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章末复习提升
题型一　集合的概念与集合间的基本关系
1.理解集合的有关概念、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,能在集合不同的表示方法之间进行转化.
2.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念,能根据集合间的关系,利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或取值
范围.
3.掌握集合的概念与集合间的基本关系,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
[典例1] (多选)已知集合A={x|x<-3或x≥7},B={x|2a[A]3 [B]-8 [C]3.5 [D]6
[跟踪训练] (多选)已知集合A={-2,a2-8,-a2+a-1},B={-7,2a},若B A,则a的值可能是(　　)
[A]-2 [B]-1 [C]1 [D]3
题型二　集合的基本运算
1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题,解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析,使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解.
2.掌握集合的概念与运算,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例2] (2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)等于(　　)
[A]{1,4,9} [B]{3,4,9}
[C]{1,2,3} [D]{2,3,5}
则A∩B={1,4,9}, A(A∩B)={2,3,5}.故选D.
[跟踪训练] (2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1[A] U(M∪N) [B]N∪ UM
[C] U(M∩N) [D]M∪ UN
易知 UM={x|x≥1},则N∪ UM={x|x>-1},选项B错误;
易知M∩N={x|-1易知 UN={x|x≤-1或x≥2},则M∪ UN={x|x<1或x≥2},选项D错误.故选A.
题型三　充分条件与必要条件
1.若p q,且qp,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件;
若p q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件.
2.掌握充要条件的判断和证明方法,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例3] 设全集U=R,集合A={x|2≤x≤4},B={x|-a≤x≤a-2}.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
综上,实数a的取值范围为{a|a<1}.
(2)由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得A B,因此或解得a≥6,所以实数a的取值范围为{a|a≥6}.
[跟踪训练] (2023·北京卷)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
所以充分性成立;
必要性:因为xy≠0,且+=-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0,
所以必要性成立.
所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.故选C.
题型四　全称量词与存在量词
1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时,首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后对结论进行否定.
2.通过对含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数取值范围等问题的研究,培养逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例4] 已知命题p: 1≤x≤2,x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.
(1)若命题p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q的否定均为真命题,求实数a的取值范围.
而=1,则a≤1,
即命题p:a≤1,则命题p的否定:a>1,所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
(2)由 x∈R,x2+2ax+2a+a2=0,得Δ=4a2-4(2a+a2)=-8a≥0,解得a≤0,
即命题q:a≤0,则命题q的否定:a>0.
由(1)知命题p:a≤1,由命题p和命题q的否定均为真命题,得0所以实数a的取值范围是{a|0[跟踪训练] (多选)已知两个命题:(1)若x>0,则2x+1>5;(2)若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.则下列说法正确的是(　　)
[A]命题(2)是全称量词命题
[B]命题(1)的否定:存在x>0,2x+1≤5
[C]命题(2)的否定:存在四边形不是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等
[D]命题(1)和(2)被否定后,都是真命题
对于B,命题(1)的否定:存在x>0,2x+1≤5,故B正确;
对于C,命题(2)的否定:存在四边形是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等,故C错误;
对于D,由于命题(2)“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等”是真命题,所以它的否定是假命题,故D错误.故选AB.
第一章　章末检测卷
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合U={x|1[A]4∈A [B]6 A [C]8∈A [D]9 A
2.命题“ x∈R,2x2+5x+1=0”的否定为(　　)
[A] x R,2x2+5x+1≠0
[B] x R,2x2+5x+1=0
[C] x∈R,2x2+5x+1≠0
[D] x∈R,2x2+5x+1≠0
2x2+5x+1≠0”.故选C.
