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培优课3　不等式
恒成立、能成立问题
关键能力·素养培优
题型一　在R上的恒成立问题
[例1] 已知关于x的不等式ax2+2ax+1≥0的解集为R,求实数a的取值范围.
·解题策略·
不等式对任意实数x恒成立,即不等式的解集为R.
·解题策略·
提醒:注意题意中是否要求不等式是一元二次不等式,注意讨论二次项系数,结合二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况讨论,注意所列的关于判别式Δ的不等式是否取等号.
[变式训练] (湘教版必修第一册P55例5)若对任意的实数x,一元二次不等式x2+2(1+k)x+3+k>0恒成立,求实数k的取值范围.
【解】 由题意知,一元二次不等式x2+2(1+k)x+3+k>0的解集为R,
于是对应二次函数y=x2+2(1+k)x+3+k的图象开口向上,且恒在x轴上方,
所以Δ=4(1+k)2-4(3+k)<0,
即4(k2+k-2)<0,
求解该一元二次不等式得-2故实数k的取值范围为{k|-2题型二　在给定范围上的恒成立问题
[例2] 已知二次函数y=x2+mx-1,若对于任意m≤x≤m+1都有y>0成立,求实数m的取值范围.
[典例迁移1] 若不等式x2-2x-3≤0对 x∈{x|a≤x≤a+2}恒成立,则实数a的值可以是(　　)
C
[典例迁移2] 若 x∈{x|1(　　)
[A]{m|m≤2} [B]{m|m≥2}
[C]{m|12}
B
·解题策略·
(1)当a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
(2)当a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
(3)若是不等式的解集可以求解,也可以转化为集合关系(子集)问题.
(4)对一些简单的问题,通过求y的最小值与最大值,求得参数的取值范围.
题型三　在给定范围上的能成立问题
[例3] 当10有解,求实数m的取值范围.
【解】 因为y=x2+mx+4的图象开口向上,所以当10有解,即m+5>0或2m+8>0,解得m>-5.故实数m的取值范围为{m|m>-5}.
[典例迁移1] 若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a|a≤-2} [B]{a|a≥-2}
[C]{a|a≥-6} [D]{a|a≤-6}
【解析】 不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解等价于当1≤x≤4时,
a≤(x2-4x-2)max.当1≤x≤4时,(x2-4x-2)max=-2,所以a≤-2.故选A.
A
[典例迁移2] (多选)已知关于x的不等式ax2-2x+3a<0在0[A]-3 [B]-2 [C]1 [D]2
AB
·解题策略·
(1)当a>0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上能成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值有一个大于0.
(2)当a<0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上能成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值有一个小于0.
(3)若是不等式的解集可以求解,也可以转化为集合关系(两个集合的交集不是空集)问题.
(4)可以使用分离参数法,转化为其他函数的最值问题.
感谢观看培优课3　不等式恒成立、能成立问题
题型一　在R上的恒成立问题
[例1] 已知关于x的不等式ax2+2ax+1≥0的解集为R,求实数a的取值范围.
综上,实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}.
不等式对任意实数x恒成立,即不等式的解集为R.
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
提醒:注意题意中是否要求不等式是一元二次不等式,注意讨论二次项系数,结合二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况讨论,注意所列的关于判别式Δ的不等式是否取
等号.
[变式训练] (湘教版必修第一册P55例5)若对任意的实数x,一元二次不等式x2+2(1+k)x+3+k>0恒成立,求实数k的取值范围.
即4(k2+k-2)<0,
求解该一元二次不等式得-2故实数k的取值范围为{k|-2题型二　在给定范围上的恒成立问题
[例2] 已知二次函数y=x2+mx-1,若对于任意m≤x≤m+1都有y>0成立,求实数m的取值
范围.
【解】由题意得二次函数y=x2+mx-1图象的对称轴方程为x=-.
①当-≤m,即m≥0时,若要对任意m≤x≤m+1都有y>0,则只需满足当x=m时,y>0,即2m2-1>0,解得m>;
②当m+1≤-,即m≤-时,若要对任意m≤x≤m+1都有y>0,则只需满足当x=m+1时,y>0,即2m2+3m>0,解得m<-;
③当m<-综上,实数m的取值范围为{m|m<-或m>}.
[典例迁移1] 若不等式x2-2x-3≤0对 x∈{x|a≤x≤a+2}恒成立,则实数a的值可以是(　　)
[A]-2 [B]- [C] [D]2
法二　因为y=x2-2x-3的图象开口向上,所以只要
所以 所以-1≤a≤1.故选C.
