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3　匀变速直线运动的位移与时间的关系
[定位·学习目标]　1.掌握位移公式、位移速度公式的意义,形成物理观念。2.经历位移公式的推导过程,掌握运用数学知识——函数图像、微元法分析物理问题的能力,掌握科学思维方法。3.通过位移与时间关系、速度与位移关系的应用,培养解决实际问题的能力。
知识点一　匀变速直线运动的位移
探究新知
1.利用v-t图像求位移
如图甲所示,物体做匀速直线运动,若速度为v,则t时间内物体的位移x=vt,即位移为图中阴影面积;启示我们:匀变速直线运动的v-t图像中图线与坐标轴所围面积应该是t时间内物体的位移。在图乙中,物体做匀变速直线运动的位移x=(v0+v)t。
2.匀变速直线运动位移与时间的关系式
x=v0t+at2,一般称为位移公式。当初速度为0时,x=at2。
新知检测
　v-t图像中图线与坐标轴所围成的面积有时在时间轴上方,有时在时间轴下方。这与物体的位移有何关系
【答案】 根据v-t图像的物理意义,图线在时间轴上方,表明物体向正方向运动,图线与坐标轴所围图形的面积代表物体的位移为正值。同理,图线与坐标轴所围图形的面积在时间轴的下方,表明物体的位移为负值。
知识点二　速度与位移的关系
探究新知
1.速度与位移的关系式
v2-=2ax,一般称为速度位移公式。
2.公式推导
已知匀变速直线运动的速度与时间的关系式v=v0+at
匀变速直线运动的位移与时间的关系式x=v0t+at2
联立两式消去t可得v2-=2ax。
正误辨析
(1)只有匀变速直线运动的v-t图像与坐标轴所围的面积才等于物体的位移。(　×　)
(2)位移公式x=v0t+at2仅适用于匀加速直线运动。(　×　)
(3)初速度越大,时间越长,做匀变速直线运动的物体的位移一定越大。(　×　)
(4)当匀变速直线运动的初速度为零时,物体的位移一定与时间的二次方成正比。(　√　)
要点一　匀变速直线运动的位移
情境探究
阅读教材“拓展学习”栏目,体会微元法的基本思想。
探究:某质点做匀变速直线运动的v-t图像如图所示,已知初速度为v0,在t时刻的速度为v,加速度为a,试根据v-t图像推导出匀变速直线运动的位移与时间的关系式。
【答案】 由匀速直线运动的v-t图像可知,图线与坐标轴所围面积表示位移,将匀变速直线运动的v-t图像划分为很多时间间隔,每一小间隔的速度可认为不变,其面积表示位移,这些“小面积”加起来就是匀变速直线运动的位移。其方法是v-t图线下面梯形的面积x=(v0+v)t,又因为v=v0+at,可得x=v0t+at2。
要点归纳
1.位移公式的适用条件:匀变速直线运动。
2.公式中各个量的意义
其中的x、v0、a都是矢量,应用时必须选取正方向。一般选初速度v0的方向为正方向。
3.公式的应用
运动情况 取值
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向,a取正值
位移x>0,物体总处于起始点的正方向一侧
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向,a取负值
若x>0,物体处于起始点正方向一侧;若x<0,物体处于起始点负方向一侧
典例研习
[例1] 铁路两旁有很多间隔都是50 m的电线杆,某乘客想利用手机中的秒表计时功能,测量火车出站时的加速度(火车出站可看成匀加速直线运动),他经过第1根电线杆时开始计时,到第5根电线杆时用时8 s,到第9根电线杆时停止计时,共用时12 s,求:
(1)火车的初速度大小;
(2)火车的加速度大小。
【答案】 (1) m/s　(2) m/s2
【解析】 设火车的加速度大小为a,经过第1根电线杆时的速度大小为v0,根据运动学公式有
x1=v0t1+a,
x2=v0t2+a,
由题意可得
50×4=8v0+a×82,
50×8=12v0+a×122,
