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培优课8　三角函数中的参数问题
题型一　定义域与最值中的参数
[例1] 已知函数f(x)=2sin(ωx-) (ω>0)在[0,]上的值域为[-1,2],则ω的取值范围为(　　)
[A][,2] [B][,]
[C][,] [D][,]
[典例迁移1] 若函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)在(0,)上有最小值,没有最大值,则ω的取值范围是(　　)
[A](0,] [B](,]
[C](,] [D](,]
[典例迁移2] 已知函数y=mtan x+n在[kπ-,kπ+],k∈Z上的最小值、最大值分别为1和7,求m和n的值.
①当m>0时,函数y=mtan x+n在[kπ-,kπ+],k∈Z上单调递增,所以解得
②当m<0时,函数y=mtan x+n在[kπ-,kπ+],k∈Z上单调递减,所以即
综上所述,或
定义域与最值中的参数,需要考虑定义域对单调性的影响,需要用到整体代换(必要时使用换元法),注意结合关于“新元”的函数图象进行分析,同时要根据参数对单调性和最值的影响进行分类讨论.
题型二　奇偶性、对称性及零点中的参数
[例2] 已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心,则ω的取值范围为(　　)
[A](,)　 [B][,]
[C](,]　 [D][,)
[典例迁移1] 已知函数f(x)=2cos(2ωx+)(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点.则ω的取值范围为(　　)
[A][,)　 [B][,)　　
[C][,)　 [D][,)
[典例迁移2]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)图象的两个相邻对称中心为(,0),(,0),则φ等于(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
(1)求值问题一般可以考虑使用对称轴或对称中心及零点的方程,注意利用条件中的参数范围.
(2)范围问题一般需要先由x的范围求出t=ωx+φ 的范围,结合y=sin t(或y=cos t)的图象列出有关参数的不等式(组).
(3)注意有关点、线的距离与周期的关系,优先利用周期公式.
题型三　单调性中的参数
[例3] 已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是(　　)
[A][,] [B][,]
[C](0,] [D](0,]
所以k∈Z,解得+4k≤ω≤+2k,k∈Z,因为ω>0,所以而k∈Z,故k=0,故≤ω≤.故选A.
[典例迁移1] 已知函数f(x)=cos(ωx-),其中ω>0,若f(x)在区间(,)上单调递增,则ω的取值范围是(　　)
[A](0,] [B][,]
[C](0,] [D](0,1]
于是解得-+6k≤ω≤+k(k∈Z).又ω>0,于是0<ω≤.故选A.
[典例迁移2] 已知函数y=tan ωx在区间(-,)上单调递减,则ω的取值范围为(　　)
[A](0,1]
[B][-1,0)
[C][1,+∞)
[D](-∞,-1]
以函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在[x1,x2]上单调递增为例说明如何求ω的取值范围:
第一步,根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x2-x1≤T=,求得0<ω≤.
第二步,因为函数单调递增,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] [-+2kπ,+2kπ](k∈Z),解得ω的取值范围.
第三步,结合第一步求出的ω的取值范围对k(k∈Z)进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.特别的,当φ=0,且研究的单调区间包含原点时,可以直接利用周期列出相关的不等式.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数f(x)=sin 2x在[0,a]上单调递增,则a的最大值是(　　)
[A] [B] [C]π [D]2π
法二　结合周期性T==π,则a≤=.故选A.
2.已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)在[0,π]内的值域为[-1,],则ω的取值范围为(　　)
[A][,] [B][,1]
[C][1,] [D](0,1]
3.若函数f(x)=2sin(2ωx-)(ω>0)在区间(0,π)上恰存在三个零点,两个最值点,则ω的取值范围是(　　)
[A](,] [B][,)
[C][,) [D][,)
4.已知函数f(x)=cos(ωx+φ),其中ω>0,0<φ<π,若图象上的点(-,0)与之相邻的一条对称轴为直线x=,则φ的值是(　　)
[A] [B] [C] [D]
5.“函数y=tan(-φ)的图象关于点(,0)对称”是“φ=+kπ,k∈Z”的(　　)
[A]充分不必要条件　　
[B]必要不充分条件　
[C]充要条件　
[D]既不充分也不必要条件
综上,“函数y=tan(-φ)的图象关于点(,0)对称”是“φ=+kπ,k∈Z”的必要不充分条件.故选B.
