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培优课6　指(对)数型函数的综合问题
关键能力·素养培优
题型一　指(对)数型复合函数的单调性问题
【解】
【解】
(0.4,+∞)
(0,0.4)
【解析】 (1)令t=log0.4x,则其在(0,+∞)上单调递减.y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.
由t=log0.4x>1得00.4,
故所求函数的单调递增区间为(0.4,+∞),单调递减区间为(0,0.4).
(2,+∞)
(-∞,2)
·解题策略·
·解题策略·
(2)指数型、对数型复合函数的常见类型及其单调区间求解方法:
题型二　已知单调性求参数的取值范围
D
[典例迁移1] 已知函数f(x)=ln(7+2ax-x2)在区间[-1,1]上单调递减,则a的取值范围为(　　)
[A](-∞,-1] [B][-1,+∞)
[C](-3,-1] [D][-3,-1]
C
C
·解题策略·
不论是指数型复合函数还是对数型复合函数,研究其单调性时,一定要注意先研究函数的定义域,也就是坚持“定义域优先”的原则.若底数中含有参数,则需要分类讨论.
题型三　指(对)数型函数的综合应用
(2)解关于x的不等式f(x)>3;
(3)若对任意的x∈[2,4],不等式f(2x)-alog2x+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
·解题策略·
形如y=f(ax) 和 y=f(logax) (a>0,且a≠1)的复合函数,利用换元法,令t= ax
(或logax),化归为关于t的函数求解,注意利用x的取值范围确定新元t的取值范围.
(2)当x∈[-1,0]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
感谢观看培优课6　指(对)数型函数的综合问题
题型一　指(对)数型复合函数的单调性问题
[例1] 填表,并写出求解表中(1)f(x)=的单调区间的过程,其他函数只在表中填写单调区间.
函数 单调递 增区间 单调递 减区间
(1)f(x)=
(2)f(x)=
(3)f(x)=()
(4)f(x)=
函数 单调递增区间 单调递减区间
(1)f(x)= (-∞,1) (1,+∞)
(2)f(x)= (,+∞) (-∞,)
(3)f(x)=() (0,+∞) (-∞,0)
(4)f(x)= 无 (-∞,0), (0,+∞)
解答过程:对于函数f(x)=(),令u=x2-2x,易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
又函数y=在R上单调递减,所以f(x)=的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(1,+∞).
[典例迁移1] 填表,并写出求解表中(1)f(x)=lo(x2-3x+2)的单调区间的过程,其他函数只在表中填写单调区间.
函数 单调递 增区间 单调递 减区间
(1)f(x)=lo(x2-3x+2)
(2)f(x)=log2(-x2+2x)
(3)f(x)=lg(x2+2x-3)
(4)f(x)=log0.7(x2+2x+3)
函数 单调递 增区间 单调递 减区间
(1)f(x)=lo(x2-3x+2) (-∞,1) (2,+∞)
(2)f(x)=log2(-x2+2x) (0,1) (1,2)
(3)f(x)=lg (x2+2x-3) (1,+∞) (-∞,-3)
(4)f(x)=log0.7(x2+2x+3) (-∞,-1) (-1,+∞)
解答过程:对于函数f(x)=lo(x2-3x+2),由x2-3x+2>0得x<1或x>2.
令t=x2-3x+2,则t=x2-3x+2=-.
当x∈(2,+∞)时,t=x2-3x+2单调递增;当x∈(-∞,1)时,t=x2-3x+2单调递减,
又y=lot为减函数,所以当x∈(2,+∞)时,原函数单调递减;当x∈(-∞,1)时,原函数单调递增.
故函数f(x)=lo(x2-3x+2)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(2,+∞).
[典例迁移2] (1)函数y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的单调递增区间为　　　　　　,单调递减区间为　　　　.
(2)函数f(x)=-2×3x-2的单调递增区间为　　　　　,单调递减区间为　　　　　.
由t=log0.4x>1得00.4,
故所求函数的单调递增区间为(0.4,+∞),单调递减区间为(0,0.4).
(2)令3x-2=t(t>0),函数y=t2-2t在(1,+∞)上单调递增,由3x-2>1,得x>2,
而函数t=3x-2在(2,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=(3x-2)2-2×3x-2在(2,+∞)上单调递增.