[典例迁移2] 若 x∈{x|1[A]{m|m≤2} [B]{m|m≥2}
[C]{m|12}
(1)当a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
(2)当a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
(3)若是不等式的解集可以求解,也可以转化为集合关系(子集)问题.
(4)对一些简单的问题,通过求y的最小值与最大值,求得参数的取值范围.
题型三　在给定范围上的能成立问题
[例3] 当10有解,求实数m的取值范围.
[典例迁移1] 若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a|a≤-2} [B]{a|a≥-2}
[C]{a|a≥-6} [D]{a|a≤-6}
[典例迁移2] (多选)已知关于x的不等式ax2-2x+3a<0在0[A]-3 [B]-2 [C]1 [D]2
(1)当a>0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上能成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值有一个大于0.
(2)当a<0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上能成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值有一个小于0.
(3)若是不等式的解集可以求解,也可以转化为集合关系(两个集合的交集不是空集)问题.
(4)可以使用分离参数法,转化为其他函数的最值问题.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分.
1.若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
[A]{m} [B]{m}
[C]{m|m<1} [D]{m|m>1}
2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a|a≤-4或a≥4}
[B]{a|-4≤a≤4}
[C]{a|a<-4或a>4}
[D]{a|-43.已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a|-1≤a≤4}
[B]{a|-1[C]{a|a≥4或a≤-1}
[D]{a|-4≤a≤1}
4.若函数y=ax2的图象恒在函数y=ax-1图象的上方,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a|0≤a<4}
[B]{a|-4[C]{a|a<-4或a≥0}
[D]{a|0解得05.若命题“ x∈R,使得x2+2ax+2a+3≥0”为假命题,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a|a<-1或a>3}
[B]{a|-1≤a≤3}
[C]{a|a<-1}
[D]{a≤a≤1+}
6.当x>0时,不等式x2-mx+8≥0恒成立,则实数m可取的最大整数值是(　　)
[A]4 [B]5 [C]6 [D]7
7.(5分)若对于任意x∈R,都有意义,则实数m的取值范围是　　　　　.
8.(5分)若当x>0时,不等式x2-(m+1)x+16≤0有解,则实数m的最小值为　　　　.
9.(13分)已知二次函数y=ax2+(a-2)x-2.
(1)当a=1时,求y的最小值;
(2)若 x∈R,y≥-3恒成立,求实数a的取值范围.
(2)若 x∈R,y≥-3恒成立,即 x∈R,ax2+(a-2)x+1≥0恒成立.当a=0时,-2x+1≥0不恒成立;当a≠0时,只需满足即 解得4-2≤a≤4+2.综上,实数a的取值范围为{a|4-2≤a≤4+2}.
10.(15分)已知不等式mx2-mx+2≥0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当3≤x≤5时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
②若m≠0,则不等式mx2-mx+2≥0恒成立,
等价于解得0综上,实数m的取值范围是{m|0≤m≤8}.
(2)法一　①当m=0时,则原不等式可化为2≥0,符合题意;
②当m>0时,函数y=mx2-mx+2的图象开口向上,对称轴为直线x=,
当3≤x≤5时,函数在x=3时取得最小值,
所以解得m>0;
③当m<0时,函数y=mx2-mx+2的图象开口向下,对称轴为直线x=,
当3≤x≤5时,函数在x=5时取得最小值,
则解得-≤m<0.
综上,实数m的取值范围是{m}.
法二　当3≤x≤5时,
令t=x2-x=(x-)2-,
结合t=x2-x的图象(图略),知t min=32-3=6,
tmax=52-5=20,所以6≤t≤20,
所以mx2-mx+2≥0可以化为m≥,
即m≥,()max==-,所以m≥-,
即实数m的取值范围是{m}.
11.已知集合A={t|t2-5t-6≤0},对于任意的t∈A,不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,则实数x的取值范围是(　　)
[A]{x|1[B]{x|x≠1}
[C]{x|-5[D]{x|x<-5或x>2}
x-1+t<0 x<1-t恒成立,此时x<-5.综上,实数x的取值范围是{x|x<-5或x>2}.故选D.
12.(5分)已知关于x的不等式≤0的解集为 ,则实数k的取值范围是　　　　.
13.(17分)已知函数y=ax2-(2a+1)x+2.
