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培优课5　反比例函数、对勾函数
题型一　反比例函数的图象和性质
[例1] 画出反比例函数y=的图象.
(1)求函数的定义域和值域;
(2)判断函数的单调性和奇偶性.
(1)函数的定义域为{x|x≠0},函数的值域为{y|y≠0}.
(2)令y=f(x),当k>0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调递增区间,证明如下:
当x>0时,设 x1,x2∈(0,+∞)且x10,x2-x1>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;同理,当x<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减.
当k<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调递减区间(证明略).f(x)为奇函数.
研究反比例函数的几个方面
(1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到.
(2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性,但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法.
(3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性.
(4)函数图象关于点(0,0)成中心对称.
[变式训练] 作出y=(-2≤x<1且x≠0)的图象,并指出其值域和单调区间.
当x=-2时,y==-1,当x=1时,y==2,所以该函数图象如图.
由图象可知,函数y=(-2≤x<1且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪(2,+∞).单调递减区间为[-2,0)和(0,1),没有单调递增区间.
题型二　对勾函数的图象和性质
[例2] 探究对勾函数f(x)=x+(a>0)的性质(定义域、值域、奇偶性、单调性),并画出它的简图(单调性需证明,其余性质列出即可).
(2)值域:(-∞,-2]∪[2,+∞).
(3)奇偶性:奇函数.
(4)单调性:函数f(x)=x+(a>0)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减.证明如下:
任取x1,x2∈(0,],且x1因为01,所以1-<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(0,]上单调递减.
任取x1,x2∈(,+∞),且x1因为x1-x2<0,x1x2>a,所以<1,所以1->0,所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)所以f(x)在(,+∞)上单调递增.
同理,f(x)在(-∞,-)上单调递增,在(-,0)上单调递减.其图象如图所示.
[典例迁移1] 已知函数f(x)=x+.
(1)若x∈[1,3],则f(x)的最小值是　　　　;(2)若x∈[,3],则f(x)的值域为　　　　;
(3)若x∈[-,0)∪(0,3],则f(x)的值域为　　　　.
(2)因为f(x)在[,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增,所以最小值为f(1)=2,
因为f()=<=f(3),所以最大值为f(3),
所以f(x)在[,3]上的值域为[2,].
(3)因为x∈[-,0]∪(0,3],且f(x)在[-,0)上单调递减,所以f(x)在[-,0)上的值域是(-∞,-],
又f(x)在(0,3]上先单调递减,然后单调递增,在f(1)处取得最小值,所以f(x)在(0,3]上的值域是[2,+∞),
所以f(x)在[-,0)∪(0,3]上的值域为(-∞,-]∪[2,+∞).
[典例迁移2] 探究双刀函数f(x)=x+(a<0)的性质(定义域、值域、奇偶性、单调性),并画出函数的简图(单调性需证明,其余性质列出即可).
(2)值域:R.
(3)奇偶性:奇函数.
(4)函数f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x10,又a<0,所以1->0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)同理可知,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.其简图如图所示.
函数f(x)=x+(a≠0)的单调性
函数f(x)=x+(a≠0) 单调递增区间 单调递减区间
a>0 (-∞,-), (,+∞) [-,0), (0,]
a<0 (-∞,0), (0,+∞) 无
题型三　对勾函数的综合问题
[例3] 已知函数f(x)=2x+-6,x∈[1,4],求函数f(x)的单调区间和值域.
[典例迁移1] (多选)已知函数f(x)=x+(a>0)在[2,4]上的最大值比最小值大1,则a的值可以是(　　)
[A]4 [B]12
[C]6-4 [D]6+4
递增.
当≤2,即0f(x)max-f(x)min=4+-(2+)=2-=1,解得a=4.
当 ≥4,即a≥16时,f(x)在[2,4]上单调递减,
所以f(x)min=f(4)=4+,f(x)max=f(2)=2+,f(x)max-f(x)min=2+-(4+)=-2=1,解得a=12(舍去).
当2<<4,即4f()=2,f(x)max=max{f(2),f(4)}.
若4+>2+且4若4+≤2+且4综上可得,a=6+4或a=4.故选AD.
[典例迁移2] 若对于 x∈[1,+∞),都有g(x)=≥m恒成立,求m的取值范围.
显然函数y=u++2在[2,+∞)上单调递增,则当u=2时,ymin=5,即当x=1时,g(x)取得最小值5,
因为对 x∈[1,+∞),都有g(x)≥m成立,则m≤5,所以m的取值范围是(-∞,5].
