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培优课7　函数零点与方程解的应用
题型一　根据零点情况求参数
[例1] 函数f(x)=2x+log2(x-1)-的零点在区间(2,3)内,则实数a的取值范围为(　　)
[A](4,) [B](4,18)
[C](8,9) [D](8,18)
则f(2)f(3)<0,所以(4-)(9-)<0,解得a∈(8,18).故选D.
[典例迁移1] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=若函数y=f(x)-m有且仅有4个零点,则实数m的取值范围是(　　)
[A](1,) [B](0,)
[C][0,) [D](-∞,)
[典例迁移2] 若方程(x-1)lg(x+1)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=(　　)
[A]-1 [B]2
[C]-1或2 [D]1
由图象可知,方程(x-1)lg(x+1)=1应有两个根,
设f(x)=(x-1)lg(x+1)-1,根据函数性质得f(x)在区间(2,3)上单调递增,又f(2)=lg 3-1<0,f(3)=2lg 4-1=lg 16-1>0,则f(2)f(3)<0,由函数零点存在定理知,f(x)=(x-1)lg(x+1)-1在区间(2,3)上有且仅有一个零点,即方程(x-1)lg(x+1)=1在区间(2,3)上有且仅有一个实根,同理可得方程(x-1)lg(x+1)=1在区间(-1,0)上有且仅有一个实根,结合题意可知,k=-1或k=2.故选C.
已知函数有零点(方程有根)求参数值
(取值范围)的常用方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根或直接使用函数零点存在定理列出不等式(组)确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题再加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,最后利用数形结合的方法求解.
题型二　一元二次方程的根的分布问题
[例2] 若函数f(x)=-3ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-,1)
[B][-,]
[C][-,1]∪{}
[D][-,1]∪{}
①当Δ=16-12a=0,即a=时,f(x)=-4x2+4x-1=-(2x-1)2=0,得x=∈(-1,1),满足题意;
②当f(1)f(-1)=(-3a+3)(-3a-5)<0时,-③当f(-1)=-3a-5=0时,a=-,此时f(x)=5x2+4x-1=(5x-1)(x+1)=0,方程在(-1,1)上只有一根x=,满足题意;
④当f(1)=-3a+3=0时,a=1,此时f(x)=-3x2+4x-1=-(3x-1)(x-1)=0,方程在(-1,1)上只有一根x=,满足题意.
综上,-≤a≤1或a=.故选C.
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题.(只考虑方程有两个不相等的实数根)
根的分布 (m,n,p为常数) 图象 满足条件
x1mx1mmx1,x2有 且只有一个 在(m,n)之 间且f(m)· f(n)≠0 f(m)·f(n)<0
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有以下特殊根的条件.
①两个正根:②两个负根:③一个正根,一个负根:x1·x2<0.
两个根位于同一个区间必须有三看:一看判别式,二看对称轴,三看区间端点函数值.两个根位于不同区间只有一看,即看区间端点函数值.
[变式训练] 如果函数f(x)=x2-mx+1的两零点分别落在区间(0,1)和(1,2)上,则实数m的取值范围是(　　)
[A](1,3) [B](2,3)
[C](2,) [D](1,)
由题意可得
即解得2题型三　形如 a[f(x)]2+bf(x)+c=0(a≠0)的根的个数问题
[例3] 已知函数f(x)=若方程[f(x)]2-af(x)+2=0有6个不同的实数根,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-,-2)
[B](-6,-2)
[C](-,+∞)
[D](-,-2)∪(-2,+∞)
解得-形如a[f(x)]2+bf(x)+c=0(a≠0)的根的个数问题,可以设f(x)=t,若是容易解出t1和t2,则问题转化为f(x)=t1或f(x)=t2;若是不容易解出t1和t2,则问题转化为一元二次方程根的分布问题.