6.设函数f(x)=2cos(ωx-φ+)(ω>0,-<φ<0)的图象关于原点对称,且相邻对称轴之间的距离为2π,则函数g(x)=sin(φ-4ωx)的单调递增区间为(　　)
[A][+kπ,+kπ](k∈Z)
[B][+kπ,+kπ](k∈Z)
[C][-+kπ,π+kπ](k∈Z)
[D][-+kπ,+kπ](k∈Z)
7.(5分)已知函数f(x)=tan x+cos(x+m)为奇函数,且m∈(-2,5),则m的值为　 .
8.(5分)已知函数f(x)=cos ωx(ω>0)的图象关于点(,0)对称,且在区间[0,]上单调,则ω=　　　　.
k∈Z,可得ω=,k∈Z,又f(x)在区间[0,]上单调,可得T≥,即T≥,即≥,解得0<ω≤3,当k=0时,ω=;当k=1时,ω=2.
9.(14分)若函数y=tan2x-atan x(|x|≤)的最小值为-6,求实数a的值.
①若-1≤≤1,即-2≤a≤2,则当t=时,ymin=-=-6,所以a2=24,不符合题意,舍去;
②若<-1,即a<-2,则二次函数在[-1,1]上单调递增,当t=-1时,ymin=1+a=-6,所以a=-7;
③若>1,即a>2,则二次函数在[-1,1]上单调递减,当t=1时,ymin=1-a=-6,所以a=7.
综上所述,实数a的值为-7或7.
10.(15分)已知函数f(x)=sin(ωx-)++m(ω>0),在下列条件①、条件②、条件③中,选择可以确定ω值和m值的两个条件作为已知.
条件①:f(x)的最小正周期为π;条件②:f(x)的最大值与最小值之和为0;条件③:f(0)=2.
(1)求f()的值;
(2)若函数f(x)在区间[0,a]上单调递增,求实数a的最大值.
若选择条件②,则1++m+(-1++m)=0,故可得m=-;
若选择条件③,则sin(-)++m=2,故可得m=2.
根据题意,只能选择①②或①③作为已知条件.
若选择①②,则f(x)=sin(2x-),此时f()=sin =;
若选择①③,则f(x)=sin(2x-)++2,此时f()=.
(2)根据(1)中所求,不论选择①②还是①③,f(x)=sin(2x-)++m,又其单调性与h(x)=sin(2x-)相同,故函数f(x)在区间[0,a]上单调递增,可转化为h(x)在[0,a]上单调递增.
又当x∈[0,a]时,2x-∈[-,2a-],要满足题意,只需2a-≤,故可得0即实数a的最大值为.
11.若函数f(x)=2sin(ωx+)+m(0<ω<5)满足f(x+)+f(-x)=2,则ω+m的值为(　　)
[A]1 [B]3 [C]4 [D]5
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的最小正周期为π,函数f(x)的图象关于点(-,0)对称,且满足函数f(x)在区间[-,]上单调递增,则φ等于(　　)
[A] [B]-　 [C]- [D]
13.(15分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)-1(ω>0,|φ|<),其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为.
(1)若f(x)在[0,]上单调递增,求φ的取值范围;
(2)若f(x)>0对任意的x∈(-,)恒成立,求φ的取值范围.
又-<φ<,解得-<φ≤-.
所以φ的取值范围是(,-].
(2)当x∈(-,)时,-+φ0对任意的x∈(-,)恒成立,则
即
即
又-<φ<,解得-<φ≤-.
所以φ的取值范围是(-,-].