求对勾函数的最值问题, 只有在满足基本不等式的条件下可以使用基本不等式求最值,否则应利用对勾函数的单调性,注意结合其图象研究.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数g(x)=x+的单调递减区间为 (　　)
[A](-3,0)∪(0,3)
[B](-3,3)
[C](-3,0)和(0,3)
[D](-∞,-3)和(3,+∞)
2.函数f(x)=x-(x∈[1,2])的最大值为(　　)
[A]-1 [B]1
[C] [D]2
所以当x∈[1,2]时,函数f(x)的最大值为f(2)=1.故选B.
3.函数y=x2+-2(-1[A]{x|x≥2} [B]{y|y≥2}
[C]{y|y≥3} [D]{y|y>3}
4.(多选)下列函数中,满足对任意x1,x2∈(1,+∞),有<0的是(　　)
[A]f(x)=x+ [B]f(x)=
[C]f(x)=1+ [D]f(x)=-x-
f(x)=x+,由对勾函数的图象与性质可知不满足题意,故A不满足题意;对于B,f(x)=,由复合函数的单调性知,函数在区间(1,+∞)上单调递增,故B不满足题意;对于C,f(x)=1+,函数在区间(1,+∞)上单调递减,故C满足题意;对于D,f(x)=-x- ,显然函数在区间(1,+∞)上单调递减,故D满足题意.故选CD.
5.若关于x的不等式x2-ax+2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是(　　)
[A](2,+∞) [B](-∞,2)
[C](-∞,3) [D](-∞,)
令y=x+,易知y=x+在[1,]上单调递减,在[,5]上单调递增,
又当x=1时,y=3,当x=5时,y=>3,所以a<.故选D.
6.若函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为3,则a等于(　　)
[A]3 [B]4
[C]5 [D]3或5
7.(5分)函数f(x)=(≤x≤4)的值域是　　　　.
=(x-1)++4,令t=x-1∈[,3],原函数记为y=t++4,则函数y在[,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,当t=2时,函数y取得最小值8,
当t=时,y=,当t=3时,y=<,故函数y的最大值为,即f(x)的值域为[8,].
8.(5分)已知△OAB在直角坐标系中的位置如图所示,边OB在x轴上,点C是AB的中点,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过A,C两点.若△OAB的面积为6,则k=　　　　.
所以= 2x0= b=3x0,所以S△OAB=×3x0×=k=6,解得k=4.
9.(12分)作出函数y=的图象,并写出函数的单调区间、值域和对称中心.
函数在(-∞,2)和(2,+∞)上单调递减.
因为≠0,所以1+≠1.
故单调递减区间为(-∞,2)和(2,+∞),无单调递增区间,值域为(-∞,1)∪(1,+∞),对称中心为(2,1).
10.(15分)已知函数f(x)=.
(1)当a=4时,求函数f(x)在(0,+∞)上的最小值;
(2)当a>0时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值.
(2)当a>0时,f(x)=x+-2,设0,因为00,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,)上单调递减,同理可证f(x)在(,+∞)上单调递增.
当04时,>2,函数f(x)在[2,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,f(x)min=f()=2-2.设f(x)的最小值为g(a),
所以g(a)=
11.已知函数f(x)=x2-,则不等式f(2x-1)≤f(x+1)的解集为(　　)
[A](0,2]
[B][0,2]
[C](0,)∪(,2]
[D][0,)∪(,2]
设00,x2+x1>0,1+>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增(也可结合双刀函数和复合函数的单调性直接得到结论).又函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.所以f(2x-1)≤f(x+1) 0≤x≤2且x≠.故选D.
12.(5分)若对勾函数f(x)=x+(t>0) 对于任意的k∈Z,都有f(k-)≤f(k+),则实数t的最大值为　　　　.
当k2-<0,即-当k2->0,即k>或k<-时,则有t≤k2-恒成立,因为k∈Z,所以t≤=.
综上,-≤t≤,所以实数t的最大值为.
13.(17分)某同学在学习“对勾函数”f(x)=x+的图象与性质后,研究了函数g(x)=x2+,发现:函数g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(1)证明:g(x)在(1,+∞)上单调递增.
(2)若对任意x∈[,2],f(x)≥-恒成立,求实数m的最大值.
(3)是否存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b]的值域为[a,b] 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
当12,x1x2>1,则<2,x1+x2->0,所以g(x1)-g(x2)<0,g(x1)所以g(x)在(1,+∞)上单调递增.
由幂函数y=x3在R上单调递增,得函数h(x)=x3+2在R上单调递增,若存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b]的值域为[a,b],则正实数a,b(a所以不存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b]的值域为[a,b].
14.(5分)若对勾函数f(x)=x+(t>0)在整数集合Z内单调递增,则实数t的取值范围为　　　　.
