φ≤)的图象重合,
即g(x+)=sin[2(x+)-]=sin(2x+)=sin(2x+φ),所以φ=+2kπ,k∈Z,因为-≤φ≤,所以φ=.
9.(13分)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)用“五点法”,列表画出函数f(x)在一个周期上的图象;
(3)函数f(x)的图象经过怎样的变换,可以得到函数g(x)=2cos(x+)(ω>0)的图象.
【解】 (1)由f(x)的最小正周期为π,得=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+),
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)列表如下:
2x+ 0 π 2π
x -
f(x) 0 2 0 -2 0
描点连线,图象如下.
(3)法一　将函数f(x)=2sin(2x+)图象的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 y=2sin(x+)的图象,再将函数图象向左平移个单位长度,即可得到函数g(x)=2cos(x+)的图象.
法二　将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2cos(2x+)的图象,再将函数图象的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,即可得到函数g(x)=2cos(x+)的
图象.
10.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的函数图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由题意,y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得函数图象的解析式为y=cos x+1;再向左平移1个单位长度,所得函数图象的解析式为y=cos(x+1)+1;最后向下平移1个单位长度,所得函数图象的解析式为y=cos(x+1),显然点(-1,0)在此函数图象上.故选A.
11.为了得到函数y=2cos(+)sin(-)-1的图象,需将y=sin x+cos x的图象(　　)
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
【答案】 C
【解析】 y=2cos(+)sin(-)-1=2cos(+)sin[-(+)]-1=2cos(+)cos(+)-1=cos(x+),
y=sin x+cos x=sin(x+)的图象y=sin(x++)=cos(x+)的图象.故选C.
12.(14分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数y=f(x)+g(x)的解析式,并用“五点法”列表,在下面的坐标系中作出该函数在[0,2π]上的图象.
(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π]内恰有两个不同的解α,β.
①求实数m的取值范围;
②证明:cos(α-β)=-1.
(1)【解】 先将g(x)=cos x图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得到函数y=cos x的图象,再将其向右平移个单位长度,得到函数f(x)=cos(x-)=sin x的
图象,所以y=f(x)+g(x)=sin x+cos x=2sin(x+).
列表如下:
x+ π 2π
x 0 2π
y 1 2 0 -2 0 1
描点连线,图象如下.
(2)①【解】 依题意,2sin(x+)=m在区间[0,2π]内恰有两个不同的解α,β,等价于函数y=2sin(x+)在[0,2π]上的图象与直线 y=m有两个交点,由图可知,m的取值范围是
(-2,1)∪(1,2).
②【证明】 因为α,β是方程2sin(x+)=m在区间[0,2π]的两个不同的解,根据函数y=2sin(x+)图象的对称性可知,当1所以cos(α-β)=cos(-2β)=2cos2(-β)-1=2sin2(β+)-1=-1,当-2且sin(β+)=,所以cos(α-β)=cos(-2β)=2cos2(-β)-1=2sin2(β+)-1=-1.
综上,cos(α-β)=-1.第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质
【课程标准要求】　1.会通过函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.2.结合三角恒等变换中的有关公式,研究三角函数y=Asin(ωx+φ)的综合性问题.3.会求解简单的匀速圆周运动的数学模型y=Asin(ωx+φ)+B.
题型一　已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例1] 如图所示是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象的一部分,求此函数的解析式.
因为点(-,0)在函数图象上,所以-×2+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,
所以y=3sin(2x+).
法二(待定系数法)　由题图知A=3.因为图象过点(,0)和(,0),所以
解得所以y=3sin(2x+).
法三(图象变换法)　由A=3,T=π,点(-,0)在图象上,可知函数图象由y=3sin 2x 的图象向左平移个单位长度而得,所以y=3sin 2(x+),即y=3sin(2x+).
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)逐一定参法:如果从图象中可直接确定A和ω,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”),或选取最大值点时代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z,选取最小值点时代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z,求得φ.
(2)待定系数法:将若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入式子.
(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象
平移、伸缩规律确定相关的参数.
[变式训练] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则函数f(x)的最小正周期T=　　　　,函数f(x)的解析式为　　　　　　　　.
所以f(x)=2sin(2x-).
题型二　函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质
[例2] 已知函数f(x)=sin(2ωx-)-4sin2ωx+2(ω>0),其图象与x轴相邻的两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到的函数g(x)的图象恰好经过点(-,0),求当m取得最小值时,函数g(x)在[-,]上的单调区间.
cos 2ωx=sin(2ωx+),由已知函数f(x)的周期T=π,可得=π,ω=1,所以f(x)=sin(2x+).
