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【课程标准要求】　1.通过构建三角函数模型,尝试解决物理中的简单问题.2.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.
知识归纳
知识点　函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义
在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.
其中A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;
这个简谐运动的周期是T=,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;
这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;
ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.
如果A<0或ω<0,应先利用诱导公式把函数进行标准化,把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相.比如y=-sin(2x-),应先变成y=sin[π+(2x-)]=sin(2x+).
基础自测
1.若某振动物体的函数解析式是y=3sin(x-),则该振动物体的初相是(　　)
[A]x-　　 [B]　
[C] 　 [D]-
【答案】 D
【解析】 运动物体的相位是x-,初相是-.故选D.
2.已知电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的频率是(　　)
[A] Hz [B]100 Hz
[C] Hz [D]50 Hz
【答案】 D
【解析】 因为T==,所以f==50(Hz).故选D.
3.(人教A版必修第一册P248练习T1改编)下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,由乙点开始经过周期后,与图中哪个点相同(　　)
[A]甲 [B]戊 [C]丙 [D]丁
【答案】 D
【解析】 因为最小值和最大值之间的横坐标相差周期,而乙在最低点,所以经过周期后,乙点与丁点相同.故选D.
4.若某路口每分钟的车流量满足函数F(t)=10sin(t-)+20,t∈[0,+∞),则车流量最大时,每分钟经过该路口的车辆数为　　　　.
【答案】 30
【解析】 因为F(t)=10sin(t-)+20,所以F(t)max=10+20=30.
题型一　三角函数在物理中的应用
[例1] 如图,一台发电机产生的电流是正弦式电流,即电压U(单位:V)和时间t(单位:s)满足U=311sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<).在一个周期内,电压的绝对值超过的时间为　　　　 s.
【答案】
【解析】 由已知得T=0.02,所以ω==100π,φ=0,所以U=311sin 100πt.在区间[0,0.02]内,令311sin 100πt=,得100πt=或100πt=,可得t1=,t2==;同理令311sin 100πt=-,可得t3=,t4=.
综上,电压的绝对值超过的时间为2×(-)=(s).
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
[变式训练] 如图,一根长l(单位:cm)的线,一端固定,另一端悬挂一个小钢球,当小钢球做单摆运动时,离开平衡位置的位移S(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系可近似的表示为S=3cos(t+),t∈[0,+∞),其中g≈1 000 cm/s2,π≈3.14.
(1)当t=0时,小钢球离开平衡位置的位移S是多少厘米
(2)要使小钢球摆动的周期是1 s,则线的长度l应该为多少厘米 (精确到0.1 cm)
【解】 (1)在函数S=3cos(t+),t∈[0,+∞)中,当t=0时,S=3cos =1.5,所以当t=0时,小钢球离开平衡位置的位移S=1.5 cm.
(2)依题意,ω=,而周期T=,又T=1,则ω=2π,即=2π,解得l=≈≈25.4(cm),所以线的长度l应该为 25.4 cm.
题型二　三角函数在生活中的应用
[例2] 某地区的一种特产水果最早一批在每年十一月份上市,上市初期产量较低,因此价格居高且逐渐上涨,中期产量增大时价格逐渐下跌,后期又由于供应量不足价格上涨,其销售价格f(x)(单位:元/kg)随着月份x的变化满足函数f(x)=Asin(x-)+B(x∈[1,10],x∈N*,其中1表示十一月份,2表示十二月份,…),经调查统计,一月份该水果的平均销售价格为
10元/kg,五月份该水果的平均销售价格为6元/kg.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若该水果价格小于7元/kg时,果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道,则每年哪几个月份需要采取外销策略
【解】 (1)由题意可得,
解得所以f(x)=2sin(x-)+8.
(2)令f(x)=2sin(x-)+8<7,即sin(x-)<-,则2kπ+解得8k+因此每年四月份、五月份、六月份这三个月份需要采取外销策略.
解三角函数应用问题的基本步骤
[变式训练] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:时)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin(t+),t∈[0,24].
