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2　匀变速直线运动的速度与时间的关系
[定位·学习目标]　1.通过对匀变速直线运动的学习,理解匀变速直线运动的特点,形成物理观念。2.通过对匀变速直线运动的速度公式的学习,掌握应用速度公式分析、解决实际问题的能力。
知识点一　匀变速直线运动
探究新知
1.定义:沿着一条直线,且加速度不变的运动。
2.v-t图像特点:v-t图像是一条倾斜的直线。
3.分类
(1)匀加速直线运动:速度随时间均匀增加。
(2)匀减速直线运动:速度随时间均匀减小。
正误辨析
(1)加速度不变的运动就是匀变速直线运动。(　×　)
(2)匀变速直线运动的加速度不变。(　√　)
(3)匀变速直线运动一定是速度均匀增大的运动。(　×　)
(4)匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线。(　√　)
知识点二　速度与时间的关系
探究新知
1.速度与时间的关系式:v=v0+at。
2.理解:加速度a在数值上等于单位时间内速度的变化量,所以at就是t时间内速度的变化量,再加上运动开始时物体的速度v0,就得到t时刻物体的速度v。
正误辨析
(1)公式v=v0+at适用于任何做直线运动的物体。(　×　)
(2)公式v=v0+at既适用于匀加速直线运动,也适用于匀减速直线运动。(　√　)
(3)在匀变速直线运动中,由公式v=v0+at可知,经过相同时间t,v0越大,则v越大。(　×　)
(4)加速度不变且为负值的直线运动一定是匀减速直线运动。(　×　)
要点一　对速度公式的理解和应用
情境探究
如图,2023年5月28日12点31分,东方航空MU9191航班平稳降落在北京首都国际机场。执行这一航班的是全球首架交付的国产大飞机C919——我国首次按照通行通航标准自行研制具有自主知识产权的喷气式干线客机,C919圆满完成首个商业航班飞标,标志着该机型正式进入民航市场,开启市场化运营、产业化发展的新征程。
探究:(1)如果将C919大型客机在地面上滑行起飞的过程看作是匀加速直线运动,其运动的速度与时间有什么关系
(2)若C919大型客机的起飞速度为306 km/h,滑行过程中的加速度为2.5 m/s2,其在跑道上滑行的时间与哪些物理量有关 怎样计算该时间
【答案】 (1)速度与时间的关系为v=v0+at。
(2)与加速度、起飞速度有关。可由v=v0+at得t=,而v0=0,v=306 km/h=85 m/s,则t==34 s。
要点归纳
1.对公式v=v0+at的理解
(1)各量的物理意义:v0是开始时刻的速度,称为初速度;v是经时间t后的速度,称为末速度;at是在时间t内的速度变化量,即Δv=at。
(2)适用条件:匀变速直线运动。
2.公式v=v0+at的应用
公式v=v0+at中的v、v0、a均为矢量,应用公式解题时,应先选取正方向,一般以v0的方向为正方向。
①若加速度方向与正方向相同,则加速度取正值;若加速度方向与正方向相反,则加速度取负值。
②若计算出v为正值,则表示末速度方向与初速度的方向相同;若v为负值,则表示末速度方向与初速度的方向相反。
典例研习
[例1] (速度公式的应用)电动平衡车(如图)是一种新型交通工具,它通过内置的一对陀螺仪来实现平衡,而它的速度则是由倾斜程度来控制的,想要加速则向前倾,减速和后退则向后倾。某人骑着一款电动平衡车从静止开始,以大小为1.2 m/s2的加速度沿直线匀加速运动了6 s,又以大小为0.8 m/s2的加速度沿直线匀减速运动了4 s,然后做匀速直线运动。则电动平衡车做匀速直线运动的速度是多大
【答案】 4 m/s
【解析】 电动平衡车匀加速运动6 s,有v1=v0+a1t1,
解得v1=7.2 m/s;
电动平衡车匀减速运动4 s,有v2=v1-a2t2,
解得v2=4 m/s,
即电动平衡车做匀速直线运动的速度v3=v2=4 m/s。
[例2] (刹车类问题)一辆汽车以72 km/h的速度在平直公路上匀速行驶。10 s末因故突然紧急刹车,随后汽车逐渐停了下来。刹车时汽车做匀减速直线运动的加速度大小为5 m/s2。求:
(1)刹车后2 s汽车的速度大小;
(2)刹车后5 s汽车的速度大小。
【答案】 (1)10 m/s　(2)0
【解析】 (1)选取汽车运动的方向为正方向,汽车的初速度为v0=72 km/h=20 m/s,
汽车刹车时的加速度a=-5 m/s2,
