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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第四章 图形的认识
4.1 线段、角、相交线与平行线
直 线、射线、线段、角 直线、射线、线段 名称直线射线线段基本图形表示方法直线AB(BA),直线a射线AB，射线l线段AB(BA),线段l端点个数012相关关系射线、线段都是直线的一部分基本事实两点确定一条直线 两点之间，线段最短
线段的相关概 念 ◆1、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ◆2、等分线段 把一条线段分成三条相等的线段的点，叫做线段的三等分点. 如图点M、N是线段AB三等分点,则 AM ＝MN ＝BN ＝ AB . （2）类似的，把一条线段分成四条相等的线段的点，叫做线段的四等分点. 如图点M、N、P是线段AB四等分点，则AM＝ MN ＝NP＝PB＝ AB . ◆3、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短 . ◆4、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. ◆5、线段的和与差:如图,在线段AC上取一点B,则有AB+BC=AC;AB=AC﹣BC:
角的相关概念 角的 定义 定义1 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
定义2 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
角的 分类 分类 锐角 直角 钝角 平角 周角
度数 0°＜α＜90° α=90° 90°＜α＜180° α=180° α=360°
角的度量单位及其换算 1周角=360°,1平角=180°,1直角=90°,1°=60′,1'=60"
角的大小比较方法 度量法和叠合法 注意：角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关.
余 角 与 补 角 余角 补角
定义 如果两个角的和等于 90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角. 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
图例
几何语言表述 若∠1+∠2=90°,则∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角，或∠1与∠2互为余角. 若∠1+∠2=180°,则∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角,或∠1 与∠2互为补角.
性质 同角(等角)的余角相等. 同角(等角)的补角相等.
角平分线的定义及其性质 (1)定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. (2)性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. (3)性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. (4)角平分线的性质定理及其逆定理的数学语言 ①性质定理：如图，若OP 是∠AOB 的平分线, PE⊥OA,PF⊥OB,则PE=PF. ②性质定理的逆定理： 若点 P 在∠AOB 的内部,PE⊥OA,PF⊥OB,PE=PF,则∠1=∠2.
相交线与平行线 相 交 线 两条直线相交 对顶角 定义 顶点相同，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角
性质 对顶角相等
邻角 定义 顶点相同，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角
性质 邻补角互补.
垂线 定义 两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(基本事实),
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
线段垂直平分线 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
三条直线相交 三线八角 同位角 ∠1 与∠5 是同位角;∠4 与∠8是同位角；∠2与∠6是同位角；∠3与∠7是同位角
内错角 ∠3 与∠5是内错角;∠4与∠6是内错角
同旁内角 ∠4与∠5 是同旁内角;∠3 与∠6是同旁内角
平 行 线 (1)定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. (2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. (4)性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行， 同旁内角互补. (5)判定：同位角相等，两直线平行：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行. （6）两平行线间的距离 定义：过平行线上一点，作另一条平行线的垂线，垂线段的长度叫做两平行线间的距离. 性质：两平行线间的距离处处相等.
命题与定理 命题 定义 判断一件事情的语句，叫做命题.
组成 命题由题设和结论两部分组成，通常可以写成“如果 那么……”的形式，其中“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论
分类 命题分为真命题和假命题
互逆命题 如果两个命题的题设和结论正好相反，那么称这两个命题为互逆命题，我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
定理 有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理
互逆定理 如果一个定理的逆命题也是一个定理，那么这两个定理称为互逆定理
■考点一　直线、线段、角的有关概念及性质
◇典例1：如图，已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，E为线段上一点，若线段，则的长度为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵线段，点C是线段的中点，
∴，
∵点D是线段的中点，
∴，
∵线段，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据线段中点可得，，再根据线段之间的关系即可求出答案.
◇典例2：如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，
又∵，，
∴，，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据是的平分线，是的平分线，得，再根据已知条件得，，即可得.
◆变式训练
1.如图：A、B、C、D四点在一条直线上，若AB＝CD，下列各式表示线段AC错误的是(　　)
A．AC＝AD﹣CD B．AC＝AB+BC C．AC＝BD﹣AB D．AC＝AD﹣AB
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵AD-CD=AC，∴此选项表示正确；
B、∵AB+BC=AC，∴此选项表示正确；
C、∵AB=CD，∴BD-AB=BD-CD，∴此选项表示不正确；
D、∵AB=CD，∴AD-AB=AD-CD=AC，∴此选项表示正确.