(1)求实验室这一天的最大温差;
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温
【解】 (1)因为f(t)=10-2sin(t+),t∈[0,24],所以≤t+≤,即-1≤sin(t+)≤1,
当t=2时,sin(t+)=1;当t=14时,sin(t+)=-1,所以f(t)在[0,24]上的最大值为12,最小值
为8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.
(2)依题意得,当f(t)>11时实验室需要降温,故有10-2sin(t+)>11,即sin(t+)<-.
又0≤t≤24,所以题型三　三角函数“拟合”模型的应用
[例3] 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:m)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
(1)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=cos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8 m时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
【解】 (1)把题表中的数据在坐标系内描出,如图所示,由所描点知,应选择模型y=Asin(ωt+φ)+b,
令A>0,ω>0,|φ|<π,依题意,函数的最大值为1.4,最小值为0.6,周期为T=12,
则A==,b==1,ω==,于是y=sin(t+φ)+1,代入点(3,1.4),
得sin(+φ)+1=0.4cos φ+1=1.4,即cos φ=1,则φ=2kπ,k∈Z,又|φ|<π,因此φ=0,
所以该模型的解析式为y=sint+1(0≤t≤24).
(2)令y=sin t+1≥0.8,得sin t≥-,则-+2kπ≤t≤+2kπ,k∈Z,解得-1+12k≤t≤7+12k,k∈Z,而0≤t≤24,当k=0时,-1≤t≤7,则0≤t≤7;当k=1时,11≤t≤19,则11≤t≤19;当k=2时,23≤t≤31,
则23≤t≤24,因此0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24,
依题意,应在白天11时到19时之间训练较恰当.
当处理曲线拟合与预测问题时,通常需要以下几个步骤:
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
[变式训练] 下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时):
时间/时 0 2 4 6 8 10 12
温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间/时 14 16 18 20 22 24 —
温度/℃ 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 —
(1)作出这些数据的散点图;
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.
【解】 (1)散点图如图所示.
(2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c,由表知ymax=37.4,ymin=36.6,
则c==37,A==0.4,ω===.
由0.4sin(×16+φ)+37=37.4,得sin(+φ)=1,即+φ=2kπ+,k∈Z,则φ=2kπ-,k∈Z,
取φ=-,
故可用三角函数y=0.4sin(t-)+37来近似描述这些数据.
课时作业
(满分:65分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.简谐运动f(x)=2sin(x+φ)(|φ|<)的图象经过点P(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
[A]T=6,φ=　 [B]T=6,φ=
[C]T=6π,φ= [D]T=6π,φ=
【答案】 A
【解析】 由周期公式知T==6,当x=0时,由y=2sin φ=1及|φ|<,得φ=.故选A.
2.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器,如图(1)所示,各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt,t∈[0,+∞).图(2)是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为(　　)
[A]200 [B]400
[C]200π [D]400π
【答案】 D
【解析】 由题图(2)可得,T=4×=,即=,则ω=400π.故选D.
3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针位置P(x,y).若初始位置为P0(,),则当秒针从P0(此时t=0)开始时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　)
[A]y=sin(t+),t∈[0,+∞)
[B]y=sin(-t-),t∈[0,+∞)
[C]y=sin(-t+),t∈[0,+∞)　
[D]y=sin(-t-),t∈[0,+∞)
【答案】 C
【解析】 由题意可得T=60且秒针按顺时针旋转,即T==60,所以|ω|=,即ω=-.结合初始位置P0(,),可知C正确.故选C.
4.如图,某港口某天从6时到18时的水深y(单位:m)与时间x(单位:时)之间的关系可用函数f(x)=Asin(ωx+φ)+5(A>0,ω>0,|φ|<)近似刻画,据此可估计当天12时的水深为(　　)
[A] m [B]4 m
[C](5-) m [D](5-) m
【答案】 A
【解析】 由题图可得=18-6=12,则ω=,当sin(ωx+φ)=-1时,f(x)取得最小值,为-A+5=2,得A=3,因为函数f(x)=3sin(x+φ)+5的图象过点(6,),所以3sin(×6+φ)+5=,即sin φ=-,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=3sin(x-)+5.当x=12时,f(x)=3sin(2π-)+5=-+5=.故选A.