刹车后2 s汽车的速度大小为v1=v0+at1=20 m/s-5 m/s2×2 s=10 m/s。
(2)汽车刹车后停下来所用时间为t2===4 s<5 s,
即刹车后4 s汽车已经停下,
故刹车后5 s汽车速度为0。
应用速度公式v=v0+at的解题思路
(1)规定一个方向为正方向,一般以初速度方向为正方向。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正负。
(3)利用公式v=v0+at或其变形式求未知量。
(4)根据计算结果说明所求量,矢量要说明方向。
(5)求解过程注意联系实际,如刹车类问题要注意刹车过程中汽车减速到零所用的时间。
要点二　对v-t图像的理解和应用
情境探究
甲、乙、丙、丁四个物体运动的v-t图像分别如图所示。
探究:(1)四个物体分别做什么运动
(2)在乙、丙、丁图中,加速度不变的物体是哪个 在乙和丁图中,物体的运动有什么不同
【答案】 (1)甲物体做匀速直线运动;乙物体做初速度不为0的匀加速直线运动;丙物体做匀减速直线运动直至速度变为0;丁物体做由静止开始的加速度逐渐变大的变加速直线
运动。
(2)乙、丙物体的v-t图线斜率不变,加速度不变,速度随时间均匀变化;丁物体的v-t图线斜率变大,加速度变大,速度增加得越来越快。
要点归纳
1.匀速直线运动的v-t图像
如图甲所示,由于匀速直线运动的速度不随时间改变,因而v-t图像是一条平行于时间轴的直线。从图像中可以直接读出速度的大小和方向。
2.匀变速直线运动的v-t图像
如图乙所示,匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线。
(1)直线a反映了速度随着时间均匀增加,对应初速度不为0的匀加速直线运动。
(2)直线b反映了速度随着时间均匀减小,对应初速度不为0的匀减速直线运动。
(3)直线c反映了速度随着时间先均匀减小,后均匀增大,由于加速度不变,整个运动过程也是匀变速直线运动,t1时刻前后运动方向发生改变。
(4)直线d反映了速度随着时间均匀减小,对应与正方向相反的方向上的匀减速直线运动。
3.对v-t图像的理解
通过v-t图像,可以明确以下信息:
图线某 点的坐标 纵坐标 表示瞬时速度,正负值表示 速度方向与正方向相同或相反
横坐标 表示某速度对应的时刻
图线的 斜率 正负号 表示加速度的方向
绝对值 表示加速度的大小
图线与坐标 轴的交点 纵截距 表示初速度
横截距 表示开始运动、速度为零或方向改变的时刻
图线的拐点 表示运动性质、加速度改变的时刻
两图线的交点 表示此刻速度相等
典例研习
[例3] (多选)(2025·甘肃武威开学考试)某运动物体的速度—时间图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
[A] 物体在0～2 s内的加速度是2.5 m/s2,2～4 s内加速度为零,4～6 s内加速度是-10 m/s2
[B] 物体在0～5 s内始终向同一方向运动
[C] 物体在前2 s的平均速度为8 m/s
[D] 物体以某初速度开始运动,在0～2 s内加速运动,2～4 s内匀速运动,4～6 s内减速运动
【答案】 AB
【解析】 v-t图像的斜率表示加速度,得物体在0～2 s内的加速度a1===
2.5 m/s2,2～4 s内的加速度为零,4～6 s内的加速度a2=()′==-10 m/s2,故A正确;物体在0～5 s内速度始终为正值,所以始终向同一方向运动,故B正确;物体在前2 s的平均速度==7.5 m/s,故C错误;物体以某初速度开始运动,在0～2 s内加速运动,2～4 s内匀速运动,4～6 s内先沿正方向减速运动后沿负方向加速运动,故D错误。
应用v-t图像时的注意事项
(1)加速度是否变化看有无折点:在折点位置,图线的倾斜程度改变,表示此时刻物体的加速度改变。若v-t图像为曲线,可认为曲线上处处是折点,加速度时刻在改变。
(2)速度方向是否改变看与时间轴有无交点:在与时间轴的交点位置前后,纵坐标的符号改变,表示物体的速度方向改变。
多运动过程的策略提炼
核心归纳
解答匀变速直线运动的多过程问题,可先画出运动过程草图,在草图上标上已知量,注意不同阶段的运动特点,找出转折点的速度,这是联系前后阶段的“桥梁”,再确定各阶段的速度、加速度及时间关系,最后选择公式计算。
典例研习
[例题] 一辆汽车从静止开始匀加速开出,然后保持匀速运动,最后匀减速运动,直到停止。下表给出了不同时刻汽车的速度,求:
时刻/s 1.0 2.0 3.0 5.0 7.0 9.5 10.5
速度/ (m·s-1) 3 6 9 12 12 9 3
(1)汽车做加速运动时的加速度大小和减速运动时的加速度大小;
(2)汽车从开出到停止共经历的时间;
(3)汽车做匀速运动的时间。
【答案】 (1)3 m/s2　6 m/s2　(2)11 s　(3)5 s
【解析】 (1)3.0 s前汽车一定做匀加速运动,9.5 s后一定做匀减速运动,则1.0 s时速度v1=
3 m/s,3.0 s时速度v2=9 m/s,
根据v2=v1+a1t1得加速运动的加速度a1=3 m/s2,方向与运动方向相同;
9.5 s时的速度v3=9 m/s,10.5 s时的速度v4=3 m/s,根据v4=v3+a2t2得减速运动的加速度a2=-6 m/s2,即大小为6 m/s2,方向与运动方向相反。
(2)对9.5 s后分析,需再经t3停下,对9.5 s后,根据0=v3+a2t3得t3=1.5 s,
汽车从开出到停止共经历的时间t总=9.5 s+t3=11 s。
(3)汽车先匀加速,后匀速,再匀减速,总时间为11 s,由表格可知,匀速时速度为12 m/s,同时也为匀加速的末速度和匀减速的初速度。
所以匀加速过程的时间t4===4 s,
匀减速过程的时间t5===2 s,
汽车做匀速运动的时间t6=t总-t4-t5=11 s-4 s-2 s=5 s。
1.对匀变速直线运动的理解,下列说法正确的是(　　)
[A] 匀变速直线运动是速度越来越大的运动
[B] 匀变速直线运动是在任意相等的时间内速度变化相等的运动
[C] 匀变速直线运动是速度保持不变的运动
[D] 匀变速直线运动是速度方向保持不变的运动
【答案】 B
【解析】 匀变速直线运动的加速度不变,速度均匀变化,速度方向可能改变,根据Δv=a·Δt知,在任意相等时间内速度变化量相等,匀加速直线运动速度越来越大,匀减速直线运动速度越来越小,故A、C、D错误,B正确。
2.质点做匀加速直线运动,初速度为v0=2 m/s,加速度a=0.1 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 质点的加速度均匀增大
[B] 质点的速度随时间均匀增大
[C] 质点第4 s末的速度为1.6 m/s
[D] 每经过1 s时间,物体速度就增大0.2 m/s
【答案】 B
【解析】 加速度a=0.1 m/s2,所以质点的加速度不变,故A错误;质点做匀加速直线运动,速度随时间均匀增大,故B正确;根据匀变速直线运动的速度—时间公式,质点第4 s末的速度为v=v0+at=2 m/s+0.1 m/s2×4 s=2.4 m/s,故C错误;加速度为0.1 m/s2,每经过1 s时间,物体速度就增大0.1 m/s,故D错误。
3.(教材改编)如图所示,是一个物体运动的v-t图像,则在t1～t4时间内,下列说法正确的是(　　)
[A] 物体运动的速度先增大后减小
[B] 物体运动的加速度减小
[C] 物体做匀变速直线运动
[D] 在相等时间间隔内,速度的变化量Δv′和Δv总是相等
【答案】 B
【解析】 根据题图可知,速度随时间逐渐增大,故物体的速度增大,故A错误;从图像看出,在相同的Δt内,速度变化量从Δv变为Δv′,速度变化量逐渐变小,根据加速度的定义a=可知,加速度减小,物体做加速度减小的变加速直线运动,故B正确,C、D错误。
4.物体甲、乙在同一直线上做匀变速直线运动,它们的v-t图像如图所示,则(　　)
[A] 物体甲、乙的运动方向一定相反
[B] 物体甲、乙在0～2 s内的位移相同
[C] 物体甲、乙在t=4 s时相遇
[D] 物体甲的加速度比物体乙的加速度小
【答案】 D
【解析】 由题图可知两物体的速度始终都为正值,所以两物体均沿正方向运动,故物体甲、乙运动方向一定相同,故A错误;0～2 s内物体乙的速度一直大于物体甲的速度,可知0～
2 s内乙的位移大于甲的位移,故B错误;4 s时两物体的图像相交,说明此时两物体的速度相同,由于不知道开始时位置的关系,所以二者不一定相遇,故C错误;由v-t图像斜率的绝对值表示加速度大小,则有甲的斜率小于乙的斜率的绝对值,说明甲的加速度比乙要小,故D正确。
5.(2025·安徽淮南阶段练习)如图甲所示,t=0时,质量为0.5 kg的物体从倾角α=37°的斜面上A点由静止开始下滑,经过B点后进入水平面(经过B点前后速度大小不变),最后停在C点。运动过程中速度的大小随时间的变化如图乙所示,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求物体在斜面上的加速度a1和在水平面上的加速度a2。
