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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第三章 变量与函数
3.4 二次函数
二次函数 定义 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
二次函数的图象与性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标 （，），抛物线最 点 （，），抛物线最 点
最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 =
增减性 当x＜时，y随x增大而 ； 当x＞ 时，y随x增大而 . 当x＞时，y随x增大而 ； 当x＜ 时，y随x增大而 .
待定系数法确定二次函数的表达式 (1)设二次函数的表达式. (2)将图象上的点的坐标代入所设表达式中，得到关于　 　的方程(组). (3)解方程(组)，求得待定系数的值，将其代回所设表达式中.
二次函数图象的平移
二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1．与一元二次方程的关系：方程ax2＋bx＋c＝0的解是抛物线与x轴的交点横坐标的值． (1)当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个 的实数根. (2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个 的实数根． (3)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程 ．
2．与不等式的关系 (1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴 对应点的横坐标的 ． (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴 对应点的横坐标的 ．
二次函数的实际应用 二次函数的图象与字母系数的关系 二次函数y＝ax2 +bx+c(a≠0)的图象与字母系数a，b，c之间的关系
开口方向 开口向上 a＞0 与 y 轴的交点 过原点 c =0
与y轴交于正半轴
开口向下 a＜0
与y轴交于负半轴 c＜0
对称轴位置 对称轴为y轴 =0即b=0 与 x轴的交点 利用b -4ac的符号判断与x轴交点的个数
对称轴在y轴左侧 ＜c即a，b 特殊取值关系 当x=±1时,y=a±b+c
当x=±2时,y=4a±ab+c
对称轴在y轴右侧 ＞0即a，b 当 =m时,b+2am=0
一般 步骤 (1)分析、建模; (2)根据已知条件确定自变量的取值范围; (3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围求出最大(小)值 注意：二次函数的最大(小)值不一定是实际问题的最大(小)值，一定要结合实际问题中的自变量的取值范围确定最大(小)值.
常考 题型 1.求高度:此时一般是求二次函数图象的顶点的纵坐标,或根据自变量的取值范围利用函数增 减性求二次函数的最值. 2.求水平距离:此时一般是令函数值 y＝0,解出所得一元二次方程的两个根,求两根之差的绝对值. 3.用二次函数求图形面积的最值问题. 4.用二次函数求最大利润问题.
■考点一　二次函数的图象与性质
◇典例1：抛物线的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
2.已知抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线与y轴交点的坐标是
■考点二 二次函数的平移
◇典例2：二次函数的图象向左平移个单位，得到新图象的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.将抛物线y＝x2﹣1向右平移2个单位后所得新抛物线的表达式为　 　．
2.将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为　 　．
■考点三 二次函数与方程、不等式的关系
◇典例3： 二次函数与x轴的交点个数是（　　）
A．只有一个交点 B．有两个交点
C．没有交点 D．无法确定
◆变式训练
1.抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是　 　.
2.如图，抛物线 与直线y=bx+c的两个交点分别为A（-2，4），B（1，1），则关于x的方程的解集为（　　）
A．-21 D．x≤-2或x≥1
■考点四 二次函数的实际应用问题
◇典例1：如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15 米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为y平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y=x（14-2x） B．y=x（15-2x）
C．y=x（16-2x） D．y=x（16-x）
◆变式训练
1.某商场有A、B两种商品，一件B商品的售价比一件A商品的售价多5元，若用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍．
（1）求A、B两种商品每件售价各多少元；
（2）B商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B种商品100件，假设销售单价每上涨一元，B种商品每天的销售量就减少5件，设一件B商品售价a元，B种商品每天的销售利润为W元，求B种商品销售单价a为多少元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是多少元？
2.综合与实践：
洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
（1）【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为OH＝1.5m．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为y1，y2．上边缘抛物线y1的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，求上边缘抛物线y1的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程OC．
②下边缘抛物线y可以看作由上边缘抛物线y1向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线y2 与x轴的正半轴交点B的坐标．
（2）【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求OD的取值范围．
（3）【拓展应用】
半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度EF变成了1m，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知y1与y2的开口方向与大小不变，请直接写出OH的最小值：　 　．
■考点五 二次函数的综合应用
◇典例1：如图，抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，OC＝2．点D为抛物线上一动点，直线DB与y轴交于点E．
（1）填空：c＝　　 ；
（2）当点D在第一象限的抛物线上，且三角形BCD的面积最大时，证明：D是BE的中点；
（3）当时，求出所有满足条件的点D的坐标．
◆变式训练
1.已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3），与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上的点，连接CP，AP，AC，如图1，当CP⊥AC时，求P点坐标；
（3）设点M为抛物线上的一点，若∠MAB＝2∠ACO时，求M点坐标．
2.已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点C，顶点为，对称轴为直线
（1）根据题目信息填空：__________，的面积＝__________；
（2）直线与抛物线相交于两点，当最小时，求M，N的坐标；
（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为，若线段在轴上移动，求的最小值，并求此时点的坐标．
■微专题一 二次函数的图象与系数a、b、c的关系
◇典例1：（2025·蓬江模拟）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
