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微专题1　匀变速直线运动规律的推论及应用
[定位·学习目标]　
1.认识平均速度公式、中点位置的瞬时速度公式、逐差相等公式。理解这些公式的推导过程,培养实际应用的能力。2.熟练运用平均速度公式、中点位置的瞬时速度公式、逐差相等公式解决匀变速直线运动问题,掌握科学的思维方式。
突破·关键能力
要点一　匀变速直线运动的平均速度、中间时刻速度、位移中点速度
「情境探究」
情境2:一物体以初速度v0做匀变速直线运动,经过一段位移x后速度变为v,求物体恰好到达其位移中点时的瞬时速度(用v0和v表示)。
比较在同一匀变速直线运动过程中物体运动过程的中间时刻的瞬时速度与位移中点的瞬时速度的大小关系。
「要点归纳」
[例1] (多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2,物体经过AB段的位移中点的速度为v3,物体经过AB段的中间时刻的速度为v4,全程平均速度为v5,则下列结论正确的是(　 　)
「典例研习」
BD
要点二　位移逐差推论的表达式
「情境探究」
如图所示为在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中得到的一条纸带,纸带上每五个计时点取一个计数点,测量得到相邻两计数点间的距离为x1、x2、x3、x4、x5,相邻计数点间的时间为T,试推导:
(1)x2-x1,x3-x2,x4-x3,x5-x4为同一定值;
(2)x5-x1的值。
「要点归纳」
1.匀变速直线运动中,任意两个连续相等的时间间隔T内的位移差都相等,即Δx=aT2。
2.第m个时间T内的位移与第n个时间T内的位移差为xm-xn=(m-n)aT2。
3.Δx=aT2的应用:逐差法求加速度
在研究匀变速直线运动的实验中,其实验目的之一是使用打点计时器测定匀变速直线运动的加速度。除通过求出各时刻的速度画v-t图像求解加速度外,还可以用公式法求解。原理如下:
(1)设物体做匀加速直线运动的加速度是a,在各个连续相等时间间隔T内的位移分别是x1、x2、…、x6,如图甲所示,
使用公式xm-xn=(m-m)aT2可得
x4-x1=3aT2,
同理x5-x2=x6-x3=3aT2。
这就是我们所要测定的匀变速直线运动的加速度。所用方法称为逐差法。
这样处理数据的过程中,所给的实验数据x1、x2、…、x6全部都用到了,所以,在“使用全部所给数据,全面真实反映纸带的情况”并采用了“多次测量求平均值”的原则下,减小了实验误差。
(2)“两段法”实际上就是将图甲所示纸带的6段位移分成两大部分,即xⅠ和xⅡ,如图乙所示,则xⅠ和xⅡ是运动物体在两个相邻的相等时间间隔T′=3T内的位移。
显然,得到的计算结果和前面完全相同,但这种方法避免了“逐差法”求多个a,再求这些a的平均值的麻烦,而且在思路上更清晰,计算上也更简捷。“连续相等时间内的位移”中“相等时间”的长度可任意选取,不必拘泥于纸带上已给的相邻计数点间的时间间隔T。凡是“逐差法”适用的情境,都可以用“两段法”快速求得结果。
[例2] 有一个做匀变速直线运动的物体,它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和 64 m,连续相等的时间为4 s,求物体在这两段时间内的初速度和加速度大小。
「典例研习」
【答案】 1 m/s　2.5 m/s2
·规律方法·
(1)以上推论只适用于匀变速直线运动,其他性质的运动不能套用此推论式来处理问题。
(2)推论式Δx=aT2常用在探究物体速度随时间变化规律的实验中,根据打出的纸带求物体的加速度。
要点三　初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
「要点归纳」
初速度为零的匀加速直线运动的推论
(1)按时间等分。
图示
结论 1T末、2T末、3T末……nT末瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶
vn=1∶2∶3∶…∶n
前1T内、前2T内、前3T内……前nT内位移之比为x1∶x2∶
x3∶…∶xn=12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2n-1)
(2)按位移等分。
(3)初速度为零的匀加速直线运动的比例关系推导思路及应用。
②应用:按题目要求选择对应比例分析、解答问题;对于末速度为零的匀减速直线运动,可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,再应用比例式可快速解题——逆向思维法。
