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章末复习提升
题型一　同角三角函数的基本关系式和诱导公式
1.(1)两个基本关系式:sin2α+cos2α=1及=tan α.
(2)诱导公式:可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.
2.主要考查角度:(1)角的概念及其表示;(2)三角函数的定义及其应用;(3)扇形的弧长及面积公式;(4)同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式.
3.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例1] (2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则(　　)
[A]甲是乙的充分条件但不是必要条件
[B]甲是乙的必要条件但不是充分条件
[C]甲是乙的充要条件
[D]甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
“sin α+cos β=0”;当sin α+cos β=0时,sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,即“sin α+cos β=0”能推出“sin2α+sin2β=1”.综上可知,甲是乙的必要不充分条件.故选B.
[跟踪训练] (1)(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
(2)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　,cos 2β=　　　　.
且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1,解得sin θ=或sin θ=-(舍去),
所以sin θ-cos θ=sin θ-2sin θ=-sin θ=-.
(2)法一(利用辅助角公式和诱导公式)　因为α+β=,所以sin β=cos α,即3sin α-cos α=,即(sin α-cos α)=,令sin θ=,cos θ=,则sin(α-θ)=,
所以α-θ=+2kπ,k∈Z,即α=θ++2kπ,k∈Z,所以sin α=sin(θ++2kπ)=cos θ=,
则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.
法二(直接用同角三角函数关系式解方程)　因为α+β=,所以sin β=cos α,
即3sin α-cos α=,又sin2α+cos2α=1,将cos α=3sin α-代入得10sin2α-6sin α+9=0,解得sin α=,则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.
题型二　三角函数的图象与性质
1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,在研究三角函数的性质时,将ωx+φ看成一个整体,利用整体代换思想解题是常见的技巧.
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
(1)“五点法”作图;(2)图象伸缩、平移变换.
3.掌握三角函数的图象和性质,重点培养直观想象和数学运算的核心素养.
[典例2] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)的交点个数为(　　)
[A]3 [B]4 [C]6 [D]8
(2)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有(　　)
[A]f(x)与g(x)有相同的零点
[B]f(x)与g(x)有相同的最大值
[C]f(x)与g(x)有相同的最小正周期
[D]f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
由图可知,两函数图象有6个交点.故选C.
(2)A选项,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)的零点,令g(x)=sin(2x-)=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)的零点,显然f(x),g(x)的零点不同,A选项错误;B选项,显然f(x)max=g(x)max=1,B选项正确;C选项,根据周期公式,f(x),g(x)的最小正周期均为=π,C选项正确;D选项,根据正弦函数的性质,f(x)的对称轴满足2x=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,g(x)的对称轴满足2x-=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,D选项错误.故选BC.
[跟踪训练] (1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f(-)=(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.
(2)设A(x1,),B(x2,),由|AB|=可得x2-x1=,令wx+φ=t,由sin t=可知,t=+2kπ,k∈Z或t=+2kπ,k∈Z,由题图可知,ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,所以ω=4.
因为f()=sin(+φ)=0,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.
所以f(x)=sin(4x-+kπ)=sin(4x-+kπ),k∈Z,所以f(x)=sin(4x-)或f(x)=-sin(4x-),
又因为f(0)<0,所以f(x)=sin(4x-),所以f(π)=sin(4π-)=-.
题型三　三角函数的图象变换
1.由函数y=sin x的图象得到函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有两种途径:先平移再伸缩;先伸缩再平移.这两种途径的区别是平移的单位长度不同,其余参数不受影响.若相应变换的函数名称不同时,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移或伸缩变换.
2.对于函数y=Asin(ωx+φ)+h,应明确A,ω决定“形变”,φ,h决定“位变”,A影响值域,ω影响周期,A,ω,φ影响单调性.针对x的变换,即变换多少个单位长度,向左或向右很容易出错,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.
[典例3] (1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2)(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
(2)因为y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度所得图象的函数解析式为y=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=-sin 2x,所以f(x)=-sin 2x,而y=x-显然过(0,-)与(1,0)两点,作出y=f(x)与y=x-的部分大致图象,如图所示.
考虑2x=-,2x=,2x=,即x=-,x=,x=处f(x)与y=x-的大小关系.
当x=-时,f(-)=-sin(-)=-1,y=×(-)-=-<-1;
当x=时,f()=-sin =1,y=×-=<1;
当x=时,f()=-sin =1,y=×-=>1.
所以由图可知,y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为3.故选C.
[跟踪训练]为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+)图象上所有的点(　　)
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
题型四　三角恒等变换
1.熟练掌握两角和与差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是进行三角函数式化简、求值的关键,注意公式的逆用与变形用.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变成“已知角”.
2.在进行三角恒等变换时,既要注意运用切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化,角的代换的运用,还要注意一般的数学思想方法如换元法的运用.
[典例4] (1)(2024·全国甲卷)已知=,则tan(α+)等于(　　)
[A]2+1 [B]2-1
[C] [D]1-
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)等于(　　)
[A]-3m [B]- [C] [D]3m
(2)因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin αsin β=m,而tan αtan β=2,
所以sin αsin β=2cos αcos β,故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,
从而sin αsin β=-2m,故cos(α-β)=-3m.故选A.
[跟踪训练] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.
(2)法一　由题意得tan(α+β)===-2,
因为α∈(2kπ,2kπ+),β∈(2mπ+π,2mπ+),k,m∈Z,则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,
m∈Z,又因为tan(α+β)=-2<0,所以α+β∈((2m+2k)π+,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,
则sin(α+β)<0,则=-2,联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-.
法二　因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos α>0,cos β<0,
cos α==,cos β==,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=
cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β=
=
=
=-.
题型五　三角函数的综合应用
1.三角函数的综合问题,常以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
2.熟练运用两个换元(整体思想),一是设ωx+φ=t,二是设sin(ωx+φ)=t(或Acos(ωx+φ)=t).
[典例5] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2()-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且函数f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式及单调递减区间.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈[-,]时,求函数g(x)的值域.
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在x∈[,]上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值.
因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为,所以T=π,可得ω=2,又由函数f(x)为奇函数,
可得f(0)=2sin(φ-)=0,所以φ-=kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=,所以函数f(x)=2sin 2x.
令2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin(2x-)的图象,再把横坐标缩短为原来的,得到函数y=g(x)=2sin(4x-)的图象,当x∈[-,]时,4x-∈[-,],当4x-=-时,函数g(x)取得最小值,最小值为-2,当4x-=时,函数g(x)取得最大值,最大值为,故函数g(x)的值域为[-2,].
(3)由方程g(x)=,得2sin(4x-)=,即sin(4x-)=,由x∈[,],可得4x-∈[,5π],设θ=4x-,
θ∈[,5π],即sin θ=,结合正弦函数y=sin θ的图象,如图所示,
可得方程sin θ=在区间[,5π]上有5个解,即n=5,
其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π,θ4+θ5=9π,
即4x1-+4x2-=3π,4x2-+4x3-=5π,4x3-+4x4-=7π,4x4-+4x5-=9π,
解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=,
所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=.
[跟踪训练] 已知函数f(x)=sin 2xcos φ-cos 2xcos(+φ)(0<|φ|<),对 x∈R,有f(x)≤|f()|.
(1)求φ的值及f(x)的单调递增区间.
(2)若x0∈[0,],f(x0)=,求sin 2x0.
(3)将函数y=f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后,再将所得图象上的所有点纵坐标保持不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象.若 x∈[0,π],g(x)+sin 2x≤2m2-3m,求实数m的取值范围.
所以f(x)=sin(2x-),由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)由x0∈[0,],f(x0)=,f(x)=sin(2x-),可得2x0-∈[-,],sin(2x0-)=,所以cos(2x0-)=,
所以sin 2x0=sin[(2x0-)+]=sin(2x0-)cos +cos(2x0-)sin =.
(3)将函数y=f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数y=sin[2(x-)-]=sin(2x-)的图象,进而可得函数g(x)=sin(x-)的图象,
令h(x)=sin(x-)+sin 2x=sin x-cos x+2sin xcos x,x∈[0,π],
只需h(x)min≤2m2-3m,令t=sin x-cos x=sin(x-),因为x∈[0,π],
所以x-∈[-,],所以t∈[-1,],
因为t2=(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x,
可得2sin xcos x=1-t2,
所以y=t+1-t2=-+,
因为t∈[-1,],
所以当t=-1时,h(x)min=-1,
所以2m2-3m≥-1,即(2m-1)(m-1)≥0,
解得m≤或m≥1.
所以实数m的取值范围为(-∞,]∪[1,+∞).
