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培优课4　函数性质的综合问题
关键能力·素养培优
题型一　函数图象的对称性
[例1] 已知函数f(x)的定义域为R,f(x+4)为偶函数,f(-x+2)为奇函数,且f(x)在[0,2]上单调递增,则下列说法错误的是(　　)
[A]f(2)=0
[B]x=4为函数f(x)图象的一条对称轴
[C]函数f(x)在[4,8]上单调递减
[D]f(1)D
【解析】 A选项,因为f(-x+2)为奇函数,所以f(-x+2)+f(x+2)=0,令x=0,得2f(2)=
0,可得f(2)=0,故A正确;B选项,因为f(x+4)为偶函数,所以f(x+4)=f(-x+4),即直线x=4为函数f(x)图象的一条对称轴,故B正确;C选项,由f(-x+2)+f(x+2)=0,得(2,0)为f(x)图象的一个对称中心,又f(x)在[0,2]上单调递增,所以f(x)在[2,4]上单调递增,所以f(x)在[0,4]上单调递增,又由B选项的分析知函数f(x)在[4,8]上单调递减,故C正确;D选项,由B选项的分析知,f(x+4)=f(-x+4),令x=-3,可得f(1)=f(7),故D错误.故选D.
·解题策略·
(1)函数图象关于直线对称.
(2)函数图象关于点对称.
·解题策略·
(3)奇函数、偶函数与对称的关系:①若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=a对称;②若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)的图象关于点(a,0)对称;③若函数f(x+a)-b是奇函数,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(4)解决对称性、奇偶性和单调性综合问题的方法.
①图象法:根据题意,作出符合要求的草图,便可得出结论.②性质法:根据对称性、单调性和奇偶性的性质,逐步推导解决求值和比较大小的问题.
·解题策略·
[A]f(x)是偶函数
[B]f(x)是奇函数
[C]f(x)的图象关于直线x=1对称
[D]f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称
D
题型二　函数性质的综合应用
(1)求a,b的值;
(2)判断并证明函数f(x)在定义域内的单调性;
(3)若f(t2-3)+f(1-t)<0,求实数t的取值范围.
·解题策略·
(1)解题时,一定要特别注意函数的定义域,定义域优先.
(2)利用函数的奇偶性将函数式转化,注意利用其变形,如偶函数满足f(x)=
f(-x)=f(|x|),f(x)-f(-x)=0;当奇函数在x=0处有定义时,f(0)=0,f(x)+f(-x)=0.
(3)灵活运用单调性的判定方法,包括定义、加法性质(增函数加增函数为增函数,减函数加减函数为减函数)、复合函数的单调性(同增异减),然后利用单调性列不等式.
(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明f(x)在[0,+∞)上的单调性;
(3)若关于x的不等式f(ax2+3ax)+f(1-ax)>0对于任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
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题型一　函数图象的对称性
[例1] 已知函数f(x)的定义域为R,f(x+4)为偶函数,f(-x+2)为奇函数,且f(x)在[0,2]上单调递增,则下列说法错误的是(　　)
[A]f(2)=0
[B]x=4为函数f(x)图象的一条对称轴
[C]函数f(x)在[4,8]上单调递减
[D]f(1)(1)函数图象关于直线对称.
y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图 象的对称轴
f(a+x)=f(a-x) 直线x=a
f(x)=f(a-x) 直线x=
f(a+x)=f(b-x) 直线x=
(2)函数图象关于点对称.
y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图象 的对称中心
f(a-x)=-f(a+x) (a,0)
f(x)=-f(a-x) (,0)
f(a+x)=-f(b-x) (,0)
f(a+x)+f(b-x)=c (,)
(3)奇函数、偶函数与对称的关系:①若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=a对称;②若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)的图象关于点(a,0)对称;③若函数f(x+a)-b是奇函数,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(4)解决对称性、奇偶性和单调性综合问题的方法.