[例3] (多选)方便快速的轨道交通,已成为很多市民出行的首选。越来越多的市民选择地铁作为出行的交通工具。如图所示,t=0时,列车由静止开始做匀加速直线运动,第一节车厢的前端恰好与站台边感应门的一根立柱对齐。t=6 s时,第一节车厢末端恰好通过这根立柱所在位置,全部车厢通过立柱所用时间为18 s。设各节车厢的长度相等,不计车厢间距离。则(　 　)
「典例研习」
ACD
要点四　运动学公式的选择技巧
「要点归纳」
1.共同点
(1)适用条件相同:适用于匀变速直线运动。
(2)都是矢量式:v0、v、a、x都是矢量,应用这些公式时必须选取统一的正方向,一般选取v0的方向为正方向。
(3)都涉及四个物理量,当已知其中三个物理量时,可求另一个未知量。
2.运动学公式的应用步骤
(1)认真审题,画出物体的运动过程示意图。
(2)明确研究对象,明确已知量、待求量。
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向),确定各矢量的正、负。
(4)选择适当的公式求解。
(5)判断所得结果是否合乎实际情况,并根据结果的正、负说明所求物理量的方向。
[例4] 从车站开出的汽车,做匀加速直线运动,走了12 s时,发现还有乘客没上车,于是立即做匀减速直线运动至停车。汽车从开出到停止总共历时20 s,行进了50 m。求该过程中汽车的最大速度。(用两种不同方法求解)
「典例研习」
【答案】 5 m/s(任选两种解法即可)
检测·学习效果
1.一个做匀减速直线运动的物体,先后经过M、N两点时的速度大小分别是4v和v,所用时间为t,则下列判断正确的是(　　)
D
2.(2025·黑龙江牡丹江期中)在用电磁打点计时器研究匀变速直线运动的实验中,某同学打出了一条纸带。已知计时器打点的时间间隔为0.02 s,他按打点先后顺序每5个点取1个计数点,得到了O、A、B、C、D等几个计数点,如图所示。
(1)相邻两个计数点之间的时间间隔为　 s。
0.1
【解析】 (1)打点计时器的周期为0.02 s,所以两点间隔为0.02 s,每5个点取
1个计数点,则相邻两个计数点之间的时间间隔是0.1 s。
(2)用刻度尺量得OA=1.51 cm、AB=1.89 cm、BC=2.29 cm、CD=2.71 cm。由此可知,纸带做　　　 　　(选填“匀加速直线”或“匀减速直线”)运动,打C点时纸带的速度大小为　　　 m/s,小车的加速度a=　　　　 m/s2。(结果均保留2位有效数字)
匀加速直线　
0.25　
0.40
3.在冰壶世锦赛上中国女子冰壶队夺得世界冠军。如图所示,一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速直线运动,且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零,则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是多少 (冰壶可看成质点)
【答案】 t
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[定位·学习目标]　1.认识平均速度公式、中点位置的瞬时速度公式、逐差相等公式。理解这些公式的推导过程,培养实际应用的能力。2.熟练运用平均速度公式、中点位置的瞬时速度公式、逐差相等公式解决匀变速直线运动问题,掌握科学的思维方式。
要点一　匀变速直线运动的平均速度、中间时刻速度、位移中点速度
情境探究
情境1:一物体以初速度v0做匀变速直线运动,经过时间t后速度变为v,求该过程的平均速度,以及开始运动后经过时的瞬时速度。
【答案】 根据x=v0t+at2,=可得=v0+at,又因为v=v0+at可得=,由v=v0+at得=v0+a·,结合对平均速度的分析可得==。
情境2:一物体以初速度v0做匀变速直线运动,经过一段位移x后速度变为v,求物体恰好到达其位移中点时的瞬时速度(用v0和v表示)。
【答案】 整个过程根据速度—位移公式可得v2-=2ax,物体到达其位移中点时,
-=2a·,联立可得=。
要点归纳
比较在同一匀变速直线运动过程中物体运动过程的中间时刻的瞬时速度与位移中点的瞬时速度的大小关系。
在v-t图像中,速度图线与坐标轴围成的面积表示位移。当物体做匀加速直线运动时,由图甲可知>;当物体做匀减速直线运动时,由图乙可知>。所以当物体做匀变速直线运动时,>。
典例研习
[例1] (多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2,物体经过AB段的位移中点的速度为v3,物体经过AB段的中间时刻的速度为v4,全程平均速度为v5,则下列结论正确的是(　　)