第五章　章末检测卷
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.tan 420°等于(　　)
[A]- [B]
[C] [D]-
2.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若角α终边上有一点P(2,y),
且sin α=-,则y等于(　　)
[A]1 [B]-1
[C]±1 [D]2
3.已知θ是第四象限角,且sin θ=-,则等于(　　)
[A] [B]-
[C] [D]-
4.若函数f(x)=tan(ωx-)(ω>0)图象的两个对称中心的最短距离为,则f()的值为(　　)
[A]2- [B]-2
[C]2+ [D]-2-
则f()=tan(-)==2-.故选A.
5.已知sin(-x)=-,且0[A] [B]
[C]- [D]
所以cos(-x)=,
则cos(+x)=cos[-(-x)]=cos cos(-x)+sin sin(-x)=-×-×=-.
故选C.
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+
f(2 025)等于(　　)
[A] [B]0
[C]+2 [D]-2
f(2)=-f(6)=2,f(4)=f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=253×
[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]+f(1)=0+=.故选A.
7.若函数f(x)=sin x+acos x的图象关于直线x=-对称,则函数g(x)=asin x+cos x图象的一条对称轴为(　　)
[A]x= [B]x=
[C]x= [D]x=
即-+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=+kπ(k∈Z),当k=-1时,φ=-,
g(x)=asin x+cos x=cos(x-φ)(tan φ=a),所以令x-φ=nπ(n∈Z),即x+=nπ(n∈Z),解得x=-+nπ(n∈Z),所以函数g(x)的对称轴为直线x=-+nπ(n∈Z),当n=1时,x=.故选C.
8.已知α∈(0,),β∈(0,),且sin(2α+β)+2sin 2αcos β=3sin β,则cos β的最小值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
cos 2αtan β=3tan β,则tan β====,因为α∈(0,),所以
tan α∈(0,),则2tan α+≥2,当且仅当tan α=时,等号成立,从而tan β≤=,
又β∈(0,),所以当tan β取得最大值时,cos β取得最小值,且最小值为.故选B.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列四个命题正确的是(　　)
[A]若tan α<0且sin α>0,则α为第二象限角　
[B]将分针拨快15 min,则分针转过的角度为
[C]cos [D]f(x)=sin x+cos 2x的图象关于直线x=对称
cos(2π-2x)=sin x+cos 2x=f(x),因此f(x)=sin x+cos 2x的图象关于直线x=对称,D正确.
故选ACD.
10.已知α,β∈(0,),tan 2α=-,tan(α+β)=7,则以下说法正确的是(　　)
[A]tan α=2 [B]tan β=
[C]β=α+ [D]β=α-
tan α=-(舍去),故A正确;由tan(α+β)==7,又tan α=2,解得tan β=,故B正确;由A,B可得tan(α-β)==1,且α-β∈(-,),所以α-β=,即β=α-,故C错误,D正确.
故选ABD.
11.已知函数f(x)=cos(ωx-)(ω>0),则下列说法正确的是(　　)
[A]若将f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象与原图象重合,则ω的最小值为4
[B]若f()=f(),则ω的最小值为1
[C]若f(x)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围为[,]
[D]若f(x)在(,π)上无零点,则ω的取值范围为[,]
令k=0,可得ω的取值范围为[,],故C正确;若f(x)在(,π)上无零点,则
k∈Z,解得2k-≤ω≤k+,k∈Z,令k=0,可得ω的取值范围为(0,],令k=1,可得ω的取值范围为[,],故ω的取值范围为(0,)∪[,],故D错误.故选BC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知扇形的圆心角为2 rad,扇形的周长为8 cm,则扇形的面积为　　　　 cm2.
13.已知α∈[0,2π),若点(sin α-cos α,tan α-sin α)在第一象限,则α的取值范围是　　　　.
可知角α不为轴线角,若α∈(0,),则sin α,cos α∈(0,1),可得tan α-sin α=sin α(-1)>0,
且sin α-cos α>0,则tan α>1,可得α∈(,);若α∈(,π),则sin α>0,tan α<0,可得tan α-sin α<0,不符合题意;若α∈(π,),则tan α>0,sin α<0,cos α<0,可得tan α-sin α>0,且sin α-cos α>0,
则tan α<1,可得α∈(π,);若α∈(,2π),则sin α<0,cos α>0,可得sin α-cos α<0,不符合题意.
综上,α的取值范围是(,)∪(π,).
14.已知f(x)=sin(x+)cos x+sin(2x+)-,若af(x-)-f(x+)≥2对任意的x∈[,]恒成立,则a的取值范围是　　　　.
sin xcos x+cos2x+sin(2x+)-=sin 2x+(1+cos 2x)+sin(2x+)-=sin 2x+cos 2x+
sin(2x+)=sin(2x+)+sin(2x+)=sin(2x+),
所以af(x-)-f(x+)=asin x-cos 2x≥2,因为x∈[,],所以sin x>0,所以a≥对任意的x∈[,]恒成立,只需要a≥()max(x∈[,])即可.
设y===-2sin x,令t=sin x,t∈[,1],因为y=-2t在[,1]上单调递减,
所以当t=时,y取得最大值5,所以a≥5,所以a的取值范围是[5,+∞).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知α是第二象限角.
(1)化简-;
(2)若=,求sin2α-3sin αcos α-2cos2α的值.
所以-=-=-
=-==-2tan α.
(2)由=,得3sin α=-4cos α,所以tan α=-,
所以sin2α-3sin αcos α-2cos2α=
=
==.
16.(15分)已知函数f(x)=2sin(2x+).
(1)填写下表,并用“五点法”画出函数f(x)=2sin(2x+)在一个周期上的图象;
x -
2x+ π 2π
f(x) 0 2 0 0
(2)解不等式≤1.
x -
2x+ 0 π 2π
f(x) 0 2 0 -2 0
描点,连线得到图象如下.
(2)由≤1,得0≤f(x)≤1,所以0≤sin(2x+)≤,
则2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z或+2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤kπ,k∈Z或+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以≤1的解集为[-+kπ,kπ]∪[+kπ,+kπ](k∈Z).
17.(15分)已知函数f(x)=6cos x·sin(x-)+.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)若函数y=f(x)-a在x∈[,]上存在零点,求实数a的取值范围.
(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x=3(sin 2x-cos 2x)=3sin(2x-),
所以函数f(x)的最小正周期为=π.
(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(3)因为函数y=f(x)-a在x∈[,]上存在零点,即方程sin(2x-)=在x∈[,]上有解,所以实数的取值范围即为函数y=sin(2x-)在x∈[,]上的值域.当x∈[,]时,2x-∈[0,],故sin(2x-)∈[0,1],所以0≤≤1,即0≤a≤3,故实数a的取值范围为[0,3].
18.(17分)为了便于市民运动,市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图,在道路EF的一侧修建一条新跑道,新跑道的前一部分为曲线段FBC,该曲线段是函数y=Asin(ωx+)
(A>0,ω>0),x∈[-4,0]时的图象,且图象的最高点为B(-1,2),新跑道的中间部分为长1 km的直线跑道CD,且CD∥EF,新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧.
(1)求曲线段FBC的解析式和∠DOE的大小.
(2)若计划在圆弧跑道所对应的扇形ODE区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站,并要求矩形的一边MN紧靠道路EF,一个顶点Q在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧DE上,且∠POE=θ,若矩形MNPQ的面积记为S(θ).
①求S(θ);
②当θ为何值时,S(θ)取得最大值,并求出这个最大值.
所以曲线段FBC的解析式为y=2sin(x+),当x=0时,y=OC=2sin=,
又因为CD=1,则tan∠DOC==,可知锐角∠DOC=,所以∠DOE=.
(2)①由(1)可知OD=2,OP=2,且∠POE=θ∈(0,),
则QM=PN=2sin θ,ON=2cos θ,OM==sin θ,可得MN=ON-OM=2cos θ-sin θ,
则S(θ)=MN·PN=2sin θ(2cos θ-sin θ)=4sin θcos θ-sin2θ=2sin 2θ+cos 2θ-=
sin(2θ+)-.
②因为θ∈(0,),所以2θ+∈(,),可知当2θ+=,即θ=时,S(θ)=-=,
所以当θ=时,S(θ)取得最大值.
19.(17分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x.
(1)求函数f(x)的对称轴及对称中心;
(2)若方程f(x)=a在[-,]上有两个解,求a的取值范围;
(3)将函数f(x)的图象上所有点向下平移1个单位长度得到曲线C,再将C上的各点横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若 x∈[-,], m∈[-1,0],不等式mt2-
2mt+2≥g(x)成立,求实数t的取值范围.