①图象法:根据题意,作出符合要求的草图,便可得出结论.②性质法:根据对称性、单调性和奇偶性的性质,逐步推导解决求值和比较大小的问题.
[变式训练] 已知函数f(x)=,则(　　)
[A]f(x)是偶函数
[B]f(x)是奇函数
[C]f(x)的图象关于直线x=1对称
[D]f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称
题型二　函数性质的综合应用
[例2] 已知函数f(x)=是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(1)=.
(1)求a,b的值;
(2)判断并证明函数f(x)在定义域内的单调性;
(3)若f(t2-3)+f(1-t)<0,求实数t的取值范围.
经检验,满足题意,所以f(x)=.
(2)f(x)在[-2,2]上单调递增.证明如下:
在[-2,2]上任取x1,x2,令x10,4+>0,4+>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)递增.
(3)因为f(t2-3)+f(1-t)<0,所以f(t2-3)<-f(1-t)=f(t-1),所以解得1≤t<2.
所以实数t的取值范围是[1,2).
(1)解题时,一定要特别注意函数的定义域,定义域优先.
(2)利用函数的奇偶性将函数式转化,注意利用其变形,如偶函数满足f(x)=f(-x)=f(|x|),f(x)-f(-x)=0;当奇函数在x=0处有定义时,f(0)=0,f(x)+f(-x)=0.
(3)灵活运用单调性的判定方法,包括定义、加法性质(增函数加增函数为增函数,减函数加减函数为减函数)、复合函数的单调性(同增异减),然后利用单调性列不等式.
[变式训练] 已知函数f(x)=2x+.
(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明f(x)在[0,+∞)上的单调性;
(3)若关于x的不等式f(ax2+3ax)+f(1-ax)>0对于任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
函数f(x)的定义域为R, x∈R,-x∈R,且f(-x)=-2x+=-2x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)在[0,+∞)上单调递增,证明如下:
令x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=2x1+-2x2-=2(x1-x2)+=(x1-x2)[2+],而x1-x2>0,2+>0,所以f(x1)>f(x2),即f(x) 在[0,+∞)上单调递增.
(3)由(1)(2)知,f(x)在R上单调递增,且f(-x)=-f(x),所以f(ax2+3ax)+f(1-ax)>0 f(ax2+3ax)>f(ax-1),故ax2+3ax>ax-1,即ax2+2ax+1>0对 x∈R恒成立,当a=0时,有ax2+2ax+1=1>0,满足题设;当a≠0时,则 00≤a<1,即实数a的取值范围为[0,1).
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数f(x)=x2+bx+c,且f(2+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是(　　)
[A]f(-4)[B]f(0)[C]f(0)[D]f(4)2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则f(x)(　　)
[A]在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递增
[B]在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递减
[C]在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递增
[D]在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递减
又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在[-2,-1]上单调递增,所以函数f(x)在[3,4]上单调递减.故选B.
3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于点(1,0)中心对称,且x∈[0,1]时,f(x)=x-1,则f()=(　　)
[A]- [B]0
[C] [D]1
4.已知定义域为R的函数f(x)满足f(3-x)=f(x+3),且当x2>x1>3时,>0恒成立,设a=f(2x2-x+5),b=f(),c=f(x2+4),则(　　)
[A]c>a>b [B]c>b>a
[C]a>c>b [D]b>c>a
5.若函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,则下列函数一定为奇函数的是(　　)
[A]g(x)=f(x+1)
[B]g(x)=f(x-1)
[C]g(x)=xf(x+1)
[D]g(x)=xf(x-1)
6.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为奇函数,当x≥1时,f(x+1)≥f(x)+1,则(　　)
[A]f(1)=0
[B]f(x)的图象关于点(-1,0)对称
[C]f(4)≥3
[D]f(-98)≤-99
7.(5分)函数y=f(x)(x∈R)在(-∞,1]上单调递减,且f(x+1)是偶函数,若f(2x-2)>f(2),则x的取值范围是　 .