(2)将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象,
所以g(x)=sin(2x+2m+),因为函数g(x)的图象经过点(-,0),所以sin[2×(-)+2m+]=0,即sin(2m-)=0,所以2m-=kπ,k∈Z,所以m=+,k∈Z,因为m>0,所以当k=0时,m取最小值,此时g(x)=sin(2x+).因为-≤x≤,所以≤2x+≤,当≤2x+≤或≤2x+≤,即-≤x≤-或≤x≤时,函数g(x)单调递增,当≤2x+≤,即-≤x≤时,函数g(x)单调
递减.
所以函数g(x)在[-,]上的单调增区间为[-,-],[,];单调减区间为[-,].
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
定义域 R
值域 [-A,A]
周期性 T=
对称性 对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即(,0)(k∈Z)
对称轴由ωx+φ=+kπ,k∈Z求得,即x=+(k∈Z)
奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数;其它情况为非奇非偶函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
[变式训练] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<),其图象经过M(0,),且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求f(x)的解析式.
(2)是否存在正实数m,使f(x)图象向左平移m个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数 若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以=,所以ω=4,则f(x)=sin(4x+).
(2)设g(x)=sin[4(x+m)+]=sin(4x+4m+),因为g(x)是偶函数,所以4m+=+kπ(k∈Z),
所以m=+(k∈Z),因为m为正实数,所以mmin=.
题型三　匀速圆周运动的数学模型
[例3] 如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟逆时针转动1圈,当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的距离z(单位:m,在水面以下,z为负数)表示为时间t(单位:s)的函数;
(2)在水轮转动1圈内,有多长时间点P位于水面上方
1圈,所以t s可转动的角度为=,此时OP对应的角为-+,
所以点P的坐标为(4cos(-),4sin(-)),且点P的纵坐标加上2即为点P到水面的距离,
所以z=4sin(-)+2(t≥0).
(2)因为t∈[0,60],(-)∈[-,],令4sin(-)+2>0,所以sin(-)>-,
所以-<-<,所以0匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值,半径决定A,周期能确定ω,初始位置的不同对φ有影响,还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系.
[变式训练] 如图所示,某风车的半径为2 m,每12 s 旋转一周,它的最低点O距离地面
0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(单位:s)后与地面的距离为h(单位:m),则h与t满足的函数关系为(　　)
[A]h=sin(+)+2.5
[B]h=2sin(-)+1.5
[C]h=-2cos +2.5
[D]h=2cos +2.5
0.5 m,所以A==2,b==2.5,由题意知,风车每12 s旋转一周,所以T=12,所以ω==,又风车从最低点开始运动,所以函数过点(0,),则×0+φ=+2kπ(k∈Z),不妨设φ=,所以h与t满足的函数关系为h=2sin(+)+2.5=-2cos +2.5.故选C.
课时作业
(满分:65分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与最低点的距离是5,则A等于(　　)
[A]1 [B]2
[C]4 [D]8
所以A=2.故选B.
2.已知函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,当x=时,函数取得最大值2,当x=时,函数取得最小值-2,则该函数的解析式为(　　)
[A]y=2sin(3x-)
[B]y=2sin(3x+)
[C]y=2sin(+)　
[D]y=2sin(-)
3.将函数y=sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位长度,得到的函数的一个对称中心是(　　)
[A](,0)　 [B](,0)
[C](,0)　 [D](,0)
4.函数y=f(x)的部分图象如图所示,则y=f(x)的解析式为(　　)
[A]f(x)=sin(2x+)+1
[B]f(x)=sin(2x-)+1
[C]f(x)=2sin(2x+)-1
[D]f(x)=sin(2x-)-1
ω===2,所以sin(2×+φ)+1=0,所以φ+=2kπ-,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z,可以取φ=,所以f(x)=sin(2x+)+1.故选A.
5.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象的一部分如图(1)所示,则图(2)中的函数图象对应的函数是(　　)
[A]y=f(2x-) [B]y=f(-)
[C]y=f(-1) [D]y=f(2x-1)
6.如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(ωx-φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象,将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,再将所得曲线向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为(　　)
[A]g(x)=2cos(-)　
[B]g(x)=2cos(2x-)　
[C]g(x)=2sin 2x　
[D]g(x)=2cos 2x
故g(x)=2cos 2x.故选D.