所以f(x)=sin 2x+cos 2x+1=(sin 2x+cos 2x)+1=(sin 2xcos +cos 2xsin )+1=
sin(2x+)+1.
对称轴满足2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z;
对称中心横坐标满足2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,所以对称中心为(-+,1),k∈Z.
(2)因为x∈[-,],所以2x+∈[0,],因为f(x)=sin(2x+)+1,
当0≤2x+≤,即-≤x≤时,f(x)单调递增;
当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减;
当2x+=0或π时,f(x)=sin 0+1=1;
当2x+=时,f(x)=sin +1=+1,
所以当方程f(x)=a在[-,]上有两个解时,a∈[1,+1).
(3)由题意g(x)=sin(x+),因为 x∈[-,], m∈[-1,0],不等式mt2-2mt+2≥g(x)成立,
所以mt2-2mt+2≥g(x)min,因为x∈[-,],所以x+∈[-,],当x+=-,即x=-时,g(x)min=-1,当m∈[-1,0]时,令h(m)=mt2-2mt+2=(t2-2t)m+2,所以
即解得-1≤t≤3.
所以实数t的取值范围为[-1,3].
模块检测卷
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M={x∈Z|-2[A]{-2,-1,0,1,2} [B]{-3,-2,2,3}
[C]{-1,0,2} [D]{2,3}
2.下列结论正确的有(　　)
[A]函数f(x)=(x-1)0+的定义域为(-1,+∞)
[B]函数y=f(x),x∈[-1,1]的图象与y轴有且只有一个交点
[C]函数y=f(x)的图象与直线x=1有且只有一个交点
[D]f(x)=与g(x)=x是同一个函数
3.已知α,β∈R,则“α+β=”是“sin α=cos β”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
k∈Z或α+β=+2kπ,k∈Z,所以“α+β=”不是“sin α=cos β”的必要条件,所以“α+β=”是
“sin α=cos β”的充分不必要条件.故选A.
4.要得到函数f(x)=sin(2x+)的图象,可以将函数g(x)=cos(2x+)的图象(　　)
[A]向右平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向左平移个单位长度
图象向右平移个单位长度得到f(x)的图象.故选C.
5.若函数f(x)=为偶函数,则实数a的取值范围是(　　)
[A](-∞,-3]
[B][3,+∞)
[C][-3,3]
[D](-∞,-3]∪[3,+∞)
所以a≤-3.故选A.
6.已知函数f(x)=x2+ax+b,若关于x的不等式f(x)<1的解集为(m,m+2),则函数f(x)的值域为(　　)
[A][,+∞) [B][,+∞)
[C][1,+∞) [D][0,+∞)
7.如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别是边AB,DA上的点,那么当△APQ的周长为
2时,∠PCQ等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
于是tan(α+β)==,又△APQ的周长为2,即x+y+=2,
变形可得xy=2(x+y)-2,于是tan(α+β)==1,又0<α+β<,所以α+β=,
所以∠PCQ=-(α+β)=.故选B.
8.若集合A={(m,n)|m≤-2,0[A]2 [B]4
[C]8 [D]16
所以所以 因为f(y)=-2y-4y+6单调递减,
且f(1)=-2-4+6=0,所以当f(y)≥0时,y≤1,所以log4n≤1,所以0故选B.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是(　　)
[A]若函数f(+1)=x+2,则f(1)=0
[B]若函数f(x+1)的定义域为[-1,1],则函数f(x)的定义域为[-2,0]
[C]2m=9n=6,则+=1
[D]已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为3
因为2m=9n=6,所以m=log26,n=log96,所以+=+=log62+log69=log62+log632=
log62+log63=log6(2×3)=1,故C正确;对于D,+=+=++1≥2+1=3,当且仅当=,即a=b=时,等号成立,所以+的最小值为3,故D正确.故选ACD.
10.已知函数f(x)=asin x+cos(x+)(a>0),直线x=是f(x)图象的一条对称轴,则(　　)
[A]a=2
[B]f(x)在区间(-,)上单调递减
[C]当x∈[-,t]时,f(x)的值域为[-,],则t的取值范围为[,π]
[D]设g(x)=f(ωx)(ω>0),g(x)在区间(0,π)上恰有两个零点,且在(,)上单调递减,则ω的取值范围是(,)
x∈(-,)上单调递增,因此f(x)在区间(-,)上单调递增,B错误;对于C,当x∈[-,t]时,f(x)的值域为[-,],则当x+∈[-,t+]时,-≤sin(x+)≤1,因此≤t+≤,解得≤t≤π,C正确;对于D,g(x)=f(ωx)=sin(ωx+),g(x)在区间(0,π)上恰有两个零点,x∈(0,π),ωx+∈(,ωπ+),
所以2π<ωπ+≤3π,即得<ω≤,当x∈(,)时,ωx+∈(ω+,ω+),g(x)在(,)上单调递减,则ω+≥,ω+≤,即得1≤ω≤,综上,ω的取值范围是(,],D错误.故选AC.
11.已知函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x+1)=f(-x),g(x)+g(2-x)=2,f(x+1)-1为奇函数,则(　　)
[A]g(1)=1
[B]函数f(x)的周期为2
[C]f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=2
[D]若函数f(x)与g(x)的图象恰有2 025个交点,则所有交点的横纵坐标之和为4 050
奇函数,所以f(x+1)-1+f(-x+1)-1=0,即f(x+1)+f(-x+1)=2,又f(x+1)=f(-x),所以f(x)+f(x+1)=2,所以f(x+1)+f(x+2)=2,所以f(x)=f(x+2),所以函数f(x)的周期为2,故B正确;C选项,
f(x)+f(-x)=2-f(x+1)+f(x+1)=2,而g(x)+g(-x)=0不一定成立,所以f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=2不成立,故C错误;D选项,由f(x+1)+f(-x+1)=2和g(x)+g(2-x)=2,可知f(x)和g(x)的图象均关于点(1,1)对称,若函数f(x)与g(x)的图象恰有2 025个交点,由对称性可知所有交点的横坐标之和和纵坐标之和均为2 025,故横纵坐标之和为4 050,故D正确.故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.
13.在锐角三角形ABC中,A=,则sin B+sin C的取值范围是　　　　.
sin C=sin B+sin(B+)=sin B+cos B=sin(B+),因为sin(B+)≤1,即14.已知函数f(x)=若f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4且x1则x4(x1+x2)+的最小值为　　　　.
作出函数f(x)的图象,如图,
令f(x)=1可得,当x≤0时,(x+1)2=1,解得x=-2或x=0,当x>0时,|log4x|=1,解得x=或x=4,
所以函数f(x)的图象与直线y=1有4个交点,
分别为(-2,1),(0,1),(,1),(4,1),因为f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4且x1所以0且-2≤x1<-1所以-log4x3=log4x4,即log4x4+log4x3=0,所以x3x4=1,所以x4(x1+x2)+=-2x4+,且1令g(x)=-2x+(1因为函数y=-2x,y=在(1,4]上均单调递减,所以函数g(x)=-2x+在(1,4]上单调递减,所以g(x)min=g(4)=-8+=-.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)设全集U=R,已知集合A={x},集合B={x|x2+3x-10<0}.
(1)求A∩B和 U(A∪B);
(2)若C={x|a≤x≤2a+2}且A∩C=C,求实数a的取值范围.
(2)因为A∩C=C,所以C A,而A={x|-1≤x<4},C={x|a≤x≤2a+2},当C= 时,a>2a+2,解得a<-2,满足题意;当C≠ 时,a≥-2,且解得-1≤a<1,则-1≤a<1.综上,实数a的取值范围为(-∞,-2)∪[-1,1).
16.(15分)已知函数f(x)=log4(2+x)-log4(2-x),函数g(x)=log4(4x-2).
(1)试判断函数f(x)的单调性,并证明你的结论;
(2)若不等式g(log2(2a+1))≤f(x)对x∈[,2)恒成立,求实数a的取值范围.
f(x)=log4(2+x)-log4(2-x)=log4. x1,x2∈(-2,2),且x1因为-20,2-x2>0,x1-x2<0,所以<0,所以0<<,
因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以log4(2)由(1)知当x∈[,2)时,f(x)min=f()=log42,由不等式g(log2(2a+1))≤f(x)对x∈[,2)恒成立,
得g(log2(2a+1))≤log42,所以log4(-2)≤log42,所以0<-2≤2,
所以所以<2a+1≤2,解得17.(15分)已知函数f(x)=sin 5x(sin 5x-·cos 5x).
(1)证明:f(x)的图象关于直线x=对称.
(2)求f(x)的单调递增区间.
(3)若f(α)=-,α∈(,),求sin 10α的值.