即解得0培优课5　反比例函数、对勾函数
关键能力·素养培优
题型一　反比例函数的图象和性质
(1)求函数的定义域和值域;
【解】 作出k>0和k<0时的图象.
(1)函数的定义域为{x|x≠0},函数的值域为{y|y≠0}.
(2)判断函数的单调性和奇偶性.
·解题策略·
研究反比例函数的几个方面
(1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到.
(2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性,但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法.
(3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性.
(4)函数图象关于点(0,0)成中心对称.
题型二　对勾函数的图象和性质
【解】 (1)定义域:{x|x≠0}.
(3)奇偶性:奇函数.
(1)若x∈[1,3],则f(x)的最小值是　　　　;
2
【解析】 (1)因为f(x)在[1,3]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=2.
(-∞,-]∪[2,+∞)
【解】 (1)定义域:{x|x≠0}.
(2)值域:R.
(3)奇偶性:奇函数.
·解题策略·
题型三　对勾函数的综合问题
AD
·解题策略·
求对勾函数的最值问题, 只有在满足基本不等式的条件下可以使用基本不等式求最值,否则应利用对勾函数的单调性,注意结合其图象研究.
感谢观看培优课5　反比例函数、对勾函数
题型一　反比例函数的图象和性质
[例1] 画出反比例函数y=的图象.
(1)求函数的定义域和值域;
(2)判断函数的单调性和奇偶性.
【解】 作出k>0和k<0时的图象.
(1)函数的定义域为{x|x≠0},函数的值域为{y|y≠0}.
(2)令y=f(x),当k>0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调递增区间,证明如下:
当x>0时,设 x1,x2∈(0,+∞)且x10,x2-x1>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;同理,当x<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减.
当k<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调递减区间(证明略).f(x)为奇函数.
研究反比例函数的几个方面
(1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到.
(2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性,但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法.
(3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性.
(4)函数图象关于点(0,0)成中心对称.
[变式训练] 作出y=(-2≤x<1且x≠0)的图象,并指出其值域和单调区间.
【解】 由题意知函数y=(-2≤x<1且x≠0)的图象为反比例函数图象的一部分,
当x=-2时,y==-1,当x=1时,y==2,所以该函数图象如图.
由图象可知,函数y=(-2≤x<1且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪(2,+∞).单调递减区间为[-2,0)和(0,1),没有单调递增区间.
题型二　对勾函数的图象和性质
[例2] 探究对勾函数f(x)=x+(a>0)的性质(定义域、值域、奇偶性、单调性),并画出它的简图(单调性需证明,其余性质列出即可).
【解】 (1)定义域:{x|x≠0}.
(2)值域:(-∞,-2]∪[2,+∞).
(3)奇偶性:奇函数.
(4)单调性:函数f(x)=x+(a>0)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减.证明如下:
任取x1,x2∈(0,],且x1因为01,所以1-<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(0,]上单调递减.
任取x1,x2∈(,+∞),且x1因为x1-x2<0,x1x2>a,所以<1,所以1->0,所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)所以f(x)在(,+∞)上单调递增.
同理,f(x)在(-∞,-)上单调递增,在(-,0)上单调递减.其图象如图所示.
[典例迁移1] 已知函数f(x)=x+.
(1)若x∈[1,3],则f(x)的最小值是　　　　;(2)若x∈[,3],则f(x)的值域为　　　　;
(3)若x∈[-,0)∪(0,3],则f(x)的值域为　　　　.
【答案】 (1)2　(2)[2,] 　(3)(-∞,-]∪[2,+∞)
【解析】 (1)因为f(x)在[1,3]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(1)=2.
(2)因为f(x)在[,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增,所以最小值为f(1)=2,
因为f()=<=f(3),所以最大值为f(3),
所以f(x)在[,3]上的值域为[2,].
(3)因为x∈[-,0]∪(0,3],且f(x)在[-,0)上单调递减,所以f(x)在[-,0)上的值域是(-∞,-],
又f(x)在(0,3]上先单调递减,然后单调递增,在f(1)处取得最小值,所以f(x)在(0,3]上的值域是[2,+∞),
所以f(x)在[-,0)∪(0,3]上的值域为(-∞,-]∪[2,+∞).
[典例迁移2] 探究双刀函数f(x)=x+(a<0)的性质(定义域、值域、奇偶性、单调性),并画出函数的简图(单调性需证明,其余性质列出即可).
【解】 (1)定义域:{x|x≠0}.
(2)值域:R.
(3)奇偶性:奇函数.