3.下列说法正确的是(　　)
[A]高一(1)班视力比较好的同学可以构成集合
[B]方程x2=1的解构成的集合与{-1,1}相等
[C]{(1,3)}={(3,1)}
[D]方程(x-1)(x-a)=0的实数解构成的集合为{a,1}
4.甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛,若该比赛的冠军只有1人,则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
5.设全集U是实数集R,M={x|-1≤x≤5},N={x|x≥2},则阴影部分所表示的集合是(　　)
[A]{x|-1≤x<2} [B]{x|2≤x≤5}
[C]{x|-16.使不等式“|x-1|≤1”成立的一个充分不必要条件是(　　)
[A]0≤x≤2　 [B]0[C]x≤2　 [D]x≥0
7.关于方程的解集T的说法正确的是(　　)
[A]T一定为单元素集
[B]T一定为空集
[C]T为空集当且仅当k=0
[D]T可能有无穷多个元素
8.定义:已知集合D满足 a,b∈D,都有a*b∈D,则称集合D对于这种*运算是封闭的.下列说法错误的是(　　)
[A]若D=N,则D对于加法“+”封闭
[B]若D=R,则D对于减法“-”封闭
[C]若D=Q,则D对于乘法“×”封闭
[D]若D=Z,则D对于除法“÷”封闭
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题中为真命题的是(　　)
[A]“x>4”是“x<5”的既不充分也不必要条件
[B]“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
[C]“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2-4ac>0”
[D]设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
10.下列命题的否定中,是假命题的是(　　)
[A]某些平行四边形是菱形
[B] x∈R,x2-3x+3<0
[C] x∈R,|x|+x2≥0
[D] a∈R,x2-ax-1=0有实数解
9-12=-3<0,所以“ x∈R,x2-3x+3<0”是假命题,其否定为真命题;对于C,“ x∈R,|x|+x2≥0”是真命题,其否定为假命题;对于D,因为Δ=a2+4>0,所以“ a∈R,x2-ax+1=0有实数解”是真命题,其否定为假命题.故选ACD.
11.设集合A={x|y=},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x},D={(x,y)},则下列关系中正确的是(　　)
[A]A=B [B]B C
[C]D C [D]A∩C=
又C={(x,y)|y=x},D={(1,1)},所以D C,故选项C正确;
又集合A,B都是数集,而集合C,D都是点集,所以B错误,D正确.故选ACD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若命题“ x∈Z,(x-1)2>x”为假命题,请写出一个满足条件的x的值:　　　　.
13.某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛,根据作品质量评定为优秀和合格两个等级,结果如表所示.若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人,则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为　　　　人.
项目 优秀 合格 合计
语文 20 28 48
英语 30 18 48
card(A∩B)=10,由题意画出Venn图,如图所示,
所以card( UA∩ UB)=48-18-10-8=12,即两项比赛中都评定为优秀的同学最多有12人.
14.用card( )表示有限集合A中元素的个数,定义A*B=
若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值构成集合S,则card(S)=　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知全集U={x∈Z|x2<7},集合A={-1,0,1},B={-1,2}.
(1)求( UA)∪B;
(2)若(A∩B)∩{a,a2-2}≠ ,求a的值.
(2)由题意得A∩B={-1},因为(A∩B)∩{a,a2-2}≠ ,所以-1∈{a,a2-2},所以a=-1或a2-2=-1,解得a=1或a=-1.当a=-1时,a2-2=-1=a,舍去;当a=1时,a2-2=-1≠a,符合题意,所以a=1.
16.(15分)已知命题p:关于x的方程x2-2ax+a2+a-3=0有实数根,q:m-1≤a≤m+5.
(1)若命题p的否定是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
即关于x的方程x2-2ax+a2+a-3=0无实数根,
因此Δ=4a2-4(a2+a-3)<0,解得a>3,所以实数a的取值范围是(3,+∞).
(2)由(1)知,若命题p是真命题,则p:a≤3,因为p是q的必要不充分条件,
所以{a|m-1≤a≤m+5}是{a|a≤3}的真子集,因此m+5≤3,解得m≤-2,
所以实数m的取值范围是(-∞,-2].
17.(15分)已知集合A={x|m4}.
(1)当m=3时,求A∪( RB).
(2)在①A RB;②A∩B= ;③A∩( RB)=A这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并求解.
若　　　　 　　,求实数m的取值范围.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
A∪( RB)={x|-5(2)若选①,当A= ,即m≥2m,m≤0时,A RB成立;当A≠ ,即m<2m,m>0时,由A RB可得解得-5≤m≤2,此时0综上,实数m的取值范围是{m|m≤2}.