8.(5分)已知f(x)=(x2+3x)(x2+ax+b),若对一切实数x,均有f(x)=f(2-x),则f(3)=　　　　.
则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)=0,f(5)=f(-3)=0,所以x2+ax+b=0的两个根就是2和5,则x2+ax+b=(x-2)(x-5),所以f(x)=(x2+3x)(x2-7x+10)=x(x+3)(x-2)(x-5),
则f(2-x)=(2-x)(2-x+3)(2-x-2)(2-x-5)=x(x-2)(x-5)(x+3)=f(x),符合题意,
因此,f(3)=-36.
9.(14分)已知奇函数f(x)的定义域为R,当x≤0时,f(x)=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:f(x)在[0,+∞)上单调递减;
(3)若对任意的x∈R,不等式f(m-3x2)+f(2x2-4x-3)≥0恒成立,求实数m的取值范围.
所以f(x)=
因为0≤x10,x1+1>0,x2+1>0,所以>0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在[0,+∞)上单调递减.
又因为f(x)为奇函数,所以f(m-3x2)≥f(-2x2+4x+3)恒成立,由(2)知f(x)在[0,+∞)上单调递减,
且f(x)为奇函数,所以f(x)在R上单调递减,所以m-3x2≤-2x2+4x+3恒成立,所以m≤x2+4x+3恒成立,
令h(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1,当x=-2时,h(x)取得最小值-1,所以m≤-1.
即实数m的取值范围为(-∞,-1].
10.(14分)已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=,且f(x)+f()=-1(x≠0).
(1)求实数a的值,并判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)判断函数y=f(x)的单调性,并证明;
(3)解关于x的不等式f(x)+f()+1<0.
f(x)=,y=f(x)为偶函数,证明如下:
f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)===f(x),所以y=f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)=-2在[0,+∞)上单调递减,在(-∞,0]上单调递增.证明如下:设x1,x2∈[0,+∞),且x1因为x1,x2∈[0,+∞),且x10,x2+x1>0,1+>0,1+>0.
那么3×>0,即f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2).
根据函数单调性的定义可知,函数f(x)=在[0,+∞)上单调递减.
又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递增.
(3)因为f(x)+f()=-1,所以f()=-1-f(x),由f(x)+f()+1<0,
得f(x)<-1-f()=f(2x-1)(x≠),由函数f(x)的性质得|x|>|2x-1|,
则解得x∈(,)∪(,1).故该不等式的解集为(,)∪(,1).
11.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=x3+3x2,则f(-2 026)+f(-2 025)+f(-2 024)+…+f(-1)+
f(0)+f(1)+…+f(2 023)+f(2 024)等于(　　)
[A]0 [B]2 024
[C]4 051 [D]8 102
f(2 024)]+[f(-2 025)+f(2 023)]+…+[f(-2)+f(0)]+f(-1)=2 025×4+2=8 102.故选D.
12.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于点(1,2)成中心对称.若=2-x,则(　　)
[A]=1
[B]f(2)+f(4)=4
[C]y=f(x+1)-2为奇函数
[D]y=f(2+x)+2x为偶函数
B选项,由A选项的分析知,f(4-x)+f(x-2)=4,则f(4-x)=4-f(x-2),则=2-x,
即=2-x,则f(x)+f(x-2)=12-4x,令x=4,则f(4)+f(2)=-4,故B错误;
C选项,根据对称中心为点(1,2),得到f(1-x)+f(x+1)=4,则f(1-x)-2=-[f(x+1)-2],
令g(x)=f(x+1)-2,则g(-x)=-g(x),所以y=f(x+1)-2为奇函数,故C正确;
D选项,因为=2-x,所以=-x,即f(x+2)-f(2-x)=-4x,故f(x+2)+2x=f(2-x)-2x,令h(x)=f(2+x)+2x,则h(x)=h(-x),故y=f(2+x)+2x为偶函数,故D正确.故选ACD.