故答案为：C.
【分析】结合图形并利用线段的和差逐项分析判断即可.
2.如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　）
A．西偏北方向上 B．北偏西方向上
C．西偏北方向上 D．北偏西方向上
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点B在点O的北偏东方向上，，
∴．
点C在点O的北偏西方向上．
故答案为：B．
【分析】利用方位角的定义及角的运算求出角的度数，从而可得点C在点O的北偏西方向上．
■考点二 平行线的性质与判定
◇典例2：如图，直线，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，需逐步推导角度关系。因为直线，根据平行线的内错角相等性质，与是内错角，所以。又因为是的一个外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，将和相加，即可求出。
◆变式训练
1.如图，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】根据，两直线平行，内错角相等得到，再结合三角形内角和为，则∠DCE=180°-90°-36°=54°．
2.如图2，三角板ABC（其中，）和三角板DEF（其中， ) 按照如图所示的位置摆放，点 D 在边 AC 上，若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点D作DK∥AB
∵AB∥EF
∴DK∥EF
∴∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°
∴∠ADE=∠ADK+∠EDK=75°
∵∠EDF=90°
∴∠CDF=180°-90°-75°=15°
故答案为： D
【分析】过点D作DK∥AB，根据直线平行性质可得∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°，再根据角之间的关系可得∠ADE，再根据补角即可求出答案.
3.如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．
（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；
（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．
【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，
∴∠BHC+∠HBF＝180°，
∴BF∥EC，
∴∠ACE＝∠F＝30°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．
故∠ACB的度数为60°；
（2）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，
∴∠BCE＝∠G，
∴DG∥EC，
又∵BF∥EC，
∴DG∥BF．
【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；
（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．
■考点三 角平分线的性质与判定
◇典例1：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则CD的长为（　　）
A．2.4 B．3 C．3.6 D．4
【答案】B.
【解析】【解答】解：过D作DM⊥AB于M，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DM⊥AB，
∴CD＝DM，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴AC BC DMAC CD，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，DM＝CD，
∴，
解得：CD＝3，
故选：B．
【分析】过D作DM⊥AB于M，根据角平分线的性质得出DM＝CD，根据三角形的面积得出AC BCAB DMAC CD，再代入求出答案即可．
◆变式训练
1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点P为BC边中点，DP＝4，则△BCD的面积为 　　 ．
【答案】12．
【解析】【解答】解：如图，过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥BA，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DA＝3，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵点P为BC边中点，DP＝4，
∴BC＝2DP＝8，
∴S△BCDBC DE8×3＝12，
故答案为：12．
【分析】过D作DE⊥BC于E，由角平分线的性质得DE＝DA＝3，再由直角三角形斜边上的中线性质得BC＝2DP＝8，然后由三角形面积公式即可得出结论．
2.如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
【解答】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
【分析】此题容易根据条件证明△BED≌△CFD，然后利用全等三角形的性质和角平分线的性质就可以证明结论．
■考点四 线段的垂直平分线的性质与判定
◇典例1：如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（　　）
A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm
【答案】12．
【解析】【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，AB＝2AE＝6，
∵△ADC的周长为8，
∴AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝8，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝6+8＝14，
故选：A．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，AB＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
◇典例2：（2025·金平模拟）如图在中，边，的垂直平分线交于点D，连结，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，如下图所示，
∵ 边，的垂直平分线交于点D，
∴BD=AD，CD=AD，
∴∠DBA=∠BAD，∠DAC=∠DCA，
∵∠BDQ=∠BAD+∠DBA，∠CDQ=∠DAC+∠DCA，
∴∠BDC=∠BDQ+∠CDQ=（∠BAD+∠DBA）+（∠DAC+∠DCA）=2∠BAD+2∠DAC=2∠BAC，
∵ ，
∴∠BDC=100°，
故答案为：A．
【分析】连接并延长交于点，首先根据垂直平分线的性质可得BD=AD，CD=AD，进而可得∠DBA=∠BAD，∠DAC=∠DCA，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得∠BDC=∠BDQ+∠CDQ=2∠BAC，即可得出答案．
◆变式训练
1.如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B．
【解析】【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
故选：B．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．
2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC．
【解答】证明：连接AE，
∵∠ACB＝66°，∠DAC＝24°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝180°﹣24°﹣66°＝90°，
∴AD⊥EC，
∵点D为CE的中点，
∴DE＝DC，
∴AD是线段CE的垂直平分线，
∴AE＝AC，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC．
【分析】连接AE，根据三角形内角和定理得到∠ADC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，AE＝BE，等量代换证明结论．
■考点五 命题和证明
◇典例3：下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角
C．若，则 D．正数与负数的和一定等于零
【答案】A
【解析】【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，是真命题，故Ａ正确.