◆变式训练
1．（2025·东莞模拟）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·连州模拟）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025·叙州模拟）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，其中．下列四个结论：①；②；③；④，正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025·天河模拟）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（　　）
①；②；③抛物线的顶点坐标为；
④若，则．
A．①② B．②③④ C．①④ D．①③


1．（2025·兴宁模拟）对于二次函数，下列说法正确的是(　　)
A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值
C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点
2．（2025·连州模拟）抛物线与轴相交的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·广州）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（　　）
A．当且时，则
B．当时，则
C．当且时，则
D．当时，则
4．（2025·广州模拟）已知二次函数，当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·广州模拟）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·深圳三模）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）. 经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件.已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数解析式为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·从化模拟）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　.(写出一个即可)
9．（2025·临安模拟）若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　 　．
10．（2025·广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.
11．（2025·苍溪模拟）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结．
①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标；
②若，求出的值．
1．（2025·赤坎模拟）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·广东模拟）已知关于x的二次函数 的图象与x轴有两个交点，则 化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·龙川模拟）若二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象过不同的三个点A(n，y1)，B(1﹣n，y2)，C(﹣1，y3)，且y1＞y2＞y3，则n的取值范围是（　　）
A．n＜ B．n＜ C．n＞且n≠2 D．n＞
4．（2025·天河模拟）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．或
5．（2025·祁阳模拟）已知抛物线，下列结论错误的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
6．（2025·坪山模拟）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒．水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米／秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（　　）
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
7．（2025·中山模拟）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·高要模拟）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　 　．
9．（2025·广州）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为　 　．
10．（2025·广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
11．（2025·渭源模拟）如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
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第三章 变量与函数
3.4 二次函数
二次函数 定义 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
二次函数的图象与性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=
顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点
最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 =
增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小.
待定系数法确定二次函数的表达式 (1)设二次函数的表达式. (2)将图象上的点的坐标代入所设表达式中，得到关于 　待定系数　的方程(组). (3)解方程(组)，求得待定系数的值，将其代回所设表达式中.
二次函数图象的平移
二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1．与一元二次方程的关系：方程ax2＋bx＋c＝0的解是抛物线与x轴的交点横坐标的值． (1)当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根. (2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实数根． (3)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程无实数根．
2．与不等式的关系 (1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围． (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围．
二次函数的实际应用 二次函数的图象与字母系数的关系 二次函数y＝ax2 +bx+c(a≠0)的图象与字母系数a，b，c之间的关系
开口方向 开口向上 a＞0 与 y 轴的交点 过原点 c =0
与y轴交于正半轴 c＞0
开口向下 a＜0
与y轴交于负半轴 c＜0
对称轴位置 对称轴为y轴 =0即b=0 与 x轴的交点 利用b -4ac的符号判断与x轴交点的个数
对称轴在y轴左侧 ＜c即a，b 同号 特殊取值关系 当x=±1时,y=a±b+c
当x=±2时,y=4a±ab+c
对称轴在y轴右侧 ＞0即a，b 异号 当 =m时,b+2am=0
一般 步骤 (1)分析、建模; (2)根据已知条件确定自变量的取值范围; (3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围求出最大(小)值 注意：二次函数的最大(小)值不一定是实际问题的最大(小)值，一定要结合实际问题中的自变量的取值范围确定最大(小)值.
常考 题型 1.求高度:此时一般是求二次函数图象的顶点的纵坐标,或根据自变量的取值范围利用函数增 减性求二次函数的最值. 2.求水平距离:此时一般是令函数值 y＝0,解出所得一元二次方程的两个根,求两根之差的绝对值. 3.用二次函数求图形面积的最值问题. 4.用二次函数求最大利润问题.
