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(共29张PPT)
微专题2　运动图像和追及、相遇问题
[定位·学习目标]　
1.进一步熟练掌握匀变速直线运动公式的应用。2.理解追及相遇问题中物体速度、位移变化,根据位移关系列方程,解决实际问题。3.熟练掌握追及相遇问题的x-t、v-t图像的特点。
突破·关键能力
要点一　运动图像问题
x-t图像与v-t图像的比较
「要点归纳」
x-t图像 v-t图像
①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v) ①表示物体做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
②表示物体静止 ②表示物体做匀速直线运动
③表示物体向反方向做匀速直线运动,初位置为x0 ③表示物体做匀减速直线运动,初速度为v0
④交点的纵坐标表示三个物体相遇时的位置 ④交点的纵坐标表示三个运动物体某时刻有共同速度
⑤t1时间内物体的位移为x1 ⑤t1时刻物体的速度为v1(图中阴影部分面积表示物体在0～t1时间内的位移)
[例1] (多选)在图1、图2所示的位移(x)—时间(t)图像和速度(v)—时间(t)图像中,给出的四条图线甲、乙、丙、丁分别代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况,则下列说法正确的是( 　　)
[A] 甲、乙两车做曲线运动,丙、丁两车做直线运动
[B] t1～t2时间内,甲车通过的位移等于乙车通过的位移
[C] t1～t2时间内,丙车通过的位移大于丁车通过的位移
[D] t1～t2时间内,丙、丁两车的加速度均先增大后减小
「典例研习」
BC
【解析】 x-t图像和v-t图像描述的都是物体的直线运动,所以甲、乙、丙、丁四车都做直线运动,故 A错误;甲、乙两车在t1和t2的位置分别相同,所以t1～t2时间内,甲车通过的位移等于乙车通过的位移,故B正确;v-t图像与坐标轴所围的面积表示位移,所以t1～t2时间内,丙车通过的位移大于丁车通过的位移,故C正确;v-t图像的斜率表示加速度,所以t1～t2时间内,丙、丁两车的加速度均先减小后增大,故D错误。
·规律方法·
匀变速直线运动图像的解题技巧
一画:根据图像画出物体运动示意图,使运动过程直观清晰。
二选:根据图像确定各物理量的具体意义,选取合适的公式求解。
三注意:注意列运动学方程时,方程式中每一个物理量均对应图像中的同一运动过程。
要点二　追及、相遇问题
「要点归纳」
1.追及和相遇问题的概述
当两个物体在同一直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,所以两物体之间的距离会不断发生变化,这时就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题。
2.追及、相遇的两种情境
(1)速度小者追速度大者。
类型 图像 说明
匀加速 追匀速 ①t=t0以前,后面物体与前面物体间距离增大;
②t=t0时,两物体相距最远为x0+Δx;
③t=t0以后,后面物体与前面物体间距离减小;
④能追上且只能相遇一次。
注意:x0为开始时两物体间的距离
匀速追 匀减速
匀加速追 匀减速
(2)速度大者追速度小者。
类型 图像 说明
匀减 速追 匀速 开始追时,后面物体与前面物体间距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻:
①若Δx=x0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件;
②若Δx③若Δx>x0,则相遇两次,设t1时刻Δx1=x0,两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇。
注意:x0为开始时两物体间的距离
匀速 追匀 加速
匀减 速追匀 加速
3.追及、相遇的处理方法
(1)一个关键:两者速度相等及变化关系,往往是物体间能否追上或距离最大、最小的临界条件,也是此后判断靠近或远离的关键。
