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培优课2　活用基本不等式求最值
题型一　巧用“1”的代换求最值
[例1] 已知正实数a,b满足3a+b=2,求+的最小值.
【解】 因为a>0,b>0,3a+b=2,所以+=(+)(3a+b)=2+(+)≥2+2×=2+,当且仅当=,且3a+b=2,即a=,b=-1时,等号成立,所以+的最小值为2+.
[典例迁移1] 已知正实数a,b满足a+2b=ab,求2a+b的最小值.
【解】 因为a>0,b>0,a+2b=ab,所以+=1,所以2a+b=(2a+b)(+)=5++≥5+2=9,当且仅当=,且+=1,即a=b=3时,等号成立,所以2a+b的最小值为9.
[典例迁移2] 已知0【解】 因为00,又=1,即+=1,
所以+=(+)·(+)=++≥+2=,
当且仅当=,即x=时,等号成立,所以+的最小值为.
常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造“和”或“积”的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
题型二　消元法求最值
[例2] 已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,求a+2b的最小值.
【解】 由2a+b=ab-1,显然b≠2,得a=,因为a>0,b>0,所以a=>0,所以b>2,
所以a+2b=+2b=+2(b-2)+4=2(b-2)++5≥2+5=5+2,
当且仅当2(b-2)=,即b=2+时,等号成立,所以a+2b的最小值为5+2.
对含有多个变量的条件最值问题,若无法直接利用基本不等式求解,可尝试减少变量的个数,即用其中一个变量表示另一个,再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
[变式训练] 设正实数x,y,z满足x2+3xy+4y2-z=0,求的最小值.
【解】 正实数x,y,z满足x2+3xy+4y2-z=0,可得z=x2+3xy+4y2,
则==3++≥3+2=7,
当且仅当x=2y时,等号成立,所以的最小值为7.
题型三　换元法求最值
[例3] 已知x>1,求的最大值.
【解】 令x-1=t,则x=t+1,由x>1,得t>0,则===.因为t+≥2=2,当且仅当t=时,等号成立,所以≤=,所以的最大值为.
换元实际上就是整体思想的一种表现,通过换元,可以减少计算量,容易转换为熟悉的模型,将问题明朗化.
[变式训练] 已知x,y>0,且x+2y=4,求+的最小值.
【解】 设x+2=a,2y+2=b,则a+b=8,由x,y>0,得a,b>0,则原式转化为+=a+b++-8=+=(a+b)(+)=1+(+)≥1+×2=2,当且仅当a=b=4时,等号成立,此时x=2,y=1.故所求最小值为2.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分.
1.已知x>0,y>0,且+2y=1,则2x+的最小值为(　　)
[A]4 [B]6 [C]8 [D]10
【答案】 C
【解析】 因为x>0,y>0,且+2y=1,所以2x+=(2x+)(+2y)=4+4xy+≥4+2=8,当且仅当即时,等号成立,故2x+的最小值为8.故选C.
2.已知x,y为正实数,且x+y=1,则的最小值为(　　)
[A]4+7 [B]2+3
[C]4 [D]6
【答案】 B
【解析】 因为x,y为正实数,且x+y=1,
所以===+=(x+y)(+)=3++≥3+2=3+2,
当且仅当即时,等号成立.故选B.
3.已知x,y>0,那么的最大值为(　　)
[A]2 [B] [C]3 [D]
【答案】 B
【解析】 因为()2==1+≤1+=2,当且仅当x=y时,等号成立,所以的最大值为.故选B.
4.已知m>0,n>0,m2+4mn+3n2=m+n,则+的最小值为(　　)
[A]4+2 [B]10
[C]3+2 [D]12
【答案】 D
【解析】 由m2+4mn+3n2=m+n得(m+3n)(m+n)=m+n,因为m>0,n>0,所以m+3n=1,
则+=(+)(m+3n)=++6≥2+6=12,当且仅当=,即m=,n=时,等号成立.
故选D.
5.已知正实数x,y满足+=1,则4xy-3x的最小值为(　　)
[A]8 [B]9 [C]10 [D]11
【答案】 B
【解析】 由x>0,y>0,且+=1,可得xy=x+y,所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y.
又因为x+4y=(x+4y)(+)=5++≥5+2=9,
当且仅当=,即x=3,y=时,等号成立,所以4xy-3x的最小值为9.故选B.
6.当a>0,b>0时,≤,则实数m的最大值为(　　)
[A]64 [B]25 [C]13 [D]12
【答案】 B
【解析】 因为a>0,b>0,所以a+b>0,所以≤等价于m≤(a+b).
因为(a+b)=(+)(a+b)=13++≥13+2=25,
当且仅当=,即b=a时,等号成立,所以m≤25,
即实数m的最大值为25.故选B.
7.(5分)若实数a,b满足a2+2ab=1,则a2+b2的最小值是　　　　.