13.(15分)若函数f(x)在定义域R上满足f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)>0,定义域为[-2,2]的g(x)为偶函数.
(1)求证:(ⅰ)函数f(x)为奇函数;
(ⅱ)函数f(x) 在定义域上单调递增.
(2)若在区间[-1,1]上,f(x)+g(x)=-x2+x+1;g(x)在[0,2]上的图象关于点(1,0)对称.求函数f(x)和函数g(x)在区间[-2,2]上的解析式.
可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
(ⅱ)任取x1,x2∈R,且x10,f(x2-x1)>0,
由f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+x2-x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)<0,可得f(x1)(2)因为g(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,则x∈[-1,1]时,g(-x)=g(x).
当x∈[-1,1]时,f(x)+g(x)=-x2+x+1,①
可得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=-x2-x+1,②
由①-②,可得f(x)=x;
由①+②,可得g(x)=-x2+1.
因为当x∈[-1,1]时,f(x)=x,所以当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],由f(x)+f(y)=f(x+y)可得f(x)=
f(x-1)-f(-1)=f(x-1)+f(1)=x;当x∈[-2,-1)时,-x∈(1,2],故f(x)=-f(-x)=x.
综上,当x∈[-2,2]时,都有f(x)=x.
又因为当x∈[-1,1]时,g(x)=-x2+1,且g(x)在[0,2]上的图象关于点(1,0)对称,所以当x∈(1,2]时,2-x∈[0,1),g(x)=-g(2-x)=-[-(2-x)2+1]=x2-4x+3.
又g(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,故当x∈[-2,-1)时,-x∈(1,2],g(x)=g(-x)=x2+4x+3.
综上,当x∈[-2,2]时,
g(x)=
14.已知函数f(x)是定义域为R的函数,f(1+x)=-f(1-x),对任意x1,x2∈[1,+∞)(x10,已知m,n(m≠n)为关于x的方程x2-2x+t2-3=0的两个解,则关于t的不等式f(m)+f(n)+f(t)>0的解集为(　　)
[A](-∞,1) [B](-2,1)
[C](0,2) [D](1,2)
因为函数f(x)是定义域为R的函数,f(1+x)=-f(1-x),即f(1+x)+f(1-x)=0,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(m)+f(n)=0,f(1)=0,因为对任意x1,x2∈[1,+∞)(x10,即f(x1)0可得f(t)>0=f(1),解得t>1,
所以10的解集为(1,2).故选D.培优课4　函数性质的综合问题
题型一　函数图象的对称性
[例1] 已知函数f(x)的定义域为R,f(x+4)为偶函数,f(-x+2)为奇函数,且f(x)在[0,2]上单调递增,则下列说法错误的是(　　)
[A]f(2)=0
[B]x=4为函数f(x)图象的一条对称轴
[C]函数f(x)在[4,8]上单调递减
[D]f(1)【答案】 D
【解析】 A选项,因为f(-x+2)为奇函数,所以f(-x+2)+f(x+2)=0,令x=0,得2f(2)=0,可得f(2)=0,故A正确;B选项,因为f(x+4)为偶函数,所以f(x+4)=f(-x+4),即直线x=4为函数f(x)图象的一条对称轴,故B正确;C选项,由f(-x+2)+f(x+2)=0,得(2,0)为f(x)图象的一个对称中心,又f(x)在[0,2]上单调递增,所以f(x)在[2,4]上单调递增,所以f(x)在[0,4]上单调递增,又由B选项的分析知函数f(x)在[4,8]上单调递减,故C正确;D选项,由B选项的分析知,f(x+4)=f(-x+4),令x=-3,可得f(1)=f(7),故D错误.故选D.