[A] v3=v5
[B] v4=
[C] 若为匀减速直线运动,则v3[D] 在匀变速直线运动中一定有v3>v4=v5
【答案】 BD
【解析】 设A到B位移为2x,由-=2ax,-=2ax,联立解得经过位移中点的速度v3=,设A到B总时间为2t,由v2=v4+at,v4=v1+at,联立解得中间时刻的速度v4=,全程的平均速度v5=。不论匀加速直线运动还是匀减速直线运动,都有v3>v4=v5,若物体做匀加速直线运动,则v1v2。故A、C错误,B、D
正确。
要点二　位移逐差推论的表达式
情境探究
如图所示为在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中得到的一条纸带,纸带上每五个计时点取一个计数点,测量得到相邻两计数点间的距离为x1、x2、x3、x4、x5,相邻计数点间的时间为T,试推导:
(1)x2-x1,x3-x2,x4-x3,x5-x4为同一定值;
(2)x5-x1的值。
【答案】 设初速度为v0,加速度为a,x1=v0T+aT2,x2=(v0+aT)T+aT2,x3=(v0+2aT)T+aT2,x4=
(v0+3aT)T+aT2,x5=(v0+4aT)T+aT2,由此可得x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=aT2,x5-x1=4aT2。
要点归纳
1.匀变速直线运动中,任意两个连续相等的时间间隔T内的位移差都相等,即Δx=aT2。
2.第m个时间T内的位移与第n个时间T内的位移差为xm-xn=(m-n)aT2。
3.Δx=aT2的应用:逐差法求加速度
在研究匀变速直线运动的实验中,其实验目的之一是使用打点计时器测定匀变速直线运动的加速度。除通过求出各时刻的速度画v-t图像求解加速度外,还可以用公式法求解。原理如下:
(1)设物体做匀加速直线运动的加速度是a,在各个连续相等时间间隔T内的位移分别是x1、x2、…、x6,如图甲所示,
使用公式xm-xn=(m-m)aT2可得
x4-x1=3aT2,
同理x5-x2=x6-x3=3aT2。
由测得的各段位移x1、x2、…、x6可求出
a1=,a2=,a3=,
所以a1、a2、a3的平均值
==。
这就是我们所要测定的匀变速直线运动的加速度。所用方法称为逐差法。
这样处理数据的过程中,所给的实验数据x1、x2、…、x6全部都用到了,所以,在“使用全部所给数据,全面真实反映纸带的情况”并采用了“多次测量求平均值”的原则下,减小了实验误差。
(2)“两段法”实际上就是将图甲所示纸带的6段位移分成两大部分,即xⅠ和xⅡ,如图乙所示,则xⅠ和xⅡ是运动物体在两个相邻的相等时间间隔T′=3T内的位移。
由xⅡ-xⅠ=aT′2可得:
a==。
显然,得到的计算结果和前面完全相同,但这种方法避免了“逐差法”求多个a,再求这些a的平均值的麻烦,而且在思路上更清晰,计算上也更简捷。“连续相等时间内的位移”中“相等时间”的长度可任意选取,不必拘泥于纸带上已给的相邻计数点间的时间间隔T。凡是“逐差法”适用的情境,都可以用“两段法”快速求得结果。
典例研习
[例2] 有一个做匀变速直线运动的物体,它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和 64 m,连续相等的时间为4 s,求物体在这两段时间内的初速度和加速度大小。
【答案】 1 m/s　2.5 m/s2
【解析】 解法一　常规解法
如图所示,物体从A到B再到C各用时4 s,AB=24 m,BC=64 m。设物体的加速度为a,由位移公式得x1=vAT+aT2,
x2=[vA·2T+a(2T)2]-(vAT+aT2),
将x1=24 m,x2=64 m,T=4 s代入两式求得vA=1 m/s,a=2.5 m/s2。
解法二　用平均速度求解
===6 m/s,
===16 m/s。
又为AB段中间时刻的瞬时速度,为BC段中间时刻的瞬时速度,故可得=+aT,
代入数据解得a=2.5 m/s2,
再由x1=vAT+aT2,
求得vA=1 m/s。
解法三　用推论公式Δx=aT2求解
由x2-x1=aT2,
代入数据解得a=2.5 m/s2,
再代入 x1=vAT+aT2,
可求得vA=1 m/s。
(1)以上推论只适用于匀变速直线运动,其他性质的运动不能套用此推论式来处理问题。
(2)推论式Δx=aT2常用在探究物体速度随时间变化规律的实验中,根据打出的纸带求物体的加速度。
要点三　初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
要点归纳
　初速度为零的匀加速直线运动的推论
(1)按时间等分。
图示