7.(5分)如图所示为函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象,则ω=　　　,φ=　　　.
8.(5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象,如图所示,图中阴影部分的面积为,则f(0)=　　　　.
又ω>0,所以ω===2,则f(x)=sin(2x+φ),因为f()=sin(2×+φ)=1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)=sin(2x+),所以f(0)=sin =.
9.关于函数y=2sin(2x+φ)(0<φ<π)有如下四个命题:
甲:该函数图象的一个对称中心为(,0);
乙:该函数在(-,)上单调递增;
丙:该函数图象的一条对称轴方程为x=-;丁:该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数.
如果只有一个假命题,则该命题是(　　)
[A]甲 [B]乙
[C]丙 [D]丁
可得-+φ=+kπ(k∈Z),则φ=+kπ(k∈Z),因为0<φ<π,可得φ=,即y=2sin(2x+),当-2sin(2x+),该函数不是奇函数,即丁为假命题,不符合题意;若丁为假命题,则丙为真命题,函数解析式为y=2sin(2x+),则2sin(2×+)=≠0,即甲为假命题,不符合题意.故选A.
10.(多选)某摩天轮最高点距离地面高度为60 m,转盘直径为50 m,设置有24个座舱,摩天轮开启前,距地面最近的点为0号座舱,距地面最远的点为12号座舱,座舱逆时针排列且均匀分布,游客甲坐2号舱位,乙坐6号舱位,开启后按逆时针方向匀速旋转,开启后的第8 min这一时刻,游客甲和游客乙首次距离地面高度相同,游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 H m,下列说法正确的是(　　)
[A]H关于t的函数解析式为H=25sin(t-)+35
[B]开启后第20 min这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同
[C]开启后第10 min游客乙距离地面47.5 m
[D]开启后第10 min至第18 min游客甲和乙运动方向相同(上升或下降)
所以由开启后的第8 min 这一时刻游客甲和游客乙首次距离地面高度相同可知,摩天轮转一周需要24 min,座舱转动的速度约为 rad/min,故ω=,
则H=25sin(t+φ)+35,又当t=10时,游客甲的位置达到摩天轮最高点,
所以60=25sin(×10+φ)+35,即sin(+φ)=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,
不妨取k=0,则φ=-,故H=25sin(t-)+35,A错误;由于摩天轮匀速旋转一周需要24 min,故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时,需经历8+12=20(min),B正确;根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为Y=25sin[(t+4)-]+35=25sint+35,则开启后第 10 min 游客乙距离地面高度为25sin(×10)+35=+35=47.5(m),C正确;对于函数H=25sin(t-)+35,令2kπ+≤t-≤2kπ+,k∈Z,得24k+10≤t≤24k+22,k∈Z,所以函数H=25sin(t-)+35的单调递减区间为[24k+10,24k+22](k∈Z),当k=0时,函数H=25sin(t-)+35的单调递减区间为[10,22],所以开启后第10 min至第18 min游客甲在下降,对于函数Y=25sint+35,令2kπ+≤t≤2kπ+得24k+6≤t≤24k+18,k∈Z,所以函数Y=25sint+35的单调递减区间为[24k+6,24k+18](k∈Z),当k=0时,函数Y=25sint+35的单调递减区间为[6,18],所以开启后第10 min至第18 min游客乙也在下降,即开启后第10 min至第18 min游客甲和乙运动方向相同,D正确.故选BCD.
11.(14分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将该函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,
①求函数g(x)在区间[-,]的值域;
②求满足不等式g(x)≥的解集.
由2sin(2×+φ)=2,且-<φ<,得φ=-.所以f(x)=2sin(2x-).
(2)①将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,可得y=2sin[2(x+)-]=2sin 2x,再将图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,可得g(x)=2sin x.当x∈[-,]时,
sin x∈[-,1],
所以2sin x∈[-,2].所以函数g(x)在区间[-,]的值域为[-,2].
②由g(x)≥,得sin x≥,所以2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
所以不等式g(x)≥的解集为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.第1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象
【课程标准要求】　1.理解函数y=Asin(ωx+φ)中φ,ω,A对图象的影响.2.掌握函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.3.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
知识归纳
知识点　A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ),x∈R图象的影响
1.φ对函数y=sin(x+φ),x∈R图象的影响
2.ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响
3.A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
对A,ω,φ(A>0,ω>0)的三点说明:
(1)A越大,函数的最大值越大,最大值与A是正比例关系.