(2sin 5xcos 5x)+=--sin 10x+=-sin(10x+)+,令10x+=+kπ(k∈Z),
解得x=+(k∈Z),
令k=0,得x=,即f(x)的图象关于直线x=对称.
所以cos(10α+)=-=-=-,
所以sin 10α=sin[(10α+)-]=sin(10α+)cos -cos(10α+)sin =×-(-)×=.
18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为(,2),(,-2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间;
(3)设m>1,证明:函数g(x)=f(mx)-mf(x)在(0,+∞)上必有零点.
得f()=2sin(2×+φ)=2 +φ=2kπ+(k∈Z) φ=2kπ-(k∈Z),又因为-π<φ<0,所以令k=0,得φ=-,因此f(x)=2sin(2x-).
当m>1时,g(0)=2×(-)-2m·(-)=(m-1)>0,
g()=2·sin(2m×-)-2m·sin(2×-)=2·sin(2m×-)-2m≤2-2m<0,则g(0)g()<0,
且g(x)在(0,+∞)上的图象为一条连续不间断的曲线,所以根据函数零点存在原理,函数g(x)=f(mx)-mf(x)在(0,+∞)上必有零点.
19.(17分)已知cosh x称为双曲余弦函数,其函数表达式为cosh x=,相反地,双曲正弦函数的函数表达式为sinh x=.
(1)证明:cosh2x-sinh 2x=1.
(2)求不等式sinh(2x-1)+sinh(x-2)<0的解集.
(3)函数f(x)=2mcosh 2x-2sinh x-3的图象在区间[0,ln 2]上与x轴有2个交点,求实数m的取值范围.
因为sinh(2x-1)+sinh(x-2)<0,
所以sinh(2x-1)<-sinh(x-2)=sinh(2-x),所以2x-1<2-x,解得x<1,即所求不等式的解集为(-∞,1).
所以m(e2x+e-2x)-(ex-e-x)-3=0在x∈[0,ln 2]上有2个实数根,
所以m=在x∈[0,ln 2]上有2个实数根,令(ex-e-x)+3=t,
易知t=(ex-e-x)+3在x∈[0,ln 2]上单调递增,所以t∈[3,],
则m= ==t+-6,令g(t)=t+-6,t∈[3,],由对勾函数性质可知,
g(t)在[3,)上单调递减,在(,]上单调递增,又g(3)=,g()=2-6,g()=,
作函数g(t)图象的草图,如图,
当2-6<≤时,函数g(t)=t+-6的图象与直线y=有两个交点,即函数f(x)的图象在区间[0,ln 2]上与x轴有2个交点,所以≤m<,即实数m的取值范围为[,).(共43张PPT)
章末复习提升
核心题型突破
题型一　同角三角函数的基本关系式和诱导公式
2.主要考查角度:(1)角的概念及其表示;(2)三角函数的定义及其应用;(3)扇形的弧长及面积公式;(4)同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式.
3.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例1] (2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则(　　)
[A]甲是乙的充分条件但不是必要条件
[B]甲是乙的必要条件但不是充分条件
[C]甲是乙的充要条件
[D]甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B
题型二　三角函数的图象与性质
1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,在研究三角函数的性质时,将ωx+φ看成一个整体,利用整体代换思想解题是常见的技巧.
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
(1)“五点法”作图;(2)图象伸缩、平移变换.
3.掌握三角函数的图象和性质,重点培养直观想象和数学运算的核心素养.
[A]3 [B]4 [C]6 [D]8
C
BC
[A]f(x)与g(x)有相同的零点
[B]f(x)与g(x)有相同的最大值
[C]f(x)与g(x)有相同的最小正周期
[D]f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
D
题型三　三角函数的图象变换
1.由函数y=sin x的图象得到函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有两种途径:先平移再伸缩;先伸缩再平移.这两种途径的区别是平移的单位长度不同,其余参数不受影响.若相应变换的函数名称不同时,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移或伸缩变换.
2.对于函数y=Asin(ωx+φ)+h,应明确A,ω决定“形变”,φ,h决定“位变”,A影响值域,ω影响周期,A,ω,φ影响单调性.针对x的变换,即变换多少个单位长度,向左或向右很容易出错,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.
C
C
D
1.熟练掌握两角和与差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是进行三角函数式化简、求值的关键,注意公式的逆用与变形用.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,
使“目标角”变成“已知角”.
2.在进行三角恒等变换时,既要注意运用切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化,角的代换的运用,还要注意一般的数学思想方法如换元法的运用.
题型四　三角恒等变换
B
A
【解析】 (2)因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin αsin β=m,而tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,
从而sin αsin β=-2m,故cos(α-β)=-3m.故选A.
B
题型五　三角函数的综合应用
1.三角函数的综合问题,常以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
2.熟练运用两个换元(整体思想),一是设ωx+φ=t,二是设sin(ωx+φ)=t
(或Acos(ωx+φ)=t).
感谢观看章末复习提升
题型一　同角三角函数的基本关系式和诱导公式
1.(1)两个基本关系式:sin2α+cos2α=1及=tan α.
(2)诱导公式:可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.
2.主要考查角度:(1)角的概念及其表示;(2)三角函数的定义及其应用;(3)扇形的弧长及面积公式;(4)同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式.
3.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例1] (2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则(　　)
[A]甲是乙的充分条件但不是必要条件
[B]甲是乙的必要条件但不是充分条件
[C]甲是乙的充要条件
[D]甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】 B
【解析】 当sin2α+sin2β=1时,例如α=,β=0,但sin α+cos β≠0,即“sin2α+sin2β=1”推不出
“sin α+cos β=0”;当sin α+cos β=0时,sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,即“sin α+cos β=0”能推出“sin2α+sin2β=1”.综上可知,甲是乙的必要不充分条件.故选B.
[跟踪训练] (1)(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
(2)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　,cos 2β=　　　　.
【答案】 (1)-　(2)　
【解析】 (1)因为θ∈(0,),所以sin θ>0,cos θ>0,又因为tan θ==,所以cos θ=2sin θ,
且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1,解得sin θ=或sin θ=-(舍去),
所以sin θ-cos θ=sin θ-2sin θ=-sin θ=-.
(2)法一(利用辅助角公式和诱导公式)　因为α+β=,所以sin β=cos α,即3sin α-cos α=,即(sin α-cos α)=,令sin θ=,cos θ=,则sin(α-θ)=,
所以α-θ=+2kπ,k∈Z,即α=θ++2kπ,k∈Z,所以sin α=sin(θ++2kπ)=cos θ=,
则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.
法二(直接用同角三角函数关系式解方程)　因为α+β=,所以sin β=cos α,
即3sin α-cos α=,又sin2α+cos2α=1,将cos α=3sin α-代入得10sin2α-6sin α+9=0,解得sin α=,则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=.
题型二　三角函数的图象与性质
1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,在研究三角函数的性质时,将ωx+φ看成一个整体,利用整体代换思想解题是常见的技巧.
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
(1)“五点法”作图;(2)图象伸缩、平移变换.
3.掌握三角函数的图象和性质,重点培养直观想象和数学运算的核心素养.
[典例2] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)的交点个数为(　　)
[A]3 [B]4 [C]6 [D]8
(2)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有(　　)
[A]f(x)与g(x)有相同的零点
[B]f(x)与g(x)有相同的最大值
[C]f(x)与g(x)有相同的最小正周期
[D]f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【答案】 (1)C　(2)BC
【解析】 (1)因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin(3x-)的最小正周期为T=,所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin(3x-)有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示.
由图可知,两函数图象有6个交点.故选C.
(2)A选项,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)的零点,令g(x)=sin(2x-)=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)的零点,显然f(x),g(x)的零点不同,A选项错误;B选项,显然f(x)max=g(x)max=1,B选项正确;C选项,根据周期公式,f(x),g(x)的最小正周期均为=π,C选项正确;D选项,根据正弦函数的性质,f(x)的对称轴满足2x=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,g(x)的对称轴满足2x-=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,D选项错误.故选BC.
[跟踪训练] (1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f(-)=(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.
【答案】 (1)D　(2)-
【解析】 (1)因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)上单调递增,且直线x=和直线x=为函数图象的两条对称轴,所以=-=,且ω>0,则T=π,ω==2,当x=时,f(x)取得最小值,则2×+φ=2kπ-,k∈Z,则φ=2kπ-,k∈Z,不妨取k=0,则f(x)=sin(2x-),则f(-)=sin(-)=.故选D.
(2)设A(x1,),B(x2,),由|AB|=可得x2-x1=,令wx+φ=t,由sin t=可知,t=+2kπ,k∈Z或t=+2kπ,k∈Z,由题图可知,ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,所以ω=4.