同理,函数f(x)=(3x-2)2-2×3x-2在(-∞,2)上单调递减.
(1)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=(x),通过考查f(u)和(x)的单调性,利用同增异减原则,求出y=f((x))的单调性.
(2)指数型、对数型复合函数的常见类型及其单调区间求解方法:
函数 a>1 0y=af(x) 与u=f(x)的单调性相同 与u=f(x)的单调性相反
y=logaf(x) 与u=f(x)(f(x)>0)的单调性相同 与u=f(x)(f(x)>0)的单调性相反
y=f(ax) 利用换元法,令u(x)= ax (或logax),则只需讨论u(x)及y=f(u) 的单调性,根据复合函数同增异减原则得到结论
y=f(logax)
题型二　已知单调性求参数的取值范围
[例2] 设函数f(x)=3x(x-a)在区间(0,)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
[A](-∞,-1) [B][-3,0)
[C](0,1] [D][3,+∞)
则有函数u=x(x-a)=-在区间(0,)上单调递减,因此≥,解得a≥3.
所以实数a的取值范围是[3,+∞).故选D.
[典例迁移1] 已知函数f(x)=ln(7+2ax-x2)在区间[-1,1]上单调递减,则a的取值范围为(　　)
[A](-∞,-1] [B][-1,+∞)
[C](-3,-1] [D][-3,-1]
[典例迁移2] 已知函数f(x)=loga(ax-5)(a>0,且a≠1)在区间(,3)上单调递增,则a的取值范围为(　　)
[A](1,+∞) [B](,+∞)
[C][10,+∞) [D](10,+∞)
不论是指数型复合函数还是对数型复合函数,研究其单调性时,一定要注意先研究函数的定义域,也就是坚持“定义域优先”的原则.若底数中含有参数,则需要分类讨论.
题型三　指(对)数型函数的综合应用
[例3] 已知函数f(x)=log4·lo.
(1)求函数f(x)的值域;
(2)解关于x的不等式f(x)>3;
(3)若对任意的x∈[2,4],不等式f(2x)-alog2x+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
-6log2x+8.
令t=log2x(t∈R),则y=t2-6t+8=(t-3)2-1≥-1,所以f(x)的值域为[-1,+∞).
(2)不等式可化为t2-6t+8>3,即t2-6t+5>0,解得t<1或t>5,即log2x<1或log2x>5,
解得032,所以不等式的解集为{x|032}.
(3)因为f(2x)-alog2x+1≥0,所以(log2x-1)(log2x-3)-alog2x+1≥0,令t=log2x,x∈[2,4],则t∈[1,2],
原问题化为对任意t∈[1,2],t2-4t+4-at≥0,即a≤t+-4恒成立.因为t+-4≥2-4=0(当且仅当t=2,即x=4时,等号成立),即t+-4的最小值为0,所以a≤0.
故实数a的取值范围是(-∞,0].
形如y=f(ax) 和 y=f(logax) (a>0,且a≠1)的复合函数,利用换元法,令t= ax (或logax),化归为关于t的函数求解,注意利用x的取值范围确定新元t的取值范围.
[变式训练] 已知函数f(x)=-6a+a-1.
(1)若a=1,定义域为[-2,1],求函数f(x)的值域;
(2)当x∈[-1,0]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
设t=, x∈[-2,1],所以t∈[,9].此时f(x)可视作g(t)=t2-2t+=(t-1)2+,
所以≤g(t)≤(9-1)2+=.
即函数f(x)的值域为[,].
(2)当x∈[-1,0]时,t=∈[1,3],设h(t)=t2-2at+a-1,其图象的对称轴方程为t=a.
f(x)≥0对任意x∈[-1,0]恒成立, 即h(t)≥0对任意t∈[1,3]恒成立.
当a≤1时,h(t)min=h(1)=1-2a+a-1≥0,即a≥0,此时0≤a≤1符合条件;
当a≥3时,h(t)min=h(3)=9-6a+a-1≥0,即a≤,不满足a≥3,舍去;
当1综上所述,实数a的取值范围为[0,2].