14.(多选)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在(,2π)上单调,且有f(-)=f()=-f(),则(　　)
[A]直线x=是f(x)图象的一条对称轴
[B]f(x)的最小正周期为4π
[C]点(,0)是f(x)图象的一个对称中心
[D]f()=
f()=2cos(-)=2cos =,故C错误,D正确.故选ABD.(共25张PPT)
培优课8　三角函数中的参数问题
关键能力·素养培优
题型一　定义域与最值中的参数
B
D
定义域与最值中的参数,需要考虑定义域对单调性的影响,需要用到整体代换(必要时使用换元法),注意结合关于“新元”的函数图象进行分析,同时要根据参数对单调性和最值的影响进行分类讨论.
·解题策略·
题型二　奇偶性、对称性及零点中的参数
C
C
A
·解题策略·
(1)求值问题一般可以考虑使用对称轴或对称中心及零点的方程,注意利用条件中的参数范围.
(2)范围问题一般需要先由x的范围求出t=ωx+φ 的范围,结合y=sin t(或y=cos t)的图象列出有关参数的不等式(组).
(3)注意有关点、线的距离与周期的关系,优先利用周期公式.
题型三　单调性中的参数
A
A
[A](0,1]
[B][-1,0)
[C][1,+∞)
[D](-∞,-1]
B
·解题策略·
·解题策略·
第三步,结合第一步求出的ω的取值范围对k(k∈Z)进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.特别的,当φ=0,且研究的单调区间包含原点时,可以直接利用周期列出相关的不等式.
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题型一　定义域与最值中的参数
[例1] 已知函数f(x)=2sin(ωx-) (ω>0)在[0,]上的值域为[-1,2],则ω的取值范围为(　　)
[A][,2] [B][,]
[C][,] [D][,]
【答案】 B
【解析】 由x∈[0,]及ω>0可得ωx-∈[-,-],根据其值域为[-1,2],且2sin(-)=-1,由正弦函数图象的性质可得≤-≤π+,即可得≤≤,解得≤ω≤.故选B.
[典例迁移1] 若函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)在(0,)上有最小值,没有最大值,则ω的取值范围是(　　)
[A](0,] [B](,]
[C](,] [D](,]
【答案】 D
【解析】 当x∈(0,)且ω>0时,ωx+∈(,+),由函数f(x)=cos(ωx+)在(0,)上有最小值,没有最大值,得π<+≤2π,解得< ω ≤,所以ω的取值范围是(,].故选D.
[典例迁移2] 已知函数y=mtan x+n在[kπ-,kπ+],k∈Z上的最小值、最大值分别为1和7,求m和n的值.
【解】 正切函数y=tan x在[kπ-,kπ+],k∈Z上单调递增,且tan(kπ-)=tan(-)=-1,tan(kπ+)=tan =1,由题意函数的最小值、最大值分别为1和7,可知m≠0.
①当m>0时,函数y=mtan x+n在[kπ-,kπ+],k∈Z上单调递增,所以解得
②当m<0时,函数y=mtan x+n在[kπ-,kπ+],k∈Z上单调递减,所以即
综上所述,或
定义域与最值中的参数,需要考虑定义域对单调性的影响,需要用到整体代换(必要时使用换元法),注意结合关于“新元”的函数图象进行分析,同时要根据参数对单调性和最值的影响进行分类讨论.
题型二　奇偶性、对称性及零点中的参数
[例2] 已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心,则ω的取值范围为(　　)
[A](,)　 [B][,]
[C](,]　 [D][,)
【答案】 C
【解析】 如图,设t=ωx+,由x∈(0,1),得t∈(,ω+),由图可知直线x=ω+在线段AB之间,不含点A,所以π<ω+≤,得<ω≤.故选C.
[典例迁移1] 已知函数f(x)=2cos(2ωx+)(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点.则ω的取值范围为(　　)
[A][,)　 [B][,)　　
[C][,)　 [D][,)
【答案】 C
【解析】 当x∈[0,π]且ω>0时,2ωx+∈[,2πω+].因为f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点,所以≤2πω+<,解得≤ω<.故选C.