(2)ω越大,函数的周期越小,ω越小,函数的周期越大,周期与ω为反比例关系.
(3)φ 大于0时,函数图象向左平移,φ小于0时,函数图象向右平移,即“左加右减”.
基础自测
1.为了得到函数y=sin 4x,x∈R的图象,只需把正弦曲线y=sin x上所有点的(　　)
[A]横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变　
[B]横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
[C]纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变　
[D]纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
故选B.
2.(人教A版必修第一册P240习题5.6 T1改编)为了得到函数y=cos x的图象,只需把余弦曲线y=cos x上所有点的(　　)
[A]横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变　
[B]横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
[C]纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
[D]纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
3.要得到函数y=sin(3x+3)的图象,只需将函数y=sin 3x的图象(　　)
[A]向左平移1个单位长度
[B]向右平移1个单位长度
[C]向左平移3个单位长度
[D]向右平移3个单位长度
4.用“五点法”作函数y=2sin(x-)的图象时,描出的五个点的横坐标依次是　 .
题型一　三角函数图象的平移变换
[例1] (1)函数y=sin x的图象可以看作是由函数y=sin(x-)的图象经过怎样的变换而得到的
(2)求函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式.
(3)由函数y=sin(x+)的图象经过怎样的变换可以得到函数y=cos x的图象
(2)函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin[2(x-)],即y=sin(2x-)的
图象.
(3)因为y=sin(x+)=cos[-(x+)]=cos(-x)=cos(x-),所以只需将函数y=sin(x+)的图象向左平移个单位长度即可得到函数y=cos x的图象.
对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同,则先化为同名函数,再观察x的系数,当x的系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循“左加右减”的原则,
且ωx→ωx+φ的平移量为||个单位长度.
[变式训练] (1)要得到函数y=sin(2x-)的图象,需要将函数y=sin 2x的图象(　　)
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
(2)函数g(x)=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度得到函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)的解析式为(　　)
[A]f(x)=sin 2x　　
[B]f(x)=-sin 2x
[C]f(x)=cos 2x　
[D]f(x)=-cos 2x
(2)由函数g(x)=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度得到函数y=f(x)的图象,
所以f(x)=sin[2(x+)-]=-cos 2x.故选D.
题型二　三角函数图象的伸缩变换
[例2] (1)把函数y=sin(2x-)图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,则所得图象的函数解析式为　　　　　　　　　　.
(2)函数y=sin(2x-)的图象上所有点的横坐标保持不变,将纵坐标　 　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　　　　倍,将会得到函数y=3sin(2x-)的图象.
(2)A=3>1,故函数y=sin(2x-)的图象上所有点的横坐标保持不变,将纵坐标伸长为原来的3倍,即可得到函数y=3sin(2x-)的图象.
(1)在研究ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响时,将y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),即可得到y=sin(ωx+φ)的图象.
(2)在研究A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响时,将y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变),即可得到y=Asin(ωx+φ)的图象.
[变式训练] 将函数f(x)=cos(2x-)的图象上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标变为原来的2倍,得到的函数g(x)的图象的解析式为(　　)
[A]g(x)=2cos(8x-)
[B]g(x)=cos(8x-)
[C]g(x)=2cos(x-)
[D]g(x)=cos(x-)
题型三　函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系
[例3] 由y=3sin x的图象变换得到y=3sin(x+)的图象主要有两个方法:先平移后伸缩和先伸缩后平移,前者需向左平移　 　个单位长度,后者需向左平移　 　　　个单位长度.
(2)y=3sin x的图象y=3sin x 的图象y=3sin[(x+)]=3sin(x+)的图象.
(1)由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示,如图所示.
(2)两种变换仅影响平移的单位长度,其余参数不受影响.
(3)若相应变换的函数名称不同,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移变换或伸缩变换.
[变式训练] 将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移个单位长度得到函数y=Asin x的图象,则ω=　　,φ=　　.
法二　将函数y=Asin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=Asin(x+)的图象,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=Asin(x+)的图象,即为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=Asin(x+),所以ω=,φ=.
题型四　“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
[例4] 用“五点法”画函数y=2sin(3x+),x∈[0,]的图象.
3x+ π 2π
x 0
y 1 2 0 -2 0 1
描点连线,画图如下.
(1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤.
第一步:列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
(3)在画指定区间上的函数图象时,先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值,然后再确定ωx+φ整体后面的取值.