【答案】
【解析】 由a2+2ab=1可得b=,所以a2+b2=a2+()2=+-≥2-=,
当且仅当a2=时,等号成立.
8.(5分)若x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值为　　　　.
【答案】 4
【解析】 由x+2y+2xy=8,可得y=,因为x>0,y>0,所以0所以x+2y=x+=x+=x+-1=x+1+-2≥2-2=4,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立.所以x+2y的最小值为4.
9.(13分)(1)已知x,y,z>0,且x+y+z=1,求++的最小值;
(2)已知m>0,n>0,且n=,求+的最小值.
【解】 (1)由题意,++=(x+y+z)(++)=1++++4++++9
=++++++14≥2+2+2+14
=2×2+2×3+2×6+14=36,
当且仅当x=,y=,z=时,等号成立,因此,++的最小值为36.
(2)由n=,得mn=m+n,即m-1=,n-1=,因为m>0,n>0,所以>0,>0,
则+=+≥2=4,
当且仅当=,即m=,n=3时,等号成立,故+的最小值为4.
10.(15分)(1)已知a>b>0,求的最小值;
(2)已知实数x,y满足x(x+y)=2+2y2,求7x2-y2的最小值.
【解】 (1)=,令=t(t>1),所以t-1>0,
则====(t-1)++2≥2+2=2+2,
当且仅当t-1=,即t=+1,即=+1时,等号成立,所以的最小值为2+2.
(2)因为实数x,y满足x(x+y)=2+2y2,
化为(x+2y)(x-y)=2,
令x+2y=m,x-y=n,则mn=2,
联立可得x=,y=,
则7x2-y2=7×-=(2m2++20)≥(2+20)=,
当且仅当2m2=,即m2=3,n2=时,等号成立,所以7x2-y2的最小值为.
11.已知a>0,b>1且a+b=2,则+的最小值为(　　)
[A]4 [B]7
[C]15 [D]4+2
【答案】 C
【解析】 因为a>0,b>1且a+b=2,所以a+b-1=1,
所以+=+=a++(b-1)+2+
=3+(+)=3+(+)[a+(b-1)]
=3+3+++3≥9+2=15,
当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,所以+的最小值为15.故选C.
12.(5分)已知a,b都是正数,则+的最小值是　　　　.
【答案】 2
【解析】 设2a+3b=x,3a+2b=y,因为a,b均为正实数,所以x>0,y>0,联立解得a=(3y-2x),
b=(3x-2y),所以+=+=+-4≥2-4=2,当且仅当=,即x=y,即2a+3b=3a+2b,即a=b时,等号成立.
13.(17分)已知a>0,b>0.
(1)若+=1,求+的最大值;
(2)若+=2,求+的最小值.
【解】 (1)令1+=m,1+=n,则2(m-1)+3(n-1)=1,即2m+3n=6,由a>0,b>0,得m>0,n>0,则+=+=+=5-(+)·(2m+3n)=5-(4+9++)≤5-(13+2)=,当且仅当=,即m=n时,等号成立,又2m+3n=6,得m=,n=,即当a=5,b=5时,+取得最大值.
(2)令1+=m,1+=n,得=,=,则+=+=+=2,
所以+=++3=++3
=++=(+)·(+)+
=(++)+≥(+2)+=,
当且仅当=时,等号成立,又m>0,n>0,3m=2n,+=2,得m=,n=,
即当a=12,b=4时,+取得最小值.
14.已知正数a,b满足4-ab=2b+a,则当a-取得最大值时,a等于(　　)
[A]4+ [B]4
[C]3-4 [D]4-
【答案】 D
【解析】 由4-ab=2b+a,得b=,因为a>0,b>0,所以0题型一　巧用“1”的代换求最值
[例1] 已知正实数a,b满足3a+b=2,求+的最小值.
[典例迁移1] 已知正实数a,b满足a+2b=ab,求2a+b的最小值.
[典例迁移2] 已知0所以+=(+)·(+)=++≥+2=,
当且仅当=,即x=时,等号成立,所以+的最小值为.
常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造“和”或“积”的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
题型二　消元法求最值
[例2] 已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,求a+2b的最小值.
所以a+2b=+2b=+2(b-2)+4=2(b-2)++5≥2+5=5+2,
当且仅当2(b-2)=,即b=2+时,等号成立,所以a+2b的最小值为5+2.
对含有多个变量的条件最值问题,若无法直接利用基本不等式求解,可尝试减少变量的个数,即用其中一个变量表示另一个,再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
[变式训练] 设正实数x,y,z满足x2+3xy+4y2-z=0,求的最小值.
则==3++≥3+2=7,
当且仅当x=2y时,等号成立,所以的最小值为7.
题型三　换元法求最值
[例3] 已知x>1,求的最大值.
换元实际上就是整体思想的一种表现,通过换元,可以减少计算量,容易转换为熟悉的模型,将问题明朗化.