(2)两个关系:时间关系和位移关系,这两个关系可通过画草图得到。
[例2] 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间,一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。
(1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远 此时的距离是多少
「典例研习」
【答案】 (1)2 s　6 m
(2)汽车经多长时间追上自行车 追上自行车时汽车的瞬时速度是多大
【答案】 (2)4 s　12 m/s
·规律方法·
常用解题方法
(1)物理分析法:抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,建立物体运动关系的图景,并画出运动情况示意图,找出位移关系。
(2)图像分析法:将两者的v-t图像在同一坐标系中画出,然后利用图像求解。
(3)数学极值法:设从开始至相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次(须要求t>0);若Δ=0,说明刚好追上或相遇;若Δ<0,说明追不上或不能相遇。
检测·学习效果
1.(2023·江苏卷)电梯上升过程中,某同学用智能手机记录了电梯速度随时间变化的关系,如图所示。电梯加速上升的时段是(　　)
[A] 从20.0 s到30.0 s
[B] 从30.0 s到40.0 s
[C] 从40.0 s到50.0 s
[D] 从50.0 s到60.0 s
A
【解析】 因记录的是电梯上升过程的速度—时间图像,可知电梯加速上升的时间段为20.0 s到30.0 s,故A正确。
2.(2023·全国甲卷)一小车沿直线运动,从t=0开始由静止匀加速至t=t1时刻,此后做匀减速运动,到t=t2时刻速度降为零。在下列小车位移x与时间t的关系曲线中,可能正确的是(　　)
D
[A] [B]　 　 [C] [D]
【解析】 在x-t图像中图线的斜率表示速度,小车先做匀加速运动,因此速度变大,即0～t1时间内图像斜率变大,小车在t1～t2时间内做匀减速运动,则图像的斜率变小,在t2时刻停止,图像的斜率变为零,选项D正确。
3.在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动,它们的速度—时间图像如图所示,则(　　)
[A] 甲、乙两车同时从静止开始出发
[B] 在t=2 s时乙车追上甲车
[C] 在t=4 s时乙车追上甲车
[D] 甲、乙两车在公路上可能相遇两次
C
【答案】 (1)56 m
4.(2025·江苏无锡期中)在平直的公路上有两辆汽车同时同向做匀速运动,
B车在前,A车在后,A车的速度大小为v1=8 m/s,B车的速度大小为v2=20 m/s。当A、B两车相距x0=20 m时,B车因前方突发情况紧急刹车,已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动,加速度大小为a=2 m/s2,从此时开始计时,
(1)求A车追上B车之前,两者相距的最远距离;
(2)求A车追上B车所用的时间;
【答案】 (2)15 s　
(3)如果B车刹车后,为避免两车相撞,A车也要刹车,且加速度大小也为a=
2 m/s2,A车最迟在B车刹车后几秒接收到指令刹车
【答案】 (3)13 s
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[定位·学习目标]　1.进一步熟练掌握匀变速直线运动公式的应用。2.理解追及相遇问题中物体速度、位移变化,根据位移关系列方程,解决实际问题。3.熟练掌握追及相遇问题的x-t、v-t图像的特点。
要点一　运动图像问题
要点归纳
　x-t图像与v-t图像的比较
x-t图像 v-t图像
①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v) ①表示物体做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
②表示物体静止 ②表示物体做匀速直线运动