B、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，则原命题是假命题，故Ｂ错误.
C、若，则，则原命题是假命题，故Ｃ错误.
D、根据正数与负数的和不一定等于零，则原命题是假命题，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据判断命题的真假的方法得，同位角相等，两直线平行，是真命题，对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，若，则，根据正数与负数的和不一定等于零，即可得答案.
◆变式训练
1.已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝﹣a；②若m＞n，则ma2＞na2；③对顶角相等；④两直线平行，内错角相等．其中为真命题的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【答案】A
【解析】【解答】【解答】解：①若a≤0，则|a|＝﹣a，正确，故①符合题意；
②若m＞n，如果a＝0，那么ma2＝na2，故②不符合题意；
③对顶角相等，正确，故③符合题意；
④两直线平行，内错角相等，正确，故④符合题意．
∴其中为真命题的个数是3个．
故选：B．
【分析】由对顶角的性质，平行线的性质，绝对值的意义，即可判断．
2.如图，△ABC中，点D，F在边AB上，点G，E分别在边AC，BC上，连接DG，DC，EF．
①EF⊥AB，CD⊥AB；②∠DGA＝∠BCA；③DG平分∠ADC；④∠B＝∠BEF，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件：　　 ，结论：　 　（填序号）．
【解答】解：选择的条件：①②③，结论：④．
证明如下：∵∠DGA＝∠BCA，
∴DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠GDC＝∠BCD，
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG＝∠GDC，
∴∠B＝∠DCB，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠BCD＝∠BEF，
∴∠B＝∠BEF．
故答案为：①②③；④．
【分析】选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到DG∥BC，则根据平行线的性质得到∠ADG＝∠B，∠GDC＝∠BCD，再有②得到∠ADG＝∠GDC，所以∠B＝∠DCB，接着由③得到EF∥CD，然后根据平行线的性质得到∠BCD＝∠BEF，然后利用等量代换得到∠B＝∠BEF．
微专题二：角平分线模型（单角和双角）
◇典例1：如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）若∠AOB＝46°，∠DOE＝37°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝24°，求∠AOC的度数．
【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠AOB＝∠BOC＝46°，∠DOE＝∠DOC＝37°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝46°+37°＝83°；
（2）由题意可知：∠AOD+∠BOD＝180°，
∵OD是∠COE的平分线，∠DOE＝24°，
∴∠COD＝∠DOE＝24°，
设∠AOB＝x，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOC＝2x，∠BOC＝x，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝2x+24°，∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝x+24°，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴2x+24°+x+24°＝180°，
解得：x＝44°，
∴∠AOC＝2×44°＝88°．
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠BOC和∠DOC的度数，再根据∠DOB＝∠BOC+∠DOC即可求解；
（2）先根据互补的定义求出∠AOD+∠BOD＝180°，再利用角的加减运算即可求解．
◆变式训练
1.如图，∠AOC＝80°，∠BOC＝30°，OD是∠AOB的角平分线，则∠BOD＝　 　．
【答案】55°．
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝80°，∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝80°+30°＝110°，
∵OD是∠AOB的角平分线，
∴∠BOD∠AOB110°＝55°．
故答案为：55°．
【分析】先求出∠AOB，再根据角平分线的定义求出∠BOD即可．
2.如图所示，∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，OE平分∠AOD，则∠BOE的大小为 　 　．
【答案】18°．
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，
∴∠AOD＝96°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE96°＝48°，
∴∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝48°﹣30°＝18°．
故答案为：18°．
【分析】先根据已知的三个角计算∠AOD的度数，再根据角平分线求得∠AOE的度数，最后根据角的和差关系计算∠BOE的大小．
3.如图，被分成，平分，平分，且，求的度数和的度数．
【解答】解：设，，，则，
因为平分，平分，
所以，，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，．
【分析】本题考查了角的定义以及角平分线的定义，根据题意设，，，则，再根据角平分线的定义以及，即可求出的度数和的度数．
4.已知，，分别是和的平分线．
(1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？
(2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由．
【解答】（1）解：的值随着在内转动不会发生变化，理由如下：
，分别是和的平分线，
，
，
，
．
即的值随着在内转动不会发生变化；