[变式训练] 已知函数f(x)=若方程[f(x)]2-2f(x)-m2+1=0有3个不同的实根,则实数m的取值范围是(　　)
[A](-∞,-1]∪[1,+∞)
[B](-2,2)
[C](-2,-1]∪[1,2)
[D][-1,1]
由图可知,要使方程[f(x)]2-2f(x)-m2+1=0有3个不同的实根,则必有函数y=f(x)的图象与直线y=m+1有两个交点或与直线y=1-m有两个交点,当-1<1-m≤0,即1≤m<2时,2≤m+1<3,符合题意;当-1<1+m≤0,即-2课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知当|x|≤1时,函数f(x)=ax+2a+1的值有正也有负,则实数a的取值范围是(　　)
[A][-,+∞) [B](-∞,-1]
[C](-1,-) [D](-1,-]
2.已知f(x)=ex+4x-3的零点在区间(-,+)上,k∈Z,则k等于(　　)
[A]-1 [B]0 [C]1 [D]2
3.已知函数f(x)=x5+4x+a在(-1,1)内有零点,则a的取值范围是(　　)
[A](-5,5)
[B](-∞,-5)∪(5,+∞)
[C][-5,5]
[D](-∞,-5]∪[5,+∞)
4.已知关于x的方程x2-kx+k+3=0的两个不相等的实数根都大于2,则实数k的取值范围是(　　)
[A](6,+∞)
[B](4,7)
[C](6,7)
[D](-∞,-2)∪(6,+∞)
令f(x)=x2-kx+k+3,则函数图象对称轴在直线x=2的右侧,且f(2)>0,
所以解得65.已知函数f(x)=x2+ax+2有两个零点,在区间(-1,2)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(　　)
[A](-∞,-2)∪(2,+∞)
[B](-∞,-3)∪(3,+∞)
[C](-∞,-4]∪(3,+∞)
[D](-∞,-4]∪[2,+∞)
则或解得a≤-4或a>3,所以实数a的取值范围是(-∞,-4]∪(3,+∞).故选C.
6.(多选)已知二次函数f(x)=x2+bx+c在(0,2)上有两个零点.下列说法正确的有 (　　)
[A]f(0)>0且f(2)>0
[B]f(1)<0
[C]f(0)·f(2)>1
[D]f(0)和f(2)中至少有一个小于1
所以故A正确;
当x1,x2∈(0,1)时,f(1)>0,故B错误;
若x1=1,x2=,则f(x)=(x-1)(x-)=x2-x+,此时f(0)=,f(2)=,则f(0)·f(2)=<1,故C错误;
对于D选项,
法一　当f(1)=1+b+c<0时,4+2b+2c<2,即f(0)+f(2)<2,所以f(0)和f(2)中至少有一个小于1,由Δ=b2-4c>0,得c<.
当f(1)=1+b+c≥0时,-∈(0,1)或(1,2),若-∈(0,1),则f(0)=c<=<1;
若-∈(1,2),则f(2)=4+2b+c<4+2b+==<1,故D正确.
法二　若f(0)≥1,f(2)≥1,即c≥1,4+2b+c≥1,由Δ=b2-4c>0,得b2>4c≥4,则b<-2或b>2,结合0<-<2,得-47.(5分)若函数f(x)=(其中a>0,且a≠1)存在零点,则实数a的取值范围是　　　　.
所以实数a的取值范围是(2,3).
8.(5分)已知函数f(x)=ax2-2x-2a+1(a≠0)的两个零点分别在区间(-3,-1)和(0,2)内,则a的取值范围为　 .
即
即
解得即a∈(-∞,-1)∪(3,+∞).
9.(13分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象,并写出单调区间;
(3)若y=f(x)与y=m有3个交点,求实数m的取值范围.
所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
综上,f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[1,+∞);单调递减区间为(-1,1).
(3)由题意得,方程f(x)=m有三个不同的解,等价于函数y=f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,由图象可知,-110.(15分)已知函数f(x)=x2+ax+b满足下列两个条件:
条件①,f(0)=4;条件②, x∈R,f(1+x)=f(1-x).