③表示物体向反方向做匀速直线运动,初位置为x0 ③表示物体做匀减速直线运动,初速度为v0
④交点的纵坐标表示三个物体相遇时的位置 ④交点的纵坐标表示三个运动物体某时刻有共同速度
⑤t1时间内物体的位移为x1 ⑤t1时刻物体的速度为v1(图中阴影部分面积表示物体在0～t1时间内的位移)
典例研习
[例1] (多选)在图1、图2所示的位移(x)—时间(t)图像和速度(v)—时间(t)图像中,给出的四条图线甲、乙、丙、丁分别代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况,则下列说法正确的是(　　)
[A] 甲、乙两车做曲线运动,丙、丁两车做直线运动
[B] t1～t2时间内,甲车通过的位移等于乙车通过的位移
[C] t1～t2时间内,丙车通过的位移大于丁车通过的位移
[D] t1～t2时间内,丙、丁两车的加速度均先增大后减小
【答案】 BC
【解析】 x-t图像和v-t图像描述的都是物体的直线运动,所以甲、乙、丙、丁四车都做直线运动,故 A错误;甲、乙两车在t1和t2的位置分别相同,所以t1～t2时间内,甲车通过的位移等于乙车通过的位移,故B正确;v-t图像与坐标轴所围的面积表示位移,所以t1～t2时间内,丙车通过的位移大于丁车通过的位移,故C正确;v-t图像的斜率表示加速度,所以t1～t2时间内,丙、丁两车的加速度均先减小后增大,故D错误。
匀变速直线运动图像的解题技巧
一画:根据图像画出物体运动示意图,使运动过程直观清晰。
二选:根据图像确定各物理量的具体意义,选取合适的公式求解。
三注意:注意列运动学方程时,方程式中每一个物理量均对应图像中的同一运动过程。
要点二　追及、相遇问题
要点归纳
1.追及和相遇问题的概述
当两个物体在同一直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,所以两物体之间的距离会不断发生变化,这时就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题。
2.追及、相遇的两种情境
(1)速度小者追速度大者。
类型 图像 说明
匀加速 追匀速 ①t=t0以前,后面物体与前面物体间距离增大; ②t=t0时,两物体相距最远为x0+Δx; ③t=t0以后,后面物体与前面物体间距离减小; ④能追上且只能相遇一次。 注意:x0为开始时两物体间的距离
匀速追 匀减速
匀加速追 匀减速
(2)速度大者追速度小者。
类型 图像 说明
匀减 速追 匀速 开始追时,后面物体与前面物体间距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻: ①若Δx=x0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件; ②若Δxx0,则相遇两次,设t1时刻Δx1=x0,两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇。 注意:x0为开始时两物体间的距离
匀速 追匀 加速
匀减 速追匀 加速
3.追及、相遇的处理方法
(1)一个关键:两者速度相等及变化关系,往往是物体间能否追上或距离最大、最小的临界条件,也是此后判断靠近或远离的关键。
(2)两个关系:时间关系和位移关系,这两个关系可通过画草图得到。
典例研习
[例2] 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间,一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。
(1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远 此时的距离是多少
(2)汽车经多长时间追上自行车 追上自行车时汽车的瞬时速度是多大
【答案】 (1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
【解析】 (1)解法一　基本规律法
汽车与自行车的速度相等时两车相距最远,设此时经过的时间为t1,汽车的速度为v1,两车间的距离为Δxm,则有v1=at1=v自,
所以t1==2 s,Δxm=v自t1-a=6 m。