（2）解：的值不会随着的转变而变化，理由如下：
如图：
，分别是和的平分线，
，
，
，
．
即的值不会随着的转变而变化．
【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差关系．
（1）由，分别是和的平分线，可得从而可得答案；根据可得：不变，的大小不变；
（2）据可得：不变，的大小不变．
1．（2025·海珠模拟）如图，已知直线，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴.
故选：D．
【分析】根据平行线的性质可得，再根据补角，即可求出的度数．
2．（2025·深圳一模）如图，已知，，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（　　）
A．102° B．118° C．122° D．62°
【答案】B
【解析】【解答】解：因为，，所以，又因为点B、O、D在同一条直线上，所以
故选：B.
【分析】 本题主要考查角的计算，涉及到直角和平角的概念，需要根据已知角的度数和角之间的关系来计算所求角的度数
3．（2025·荔湾模拟）下列命题为假命题的是（　　）
A．两点确定一条直线 B．若，则
C．等角的余角相等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【解析】【解答】解：A、两点确定一条直线是真命题，不符合题意；
B、若，则或，故原命题是假命题，符合题意；
C、等角的余角相等是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等是真命题，不符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据真假命题的定义：正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，然后再对各个选项逐一进行分析即可求解。
4．（2025·惠州模拟）如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），，．则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，，
，
，
．
故选：A ．
【分析】由三角形外角性质可知，再由两直线平行，内错角相等可知.
5．（2025·花都模拟）一副直角三角板如图放置，若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：D。
【分析】根据平行线的性质得出，然后再根据三角形的内角和公式，即可求出度数.
6．（2025·深圳）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122°，∠BON=90°.则入射角∠AON的度数为(　　）
A．22° B．32° C．35° D．122°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵CB||OA
∴∠AOB=∠CBO=122°
∵∠BON=90°
∴∠AON=∠AOB-∠BON=122°-90°=32°
即∠AON=32°
故答案为： B.
【分析】由两直线平行，内错角相等知∠AOB=∠OBC，结合∠BON=90°，即可得∠AON的度数.
7．（2025·坪山模拟）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过E作，
∵，
∴，
∴，，
，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
【分析】
过E作，得到，推出，即可求出的度数．
8．（2025·深圳模拟）数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点和点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
，
故答案为：C．
【分析】根据作图痕迹可得，再利用勾股定理求出OC的长，再结合“以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点”可得，从而得解.
9．（2025·从化模拟）如图，直线，线段分别与，交于点D，C，过点B作，交直线于点A．若，则的度数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴；
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
由垂直的概念可得，由直角三角形两锐角互余可得的度数，再由两直线平行同位角相等即可求得的度数．
10．（2025·福田模拟）如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为　 　．
【答案】74
【解析】【解答】解：，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【分析】本题主要对三角形外角的性质，平行四边形的判定，平行线的性质进行考查．根据三角形的外角性质：三角形外外角等于与其不相邻的两个内角之和，求出，又因为折射光线，所以四边形是平行四边形，因此有．
11．（2025·惠城模拟）如图，在中，是钝角．
（1）实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小．
【答案】（1）解：垂直平分线即为所求：
（2）解：∵为的垂直平分线∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【解析】【分析】本题主要对作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理进行考查．
（1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于D．
（2）因为DE为AC垂直平分线，所以有，由三角形内角和定理有，所以有．
（1）解：垂直平分线即为所求：
（2）解：∵为的垂直平分线
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
1．（2025·深圳三模）如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成75°，折射光线与水杯口平面成65°时，∠1的度数是（　　）
A．155° B．160° C．165° D．170°
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，
∵水面与底面平行，
又
∵水面与水杯口的平面平行，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质，分别求出∠2和∠3的度数即可解决问题.