(1)求a,b的值.
(2)已知函数g(x)=f(x)+(2m+3)x+m2-6有两个不同的正数零点x1,x2.
(ⅰ)求m的取值范围;
(ⅱ)若|x1-x2|=1,求m的值.
(2)(ⅰ)由(1)可知,f(x)=x2-2x+4,则g(x)=f(x)+(2m+3)x+m2-6=x2+(2m+1)x+m2-2,
若函数g(x)有两个不同的正数零点x1,x2,即x2+(2m+1)x+m2-2=0有两个不相等的正实数根x1,x2,
则
解得-(ⅱ)因为|x1-x2|=,所以1=,解得m=-2.
11.已知函数f(x)=|ln(x-1)|-k有两个零点a,b(a[A](3,+∞) [B][2+1,+∞)
[C](0,3) [D](0,2+1]
即为y=|ln(x-1)|的图象与直线y=k有2个交点,横坐标为a,b,则12,
则|ln(a-1)|=|ln(b-1)|=k>0,所以=b-1,所以(a-1)(b-1)=1,
所以2(a-1)+b=2(a-1)+(b-1)+1≥2+1=2+1,当且仅当2(a-1)=b-1时,结合(a-1)(b-1)=1,即a=1+,b=1+时等号成立,所以2(a-1)+b的取值范围是[2+1,+∞).故选B.
12.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,若函数g(x)满足g(x)=且g(f(x))-a=0有8个不同的解,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-∞,-1) [B](-1,0)
[C](0,1) [D](1,+∞)
又f(x)=-f(-x)=-x2-2x,
所以f(x)=
则g(x)=
设t=f(x),作出函数g(t)的图象,如图.
对于A,当a<-1时,方程g(t)=a没有实数根,不满足题意;
对于B,当-1显然恰有8个交点,则g(f(x))-a=0有8个不同的解,故B正确;
对于C,D,当a>0时,方程g(t)=a有两个根t1,t2,其中t1∈(-∞,-2),t2∈(2,+∞),与选项B同理可知f(x)与y=t1,y=t2各有一个交点,则g(f(x))-a=0只有2个不同的解,不满足题意,故C,D错误.
故选B.
13.(15分)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的“不动点”.
(1)求函数y=x2-x-3的“不动点”;
(2)若函数y=x2-(a+2)x+1有两个不相等的“不动点”x1,x2,求+的取值范围;
(3)若函数g(x)=mx2-(m+1)x+m+1在区间(0,2)上有唯一的“不动点”,求实数m的取值范围.
所以“不动点”为-1和3.
(2)依题意,x2-(a+2)x+1=x有两个不相等的实数根x1,x2,即方程x2-(a+3)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2,所以Δ=(a+3)2-4=a2+6a+5>0,解得a<-5或 a>-1,且x1+x2=a+3,x1x2=1,
所以+==-2x1x2=(a+3)2-2,因为函数y=(x+3)2-2的图象的对称轴为直线x=-3.
当x<-3时,y随x的增大而减小,若x<-5,则y>2;
当x>-3时,y随x的增大而增大,若x>-1,则y>2.
故(a+3)2-2∈(2,+∞),所以+的取值范围为(2,+∞).
(3)由g(x)=mx2-(m+1)x+m+1=x,得mx2-(m+2)x+m+1=0,由于函数g(x)在(0,2)上有且只有一个“不动点”,即mx2-(m+2)x+m+1=0在(0,2)上有且只有一个解,令h(x)=mx2-(m+2)x+m+1.