5.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,
点P所经过的 的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设所对圆心角为θ,由|OA|=1,得l=θ,sin =,所以d=2sin =2sin ,
即d=f(l)=2sin (0≤l≤2π),它的图象为C.故选C.
6.(多选)单摆运动是用一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点,在重力作用下在铅垂平面内做周期运动.已知某单摆运动的振幅为2,单摆离开平衡位置的位移y(单位:cm)和时间t(单位:s)近似满足函数关系f(t)=Asin(ωt-φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0),其部分图象如图所示,则(　　)
[A]该单摆运动的周期为3π
[B]该单摆运动的初相为
[C]当时间t=时,该单摆运动的单摆离开平衡位置的位移的大小为
[D]该单摆运动在时间t∈(0,)上f(t)随着t的增大而增大
【答案】 ABC
【解析】 由题图知=π-,则T=3π,故A正确;由单摆运动的振幅为2,得A=2,由3π=,解得|ω|=,又ω>0,所以ω=,所以f(t)=2sin(t-φ),易得函数图象过点(,2),则×-φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=--2kπ,k∈Z,又-π<φ<0,所以φ=-,即f(t)=2sin(t+),故该单摆运动的初相为,故B正确;f()=2sin(×+)=2sin =,故C正确;因为该单摆运动的运动位移与时间近似满足的函数关系式为f(t)=2sin(t+),当t∈(0,)时,由f(t)的图象知f(t)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,故D错误.故选ABC.
7.(5分)右图为一个钟摆的示意图,其中OA是钟摆能向左摆动的最大位置,角θ为钟摆在运动过程中与OA的夹角,已知θ与时间t(单位:s)满足函数关系式θ=sin(ωt+φ),ω>0,|φ|≤,且频率为,从θ最大处开始计时,则该函数的初相为　　　 　.
【答案】
【解析】 因为频率f==,即T=π,所以ω=2,故θ=sin(2t+φ),由已知可得当t=0时,
θ=sin(2×0+φ)=,解得φ=,该函数的初相为.
8.(5分)在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球,它们做上、下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)时离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由下列两式确定:s1=5sin(2t+),s2=5cos(2t-).则当时间t=时,s1　　s2.(用“>”“<”“=”作答)
【答案】 =
【解析】 当t=时,s1=5sin(2×+)=5sin =-5,s2=5cos(2×-)=5cos π=-5,所以s1=s2.
9.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式,其瞬时电流i(单位:A)与时间t
(单位:s)满足函数关系式:i=Imsin(ωt+φ0)(其中Im为供电的最大电流,单位:A;ω表示角频率,单位:rad/s;φ0为初始相位),该三相交流电的频率f(单位:Hz)与周期T(单位:s)满足关系式f·T=1.某实验室使用5 Hz的三相交流电,经仪器测得在t=0.05 s与t=0.2 s的瞬时电流之比为,且当t=1 s时的瞬时电流恰好为1 A,若φ0∈(0,),则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为(　　)
[A]2 A [B] A
[C]3 A [D]2.5 A
【答案】 A
【解析】 由题意f=5,所以T=,=,所以ω=10π,从而i=Imsin(10πt+φ0).因为在t=0.05 s与t=0.2 s的瞬时电流之比为,所以Imsin(10π×0.05+φ0)=Imsin(10π×0.2+φ0),
所以sin(+φ0)=sin(2π+φ0),所以cos φ0=sin φ0,即tan φ0=,因为φ0∈(0,),所以φ0=,从而i=Im·sin(10πt+).因为在t=1 s时的瞬时电流恰好为1 A,所以1=Imsin(10π+),
即1=Imsin ,解得Im=2.故选A.
10.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦,也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔,它的振幅就变化一次.如图所示,某一条“葫芦曲线”的方程为|y|=(2-[])|sin ωx|,
x≥0,其中[x]表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足ω∈(1,3),且经过点M(,).则该条“葫芦曲线”与直线x=交点的纵坐标为(　　)
[A]± [B]±
[C]± [D]±1
【答案】 C
【解析】 将点M(,)代入“葫芦曲线”的方程可得(2-[])|sin ω|=,即|sin ω|=1,
由ω∈(1,3)可得ω=2,因此曲线方程为|y|=(2-[])·|sin 2x|,当x=时,
可得|y|=(2-[])|sin 2×|=(2-[])·|sin |=|sin |=,所以交点的纵坐标为±.故选C.