若选②,当A= ,即m≥2m,m≤0时,A∩B= 成立;当A≠ ,即m<2m,m>0时,由A∩B= 可得解得-5≤m≤2,此时0若选③,由A∩( RB)=A可得A RB,当A= ,即m≥2m,m≤0时,A RB成立;当A≠ ,即m<2m,m>0时,由A RB可得解得-5≤m≤2,此时0综上,实数m的取值范围是{m|m≤2}.
18.(17分)设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.
则+2ax0+b2=0,+2cx0-b2=0,两式相减并整理,
可得(a-c)x0+b2=0,因为b2>0,所以a-c≠0,所以x0=,
将此式代入+2ax0+b2=0中,整理得b2+c2=a2,故∠A=90°;
充分性:因为∠A=90°,可得b2+c2=a2,所以b2=a2-c2,将b2=a2-c2代入方程x2+2ax+b2=0中,
可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0,将b2=a2-c2代入方程x2+2cx-b2=0中,
可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0,故两方程有公共实数根x=-(a+c).
所以关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.
19.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}.
(1)分别判断-1,0,1是否属于集合A;
(2)写出所有满足集合A的不超过15的正偶数;
(3)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件.
①当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,则(m-n)(m+n)为4的倍数;
②当m,n一奇一偶时,m+n,m-n均为奇数,则(m-n)(m+n)为奇数.
综上,所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z).
因此,满足集合A的不超过15的正偶数有4,8,12.
即一切奇数都属于A,又8∈A,而8 B,所以“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件.(共23张PPT)
章末复习提升
核心题型突破
1.理解集合的有关概念、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,能在集合不同的表示方法之间进行转化.
2.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念,能根据集合间的关系,利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或取值范围.
3.掌握集合的概念与集合间的基本关系,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
题型一　集合的概念与集合间的基本关系
[典例1] (多选)已知集合A={x|x<-3或x≥7},B={x|2a[A]3 [B]-8 [C]3.5 [D]6
BCD
[跟踪训练] (多选)已知集合A={-2,a2-8,-a2+a-1},B={-7,2a},若B A,则a的值可能是(　　 )
[A]-2 [B]-1 [C]1 [D]3
AB
【解析】 因为B A,所以a2-8=-7或-a2+a-1=-7,
解得a=1或a=-1或a=-2或a=3.
当a=1时,A={-2,-7,-1},B={-7,2},则a=1不符合题意;
当a=-1时,A={-2,-7,-3},B={-7,-2},此时B A,则a=-1符合题意;
当a=-2时,A={-2,-4,-7},B={-7,-4},此时B A,则a=-2符合题意;
当a=3时,A={-2,1,-7},B={-7,6},则a=3不符合题意.故选AB.
题型二　集合的基本运算
1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题,解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析,使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解.
2.掌握集合的概念与运算,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[A]{1,4,9} [B]{3,4,9}
[C]{1,2,3} [D]{2,3,5}
D
[跟踪训练] (2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1[A] U(M∪N) [B]N∪ UM
[C] U(M∩N) [D]M∪ UN
A
【解析】 由题意可得M∪N={x|x<2},则 U(M∪N)={x|x≥2},选项A正确;
易知 UM={x|x≥1},则N∪ UM={x|x>-1},选项B错误;
易知M∩N={x|-1易知 UN={x|x≤-1或x≥2},则M∪ UN={x|x<1或x≥2},选项D错误.故选A.
题型三　充分条件与必要条件
2.掌握充要条件的判断和证明方法,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例3] 设全集U=R,集合A={x|2≤x≤4},B={x|-a≤x≤a-2}.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围;
【解】 (1)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件,可知B A,
当B= 时,-a>a-2,解得a<1,符合题意;
当B≠ 时,则有2≤-a≤a-2≤4,无解.
综上,实数a的取值范围为{a|a<1}.
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
C
1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时,首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后对结论进行否定.