①h(0)h(2)<0时,则(m+1)(3m-3)<0,解得-1②h(0)=0,即m=-1时,方程可化为-x2-x=0,另一个根为-1,不符合题意,舍去;
③h(2)=0,即m=1时,方程可化为x2-3x+2=0,另一个根为1,符合题意;
④Δ=0,即(m+2)2-4m(m+1)=0时,解得m=±,
(ⅰ)当m=时,方程的根为x=-==,符合题意;
(ⅱ)当m=-时,方程的根为x=-==,不符合题意,舍去.
综上,m的取值范围是(-1,1]∪{}.
14.(多选)已知函数f(x)=若x1[A]x1+x2+x3的取值范围为(-∞,4]
[B]+的取值范围为(,+∞)
[C]若方程[f(x)]2-(b+)f(x)+b=0有5个不同的实根,则b∈(,1)
[D]若方程f(f(x))=a有5个不同的实根,则a∈(,1)
所以x1<0由+=+=,由[f(x)]2-(b+)f(x)+b=[f(x)-][f(x)-b]=0,可得f(x)=或f(x)=b,由图象知,f(x)=有2个不同的解,故f(x)=b必有3个不同的解,所以由图象知,①当a<-1时原方程无解;
②当a=-1时,f(x)=2,此时原方程只有1个解,不符合题意;
③当-1④当⑤当a=时,f(x)=-1或f(x)=或f(x)=,原方程共有4个解,不符合题意;
⑥当⑦当a=1时,f(x)=0有2个解,f(x)=4有1个解,原方程共3个不同的解,不符合题意;
⑧当a>1时,f(x)>4,原方程只有1个解,不符合题意.
综上,题型一　根据零点情况求参数
[例1] 函数f(x)=2x+log2(x-1)-的零点在区间(2,3)内,则实数a的取值范围为(　　)
[A](4,) [B](4,18)
[C](8,9) [D](8,18)
【答案】 D
【解析】 函数f(x)=2x+log2(x-1)-在定义域(1,+∞)上连续且单调递增,已知函数零点在区间(2,3)内,
则f(2)f(3)<0,所以(4-)(9-)<0,解得a∈(8,18).故选D.
[典例迁移1] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=若函数y=f(x)-m有且仅有4个零点,则实数m的取值范围是(　　)
[A](1,) [B](0,)
[C][0,) [D](-∞,)
【答案】 A
【解析】 令 f(x)-m=0,得m=f(x),当0≤x≤2时,f(x)=x2在[0,2]上单调递增,值域为[0,],当x>2时,f(x)=+1在(2,+∞)上单调递减,值域为(1,),又函数f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于y轴对称,作出函数y=f(x)的图象,如图.因为函数y=f(x)-m有且仅有4个零点,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m有4个交点,当1[典例迁移2] 若方程(x-1)lg(x+1)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=(　　)
[A]-1 [B]2
[C]-1或2 [D]1
【答案】 C
【解析】 由题意得x≠1,方程化为lg(x+1)=,分别作出方程左右两边函数的图象如图,
由图象可知,方程(x-1)lg(x+1)=1应有两个根,
设f(x)=(x-1)lg(x+1)-1,根据函数性质得f(x)在区间(2,3)上单调递增,又f(2)=lg 3-1<0,f(3)=2lg 4-1=lg 16-1>0,则f(2)f(3)<0,由函数零点存在定理知,f(x)=(x-1)lg(x+1)-1在区间(2,3)上有且仅有一个零点,即方程(x-1)lg(x+1)=1在区间(2,3)上有且仅有一个实根,同理可得方程(x-1)lg(x+1)=1在区间(-1,0)上有且仅有一个实根,结合题意可知,k=-1或k=2.故选C.
已知函数有零点(方程有根)求参数值
(取值范围)的常用方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根或直接使用函数零点存在定理列出不等式(组)确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题再加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,最后利用数形结合的方法求解.