(1)若不等式y>-的解集为R,求实数a的取值范围;
(2) 0≤x≤2,使得不等式y≤3-a(x+1)有解,求实数a的取值范围.
即ax2-(2a+1)x+>0恒成立,
当a=0时,-x+>0的解集不为R;
当a≠0时,若ax2-(2a+1)x+>0恒成立,
则
解得所以实数a的取值范围为{a}.
(2)由题意整理得 0≤x≤2,使得不等式ax2-(a+1)x-1+a≤0有解.
①当a=0时,-x-1≤0,解得x≥-1,
故 0≤x≤2,
使得不等式y≤3-a(x+1)有解.
②当a>0时,y=ax2-(a+1)x-1+a的图象是开口向上的抛物线,只需在0≤x≤2时ymin≤0即可,
因为y=ax2-(a+1)x-1+a图象的对称轴方程为x=,此时x=>0,
所以当<2,即a>时,
ymin=a()2-(a+1)×-1+a≤0,
整理得3a2-6a-1≤0,结合a>可得,
当≥2,即0ymin=a×22-2(a+1)-1+a≤0,
结合0③当a<0时,y=ax2-(a+1)x-1+a是开口向下的抛物线,当x=0时,y≤0,所以当a<0时,
0≤x≤2,使得不等式y≤3-a(x+1)有解.
综上,实数a的取值范围为{a}.
14.(5分)若存在1≤a≤3,使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立,则实数x的取值范围为
　　　　　　　　.
由题意,得(x2+x)-2x-2>0或(x2+x)·3-2x-2>0,
即x2-x-2>0,①
或3x2+x-2>0.②
解①可得x<-1或x>2,
解②可得x<-1或x>.
则实数x的取值范围为{x}.培优课3　不等式恒成立、能成立问题
题型一　在R上的恒成立问题
[例1] 已知关于x的不等式ax2+2ax+1≥0的解集为R,求实数a的取值范围.
【解】 当a=0时,1≥0,符合题意;当a≠0时,则解得0综上,实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}.
不等式对任意实数x恒成立,即不等式的解集为R.
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
提醒:注意题意中是否要求不等式是一元二次不等式,注意讨论二次项系数,结合二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况讨论,注意所列的关于判别式Δ的不等式是否取
等号.
[变式训练] (湘教版必修第一册P55例5)若对任意的实数x,一元二次不等式x2+2(1+k)x+3+k>0恒成立,求实数k的取值范围.
【解】 由题意知,一元二次不等式x2+2(1+k)x+3+k>0的解集为R,于是对应二次函数y=x2+2(1+k)x+3+k的图象开口向上,且恒在x轴上方,所以Δ=4(1+k)2-4(3+k)<0,
即4(k2+k-2)<0,
求解该一元二次不等式得-2故实数k的取值范围为{k|-2题型二　在给定范围上的恒成立问题
[例2] 已知二次函数y=x2+mx-1,若对于任意m≤x≤m+1都有y>0成立,求实数m的取值
范围.
【解】由题意得二次函数y=x2+mx-1图象的对称轴方程为x=-.
①当-≤m,即m≥0时,若要对任意m≤x≤m+1都有y>0,则只需满足当x=m时,y>0,即2m2-1>0,解得m>;
②当m+1≤-,即m≤-时,若要对任意m≤x≤m+1都有y>0,则只需满足当x=m+1时,y>0,即2m2+3m>0,解得m<-;
③当m<-综上,实数m的取值范围为{m|m<-或m>}.
[典例迁移1] 若不等式x2-2x-3≤0对 x∈{x|a≤x≤a+2}恒成立,则实数a的值可以是(　　)
[A]-2 [B]- [C] [D]2
【答案】 C
【解析】 法一　解不等式x2-2x-3≤0得-1≤x≤3,因为不等式x2-2x-3≤0对 x∈{x|a≤x≤a+2}恒成立,所以{x|a≤x≤a+2} {x|-1≤x≤3},可得解得-1≤a≤1.故选C.
法二　因为y=x2-2x-3的图象开口向上,所以只要
所以 所以-1≤a≤1.故选C.
[典例迁移2] 若 x∈{x|1[A]{m|m≤2} [B]{m|m≥2}
[C]{m|12}
【答案】 B
【解析】 由题意,m>x2-x在 x∈{x|1(1)当a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
(2)当a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.
(3)若是不等式的解集可以求解,也可以转化为集合关系(子集)问题.
(4)对一些简单的问题,通过求y的最小值与最大值,求得参数的取值范围.