2.通过对含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数取值范围等问题的研究,培养逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型四　全称量词与存在量词
[典例4] 已知命题p: 1≤x≤2,x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.
(1)若命题p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q的否定均为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (2)由 x∈R,x2+2ax+2a+a2=0,得Δ=4a2-4(2a+a2)=-8a≥0,解得a≤0,
即命题q:a≤0,则命题q的否定:a>0.
由(1)知命题p:a≤1,由命题p和命题q的否定均为真命题,得0所以实数a的取值范围是{a|0[跟踪训练] (多选)已知两个命题:(1)若x>0,则2x+1>5;(2)若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.则下列说法正确的是(　 　)
[A]命题(2)是全称量词命题
[B]命题(1)的否定:存在x>0,2x+1≤5
[C]命题(2)的否定:存在四边形不是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等
[D]命题(1)和(2)被否定后,都是真命题
AB
【解析】 对于A,“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等”等价于“对于任意一个等腰梯形,它的对角线都相等”,故A正确;
对于B,命题(1)的否定:存在x>0,2x+1≤5,故B正确;
对于C,命题(2)的否定:存在四边形是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等,故C错误;
对于D,由于命题(2)“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等”是真命题,所以它的否定是假命题,故D错误.故选AB.
感谢观看章末复习提升
题型一　集合的概念与集合间的基本关系
1.理解集合的有关概念、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,能在集合不同的表示方法之间进行转化.
2.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念,能根据集合间的关系,利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或取值
范围.
3.掌握集合的概念与集合间的基本关系,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
[典例1] (多选)已知集合A={x|x<-3或x≥7},B={x|2a[A]3 [B]-8 [C]3.5 [D]6
【答案】 BCD
【解析】 因为B是A的真子集,若B= ,则2a≥a+5,解得a≥5,符合题意;若B≠ ,则2a[跟踪训练] (多选)已知集合A={-2,a2-8,-a2+a-1},B={-7,2a},若B A,则a的值可能是(　　)
[A]-2 [B]-1 [C]1 [D]3
【答案】 AB
【解析】 因为B A,所以a2-8=-7或-a2+a-1=-7,解得a=1或a=-1或a=-2或a=3.当a=1时,A={-2,-7,-1},B={-7,2},则a=1不符合题意;当a=-1时,A={-2,-7,-3},B={-7,-2},此时B A,则a=-1符合题意;当a=-2时,A={-2,-4,-7},B={-7,-4},此时B A,则a=-2符合题意;当a=3时,A={-2,1,-7},B={-7,6},则a=3不符合题意.故选AB.
题型二　集合的基本运算
1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题,解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析,使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解.
2.掌握集合的概念与运算,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例2] (2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)等于(　　)
[A]{1,4,9} [B]{3,4,9}
[C]{1,2,3} [D]{2,3,5}
【答案】 D
【解析】 因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},所以B={1,4,9,16,25,81},
则A∩B={1,4,9}, A(A∩B)={2,3,5}.故选D.
[跟踪训练] (2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1[A] U(M∪N) [B]N∪ UM
[C] U(M∩N) [D]M∪ UN
【答案】 A
【解析】 由题意可得M∪N={x|x<2},则 U(M∪N)={x|x≥2},选项A正确;
易知 UM={x|x≥1},则N∪ UM={x|x>-1},选项B错误;
易知M∩N={x|-1易知 UN={x|x≤-1或x≥2},则M∪ UN={x|x<1或x≥2},选项D错误.故选A.
题型三　充分条件与必要条件
1.若p q,且qp,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件;
若p q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件.
2.掌握充要条件的判断和证明方法,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例3] 设全集U=R,集合A={x|2≤x≤4},B={x|-a≤x≤a-2}.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【解】 (1)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件,可知B A,当B= 时,-a>a-2,解得a<1,符合题意;当B≠ 时,则有2≤-a≤a-2≤4,无解.
综上,实数a的取值范围为{a|a<1}.
(2)由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得A B,因此或解得a≥6,所以实数a的取值范围为{a|a≥6}.