题型二　一元二次方程的根的分布问题
[例2] 若函数f(x)=-3ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-,1)
[B][-,]
[C][-,1]∪{}
[D][-,1]∪{}
【答案】 C
【解析】 若a=0,则4x-1=0,即x=,满足题意;若a≠0,
①当Δ=16-12a=0,即a=时,f(x)=-4x2+4x-1=-(2x-1)2=0,得x=∈(-1,1),满足题意;
②当f(1)f(-1)=(-3a+3)(-3a-5)<0时,-③当f(-1)=-3a-5=0时,a=-,此时f(x)=5x2+4x-1=(5x-1)(x+1)=0,方程在(-1,1)上只有一根x=,满足题意;
④当f(1)=-3a+3=0时,a=1,此时f(x)=-3x2+4x-1=-(3x-1)(x-1)=0,方程在(-1,1)上只有一根x=,满足题意.
综上,-≤a≤1或a=.故选C.
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题.(只考虑方程有两个不相等的实数根)
根的分布 (m,n,p为常数) 图象 满足条件
x1mx1mmx1,x2有 且只有一个 在(m,n)之 间且f(m)· f(n)≠0 f(m)·f(n)<0
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有以下特殊根的条件.
①两个正根:②两个负根:③一个正根,一个负根:x1·x2<0.
两个根位于同一个区间必须有三看:一看判别式,二看对称轴,三看区间端点函数值.两个根位于不同区间只有一看,即看区间端点函数值.
[变式训练] 如果函数f(x)=x2-mx+1的两零点分别落在区间(0,1)和(1,2)上,则实数m的取值范围是(　　)
[A](1,3) [B](2,3)
[C](2,) [D](1,)
【答案】 C
【解析】 f(x)=x2-mx+1的图象开口向上的抛物线,
由题意可得
即解得2题型三　形如 a[f(x)]2+bf(x)+c=0(a≠0)的根的个数问题
[例3] 已知函数f(x)=若方程[f(x)]2-af(x)+2=0有6个不同的实数根,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-,-2)
[B](-6,-2)
[C](-,+∞)
[D](-,-2)∪(-2,+∞)
【答案】 A
【解析】 作出f(x)的图象如图,令f(x)=t,则方程[f(x)]2-af(x)+2=0有6个不同的实数根等价于t2-at+2=0有2个不同的实数解t1,t2,且t1,t2∈(-3,0),则
解得-形如a[f(x)]2+bf(x)+c=0(a≠0)的根的个数问题,可以设f(x)=t,若是容易解出t1和t2,则问题转化为f(x)=t1或f(x)=t2;若是不容易解出t1和t2,则问题转化为一元二次方程根的分布问题.
[变式训练] 已知函数f(x)=若方程[f(x)]2-2f(x)-m2+1=0有3个不同的实根,则实数m的取值范围是(　　)
[A](-∞,-1]∪[1,+∞)
[B](-2,2)
[C](-2,-1]∪[1,2)
[D][-1,1]
【答案】 C
【解析】 由[f(x)]2-2f(x)-m2+1=0得[f(x)-(m+1)][f(x)-(1-m)]=0,解得f(x)=m+1或f(x)=1-m,画出函数f(x)的图象如图,
由图可知,要使方程[f(x)]2-2f(x)-m2+1=0有3个不同的实根,则必有函数y=f(x)的图象与直线y=m+1有两个交点或与直线y=1-m有两个交点,当-1<1-m≤0,即1≤m<2时,2≤m+1<3,符合题意;当-1<1+m≤0,即-2课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知当|x|≤1时,函数f(x)=ax+2a+1的值有正也有负,则实数a的取值范围是(　　)
[A][-,+∞) [B](-∞,-1]
[C](-1,-) [D](-1,-]
【答案】 C
【解析】 |x|≤1 -1≤x≤1.当a=0时,f(x)=1,函数值恒为正,不符合题意;当a≠0时,要想函数f(x)=ax+2a+1的值有正也有负,只需f(1)f(-1)<0,即(a+2a+1)(-a+2a+1)=(3a+1)(a+1)<0,解得-12.已知f(x)=ex+4x-3的零点在区间(-,+)上,k∈Z,则k等于(　　)
[A]-1 [B]0 [C]1 [D]2
【答案】 C
【解析】 由题意可知,f(x)=ex+4x-3在R上单调递增,因为f()=+4×-3<0,f()=+4×-3>0,则f(x)的零点在区间(,)上,可得k=1.故选C.