解法二　数学极值法
设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车间的距离为Δx=x1-x2=v自t1-a,
代入已知数据得Δx=6t1-,
由二次函数求极值的条件知t1=2 s时,Δx最大,最大值Δxm=6 m。
解法三　图像分析法
自行车和汽车运动的v-t图像如图所示,由图可以看出,在相遇前,t1时刻两车速度相等,两车相距最远,此时的距离为阴影三角形的面积。
t1===2 s,
Δxm===6 m。
(2)当两车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,汽车的瞬时速度为v2,
则有v自t2=a,
解得t2===4 s,
v2=at2=3 m/s2×4 s=12 m/s。
常用解题方法
(1)物理分析法:抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,建立物体运动关系的图景,并画出运动情况示意图,找出位移关系。
(2)图像分析法:将两者的v-t图像在同一坐标系中画出,然后利用图像求解。
(3)数学极值法:设从开始至相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次(须要求t>0);若Δ=0,说明刚好追上或相遇;若Δ<0,说明追不上或不能相遇。
1.(2023·江苏卷)电梯上升过程中,某同学用智能手机记录了电梯速度随时间变化的关系,如图所示。电梯加速上升的时段是(　　)
[A] 从20.0 s到30.0 s [B] 从30.0 s到40.0 s
[C] 从40.0 s到50.0 s [D] 从50.0 s到60.0 s
【答案】 A
【解析】 因记录的是电梯上升过程的速度—时间图像,可知电梯加速上升的时间段为20.0 s到30.0 s,故A正确。
2.(2023·全国甲卷)一小车沿直线运动,从t=0开始由静止匀加速至t=t1时刻,此后做匀减速运动,到t=t2时刻速度降为零。在下列小车位移x与时间t的关系曲线中,可能正确的是(　　)
　　
[A] [B]
　　
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 在x-t图像中图线的斜率表示速度,小车先做匀加速运动,因此速度变大,即0～t1时间内图像斜率变大,小车在t1～t2时间内做匀减速运动,则图像的斜率变小,在t2时刻停止,图像的斜率变为零,选项D正确。
3.在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动,它们的速度—时间图像如图所示,则(　　)
[A] 甲、乙两车同时从静止开始出发
[B] 在t=2 s时乙车追上甲车
[C] 在t=4 s时乙车追上甲车
[D] 甲、乙两车在公路上可能相遇两次
【答案】 C
【解析】 由题图可知,乙车比甲车迟出发1 s,故A错误;根据速度—时间图线与时间轴围成的面积表示位移知,t=2 s时,甲车的位移比乙车的位移大,乙车还没有追上甲车,故B错误;在0～4 s内,甲车的位移x甲=×8 m/s×4 s=16 m,乙车的位移x乙=×(1 s+3 s)×8 m/s=16 m,所以x甲=x乙,两者又是从同一位置沿着同一方向运动的,则在t=4 s时乙车追上甲车,故C正确;在t=4 s以后,甲车的速度比乙车的大,乙车做匀速直线运动,两车不可能再相遇,所以两车只相遇一次,故D错误。
4.(2025·江苏无锡期中)在平直的公路上有两辆汽车同时同向做匀速运动,B车在前,A车在后,A车的速度大小为v1=8 m/s,B车的速度大小为v2=20 m/s。当A、B两车相距x0=20 m时,B车因前方突发情况紧急刹车,已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动,加速度大小为a=2 m/s2,从此时开始计时,
(1)求A车追上B车之前,两者相距的最远距离;
(2)求A车追上B车所用的时间;
(3)如果B车刹车后,为避免两车相撞,A车也要刹车,且加速度大小也为a=2 m/s2,A车最迟在B车刹车后几秒接收到指令刹车