结论 1T末、2T末、3T末……nT末瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n
前1T内、前2T内、前3T内……前nT内位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn=12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2n-1)
(2)按位移等分。
图示
结论 x0末、2x0末、3x0末……nx0末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶∶∶…∶
通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶∶∶…∶
通过第一个x0、第二个x0、第三个x0……第n个x0所用时间之比为tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN=1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)
(3)初速度为零的匀加速直线运动的比例关系推导思路及应用。
①推导思路:利用公式v=at,x=at2和v2=2ax及变形或差值推导比值。
②应用:按题目要求选择对应比例分析、解答问题;对于末速度为零的匀减速直线运动,可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,再应用比例式可快速解题——逆向思维法。
典例研习
[例3] (多选)方便快速的轨道交通,已成为很多市民出行的首选。越来越多的市民选择地铁作为出行的交通工具。如图所示,t=0时,列车由静止开始做匀加速直线运动,第一节车厢的前端恰好与站台边感应门的一根立柱对齐。t=6 s时,第一节车厢末端恰好通过这根立柱所在位置,全部车厢通过立柱所用时间为18 s。设各节车厢的长度相等,不计车厢间距离。则(　　)
[A] 该列车共有9节车厢
[B] 第2个6 s内有4节车厢通过这根立柱
[C] 最后一节车厢通过这根立柱的时间为(18-12) s
[D] 第4节车厢通过这根立柱的末速度大于整列车通过立柱的平均速度
【答案】 ACD
【解析】 设该列车共有n节车厢,每节车厢长度为x,根据运动学公式x=at2,nx=at′2,联立解得 n=9,该列车共有9节车厢,故A正确;根据初速度为零的匀加速直线运动规律,连续相等时间内位移的比例关系x1∶x2∶x3∶…=1∶3∶5∶…,可知第2个6 s内有3节车厢通过这根立柱,故B错误;根据初速度为零的匀加速直线运动规律,通过连续相等位移的时间的比例关系t1∶t2∶t3∶…=1∶(-1)∶(-)∶…,最后一节车厢通过这根立柱的时间为t9=(-)×6 s=(18-12) s,故C正确;前4节车厢通过这根立柱的运动时间为12 s,则此时的速度大于中间时刻的瞬时速度,即大于整列车通过立柱的平均速度,故D正确。
要点四　运动学公式的选择技巧
要点归纳
1.共同点
(1)适用条件相同:适用于匀变速直线运动。
(2)都是矢量式:v0、v、a、x都是矢量,应用这些公式时必须选取统一的正方向,一般选取v0的方向为正方向。
(3)都涉及四个物理量,当已知其中三个物理量时,可求另一个未知量。
2.运动学公式的应用步骤
(1)认真审题,画出物体的运动过程示意图。
(2)明确研究对象,明确已知量、待求量。
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向),确定各矢量的正、负。
(4)选择适当的公式求解。
(5)判断所得结果是否合乎实际情况,并根据结果的正、负说明所求物理量的方向。
典例研习
[例4] 从车站开出的汽车,做匀加速直线运动,走了12 s时,发现还有乘客没上车,于是立即做匀减速直线运动至停车。汽车从开出到停止总共历时20 s,行进了50 m。求该过程中汽车的最大速度。(用两种不同方法求解)
【答案】 5 m/s(任选两种解法即可)
【解析】 解法一　基本公式法
设最大速度为vmax,加速过程x1=a1,
减速过程x2=vmaxt2+a2,
故全过程的位移x=x1+x2,
t=t1+t2,vmax=a1t1,0=vmax+a2t2,
联立得vmax=5 m/s。
解法二　平均速度法
匀加速阶段和匀减速阶段平均速度相同,都等于,故有x=t1+t2,
因此有vmax===5 m/s。
解法三　图像法
作出汽车运动全过程的v-t图像,如图所示,v-t图线与t轴所围成的三角形的面积等于位移的大小,故x=,所以vmax===5 m/s。
1.一个做匀减速直线运动的物体,先后经过M、N两点时的速度大小分别是4v和v,所用时间为t,则下列判断正确的是(　　)