3.已知函数f(x)=x5+4x+a在(-1,1)内有零点,则a的取值范围是(　　)
[A](-5,5)
[B](-∞,-5)∪(5,+∞)
[C][-5,5]
[D](-∞,-5]∪[5,+∞)
【答案】 A
【解析】 y=x5是增函数,y=4x+a也是增函数,所以f(x)是R上的增函数.因为f(x)在(-1,1)内有零点,所以解得-54.已知关于x的方程x2-kx+k+3=0的两个不相等的实数根都大于2,则实数k的取值范围是(　　)
[A](6,+∞)
[B](4,7)
[C](6,7)
[D](-∞,-2)∪(6,+∞)
【答案】 C
【解析】 关于x的方程x2-kx+k+3=0的两个不相等的实数根都大于2,则二次方程的判别式大于0,
令f(x)=x2-kx+k+3,则函数图象对称轴在直线x=2的右侧,且f(2)>0,
所以解得65.已知函数f(x)=x2+ax+2有两个零点,在区间(-1,2)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(　　)
[A](-∞,-2)∪(2,+∞)
[B](-∞,-3)∪(3,+∞)
[C](-∞,-4]∪(3,+∞)
[D](-∞,-4]∪[2,+∞)
【答案】 C
【解析】 函数f(x)=x2+ax+2在(-∞,-]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增,由函数f(x)在区间(-1,2)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,得(-1,2) (-∞,-]且或(-1,2) [-,+∞)且
则或解得a≤-4或a>3,所以实数a的取值范围是(-∞,-4]∪(3,+∞).故选C.
6.(多选)已知二次函数f(x)=x2+bx+c在(0,2)上有两个零点.下列说法正确的有 (　　)
[A]f(0)>0且f(2)>0
[B]f(1)<0
[C]f(0)·f(2)>1
[D]f(0)和f(2)中至少有一个小于1
【答案】 AD
【解析】 不妨设二次函数f(x)=x2+bx+c在(0,2)上的两个零点为x1,x2,且x1所以故A正确;
当x1,x2∈(0,1)时,f(1)>0,故B错误;
若x1=1,x2=,则f(x)=(x-1)(x-)=x2-x+,此时f(0)=,f(2)=,则f(0)·f(2)=<1,故C错误;
对于D选项,
法一　当f(1)=1+b+c<0时,4+2b+2c<2,即f(0)+f(2)<2,所以f(0)和f(2)中至少有一个小于1,由Δ=b2-4c>0,得c<.
当f(1)=1+b+c≥0时,-∈(0,1)或(1,2),若-∈(0,1),则f(0)=c<=<1;
若-∈(1,2),则f(2)=4+2b+c<4+2b+==<1,故D正确.
法二　若f(0)≥1,f(2)≥1,即c≥1,4+2b+c≥1,由Δ=b2-4c>0,得b2>4c≥4,则b<-2或b>2,结合0<-<2,得-47.(5分)若函数f(x)=(其中a>0,且a≠1)存在零点,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 (2,3)
【解析】 由函数的解析式可知a>2,因为指数函数y=ax单调递增,在区间(2,a]上无零点,所以函数y=loga(x-2)在区间(a,+∞)上存在零点,由于y=loga(x-2)单调递增,故当x=a时,有loga(a-2)<0=loga1,从而a-2<1,即a<3,
所以实数a的取值范围是(2,3).
8.(5分)已知函数f(x)=ax2-2x-2a+1(a≠0)的两个零点分别在区间(-3,-1)和(0,2)内,则a的取值范围为　 .