整理可得v0= m/s,a= m/s2。
应用位移公式解题的一般步骤
(1)确定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负,并用带有正、负号的数值表示。
(3)根据位移与时间关系式或其变形式列式、求解。
(4)说明所求量的大小、方向。
要点二　匀变速直线运动速度与位移的关系
情境探究
　在某城市的一条道路上,规定车辆行驶速度不得超过30 km/h。在一次该路段的交通事故中,肇事车是一辆客车,测得这辆车紧急刹车(车轮被抱死)时留下的刹车痕迹长为7.6 m,已知该客车刹车时的加速度大小为7 m/s2。
探究:(1)车辆行驶速度与刹车所需位移有何关系
(2)请判断该车是否超速。
【答案】 (1)由公式v2-=2ax得,v=0时,=-2ax,可知行驶速度越大刹车所需位移越大。
(2)车辆的最大行驶速度为30 km/h,则在不超速情况下的最大位移x=≈5.0 m<7.6 m,而本题中速度方向不变,所以该客车超速。
要点归纳
1.速度位移公式的适用条件:匀变速直线运动。
2.公式中各个量的意义
3.公式的矢量性:v2-=2ax为矢量式,应用时必须选取正方向。一般选初速度v0的方向为正方向。
(1)物体做加速运动时,a取正值;做减速运动时,a取负值。
(2)若x>0,说明物体处于起始点的正方向一侧;若x<0,说明物体处于起始点的负方向一侧。
4.两种特例
(1)当v0=0时,v2=2ax。
(2)当v=0时,-=2ax。
典例研习
[例2] (教材改编)有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统,弹射系统可以使飞机达到一定的初速度,然后飞机在跑道上以最大加速度5 m/s2继续加速,当飞机的速度达到
50 m/s时,才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。
(1)若要求该飞机离开弹射系统后,滑行160 m起飞,弹射系统必须使飞机具有多大的初
速度
(2)若航空母舰上不装弹射系统,要求该飞机仍能在航空母舰上正常起飞,则该航空母舰甲板长至少应为多少
【答案】 (1)30 m/s　(2)250 m
【解析】 (1)根据匀变速直线运动的速度位移公式得v2-=2ax,飞机的初速度
v0=
=
=30 m/s。
(2)不装弹射系统时,由v2=2aL可知,甲板的长度L===250 m。
公式v2-=2ax的应用
(1)当物体做匀变速直线运动时,如果不涉及时间,一般用速度位移公式较方便。
(2)末速度为零的匀减速直线运动,应用此公式往往较方便。
要点三　刹车类问题
要点归纳
1.刹车问题:车辆刹车时可看成做匀减速直线运动直至速度为零,所以刹车时车辆只在“刹车时间”内做匀减速运动,而速度减为零后保持静止。刹车时间取决于初速度和加速度的大小。
2.常见错误:当给定的时间大于“刹车时间”时,误认为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动,简单套用速度公式v=v0+at,得出的速度出现负值的典型错误。
3.逆向解题法
(1)方法:末速度为零的匀减速直线运动是初速度为零、加速度大小相等的反向匀加速直线运动的逆运动。若物体的初速度为v0,加速度大小为a,末速度为零,则可将此运动逆向看成初速度为0、加速度大小为a的匀加速直线运动,末速度为v0。
(2)优点:逆向之后,速度公式v=v0+at变为v=at,位移公式x=v0t+at2变为x=at2,不仅简化了运算,也使问题变得更加简洁。
典例研习
[例3] (2025·四川乐山阶段练习)汽车以10 m/s的速度沿平直公路匀速行驶,现以大小为0.5 m/s2的加速度开始刹车。求:
(1)汽车开始刹车后4 s末的速度大小;
(2)汽车刹车后行驶75 m所需的时间;
(3)汽车30 s内行驶的距离。