2．（2025·深圳三模）如图，直线，直线分别与直线，相交于点，，于点，若，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
在Rt△MFB中，
∵∠1=40°，
∴∠3=∠2=90°-40°=50°；
故答案为：B.
【分析】根据在直角三角形中，已知一个角的值，可求另一个角，根据两直线平行，同位角相等可得.
3．（2025·龙湖模拟）如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
∵，，
∴，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】先根据角的和差得到，然后根据平行线的性质得到，再利用角的和差解答即可．
4．（2025·海珠模拟）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在矩形中，，，
∴，∠C=∠C'=90°，
由折叠：，
，
，
．
故选：B．
【分析】
由折叠得，根据矩形的性质可得∠C'=90°，，则，进而可求解．
5．（2025·东莞模拟）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】过点作，根据直线平行性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．（2025·凉州模拟）如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】【解答】
解：∵，∴，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的性质，可得出DE=DC=10-6=4.
7．（2025·清新模拟）在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D，连接，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在三角形ABC中，，
又∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形的内角和得到，进而根据线段垂直平分线的性质得，即可根据等腰三角形的性质得到，再由即可求得的大小 .
8．（2025·罗湖模拟）已知∠PAQ=36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交射线AP 于点D，连接 BD；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP 于点C； 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠CDB=72° B．△ADB∽△ABC
C．CD：AD=2：1 D．∠ABC=3∠ACB
【答案】C
【解析】【解答】解：由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠PAQ＝36°，
∴∠CDB＝∠A＋∠DBA＝72°，（A正确）
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝36°，
∴∠ABD＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，（B正确）
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝108°，
∴∠ABC＝3∠ACB，（D正确）
∵∠ABD＝36°，∠ABC＝108°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝72°，
∴∠CBD＝∠CDB＝72°，
∴CD＝BC，
∵∠A＝∠ACB＝36°，
∴AB＝BC，
∴CD＝AB，
∵AD＋DB＞AB，AD＝DB
∴2AD＞AB
∴2AD＞CD，（C错误）
故选：C
【分析】由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC，根据垂直平分线性质可得DA＝DB，根据等边对等角可得∠A＝∠DBA，再根据三角形外角性质可判断A，根据等边对等角可得∠A＝∠ACB＝36°，再根据相似三角形判定定理可判断B，根据三角形内角和定理及角之间的关系可判断D，根据角之间的关系可得∠CBD＝∠CDB＝72°，则CD＝BC，再根据边之间的关系可判断C.
9．（2025·广州模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线所在的直线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为凹透镜的焦点．若，，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
【分析】根据邻补角的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后根据三角形的外角的性质计算求解即可.
10．（2025·金平模拟）如图1，王老师小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为如图2所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），若，则　 　．
【答案】145
【解析】【解答】解：过点B作，如图2所示：
∵CD∥AE，
∴BG∥CD∥AE，
∴∠ABG+∠BAE=180°，∠GBC+∠BCD=180°，
∵AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG=90°，
又∵∠ABC=125°，
∴∠GBC=∠ABC-∠ABG=35°，
∴∠BCD=180°-∠GBC=145°，
故答案为：．
【分析】过点B向右侧作，结合垂直的定义，根据平行线的判定与性质求解即可.