[典例迁移2]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)图象的两个相邻对称中心为(,0),(,0),则φ等于(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 A
【解析】 由f(x)图象的两个相邻对称中心为(,0),(,0),可得-==,所以T==π,故ω=2,又×2+φ=kπ,k∈Z,则φ=kπ-,k∈Z,结合|φ|<,得φ=-.故选A.
(1)求值问题一般可以考虑使用对称轴或对称中心及零点的方程,注意利用条件中的参数范围.
(2)范围问题一般需要先由x的范围求出t=ωx+φ 的范围,结合y=sin t(或y=cos t)的图象列出有关参数的不等式(组).
(3)注意有关点、线的距离与周期的关系,优先利用周期公式.
题型三　单调性中的参数
[例3] 已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是(　　)
[A][,] [B][,]
[C](0,] [D](0,]
【答案】 A
【解析】 因为ω>0,x∈(,π),所以t=ωx+∈(+,πω+),又y=sin t在(+2kπ,+2kπ),k∈Z上单调递减,
所以k∈Z,解得+4k≤ω≤+2k,k∈Z,因为ω>0,所以而k∈Z,故k=0,故≤ω≤.故选A.
[典例迁移1] 已知函数f(x)=cos(ωx-),其中ω>0,若f(x)在区间(,)上单调递增,则ω的取值范围是(　　)
[A](0,] [B][,]
[C](0,] [D](0,1]
【答案】 A
【解析】 由题意得,函数f(x)的单调递增区间为-π+2kπ≤ωx-≤2kπ(k∈Z),且ω>0,解得≤x≤(k∈Z).由题意可知(,) (,)(k∈Z),
于是解得-+6k≤ω≤+k(k∈Z).又ω>0,于是0<ω≤.故选A.
[典例迁移2] 已知函数y=tan ωx在区间(-,)上单调递减,则ω的取值范围为(　　)
[A](0,1]
[B][-1,0)
[C][1,+∞)
[D](-∞,-1]
【答案】 B
【解析】 因为y=tan ωx在区间(-,)上单调递减,所以ω<0,且T=≥π,所以-1≤ω<0.故选B.
以函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在[x1,x2]上单调递增为例说明如何求ω的取值范围:
第一步,根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x2-x1≤T=,求得0<ω≤.
第二步,因为函数单调递增,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] [-+2kπ,+2kπ](k∈Z),解得ω的取值范围.
第三步,结合第一步求出的ω的取值范围对k(k∈Z)进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.特别的,当φ=0,且研究的单调区间包含原点时,可以直接利用周期列出相关的不等式.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知函数f(x)=sin 2x在[0,a]上单调递增,则a的最大值是(　　)
[A] [B] [C]π [D]2π
【答案】 A
【解析】 法一　由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0,可得f(x)=sin 2x的一个单调递增区间为[-,],又函数f(x)=sin 2x在[0,a]上单调递增,所以0法二　结合周期性T==π,则a≤=.故选A.
2.已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)在[0,π]内的值域为[-1,],则ω的取值范围为(　　)
[A][,] [B][,1]
[C][1,] [D](0,1]
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0),因为x∈[0,π],所以ωx+∈[,ωπ+].因为f(x)∈[-1,],所以-1≤cos(ωx+)≤,所以π≤ωπ+≤,解得≤ω≤,故ω的取值范围为[,].故选A.
3.若函数f(x)=2sin(2ωx-)(ω>0)在区间(0,π)上恰存在三个零点,两个最值点,则ω的取值范围是(　　)
[A](,] [B][,)
[C][,) [D][,)
【答案】 A
【解析】 若x∈(0,π),则2ωx-∈(-,2ωπ-)(ω>0),依题意可得2π<2ωπ-≤,解得<ω≤,即ω的取值范围是(,].故选A.