[跟踪训练] (2023·北京卷)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 充分性:因为xy≠0,且x+y=0,所以 x=-y,所以+=+=-1-1=-2,
所以充分性成立;
必要性:因为xy≠0,且+=-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0,
所以必要性成立.
所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.故选C.
题型四　全称量词与存在量词
1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时,首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后对结论进行否定.
2.通过对含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数取值范围等问题的研究,培养逻辑推理和数学运算的核心素养.
[典例4] 已知命题p: 1≤x≤2,x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.
(1)若命题p的否定为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q的否定均为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (1)对于任意1≤x≤2,不等式x2-a≥0等价于对于任意1≤x≤2,a≤x2恒成立,
而=1,则a≤1,
即命题p:a≤1,则命题p的否定:a>1,所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
(2)由 x∈R,x2+2ax+2a+a2=0,得Δ=4a2-4(2a+a2)=-8a≥0,解得a≤0,
即命题q:a≤0,则命题q的否定:a>0.
由(1)知命题p:a≤1,由命题p和命题q的否定均为真命题,得0所以实数a的取值范围是{a|0[跟踪训练] (多选)已知两个命题:(1)若x>0,则2x+1>5;(2)若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.则下列说法正确的是(　　)
[A]命题(2)是全称量词命题
[B]命题(1)的否定:存在x>0,2x+1≤5
[C]命题(2)的否定:存在四边形不是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等
[D]命题(1)和(2)被否定后,都是真命题
【答案】 AB
【解析】 对于A,“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等”等价于“对于任意一个等腰梯形,它的对角线都相等”,故A正确;
对于B,命题(1)的否定:存在x>0,2x+1≤5,故B正确;
对于C,命题(2)的否定:存在四边形是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等,故C错误;
对于D,由于命题(2)“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等”是真命题,所以它的否定是假命题,故D错误.故选AB.
第一章　章末检测卷
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合U={x|1[A]4∈A [B]6 A [C]8∈A [D]9 A
【答案】 A
【解析】 因为U={x|12.命题“ x∈R,2x2+5x+1=0”的否定为(　　)
[A] x R,2x2+5x+1≠0
[B] x R,2x2+5x+1=0
[C] x∈R,2x2+5x+1≠0
[D] x∈R,2x2+5x+1≠0
【答案】 C
【解析】 根据全称量词命题的否定形式可知,“ x∈R,2x2+5x+1=0”的否定为“ x∈R,
2x2+5x+1≠0”.故选C.
3.下列说法正确的是(　　)
[A]高一(1)班视力比较好的同学可以构成集合
[B]方程x2=1的解构成的集合与{-1,1}相等
[C]{(1,3)}={(3,1)}
[D]方程(x-1)(x-a)=0的实数解构成的集合为{a,1}
【答案】 B
【解析】 “视力比较好”的标准不明确,不能构成集合,A错误;由x2=1,可得x=-1或x=1,对应集合为{-1,1},B正确;显然(1,3),(3,1)表示不同的点,故集合不相等,C错误;若a=1,则集合为{1},不能写成{a,1},D错误.故选B.
4.甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛,若该比赛的冠军只有1人,则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 若甲是冠军,则乙不是冠军;若乙不是冠军,则甲是冠军或丙是冠军,所以“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件.故选B.
5.设全集U是实数集R,M={x|-1≤x≤5},N={x|x≥2},则阴影部分所表示的集合是(　　)
[A]{x|-1≤x<2} [B]{x|2≤x≤5}
[C]{x|-1【答案】 A
【解析】 阴影部分表示的集合为M∩ UN={x|-1≤x<2}.故选A.
6.使不等式“|x-1|≤1”成立的一个充分不必要条件是(　　)
[A]0≤x≤2　 [B]0[C]x≤2　 [D]x≥0
【答案】 B
【解析】 由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2,即不等式|x-1|≤1的解集为{x|0≤x≤2},由题意可得,正确选项对应的集合为{x|0≤x≤2}的真子集.故选B.