[A] 物体的加速度大小为
[B] 物体经过M、N中点时的速率是v
[C] 物体在时刻的速率是2v
[D] 物体在这段时间内的位移为2.5vt
【答案】 D
【解析】 物体的加速度大小为a==,A错误;物体经过M、N中点时的速率为v′==v,B错误;物体在时刻的速率为v″===2.5v,C错误;物体在这段时间内的位移x= t=2.5vt,D正确。
2.(2025·黑龙江牡丹江期中)在用电磁打点计时器研究匀变速直线运动的实验中,某同学打出了一条纸带。已知计时器打点的时间间隔为0.02 s,他按打点先后顺序每5个点取1个计数点,得到了O、A、B、C、D等几个计数点,如图所示。
(1)相邻两个计数点之间的时间间隔为　 s。
(2)用刻度尺量得OA=1.51 cm、AB=1.89 cm、BC=2.29 cm、CD=2.71 cm。由此可知,纸带做　　　 　　(选填“匀加速直线”或“匀减速直线”)运动,打C点时纸带的速度大小为　　　 m/s,小车的加速度a=　　　　 m/s2。(结果均保留2位有效数字)
【答案】 (1)0.1　
(2)匀加速直线　0.25　0.40
【解析】 (1)打点计时器的周期为0.02 s,所以两点间隔为0.02 s,每5个点取1个计数点,则相邻两个计数点之间的时间间隔是0.1 s。
(2)在相同的时间内通过的位移逐渐增大,且差值几乎恒定不变,所以纸带做匀加速直线运动;C点为BD中间时刻的点,vC===0.25 m/s,用逐差法得加速度a==
0.40 m/s2。
3.在冰壶世锦赛上中国女子冰壶队夺得世界冠军。如图所示,一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速直线运动,且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零,则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是多少 (冰壶可看成质点)
【答案】 ∶1　(-1)∶1
【解析】 把冰壶的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。冰壶通过两矩形区域位移相等,则从右向左穿过矩形区域的末速度之比为1∶,则冰壶实际运动依次进入每个矩形区域的速度之比为v1∶v2=∶1;冰壶从右向左,通过每个矩形区域的时间之比为1∶(-1),则冰壶实际运动穿过矩形区域的时间之比为t1∶t2=(-1)∶1。
4.如图所示,一物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面,斜面总长度为l,到达斜面最高点C时速度恰好为零,该过程物体做匀减速直线运动。已知物体第一次运动到距斜面底端l处的B点时,所用时间为t,求物体从B滑到C所用的时间。
【答案】 t
【解析】 解法一　逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面,相当于向下匀加速滑下斜面。
故xBC=,xAC=,又xBC=,
由以上三式解得tBC=t。
解法二　位移比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动,在连续相等的时间里通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
因为xCB∶xBA=∶=1∶3,而通过xBA的时间为t,所以通过xBC的时间tBC=t。
解法三　中间时刻速度法
利用推论,中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度,得==。
又=2axAC,=2axBC,xBC=,
由以上三式解得vB=。
因为vB=,
所以有tBC=t。
解法四　图像法
根据匀变速直线运动的规律,作出v-t图像,如图所示。利用相似三角形的规律,面积之比等于对应边长平方之比,得=,且=,OD=t,OC=t+tBC。所以=,解得tBC=t。
课时作业
(分值:65分)
考点一　匀变速直线运动平均速度、中间时刻瞬时速度、位移中点的速度
1.(4分)(2024·海南卷)商场自动感应门如图所示,人走近时两扇门从静止开始同时向左右平移,经4 s恰好完全打开,两扇门移动距离均为2 m,若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动,完全打开时速度恰好为0,则加速度的大小为(　　)
[A] 1.25 m/s2 [B] 1 m/s2
[C] 0.5 m/s2 [D] 0.25 m/s2
【答案】 C