(2)物体从开始下滑,经过多长时间恰好停在C点
(3)物体到达斜面底端B时的速度大小是多少
【答案】 (1)4 m/s2,方向沿斜面向下　2 m/s2,方向水平向左　(2)10 s　(3) m/s
【解析】 (1)速度—时间图像的斜率表示加速度,由图像可得物体在斜面上的加速度为
a1===4 m/s2,方向沿斜面向下;
在水平面上的加速度为a2===-2 m/s2,
负号表示方向水平向左。
(2)物体在6 s时的速度为8 m/s,由速度公式可得0=v6+a2t,
解得t=4 s,
则经过时间tC=t+6 s=10 s,
物体恰好停在C点。
(3)物体在6 s时的速度为8 m/s,设物体经过B点的速度为v,则t′=+,
解得v= m/s。
课时作业
(分值:70分)
考点一　对匀变速直线运动的理解
1.(6分)(多选)关于匀变速直线运动,下列说法正确的是(　　)
[A] 匀变速直线运动的加速度恒定不变
[B] 相邻的相同时间间隔内的位移相等
[C] 在任何相等的时间Δt内的速度变化Δv都相等
[D] 速度与运动时间成正比
【答案】 AC
【解析】 匀变速直线运动的速度随时间均匀变化,加速度恒定不变,故A正确;由于速度不断变化,相邻的相同时间间隔内的位移一定不等,故B错误;根据加速度的定义式a=,可知a不变,Δv∝Δt,则在任何相等的时间Δt内的速度变化Δv都相等,故C正确;由速度公式v=v0+at,知若v0=0,v=at,v∝t;若v0≠0,v与t不成正比,故D错误。
2.(4分)关于匀变速直线运动,下列说法正确的是(　　)
[A] 匀变速直线运动是相等时间内通过的位移相等的运动
[B] 匀减速直线运动的加速度一定为负
[C] 匀减速直线运动的速度和加速度的方向一定是相反的
[D] 在匀减速直线运动中,速度和位移一定都随时间的增加而减小
【答案】 C
【解析】 匀速直线运动是相等时间内通过的位移相等的运动,匀变速直线运动相等时间内通过的位移不相等,故A错误;若物体的速度为负方向,物体做匀减速直线运动,则物体的加速度为正,故B错误;匀减速直线运动的速度和加速度的方向一定是相反的,故C正确;在匀减速直线运动中,速度减至零之前,速度随时间的增加而减小,位移随时间的增加而增大,故D错误。
考点二　对速度与时间关系式v=v0+at的理解和应用
3.(4分)匀加速直线运动的物体,在第3 s末速度为 12 m/s,在第6 s初速度为18 m/s,此物体的加速度大小和初速度大小分别为(　　)
[A] 4 m/s2;0 m/s [B] 3 m/s2;3 m/s
[C] 1 m/s2;6 m/s [D] 2 m/s2;6 m/s
【答案】 B
【解析】 由运动学公式可得第3 s末速度为v3=v0+at3,第6 s初即第5 s末速度为v5=v0+at5,代入数据联立可得v0=3 m/s,a=3 m/s2,故A、C、D错误,B正确。
4.(4分)某型号的新能源电动汽车在一次刹车测试中,初速度为20 m/s,经过4 s汽车停止运动。若将该过程视为匀减速直线运动,可以分析出汽车在刹车2 s后的速度为(　　)
[A] 5 m/s [B] 10 m/s
[C] 15 m/s [D] 16 m/s
【答案】 B
【解析】 由题意可得,汽车的加速度为a===-5 m/s2,根据匀变速直线运动的速
度—时间关系可得,汽车在刹车2 s后的速度为v=v0+at1=20 m/s+(-5 m/s2)×2 s=10 m/s,故B正确,A、C、D错误。
5.(6分)(多选)某质点做直线运动,速度随时间变化的关系式为v=(2t+4) m/s,则下列对这个质点的运动的描述正确的是(　　)
[A] 初速度为4 m/s
[B] 初速度为0
[C] 3 s末的瞬时速度为10 m/s
[D] 加速度为4 m/s2
【答案】 AC
【解析】 将匀变速直线运动的速度-时间公式v=v0+at与v=(2t+4) m/s对比可得质点的初速度为v0=4 m/s,加速度为a=2 m/s2,故A正确,B、D错误;3 s 末质点的瞬时速度为v=
(2t+4) m/s=(2×3+4) m/s=10 m/s,故C正确。
6.(8分)航空母舰上的飞机弹射系统可以缩短战斗机起跑的位移。假设某型号战斗机初速度为零,弹射系统对该型号战斗机作用了0.5 s时间后,可以使飞机达到一定的初速度,然后飞机在甲板上起跑,加速度为3 m/s2,经过10 s达到起飞速度 50 m/s 的要求。求:
(1)飞机离开弹射系统瞬间的速度大小;
(2)弹射系统对飞机提供的加速度大小。
【答案】 (1)20 m/s　(2)40 m/s2
【解析】 (1)设飞机离开弹射系统瞬间的速度是v0,
由v=v0+at得
v0=v-at=50 m/s-3 m/s2×10 s=20 m/s。
(2)弹射系统对飞机提供的加速度
a===40 m/s2。
考点三　对vt图像的理解和应用
7.(6分)(多选)(2025·浙江杭州阶段练习)某运动员在进行 10米跳台训练,如图所示为其竖直分速度与时间的关系图像,以其向上离开跳台时作为计时起点,运动过程中视其为质点,则下列说法正确的是(　　)
[A] t2时刻到达最高点
[B] t2时刻开始进入水面
[C] t2～t3时间段加速度竖直向上
[D] 0～t1时间段与t1～t2时间段加速度方向相反
【答案】 BC
【解析】 由题意可知,0～t1时间内运动员先离开跳台向上做匀减速运动,在t1时刻速度减为零,到达最高点,故A错误;从运动员起跳到恰好入水的过程中,图像斜率不变,其加速度不变,在入水后,做减速运动,加速度将发生突变,即在t2时刻开始进入水面,故B正确;0～t2时间内运动员加速度方向竖直向下且图线斜率为正,t2～t3时间内图线斜率变为负值,所以加速度方向变为竖直向上,故C正确;0～t1与t1～t2时间内图像斜率相同,加速度相同,故D错误。
8.(4分)一篮球从某一高度处由静止释放后匀加速下落,与地面碰撞(碰撞时间极短)后等速率反弹,再竖直向上做匀减速直线运动,直至最高点。下列关于篮球运动的速度v随时间t变化的图像可能正确的是(　　)
　
[A] [B]
　
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 篮球开始向下做匀加速运动,速度逐渐增大;速度达到最大时方向发生变化;之后向上做匀减速运动,速度逐渐减小。故选A。
9.(6分)(多选)历史上有些科学家曾把在任意相等位移内速度变化量相等的单向直线运动称为“匀变速直线运动”(现称“另类匀变速直线运动”)。“另类加速度”定义为A=,其中v0和v分别表示某段位移x内的初速度和末速度。A>0表示物体做加速运动,A<0表示物体做减速运动。而现在物理学中加速度的定义式为a=,下列说法正确的是(　　)
[A] 若A不变,则a会改变
[B] 若A>0且保持不变,则a逐渐变小
[C] 若A不变,则物体在中间位置处速度大小为
[D] 若A不变,则物体在中间位置处速度大小为
【答案】 AD
【解析】 若A不变,有两种情况,第一种情况是A>0,在这种情况下,相等位移内速度增加量相等,平均速度越来越大,所以相等位移内用的时间越来越少,由a=可知,a越来越大;第二种情况是A<0,在这种情况下,相等位移内速度减少量相等,平均速度越来越小,所以相等位移内用的时间越来越长,由a=可知,a越来越小,故A正确,B错误;若A不变,即相等位移内速度变化相等,所以通过前半段位移过程中,速度变化量为,所以中间位置的速度为=v0+=,故D正确,C错误。
10.(10分)一辆汽车从静止开始启动,做匀加速运动,用了10 s的时间达到72 km/h的速度,然后以这个速度在平直公路上匀速行驶,突然司机发现前方公路上有紧急情况,于是立即刹车,刹车过程中做匀减速运动,加速度大小为4 m/s2。求:
(1)汽车在启动加速时的加速度;
(2)开始刹车后2 s末的速度大小和6 s末的速度大小。
【答案】 (1)2 m/s2　与汽车的运动方向相同　
(2)12 m/s　0
【解析】 (1)选汽车的运动方向为正方向,在启动过程,初速度v0=0,末速度
v1=72 km/h=20 m/s,加速时间t1=10 s,
所以启动时的加速度为
a1===2 m/s2,
即启动时的加速度大小为2 m/s2,方向与汽车的运动方向相同。
(2)汽车刹车过程的加速度为a2=-4 m/s2,
设汽车刹车过程用时为t0,由0=v1+a2t0,
得汽车静止所需要的时间为t0=5 s,
所以刹车后t2=2 s时的速度为
v2=v1+a2t2=20 m/s-4 m/s2×2 s=12 m/s,
由于6 s>5 s,所以刹车后6 s时的速度为0。
11.(12分)如图甲所示,光滑斜面上A处有一小球以初速度v0=6 m/s沿固定斜面向上运动,经5 s到达B处,速度减为0,然后沿斜面下滑,又经10 s到达斜面C处,已知小球在斜面上运动的加速度恒定,A、B、C三点均未在图中标出。