[变式训练] 已知函数f(x)=8sin(-).
(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横、纵坐标均变为原来的,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式.
- 0 π 2π
x
f(x) 0 8 0 -8 0
描点连线,画图如下.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到y=8sin[(x-)-]=8sin(x-)的图象,
再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的,得到函数y=8sin(x-)的图象,
再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的,得到函数g(x)=4sin(x-)的图象.
课时作业
(满分:80分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数y=sin(2x+)的图象为C,为了得到函数y=sin(2x-)的图象,只要把C上所有的点(　　)
[A]向右平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向左平移个单位长度
故选A.
2.已知将函数f(x)=2sin(2x-)图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标变为原来的,可以得到函数g(x)的图象,则g()等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]1
得到y=2sin[2(x+)-]=2sin 2x的图象,再把所有点的横坐标变为原来的,
得到函数g(x)=2sin(2×2x)=2sin 4x,所以g()=2sin =.故选A.
3.将函数y=f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,
纵坐标不变,得到函数y=cos(2x-)的图象,则f(x)等于(　　)
[A]cos 4x　 [B]cos(4x-)
[C]cos(x-)　 [D]cos(x-)
可得y=cos(4x-)的图象,再将其向右平移个单位长度,得到y=cos[4(x-)-]=cos(4x-),即f(x)=cos(4x-)的图象.故选B.
4.(多选)为得到函数y=2sin(2x+)的图象,只需要将函数y=2sin 2x的图象(　　)
[A]向左平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度,也可得到y=2sin(2x+)的图象.故选AC.
5.(多选)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的可能取值为(　　)
[A]- [B]
[C] [D]
k∈Z,只有A,C满足题意.故选AC.
6.(多选)为了得到函数y=cos(2x-)的图象,只需将y=sin x图象上的所有点(　　)
[A]先向左平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍
[B]先向左平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的
[C]先将横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
[D]先将横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
7.(5分)将函数y=1+2sin(-3x)的图象向下平移1个单位长度,可得函数　　　　　　　的图象;作出所得图象关于x轴的对称图形,可得函数　　　　　 　　的图象;再将所得图象上各点的纵坐标变为原来的,横坐标变为原来的3倍,可得函数　　　　　　　　的图象;再将此图象向左平移个单位长度,就可得到函数　　　　　　　的图象.
8.(5分)把函数f(x)=sin(2x+φ)(-≤φ≤)的图象上所有的点向右平移个单位长度后,所得图象与函数g(x)=sin(2x-)的图象重合,则φ=　　　 　.
即g(x+)=sin[2(x+)-]=sin(2x+)=sin(2x+φ),所以φ=+2kπ,k∈Z,因为-≤φ≤,所以φ=.
9.(13分)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)用“五点法”,列表画出函数f(x)在一个周期上的图象;
(3)函数f(x)的图象经过怎样的变换,可以得到函数g(x)=2cos(x+)(ω>0)的图象.
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)列表如下:
2x+ 0 π 2π
x -
f(x) 0 2 0 -2 0
描点连线,图象如下.
(3)法一　将函数f(x)=2sin(2x+)图象的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 y=2sin(x+)的图象,再将函数图象向左平移个单位长度,即可得到函数g(x)=2cos(x+)的图象.
法二　将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2cos(2x+)的图象,再将函数图象的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,即可得到函数g(x)=2cos(x+)的
图象.
10.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的函数图象是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
11.为了得到函数y=2cos(+)sin(-)-1的图象,需将y=sin x+cos x的图象(　　)
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
y=sin x+cos x=sin(x+)的图象y=sin(x++)=cos(x+)的图象.故选C.
12.(14分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数y=f(x)+g(x)的解析式,并用“五点法”列表,在下面的坐标系中作出该函数在[0,2π]上的图象.
(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π]内恰有两个不同的解α,β.
①求实数m的取值范围;
②证明:cos(α-β)=-1.
图象,所以y=f(x)+g(x)=sin x+cos x=2sin(x+).
列表如下:
x+ π 2π
x 0 2π
y 1 2 0 -2 0 1
描点连线,图象如下.
(-2,1)∪(1,2).
所以cos(α-β)=cos(-2β)=2cos2(-β)-1=2sin2(β+)-1=-1,当-2且sin(β+)=,所以cos(α-β)=cos(-2β)=2cos2(-β)-1=2sin2(β+)-1=-1.