【答案】 (1)56 m　(2)15 s　(3)13 s
【解析】 (1)当A、B两车速度相等时,相距最远,
则v1=v2-at0,解得t0=6 s,
此过程中两车的位移分别为xA=v1t0=48 m,xB=t0=84 m,
所以两者相距的最远距离为xmax=x0+xB-xA=56 m。
(2)B车刹车停止运动所用时间为t1==10 s,
此过程中两车的位移分别为xA′=v1t1=80 m,xB′=t1=100 m,
由于x0+xB′>xA′,可知A车追上B车时,B车已停止运动,
所以t2==15 s。
(3)设A车最迟在B车刹车t3时间后,接收到指令刹车,根据题意可得
x0+xB′=v1t3+,
解得t3=13 s。
课时作业
(分值:60分)
考点一　运动图像
1.(4分)足球场上,某运动员进行“边路突破”训练,沿边线将足球向前踢出,为控制足球,又向前追赶足球,下列 vt 和xt图像能大致反映此过程的是(　　)
　　
[A] [B]
　　
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 运动员将足球向前踢出,由于地面有阻力作用,足球做匀减速运动,运动员向前追赶做加速运动,故A、B错误;xt图像的斜率表示速度,足球做减速运动,运动员做加速运动,且踢球时两者在同一位置,故C正确,D错误。
2.(4分)如图所示为一辆汽车在同一车道上测试刹车性能的位移—时间图像。第一次刹车距离为x1,所用时间为t1,第二次刹车距离为x2,设两次刹车过程加速度恒定且相同。则第二次刹车的初速度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 设刹车时的加速度大小为a,则两次刹车过程x1=a,=2ax2,解得v2=,故B正确,A、C、D错误。
3.(4分)如图所示是物体在某段运动过程中的vt图像,在t1和t2时刻的瞬时速度分别为v1和v2,则时间由t1到t2的过程中(　　)
[A] 物体做匀减速直线运动
[B] 物体的加速度逐渐增大
[C] 物体运动的平均速度小于
[D] 物体发生的位移大于
　【答案】 C
【解析】 vt图像切线的斜率表示加速度,由题图可知,切线斜率的绝对值逐渐减小,故加速度逐渐减小,物体做加速度减小的减速直线运动,故A、B错误;vt图像与坐标轴围成的面积表示位移,若运动为匀变速直线运动,位移等于梯形的面积,x=,平均速度等于初、末速度的平均值,=,由题图可知,该运动的位移小于匀变速直线运动的位移,根据=得,该运动的平均速度小于匀变速直线运动的平均速度,故C正确,D错误。
考点二　追及、相遇问题
4.(6分)(多选)(2025·河南阶段练习)水平地面上甲、乙两个物块如图1所示,其位移—时间图线如图2所示。已知甲的图线为一条顶点为(0,x0)的抛物线,乙的图线为一过原点的直线。两条图线其中一个交点的坐标为(t1,x1)。则下列说法正确的是(　　)
[A] t1时刻甲物块追上乙物块
[B] 甲物块在做匀加速直线运动,其加速度大小为
[C] 两物块第二次相遇的时间t2=
[D] 如果两个物块只相遇一次,则必有x1=2x0
【答案】 BD
【解析】 由题图2可知,乙物块做匀速直线运动,其速度v乙=,第一次相遇时,为乙追上甲的情形,A错误;由题意可知,甲做初速度为零的匀加速直线运动,根据x=x0+at2,将点坐标(t1,x1)代入可求出a=,B正确;两个物块相遇的条件为抛物线与直线相交,根据题意有x=x0+at2=v乙t,代入可知t2=,C错误;根据前面的相遇条件可知,当方程x0+at2=v乙t,有一个解时即相遇一次,即一元二次方程中Δ=0,解得x1=2x0,D正确。
5.(6分)(多选)甲、乙两物体先后从同一地点出发,沿同一条直线运动,它们的vt图像如图所示,由图可知(　　)
[A] 甲比乙运动快,且早出发,所以乙追不上甲
[B] t=20 s时,乙追上了甲
[C] t=20 s时,甲、乙之间的距离为乙追上甲前的最大距离
[D] 在t=20 s之前,甲比乙运动得快;在t=20 s之后,乙比甲运动得快
【答案】 CD