(4)函数f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x10,又a<0,所以1->0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)同理可知,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.其简图如图所示.
函数f(x)=x+(a≠0)的单调性
函数f(x)=x+(a≠0) 单调递增区间 单调递减区间
a>0 (-∞,-), (,+∞) [-,0), (0,]
a<0 (-∞,0), (0,+∞) 无
题型三　对勾函数的综合问题
[例3] 已知函数f(x)=2x+-6,x∈[1,4],求函数f(x)的单调区间和值域.
【解】 f(x)=2x+-6,x∈[1,4],令2x-1=t∈[1,7],则y=t+-5,由对勾函数的性质知,函数y=t+-5在t∈[1,2]上单调递减,在t∈[2,7]上单调递增,而t=2x-1在x∈[1,4]上单调递增,又当t∈[1,2]时,x∈[1,],当t∈[2,7]时,x∈[,4],因此f(x)在[1,]上单调递减,在[,4]上单调递增,f(x)min=f()=-1,f(1)=0[典例迁移1] (多选)已知函数f(x)=x+(a>0)在[2,4]上的最大值比最小值大1,则a的值可以是(　　)
[A]4 [B]12
[C]6-4 [D]6+4
【答案】 AD
【解析】 由对勾函数的性质可得f(x)=x+(a>0)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调
递增.
当≤2,即0f(x)max-f(x)min=4+-(2+)=2-=1,解得a=4.
当 ≥4,即a≥16时,f(x)在[2,4]上单调递减,
所以f(x)min=f(4)=4+,f(x)max=f(2)=2+,f(x)max-f(x)min=2+-(4+)=-2=1,解得a=12(舍去).
当2<<4,即4f()=2,f(x)max=max{f(2),f(4)}.
若4+>2+且4若4+≤2+且4综上可得,a=6+4或a=4.故选AD.
[典例迁移2] 若对于 x∈[1,+∞),都有g(x)=≥m恒成立,求m的取值范围.
【解】 当x∈[1,+∞)时,g(x)==(x+1)++2,令x+1=u∈[2,+∞),
显然函数y=u++2在[2,+∞)上单调递增,则当u=2时,ymin=5,即当x=1时,g(x)取得最小值5,
因为对 x∈[1,+∞),都有g(x)≥m成立,则m≤5,所以m的取值范围是(-∞,5].
求对勾函数的最值问题, 只有在满足基本不等式的条件下可以使用基本不等式求最值,否则应利用对勾函数的单调性,注意结合其图象研究.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数g(x)=x+的单调递减区间为 (　　)
[A](-3,0)∪(0,3)
[B](-3,3)
[C](-3,0)和(0,3)
[D](-∞,-3)和(3,+∞)
【答案】 C
【解析】 直接利用对勾函数的图象和性质可知答案为C.故选C.
2.函数f(x)=x-(x∈[1,2])的最大值为(　　)
[A]-1 [B]1
[C] [D]2
【答案】 B
【解析】 因为函数y=x,y=-在区间[1,2]上均单调递增,可知函数f(x)在[1,2]上单调递增,
所以当x∈[1,2]时,函数f(x)的最大值为f(2)=1.故选B.
3.函数y=x2+-2(-1[A]{x|x≥2} [B]{y|y≥2}
[C]{y|y≥3} [D]{y|y>3}
【答案】 D
【解析】 由题知-15-2=3.故选D.
4.(多选)下列函数中,满足对任意x1,x2∈(1,+∞),有<0的是(　　)
[A]f(x)=x+ [B]f(x)=
[C]f(x)=1+ [D]f(x)=-x-
【答案】 CD
【解析】 对任意x1,x2∈(1,+∞),有<0,则函数在区间(1,+∞)上单调递减.对于A,
f(x)=x+,由对勾函数的图象与性质可知不满足题意,故A不满足题意;对于B,f(x)=,由复合函数的单调性知,函数在区间(1,+∞)上单调递增,故B不满足题意;对于C,f(x)=1+,函数在区间(1,+∞)上单调递减,故C满足题意;对于D,f(x)=-x- ,显然函数在区间(1,+∞)上单调递减,故D满足题意.故选CD.
5.若关于x的不等式x2-ax+2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是(　　)
[A](2,+∞) [B](-∞,2)
[C](-∞,3) [D](-∞,)
【答案】 D
【解析】 当x∈[1,5]时,由x2-ax+2>0可得a0在区间[1,5]上有解,则a<,
令y=x+,易知y=x+在[1,]上单调递减,在[,5]上单调递增,
又当x=1时,y=3,当x=5时,y=>3,所以a<.故选D.