11.(14分)主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示),已知某噪声声波曲线f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0≤φ<π),其振幅为2,且经过点(1,-2).
(1)求该噪声声波曲线f(x)的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g(x)的解析式;
(2)证明:g(x)+g(x+1)+g(x+2)为定值.
(1)【解】 由振幅为2,A>0,可得A=2,f(x)=2sin(x+φ),由噪声声波曲线经过点(1,-2),
得-2=2sin(+φ) sin(+φ)=-1,而0≤φ<π,+φ∈[,),则+φ= φ=,
则f(x)=2sin(x+),又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反,
所以g(x)=2sin(-x-),即g(x)=-2sin(x+).
(2)【证明】 由(1)可得g(x)=-2sin(x+)=-2sin(x++)=-2cos(x+),
则g(x)+g(x+1)+g(x+2)=-2cos(x+)-2cos(x+π)-2cos(x++π)=-2cos(x+)+
2cos x+2cos(x+)=-2(cos x·-sin x·)+2cos x+2[cos x·(-)-sin x·]=
-cos x+sin x+2cos x-cos x-sin x=0,即g(x)+g(x+1)+g(x+2)为定值0.(共31张PPT)
5.7 三角函数的
应用
1.通过构建三角函数模型,尝试解决物理中的简单问题.2.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义
知识归纳
在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.
振幅
初相
·疑难解惑·
基础自测
D
2.已知电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的频率是(　　)
D
D
[A]甲 [B]戊 [C]丙 [D]丁
30
关键能力·素养培优
题型一　三角函数在物理中的应用
·解题策略·
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
(1)当t=0时,小钢球离开平衡位置的位移S是多少厘米
(2)要使小钢球摆动的周期是1 s,则线的长度l应该为多少厘米 (精确到0.1 cm)
题型二　三角函数在生活中的应用
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若该水果价格小于7元/kg时,果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道,则每年哪几个月份需要采取外销策略
·解题策略·
解三角函数应用问题的基本步骤
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温
题型三　三角函数“拟合”模型的应用
[例3] 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y
(单位:m)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
(1)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=cos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8 m时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
·解题策略·
当处理曲线拟合与预测问题时,通常需要以下几个步骤:
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
[变式训练] 下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时):
时间/时 0 2 4 6 8 10 12
温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间/时 14 16 18 20 22 24 —
温度/℃ 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 —
(1)作出这些数据的散点图;
【解】 (1)散点图如图所示.
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.
感谢观看【课程标准要求】　1.通过构建三角函数模型,尝试解决物理中的简单问题.2.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.
知识归纳
知识点　函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义
在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.
其中A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;
这个简谐运动的周期是T=,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;
这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;
ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.
如果A<0或ω<0,应先利用诱导公式把函数进行标准化,把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相.比如y=-sin(2x-),应先变成y=sin[π+(2x-)]=sin(2x+).
基础自测
1.若某振动物体的函数解析式是y=3sin(x-),则该振动物体的初相是(　　)
[A]x-　　 [B]　
[C] 　 [D]-
2.已知电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的频率是(　　)
[A] Hz [B]100 Hz
[C] Hz [D]50 Hz
3.(人教A版必修第一册P248练习T1改编)下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,由乙点开始经过周期后,与图中哪个点相同(　　)
[A]甲 [B]戊 [C]丙 [D]丁
4.若某路口每分钟的车流量满足函数F(t)=10sin(t-)+20,t∈[0,+∞),则车流量最大时,每分钟经过该路口的车辆数为　　　　.
题型一　三角函数在物理中的应用
[例1] 如图,一台发电机产生的电流是正弦式电流,即电压U(单位:V)和时间t(单位:s)满足U=311sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<).在一个周期内,电压的绝对值超过的时间为　　　　 s.
综上,电压的绝对值超过的时间为2×(-)=(s).
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
[变式训练] 如图,一根长l(单位:cm)的线,一端固定,另一端悬挂一个小钢球,当小钢球做单摆运动时,离开平衡位置的位移S(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系可近似的表示为S=3cos(t+),t∈[0,+∞),其中g≈1 000 cm/s2,π≈3.14.