4.已知函数f(x)=cos(ωx+φ),其中ω>0,0<φ<π,若图象上的点(-,0)与之相邻的一条对称轴为直线x=,则φ的值是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 对于函数f(x)=cos(ωx+φ),易知f(x)的图象关于点(-,0)对称,设T为f(x)的最小正周期,则-(-)==T=,又ω>0,得ω=1,当ω=1时,-+φ=+kπ,k∈Z,得到φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,可得φ=.故选C.
5.“函数y=tan(-φ)的图象关于点(,0)对称”是“φ=+kπ,k∈Z”的(　　)
[A]充分不必要条件　　
[B]必要不充分条件　
[C]充要条件　
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 当函数y=tan(-φ)的图象关于点(,0)对称时,-φ=,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,不能得到φ=+kπ,k∈Z.当φ=+kπ,k∈Z时,y=tan(--kπ)=tan(-),由-=,k∈Z得,x=+kπ,k∈Z,函数的对称中心为(+kπ,0),k∈Z,令k=0得对称中心为(,0).
综上,“函数y=tan(-φ)的图象关于点(,0)对称”是“φ=+kπ,k∈Z”的必要不充分条件.故选B.
6.设函数f(x)=2cos(ωx-φ+)(ω>0,-<φ<0)的图象关于原点对称,且相邻对称轴之间的距离为2π,则函数g(x)=sin(φ-4ωx)的单调递增区间为(　　)
[A][+kπ,+kπ](k∈Z)
[B][+kπ,+kπ](k∈Z)
[C][-+kπ,π+kπ](k∈Z)
[D][-+kπ,+kπ](k∈Z)
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)=2cos(ωx-φ+)的图象关于原点对称,所以-φ+=+kπ,k∈Z,解得φ=--kπ,k∈Z,又-<φ<0,所以φ=-,又相邻对称轴之间的距离为2π,则=2π,又ω>0,所以=4π,解得ω=,所以g(x)=sin(φ-4ωx)=sin(--2x)=-sin(2x+),令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,所以g(x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.故选B.
7.(5分)已知函数f(x)=tan x+cos(x+m)为奇函数,且m∈(-2,5),则m的值为　 .
【答案】 -或或
【解析】 因为x=0在函数f(x)=tan x+cos(x+m)的定义域内,且函数f(x)=tan x+cos(x+m)为奇函数,所以f(0)=tan 0+cos m=0,即cos m=0,所以m=+kπ(k∈Z).又m∈(-2,5),所以当k分别取-1,0,1时,m=-,,,所以m的值为-或或.
8.(5分)已知函数f(x)=cos ωx(ω>0)的图象关于点(,0)对称,且在区间[0,]上单调,则ω=　　　　.
【答案】 或2
【解析】 由函数f(x)=cos ωx(ω>0)的图象关于点(,0)对称,可得cos =0,解得=+kπ,
k∈Z,可得ω=,k∈Z,又f(x)在区间[0,]上单调,可得T≥,即T≥,即≥,解得0<ω≤3,当k=0时,ω=;当k=1时,ω=2.
9.(14分)若函数y=tan2x-atan x(|x|≤)的最小值为-6,求实数a的值.
【解】 设t=tan x.因为|x|≤,所以tan x∈[-1,1],则原函数化为y=t2-at=(t-)2-(-1≤t≤1),对称轴方程为直线t=.
①若-1≤≤1,即-2≤a≤2,则当t=时,ymin=-=-6,所以a2=24,不符合题意,舍去;
②若<-1,即a<-2,则二次函数在[-1,1]上单调递增,当t=-1时,ymin=1+a=-6,所以a=-7;
③若>1,即a>2,则二次函数在[-1,1]上单调递减,当t=1时,ymin=1-a=-6,所以a=7.
综上所述,实数a的值为-7或7.
10.(15分)已知函数f(x)=sin(ωx-)++m(ω>0),在下列条件①、条件②、条件③中,选择可以确定ω值和m值的两个条件作为已知.
条件①:f(x)的最小正周期为π;条件②:f(x)的最大值与最小值之和为0;条件③:f(0)=2.