因为f()=sin(+φ)=0,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.
所以f(x)=sin(4x-+kπ)=sin(4x-+kπ),k∈Z,所以f(x)=sin(4x-)或f(x)=-sin(4x-),
又因为f(0)<0,所以f(x)=sin(4x-),所以f(π)=sin(4π-)=-.
题型三　三角函数的图象变换
1.由函数y=sin x的图象得到函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有两种途径:先平移再伸缩;先伸缩再平移.这两种途径的区别是平移的单位长度不同,其余参数不受影响.若相应变换的函数名称不同时,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移或伸缩变换.
2.对于函数y=Asin(ωx+φ)+h,应明确A,ω决定“形变”,φ,h决定“位变”,A影响值域,ω影响周期,A,ω,φ影响单调性.针对x的变换,即变换多少个单位长度,向左或向右很容易出错,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.
[典例3] (1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是(　　)
[A] [B] [C] [D]
(2)(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 (1)C　(2)C
【解析】 (1)由题意知,曲线C为y=sin[ω(x+)+]=sin(ωx++),又曲线C关于y轴对称,所以+=+kπ,k∈Z,解得ω=+2k,k∈Z,又ω>0,故当k=0时,ω的最小值为.故选C.
(2)因为y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度所得图象的函数解析式为y=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=-sin 2x,所以f(x)=-sin 2x,而y=x-显然过(0,-)与(1,0)两点,作出y=f(x)与y=x-的部分大致图象,如图所示.
考虑2x=-,2x=,2x=,即x=-,x=,x=处f(x)与y=x-的大小关系.
当x=-时,f(-)=-sin(-)=-1,y=×(-)-=-<-1;
当x=时,f()=-sin =1,y=×-=<1;
当x=时,f()=-sin =1,y=×-=>1.
所以由图可知,y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为3.故选C.
[跟踪训练]为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+)图象上所有的点(　　)
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
【答案】 D
【解析】 因为y=2sin 3x=2sin[3(x-)+],所以把函数y=2sin(3x+)图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数y=2sin 3x的图象.故选D.
题型四　三角恒等变换
1.熟练掌握两角和与差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是进行三角函数式化简、求值的关键,注意公式的逆用与变形用.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变成“已知角”.
2.在进行三角恒等变换时,既要注意运用切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化,角的代换的运用,还要注意一般的数学思想方法如换元法的运用.
[典例4] (1)(2024·全国甲卷)已知=,则tan(α+)等于(　　)
[A]2+1 [B]2-1
[C] [D]1-
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)等于(　　)
[A]-3m [B]- [C] [D]3m
【答案】 (1)B　(2)A
【解析】 (1)因为=,所以=,即tan α=1-,所以tan(α+)==2-1.故选B.
(2)因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin αsin β=m,而tan αtan β=2,
所以sin αsin β=2cos αcos β,故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,
从而sin αsin β=-2m,故cos(α-β)=-3m.故选A.
[跟踪训练] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.
【答案】 (1)B　(2)-
【解析】 (1)因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,而cos αsin β=,因此sin αcos β=,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×=.故选B.
(2)法一　由题意得tan(α+β)===-2,
因为α∈(2kπ,2kπ+),β∈(2mπ+π,2mπ+),k,m∈Z,则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,
m∈Z,又因为tan(α+β)=-2<0,所以α+β∈((2m+2k)π+,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,
则sin(α+β)<0,则=-2,联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-.
法二　因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos α>0,cos β<0,
cos α==,cos β==,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=
cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β=
=
=
=-.
题型五　三角函数的综合应用
1.三角函数的综合问题,常以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
2.熟练运用两个换元(整体思想),一是设ωx+φ=t,二是设sin(ωx+φ)=t(或Acos(ωx+φ)=t).
[典例5] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2()-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且函数f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式及单调递减区间.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈[-,]时,求函数g(x)的值域.
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在x∈[,]上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值.
【解】 (1)由题意,函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2()-1=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ-),
因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为,所以T=π,可得ω=2,又由函数f(x)为奇函数,
可得f(0)=2sin(φ-)=0,所以φ-=kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=,所以函数f(x)=2sin 2x.
令2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin(2x-)的图象,再把横坐标缩短为原来的,得到函数y=g(x)=2sin(4x-)的图象,当x∈[-,]时,4x-∈[-,],当4x-=-时,函数g(x)取得最小值,最小值为-2,当4x-=时,函数g(x)取得最大值,最大值为,故函数g(x)的值域为[-2,].
(3)由方程g(x)=,得2sin(4x-)=,即sin(4x-)=,由x∈[,],可得4x-∈[,5π],设θ=4x-,
θ∈[,5π],即sin θ=,结合正弦函数y=sin θ的图象,如图所示,
可得方程sin θ=在区间[,5π]上有5个解,即n=5,
其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π,θ4+θ5=9π,
即4x1-+4x2-=3π,4x2-+4x3-=5π,4x3-+4x4-=7π,4x4-+4x5-=9π,
解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=,
所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=.
[跟踪训练] 已知函数f(x)=sin 2xcos φ-cos 2xcos(+φ)(0<|φ|<),对 x∈R,有f(x)≤|f()|.
(1)求φ的值及f(x)的单调递增区间.
(2)若x0∈[0,],f(x0)=,求sin 2x0.
(3)将函数y=f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后,再将所得图象上的所有点纵坐标保持不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象.若 x∈[0,π],g(x)+sin 2x≤2m2-3m,求实数m的取值范围.
【解】 (1)f(x)=sin 2xcos φ+cos 2xsin φ=sin(2x+φ),因为对 x∈R,有f(x)≤|f()|,可得当x=时,f(x)取得最值,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,可得φ=-+kπ,k∈Z,又0<|φ|<,所以φ=-,
所以f(x)=sin(2x-),由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)由x0∈[0,],f(x0)=,f(x)=sin(2x-),可得2x0-∈[-,],sin(2x0-)=,所以cos(2x0-)=,
所以sin 2x0=sin[(2x0-)+]=sin(2x0-)cos +cos(2x0-)sin =.
(3)将函数y=f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数y=sin[2(x-)-]=sin(2x-)的图象,进而可得函数g(x)=sin(x-)的图象,
令h(x)=sin(x-)+sin 2x=sin x-cos x+2sin xcos x,x∈[0,π],
只需h(x)min≤2m2-3m,令t=sin x-cos x=sin(x-),因为x∈[0,π],
所以x-∈[-,],所以t∈[-1,],
因为t2=(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x,
可得2sin xcos x=1-t2,
所以y=t+1-t2=-+,
因为t∈[-1,],
所以当t=-1时,h(x)min=-1,
所以2m2-3m≥-1,即(2m-1)(m-1)≥0,
解得m≤或m≥1.
所以实数m的取值范围为(-∞,]∪[1,+∞).
第五章　章末检测卷
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.tan 420°等于(　　)
[A]- [B]
[C] [D]-
【答案】 B
【解析】 tan 420°=tan(360°+60°)=tan 60°=.故选B.
2.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若角α终边上有一点P(2,y),
且sin α=-,则y等于(　　)
[A]1 [B]-1
[C]±1 [D]2
【答案】 B
【解析】 根据题意可知=-,解得y=-1.故选B.
3.已知θ是第四象限角,且sin θ=-,则等于(　　)
[A] [B]-
[C] [D]-
【答案】 B
【解析】 化简得==tan θ,因为sin θ=-,θ是第四象限角,所以cos θ==,所以tan θ=-.故选B.
4.若函数f(x)=tan(ωx-)(ω>0)图象的两个对称中心的最短距离为,则f()的值为(　　)
[A]2- [B]-2
[C]2+ [D]-2-
【答案】 A
【解析】 设函数f(x)的最小正周期为T,由题意可知=,可得T=π,所以ω===1,
则f()=tan(-)==2-.故选A.
5.已知sin(-x)=-,且0[A] [B]
[C]- [D]
【答案】 C
【解析】 因为0所以cos(-x)=,
则cos(+x)=cos[-(-x)]=cos cos(-x)+sin sin(-x)=-×-×=-.
故选C.
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+
f(2 025)等于(　　)
[A] [B]0
[C]+2 [D]-2
【答案】 A
【解析】 由f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象可知,A=2,周期T=8,故ω==,又f(0)=0且|φ|<,可得φ=0,故f(x)=2sin x.又根据函数图象的对称性可知f(1)=f(3)=-f(5)=-f(7)=,
f(2)=-f(6)=2,f(4)=f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=253×
[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]+f(1)=0+=.故选A.