(1)求小球运动的加速度的大小和方向;
(2)求小球到达C处时的速度大小;
(3)以小球沿斜面向上运动的方向为正方向,在图乙中画出整个过程中小球的速度—时间图像。
【答案】 (1)1.2 m/s2　方向沿斜面向下　
(2)12 m/s　(3)图见解析
【解析】 (1)小球运动的加速度大小为
a===1.2 m/s2,
方向沿斜面向下。
(2)小球到达C处时的速度大小为
vC=at2=1.2 m/s2×10 s=12 m/s。
(3)整个过程中有v=v0-at=6-1.2t(m/s),
整个过程中小球的速度—时间图像如图所示。(共45张PPT)
2　匀变速直线运动的速度与
时间的关系
[定位·学习目标]　
1.通过对匀变速直线运动的学习,理解匀变速直线运动的特点,形成物理观念。2.通过对匀变速直线运动的速度公式的学习,掌握应用速度公式分析、解决实际问题的能力。
探究·必备知识
知识点一　匀变速直线运动
「探究新知」
1.定义:沿着一条 ,且 不变的运动。
2.v-t图像特点:v-t图像是一条 的直线。
3.分类
(1)匀加速直线运动:速度随时间 。
(2)匀减速直线运动:速度随时间 。
直线
加速度
倾斜
均匀增加
均匀减小
正误辨析
(1)加速度不变的运动就是匀变速直线运动。(　 　)
(2)匀变速直线运动的加速度不变。(　 　)
(3)匀变速直线运动一定是速度均匀增大的运动。(　 　)
(4)匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线。(　 　)
×
√
×
√
知识点二　速度与时间的关系
「探究新知」
1.速度与时间的关系式:v= 。
2.理解:加速度a在数值上等于单位时间内速度的变化量,所以at就是t时间内速度的 ,再加上 时物体的速度v0,就得到t时刻物体的速度v。
v0+at
变化量
运动开始
(1)公式v=v0+at适用于任何做直线运动的物体。(　 　)
(2)公式v=v0+at既适用于匀加速直线运动,也适用于匀减速直线运动。
(　 　)
(3)在匀变速直线运动中,由公式v=v0+at可知,经过相同时间t,v0越大,则v越大。
(　 　)
(4)加速度不变且为负值的直线运动一定是匀减速直线运动。(　 　)
正误辨析
×
√
×
×
突破·关键能力
要点一　对速度公式的理解和应用
「情境探究」
如图,2023年5月28日12点31分,东方航空MU9191航班平稳降落在北京首都国际机场。执行这一航班的是全球首架交付的国产大飞机C919——我国首次按照通行通航标准自行研制具有自主知识产权的喷气式干线客机,
C919圆满完成首个商业航班飞标,标志着该机型正式进入民航市场,开启市场化运营、产业化发展的新征程。
探究:(1)如果将C919大型客机在地面上滑行起飞的过程看作是匀加速直线运动,其运动的速度与时间有什么关系
【答案】 (1)速度与时间的关系为v=v0+at。
(2)若C919大型客机的起飞速度为306 km/h,滑行过程中的加速度为2.5 m/s2,其在跑道上滑行的时间与哪些物理量有关 怎样计算该时间
1.对公式v=v0+at的理解
(1)各量的物理意义:v0是开始时刻的速度,称为初速度;v是经时间t后的速度,称为末速度;at是在时间t内的速度变化量,即Δv=at。
(2)适用条件:匀变速直线运动。
「要点归纳」
2.公式v=v0+at的应用
公式v=v0+at中的v、v0、a均为矢量,应用公式解题时,应先选取正方向,一般以v0的方向为正方向。
①若加速度方向与正方向相同,则加速度取正值;若加速度方向与正方向相反,则加速度取负值。
②若计算出v为正值,则表示末速度方向与初速度的方向相同;若v为负值,则表示末速度方向与初速度的方向相反。
[例1] (速度公式的应用)电动平衡车(如图)是一种新型交通工具,它通过内置的一对陀螺仪来实现平衡,而它的速度则是由倾斜程度来控制的,想要加速则向前倾,减速和后退则向后倾。某人骑着一款电动平衡车从静止开始,以大小为1.2 m/s2的加速度沿直线匀加速运动了6 s,又以大小为0.8 m/s2的加速度沿直线匀减速运动了4 s,然后做匀速直线运动。则电动平衡车做匀速直线运动的速度是多大
「典例研习」
【答案】 4 m/s
【解析】 电动平衡车匀加速运动6 s,有v1=v0+a1t1,
解得v1=7.2 m/s;
电动平衡车匀减速运动4 s,有v2=v1-a2t2,
解得v2=4 m/s,