(1)函数图象关于直线对称.
y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图 象的对称轴
f(a+x)=f(a-x) 直线x=a
f(x)=f(a-x) 直线x=
f(a+x)=f(b-x) 直线x=
(2)函数图象关于点对称.
y=f(x)在定义域 内恒满足的条件 y=f(x)的图象 的对称中心
f(a-x)=-f(a+x) (a,0)
f(x)=-f(a-x) (,0)
f(a+x)=-f(b-x) (,0)
f(a+x)+f(b-x)=c (,)
(3)奇函数、偶函数与对称的关系:①若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=a对称;②若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)的图象关于点(a,0)对称;③若函数f(x+a)-b是奇函数,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(4)解决对称性、奇偶性和单调性综合问题的方法.
①图象法:根据题意,作出符合要求的草图,便可得出结论.②性质法:根据对称性、单调性和奇偶性的性质,逐步推导解决求值和比较大小的问题.
[变式训练] 已知函数f(x)=,则(　　)
[A]f(x)是偶函数
[B]f(x)是奇函数
[C]f(x)的图象关于直线x=1对称
[D]f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称
【答案】 D
【解析】 易知x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,所以f(x)=的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=≠f(x),f(-x)=≠-f(x),则函数f(x)为非奇非偶函数,故A,B错误;由题意可知,f(x+1)==1+,f(-x+1)==1-,所以f(x+1)≠f(-x+1),f(x+1)+f(-x+1)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称,故C错误,D正确.故选D.
题型二　函数性质的综合应用
[例2] 已知函数f(x)=是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(1)=.
(1)求a,b的值;
(2)判断并证明函数f(x)在定义域内的单调性;
(3)若f(t2-3)+f(1-t)<0,求实数t的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)=是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(1)=,所以解得
经检验,满足题意,所以f(x)=.
(2)f(x)在[-2,2]上单调递增.证明如下:
在[-2,2]上任取x1,x2,令x10,4+>0,4+>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)递增.
(3)因为f(t2-3)+f(1-t)<0,所以f(t2-3)<-f(1-t)=f(t-1),所以解得1≤t<2.
所以实数t的取值范围是[1,2).
(1)解题时,一定要特别注意函数的定义域,定义域优先.
(2)利用函数的奇偶性将函数式转化,注意利用其变形,如偶函数满足f(x)=f(-x)=f(|x|),f(x)-f(-x)=0;当奇函数在x=0处有定义时,f(0)=0,f(x)+f(-x)=0.
(3)灵活运用单调性的判定方法,包括定义、加法性质(增函数加增函数为增函数,减函数加减函数为减函数)、复合函数的单调性(同增异减),然后利用单调性列不等式.
[变式训练] 已知函数f(x)=2x+.
(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明f(x)在[0,+∞)上的单调性;
(3)若关于x的不等式f(ax2+3ax)+f(1-ax)>0对于任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)f(x)为奇函数.证明如下:
函数f(x)的定义域为R, x∈R,-x∈R,且f(-x)=-2x+=-2x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)在[0,+∞)上单调递增,证明如下:
令x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=2x1+-2x2-=2(x1-x2)+=(x1-x2)[2+],而x1-x2>0,2+>0,所以f(x1)>f(x2),即f(x) 在[0,+∞)上单调递增.
(3)由(1)(2)知,f(x)在R上单调递增,且f(-x)=-f(x),所以f(ax2+3ax)+f(1-ax)>0 f(ax2+3ax)>f(ax-1),故ax2+3ax>ax-1,即ax2+2ax+1>0对 x∈R恒成立,当a=0时,有ax2+2ax+1=1>0,满足题设;当a≠0时,则 00≤a<1,即实数a的取值范围为[0,1).
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数f(x)=x2+bx+c,且f(2+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是(　　)
[A]f(-4)[B]f(0)[C]f(0)[D]f(4)【答案】 C
【解析】 二次函数f(x)=x2+bx+c的图象开口向上,由f(2+x)=f(-x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(4)=f(-2),f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以f(0)2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则f(x)(　　)
[A]在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递增
[B]在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递减
[C]在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递增
[D]在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递减
【答案】 B
【解析】 因为f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1成轴对称图形,所以区间[0,1]与区间[1,2],区间[-2,-1]与[3,4]关于直线x=1对称,由函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,可知函数在[0,1]上单调递增,
又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在[-2,-1]上单调递增,所以函数f(x)在[3,4]上单调递减.故选B.