■考点一　二次函数的图象与性质
◇典例1：抛物线的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线方程为，
对称轴为直线，
故选：A．
【分析】根据二次函数的顶点式性质即可求出答案.
◆变式训练
1点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【答案】D
【解析】【解答】解： ∵y=mx2﹣2mx+1=m（x2-2x+1）-m+1=m（x-1）2-m+1
∴对称轴为：直线x=1
又∵且m＞0
∴y3＞y1＞y2
故答案为：D．
【分析】将二次函数一般式配成顶点式求出对称轴，再根据m＞0可知离对称轴越远y越大，求出三个点到对称轴的距离即可得出三个点的纵坐标的大小关系．
2.已知抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线与y轴交点的坐标是
【答案】C
【解析】【解答】解：中，
∵，
∴抛物线开口向上，故选项A说法错误，不符合题意；
∴抛物线的对称轴为直线，故选项B说法错误，不符合题意；
∴当时，y随x的增大而增大，故选项C说法正确，符合题意；
当时，，
∴抛物线与y轴交点的坐标是，故选项D说法错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
■考点二 二次函数的平移
◇典例2：二次函数的图象向左平移个单位，得到新图象的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：二次函数的图象向左平移个单位，得到新图象的函数表达式是，
故选：C
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
◆变式训练
1.将抛物线y＝x2﹣1向右平移2个单位后所得新抛物线的表达式为　 　．
【答案】y＝（x﹣2）2﹣1
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2-1向右平移2个单位后所得新抛物线的表达式为：y=（x-2）2-1
故答案为：y=（x-2）2-1
【分析】根据二次函数平移口诀“左加右减”即可得出答案．
2.将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：依题意，抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是
∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线，
∴将点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
■考点三 二次函数与方程、不等式的关系
◇典例3： 二次函数与x轴的交点个数是（　　）
A．只有一个交点 B．有两个交点
C．没有交点 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：令
∵
∴方程有两个相等的实数根
∴ 二次函数与x轴有1个交点
故答案为：A
【分析】根据二次函数对应的二次方程的判别式，可得方程有1个解，则二次函数与x轴有1个交点
◆变式训练
1.抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是　 　.
【答案】 且k≠1
【解析】【解答】解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴k的取值范围是 且 ；
故答案为： 且 .
【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合 ，即可得到答案.
2.如图，抛物线 与直线y=bx+c的两个交点分别为A（-2，4），B（1，1），则关于x的方程的解集为（　　）
A．-21 D．x≤-2或x≥1
【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线在直线的上方时，自变量x的取值即为的解集，，，
或，
故答案为：C．
【分析】利用图象解不等式，根据抛物线与直线的两个交点分别为，，当抛物线在直线的上方时，自变量x的取值即为的解集求解即可．
■考点四 二次函数的实际应用问题
◇典例1：如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15 米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为y平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y=x（14-2x） B．y=x（15-2x）
C．y=x（16-2x） D．y=x（16-x）
【答案】C
【解析】【解答】解：设AB=x米，则与墙平行的一边的长为(15+1-2x)=(16-2x)米
由题意可得：y=x（16-2x）
故答案为：C
【分析】设AB=x米，则与墙平行的一边的长为(16-2x)米，根据矩形面积即可求出答案.