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数f(x)=的单调递增区间是(　　)
[A][1,+∞) [B][3,+∞)
[C](-∞,1] [D](-∞,-1]
2.函数f(x)=lo(4-|x|)的单调递减区间为(　　)
[A](-4,0) [B](-∞,0)
[C](0,4) [D](0,+∞)
所以f(x)=lo(4-|x|)的单调递增区间为(0,4),单调递减区间为(-4,0).故选A.
3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　)
[A](-∞,2] [B][2,+∞)
[C][-2,+∞) [D](-∞,-2]
令u=|2x-4|,则y=.由于u=|2x-4| 在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,y=在定义域上单调递减,所以f(x)=在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.故选B.
4.若函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)上单调递增,则实数m的取值范围为 (　　)
[A][,3] [B][,2]
[C][,2) [D][,+∞)
又f(u)=lou在定义域上单调递减,所以f(x)=lo(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).由题意得解得≤m<2.故选C.
5.已知函数f(x)=,则(　　)
[A]函数f(x)的值域为(0,1]
[B]函数f(x)无最值
[C]函数f(x)在R上单调递减
[D]函数f(x)在(-2,+∞)上单调递减
对于A,y=,u≥-1,则y∈(0,2],所以函数f(x)的值域为(0,2],故A错误;
对于B,因为u≥-1,所以f(x)≤2,当且仅当u=-1,即x=-2时,f(x)取得最大值,故B错误;
对于C,D,因为u=x2+4x+3=(x+2)2-1在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减,当u≥-1时,y=单调递减,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,故C错误,D正确.故选D.
6.(多选)已知函数f(x)=lg (x≠0,x∈R),则下列结论正确的是(　　)
[A]f(x)的图象关于y轴对称
[B]f(x)的最小值是2
[C]f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增
[D]f(x)没有最大值
7.(5分)若函数f(x)=(a>0,且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是　　　　　　.
解得18.(5分)已知函数f(x)=3|x|+x2+2,则f(2x-1)>f(3-x)的解集为　　　　　　　　.
当x≥0时,f(x)=3x+x2+2,又y=3x,y=x2+2在[0,+∞)上均单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(2x-1)>f(3-x),即|2x-1|>|3-x|,解得x<-2或x>,所以f(2x-1)>f(3-x)的解集为(-∞,-2)∪(,+∞).
9.(14分)已知函数f(x)=lo(6-x)-lo(6+x).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)的单调性;
(3)若f(2k+1)(2)由于f(x)=lo(6-x)-lo(6+x)=lo=lo(-1+),由于函数y=-1+在(-6,6)上单调递减,而y=lox在(0,+∞)上单调递减,故f(x)在(-6,6)上单调递增.
(3)因为f(x)在(-6,6)上单调递增,故f(2k+1)所以实数k的取值范围是(-1,).
10.(13分)已知函数f(x)=1+a+.
(1)当a=1时,求f(x)的值域;
(2)若f(x)≥-3对任意x∈[0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
其图象的对称轴方程为t=-,g(t)在(0,+∞)上单调递增,则g(t)>g(0)=1,所以f(x)的值域为(1,+∞).
(2)因为f(x)≥-3,由(1)知f(x)=g(t)=1+at+t2≥-3,因为x∈[0,+∞),()x=t,则0所以at≥-t2-4对于任意t∈(0,1]恒成立,则a≥-t-,即a≥.因为a≥-t-=-(t+),令h(t)=t+,则其在(0,1]上单调递减,h(t)min=h(1)=1+4=5,所以=-5,所以a≥-5.
故实数a的取值范围为[-5,+∞).
11.已知函数f(x)=a2x-4ax+1(a>0,且a≠1)在(0,1)上单调递增,则a的取值范围是(　　)
[A][,1)
[B](1,+∞)
[C](0,]
[D][,1)∪(1,+∞)
故选A.