题型三　在给定范围上的能成立问题
[例3] 当10有解,求实数m的取值范围.
【解】 因为y=x2+mx+4的图象开口向上,所以当10有解,即m+5>0或2m+8>0,解得m>-5.故实数m的取值范围为{m|m>-5}.
[典例迁移1] 若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a|a≤-2} [B]{a|a≥-2}
[C]{a|a≥-6} [D]{a|a≤-6}
【答案】 A
【解析】 不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解等价于当1≤x≤4时,a≤(x2-4x-2)max.当1≤x≤4时,(x2-4x-2)max=-2,所以a≤-2.故选A.
[典例迁移2] (多选)已知关于x的不等式ax2-2x+3a<0在0[A]-3 [B]-2 [C]1 [D]2
【答案】 AB
【解析】 因为0(1)当a>0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上能成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值有一个大于0.
(2)当a<0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上能成立 y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值有一个小于0.
(3)若是不等式的解集可以求解,也可以转化为集合关系(两个集合的交集不是空集)问题.
(4)可以使用分离参数法,转化为其他函数的最值问题.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分.
1.若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
[A]{m} [B]{m}
[C]{m|m<1} [D]{m|m>1}
【答案】 A
【解析】 不等式x2-x+m>0在R上恒成立,只需满足Δ=(-1)2-4m<0,解得m>.故选A.
2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a|a≤-4或a≥4}
[B]{a|-4≤a≤4}
[C]{a|a<-4或a>4}
[D]{a|-4【答案】 B
【解析】 因为不等式x2+ax+4<0的解集为空集,所以Δ=a2-4×4≤0,即-4≤a≤4.故选B.
3.已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a|-1≤a≤4}
[B]{a|-1[C]{a|a≥4或a≤-1}
[D]{a|-4≤a≤1}
【答案】 A
【解析】 因为关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,即x2-4x+a2-3a≤0在R上有解,只需y=x2-4x+a2-3a的图象与x轴有交点,所以Δ=(-4)2-4×(a2-3a)≥0,即a2-3a-4≤0,解得-1≤a≤4.故选A.
4.若函数y=ax2的图象恒在函数y=ax-1图象的上方,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a|0≤a<4}
[B]{a|-4[C]{a|a<-4或a≥0}
[D]{a|0【答案】 A
【解析】 由题意,得 x∈R,ax2>ax-1 ax2-ax+1>0恒成立.当a=0时,不等式为1>0,恒成立,符合题意;当a≠0时,有
解得05.若命题“ x∈R,使得x2+2ax+2a+3≥0”为假命题,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a|a<-1或a>3}
[B]{a|-1≤a≤3}
[C]{a|a<-1}
[D]{a≤a≤1+}
【答案】 A
【解析】 根据题意可知“ x∈R,使得x2+2ax+2a+3<0”为真命题,则Δ=(2a)2-4(2a+3)>0,即a2-2a-3=(a+1)(a-3)>0,解得a<-1或a>3.故选A.
6.当x>0时,不等式x2-mx+8≥0恒成立,则实数m可取的最大整数值是(　　)
[A]4 [B]5 [C]6 [D]7
【答案】 B
【解析】 当x>0时,不等式x2-mx+8≥0恒成立,则m≤=x+恒成立,又由x>0,可得x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以m≤4,则实数m可取的最大整数值是5.故选B.
7.(5分)若对于任意x∈R,都有意义,则实数m的取值范围是　　　　　.
【答案】 {m|0≤m≤2}
【解析】 令y=,当m=0时,y=,符合题意;当m≠0时,mx2+2mx+2≥0恒成立,则即解得08.(5分)若当x>0时,不等式x2-(m+1)x+16≤0有解,则实数m的最小值为　　　　.
【答案】 7
【解析】 因为x>0,所以不等式x2-(m+1)x+16≤0,即m+1≥x+,又因为x+≥2=8,当且仅当x=,即x=4时,等号成立,所以当x>0时,x+的最小值为8,所以m+1≥8,即m≥7,故实数m的最小值为7.
9.(13分)已知二次函数y=ax2+(a-2)x-2.
(1)当a=1时,求y的最小值;
(2)若 x∈R,y≥-3恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)当a=1时,y=x2-x-2=(x-)2-,当x=时,y取得最小值,最小值为-.