◆变式训练
1.某商场有A、B两种商品，一件B商品的售价比一件A商品的售价多5元，若用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍．
（1）求A、B两种商品每件售价各多少元；
（2）B商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B种商品100件，假设销售单价每上涨一元，B种商品每天的销售量就减少5件，设一件B商品售价a元，B种商品每天的销售利润为W元，求B种商品销售单价a为多少元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）设A种商品每件售价x元，根据“用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍“列方程并检验，即可得到答案；
（2）W＝（a﹣20）[100﹣5×（a﹣30）]＝﹣5a2+350a﹣5000＝﹣5（a﹣35）2+1125，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设A种商品每件售价x元，则B种商品每件售价（x+5）元，
∵用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍，
∴2，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，也符合题意，
∴x+5＝25+5＝30，
∴A种商品每件售价25元，B种商品每件售价30元；
（2）根据题意得：
W＝（a﹣20）[100﹣5×（a﹣30）]＝﹣5a2+350a﹣5000＝﹣5（a﹣35）2+1125，
∵﹣5＜0，
∴当a＝35时，W取最大值，最大值为1125元，
∴B种商品销售单价a为35元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是1125元．
【点评】本题考查二次函数的应用，涉及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程和函数关系式．
2.综合与实践：
洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
（1）【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为OH＝1.5m．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为y1，y2．上边缘抛物线y1的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，求上边缘抛物线y1的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程OC．
②下边缘抛物线y可以看作由上边缘抛物线y1向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线y2 与x轴的正半轴交点B的坐标．
（2）【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求OD的取值范围．
（3）【拓展应用】
半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度EF变成了1m，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知y1与y2的开口方向与大小不变，请直接写出OH的最小值：　 　．
【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
（2）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，（m+2）2+h+0.5），F（m+3，（m+3﹣2）2+h+0.5），则有[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[（m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案．
【解答】解：（1）①由题意得：A（2，2），H（0，1.5），
∵A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y1＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点H（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y1（x﹣2）2+2；
令y1＝0，则0（x﹣2）2+2，
解得x＝6或x＝﹣2（舍去），
∴洒水车喷出水的最大射程OC为6m；
②∵y1对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∵平移后y2仍过点（0，1.5），
∴y2是由y1向左平移4m得到的，
∵C（6，0），点B是由点C向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
（2）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴（x﹣2）2+2＝0.5，
解得x＝2+2或x＝2﹣2（舍去），
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为2+23＝21，
∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是OD≥2，
∴OD的取值范围为2≤OD≤21；
（3）设OH＝h，
由（1）②可知y2（x+2）2+2，
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
设点D（m，（m+2）2+h+0.5），F（m+3，（m+3﹣2）2+h+0.5），
则有（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h，
∵h0，
∴h的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
■考点五 二次函数的综合应用
◇典例1：如图，抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，OC＝2．点D为抛物线上一动点，直线DB与y轴交于点E．
（1）填空：c＝　　 ；
（2）当点D在第一象限的抛物线上，且三角形BCD的面积最大时，证明：D是BE的中点；
（3）当时，求出所有满足条件的点D的坐标．
【答案】（1）解：∵OC＝2，则c＝2，
故答案为：2；
（2）证明：由（1）知，抛物线的表达式为：yx2x+2，
则点B、C的坐标分别为：（4，0）、（0，2），
则直线BC的表达式为：yx+2，
过点D作DH∥y轴于点H，
设点D（x，x2x+2），则点H（x，x+2），
则三角形BCD的面积OB×DH4×（x2x+2x﹣2）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，
故当x＝2时，三角形BCD的面积最大，
此时点D的横坐标x＝2，即点D（2，3），
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y（x﹣4），