12.(多选)已知函数f(x)=log2(-x)+3,则下列说法正确的是(　　)
[A]f(1)+f(-1)=6
[B]函数f(x)的图象关于点(0,3)对称
[C]函数f(x)在定义域上单调递增
[D]若实数a,b满足f(a)+f(b)>6,则a+b<0
对于B,对任意的x∈R,-x>|x|-x≥0,所以函数f(x)=log2(-x)+3的定义域为R,f(-x)+f(x)=log2[+x]+3+log2(-x)+3=log2(x2+1-x2)+6=6,所以函数f(x)的图象关于点(0,3)对称,故B正确;
对于C,函数h(x)=log2(-x)的定义域为R,h(-x)+h(x)=log2(+x)+
log2(-x)=log2(x2+1-x2)=0,即h(-x)=-h(x),所以函数h(x)为奇函数.当x≥0时,内层函数u=-x=单调递减,外层函数y=log2u在其定义域上单调递增,所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递减,故函数h(x)在(-∞,0]上单调递减,故函数h(x)在R上单调递减,又函数y=x+3在R上单调递增,故函数f(x)在R上单调递减,故C不正确;
对于D,因为实数a,b满足f(a)+f(b)>6,则f(a)>6-f(b)=f(-b),因为f(x)在定义域上单调递减,可得a<-b,即a+b<0,故D正确.故选ABD.
13.(15分)已知函数f(x)=(log2x-2)log4(2x).
(1)当x∈[1,16]时,求该函数的值域;
(2)求不等式f(x)>2的解集;
(3)若f(x)函数f(x)转化为y=(2t-2)(t+),t∈[0,2],则二次函数y=(2t-2)(t+)=2t2-t-1,其图象的对称轴方程为t=,故函数在[0,]上单调递减,在[,2]上单调递增,所以当t=时,y取到最小值为-;当t=2时,y取到最大值为5.故当x∈[1,16]时,函数f(x)的值域为[-,5].
(2)由题意得(2log4x-2)(log4x+)-2>0,令t=log4x,则(2t-2)(t+)-2>0,即2t2-t-3>0,解得t>或t<-1.
当t>时,即log4x>,解得x>8;当 t<-1时,即log4x<-1,解得0故不等式f(x)>2的解集为{x|08}.
(3)由于(2log4x-2)(log4x+)即(2t-2)(t+)2t--1在t∈[1,2]上恒成立.因为函数y=-在[1,2]上单调递增,y=2t也在[1,2]上单调递增,所以函数y=2t--1在[1,2]上单调递增,最大值为.
故当m>时,f(x)14.(多选)取整函数y=[x]中的[x]表示不超过x的最大整数.例如[-3.5]=-4,[2.1]=2.已
知函数f(x)=-,g(x)=[f(x)],则下列说法正确的是(　　)
[A]f(x)是奇函数
[B]f(x)在R上单调递增
[C]g(x)是偶函数
[D]g(x)的值域是{-1,0}培优课6　指(对)数型函数的综合问题
题型一　指(对)数型复合函数的单调性问题
[例1] 填表,并写出求解表中(1)f(x)=的单调区间的过程,其他函数只在表中填写单调区间.
函数 单调递 增区间 单调递 减区间
(1)f(x)=
(2)f(x)=
(3)f(x)=()
(4)f(x)=
【解】
函数 单调递增区间 单调递减区间
(1)f(x)= (-∞,1) (1,+∞)
(2)f(x)= (,+∞) (-∞,)
(3)f(x)=() (0,+∞) (-∞,0)
(4)f(x)= 无 (-∞,0), (0,+∞)
解答过程:对于函数f(x)=(),令u=x2-2x,易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
又函数y=在R上单调递减,所以f(x)=的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(1,+∞).
[典例迁移1] 填表,并写出求解表中(1)f(x)=lo(x2-3x+2)的单调区间的过程,其他函数只在表中填写单调区间.
函数 单调递 增区间 单调递 减区间
(1)f(x)=lo(x2-3x+2)
(2)f(x)=log2(-x2+2x)
(3)f(x)=lg(x2+2x-3)
(4)f(x)=log0.7(x2+2x+3)
【解】
函数 单调递 增区间 单调递 减区间
(1)f(x)=lo(x2-3x+2) (-∞,1) (2,+∞)
(2)f(x)=log2(-x2+2x) (0,1) (1,2)
(3)f(x)=lg (x2+2x-3) (1,+∞) (-∞,-3)
(4)f(x)=log0.7(x2+2x+3) (-∞,-1) (-1,+∞)
解答过程:对于函数f(x)=lo(x2-3x+2),由x2-3x+2>0得x<1或x>2.