(2)若 x∈R,y≥-3恒成立,即 x∈R,ax2+(a-2)x+1≥0恒成立.当a=0时,-2x+1≥0不恒成立;当a≠0时,只需满足即 解得4-2≤a≤4+2.综上,实数a的取值范围为{a|4-2≤a≤4+2}.
10.(15分)已知不等式mx2-mx+2≥0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当3≤x≤5时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
【解】 (1)①若m=0,则原不等式可化为2≥0,显然恒成立;
②若m≠0,则不等式mx2-mx+2≥0恒成立,
等价于解得0综上,实数m的取值范围是{m|0≤m≤8}.
(2)法一　①当m=0时,则原不等式可化为2≥0,符合题意;
②当m>0时,函数y=mx2-mx+2的图象开口向上,对称轴为直线x=,
当3≤x≤5时,函数在x=3时取得最小值,
所以解得m>0;
③当m<0时,函数y=mx2-mx+2的图象开口向下,对称轴为直线x=,
当3≤x≤5时,函数在x=5时取得最小值,
则解得-≤m<0.
综上,实数m的取值范围是{m}.
法二　当3≤x≤5时,
令t=x2-x=(x-)2-,
结合t=x2-x的图象(图略),知t min=32-3=6,
tmax=52-5=20,所以6≤t≤20,
所以mx2-mx+2≥0可以化为m≥,
即m≥,()max==-,所以m≥-,
即实数m的取值范围是{m}.
11.已知集合A={t|t2-5t-6≤0},对于任意的t∈A,不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,则实数x的取值范围是(　　)
[A]{x|1[B]{x|x≠1}
[C]{x|-5[D]{x|x<-5或x>2}
【答案】 D
【解析】 由题意A={t|(t-6)(t+1)≤0}={t|-1≤t≤6},x2+tx-t>2x-1,即(x-1)(x-1+t)>0在t∈A上恒成立.当x>1时,x-1+t>0 x>1-t恒成立,此时x>2;当x=1时,不等式不成立;当x<1时,
x-1+t<0 x<1-t恒成立,此时x<-5.综上,实数x的取值范围是{x|x<-5或x>2}.故选D.
12.(5分)已知关于x的不等式≤0的解集为 ,则实数k的取值范围是　　　　.
【答案】 {k|0≤k<4}
【解析】 因为x2-x+2=(x-)2+>0,所以关于x的不等式≤0等价于kx2-kx+1≤0,依题意关于x的不等式kx2-kx+1≤0的解集为 ,当k=0时,1≤0,解集为 ,符合题意;当k≠0时,则解得013.(17分)已知函数y=ax2-(2a+1)x+2.
(1)若不等式y>-的解集为R,求实数a的取值范围;
(2) 0≤x≤2,使得不等式y≤3-a(x+1)有解,求实数a的取值范围.
【解】 (1)不等式y>-的解集为R,
即ax2-(2a+1)x+>0恒成立,
当a=0时,-x+>0的解集不为R;
当a≠0时,若ax2-(2a+1)x+>0恒成立,
则
解得所以实数a的取值范围为{a}.
(2)由题意整理得 0≤x≤2,使得不等式ax2-(a+1)x-1+a≤0有解.
①当a=0时,-x-1≤0,解得x≥-1,
故 0≤x≤2,
使得不等式y≤3-a(x+1)有解.
②当a>0时,y=ax2-(a+1)x-1+a的图象是开口向上的抛物线,只需在0≤x≤2时ymin≤0即可,
因为y=ax2-(a+1)x-1+a图象的对称轴方程为x=,此时x=>0,
所以当<2,即a>时,
ymin=a()2-(a+1)×-1+a≤0,
整理得3a2-6a-1≤0,结合a>可得,
当≥2,即0ymin=a×22-2(a+1)-1+a≤0,
结合0③当a<0时,y=ax2-(a+1)x-1+a是开口向下的抛物线,当x=0时,y≤0,所以当a<0时,
0≤x≤2,使得不等式y≤3-a(x+1)有解.
综上,实数a的取值范围为{a}.
14.(5分)若存在1≤a≤3,使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立,则实数x的取值范围为
　　　　　　　　.
【答案】 {x}
【解析】 令y=ax2+(a-2)x-2=(x2+x)·a-2x-2是关于a的函数,
由题意,得(x2+x)-2x-2>0或(x2+x)·3-2x-2>0,
即x2-x-2>0,①
或3x2+x-2>0.②
解①可得x<-1或x>2,
解②可得x<-1或x>.
则实数x的取值范围为{x}.

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