则点E（0，6），
而点B（4，0），
D是BE的中点；
（3）解：当时，则|xD|＝2xB＝8，
即xD＝±8，
当x＝±8时，yx2x+2＝﹣18或﹣42，
即点D（8，﹣18）或（﹣8，﹣42）．
【分析】（1）OC＝2，则c＝2，即可求解；
（2）由三角形BCD的面积OB×DH4×（x2x+2x﹣2）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，得到点D（2，3），即可求解；
（3）当时，则|xD|＝2xB＝8，即可求解．
◆变式训练
1.已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3），与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上的点，连接CP，AP，AC，如图1，当CP⊥AC时，求P点坐标；
（3）设点M为抛物线上的一点，若∠MAB＝2∠ACO时，求M点坐标．
【答案】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，
，
解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图所示，过点C作平行于x轴的直线，过点A作AM垂直于过点C平行于x轴的直线交这条直线于M，过点P作PN垂直于这条直线交这条直线于N，
∴∠AMC＝∠CNP＝90°，
∴∠ACM+∠CAM＝90°，
∵AC⊥CP，即∠ACP＝90°，
∴∠ACM+∠PCN＝90°，
∴∠MAC＝∠NCP，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AM＝3，AO＝1，
∴tan∠MAC＝tan∠NCP，
∴CN＝3PN，
设CN＝3PN＝3m，
∴点P的坐标为（3m，﹣3+m），
∴﹣3+m＝（3m）2﹣2×3m﹣3，
解得m或m＝0（舍去），
∴点P的坐标为（，）；
（3）如图，取点D（1，0），连接CD，在CD上取一点E，使得AE＝AD，连接AE，并延长交抛物线于点M，
∵A（﹣1，0），点D关于y轴对称，
∴AC＝DC，∠ACO＝∠DCO，
∴∠ACD＝2∠ACO＝∠MAB，∠CAD＝∠CDA，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝∠CAD＝∠CDA，
∴△CAD∽△AED，
∴∠EAD＝∠ACD＝2∠ACO，
设直线CD的解析式为y＝kx+b1，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝3x﹣3，
设E（n，3n﹣3），
∴AE2＝（n+1）2+（3n﹣3）2＝22，
解得n或n＝1（舍去），
∴E（），
设直线AE的解析式为y＝k1x+b2，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为yx，
联立，
得x20，
解得x或x＝﹣1（舍去），
∴M点的坐标为（，），
由对称性可知F点的坐标为（，）时，直线AF与抛物线的另一个交点也满足题意，
同理可求出此时M点的坐标为（，），
综上所述，点M的坐标为（，）或（，）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明∠ACM＝∠CPN，则tan∠ACM＝tan∠CPN3，求出点P的坐标为（3m，﹣3+m），进而求解；
（3）取点D（1，0），连接CD，在CD上取一点E，使得AE＝AD，连接AE，并延长交抛物线于点M，求出直线CD的解析式为y＝3x﹣3，设E（n，3n﹣3），由AE的长可求出E（），设直线AE的解析式为y＝k1x+b2，求出直线AE的解析式，联立，解方程组可得出答案．
2.已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点C，顶点为，对称轴为直线
（1）根据题目信息填空：__________，的面积＝__________；
（2）直线与抛物线相交于两点，当最小时，求M，N的坐标；
（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为，若线段在轴上移动，求的最小值，并求此时点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
令，即，
解得：，，
∵点和点是轴（点在点的左侧），
∴，，
令，则，
∴，
∴．
故答案为：2；6．
（2）解：由题可得：，
整理得：，
∴是的两个根，
∴，，
∴，
∴当时，最小，即最小，
∴直线解析式为：，
∵直线与抛物线相交于两点，
∴
解得：或，
∴．
（3）解：抛物线图象如图所示：
平移线段到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，令，连接，
由（1）知：，，，
∵O，B，P，C构成多边形的周长为，
∴在线段平移过程中，的长度不变，
∴要使最小，只需最小，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
∴，
令时，，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴．
【解析】【解答】（1）
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式可得b值，根据坐标轴上点的坐标特征可得，，，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）由题可得：，根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入，结合二次函数的性质可得当时，最小，即最小，则直线解析式为：，再联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
（3）作出函数图象，平移线段到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，令，连接，O，B，P，C构成多边形的周长为，在线段平移过程中，的长度不变，要使最小，只需最小，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，设的解析式为：，根据待定系数法将点C'，P'坐标代入解析式可得，根据x轴上点的坐标特征可得，根据勾股定理可得P'C'，根据两点间距离可得CP，即可求出答案.
■微专题一 二次函数的图象与系数a、b、c的关系
◇典例1：（2025·蓬江模拟）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故答案为：B．
【分析】首先根据函数图象，可得出a＜0，b＞0，c＞0的正负号，故而得出①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，可得出②正确；由，得，令，求函数值，即可判断③正确；令时，则，令时，，再把两个式子相加，即可判断④正确；综上即可得出答案。
◆变式训练
1．（2025·东莞模拟）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由函数图象可知，
∴，故A选项不符合题意；
∵抛物线与轴有两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，则