【解析】 设门开启的过程中最大速度为v,单扇门位移为x,已知门从静止开始以相同大小的加速度先匀加速运动后匀减速运动,可知加速过程和减速过程的时间均为t=2 s,且加速过程和减速过程的平均速度均为=,由x=·2t,有x=×2 s+×2 s,解得v=1 m/s,则加速度a==0.5 m/s2,C正确。
2.(4分)一物体做匀加速直线运动,通过两段连续相同的位移所用的时间分别为t1、t2,在这两段位移内的平均速度大小分别为v1、v2,则物体运动的加速度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 匀变速直线运动,某段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度,根据加速度的定义式可知a==,故A、C、D错误,B正确。
考点二　位移差公式:Δx=aT2
3.(4分)为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成匀加速直线运动),某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片,如图所示,如果拍摄时每隔2 s曝光一次,轿车车身总长为4.5 m,那么这辆轿车的加速度为(　　)
[A] 1 m/s2 [B] 2.25 m/s2
[C] 3 m/s2 [D] 4.25 m/s2
【答案】 B
【解析】 根据匀变速直线运动规律有Δx=x2-x1=aT2。轿车总长为4.5 m,可知题图中每一小格为 1.5 m,由此可算出两段距离分别为x1=12 m和x2=21 m,又T=2 s,
则a===2.25 m/s2,B正确。
4.(4分)一质点做匀加速直线运动,速度变化Δv时发生位移x1,紧接着速度变化同样的Δv时发生位移x2。则该质点的加速度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D] (Δv)2(-)
【答案】 B
【解析】 本题疑难之处在于不知道运动时间,突破点是在匀加速直线运动中,速度变化同样的Δv时,所用时间相等。根据x2-x1=aT2,a=,联立可求得a=,故B正确。
5.(10分)如图所示,一个小球沿斜面向下运动,用每间隔 s 曝光一次的频闪相机拍摄不同时刻小球位置的照片,即照片上出现的相邻两个小球的像之间的时间间隔为 s,测得小球在几个连续相等时间内的位移(数据见表),则
x1/cm x2/cm x3/cm x4/cm
8.20 9.30 10.40 11.50
(1)小球在连续相等时间内的位移之差　　　　(选填“相等”或“不相等”),小球的运动性质属于　　　　直线运动。
(2)甲、乙两名同学计算小球加速度的方法如下:
甲同学:a1=,a2=,a3=,a=;
乙同学:a1=,a2=,a=。
你认为甲、乙两名同学中哪名同学的计算方法较准确 　　　　,加速度为　　　 m/s2。
(3)图中频闪相机拍摄第二张照片的时刻小球的瞬时速度为　　　　 m/s。
【答案】 (1)相等　匀加速　(2)乙　1.1　(3)0.875
【解析】 (1)由表中数据可知,x4-x3=x3-x2=x2-x1,即小球在相邻的相等时间内的位移之差相等,小球做匀加速直线运动。
(2)甲同学
a==
=,
乙同学
a==
=。
乙同学用到了所有数据,故求加速度较准确,加速度为a==1.1 m/s2。
(3)根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度公式,==,
则v===0.875 m/s。
考点三　初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
6.(4分)汽车刹车后做匀减速直线运动,经过3 s停止运动,那么汽车在先后连续相等的三个1 s内通过的位移之比x1∶x2∶x3为(　　)
[A] 1∶2∶3 [B] 5∶3∶1
[C] 1∶4∶9 [D] 3∶2∶1
【答案】 B
【解析】 采用逆向思维,把汽车的运动看作初速度为零的匀加速直线运动,根据x=at2知1 s内、2 s 内、3 s 内的位移之比为1∶4∶9,则初速度为零的匀加速直线运动连续1 s内的位移之比为1∶3∶5,故x1∶x2∶x3=5∶3∶1,B正确,A、C、D错误。
7.(4分)如图是一跨线桥的示意图,图中a、b、c、d、e是五个连续等距的桥墩,由于突发事件,一汽车从a点开始做匀减速直线运动,通过ad段的时间为t,恰好停在e点,则汽车通过ae段的时间为(　　)
[A] (2+)t [B] (2-)t
[C] 2t [D] t
【答案】 C