11．（2025·番禺模拟）如图，在中，，，为上一点，且到，两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规作出点的位置；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连结，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图点即为所求；
（2）解：如图，
∵点在线段的中垂线上，
∴，
设，则，
在中，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴。
【解析】【分析】（1）根据题干给出的条件，易知点在线段的中垂线上，然后再根据垂直平分线的画图方法，画出AB的中垂线即可。
（2）设，根据（1）中的信息，可知，在中，最后再利用勾股定理求解即可。
（1）解：如图点即为所求；
（2）如图，
∵点在线段的中垂线上，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考数学一轮复习精讲精练
第四章 图形的认识
4.1 线段、角、相交线与平行线
直 线、射线、线段、角 直线、射线、线段 名称直线射线线段基本图形表示方法直线AB(BA),直线a射线AB，射线l线段AB(BA),线段l端点个数相关关系射线、线段都是直线的一部分基本事实 两点之间，线段最短
线段的相关概 念 ◆1、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成 的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ◆2、等分线段 把一条线段分成 相等的线段的点，叫做线段的三等分点. 如图点M、N是线段AB三等分点,则 AM ＝ ＝BN ＝ . （2）类似的，把一条线段分成四条相等的线段的点，叫做线段的四等分点. 如图点M、N、P是线段AB四等分点，则AM＝ MN ＝NP＝PB＝ AB . ◆3、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成： . ◆4、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的 ，叫做这两点的距离. ◆5、线段的和与差:如图,在线段AC上取一点B,则有AB+BC=AC;AB=AC﹣BC:
角的相关概念 角的 定义 定义1 有 的两条射线组成的图形叫做角.
定义2 一条射线绕着它的端点从一个位置 到另一个位置所形成的图形叫做角。
角的 分类 分类 锐角 直角 钝角 平角 周角
度数 0°＜α＜90° α=90° α=180° α=360°
角的度量单位及其换算 1周角= °,1平角= °,1直角=90°,1°= ′,1'=60"
角的大小比较方法 度量法和叠合法 注意：角的大小与边的 无关，只与构成角的两条射线 大小有关.
余 角 与 补 角 余角 补角
定义 如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角. 如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
图例
几何语言表述 若∠1+∠2=90°,则∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角，或∠1与∠2互为余角. 若∠1+∠2=180°,则∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角,或∠1 与∠2互为补角.
性质 同角(等角)的余角 . 同角(等角)的补角 .
角平分线的定义及其性质 (1)定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. (2)性质定理：角的平分线上的点到角的 相等. (3)性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在 . (4)角平分线的性质定理及其逆定理的数学语言 ①性质定理：如图，若OP 是∠AOB 的平分线, PE⊥OA,PF⊥OB,则PE=PF. ②性质定理的逆定理： 若点 P 在∠AOB 的内部,PE⊥OA,PF⊥OB,PE=PF,则∠1=∠2.
相交线与平行线 相 交 线 两条直线相交 对顶角 定义 顶点相同，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角
性质 对顶角相等
邻角 定义 顶点相同，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角
性质 邻补角互补.
垂线 定义 两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(基本事实),
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
线段垂直平分线 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
三条直线相交 三线八角 同位角 ∠1 与∠5 是同位角;∠4 与∠8是同位角；∠2与∠6是同位角；∠3与∠7是同位角
内错角 ∠3 与∠5是内错角;∠4与∠6是内错角
同旁内角 ∠4与∠5 是同旁内角;∠3 与∠6是同旁内角
平 行 线 (1)定义：同一平面内， 的两条直线叫做平行线. (2)平行公理：经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线 ，那么这两条直线也互相平行. (4)性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行， 相等；两直线平行， 互补. (5)判定：同位角相等，两直线平行：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行. （6）两平行线间的距离 定义：过平行线上一点，作另一条平行线的垂线，垂线段的长度叫做两平行线间的距离. 性质：两平行线间的 处处相等.
命题与定理 命题 定义 一件事情的语句，叫做命题.
组成 命题由题设和结论两部分组成，通常可以写成“如果 那么……”的形式，其中“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论
分类 命题分为 和
互逆命题 如果两个命题的题设和结论正好相反，那么称这两个命题为互逆命题，我们把其中的一个叫做 ，另一个叫做它的 .