∴，故B选项不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线
∴时的函数值与时的函数值相等，
由函数图象可知，时函数值小于零，
∴时函数值也小于零，即，故C选项符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线
∴即，故D选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025·连州模拟）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：观察抛物线的图像可知：抛物线的开口向下，
∴，
∵与轴的交点在原点上方可，
∴，
∴，即①正确；
∵抛物线与轴交于，顶点（1，m），可知对称轴为直线
∴抛物线与x轴的另一交点为，
∴当时，；
当时，，
∴两式相减可得，即②正确；
∵抛物线顶点坐标为，开口向下，
∴为最大值，
∴对于任意实数，都有，即③错误；
④由图象可得，当时，，即④正确．
综上，正确的有3个．
故选：C．
【分析】
本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点。根据图象开口向上可知，与轴的交点在原点上方可知，据此可判断①；因为抛物线与轴交于，对称轴为直线，所以另一交点为，则、两式相减可得，可判断②；抛物线顶点坐标为，开口向下，则为最大值，对于任意实数，都有，据此可判断③；由图象可得当时，，据此可判定④．
3．（2025·叙州模拟）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，其中．下列四个结论：①；②；③；④，正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴在轴的右侧，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
②∵图象与轴交于两点，，其中，
∴，
∴，
当时，，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③当时，值为，
乘以4，可得，
∵当时，由图象可知在和x1之间为正值，
当时，在和x1之间为负值，
∴与0的关系不能确定，故③错误；
④∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，所以④正确．
综上，正确的是①②④，共3个，
故选C．
【分析】
①由于抛物线的开口方向，则、由于对称轴在y轴右侧，则a、b异号，即、由于抛物线交y轴于正半轴，则，故；
②由于对称轴且，故，即，再由二次函数图象上点的坐标特征可得当时，，即，再找入到中即可；③由于当时，即是的4倍，但观察图象知此时不确定是否大于或等于0，故无法判断；
④因为，即，则，利用完全平方公式展开再应用不等式的基本性质可得结论成立．
4．（2025·天河模拟）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（　　）
①；②；③抛物线的顶点坐标为；
④若，则．
A．①② B．②③④ C．①④ D．①③
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，有两实根，
，
∴两个方程相减得，，
∴，故①正确，
，
令，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴抛物线的顶点为．
又，
∴，即．
∴．
∴．
∴顶点坐标为，故③正确．
∵，
∴．
又，
，
∴，故②错误．
∵，
，
∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．
∵，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，
∴，故④错误．
综上，正确的有①③共2个．
故答案为：D．
【分析】由有两实根，，可得到关于a、b、c的方程组，采用消元法可求出2a+b的值，可对①作出判断；利用二次函数的对称性可得到抛物线的对称轴，由此可得到抛物线的顶点为c)，再结合，可对③作出判断；依据题意可得，又，进而可得abc的值，可确定出a的符号，可对②作出判断；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④；综上所述可得到正确结论的序号.


1．（2025·兴宁模拟）对于二次函数，下列说法正确的是(　　)
A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值
C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点
【答案】B
【解析】【解答】解：，
∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，
A、当时随的增大而减小，
∴此选项不符合题意；
B、当时，有最大值，
∴此选项符合题意；
C、图象的顶点为（1，-3），而不是（-1，-3），
∴此选项不符合题意；
D、抛物线与轴没有交点，
∴此选项符合题意.
故答案为：B．
【分析】把二次函数化为顶点式；
A、根据顶点式可得对称轴为：直线x=1，根据"a=-1＜0，在对称轴的右侧，随的增大而减小"可求解；
B、根据顶点式可得，当时，有最大值；
C、根据顶点式可得，图象的顶点为（1，-3）；
D、根据解析式可得，抛物线与轴没有交点.
2．（2025·连州模拟）抛物线与轴相交的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在中，令，则，
∴抛物线与轴相交的坐标为，
或y=(x+4)(x-2)=，与轴相交的坐标为，
故选：B．
【分析】
本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，令，求出此时的函数值即可得到答案．或把y=(x+4)(x-2)化成一般形式其中C值就是就是与y轴的交点。
3．（2025·广州）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（　　）
A．当且时，则
B．当时，则
C．当且时，则
D．当时，则
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的开口朝上，对称轴为
将x=1代入解析式可得，y=-a
∴顶点坐标为(1，-a)
∵两点，在抛物线
∴当且时，y1>0，故y2<0
此时，A选项正确
当时，抛物线在x<1时递减
故x2越大，y2越小，即，B选项错误
当且时，y2>0
此时x2应满足x2<0，或x2>0，C选项错误
当时，抛物线在x>1时递增
故x1越大，y1越大
即，D选项错误
故答案为：A
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·广州模拟）已知二次函数，当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：=，
∵1>0，
∴图象开口向上，当x=-1时，y有最小值-5，
当x=-3时，y=-1；
当x=0时，y=-4，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：C．
【分析】先求出=，再求出x=-1，x=-3和x=0时，y的值，最后求解即可.