令t=x2-3x+2,则t=x2-3x+2=-.
当x∈(2,+∞)时,t=x2-3x+2单调递增;当x∈(-∞,1)时,t=x2-3x+2单调递减,
又y=lot为减函数,所以当x∈(2,+∞)时,原函数单调递减;当x∈(-∞,1)时,原函数单调递增.
故函数f(x)=lo(x2-3x+2)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(2,+∞).
[典例迁移2] (1)函数y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的单调递增区间为　　　　　　,单调递减区间为　　　　.
(2)函数f(x)=-2×3x-2的单调递增区间为　　　　　,单调递减区间为　　　　　.
【答案】 (1)(0.4,+∞)　(0,0.4)　(2)(2,+∞)　(-∞,2)
【解析】 (1)令t=log0.4x,则其在(0,+∞)上单调递减.y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.
由t=log0.4x>1得00.4,
故所求函数的单调递增区间为(0.4,+∞),单调递减区间为(0,0.4).
(2)令3x-2=t(t>0),函数y=t2-2t在(1,+∞)上单调递增,由3x-2>1,得x>2,
而函数t=3x-2在(2,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=(3x-2)2-2×3x-2在(2,+∞)上单调递增.
同理,函数f(x)=(3x-2)2-2×3x-2在(-∞,2)上单调递减.
(1)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=(x),通过考查f(u)和(x)的单调性,利用同增异减原则,求出y=f((x))的单调性.
(2)指数型、对数型复合函数的常见类型及其单调区间求解方法:
函数 a>1 0y=af(x) 与u=f(x)的单调性相同 与u=f(x)的单调性相反
y=logaf(x) 与u=f(x)(f(x)>0)的单调性相同 与u=f(x)(f(x)>0)的单调性相反
y=f(ax) 利用换元法,令u(x)= ax (或logax),则只需讨论u(x)及y=f(u) 的单调性,根据复合函数同增异减原则得到结论
y=f(logax)
题型二　已知单调性求参数的取值范围
[例2] 设函数f(x)=3x(x-a)在区间(0,)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
[A](-∞,-1) [B][-3,0)
[C](0,1] [D][3,+∞)
【答案】 D
【解析】 因为函数y=3u在R上单调递增,而函数f(x)=3x(x-a)在区间(0,)上单调递减,
则有函数u=x(x-a)=-在区间(0,)上单调递减,因此≥,解得a≥3.
所以实数a的取值范围是[3,+∞).故选D.
[典例迁移1] 已知函数f(x)=ln(7+2ax-x2)在区间[-1,1]上单调递减,则a的取值范围为(　　)
[A](-∞,-1] [B][-1,+∞)
[C](-3,-1] [D][-3,-1]
【答案】 C
【解析】 二次函数u=7+2ax-x2图象的对称轴方程为x=a,且开口向下.因为函数y=ln u在(0,+∞)上单调递增,又函数f(x)=ln(7+2ax-x2)在区间[-1,1]上单调递减,则在区间[-1,1]上,u=7+2ax-x2单调递减且u>0恒成立,只需满足解得-3[典例迁移2] 已知函数f(x)=loga(ax-5)(a>0,且a≠1)在区间(,3)上单调递增,则a的取值范围为(　　)
[A](1,+∞) [B](,+∞)
[C][10,+∞) [D](10,+∞)
【答案】 C
【解析】 令t=ax-5,由a>0知,函数t=ax-5在区间(,3)上单调递增,由函数f(x)=loga(ax-5)(a>0,且a≠1)在区间(,3)上单调递增,得y=logat在区间(,3)上单调递增且t=a-5≥0,所以解得a≥10.故选C.
不论是指数型复合函数还是对数型复合函数,研究其单调性时,一定要注意先研究函数的定义域,也就是坚持“定义域优先”的原则.若底数中含有参数,则需要分类讨论.
题型三　指(对)数型函数的综合应用
[例3] 已知函数f(x)=log4·lo.