(1)当t=0时,小钢球离开平衡位置的位移S是多少厘米
(2)要使小钢球摆动的周期是1 s,则线的长度l应该为多少厘米 (精确到0.1 cm)
(2)依题意,ω=,而周期T=,又T=1,则ω=2π,即=2π,解得l=≈≈25.4(cm),所以线的长度l应该为 25.4 cm.
题型二　三角函数在生活中的应用
[例2] 某地区的一种特产水果最早一批在每年十一月份上市,上市初期产量较低,因此价格居高且逐渐上涨,中期产量增大时价格逐渐下跌,后期又由于供应量不足价格上涨,其销售价格f(x)(单位:元/kg)随着月份x的变化满足函数f(x)=Asin(x-)+B(x∈[1,10],x∈N*,其中1表示十一月份,2表示十二月份,…),经调查统计,一月份该水果的平均销售价格为
10元/kg,五月份该水果的平均销售价格为6元/kg.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若该水果价格小于7元/kg时,果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道,则每年哪几个月份需要采取外销策略
解得所以f(x)=2sin(x-)+8.
(2)令f(x)=2sin(x-)+8<7,即sin(x-)<-,则2kπ+解得8k+因此每年四月份、五月份、六月份这三个月份需要采取外销策略.
解三角函数应用问题的基本步骤
[变式训练] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:时)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin(t+),t∈[0,24].
(1)求实验室这一天的最大温差;
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温
当t=2时,sin(t+)=1;当t=14时,sin(t+)=-1,所以f(t)在[0,24]上的最大值为12,最小值
为8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.
(2)依题意得,当f(t)>11时实验室需要降温,故有10-2sin(t+)>11,即sin(t+)<-.
又0≤t≤24,所以题型三　三角函数“拟合”模型的应用
[例3] 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:m)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
(1)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=cos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8 m时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
令A>0,ω>0,|φ|<π,依题意,函数的最大值为1.4,最小值为0.6,周期为T=12,
则A==,b==1,ω==,于是y=sin(t+φ)+1,代入点(3,1.4),
得sin(+φ)+1=0.4cos φ+1=1.4,即cos φ=1,则φ=2kπ,k∈Z,又|φ|<π,因此φ=0,
所以该模型的解析式为y=sint+1(0≤t≤24).
(2)令y=sin t+1≥0.8,得sin t≥-,则-+2kπ≤t≤+2kπ,k∈Z,解得-1+12k≤t≤7+12k,k∈Z,而0≤t≤24,当k=0时,-1≤t≤7,则0≤t≤7;当k=1时,11≤t≤19,则11≤t≤19;当k=2时,23≤t≤31,
则23≤t≤24,因此0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24,
依题意,应在白天11时到19时之间训练较恰当.
当处理曲线拟合与预测问题时,通常需要以下几个步骤:
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
[变式训练] 下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时):
时间/时 0 2 4 6 8 10 12
温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间/时 14 16 18 20 22 24 —
温度/℃ 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 —
(1)作出这些数据的散点图;
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.
(2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c,由表知ymax=37.4,ymin=36.6,
则c==37,A==0.4,ω===.
由0.4sin(×16+φ)+37=37.4,得sin(+φ)=1,即+φ=2kπ+,k∈Z,则φ=2kπ-,k∈Z,
取φ=-,
故可用三角函数y=0.4sin(t-)+37来近似描述这些数据.
课时作业
(满分:65分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.简谐运动f(x)=2sin(x+φ)(|φ|<)的图象经过点P(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
[A]T=6,φ=　 [B]T=6,φ=
[C]T=6π,φ= [D]T=6π,φ=
2.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器,如图(1)所示,各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt,t∈[0,+∞).图(2)是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为(　　)
[A]200 [B]400
[C]200π [D]400π
3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针位置P(x,y).若初始位置为P0(,),则当秒针从P0(此时t=0)开始时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　)
[A]y=sin(t+),t∈[0,+∞)
[B]y=sin(-t-),t∈[0,+∞)
[C]y=sin(-t+),t∈[0,+∞)　
[D]y=sin(-t-),t∈[0,+∞)
4.如图,某港口某天从6时到18时的水深y(单位:m)与时间x(单位:时)之间的关系可用函数f(x)=Asin(ωx+φ)+5(A>0,ω>0,|φ|<)近似刻画,据此可估计当天12时的水深为(　　)
[A] m [B]4 m
[C](5-) m [D](5-) m
5.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,
点P所经过的 的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
即d=f(l)=2sin (0≤l≤2π),它的图象为C.故选C.