5．（2025·广州模拟）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，
∴反比例函数的图象应该位于二四象限，故该选项正确，符合题意；
B．令x=0，则y=1，
∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意；
C．由二次函数的图象可得：，此时，
∴反比例函数的图象应该位于一三象限，故该选项不正确，不符合题意；
D．令x=0，则y=1，
∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先根据二次函数的图象确定的符号，再判断反比例函数的图象是否相符，最后对每个选项逐一判断求解即可.
6．（2025·深圳三模）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）. 经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件.已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 每件盈利（x-50）元，每天可销售[200+2（99-x）]件，
根据题意得：w=（x-50）[200+2（99-x）]，
故答案为：C .
【分析】 根据每件利润=实际售价-成本价，销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润=每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式.
7．（2025·从化模拟）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设与交于点，
由得，当时，，
解得：，，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
设解析式为，
∴，解得：，
∴解析式为，
设，
∵轴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
当时，则的最大值为，
故选：．
【分析】
由于PM//AB，因此P、M两点的纵坐标相等，由于二次函数的解析式已知，则抛物线与坐标轴的交点坐标均可求，因此利用待定系数法可确定直线BC的解析式，再利用一次函数和二次函数图象上点的坐标特征可设，则，又因为两直线平行内错角相等，则可证明，由于AB是定值 ，则由相似比可得，最后由二次函数的性质即可求解．
8．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　.(写出一个即可)
【答案】
【解析】【解答】解：将x=c，y=0带入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有两种情况：
当c=0时，函数过（0，0），即过原点，不符合题意；
当c≠0，-c+b+1=0时，即b=c-1；
任取一数使c≠0即可；
若c=1，则b=0；
所以该函数表达式为y=-x2+1.
故答案为：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：将二次函数图象过点(c，0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函数表达式。
9．（2025·临安模拟）若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：当时，函数是二次函数，令，即，
当时，二次函数的图象与轴有交点，
解得：，
当时，函数是一次函数，其解析式为，
直线与轴有交点，
故的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据二次函数与坐标轴的有交点，分“”、“”两种情况下，函数与轴有交点时的取值范围．
10．（2025·广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.
【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系
设抛物线的解析式为
由题意可知： 点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)在函数图象上，
代入得：
解得：
【解析】 【分析】 以主缆最低点（设低处）为原点，平行桥面水平方向为x轴，竖直向上为y轴建系。
由主缆垂度0.1785km，主缆设低处距离桥面0.0015km，可得一点（0，0.0015）；
由主跨长1.7km，主塔高0.27km， 桥面距离海平面约0.09km ，可得两点（0.85，0.18）和（-0.85，0.18）；
将点(0.85，0.18)和点(0，0.0015)代入 抛物线可以解得抛物线表达式为y= 。
11．（2025·苍溪模拟）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结．
①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标；
②若，求出的值．
【答案】（1）解：把代入得：，故，
则的坐标为，
把代入中
得，
解得：，
∴抛物线的解析式的为：．
（2）解：①∵，令，则，
解得：或3，
∴，
又∵，
∴，，，
又轴，
，
，
，
∵，
∴，，
，
当，即时，
，
解得：（舍去）或，
故；
当，即时，
，
解得：（舍去）或，
故，
综上，或．
②∵点，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
当点P在x轴下方时，如下图所示：
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为：或5．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法先求出一次函数解析式，可得的坐标，再把代入中计算即可解答；
（2）①先求出，根据等腰直角三角形的性质求出，，由轴，得出，可设，得，根据两点之间的距离公式得到，分两种情况：当和当，利用相似三角形的性质建立方程分别计算即可解答；
②先用待定系数法求出直线的解析式；当点P在x轴上方时，如图连接，延长交x轴于N，利用AA证明，求出，从而求出直线的解析式，再联立一次函数解析式和二次函数解析式，计算可得m得值；当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式，再联立一次函数解析式和二次函数解析式，计算可得m得值；解答即可．
1．（2025·赤坎模拟）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是：，
即．
故选：D．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
2．（2025·广东模拟）已知关于x的二次函数 的图象与x轴有两个交点，则 化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴
∴
解得，
∴
∴，
故选：A
【分析】根据二次函数图象与x轴有两个交点，则对应方程判别式，解不等式可得，再代入代数式，结合二次根式的性质化简即可求出答案.