【解析】 从e点逆向看,汽车做初速度为零的匀加速直线运动,由于a、b、c、d、e是五个连续等距的桥墩,故ad∶de=3∶1,所以ad段时间与de段时间相等均为t,故汽车通过ae段时间为2t,A、B、D错误,C正确。
8.(6分)(多选)弹道凝胶是用来模拟测试子弹对人体破坏力的一种凝胶,它的密度、性状等物理特性都非常接近于人体肌肉组织。某实验者在桌面上紧挨着放置 8块完全相同的透明凝胶,枪口对准凝胶的中轴线射击,子弹即将射出第8块凝胶时速度恰好减为0,子弹在凝胶中运动的总时间为t,假设子弹在凝胶中的运动可看作匀减速直线运动,子弹可看作质点,则以下说法正确的是(　　)
[A] 子弹穿透第6块凝胶时,速度为刚射入第1块凝胶时的一半
[B] 子弹穿透前2块凝胶所用时间为t
[C] 子弹穿透前2块凝胶所用时间为t
[D] 子弹穿透第1块与最后1块凝胶的平均速度之比为(-)∶1
【答案】 AC
【解析】 因为子弹做匀减速直线运动,可将其视为反向的初速度为0的匀加速直线运动,连续两段相等时间内的位移之比为x1∶x2=1∶3=2∶6,即射穿第6块时,恰为全程时间中点,速度为全程的平均速度=,即初速度的一半,故A正确;将 8块凝胶分为四等份,根据连续相等位移的时间比为t1′∶t2′∶t3′∶t4′=(-)∶(-)∶(-1)∶1,则第一份长度的时间相对总时间的占比为t1′=t,故 B错误,C正确;因每块凝胶大小一致,若设穿透最后一块凝胶的时间为 1 s,则穿透第一块凝胶的时间应为(-) s,则平均速度之比应为 (+)∶1,则D错误。
9.(4分)(2025·四川成都月考)如图所示,汽车从A到B做匀加速直线运动。已知汽车经过A点时速度为2 m/s,经过B点时速度为8 m/s,AB间距离为L。则下列说法正确的是(　　)
[A] 汽车经过AB中间时刻的速度是 m/s
[B] 汽车经过AB位移中点时的速度是5 m/s
[C] 若汽车前一半位移所用时间为t1,后一半位移所用时间为t2,则t1∶t2=1∶(-1)
[D] 若汽车前一半时间发生位移为x1,后一半时间发生位移为x2,则x1∶x2=7∶13
【答案】 D
【解析】 汽车经过AB中间时刻的速度==5 m/s,故A错误;设中间位置的速度为v,则v2-=2ax,-v2=2ax,解得v== m/s,故B错误;前一半位移内的平均速度v1== m/s,后一半位移内的平均速度v2== m/s,根据x=vt知,汽车在前一半位移所用的时间与后一半位移所用的时间之比为==,故C错误;前一半时间内的平均速度 ==3.5 m/s,后一半时间内的平均速度 ==6.5 m/s,根据x=vt知,前一半时间内的位移与后一半时间内的位移之比为==,故D正确。
10.(6分)(多选)如图,物体自O点由静止开始做匀加速直线运动,A、B、C、D为其运动轨迹上的四点,测得AB=3 m,BC=4 m。且物体通过AB、BC、CD所用时间相等,则下列说法正确的是(　　)
[A] 可以求出物体加速度的大小
[B] 可以求得CD=5 m
[C] 可求得OA之间的距离为2.25 m
[D] 可求得OA之间的距离为3.125 m
【答案】 BD
【解析】 由推论Δx=aT2可得BC-AB=aT2,已知AB=3 m,BC=4 m,由于时间间隔T未知,故不能求出加速度大小,故A错误;物体通过AB、BC、CD所用时间相等,由推论Δx=aT2可得CD-BC=BC-AB,可得CD=2BC-AB=2×4 m-3 m=5 m,故B正确;由于物体通过AB、BC所用时间相等,所以物体经过B点的瞬时速度等于AC段的平均速度,则有vB=,由速度位移公式得=2a·OB,由于BC-AB=aT2,联立解得OB=6.125 m,故OA=OB-AB=
6.125 m-3 m=3.125 m,故C错误,D正确。
11.(15分)从光滑斜面上某一位置,每隔0.1 s释放一个相同的小球,在连续放下几个以后,对在斜面上运动的小球拍下照片,如图所示,测得AB=15 cm,BC=20 cm,求:
(1)小球的加速度大小;
(2)拍摄时B球的速度大小vB;
(3)D球与C球的距离;
(4)A球上面正在运动的球的数量。
【答案】 (1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)25 cm　(4)2
【解析】 解本题的关键是将同一时刻的多个小球的照片转化为同一小球的频闪照片研究。
(1)根据BC-AB=aT2,
得a=5 m/s2。
(2)根据vB=,
得vB=1.75 m/s。
(3)根据CD-BC=BC-AB,
得CD=25 cm。
(4)根据vB=at得t=0.35 s,显然A球已运动了0.25 s,故A球上面正在运动的球还有2个。

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