6.(多选)单摆运动是用一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点,在重力作用下在铅垂平面内做周期运动.已知某单摆运动的振幅为2,单摆离开平衡位置的位移y(单位:cm)和时间t(单位:s)近似满足函数关系f(t)=Asin(ωt-φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0),其部分图象如图所示,则(　　)
[A]该单摆运动的周期为3π
[B]该单摆运动的初相为
[C]当时间t=时,该单摆运动的单摆离开平衡位置的位移的大小为
[D]该单摆运动在时间t∈(0,)上f(t)随着t的增大而增大
7.(5分)右图为一个钟摆的示意图,其中OA是钟摆能向左摆动的最大位置,角θ为钟摆在运动过程中与OA的夹角,已知θ与时间t(单位:s)满足函数关系式θ=sin(ωt+φ),ω>0,|φ|≤,且频率为,从θ最大处开始计时,则该函数的初相为　　　 　.
θ=sin(2×0+φ)=,解得φ=,该函数的初相为.
8.(5分)在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球,它们做上、下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)时离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由下列两式确定:s1=5sin(2t+),s2=5cos(2t-).则当时间t=时,s1　　s2.(用“>”“<”“=”作答)
9.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式,其瞬时电流i(单位:A)与时间t
(单位:s)满足函数关系式:i=Imsin(ωt+φ0)(其中Im为供电的最大电流,单位:A;ω表示角频率,单位:rad/s;φ0为初始相位),该三相交流电的频率f(单位:Hz)与周期T(单位:s)满足关系式f·T=1.某实验室使用5 Hz的三相交流电,经仪器测得在t=0.05 s与t=0.2 s的瞬时电流之比为,且当t=1 s时的瞬时电流恰好为1 A,若φ0∈(0,),则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为(　　)
[A]2 A [B] A
[C]3 A [D]2.5 A
所以sin(+φ0)=sin(2π+φ0),所以cos φ0=sin φ0,即tan φ0=,因为φ0∈(0,),所以φ0=,从而i=Im·sin(10πt+).因为在t=1 s时的瞬时电流恰好为1 A,所以1=Imsin(10π+),
即1=Imsin ,解得Im=2.故选A.
10.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦,也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔,它的振幅就变化一次.如图所示,某一条“葫芦曲线”的方程为|y|=(2-[])|sin ωx|,
x≥0,其中[x]表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足ω∈(1,3),且经过点M(,).则该条“葫芦曲线”与直线x=交点的纵坐标为(　　)
[A]± [B]±
[C]± [D]±1
由ω∈(1,3)可得ω=2,因此曲线方程为|y|=(2-[])·|sin 2x|,当x=时,
可得|y|=(2-[])|sin 2×|=(2-[])·|sin |=|sin |=,所以交点的纵坐标为±.故选C.
11.(14分)主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示),已知某噪声声波曲线f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0≤φ<π),其振幅为2,且经过点(1,-2).
(1)求该噪声声波曲线f(x)的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g(x)的解析式;
(2)证明:g(x)+g(x+1)+g(x+2)为定值.
得-2=2sin(+φ) sin(+φ)=-1,而0≤φ<π,+φ∈[,),则+φ= φ=,
则f(x)=2sin(x+),又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反,
所以g(x)=2sin(-x-),即g(x)=-2sin(x+).
则g(x)+g(x+1)+g(x+2)=-2cos(x+)-2cos(x+π)-2cos(x++π)=-2cos(x+)+
2cos x+2cos(x+)=-2(cos x·-sin x·)+2cos x+2[cos x·(-)-sin x·]=
-cos x+sin x+2cos x-cos x-sin x=0,即g(x)+g(x+1)+g(x+2)为定值0.

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