【解析】 由题图可知,乙在0～10 s内速度为零,甲先出发,但乙出发后做匀加速直线运动,甲做匀速直线运动,两物体出发地点相同,则乙可以追上甲,故 A错误;20 s内甲的速度一直大于乙的速度,故 20 s内甲的位移大于乙的位移,乙不可能追上甲,故B错误;在10～20 s内,甲的速度大于乙的速度,甲在乙的前方,两者距离逐渐增大,20 s后乙的速度大于甲的速度,两者距离逐渐减小,在t=20 s时两者距离最大,最大距离为s=(10×20-×10×10) m=150 m,故C、D正确。
6.(10分)随着智能手机的使用越来越广泛,一些人在驾车时也常常离不开手机。然而开车使用手机是一种分心驾驶的行为,极易引发交通事故。如图甲所示,一辆出租车在平直公路上以v0=20 m/s的速度匀速行驶,此时车的正前方x0=63.5 m 处有一电动三轮车,正以v1=
6 m/s速度匀速行驶,而出租车司机此时正低头看手机,3.5 s后才发现危险,司机立刻采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时,出租车的速度—时间图像如图乙所示,g取 10 m/s2。
(1)假若出租车前面没有任何物体,从出租车司机低头看手机到出租车停止运动的这段时间内,出租车前进的距离是多少
(2)通过计算判断三轮车是否被撞。若不会相撞,求二者间的最小距离。若会相撞,求从出租车刹车开始,经过多长时间二者相撞。
【答案】 (1)120 m　(2)会　0.6 s
【解析】 (1)根据题意可知,出租车先匀速t1=3.5 s,然后在反应时间t2=0.5 s内继续匀速,然后减速到停止,减速时间t3=4 s,
总位移为x=v0(t1+t2)+v0t3,
代入数据可得x=120 m。
(2)根据图像可知,出租车减速的加速度大小为
a===5 m/s2,
当两车速度相等时,刹车时间为Δt,有v0-aΔt=v1,
整理可得Δt=2.8 s,此过程出租车位移
x1=v0(t1+t2)+(v0+v1)Δt,
电动三轮车位移x2=v1(t1+t2+Δt),
代入数据可得,x1=116.4 m,x2=40.8 m,
因为x1-x2=116.4 m-40.8 m=75.6 m>63.5 m,故两车会相撞;设从出租车刹车开始,经过时间t′二者相撞,根据位移关系有
v0(t1+t2)+v0t′-at′2=x0+v1(t1+t2+t′),
整理代入数据可得t′=0.6 s。
7.(4分)如图甲所示为甲物体做直线运动的xt图像,如图乙所示为乙物体做直线运动的
vt图像。关于甲、乙两物体在前8 s内的运动,下列说法正确的是(　　)
[A] 前6 s甲的位移为6 m
[B] 6 s末乙的加速度方向改变
[C] 0～4 s甲的加速度等于乙的加速度
[D] 0～8 s内乙的平均速度是甲平均速度的2倍
【答案】 D
【解析】 由xt图像可知,前6 s甲的位移为0,故 A错误;由vt图像的斜率表示加速度,可知4～8 s 内乙的加速度一直为负方向,故B错误;由xt图像可知,0～4 s内甲做匀速直线运动,加速度为0;由vt图像可知,0～4 s内乙的加速度为a===0.5 m/s2,故C错误;由xt图像可知,0～8 s内甲的平均速度大小为=||== m/s,由vt图像可知,0～8 s内乙的位移大小为x乙=(×2×6-×2×2) m=4 m,则0～8 s内乙的平均速度大小为==
= m/s,可知0～8 s内乙的平均速度是甲平均速度的2倍,故D正确。
8.(4分)地铁作为一种快速、高效的公共交通工具,大大减轻了道路交通压力。地铁站间距短需要频繁启停,为缩短区间的运行时间需要较大的启动加速度。t=0 时刻,一列高速列车和一列地铁沿各自所在的长直轨道由静止启动,0～240 s内的vt图像如图所示。下列说法正确的是(　　)
[A] 甲是地铁的vt图像,乙是高速列车的vt图像
[B] 地铁和高速列车加速过程的加速度大小之比为 5∶3
[C] 地铁和高速列车加速过程的平均速度大小之比为 3∶1
[D] 0～240 s内,地铁和高速列车的位移大小之比为 5∶8
【答案】 D
【解析】 由题意知,地铁的启动加速度大,故其vt图像斜率大,所以甲是高速列车的vt图像,乙是地铁的vt图像,则地铁和高速列车加速过程的加速度大小之比为==,故A、B错误;根据匀变速直线运动平均速度=可得,高速列车加速过程的平均速度大小= km/h=150 km/h,地铁加速过程的平均速度大小= km/h=50 km/h,则地铁和高速列车加速过程的平均速度大小之比为∶=1∶3,故C错误;0～240 s内,地铁和高速列车的位移大小之比为==,故D正确。