7.关于方程的解集T的说法正确的是(　　)
[A]T一定为单元素集
[B]T一定为空集
[C]T为空集当且仅当k=0
[D]T可能有无穷多个元素
【答案】 C
【解析】 由题意可知kx+1=2kx+3,即kx=-2,当k=0时,0=-2不成立,方程组无解,解集为空集;当k≠0时,x=-,方程组有唯一解,解集为单元素集.故选C.
8.定义:已知集合D满足 a,b∈D,都有a*b∈D,则称集合D对于这种*运算是封闭的.下列说法错误的是(　　)
[A]若D=N,则D对于加法“+”封闭
[B]若D=R,则D对于减法“-”封闭
[C]若D=Q,则D对于乘法“×”封闭
[D]若D=Z,则D对于除法“÷”封闭
【答案】 D
【解析】 任意两个自然数相加必是自然数,所以D对于加法“+”封闭,A正确;任意两个实数相减必是实数,所以D对于减法“-”封闭,B正确;任意两个有理数相乘必是有理数,所以D对于乘法“×”封闭,C正确;对于除数是0的情况,任何数除以0没有意义,故D对于除法“÷”不封闭,D错误.故选D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题中为真命题的是(　　)
[A]“x>4”是“x<5”的既不充分也不必要条件
[B]“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
[C]“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2-4ac>0”
[D]设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
【答案】 AD
【解析】 对于A,由于“x>4”与“x<5”互相不能推出,所以A正确;对于B,正三角形一定是等腰三角形,等腰三角形不一定是正三角形,即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件,所以B错误;对于C,“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2-4ac≥0”,所以C错误;对于D,因为b可以等于零,所以由a≠0不能推出ab≠0,故充分性不成立,由ab≠0可得a≠0且b≠0,即必要性成立,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件,所以D正确.故选AD.
10.下列命题的否定中,是假命题的是(　　)
[A]某些平行四边形是菱形
[B] x∈R,x2-3x+3<0
[C] x∈R,|x|+x2≥0
[D] a∈R,x2-ax-1=0有实数解
【答案】 ACD
【解析】 对于A,“某些平行四边形是菱形”是真命题,其否定为假命题;对于B,因为Δ=
9-12=-3<0,所以“ x∈R,x2-3x+3<0”是假命题,其否定为真命题;对于C,“ x∈R,|x|+x2≥0”是真命题,其否定为假命题;对于D,因为Δ=a2+4>0,所以“ a∈R,x2-ax+1=0有实数解”是真命题,其否定为假命题.故选ACD.
11.设集合A={x|y=},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x},D={(x,y)},则下列关系中正确的是(　　)
[A]A=B [B]B C
[C]D C [D]A∩C=
【答案】 ACD
【解析】 由题意得A={x|x≥1},B={y|y≥1},所以A=B,故选项A正确;
又C={(x,y)|y=x},D={(1,1)},所以D C,故选项C正确;
又集合A,B都是数集,而集合C,D都是点集,所以B错误,D正确.故选ACD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若命题“ x∈Z,(x-1)2>x”为假命题,请写出一个满足条件的x的值:　　　　.
【答案】 1(答案不唯一,1或2均可)
【解析】 观察可得x的值可以取1或2.
13.某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛,根据作品质量评定为优秀和合格两个等级,结果如表所示.若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人,则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为　　　　人.
项目 优秀 合格 合计
语文 20 28 48
英语 30 18 48
【答案】 12
【解析】 设语文合格的为集合A,英语合格的为集合B,则card(A)=28,card(B)=18,
card(A∩B)=10,由题意画出Venn图,如图所示,
所以card( UA∩ UB)=48-18-10-8=12,即两项比赛中都评定为优秀的同学最多有12人.
14.用card(A)表示有限集合A中元素的个数,定义A*B=
若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值构成集合S,则card(S)=　　　　.