(1)求f()的值;
(2)若函数f(x)在区间[0,a]上单调递增,求实数a的最大值.
【解】 (1)若选择条件①,则=π,故可得ω=2;
若选择条件②,则1++m+(-1++m)=0,故可得m=-;
若选择条件③,则sin(-)++m=2,故可得m=2.
根据题意,只能选择①②或①③作为已知条件.
若选择①②,则f(x)=sin(2x-),此时f()=sin =;
若选择①③,则f(x)=sin(2x-)++2,此时f()=.
(2)根据(1)中所求,不论选择①②还是①③,f(x)=sin(2x-)++m,又其单调性与h(x)=sin(2x-)相同,故函数f(x)在区间[0,a]上单调递增,可转化为h(x)在[0,a]上单调递增.
又当x∈[0,a]时,2x-∈[-,2a-],要满足题意,只需2a-≤,故可得0即实数a的最大值为.
11.若函数f(x)=2sin(ωx+)+m(0<ω<5)满足f(x+)+f(-x)=2,则ω+m的值为(　　)
[A]1 [B]3 [C]4 [D]5
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)=2sin(ωx+)+m满足f(x+)+f(-x)=2,可得函数f(x)的图象关于点(,1)对称,所以m=1,且sin(+)=0,所以+=kπ(k∈Z),则ω=3k-1(k∈Z),又0<ω<5,当k=1时,ω=2,所以ω+m=3.故选B.
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的最小正周期为π,函数f(x)的图象关于点(-,0)对称,且满足函数f(x)在区间[-,]上单调递增,则φ等于(　　)
[A] [B]-　 [C]- [D]
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)的最小正周期为π,ω>0,所以=π,解得ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ),因为函数f(x)的图象关于点(-,0)对称,所以2×(-)+φ=kπ(k∈Z),解得φ=+kπ(k∈Z),因为|φ|<π,所以φ=-或φ=.令-+2kπ≤2x+φ≤+2kπ(k∈Z),解得--+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[--+kπ,-+kπ](k∈Z),又函数f(x)在区间[-,]上单调递增,所以(k∈Z),解得-+2kπ≤φ≤+2kπ(k∈Z),因为|φ|<π,所以-≤φ≤,故φ=.故选D.
13.(15分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)-1(ω>0,|φ|<),其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为.
(1)若f(x)在[0,]上单调递增,求φ的取值范围;
(2)若f(x)>0对任意的x∈(-,)恒成立,求φ的取值范围.
【解】 (1)令f(x)=2cos(ωx+φ)-1=1,解得x=-,k∈Z,则由已知--[-]=,k∈Z,解得ω=,所以f(x)=2cos(x+φ)-1,因为0≤x≤,所以φ≤x+φ≤+φ,又-<φ<,所以-<φ+<,因为-,,-,∈[-,],所以[φ,+φ] [-,0],即
又-<φ<,解得-<φ≤-.
所以φ的取值范围是(,-].
(2)当x∈(-,)时,-+φ0对任意的x∈(-,)恒成立,则
即
即
又-<φ<,解得-<φ≤-.
所以φ的取值范围是(-,-].
14.(多选)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在(,2π)上单调,且有f(-)=f()=-f(),则(　　)
[A]直线x=是f(x)图象的一条对称轴
[B]f(x)的最小正周期为4π
[C]点(,0)是f(x)图象的一个对称中心
[D]f()=
【答案】 ABD
【解析】 因为函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在(,2π)上单调,所以f(x)的最小正周期T≥2(2π-)=,又f()=-f(),所以函数f(x)的图象关于点(,0),即点(,0)对称,由f(-)=f() 及T≥,可得f(x)的图象关于直线x==对称,所以f(x)的最小正周期T=4(-)=4π,从而ω==,故A,B正确;因为函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=,所以+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2cos(x-),所以f()=2cos(-)=2cos ≠0,
f()=2cos(-)=2cos =,故C错误,D正确.故选ABD.

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