3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于点(1,0)中心对称,且x∈[0,1]时,f(x)=x-1,则f()=(　　)
[A]- [B]0
[C] [D]1
【答案】 C
【解析】 因为f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(1+x)+f(1-x)=0,将x=代入,可得f()+f(-)=0,又f(x)是偶函数,所以f()=-f(-)=-f()=-(-1)=.故选C.
4.已知定义域为R的函数f(x)满足f(3-x)=f(x+3),且当x2>x1>3时,>0恒成立,设a=f(2x2-x+5),b=f(),c=f(x2+4),则(　　)
[A]c>a>b [B]c>b>a
[C]a>c>b [D]b>c>a
【答案】 C
【解析】 因为定义域为R的函数f(x)满足f(3-x)=f(x+3),所以函数f(x)的图象关于直线x=3对称,所以b=f()=f(),又因为当x2>x1>3时,>0,所以函数f(x)在(3,+∞)上单调递增,在(-∞,3)上单调递减,因为2x2-x+5-(x2+4)=x2-x+1=+>0,所以2x2-x+5>x2+4>>3,所以f(2x2-x+5)>f(x2+4)>f()=f(),即a>c>b.故选C.
5.若函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,则下列函数一定为奇函数的是(　　)
[A]g(x)=f(x+1)
[B]g(x)=f(x-1)
[C]g(x)=xf(x+1)
[D]g(x)=xf(x-1)
【答案】 D
【解析】 因为f(x)的图象关于直线x=-1对称,将f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象关于y轴对称,即f(x-1)为偶函数,B错误;因为f(x)的图象关于直线x=-1对称,将f(x)的图象向左平移1个单位长度,f(x+1)的图象关于直线x=-2对称,不能得出f(x+1)的奇偶性,A,C错误;g(x)+g(-x)=xf(x-1)-xf(-x-1)=0,g(-x)=-g(x),可得函数为奇函数,D正确.故选D.
6.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为奇函数,当x≥1时,f(x+1)≥f(x)+1,则(　　)
[A]f(1)=0
[B]f(x)的图象关于点(-1,0)对称
[C]f(4)≥3
[D]f(-98)≤-99
【答案】 ACD
【解析】 因为f(x+1)为奇函数,所以f(x+1)=-f(-x+1),令x=0,则f(0+1)=-f(-0+1) 2f(1)=0 f(1)=0,A正确;由f(x+1)=-f(-x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0,则f(x)+f(-x+2)=0,即f(x)的图象关于点(1,0)对称,B错误;当x≥1时,f(x+1)≥f(x)+1,则f(2)≥f(1)+1=1,f(3)≥f(2)+1≥2,f(4)≥f(3)+1≥3,故C正确;根据C选项的分析递推可得,f(100)≥f(99)+1≥99,因为f(100)+f(-100+2)=0,所以f(100)=-f(-98),则-f(-98)≥99,得f(-98)≤-99,故D正确.故选ACD.
7.(5分)函数y=f(x)(x∈R)在(-∞,1]上单调递减,且f(x+1)是偶函数,若f(2x-2)>f(2),则x的取值范围是　 .
【答案】 (-∞,1)∪(2,+∞)
【解析】 由f(x+1)是偶函数得f(x+1)=f(-x+1),即f(x)的图象关于直线x=1对称,f(2)=f(0).又f(x)在(-∞,1]上单调递减,则f(x)在[1,+∞)上单调递增.故由f(2x-2)>f(2),得2x-2>2或2x-2<0,解得x>2或x<1.
8.(5分)已知f(x)=(x2+3x)(x2+ax+b),若对一切实数x,均有f(x)=f(2-x),则f(3)=　　　　.