(1)求函数f(x)的值域;
(2)解关于x的不等式f(x)>3;
(3)若对任意的x∈[2,4],不等式f(2x)-alog2x+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)的定义域为(0,+∞),则f(x)=log2·2log2=(log2x-2)(log2x-4)=
-6log2x+8.
令t=log2x(t∈R),则y=t2-6t+8=(t-3)2-1≥-1,所以f(x)的值域为[-1,+∞).
(2)不等式可化为t2-6t+8>3,即t2-6t+5>0,解得t<1或t>5,即log2x<1或log2x>5,
解得032,所以不等式的解集为{x|032}.
(3)因为f(2x)-alog2x+1≥0,所以(log2x-1)(log2x-3)-alog2x+1≥0,令t=log2x,x∈[2,4],则t∈[1,2],
原问题化为对任意t∈[1,2],t2-4t+4-at≥0,即a≤t+-4恒成立.因为t+-4≥2-4=0(当且仅当t=2,即x=4时,等号成立),即t+-4的最小值为0,所以a≤0.
故实数a的取值范围是(-∞,0].
形如y=f(ax) 和 y=f(logax) (a>0,且a≠1)的复合函数,利用换元法,令t= ax (或logax),化归为关于t的函数求解,注意利用x的取值范围确定新元t的取值范围.
[变式训练] 已知函数f(x)=-6a+a-1.
(1)若a=1,定义域为[-2,1],求函数f(x)的值域;
(2)当x∈[-1,0]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)f(x)=-+a-1=-2a+a-1,若a=1,则f(x)=-2+,
设t=, x∈[-2,1],所以t∈[,9].此时f(x)可视作g(t)=t2-2t+=(t-1)2+,
所以≤g(t)≤(9-1)2+=.
即函数f(x)的值域为[,].
(2)当x∈[-1,0]时,t=∈[1,3],设h(t)=t2-2at+a-1,其图象的对称轴方程为t=a.
f(x)≥0对任意x∈[-1,0]恒成立, 即h(t)≥0对任意t∈[1,3]恒成立.
当a≤1时,h(t)min=h(1)=1-2a+a-1≥0,即a≥0,此时0≤a≤1符合条件;
当a≥3时,h(t)min=h(3)=9-6a+a-1≥0,即a≤,不满足a≥3,舍去;
当1综上所述,实数a的取值范围为[0,2].
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.函数f(x)=的单调递增区间是(　　)
[A][1,+∞) [B][3,+∞)
[C](-∞,1] [D](-∞,-1]
【答案】 B
【解析】 由x2-2x-3=(x-3)(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥3,所以f(x)的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞).y=2x在R上单调递增,y=x2-2x-3的图象开口向上,对称轴方程为x=1,根据复合函数的单调性同增异减可知,f(x)的单调递增区间是[3,+∞).故选B.
2.函数f(x)=lo(4-|x|)的单调递减区间为(　　)
[A](-4,0) [B](-∞,0)
[C](0,4) [D](0,+∞)
【答案】 A
【解析】 令4-|x|>0,即|x|<4,解得-4所以f(x)=lo(4-|x|)的单调递增区间为(0,4),单调递减区间为(-4,0).故选A.
3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　)
[A](-∞,2] [B][2,+∞)
[C][-2,+∞) [D](-∞,-2]
【答案】 B
【解析】 由f(1)=a|2×1-4|=,即a2=,解得a=或a=-(舍去),所以f(x)=.
令u=|2x-4|,则y=.由于u=|2x-4| 在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,y=在定义域上单调递减,所以f(x)=在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.故选B.
4.若函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)上单调递增,则实数m的取值范围为 (　　)
[A][,3] [B][,2]
[C][,2) [D][,+∞)
【答案】 C
【解析】 由-x2+4x+5>0,得-1又f(u)=lou在定义域上单调递减,所以f(x)=lo(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).由题意得解得≤m<2.故选C.
5.已知函数f(x)=,则(　　)
[A]函数f(x)的值域为(0,1]
[B]函数f(x)无最值
[C]函数f(x)在R上单调递减
[D]函数f(x)在(-2,+∞)上单调递减
【答案】 D
【解析】 令u=x2+4x+3=(x+2)2-1,则u≥-1.