即电动平衡车做匀速直线运动的速度v3=v2=4 m/s。
[例2] (刹车类问题)一辆汽车以72 km/h的速度在平直公路上匀速行驶。10 s末因故突然紧急刹车,随后汽车逐渐停了下来。刹车时汽车做匀减速直线运动的加速度大小为5 m/s2。求:
(1)刹车后2 s汽车的速度大小;
【答案】 (1)10 m/s
【解析】 (1)选取汽车运动的方向为正方向,汽车的初速度为v0=72 km/h=
20 m/s,
汽车刹车时的加速度a=-5 m/s2,
刹车后2 s汽车的速度大小为v1=v0+at1=20 m/s-5 m/s2×2 s=10 m/s。
(2)刹车后5 s汽车的速度大小。
【答案】 (2)0
·规律方法·
应用速度公式v=v0+at的解题思路
(1)规定一个方向为正方向,一般以初速度方向为正方向。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正负。
(3)利用公式v=v0+at或其变形式求未知量。
(4)根据计算结果说明所求量,矢量要说明方向。
(5)求解过程注意联系实际,如刹车类问题要注意刹车过程中汽车减速到零所用的时间。
要点二　对v-t图像的理解和应用
「情境探究」
甲、乙、丙、丁四个物体运动的v-t图像分别如图所示。
探究:(1)四个物体分别做什么运动
【答案】 (1)甲物体做匀速直线运动;乙物体做初速度不为0的匀加速直线运动;丙物体做匀减速直线运动直至速度变为0;丁物体做由静止开始的加速度逐渐变大的变加速直线运动。
(2)在乙、丙、丁图中,加速度不变的物体是哪个 在乙和丁图中,物体的运动有什么不同
【答案】 (2)乙、丙物体的v-t图线斜率不变,加速度不变,速度随时间均匀变化;丁物体的v-t图线斜率变大,加速度变大,速度增加得越来越快。
「要点归纳」
1.匀速直线运动的v-t图像
如图甲所示,由于匀速直线运动的速度不随时间改变,因而v-t图像是一条平行于时间轴的直线。从图像中可以直接读出速度的大小和方向。
2.匀变速直线运动的v-t图像
如图乙所示,匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线。
(1)直线a反映了速度随着时间均匀增加,对应初速度不为0的匀加速直线运动。
(2)直线b反映了速度随着时间均匀减小,对应初速度不为0的匀减速直线运动。
(3)直线c反映了速度随着时间先均匀减小,后均匀增大,由于加速度不变,整个运动过程也是匀变速直线运动,t1时刻前后运动方向发生改变。
(4)直线d反映了速度随着时间均匀减小,对应与正方向相反的方向上的匀减速直线运动。
3.对v-t图像的理解
通过v-t图像,可以明确以下信息:
图线某 点的坐标 纵坐标 表示瞬时速度,正负值表示
速度方向与正方向相同或相反
横坐标 表示某速度对应的时刻
图线的 斜率 正负号 表示加速度的方向
绝对值 表示加速度的大小
图线与坐标 轴的交点 纵截距 表示初速度
横截距 表示开始运动、速度为零或方向改变的时刻
图线的拐点 表示运动性质、加速度改变的时刻
两图线的交点 表示此刻速度相等
[例3] (多选)(2025·甘肃武威开学考试)某运动物体的速度—时间图像如图所示,下列说法正确的是(　　 )
[A] 物体在0～2 s内的加速度是2.5 m/s2,2～4 s内加速度为零,4～6 s内加速度是-10 m/s2
[B] 物体在0～5 s内始终向同一方向运动
[C] 物体在前2 s的平均速度为8 m/s
[D] 物体以某初速度开始运动,在0～2 s内加速运动,2～4 s内匀速运动,4～6 s内减速运动
「典例研习」
AB
·规律方法·
应用v-t图像时的注意事项
(1)加速度是否变化看有无折点:在折点位置,图线的倾斜程度改变,表示此时刻物体的加速度改变。若v-t图像为曲线,可认为曲线上处处是折点,加速度时刻在改变。
(2)速度方向是否改变看与时间轴有无交点:在与时间轴的交点位置前后,纵坐标的符号改变,表示物体的速度方向改变。
提升·核心素养
多运动过程的策略提炼
「核心归纳」
解答匀变速直线运动的多过程问题,可先画出运动过程草图,在草图上标上已知量,注意不同阶段的运动特点,找出转折点的速度,这是联系前后阶段的“桥梁”,再确定各阶段的速度、加速度及时间关系,最后选择公式计算。
「典例研习」
[例题] 一辆汽车从静止开始匀加速开出,然后保持匀速运动,最后匀减速运动,直到停止。下表给出了不同时刻汽车的速度,求:
时刻/s 1.0 2.0 3.0 5.0 7.0 9.5 10.5