7.若函数f(x)=sin x+acos x的图象关于直线x=-对称,则函数g(x)=asin x+cos x图象的一条对称轴为(　　)
[A]x= [B]x=
[C]x= [D]x=
【答案】 C
【解析】 f(x)=sin x+acos x=sin(x+φ)(tan φ=a),由题意可知x=-是x+φ=+kπ(k∈Z)的解,
即-+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=+kπ(k∈Z),当k=-1时,φ=-,
g(x)=asin x+cos x=cos(x-φ)(tan φ=a),所以令x-φ=nπ(n∈Z),即x+=nπ(n∈Z),解得x=-+nπ(n∈Z),所以函数g(x)的对称轴为直线x=-+nπ(n∈Z),当n=1时,x=.故选C.
8.已知α∈(0,),β∈(0,),且sin(2α+β)+2sin 2αcos β=3sin β,则cos β的最小值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由sin(2α+β)+2sin 2αcos β=3sin β,得3sin 2αcos β+cos 2αsin β=3sin β,则3sin 2α+
cos 2αtan β=3tan β,则tan β====,因为α∈(0,),所以
tan α∈(0,),则2tan α+≥2,当且仅当tan α=时,等号成立,从而tan β≤=,
又β∈(0,),所以当tan β取得最大值时,cos β取得最小值,且最小值为.故选B.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列四个命题正确的是(　　)
[A]若tan α<0且sin α>0,则α为第二象限角　
[B]将分针拨快15 min,则分针转过的角度为
[C]cos [D]f(x)=sin x+cos 2x的图象关于直线x=对称
【答案】 ACD
【解析】 对于A,由tan α<0,得α为第二、第四象限角,由sin α>0,得α为第一、第二象限角,或终边在y轴的正半轴上,因此α为第二象限角,A正确;对于B,将分针拨快15 min,则分针转过的角度为-,B错误;对于C,cos =cos(2π+)=cos ,cos =cos(2π-)=cos ,因为0<<<,所以cos cos(2π-2x)=sin x+cos 2x=f(x),因此f(x)=sin x+cos 2x的图象关于直线x=对称,D正确.
故选ACD.
10.已知α,β∈(0,),tan 2α=-,tan(α+β)=7,则以下说法正确的是(　　)
[A]tan α=2 [B]tan β=
[C]β=α+ [D]β=α-
【答案】 ABD
【解析】 因为α,β∈(0,),所以tan α>0,α-β∈(-,),由tan 2α==-,解得tan α=2或
tan α=-(舍去),故A正确;由tan(α+β)==7,又tan α=2,解得tan β=,故B正确;由A,B可得tan(α-β)==1,且α-β∈(-,),所以α-β=,即β=α-,故C错误,D正确.
故选ABD.
11.已知函数f(x)=cos(ωx-)(ω>0),则下列说法正确的是(　　)
[A]若将f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象与原图象重合,则ω的最小值为4
[B]若f()=f(),则ω的最小值为1
[C]若f(x)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围为[,]
[D]若f(x)在(,π)上无零点,则ω的取值范围为[,]
【答案】 BC
【解析】 f(x)=cos(ωx-)=cos[(ωx+)-]=sin(ωx+)(ω>0).若将f(x)的图象向左平移个单位长度,所得y=sin(ωx++)的图象与原来的图象重合,则=2kπ,k∈Z,所以ω=8k,k∈Z,故ω的最小值为8,故A错误;若f()=f(),且ω最小,则函数的图象关于直线x=对称,所以ω·+=kπ+,k∈Z,即ω=4k+1,k∈Z,则ω的最小值为1,故B正确;若f(x)在(,π)上单调递减,由x∈(,π),所以ωx+∈(+,ωπ+),则k∈Z,解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z,
令k=0,可得ω的取值范围为[,],故C正确;若f(x)在(,π)上无零点,则
k∈Z,解得2k-≤ω≤k+,k∈Z,令k=0,可得ω的取值范围为(0,],令k=1,可得ω的取值范围为[,],故ω的取值范围为(0,)∪[,],故D错误.故选BC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知扇形的圆心角为2 rad,扇形的周长为8 cm,则扇形的面积为　　　　 cm2.
【答案】 4
【解析】 设扇形的半径为r,弧长为l,则解得所以扇形的面积S=lr=×2×4=4.
13.已知α∈[0,2π),若点(sin α-cos α,tan α-sin α)在第一象限,则α的取值范围是　　　　.
【答案】 (,)∪(π,)
【解析】 因为点(sin α-cos α,tan α-sin α)在第一象限,则且α∈[0,2π),
可知角α不为轴线角,若α∈(0,),则sin α,cos α∈(0,1),可得tan α-sin α=sin α(-1)>0,
且sin α-cos α>0,则tan α>1,可得α∈(,);若α∈(,π),则sin α>0,tan α<0,可得tan α-sin α<0,不符合题意;若α∈(π,),则tan α>0,sin α<0,cos α<0,可得tan α-sin α>0,且sin α-cos α>0,
则tan α<1,可得α∈(π,);若α∈(,2π),则sin α<0,cos α>0,可得sin α-cos α<0,不符合题意.
综上,α的取值范围是(,)∪(π,).
14.已知f(x)=sin(x+)cos x+sin(2x+)-,若af(x-)-f(x+)≥2对任意的x∈[,]恒成立,则a的取值范围是　　　　.
【答案】 [5,+∞)
【解析】 因为f(x)=sin(x+)cos x+·sin(2x+)-=(sin x+cos x)cos x+sin(2x+)-=
sin xcos x+cos2x+sin(2x+)-=sin 2x+(1+cos 2x)+sin(2x+)-=sin 2x+cos 2x+
sin(2x+)=sin(2x+)+sin(2x+)=sin(2x+),
所以af(x-)-f(x+)=asin x-cos 2x≥2,因为x∈[,],所以sin x>0,所以a≥对任意的x∈[,]恒成立,只需要a≥()max(x∈[,])即可.
设y===-2sin x,令t=sin x,t∈[,1],因为y=-2t在[,1]上单调递减,
所以当t=时,y取得最大值5,所以a≥5,所以a的取值范围是[5,+∞).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知α是第二象限角.
(1)化简-;
(2)若=,求sin2α-3sin αcos α-2cos2α的值.
【解】 (1)因为α为第二象限角,所以cos α<0,
所以-=-=-
=-==-2tan α.
(2)由=,得3sin α=-4cos α,所以tan α=-,
所以sin2α-3sin αcos α-2cos2α=
=
==.
16.(15分)已知函数f(x)=2sin(2x+).
(1)填写下表,并用“五点法”画出函数f(x)=2sin(2x+)在一个周期上的图象;
x -
2x+ π 2π
f(x) 0 2 0 0
(2)解不等式≤1.
【解】 (1)列表:
x -
2x+ 0 π 2π
f(x) 0 2 0 -2 0
描点,连线得到图象如下.
(2)由≤1,得0≤f(x)≤1,所以0≤sin(2x+)≤,
则2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z或+2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤kπ,k∈Z或+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以≤1的解集为[-+kπ,kπ]∪[+kπ,+kπ](k∈Z).
17.(15分)已知函数f(x)=6cos x·sin(x-)+.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)若函数y=f(x)-a在x∈[,]上存在零点,求实数a的取值范围.
【解】 (1)f(x)=6cos x·sin(x-)+=6cos x·(sin xcos -cos xsin )+=×2sin xcos x-×
(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x=3(sin 2x-cos 2x)=3sin(2x-),
所以函数f(x)的最小正周期为=π.
(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(3)因为函数y=f(x)-a在x∈[,]上存在零点,即方程sin(2x-)=在x∈[,]上有解,所以实数的取值范围即为函数y=sin(2x-)在x∈[,]上的值域.当x∈[,]时,2x-∈[0,],故sin(2x-)∈[0,1],所以0≤≤1,即0≤a≤3,故实数a的取值范围为[0,3].
18.(17分)为了便于市民运动,市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图,在道路EF的一侧修建一条新跑道,新跑道的前一部分为曲线段FBC,该曲线段是函数y=Asin(ωx+)
(A>0,ω>0),x∈[-4,0]时的图象,且图象的最高点为B(-1,2),新跑道的中间部分为长1 km的直线跑道CD,且CD∥EF,新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧.
(1)求曲线段FBC的解析式和∠DOE的大小.
(2)若计划在圆弧跑道所对应的扇形ODE区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站,并要求矩形的一边MN紧靠道路EF,一个顶点Q在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧DE上,且∠POE=θ,若矩形MNPQ的面积记为S(θ).
①求S(θ);
②当θ为何值时,S(θ)取得最大值,并求出这个最大值.