【答案】 (-∞,-1)∪(3,+∞)
【解析】 由题意可得
即
即
解得即a∈(-∞,-1)∪(3,+∞).
9.(13分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象,并写出单调区间;
(3)若y=f(x)与y=m有3个交点,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0; 当x<0时,-x>0,因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
综上,f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[1,+∞);单调递减区间为(-1,1).
(3)由题意得,方程f(x)=m有三个不同的解,等价于函数y=f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,由图象可知,-110.(15分)已知函数f(x)=x2+ax+b满足下列两个条件:
条件①,f(0)=4;条件②, x∈R,f(1+x)=f(1-x).
(1)求a,b的值.
(2)已知函数g(x)=f(x)+(2m+3)x+m2-6有两个不同的正数零点x1,x2.
(ⅰ)求m的取值范围;
(ⅱ)若|x1-x2|=1,求m的值.
【解】 (1)由条件①可得,f(0)=b=4;由条件②可得,f(x)的图象关于直线x=1对称,则-=1,解得a=-2.所以a=-2,b=4.
(2)(ⅰ)由(1)可知,f(x)=x2-2x+4,则g(x)=f(x)+(2m+3)x+m2-6=x2+(2m+1)x+m2-2,
若函数g(x)有两个不同的正数零点x1,x2,即x2+(2m+1)x+m2-2=0有两个不相等的正实数根x1,x2,
则
解得-(ⅱ)因为|x1-x2|=,所以1=,解得m=-2.
11.已知函数f(x)=|ln(x-1)|-k有两个零点a,b(a[A](3,+∞) [B][2+1,+∞)
[C](0,3) [D](0,2+1]
【答案】 B
【解析】 如图,作出函数y=|ln(x-1)|的图象,则函数f(x)=|ln(x-1)|-k有两个零点a,b(a即为y=|ln(x-1)|的图象与直线y=k有2个交点,横坐标为a,b,则12,
则|ln(a-1)|=|ln(b-1)|=k>0,所以=b-1,所以(a-1)(b-1)=1,
所以2(a-1)+b=2(a-1)+(b-1)+1≥2+1=2+1,当且仅当2(a-1)=b-1时,结合(a-1)(b-1)=1,即a=1+,b=1+时等号成立,所以2(a-1)+b的取值范围是[2+1,+∞).故选B.
12.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,若函数g(x)满足g(x)=且g(f(x))-a=0有8个不同的解,则实数a的取值范围为(　　)
[A](-∞,-1) [B](-1,0)
[C](0,1) [D](1,+∞)
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,令x<0,则-x>0,则f(-x)=x2+2x,
又f(x)=-f(-x)=-x2-2x,
所以f(x)=
则g(x)=
设t=f(x),作出函数g(t)的图象,如图.
对于A,当a<-1时,方程g(t)=a没有实数根,不满足题意;
对于B,当-1显然恰有8个交点,则g(f(x))-a=0有8个不同的解,故B正确;
对于C,D,当a>0时,方程g(t)=a有两个根t1,t2,其中t1∈(-∞,-2),t2∈(2,+∞),与选项B同理可知f(x)与y=t1,y=t2各有一个交点,则g(f(x))-a=0只有2个不同的解,不满足题意,故C,D错误.
故选B.
13.(15分)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的“不动点”.
(1)求函数y=x2-x-3的“不动点”;
(2)若函数y=x2-(a+2)x+1有两个不相等的“不动点”x1,x2,求+的取值范围;
(3)若函数g(x)=mx2-(m+1)x+m+1在区间(0,2)上有唯一的“不动点”,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由题意知x2-x-3=x,即x2-2x-3=0,则(x-3)(x+1)=0,解得x1=-1,x2=3,
所以“不动点”为-1和3.