对于A,y=,u≥-1,则y∈(0,2],所以函数f(x)的值域为(0,2],故A错误;
对于B,因为u≥-1,所以f(x)≤2,当且仅当u=-1,即x=-2时,f(x)取得最大值,故B错误;
对于C,D,因为u=x2+4x+3=(x+2)2-1在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减,当u≥-1时,y=单调递减,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,故C错误,D正确.故选D.
6.(多选)已知函数f(x)=lg (x≠0,x∈R),则下列结论正确的是(　　)
[A]f(x)的图象关于y轴对称
[B]f(x)的最小值是2
[C]f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增
[D]f(x)没有最大值
【答案】 AD
【解析】 对于A,函数f(x)的定义域为{x|x≠0},由f(-x)=lg =lg =f(x),所以函数f(x)是偶函数,A正确;对于B,因为y==|x|+≥2=2,当且仅当|x|=,即x=±1时,等号成立,所以f(x)=lg ≥lg 2,所以f(x)的最小值是lg 2,B错误;对于C,当x>0时,y==x+,根据函数的性质可知,y=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又函数y=是偶函数,所以函数y=在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,根据复合函数的性质可得,函数f(x)=lg 在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,C错误;对于D,由C选项的分析可知,函数y=无最大值,所以f(x)没有最大值,D正确.故选AD.
7.(5分)若函数f(x)=(a>0,且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是　　　　　　.
【答案】 (1,2]
【解析】 由题意,f(x)=(a>0,且a≠1)是R上的减函数,所以即
解得18.(5分)已知函数f(x)=3|x|+x2+2,则f(2x-1)>f(3-x)的解集为　　　　　　　　.
【答案】 (-∞,-2)∪(,+∞)
【解析】 因为f(x)=3|x|+x2+2,则x∈R,所以f(-x)=3|-x|+(-x)2+2=3|x|+x2+2=f(x),则f(x)为偶函数.
当x≥0时,f(x)=3x+x2+2,又y=3x,y=x2+2在[0,+∞)上均单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(2x-1)>f(3-x),即|2x-1|>|3-x|,解得x<-2或x>,所以f(2x-1)>f(3-x)的解集为(-∞,-2)∪(,+∞).
9.(14分)已知函数f(x)=lo(6-x)-lo(6+x).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)的单调性;
(3)若f(2k+1)【解】 (1)由题意得函数的定义域为(-6,6),关于原点对称,由f(-x)=lo(6+x)-lo(6-x)=-[lo(6-x)-lo(6+x)]=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
(2)由于f(x)=lo(6-x)-lo(6+x)=lo=lo(-1+),由于函数y=-1+在(-6,6)上单调递减,而y=lox在(0,+∞)上单调递减,故f(x)在(-6,6)上单调递增.
(3)因为f(x)在(-6,6)上单调递增,故f(2k+1)所以实数k的取值范围是(-1,).
10.(13分)已知函数f(x)=1+a+.
(1)当a=1时,求f(x)的值域;
(2)若f(x)≥-3对任意x∈[0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)当a=1时,f(x)=1++,设=t>0,则f(x)=g(t)=1+t+t2=+,
其图象的对称轴方程为t=-,g(t)在(0,+∞)上单调递增,则g(t)>g(0)=1,所以f(x)的值域为(1,+∞).
(2)因为f(x)≥-3,由(1)知f(x)=g(t)=1+at+t2≥-3,因为x∈[0,+∞),()x=t,则0所以at≥-t2-4对于任意t∈(0,1]恒成立,则a≥-t-,即a≥.因为a≥-t-=-(t+),令h(t)=t+,则其在(0,1]上单调递减,h(t)min=h(1)=1+4=5,所以=-5,所以a≥-5.
故实数a的取值范围为[-5,+∞).
11.已知函数f(x)=a2x-4ax+1(a>0,且a≠1)在(0,1)上单调递增,则a的取值范围是(　　)
[A][,1)
[B](1,+∞)
[C](0,]
[D][,1)∪(1,+∞)
【答案】 A
【解析】 令t=ax,则a2x-4ax+1=t2-4at.令g(t)=t2-4at,当01时,因为x∈(0,1),所以t=ax∈(1,a),且y=ax在定义域上单调递增,要使f(x)在(0,1)上单调递增,则g(t)=t2-4at在(1,a)上单调递增,则无解.综上,≤a<1.