【解】 (1)由题意可得,A=2,=-1-(-4)=3,即T=12,且ω>0,则ω==,
所以曲线段FBC的解析式为y=2sin(x+),当x=0时,y=OC=2sin=,
又因为CD=1,则tan∠DOC==,可知锐角∠DOC=,所以∠DOE=.
(2)①由(1)可知OD=2,OP=2,且∠POE=θ∈(0,),
则QM=PN=2sin θ,ON=2cos θ,OM==sin θ,可得MN=ON-OM=2cos θ-sin θ,
则S(θ)=MN·PN=2sin θ(2cos θ-sin θ)=4sin θcos θ-sin2θ=2sin 2θ+cos 2θ-=
sin(2θ+)-.
②因为θ∈(0,),所以2θ+∈(,),可知当2θ+=,即θ=时,S(θ)=-=,
所以当θ=时,S(θ)取得最大值.
19.(17分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x.
(1)求函数f(x)的对称轴及对称中心;
(2)若方程f(x)=a在[-,]上有两个解,求a的取值范围;
(3)将函数f(x)的图象上所有点向下平移1个单位长度得到曲线C,再将C上的各点横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若 x∈[-,], m∈[-1,0],不等式mt2-
2mt+2≥g(x)成立,求实数t的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)=2sin xcos x+2cos2x,
所以f(x)=sin 2x+cos 2x+1=(sin 2x+cos 2x)+1=(sin 2xcos +cos 2xsin )+1=
sin(2x+)+1.
对称轴满足2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z;
对称中心横坐标满足2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,所以对称中心为(-+,1),k∈Z.
(2)因为x∈[-,],所以2x+∈[0,],因为f(x)=sin(2x+)+1,
当0≤2x+≤,即-≤x≤时,f(x)单调递增;
当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减;
当2x+=0或π时,f(x)=sin 0+1=1;
当2x+=时,f(x)=sin +1=+1,
所以当方程f(x)=a在[-,]上有两个解时,a∈[1,+1).
(3)由题意g(x)=sin(x+),因为 x∈[-,], m∈[-1,0],不等式mt2-2mt+2≥g(x)成立,
所以mt2-2mt+2≥g(x)min,因为x∈[-,],所以x+∈[-,],当x+=-,即x=-时,g(x)min=-1,当m∈[-1,0]时,令h(m)=mt2-2mt+2=(t2-2t)m+2,所以
即解得-1≤t≤3.
所以实数t的取值范围为[-1,3].
模块检测卷
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M={x∈Z|-2[A]{-2,-1,0,1,2} [B]{-3,-2,2,3}
[C]{-1,0,2} [D]{2,3}
【答案】 B
【解析】 由题意,得M={-1,0,1},又N={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以 NM={-3,-2,2,3}.故选B.
2.下列结论正确的有(　　)
[A]函数f(x)=(x-1)0+的定义域为(-1,+∞)
[B]函数y=f(x),x∈[-1,1]的图象与y轴有且只有一个交点
[C]函数y=f(x)的图象与直线x=1有且只有一个交点
[D]f(x)=与g(x)=x是同一个函数
【答案】 B
【解析】 由得x≥-1且x≠1,所以函数f(x)的定义域为[-1,1)∪(1,+∞),故A错误;根据函数的概念,可判断B正确;由函数的概念,可得函数y=f(x)的图象与直线x=1至多有一个交点,故C错误;因为f(x)=的定义域为(-∞,0],所以f(x)=-x,与g(x)=x 的对应关系不同,所以f(x)与g(x)不是同一个函数,所以D错误.故选B.
3.已知α,β∈R,则“α+β=”是“sin α=cos β”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 ①因为α+β=,所以sin α=sin(-β)=cos β,所以“α+β=”是“sin α=cos β”的充分条件;②由sin α=cos β=sin(+β),可得α=+β+2kπ,k∈Z或α=π-(+β)+2kπ,k∈Z,所以α-β=+2kπ,
k∈Z或α+β=+2kπ,k∈Z,所以“α+β=”不是“sin α=cos β”的必要条件,所以“α+β=”是
“sin α=cos β”的充分不必要条件.故选A.
4.要得到函数f(x)=sin(2x+)的图象,可以将函数g(x)=cos(2x+)的图象(　　)
[A]向右平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向左平移个单位长度
【答案】 C
【解析】 因为g(x)=cos(2x+)=sin(+2x+)=sin[2(x+)+],且f(x)=sin(2x+),所以g(x)的
图象向右平移个单位长度得到f(x)的图象.故选C.
5.若函数f(x)=为偶函数,则实数a的取值范围是(　　)
[A](-∞,-3]
[B][3,+∞)
[C][-3,3]
[D](-∞,-3]∪[3,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=为偶函数,y=的定义域为[-3,3],且为偶函数,所以y=x-|x-a|在[-3,3](或其子集)上为偶函数,所以x-a≥0恒成立,所以a≤x(-3≤x≤3)恒成立,
所以a≤-3.故选A.
6.已知函数f(x)=x2+ax+b,若关于x的不等式f(x)<1的解集为(m,m+2),则函数f(x)的值域为(　　)
[A][,+∞) [B][,+∞)
[C][1,+∞) [D][0,+∞)
【答案】 D
【解析】 由关于x的不等式f(x)<1的解集为(m,m+2),得m,m+2为方程f(x)-1=0的两根,即f(x)-1=(x-m)(x-m-2),整理得f(x)=x2-(2m+2)x+m2+2m+1=x2-2(m+1)x+(m+1)2=(x-m-1)2,所以函数f(x)的值域为[0,+∞).故选D.
7.如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别是边AB,DA上的点,那么当△APQ的周长为
2时,∠PCQ等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 设AP=x,AQ=y,∠BCP=α,∠DCQ=β,则tan α=1-x,tan β=1-y,
于是tan(α+β)==,又△APQ的周长为2,即x+y+=2,
变形可得xy=2(x+y)-2,于是tan(α+β)==1,又0<α+β<,所以α+β=,
所以∠PCQ=-(α+β)=.故选B.
8.若集合A={(m,n)|m≤-2,0[A]2 [B]4
[C]8 [D]16
【答案】 B
【解析】 令y=log4n,所以n=4y,所以my-4y-3m≥0,(y-3)m-4y≥0,因为m≤-2,
所以所以 因为f(y)=-2y-4y+6单调递减,
且f(1)=-2-4+6=0,所以当f(y)≥0时,y≤1,所以log4n≤1,所以0故选B.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是(　　)
[A]若函数f(+1)=x+2,则f(1)=0
[B]若函数f(x+1)的定义域为[-1,1],则函数f(x)的定义域为[-2,0]
[C]2m=9n=6,则+=1
[D]已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为3
【答案】 ACD
【解析】 对于A,令x=0,可得f(+1)=0+2,解得f(1)=0,故A正确;对于B,因为函数f(x+1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,所以0≤x+1≤2,所以函数f(x)的定义域为[0,2],故B错误;对于C,
因为2m=9n=6,所以m=log26,n=log96,所以+=+=log62+log69=log62+log632=
log62+log63=log6(2×3)=1,故C正确;对于D,+=+=++1≥2+1=3,当且仅当=,即a=b=时,等号成立,所以+的最小值为3,故D正确.故选ACD.
10.已知函数f(x)=asin x+cos(x+)(a>0),直线x=是f(x)图象的一条对称轴,则(　　)
[A]a=2
[B]f(x)在区间(-,)上单调递减
[C]当x∈[-,t]时,f(x)的值域为[-,],则t的取值范围为[,π]
[D]设g(x)=f(ωx)(ω>0),g(x)在区间(0,π)上恰有两个零点,且在(,)上单调递减,则ω的取值范围是(,)
【答案】 AC
【解析】 对于A,因为函数f(x)=asin x+cos(x+)=(a-)sin x+cos x(a>0),直线x=是f(x)图象的一条对称轴,所以=a,整理得a2-4a+4=0,解得a=2,A正确;对于B,由选项A知f(x)=sin x+cos x=sin(x+),当x∈(-,)时,x+∈(-,),而正弦函数y=sin x在
x∈(-,)上单调递增,因此f(x)在区间(-,)上单调递增,B错误;对于C,当x∈[-,t]时,f(x)的值域为[-,],则当x+∈[-,t+]时,-≤sin(x+)≤1,因此≤t+≤,解得≤t≤π,C正确;对于D,g(x)=f(ωx)=sin(ωx+),g(x)在区间(0,π)上恰有两个零点,x∈(0,π),ωx+∈(,ωπ+),
所以2π<ωπ+≤3π,即得<ω≤,当x∈(,)时,ωx+∈(ω+,ω+),g(x)在(,)上单调递减,则ω+≥,ω+≤,即得1≤ω≤,综上,ω的取值范围是(,],D错误.故选AC.