【答案】 (1)8 m/s　(2)10 s　(3)100 m
【解析】 (1)刹车过程,设经t0时间速度减为零,由v=v0-at0,得t0=20 s,
因为t1=4 s由v1=v0-at1,解得v1=8 m/s。
(2)当x=75 m时,有x=v0t2-a,
解得t2=10 s,t2′=30 s(t2′>t0,舍去),
故汽车从开始刹车到位移为75 m时所经历的时间为10 s。
(3)汽车共运动20 s,30 s内行驶的距离为刹车总距离x=v0t0=100 m。
刹车类问题的处理思路
刹车类问题可认为是做匀减速直线运动,当速度减小到零时,物体就会停止而不会接着反向运动。解答此类问题的思路:
(1)先求出从开始制动到停止运动的时间 t刹=。
(2)比较所给时间t与停止时间t刹的关系确定物体运动状态,最后再利用运动公式求解。若t>t刹,物体已停止运动,不能盲目地把时间t代入;若t逆向思维法
核心归纳
把运动过程的“末态”作为“初态”的逆向研究问题的方法。一般用于末态已知的情况,例如可将物体匀减速至零的直线运动的情况看成初速度为零的匀加速直线运动处理。汽车刹车问题及如图所示的子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题等均可以利用逆向思维法求解。
典例研习
[例题] 高速公路上,为防止汽车连续下坡或转弯时刹车失灵发生事故,道路旁常建有斜向上的“缓冲坡”。如图所示,一质量为m的货车冲上缓冲坡做匀减速直线运动,已知其初速度为v0,经过时间t速度减为零。求货车:
(1)加速度大小a;
(2)最大上行距离L;
(3)冲上缓冲坡一半距离时的速度大小。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)货车减速到零的运动可看成反向匀加速直线运动,货车的加速度大小a=。
(2)货车减速到零的运动可看成反向匀加速直线运动,由=2aL得,货车最大上行距离
L==。
(3)货车减速到零的运动可看成反向匀加速直线运动,由速度位移公式得v2=2a·,
联立解得 v=。
1.物体做匀加速直线运动,已知第1 s末的速度是 6 m/s,第2 s末的速度是8 m/s,则下列结论正确的是(　　)
[A] 物体零时刻的速度是3 m/s
[B] 物体的加速度是2 m/s2
[C] 第1 s内的位移是6 m
[D] 第1 s内的平均速度是6 m/s
【答案】 B
【解析】 规定初速度方向为正方向,根据加速度定义式得物体的加速度a===
2 m/s2,根据v=v0+at得,v0=v-at=6 m/s-2 m/s2×1 s=4 m/s,故A错误,B正确;第1 s内的位移x=v0t+at2=4 m/s×1 s+×2 m/s2×(1 s)2=5 m,则平均速度 ===5 m/s,故C、D错误。
2.以速度v0=27 m/s匀速行驶的汽车,突然刹车,刹车过程中汽车以a=-6 m/s2 的加速度继续前进,则刹车后,下列说法正确的是(　　)
[A] 第1 s内的位移为27 m
[B] 前2 s内汽车的平均速度为24 m/s
[C] 刹车5 s内的位移为60 m
[D] 第5 s内的位移为0.75 m
【答案】 D
【解析】 由v=v0+at得,汽车刹车时间为t===4.5 s,第1 s内的位移为x1=
v0t1+a=27 m/s×1 s-×6 m/s2×(1 s)2=24 m,故A错误;前2 s内的位移为x2=v0t2+a=
27 m/s×2 s-×6 m/s2×(2 s)2=42 m,平均速度===21 m/s,故B错误;刹车时间为4.5 s,则刹车5 s内的位移即为4.5 s内的位移,x5=t=×4.5 s=60.75 m,故C错误;前4 s内的位移为x4=v0t4+a=27 m/s×4 s-×6 m/s2×(4 s)2=60 m,第5 s内的位移为Δx=x5-x4=
60.75 m-60 m=0.75 m,故D正确。