3．（2025·龙川模拟）若二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象过不同的三个点A(n，y1)，B(1﹣n，y2)，C(﹣1，y3)，且y1＞y2＞y3，则n的取值范围是（　　）
A．n＜ B．n＜ C．n＞且n≠2 D．n＞
【答案】C
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2+2ax+3a的对称轴为直线x=-=-1，
∵点A（n，y1），B（1-n，y2），C（-1，y3）在二次函数y=ax2+2ax+3a的图象上，且y1＞y2＞y3，
∴a＞0，1-n≠-1，
∴二次函数图象在x＜-1上y随x增大而减小，在x≥-1上y随x增大而增大．
∵点A（n，y1），B（1-n，y2）都在二次函数y=ax2+2ax+3a（a＞0）的图象上，且y1＞y2，
∴|-1-n|＞|-1-1+n|，
解得：n＞且n≠2．
故答案为：C．
【分析】
根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线x=-1，由二次函数的增减性可推出二次项系数大于0，即可找出增减性的x的范围，再结合A、B点坐标的特点即可得出关于n的一元一次不等式，解不等式即可解答．
4．（2025·天河模拟）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】【解答】解:由函数图象可知，当﹣2y2,所以当时，x的取值范围为﹣2故答案为：C.
【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题.
5．（2025·祁阳模拟）已知抛物线，下列结论错误的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】【解答】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线解析式可得a=1>0，据此判断A；根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1），据此判断B、C；根据开口方向以及对称轴可判断D.
6．（2025·坪山模拟）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒．水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米／秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（　　）
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
【答案】B
【解析】【解答】解：函数关系式 ，
当t=时，h为最大值20×2-5×22=20米。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查抛物线函数的最值问题。函数关系式，因为a=-5＜0，因此该函数开口向下，所以在对称轴处，该函数取得最大值。因此可以直接利用公式x=进行计算，其中a=-5，b=20，代入计算即可。
7．（2025·中山模拟）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，设抛物线与轴的另一个交点为点，把点向上平移3个单位得到点，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据抛物线的对称性可知，
∴，
∴四边形的周长为：，此时四边形的周长最小，
令，有，
解得：，，
∴，，
∴，
令，有，
∴，
设过点，的直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为，线段在抛物线的对称轴上移动，
∴将代入，得，
∴，
故答案为：B．
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为点，把点向上平移3个单位得到点，先推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，结合抛物线的对称性得，从而进行等量代换得，进而得到四边形的周长为，根据”两点之间线段最短“可判断此时四边形的周长最小，然后求出四点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点坐标．
8．（2025·高要模拟）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数图象性质先求出对称轴为直线；结合开口向上可知图象上的点离对称轴越远则的值越大；由此解答即可．
9．（2025·广州）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴为
当x=3m时，y=-3m2+5m+3
∴顶点坐标为(3m，-3m2+5m+3)
∵抛物线的顶点在直线上
∴-3m2+5m+3=3m+2
解得：m=或
故答案为：或
【分析】求出抛物线对称轴，再将x=3m代入抛物线可得顶点坐标，再将顶点坐标代入直线解析式，解方程即可求出答案.
10．（2025·广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
【答案】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【解析】【分析】（1）过点M作，由题意可得，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（3）由题意将x=4代入解析式可得，根据边之间的关系看可得GH，再作差求出h即可.
11．（2025·渭源模拟）如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴设该抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，
解得a=1，
∴该抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．
联立方程组：
解得（舍去）或，
即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）如图所示：
过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE （xp﹣xD）+PE （xB﹣xE）=PE （xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．
∴当x=时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，﹣）．
（3）（2，﹣2）或（3，﹣1）．
【解析】【解答】
解：（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB=OK=4．
∴∠OKB=∠OBK=45°．
∵QF⊥x轴，
∴∠DQG=45°．
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．
①当∠QDG=90°时，过点D作DH⊥QG于H，
∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，
∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，
∴Q1（2，﹣2）．
②当∠DGQ=90°，则DH=QH．
∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，
∴Q2（3，﹣1）．
综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
故答案为：（2，﹣2）或（3，﹣1）.
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y=x﹣4与抛物线的解析式联立方程组并求解即可解答；
（2）过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4），则PE═﹣x2+3x+4，然后依据S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可解答；
（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4），先证明△QDG为等腰直角三角形，然后根据∠QDG=90°和∠DGQ=90°两种情况求解即可解答．

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