速度/(m·s-1) 3 6 9 12 12 9 3
(1)汽车做加速运动时的加速度大小和减速运动时的加速度大小;
【答案】 (1)3 m/s2　6 m/s2
【解析】 (1)3.0 s前汽车一定做匀加速运动,9.5 s后一定做匀减速运动,
则1.0 s时速度v1=3 m/s,3.0 s时速度v2=9 m/s,
根据v2=v1+a1t1得加速运动的加速度a1=3 m/s2,方向与运动方向相同;
9.5 s时的速度v3=9 m/s,10.5 s时的速度v4=3 m/s,根据v4=v3+a2t2得减速运动的加速度a2=-6 m/s2,即大小为6 m/s2,方向与运动方向相反。
(2)汽车从开出到停止共经历的时间;
【答案】 (2)11 s
【解析】 (2)对9.5 s后分析,需再经t3停下,对9.5 s后,根据0=v3+a2t3得t3=1.5 s,
汽车从开出到停止共经历的时间t总=9.5 s+t3=11 s。
(3)汽车做匀速运动的时间。
【答案】 (3)5 s
检测·学习效果
1.对匀变速直线运动的理解,下列说法正确的是(　　)
[A] 匀变速直线运动是速度越来越大的运动
[B] 匀变速直线运动是在任意相等的时间内速度变化相等的运动
[C] 匀变速直线运动是速度保持不变的运动
[D] 匀变速直线运动是速度方向保持不变的运动
B
【解析】 匀变速直线运动的加速度不变,速度均匀变化,速度方向可能改变,根据Δv=a·Δt知,在任意相等时间内速度变化量相等,匀加速直线运动速度越来越大,匀减速直线运动速度越来越小,故A、C、D错误,B正确。
2.质点做匀加速直线运动,初速度为v0=2 m/s,加速度a=0.1 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A] 质点的加速度均匀增大
[B] 质点的速度随时间均匀增大
[C] 质点第4 s末的速度为1.6 m/s
[D] 每经过1 s时间,物体速度就增大0.2 m/s
B
【解析】 加速度a=0.1 m/s2,所以质点的加速度不变,故A错误;质点做匀加速直线运动,速度随时间均匀增大,故B正确;根据匀变速直线运动的速度—时间公式,质点第4 s末的速度为v=v0+at=2 m/s+0.1 m/s2×4 s=2.4 m/s,故C错误;加速度为0.1 m/s2,每经过1 s时间,物体速度就增大0.1 m/s,故D错误。
3.(教材改编)如图所示,是一个物体运动的v-t图像,则在t1～t4时间内,下列说法正确的是(　　)
[A] 物体运动的速度先增大后减小
[B] 物体运动的加速度减小
[C] 物体做匀变速直线运动
[D] 在相等时间间隔内,速度的变化量Δv′和Δv总是相等
B
4.物体甲、乙在同一直线上做匀变速直线运动,它们的v-t图像如图所示,则(　　)
[A] 物体甲、乙的运动方向一定相反
[B] 物体甲、乙在0～2 s内的位移相同
[C] 物体甲、乙在t=4 s时相遇
[D] 物体甲的加速度比物体乙的加速度小
D
【解析】 由题图可知两物体的速度始终都为正值,所以两物体均沿正方向运动,故物体甲、乙运动方向一定相同,故A错误;0～2 s内物体乙的速度一直大于物体甲的速度,可知0～2 s内乙的位移大于甲的位移,故B错误;4 s时两物体的图像相交,说明此时两物体的速度相同,由于不知道开始时位置的关系,所以二者不一定相遇,故C错误;由v-t图像斜率的绝对值表示加速度大小,则有甲的斜率小于乙的斜率的绝对值,说明甲的加速度比乙要小,故D正确。
5.(2025·安徽淮南阶段练习)如图甲所示,t=0时,质量为0.5 kg的物体从倾角α=37°的斜面上A点由静止开始下滑,经过B点后进入水平面(经过B点前后速度大小不变),最后停在C点。运动过程中速度的大小随时间的变化如图乙所示,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求物体在斜面上的加速度a1和在水平面上的加速度a2。
【答案】 (1)4 m/s2,方向沿斜面向下　2 m/s2,方向水平向左
(2)物体从开始下滑,经过多长时间恰好停在C点
【答案】 (2)10 s
【解析】 (2)物体在6 s时的速度为8 m/s,由速度公式可得0=v6+a2t,
解得t=4 s,
则经过时间tC=t+6 s=10 s,
物体恰好停在C点。
(3)物体到达斜面底端B时的速度大小是多少
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