故选A.
12.(多选)已知函数f(x)=log2(-x)+3,则下列说法正确的是(　　)
[A]f(1)+f(-1)=6
[B]函数f(x)的图象关于点(0,3)对称
[C]函数f(x)在定义域上单调递增
[D]若实数a,b满足f(a)+f(b)>6,则a+b<0
【答案】 ABD
【解析】 对于A,f(1)+f(-1)=log2(-1)+3+log2[+1]+3=6,故A正确;
对于B,对任意的x∈R,-x>|x|-x≥0,所以函数f(x)=log2(-x)+3的定义域为R,f(-x)+f(x)=log2[+x]+3+log2(-x)+3=log2(x2+1-x2)+6=6,所以函数f(x)的图象关于点(0,3)对称,故B正确;
对于C,函数h(x)=log2(-x)的定义域为R,h(-x)+h(x)=log2(+x)+
log2(-x)=log2(x2+1-x2)=0,即h(-x)=-h(x),所以函数h(x)为奇函数.当x≥0时,内层函数u=-x=单调递减,外层函数y=log2u在其定义域上单调递增,所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递减,故函数h(x)在(-∞,0]上单调递减,故函数h(x)在R上单调递减,又函数y=x+3在R上单调递增,故函数f(x)在R上单调递减,故C不正确;
对于D,因为实数a,b满足f(a)+f(b)>6,则f(a)>6-f(b)=f(-b),因为f(x)在定义域上单调递减,可得a<-b,即a+b<0,故D正确.故选ABD.
13.(15分)已知函数f(x)=(log2x-2)log4(2x).
(1)当x∈[1,16]时,求该函数的值域;
(2)求不等式f(x)>2的解集;
(3)若f(x)【解】 (1)因为f(x)=(log2x-2)log4(2x)=(2log4x-2)(log4x+),令t=log4x,x∈[1,16],则t∈[0,2],
函数f(x)转化为y=(2t-2)(t+),t∈[0,2],则二次函数y=(2t-2)(t+)=2t2-t-1,其图象的对称轴方程为t=,故函数在[0,]上单调递减,在[,2]上单调递增,所以当t=时,y取到最小值为-;当t=2时,y取到最大值为5.故当x∈[1,16]时,函数f(x)的值域为[-,5].
(2)由题意得(2log4x-2)(log4x+)-2>0,令t=log4x,则(2t-2)(t+)-2>0,即2t2-t-3>0,解得t>或t<-1.
当t>时,即log4x>,解得x>8;当 t<-1时,即log4x<-1,解得0故不等式f(x)>2的解集为{x|08}.
(3)由于(2log4x-2)(log4x+)即(2t-2)(t+)2t--1在t∈[1,2]上恒成立.因为函数y=-在[1,2]上单调递增,y=2t也在[1,2]上单调递增,所以函数y=2t--1在[1,2]上单调递增,最大值为.
故当m>时,f(x)14.(多选)取整函数y=[x]中的[x]表示不超过x的最大整数.例如[-3.5]=-4,[2.1]=2.已
知函数f(x)=-,g(x)=[f(x)],则下列说法正确的是(　　)
[A]f(x)是奇函数
[B]f(x)在R上单调递增
[C]g(x)是偶函数
[D]g(x)的值域是{-1,0}
【答案】 ABD
【解析】 由f(x)=-=,得f(-x)===-f(x),又f(x)的定义域为R,所以f(x)是奇函数,A正确;f(x)=-=-=-,因为y=1+ex在R上单调递增,且1+ex>1,所以y=在R上单调递减,故f(x)在R上单调递增,B正确;由于ex>0,故1+ex>1,所以∈(0,1),所以-∈(-,),所以f(x)∈(-,).当f(x)∈(-,0)时,g(x)=[f(x)]=-1,当f(x)∈[0,)时,g(x)=[f(x)]=0,所以g(x)不是偶函数,g(x)的值域是{-1,0},C不正确,D正确.故选ABD.

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