11.已知函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x+1)=f(-x),g(x)+g(2-x)=2,f(x+1)-1为奇函数,则(　　)
[A]g(1)=1
[B]函数f(x)的周期为2
[C]f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=2
[D]若函数f(x)与g(x)的图象恰有2 025个交点,则所有交点的横纵坐标之和为4 050
【答案】 ABD
【解析】 A选项,令x=1,得g(1)+g(1)=2,所以g(1)=1,故A正确;B选项,因为f(x+1)-1是
奇函数,所以f(x+1)-1+f(-x+1)-1=0,即f(x+1)+f(-x+1)=2,又f(x+1)=f(-x),所以f(x)+f(x+1)=2,所以f(x+1)+f(x+2)=2,所以f(x)=f(x+2),所以函数f(x)的周期为2,故B正确;C选项,
f(x)+f(-x)=2-f(x+1)+f(x+1)=2,而g(x)+g(-x)=0不一定成立,所以f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=2不成立,故C错误;D选项,由f(x+1)+f(-x+1)=2和g(x)+g(2-x)=2,可知f(x)和g(x)的图象均关于点(1,1)对称,若函数f(x)与g(x)的图象恰有2 025个交点,由对称性可知所有交点的横坐标之和和纵坐标之和均为2 025,故横纵坐标之和为4 050,故D正确.故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.
【答案】 e
【解析】 由f(ln 2)f(ln 4)=8,可得aln 2·aln 4=8,即aln 2+ln 4=aln 8=8,两边取对数得ln 8·ln a=ln 8,又ln 8≠0,所以ln a=1,a=e.
13.在锐角三角形ABC中,A=,则sin B+sin C的取值范围是　　　　.
【答案】 (,]
【解析】 因为△ABC是锐角三角形,A=,则0sin C=sin B+sin(B+)=sin B+cos B=sin(B+),因为sin(B+)≤1,即14.已知函数f(x)=若f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4且x1则x4(x1+x2)+的最小值为　　　　.
【答案】 -
【解析】 当x≤0时,f(x)=(x+1)2;当0作出函数f(x)的图象,如图,
令f(x)=1可得,当x≤0时,(x+1)2=1,解得x=-2或x=0,当x>0时,|log4x|=1,解得x=或x=4,
所以函数f(x)的图象与直线y=1有4个交点,
分别为(-2,1),(0,1),(,1),(4,1),因为f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4且x1所以0且-2≤x1<-1所以-log4x3=log4x4,即log4x4+log4x3=0,所以x3x4=1,所以x4(x1+x2)+=-2x4+,且1令g(x)=-2x+(1因为函数y=-2x,y=在(1,4]上均单调递减,所以函数g(x)=-2x+在(1,4]上单调递减,所以g(x)min=g(4)=-8+=-.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)设全集U=R,已知集合A={x},集合B={x|x2+3x-10<0}.
(1)求A∩B和 U(A∪B);
(2)若C={x|a≤x≤2a+2}且A∩C=C,求实数a的取值范围.
【解】 (1)由≤0,得-1≤x<4,则A={x|-1≤x<4},由x2+3x-10<0,得-5(2)因为A∩C=C,所以C A,而A={x|-1≤x<4},C={x|a≤x≤2a+2},当C= 时,a>2a+2,解得a<-2,满足题意;当C≠ 时,a≥-2,且解得-1≤a<1,则-1≤a<1.综上,实数a的取值范围为(-∞,-2)∪[-1,1).
16.(15分)已知函数f(x)=log4(2+x)-log4(2-x),函数g(x)=log4(4x-2).
(1)试判断函数f(x)的单调性,并证明你的结论;
(2)若不等式g(log2(2a+1))≤f(x)对x∈[,2)恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)f(x)在其定义域(-2,2)上单调递增.证明如下:
f(x)=log4(2+x)-log4(2-x)=log4. x1,x2∈(-2,2),且x1因为-20,2-x2>0,x1-x2<0,所以<0,所以0<<,
因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以log4(2)由(1)知当x∈[,2)时,f(x)min=f()=log42,由不等式g(log2(2a+1))≤f(x)对x∈[,2)恒成立,
得g(log2(2a+1))≤log42,所以log4(-2)≤log42,所以0<-2≤2,
所以所以<2a+1≤2,解得17.(15分)已知函数f(x)=sin 5x(sin 5x-·cos 5x).
(1)证明:f(x)的图象关于直线x=对称.
(2)求f(x)的单调递增区间.
(3)若f(α)=-,α∈(,),求sin 10α的值.
(1)【证明】 f(x)=sin 5x(sin 5x-cos 5x)=sin25x-sin 5xcos 5x=--
(2sin 5xcos 5x)+=--sin 10x+=-sin(10x+)+,令10x+=+kπ(k∈Z),
解得x=+(k∈Z),
令k=0,得x=,即f(x)的图象关于直线x=对称.
(2)【解】 令+2kπ≤10x+≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z),则f(x)的单调递增区间为[+,+](k∈Z).
(3)【解】 由题意f(α)=-sin(10α+)+=-,得sin(10α+)=,因为α∈(,),所以10α+∈(,π).
所以cos(10α+)=-=-=-,
所以sin 10α=sin[(10α+)-]=sin(10α+)cos -cos(10α+)sin =×-(-)×=.
18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为(,2),(,-2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间;
(3)设m>1,证明:函数g(x)=f(mx)-mf(x)在(0,+∞)上必有零点.
(1)【解】 因为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为(,2),(,-2),所以该函数的最小正周期为T=2×(-),且A=2,又因为ω>0,所以由T=2×(-)=,得ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),把(,2)代入解析式中,
得f()=2sin(2×+φ)=2 +φ=2kπ+(k∈Z) φ=2kπ-(k∈Z),又因为-π<φ<0,所以令k=0,得φ=-,因此f(x)=2sin(2x-).
(2)【解】 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),因为x∈[0,π],所以令k=0,得-≤x≤,即x∈[-,],而x∈[0,π],所以x∈[0,];令k=1,得≤x≤,即x∈[,],而x∈[0,π],所以x∈[,π].所以函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,]和[,π].
(3)【证明】 g(x)=f(mx)-mf(x)=2sin(2mx-)-2msin(2x-),
当m>1时,g(0)=2×(-)-2m·(-)=(m-1)>0,
g()=2·sin(2m×-)-2m·sin(2×-)=2·sin(2m×-)-2m≤2-2m<0,则g(0)g()<0,
且g(x)在(0,+∞)上的图象为一条连续不间断的曲线,所以根据函数零点存在原理,函数g(x)=f(mx)-mf(x)在(0,+∞)上必有零点.
19.(17分)已知cosh x称为双曲余弦函数,其函数表达式为cosh x=,相反地,双曲正弦函数的函数表达式为sinh x=.
(1)证明:cosh2x-sinh 2x=1.
(2)求不等式sinh(2x-1)+sinh(x-2)<0的解集.
(3)函数f(x)=2mcosh 2x-2sinh x-3的图象在区间[0,ln 2]上与x轴有2个交点,求实数m的取值范围.
(1)【证明】 cosh2x-sinh 2x=-=-=1.
(2)【解】 因为sinh(-x)==-sinh x,x∈R恒成立,故y=sinh x是奇函数.又因为y=ex在R上单调递增,y=e-x在R上单调递减,故y=sinh x=是R上的增函数,
因为sinh(2x-1)+sinh(x-2)<0,
所以sinh(2x-1)<-sinh(x-2)=sinh(2-x),所以2x-1<2-x,解得x<1,即所求不等式的解集为(-∞,1).
(3)【解】 因为f(x)=2mcosh 2x-2sinh x-3的图象在区间[0,ln 2]上与x轴有2个交点,
所以m(e2x+e-2x)-(ex-e-x)-3=0在x∈[0,ln 2]上有2个实数根,
所以m=在x∈[0,ln 2]上有2个实数根,令(ex-e-x)+3=t,
易知t=(ex-e-x)+3在x∈[0,ln 2]上单调递增,所以t∈[3,],
则m= ==t+-6,令g(t)=t+-6,t∈[3,],由对勾函数性质可知,
g(t)在[3,)上单调递减,在(,]上单调递增,又g(3)=,g()=2-6,g()=,
作函数g(t)图象的草图,如图,
当2-6<≤时,函数g(t)=t+-6的图象与直线y=有两个交点,即函数f(x)的图象在区间[0,ln 2]上与x轴有2个交点,所以≤m<,即实数m的取值范围为[,).

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