9.(4分)(2025·安徽滁州期中)蓝牙耳机可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接,无线连接的最远距离为10 m。甲和乙两名同学做了一个有趣的实验:如图1所示,甲佩戴蓝牙耳机,乙携带手机检测,甲、乙在同一条直道上,相距2 m,同时向右运动,甲做匀速直线运动,乙从静止开始先做匀加速直线运动,再做匀速直线运动,其速度v随时间t的关系图像如图2所示,则在运动过程中,手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为(　　)
[A] 13 s [B] 14 s
[C] 15 s [D] 16 s
【答案】 C
【解析】 根据题图2知,第4 s时甲、乙速度相等,则前4 s内甲、乙的距离增大,第4 s时距离最大,由vt图像可得x甲=4×4 m=16 m,x乙=×4×4 m=8 m,第4 s时二者相距s=16 m+
2 m-8 m=10 m,故前4 s内蓝牙耳机都能被连接;第 4 s后乙的速度超过甲,二者距离缩短,至第6 s时,有x甲′=4×6 m=24 m,x乙′=×6×6 m=18 m,第6 s时二者相距s′=24 m+2 m-18 m=
8 m,此后二者均做匀速直线运动,设乙追上甲并超过甲10 m需要的时间为t′,则有6t′-4t′=
8 m+10 m,解得t′=9 s,则手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为6 s+9 s=15 s。故选C。
10.(14分)甲车在一条限速为72 km/h的平直公路上行驶时,发现前方路边有一辆乙车在停车休息,于是甲车开始减速,当甲车刚通过乙车位置时,甲车又开始加速,恢复到原来行驶速度后继续向前匀速行驶,以甲车减速开始计时,甲的vt图像如图1所示。在甲车刚通过乙车位置时,乙车司机发现甲车车身有异物影响行车安全,立即启动乙车前去追赶甲车,启动时间和司机反应时间不计,乙车加速阶段的xt图像是一条顶点在原点的抛物线(以乙车启动开始计时),如图2所示,乙车加速到公路限速值后以限速值匀速运动。求:
(1)甲车开始减速时距乙车的距离x1和乙车加速过程的加速度大小a乙;
(2)从乙车启动到追上甲车,两车的最大距离Δx;
(3)从乙车启动到追上甲车需要的时间(结果保留3位有效数字)。
【答案】 (1)25 m　3 m/s2　(2)32.5 m　(3)12.3 s
【解析】 (1)由题图1得,甲车减速过程初速度 v0甲=15 m/s,末速度v甲=10 m/s,减速时间t1=2 s,甲车开始减速时距乙车的距离为x1=·t1=25 m,
乙车做匀加速直线运动,则x2=a乙,
代入x2=24 m,t2=4 s,得a乙=3 m/s2。
(2)甲车达到15 m/s后做匀速直线运动,则当乙车速度为15 m/s时,两车距离最大,设乙车速度达到 15 m/s 所用时间为t3,则t3===5 s,由题意可知当甲车刚通过乙车位置时,甲车的速度为10 m/s,2 s时间后甲车速度为15 m/s,之后匀速运动,由题图1可得甲车加速过程的位移与减速过程位移相等,t3时间内,甲车的位移为
x甲=x1+v0甲(t3-t1)=25 m+15 m/s×(5 s-2 s)=70 m,
乙车的位移为
x乙=a乙=×3 m/s2×(5 s)2=37.5 m,
两车的最大距离
Δx=x甲-x乙=70 m-37.5 m=32.5 m。
(3)最大限速vm=72 km/h=20 m/s,
乙车达到最大限速的时间为t4== s,
t4时间内乙车的位移为
x乙′=a乙=×3 m/s2×( s)2= m,
t4时间内甲车的位移为
x甲′=x甲+v(t4-t3)
=70 m+15 m/s×(-5) s
=95 m,
x乙′代入数据解得t5= s,
则从乙车启动到追上甲车需要的时间t总=t4+t5= s+ s≈12.3 s。

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