【答案】 -36
【解析】 由x2+3x=0,可得x=-3或x=0,则f(-3)=f(0)=0,对一切实数x,均有f(x)=f(2-x),
则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)=0,f(5)=f(-3)=0,所以x2+ax+b=0的两个根就是2和5,则x2+ax+b=(x-2)(x-5),所以f(x)=(x2+3x)(x2-7x+10)=x(x+3)(x-2)(x-5),
则f(2-x)=(2-x)(2-x+3)(2-x-2)(2-x-5)=x(x-2)(x-5)(x+3)=f(x),符合题意,
因此,f(3)=-36.
9.(14分)已知奇函数f(x)的定义域为R,当x≤0时,f(x)=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:f(x)在[0,+∞)上单调递减;
(3)若对任意的x∈R,不等式f(m-3x2)+f(2x2-4x-3)≥0恒成立,求实数m的取值范围.
(1)【解】 当x>0时,-x<0,f(-x)==,因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=,
所以f(x)=
(2)【证明】 任取x1,x2∈[0,+∞),且x1因为0≤x10,x1+1>0,x2+1>0,所以>0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在[0,+∞)上单调递减.
(3)【解】 因为f(m-3x2)+f(2x2-4x-3)≥0恒成立,所以f(m-3x2)≥-f(2x2-4x-3)恒成立,
又因为f(x)为奇函数,所以f(m-3x2)≥f(-2x2+4x+3)恒成立,由(2)知f(x)在[0,+∞)上单调递减,
且f(x)为奇函数,所以f(x)在R上单调递减,所以m-3x2≤-2x2+4x+3恒成立,所以m≤x2+4x+3恒成立,
令h(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1,当x=-2时,h(x)取得最小值-1,所以m≤-1.
即实数m的取值范围为(-∞,-1].
10.(14分)已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=,且f(x)+f()=-1(x≠0).
(1)求实数a的值,并判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)判断函数y=f(x)的单调性,并证明;
(3)解关于x的不等式f(x)+f()+1<0.
【解】 (1)f()==,故f(x)+f()=+==1-a=-1,即a=2.
f(x)=,y=f(x)为偶函数,证明如下:
f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)===f(x),所以y=f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)=-2在[0,+∞)上单调递减,在(-∞,0]上单调递增.证明如下:设x1,x2∈[0,+∞),且x1因为x1,x2∈[0,+∞),且x10,x2+x1>0,1+>0,1+>0.
那么3×>0,即f(x1)-f(x2)>0,所以f(x1)>f(x2).
根据函数单调性的定义可知,函数f(x)=在[0,+∞)上单调递减.
又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递增.
(3)因为f(x)+f()=-1,所以f()=-1-f(x),由f(x)+f()+1<0,
得f(x)<-1-f()=f(2x-1)(x≠),由函数f(x)的性质得|x|>|2x-1|,
则解得x∈(,)∪(,1).故该不等式的解集为(,)∪(,1).
11.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=x3+3x2,则f(-2 026)+f(-2 025)+f(-2 024)+…+f(-1)+
f(0)+f(1)+…+f(2 023)+f(2 024)等于(　　)
[A]0 [B]2 024
[C]4 051 [D]8 102
【答案】 D
【解析】 依题意,若函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为(a,b),则y=f(x+a)-b为奇函数,即y=(x+a)3+3(x+a)2-b=x3+(3a+3)x2+(3a2+6a)x+a3+3a2-b为奇函数,必有3a+3=0,且a3+3a2-b=0,解得a=-1,b=2,因此函数f(x)的图象的对称中心为(-1,2),即f(-2-x)+f(x)=4,所以f(-2 026)+f(-2 025)+f(-2 024)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 023)+f(2 024)=[f(-2 026)+
f(2 024)]+[f(-2 025)+f(2 023)]+…+[f(-2)+f(0)]+f(-1)=2 025×4+2=8 102.故选D.