定理 有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的 叫做定理
互逆定理 如果一个定理的逆命题也是一个定理，那么这两个定理称为互逆定理
■考点一　直线、线段、角的有关概念及性质
◇典例1：如图，已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，E为线段上一点，若线段，则的长度为　 　．
◇典例2：如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
◆变式训练
1.如图：A、B、C、D四点在一条直线上，若AB＝CD，下列各式表示线段AC错误的是(　　)
A．AC＝AD﹣CD B．AC＝AB+BC C．AC＝BD﹣AB D．AC＝AD﹣AB
2.如图，点B在点O的北偏东方向上，，则点C在点O的（　　）
A．西偏北方向上 B．北偏西方向上
C．西偏北方向上 D．北偏西方向上
■考点二 平行线的相关性质
◇典例2：如图，直线，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2.如图2，三角板ABC（其中，）和三角板DEF（其中， ) 按照如图所示的位置摆放，点 D 在边 AC 上，若 ，则 的度数为（　　）
B． C． D．
3.如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．
（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；
（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．
■考点三 角平分线的性质与判定
◇典例1：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则CD的长为（　　）
A．2.4 B．3 C．3.6 D．4
◆变式训练
1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点P为BC边中点，DP＝4，则△BCD的面积为 　　 ．
2.如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
■考点四 线段的垂直平分线的性质与判定
◇典例1：如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（　　）
A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm
◇典例2：（2025·金平模拟）如图在中，边，的垂直平分线交于点D，连结，，若，则（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC．
■考点五 命题和证明
◇典例3：下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角
C．若，则 D．正数与负数的和一定等于零
◆变式训练
1.已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝﹣a；②若m＞n，则ma2＞na2；③对顶角相等；④两直线平行，内错角相等．其中为真命题的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
2.如图，△ABC中，点D，F在边AB上，点G，E分别在边AC，BC上，连接DG，DC，EF．
①EF⊥AB，CD⊥AB；②∠DGA＝∠BCA；③DG平分∠ADC；④∠B＝∠BEF，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件：　　 ，结论：　 　（填序号）．
微专题二：角平分线模型（单角和双角）
◇典例1：如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）若∠AOB＝46°，∠DOE＝37°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝24°，求∠AOC的度数．
◆变式训练
1.如图，∠AOC＝80°，∠BOC＝30°，OD是∠AOB的角平分线，则∠BOD＝　 　．
2.如图所示，∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，OE平分∠AOD，则∠BOE的大小为 　 　．
3.如图，被分成，平分，平分，且，求的度数和的度数．
4.已知，，分别是和的平分线．
(1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？
(2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由．
1．（2025·海珠模拟）如图，已知直线，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·深圳一模）如图，已知，，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（　　）
A．102° B．118° C．122° D．62°
3．（2025·荔湾模拟）下列命题为假命题的是（　　）
A．两点确定一条直线 B．若，则
C．等角的余角相等 D．两直线平行，同位角相等
4．（2025·惠州模拟）如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），，．则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·花都模拟）一副直角三角板如图放置，若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
6．（2025·深圳）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122°，∠BON=90°.则入射角∠AON的度数为(　　）
A．22° B．32° C．35° D．122°
7．（2025·坪山模拟）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·深圳模拟）数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点和点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（　　）
A． B．5 C． D．
9．（2025·从化模拟）如图，直线，线段分别与，交于点D，C，过点B作，交直线于点A．若，则的度数是　 　．
10．（2025·福田模拟）如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为　 　．
11．（2025·惠城模拟）如图，在中，是钝角．
（1）实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小．
1．（2025·深圳三模）如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成75°，折射光线与水杯口平面成65°时，∠1的度数是（　　）
A．155° B．160° C．165° D．170°
2．（2025·深圳三模）如图，直线，直线分别与直线，相交于点，，于点，若，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025·龙湖模拟）如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·海珠模拟）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·东莞模拟）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·凉州模拟）如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025·清新模拟）在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D，连接，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·罗湖模拟）已知∠PAQ=36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交射线AP 于点D，连接 BD；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP 于点C； 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠CDB=72° B．△ADB∽△ABC
C．CD：AD=2：1 D．∠ABC=3∠ACB
9．（2025·广州模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线所在的直线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为凹透镜的焦点．若，，则的度数为　 　．
10．（2025·金平模拟）如图1，王老师小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为如图2所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），若，则　 　．
11．（2025·番禺模拟）如图，在中，，，为上一点，且到，两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规作出点的位置；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连结，若，，求的长．

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