[变式训练] 已知x,y>0,且x+2y=4,求+的最小值.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分.
1.已知x>0,y>0,且+2y=1,则2x+的最小值为(　　)
[A]4 [B]6 [C]8 [D]10
2.已知x,y为正实数,且x+y=1,则的最小值为(　　)
[A]4+7 [B]2+3
[C]4 [D]6
所以===+=(x+y)(+)=3++≥3+2=3+2,
当且仅当即时,等号成立.故选B.
3.已知x,y>0,那么的最大值为(　　)
[A]2 [B] [C]3 [D]
4.已知m>0,n>0,m2+4mn+3n2=m+n,则+的最小值为(　　)
[A]4+2 [B]10
[C]3+2 [D]12
则+=(+)(m+3n)=++6≥2+6=12,当且仅当=,即m=,n=时,等号成立.
故选D.
5.已知正实数x,y满足+=1,则4xy-3x的最小值为(　　)
[A]8 [B]9 [C]10 [D]11
又因为x+4y=(x+4y)(+)=5++≥5+2=9,
当且仅当=,即x=3,y=时,等号成立,所以4xy-3x的最小值为9.故选B.
6.当a>0,b>0时,≤,则实数m的最大值为(　　)
[A]64 [B]25 [C]13 [D]12
因为(a+b)=(+)(a+b)=13++≥13+2=25,
当且仅当=,即b=a时,等号成立,所以m≤25,
即实数m的最大值为25.故选B.
7.(5分)若实数a,b满足a2+2ab=1,则a2+b2的最小值是　　　　.
当且仅当a2=时,等号成立.
8.(5分)若x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值为　　　　.
所以x+2y=x+=x+=x+-1=x+1+-2≥2-2=4,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立.所以x+2y的最小值为4.
9.(13分)(1)已知x,y,z>0,且x+y+z=1,求++的最小值;
(2)已知m>0,n>0,且n=,求+的最小值.
=++++++14≥2+2+2+14
=2×2+2×3+2×6+14=36,
当且仅当x=,y=,z=时,等号成立,因此,++的最小值为36.
(2)由n=,得mn=m+n,即m-1=,n-1=,因为m>0,n>0,所以>0,>0,
则+=+≥2=4,
当且仅当=,即m=,n=3时,等号成立,故+的最小值为4.
10.(15分)(1)已知a>b>0,求的最小值;
(2)已知实数x,y满足x(x+y)=2+2y2,求7x2-y2的最小值.
则====(t-1)++2≥2+2=2+2,
当且仅当t-1=,即t=+1,即=+1时,等号成立,所以的最小值为2+2.
(2)因为实数x,y满足x(x+y)=2+2y2,
化为(x+2y)(x-y)=2,
令x+2y=m,x-y=n,则mn=2,
联立可得x=,y=,
则7x2-y2=7×-=(2m2++20)≥(2+20)=,
当且仅当2m2=,即m2=3,n2=时,等号成立,所以7x2-y2的最小值为.
11.已知a>0,b>1且a+b=2,则+的最小值为(　　)
[A]4 [B]7
[C]15 [D]4+2
所以+=+=a++(b-1)+2+
=3+(+)=3+(+)[a+(b-1)]
=3+3+++3≥9+2=15,
当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,所以+的最小值为15.故选C.
12.(5分)已知a,b都是正数,则+的最小值是　　　　.
b=(3x-2y),所以+=+=+-4≥2-4=2,当且仅当=,即x=y,即2a+3b=3a+2b,即a=b时,等号成立.
13.(17分)已知a>0,b>0.
(1)若+=1,求+的最大值;
(2)若+=2,求+的最小值.
(2)令1+=m,1+=n,得=,=,则+=+=+=2,
所以+=++3=++3
=++=(+)·(+)+
=(++)+≥(+2)+=,
当且仅当=时,等号成立,又m>0,n>0,3m=2n,+=2,得m=,n=,
即当a=12,b=4时,+取得最小值.
14.已知正数a,b满足4-ab=2b+a,则当a-取得最大值时,a等于(　　)
[A]4+ [B]4
[C]3-4 [D]4-(共13张PPT)
培优课2　活用基本
不等式求最值
关键能力·素养培优
题型一　巧用“1”的代换求最值
[典例迁移1] 已知正实数a,b满足a+2b=ab,求2a+b的最小值.
·解题策略·
常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造“和”或“积”
的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
题型二　消元法求最值
[例2] 已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,求a+2b的最小值.
·解题策略·
对含有多个变量的条件最值问题,若无法直接利用基本不等式求解,可尝试减少变量的个数,即用其中一个变量表示另一个,再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
题型三　换元法求最值
·解题策略·
换元实际上就是整体思想的一种表现,通过换元,可以减少计算量,容易转换为熟悉的模型,将问题明朗化.
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