12.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于点(1,2)成中心对称.若=2-x,则(　　)
[A]=1
[B]f(2)+f(4)=4
[C]y=f(x+1)-2为奇函数
[D]y=f(2+x)+2x为偶函数
【答案】 ACD
【解析】 A选项,根据对称中心为点(1,2),得到f(4-x)+f(x-2)=4,则=1,故A正确;
B选项,由A选项的分析知,f(4-x)+f(x-2)=4,则f(4-x)=4-f(x-2),则=2-x,
即=2-x,则f(x)+f(x-2)=12-4x,令x=4,则f(4)+f(2)=-4,故B错误;
C选项,根据对称中心为点(1,2),得到f(1-x)+f(x+1)=4,则f(1-x)-2=-[f(x+1)-2],
令g(x)=f(x+1)-2,则g(-x)=-g(x),所以y=f(x+1)-2为奇函数,故C正确;
D选项,因为=2-x,所以=-x,即f(x+2)-f(2-x)=-4x,故f(x+2)+2x=f(2-x)-2x,令h(x)=f(2+x)+2x,则h(x)=h(-x),故y=f(2+x)+2x为偶函数,故D正确.故选ACD.
13.(15分)若函数f(x)在定义域R上满足f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)>0,定义域为[-2,2]的g(x)为偶函数.
(1)求证:(ⅰ)函数f(x)为奇函数;
(ⅱ)函数f(x) 在定义域上单调递增.
(2)若在区间[-1,1]上,f(x)+g(x)=-x2+x+1;g(x)在[0,2]上的图象关于点(1,0)对称.求函数f(x)和函数g(x)在区间[-2,2]上的解析式.
【解】 (1)(ⅰ)对于f(x)+f(y)=f(x+y),x∈R,令x=y=0,可得f(0)=0,再令y=-x,
可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
(ⅱ)任取x1,x2∈R,且x10,f(x2-x1)>0,
由f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+x2-x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)<0,可得f(x1)(2)因为g(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,则x∈[-1,1]时,g(-x)=g(x).
当x∈[-1,1]时,f(x)+g(x)=-x2+x+1,①
可得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=-x2-x+1,②
由①-②,可得f(x)=x;
由①+②,可得g(x)=-x2+1.
因为当x∈[-1,1]时,f(x)=x,所以当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],由f(x)+f(y)=f(x+y)可得f(x)=
f(x-1)-f(-1)=f(x-1)+f(1)=x;当x∈[-2,-1)时,-x∈(1,2],故f(x)=-f(-x)=x.
综上,当x∈[-2,2]时,都有f(x)=x.
又因为当x∈[-1,1]时,g(x)=-x2+1,且g(x)在[0,2]上的图象关于点(1,0)对称,所以当x∈(1,2]时,2-x∈[0,1),g(x)=-g(2-x)=-[-(2-x)2+1]=x2-4x+3.
又g(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,故当x∈[-2,-1)时,-x∈(1,2],g(x)=g(-x)=x2+4x+3.
综上,当x∈[-2,2]时,
g(x)=
14.已知函数f(x)是定义域为R的函数,f(1+x)=-f(1-x),对任意x1,x2∈[1,+∞)(x10,已知m,n(m≠n)为关于x的方程x2-2x+t2-3=0的两个解,则关于t的不等式f(m)+f(n)+f(t)>0的解集为(　　)
[A](-∞,1) [B](-2,1)
[C](0,2) [D](1,2)
【答案】 D
【解析】 因为m,n(m≠n)为关于x的方程x2-2x+t2-3=0的两个解,则Δ=4-4(t2-3)=16-4t2>0,解得-2因为函数f(x)是定义域为R的函数,f(1+x)=-f(1-x),即f(1+x)+f(1-x)=0,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(m)+f(n)=0,f(1)=0,因为对任意x1,x2∈[1,+∞)(x10,即f(x1)0可得f(t)>0=f(1),解得t>1,
所以10的解集为(1,2).故选D.

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