综上,cos(α-β)=-1.第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质
【课程标准要求】　1.会通过函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.2.结合三角恒等变换中的有关公式,研究三角函数y=Asin(ωx+φ)的综合性问题.3.会求解简单的匀速圆周运动的数学模型y=Asin(ωx+φ)+B.
题型一　已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例1] 如图所示是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象的一部分,求此函数的解析式.
【解】 法一(逐一定参法)　由题图知A=3,T=-(-)=π,所以ω==2,所以y=3sin(2x+φ).
因为点(-,0)在函数图象上,所以-×2+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,
所以y=3sin(2x+).
法二(待定系数法)　由题图知A=3.因为图象过点(,0)和(,0),所以
解得所以y=3sin(2x+).
法三(图象变换法)　由A=3,T=π,点(-,0)在图象上,可知函数图象由y=3sin 2x 的图象向左平移个单位长度而得,所以y=3sin 2(x+),即y=3sin(2x+).
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)逐一定参法:如果从图象中可直接确定A和ω,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”),或选取最大值点时代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z,选取最小值点时代入公式ωx+φ=+2kπ,k∈Z,求得φ.
(2)待定系数法:将若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入式子.
(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象
平移、伸缩规律确定相关的参数.
[变式训练] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则函数f(x)的最小正周期T=　　　　,函数f(x)的解析式为　　　　　　　　.
【答案】 π　f(x)=2sin(2x-)
【解析】 由题图可知函数图象过点(-,-2)和(,2),并且分别是图象上的最低点和最高点,所以可判断出A=2,T=-(-)=,所以T=π=,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),将点(,2)代入f(x)=2sin(2x+φ),可得2sin(2×+φ)=2,解得φ=-+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=-,
所以f(x)=2sin(2x-).
题型二　函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质
[例2] 已知函数f(x)=sin(2ωx-)-4sin2ωx+2(ω>0),其图象与x轴相邻的两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到的函数g(x)的图象恰好经过点(-,0),求当m取得最小值时,函数g(x)在[-,]上的单调区间.
【解】 (1)f(x)=sin(2ωx-)-4sin2ωx+2=sin 2ωx-cos 2ωx-4×+2=sin 2ωx+
cos 2ωx=sin(2ωx+),由已知函数f(x)的周期T=π,可得=π,ω=1,所以f(x)=sin(2x+).
(2)将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象,
所以g(x)=sin(2x+2m+),因为函数g(x)的图象经过点(-,0),所以sin[2×(-)+2m+]=0,即sin(2m-)=0,所以2m-=kπ,k∈Z,所以m=+,k∈Z,因为m>0,所以当k=0时,m取最小值,此时g(x)=sin(2x+).因为-≤x≤,所以≤2x+≤,当≤2x+≤或≤2x+≤,即-≤x≤-或≤x≤时,函数g(x)单调递增,当≤2x+≤,即-≤x≤时,函数g(x)单调
递减.
所以函数g(x)在[-,]上的单调增区间为[-,-],[,];单调减区间为[-,].
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
定义域 R
值域 [-A,A]
周期性 T=
对称性 对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即(,0)(k∈Z)
对称轴由ωx+φ=+kπ,k∈Z求得,即x=+(k∈Z)
奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数;其它情况为非奇非偶函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
[变式训练] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<),其图象经过M(0,),且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求f(x)的解析式.
(2)是否存在正实数m,使f(x)图象向左平移m个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数 若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)因为图象经过M(0,),所以=sin φ,因为|φ|<,所以φ=,
因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以=,所以ω=4,则f(x)=sin(4x+).
(2)设g(x)=sin[4(x+m)+]=sin(4x+4m+),因为g(x)是偶函数,所以4m+=+kπ(k∈Z),
所以m=+(k∈Z),因为m为正实数,所以mmin=.
题型三　匀速圆周运动的数学模型
[例3] 如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟逆时针转动1圈,当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的距离z(单位:m,在水面以下,z为负数)表示为时间t(单位:s)的函数;
(2)在水轮转动1圈内,有多长时间点P位于水面上方
【解】 (1)由题意可知P0(2,-2),则tan φ=-,所以取φ=-,因为水轮每分钟逆时针转动
1圈,所以t s可转动的角度为=,此时OP对应的角为-+,
所以点P的坐标为(4cos(-),4sin(-)),且点P的纵坐标加上2即为点P到水面的距离,
所以z=4sin(-)+2(t≥0).