【答案】 3
【解析】 (x2+ax)(x2+ax+2)=0等价于x2+ax=0①或x2+ax+2=0②.由A={1,2},且A*B=1,得集合B可以是单元素集合,也可以是三元素集合.若集合B是单元素集合,则方程①有两相等实根,方程②无实数根,可得a=0;若集合B是三元素集合,则方程①有两不相等实根,方程②有两个相等且异于方程①的实数根,即解得a=±2.综上所述,a=0或a=±2,所以card(S)=3.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知全集U={x∈Z|x2<7},集合A={-1,0,1},B={-1,2}.
(1)求( UA)∪B;
(2)若(A∩B)∩{a,a2-2}≠ ,求a的值.
【解】 (1)由题意得U={-2,-1,0,1,2},则 UA={-2,2},所以( UA)∪B={-2,-1,2}.
(2)由题意得A∩B={-1},因为(A∩B)∩{a,a2-2}≠ ,所以-1∈{a,a2-2},所以a=-1或a2-2=-1,解得a=1或a=-1.当a=-1时,a2-2=-1=a,舍去;当a=1时,a2-2=-1≠a,符合题意,所以a=1.
16.(15分)已知命题p:关于x的方程x2-2ax+a2+a-3=0有实数根,q:m-1≤a≤m+5.
(1)若命题p的否定是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为命题p的否定是真命题,所以命题p是假命题,
即关于x的方程x2-2ax+a2+a-3=0无实数根,
因此Δ=4a2-4(a2+a-3)<0,解得a>3,所以实数a的取值范围是(3,+∞).
(2)由(1)知,若命题p是真命题,则p:a≤3,因为p是q的必要不充分条件,
所以{a|m-1≤a≤m+5}是{a|a≤3}的真子集,因此m+5≤3,解得m≤-2,
所以实数m的取值范围是(-∞,-2].
17.(15分)已知集合A={x|m4}.
(1)当m=3时,求A∪( RB).
(2)在①A RB;②A∩B= ;③A∩( RB)=A这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并求解.
若　　　　 　　,求实数m的取值范围.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
【解】 (1)当m=3时,A={x|34},所以 RB={x|-5A∪( RB)={x|-5(2)若选①,当A= ,即m≥2m,m≤0时,A RB成立;当A≠ ,即m<2m,m>0时,由A RB可得解得-5≤m≤2,此时0综上,实数m的取值范围是{m|m≤2}.
若选②,当A= ,即m≥2m,m≤0时,A∩B= 成立;当A≠ ,即m<2m,m>0时,由A∩B= 可得解得-5≤m≤2,此时0若选③,由A∩( RB)=A可得A RB,当A= ,即m≥2m,m≤0时,A RB成立;当A≠ ,即m<2m,m>0时,由A RB可得解得-5≤m≤2,此时0综上,实数m的取值范围是{m|m≤2}.
18.(17分)设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.
【证明】 必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根x0,
则+2ax0+b2=0,+2cx0-b2=0,两式相减并整理,
可得(a-c)x0+b2=0,因为b2>0,所以a-c≠0,所以x0=,
将此式代入+2ax0+b2=0中,整理得b2+c2=a2,故∠A=90°;
充分性:因为∠A=90°,可得b2+c2=a2,所以b2=a2-c2,将b2=a2-c2代入方程x2+2ax+b2=0中,
可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0,将b2=a2-c2代入方程x2+2cx-b2=0中,
可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0,故两方程有公共实数根x=-(a+c).
所以关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.
19.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}.
(1)分别判断-1,0,1是否属于集合A;
(2)写出所有满足集合A的不超过15的正偶数;
(3)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件.
(1)【解】 因为-1=02-12,0=12-(-1)2,1=12-02,所以-1,0,1都属于集合A.
(2)【解】 集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z},m2-n2=(m-n)(m+n),
①当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,则(m-n)(m+n)为4的倍数;
②当m,n一奇一偶时,m+n,m-n均为奇数,则(m-n)(m+n)为奇数.
综上,所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z).
因此,满足集合A的不超过15的正偶数有4,8,12.
(3)【证明】 因为集合B={x|x=2k+1,k∈Z},且恒有2k+1=(k+1)2-k2,所以2k+1∈A,
即一切奇数都属于A,又8∈A,而8 B,所以“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件.

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