6.若函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为3,则a等于(　　)
[A]3 [B]4
[C]5 [D]3或5
【答案】 A
【解析】 f(x)==1+,当a=1时,f(x)=1,不符合题意;当a-1>0,即a>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,f(x)max=f(0)=a=3;当a-1<0,即a<1时,f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)max=f(1)==3,解得a=5,与a<1矛盾,舍去.综上,a=3.故选A.
7.(5分)函数f(x)=(≤x≤4)的值域是　　　　.
【答案】 [8,]
【解析】 由f(x)===
=(x-1)++4,令t=x-1∈[,3],原函数记为y=t++4,则函数y在[,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,当t=2时,函数y取得最小值8,
当t=时,y=,当t=3时,y=<,故函数y的最大值为,即f(x)的值域为[8,].
8.(5分)已知△OAB在直角坐标系中的位置如图所示,边OB在x轴上,点C是AB的中点,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过A,C两点.若△OAB的面积为6,则k=　　　　.
【答案】 4
【解析】 依题意k>0.设A(x0,),B(b,0),则C(,),由于C在反比例函数的图象上,
所以= 2x0= b=3x0,所以S△OAB=×3x0×=k=6,解得k=4.
9.(12分)作出函数y=的图象,并写出函数的单调区间、值域和对称中心.
【解】 y==1+,图象如图所示.
函数在(-∞,2)和(2,+∞)上单调递减.
因为≠0,所以1+≠1.
故单调递减区间为(-∞,2)和(2,+∞),无单调递增区间,值域为(-∞,1)∪(1,+∞),对称中心为(2,1).
10.(15分)已知函数f(x)=.
(1)当a=4时,求函数f(x)在(0,+∞)上的最小值;
(2)当a>0时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值.
【解】 (1)当a=4时,f(x)==x+-2,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x+-2≥2-2=2,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以f(x)的最小值为2.
(2)当a>0时,f(x)=x+-2,设0,因为00,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,)上单调递减,同理可证f(x)在(,+∞)上单调递增.
当04时,>2,函数f(x)在[2,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,f(x)min=f()=2-2.设f(x)的最小值为g(a),
所以g(a)=
11.已知函数f(x)=x2-,则不等式f(2x-1)≤f(x+1)的解集为(　　)
[A](0,2]
[B][0,2]
[C](0,)∪(,2]
[D][0,)∪(,2]
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=x2-,定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=(-x)2-=x2-=f(x),所以函数f(x)为偶函数;
设00,x2+x1>0,1+>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增(也可结合双刀函数和复合函数的单调性直接得到结论).又函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.所以f(2x-1)≤f(x+1) 0≤x≤2且x≠.故选D.
12.(5分)若对勾函数f(x)=x+(t>0) 对于任意的k∈Z,都有f(k-)≤f(k+),则实数t的最大值为　　　　.
【答案】
【解析】 因为f(k-)≤f(k+),所以f(k-)-f(k+)≤0,所以k-+-k--=-1≤0,即≤1.
当k2-<0,即-当k2->0,即k>或k<-时,则有t≤k2-恒成立,因为k∈Z,所以t≤=.
综上,-≤t≤,所以实数t的最大值为.
13.(17分)某同学在学习“对勾函数”f(x)=x+的图象与性质后,研究了函数g(x)=x2+,发现:函数g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(1)证明:g(x)在(1,+∞)上单调递增.
(2)若对任意x∈[,2],f(x)≥-恒成立,求实数m的最大值.
(3)是否存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b]的值域为[a,b] 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
(1)【证明】 函数g(x)=x2+, x1,x2∈(1,+∞),x1当12,x1x2>1,则<2,x1+x2->0,所以g(x1)-g(x2)<0,g(x1)所以g(x)在(1,+∞)上单调递增.
(2)【解】 对任意x∈[,2],f(x)≥-可得x+≥-,即m≤x2++1恒成立,即 x∈[,2],m-1≤g(x)恒成立,而函数g(x)在[,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,因此g(x)min=g(1)=3,则m-1≤3,解得m≤4,所以实数m的最大值为4.
(3)【解】 不存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b]的值域为[a,b].理由如下:
由幂函数y=x3在R上单调递增,得函数h(x)=x3+2在R上单调递增,若存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b]的值域为[a,b],则正实数a,b(a所以不存在正实数a,b,使得函数h(x)=x3+2,x∈[a,b]的值域为[a,b].
14.(5分)若对勾函数f(x)=x+(t>0)在整数集合Z内单调递增,则实数t的取值范围为　　　　.
【答案】 (0,2)
【解析】 可知f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,要使f(x)在整数集合Z内单调递增,则
即解得0

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