(2)因为t∈[0,60],(-)∈[-,],令4sin(-)+2>0,所以sin(-)>-,
所以-<-<,所以0匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值,半径决定A,周期能确定ω,初始位置的不同对φ有影响,还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系.
[变式训练] 如图所示,某风车的半径为2 m,每12 s 旋转一周,它的最低点O距离地面
0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(单位:s)后与地面的距离为h(单位:m),则h与t满足的函数关系为(　　)
[A]h=sin(+)+2.5
[B]h=2sin(-)+1.5
[C]h=-2cos +2.5
[D]h=2cos +2.5
【答案】 C
【解析】 设h与t满足的函数关系为h=Asin(ωt+φ)+b(ω>0),最大值M=4.5 m,最小值m=
0.5 m,所以A==2,b==2.5,由题意知,风车每12 s旋转一周,所以T=12,所以ω==,又风车从最低点开始运动,所以函数过点(0,),则×0+φ=+2kπ(k∈Z),不妨设φ=,所以h与t满足的函数关系为h=2sin(+)+2.5=-2cos +2.5.故选C.
课时作业
(满分:65分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与最低点的距离是5,则A等于(　　)
[A]1 [B]2
[C]4 [D]8
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=Asin(x+)(A>0)的最小正周期T==6.因为函数f(x)=Asin(x+)(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与最低点的距离是5,所以=,
所以A=2.故选B.
2.已知函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,当x=时,函数取得最大值2,当x=时,函数取得最小值-2,则该函数的解析式为(　　)
[A]y=2sin(3x-)
[B]y=2sin(3x+)
[C]y=2sin(+)　
[D]y=2sin(-)
【答案】 B
【解析】 由题意知|A|=2,=-=,因为T=,由选项可知A=2,ω=3,所以此时函数为y=2sin(3x+φ),又因为该函数过点(,2),所以有2=2sin(3×+φ),解得φ=+2kπ,k∈Z,由题可知该函数的解析式为y=2sin(3x+).故选B.
3.将函数y=sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位长度,得到的函数的一个对称中心是(　　)
[A](,0)　 [B](,0)
[C](,0)　 [D](,0)
【答案】 A
【解析】 将函数y=sin(6x+)的图象按照条件变换后得到y=sin 2x的图象.令2x=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),当k=1时,x=,则所得函数的一个对称中心是(,0).故选A.
4.函数y=f(x)的部分图象如图所示,则y=f(x)的解析式为(　　)
[A]f(x)=sin(2x+)+1
[B]f(x)=sin(2x-)+1
[C]f(x)=2sin(2x+)-1
[D]f(x)=sin(2x-)-1
【答案】 A
【解析】 设f(x)=Asin(ωx+φ)+m(ω>0),由题图知,A==1,m==1,T=4×(-)=π,
ω===2,所以sin(2×+φ)+1=0,所以φ+=2kπ-,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z,可以取φ=,所以f(x)=sin(2x+)+1.故选A.
5.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象的一部分如图(1)所示,则图(2)中的函数图象对应的函数是(　　)
[A]y=f(2x-) [B]y=f(-)
[C]y=f(-1) [D]y=f(2x-1)
【答案】 D
【解析】 由题图(1)可知,T=2,所以ω==π,所以f(x)=sin πx,题图(2)可看成由题图(1)向右平移1个单位长度,得f(x-1)的图象,再将所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,得f(2x-1)的图象.故选D.
6.如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(ωx-φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象,将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,再将所得曲线向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为(　　)
[A]g(x)=2cos(-)　
[B]g(x)=2cos(2x-)　
[C]g(x)=2sin 2x　
[D]g(x)=2cos 2x
【答案】 D
【解析】 由图象可知A=2,=,则f(x)的一个最低点为(,-2),f(x)的最小正周期为T=,则ω==3,f()=2cos(3×-φ)=-2,即-φ=π+2kπ(k∈Z),所以φ=-2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2cos(3x-),将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,得y=2cos(2x-)的图象,再将所得曲线向左平移个单位长度,得y=2cos[2(x+)-]=2cos 2x的图象,
故g(x)=2cos 2x.故选D.
7.(5分)如图所示为函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象,则ω=　　　,φ=　　　.
【答案】 　
【解析】 由题图可得f(0)=,即cos φ=,又0<φ<π,所以φ=,由“五点法”可得ω+=,解得ω=.
8.(5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象,如图所示,图中阴影部分的面积为,则f(0)=　　　　.