(2)依题意,x2-(a+2)x+1=x有两个不相等的实数根x1,x2,即方程x2-(a+3)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2,所以Δ=(a+3)2-4=a2+6a+5>0,解得a<-5或 a>-1,且x1+x2=a+3,x1x2=1,
所以+==-2x1x2=(a+3)2-2,因为函数y=(x+3)2-2的图象的对称轴为直线x=-3.
当x<-3时,y随x的增大而减小,若x<-5,则y>2;
当x>-3时,y随x的增大而增大,若x>-1,则y>2.
故(a+3)2-2∈(2,+∞),所以+的取值范围为(2,+∞).
(3)由g(x)=mx2-(m+1)x+m+1=x,得mx2-(m+2)x+m+1=0,由于函数g(x)在(0,2)上有且只有一个“不动点”,即mx2-(m+2)x+m+1=0在(0,2)上有且只有一个解,令h(x)=mx2-(m+2)x+m+1.
①h(0)h(2)<0时,则(m+1)(3m-3)<0,解得-1②h(0)=0,即m=-1时,方程可化为-x2-x=0,另一个根为-1,不符合题意,舍去;
③h(2)=0,即m=1时,方程可化为x2-3x+2=0,另一个根为1,符合题意;
④Δ=0,即(m+2)2-4m(m+1)=0时,解得m=±,
(ⅰ)当m=时,方程的根为x=-==,符合题意;
(ⅱ)当m=-时,方程的根为x=-==,不符合题意,舍去.
综上,m的取值范围是(-1,1]∪{}.
14.(多选)已知函数f(x)=若x1[A]x1+x2+x3的取值范围为(-∞,4]
[B]+的取值范围为(,+∞)
[C]若方程[f(x)]2-(b+)f(x)+b=0有5个不同的实根,则b∈(,1)
[D]若方程f(f(x))=a有5个不同的实根,则a∈(,1)
【答案】 BCD
【解析】 根据解析式可得函数的大致图象如下,令f(x1)=f(x2)=f(x3)=k,则所以x1<0由+=+=,由[f(x)]2-(b+)f(x)+b=[f(x)-][f(x)-b]=0,可得f(x)=或f(x)=b,由图象知,f(x)=有2个不同的解,故f(x)=b必有3个不同的解,所以由图象知,①当a<-1时原方程无解;
②当a=-1时,f(x)=2,此时原方程只有1个解,不符合题意;
③当-1④当⑤当a=时,f(x)=-1或f(x)=或f(x)=,原方程共有4个解,不符合题意;
⑥当⑦当a=1时,f(x)=0有2个解,f(x)=4有1个解,原方程共3个不同的解,不符合题意;
⑧当a>1时,f(x)>4,原方程只有1个解,不符合题意.
综上,培优课7　函数零点与方程解的应用
关键能力·素养培优
题型一　根据零点情况求参数
D
A
[典例迁移2] 若方程(x-1)lg(x+1)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=
(　　)
[A]-1 [B]2
[C]-1或2 [D]1
C
·解题策略·
已知函数有零点(方程有根)求参数值
(取值范围)的常用方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根或直接使用函数零点存在定理列出不等式(组)确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题再加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,最后利用数形结合的方法求解.
题型二　一元二次方程的根的分布问题
C
·解题策略·
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题.(只考虑方程有两个不相等的实数根)
·解题策略·
·解题策略·
·解题策略·
·轻松记忆·
两个根位于同一个区间必须有三看:一看判别式,二看对称轴,三看区间端点函数值.两个根位于不同区间只有一看,即看区间端点函数值.
C
题型三　形如 a[f(x)]2+bf(x)+c=0(a≠0)的根的个数问题
A
·解题策略·
形如a[f(x)]2+bf(x)+c=0(a≠0)的根的个数问题,可以设f(x)=t,若是容易解出t1和t2,则问题转化为f(x)=t1或f(x)=t2;若是不容易解出t1和t2,则问题转化为一元二次方程根的分布问题.
C
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