【答案】
【解析】 根据正弦型函数图象的对称性可知,阴影部分的面积等于一个长为2,宽为θ的矩形的面积,所以2θ=,即θ=,由题图可知,函数f(x)的最小正周期T满足T=,则T=π,
又ω>0,所以ω===2,则f(x)=sin(2x+φ),因为f()=sin(2×+φ)=1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)=sin(2x+),所以f(0)=sin =.
9.关于函数y=2sin(2x+φ)(0<φ<π)有如下四个命题:
甲:该函数图象的一个对称中心为(,0);
乙:该函数在(-,)上单调递增;
丙:该函数图象的一条对称轴方程为x=-;丁:该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数.
如果只有一个假命题,则该命题是(　　)
[A]甲 [B]乙
[C]丙 [D]丁
【答案】 A
【解析】 若甲为假命题,则乙丙丁均为真命题,即函数图象的一条对称轴方程为x=-,
可得-+φ=+kπ(k∈Z),则φ=+kπ(k∈Z),因为0<φ<π,可得φ=,即y=2sin(2x+),当-2sin(2x+),该函数不是奇函数,即丁为假命题,不符合题意;若丁为假命题,则丙为真命题,函数解析式为y=2sin(2x+),则2sin(2×+)=≠0,即甲为假命题,不符合题意.故选A.
10.(多选)某摩天轮最高点距离地面高度为60 m,转盘直径为50 m,设置有24个座舱,摩天轮开启前,距地面最近的点为0号座舱,距地面最远的点为12号座舱,座舱逆时针排列且均匀分布,游客甲坐2号舱位,乙坐6号舱位,开启后按逆时针方向匀速旋转,开启后的第8 min这一时刻,游客甲和游客乙首次距离地面高度相同,游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 H m,下列说法正确的是(　　)
[A]H关于t的函数解析式为H=25sin(t-)+35
[B]开启后第20 min这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同
[C]开启后第10 min游客乙距离地面47.5 m
[D]开启后第10 min至第18 min游客甲和乙运动方向相同(上升或下降)
【答案】 BCD
【解析】 设游客甲距离地面的高度H与时间t的函数为H=Asin(ωt+φ)+B,由题意可得,
所以由开启后的第8 min 这一时刻游客甲和游客乙首次距离地面高度相同可知,摩天轮转一周需要24 min,座舱转动的速度约为 rad/min,故ω=,
则H=25sin(t+φ)+35,又当t=10时,游客甲的位置达到摩天轮最高点,
所以60=25sin(×10+φ)+35,即sin(+φ)=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,
不妨取k=0,则φ=-,故H=25sin(t-)+35,A错误;由于摩天轮匀速旋转一周需要24 min,故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时,需经历8+12=20(min),B正确;根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为Y=25sin[(t+4)-]+35=25sint+35,则开启后第 10 min 游客乙距离地面高度为25sin(×10)+35=+35=47.5(m),C正确;对于函数H=25sin(t-)+35,令2kπ+≤t-≤2kπ+,k∈Z,得24k+10≤t≤24k+22,k∈Z,所以函数H=25sin(t-)+35的单调递减区间为[24k+10,24k+22](k∈Z),当k=0时,函数H=25sin(t-)+35的单调递减区间为[10,22],所以开启后第10 min至第18 min游客甲在下降,对于函数Y=25sint+35,令2kπ+≤t≤2kπ+得24k+6≤t≤24k+18,k∈Z,所以函数Y=25sint+35的单调递减区间为[24k+6,24k+18](k∈Z),当k=0时,函数Y=25sint+35的单调递减区间为[6,18],所以开启后第10 min至第18 min游客乙也在下降,即开启后第10 min至第18 min游客甲和乙运动方向相同,D正确.故选BCD.
11.(14分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将该函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,
①求函数g(x)在区间[-,]的值域;
②求满足不等式g(x)≥的解集.
【解】 (1)由题意知A=2,-(-)==T,所以T=π.由T=,可得ω=2.
由2sin(2×+φ)=2,且-<φ<,得φ=-.所以f(x)=2sin(2x-).
(2)①将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,可得y=2sin[2(x+)-]=2sin 2x,再将图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,可得g(x)=2sin x.当x∈[-,]时,
sin x∈[-,1],
所以2sin x∈[-,2].所以函数g(x)在区间[-,]的值域为[-,2].
②由g(x)≥,得sin x≥,所以2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
所以不等式g(x)≥的解集为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.

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