3.(多选)(2025·湖北武汉期中)彩虹滑道是很有趣的游玩项目,游客坐在橡皮圈上随之一起滑下,如图所示。假设游客(视为质点)从静止开始做匀加速直线运动,第1 s内的位移是
0.5 m,下列说法正确的是(　　)
[A] 游客的加速度大小是2 m/s2
[B] 游客在1 s末的速度是1 m/s
[C] 游客在第3 s内的平均速度是2.5 m/s
[D] 游客在第5 s内的位移大小是2.75 m
【答案】 BC
【解析】 游客从静止开始做匀加速直线运动,第1 s内的位移x1=at2,解得游客的加速度大小是1 m/s2,故A错误;游客在1 s末的速度v1=at=1 m/s,故B正确;游客在第3 s内的平均速度等于第2.5 s时的瞬时速度,v3=at′=2.5 m/s,故C正确;游客在第5 s内的位移大小x5=a-a=4.5 m,故D错误。
4.一质点由静止开始做匀加速直线运动,它在第10 s内的位移为19 m,则其加速度大小为(　　)
[A] 1.9 m/s2 [B] 2.0 m/s2
[C] 9.5 m/s2 [D] 3.0 m/s2
【答案】 B
【解析】 质点做初速度为零的匀加速直线运动,根据位移公式,前10 s的位移x1=a,前9 s的位移x2=a,而x1-x2=19 m,代入数据解得 a=2.0 m/s2。选项B正确。
5.电动玩具小车在水平地面上由静止开始做初速度为零的匀加速直线运动,已知第6 s末的速度大小为3 m/s,求:
(1)小车的加速度大小;
(2)小车开始运动后前6 s内的位移大小;
(3)小车在4～6 s内的平均速度大小。
【答案】 (1)0.5 m/s2　(2)9 m　(3)2.5 m/s
【解析】 (1)由题意可知,小车做初速度为零的匀加速直线运动,则根据匀加速直线运动的加速度公式,可得小车的加速度大小为a===0.5 m/s2。
(2)根据位移公式,结合(1)求得的小车的加速度大小,可得小车开始运动后前6 s内的位移大小为x=at2=×0.5 m/s2×(6 s)2=9 m。
(3)同理可求小车在前4 s内的位移大小x′=at′2,
解得x′=×0.5 m/s2×(4 s)2=4 m,
故小车在4～6 s内的平均速度大小===2.5 m/s。
课时作业
(分值:60分)
考点一　位移公式x=v0t+at2
1.(4分)(2025·山西期中)一物体做直线运动的位置坐标与时间的函数关系式为x=t2+2t+3(式中x单位为m,t单位为s)。下列关于该物体运动的说法正确的是(　　)
[A] 物体的加速度大小为1 m/s2
[B] t=0时刻,物体的速度大小为3 m/s
[C] 0～2 s内,物体的位移大小为11 m
[D] 0～5 s内,物体的平均速度大小为7 m/s
【答案】 D
【解析】 物体做匀变速直线运动,有x=v0t+at2+x0,x0为t=0时刻物体的位置,对比函数可知,t=0时刻,物体的初速度v0=2 m/s,加速度a=2 m/s2,初位置x0=3 m,故A、B错误;t=2 s时,x=11 m,0～2 s内,物体的位移大小为x1=11 m-3 m=8 m,故C错误;t=5 s时,x=38 m,0～5 s内,物体的位移大小为x2=38 m-3 m=35 m,物体的平均速度大小为==7 m/s,故D正确。
2.(4分)一列火车从静止开始做匀加速直线运动,如图所示,某同学站在火车头前端的路旁观测,车头通过他历时2 s,车头与车厢一样长且车厢连接处的距离可忽略,则整列火车通过他的时间是(　　)
[A] 6 s [B] 4 s
[C] 9 s [D] 18 s
【答案】 A
【解析】 设每节车厢的长度为L,车头通过该同学过程有L=at2,整列火车通过该同学过程有9L=a,联立解得t总=6 s,故B、C、D错误,A正确。
3.(4分)大力研发电动汽车是减少排放二氧化碳的主要手段之一。若某一电动汽车以
15 m/s的速度在一条平直公路上行驶,前方遇到一障碍物,汽车以大小为5 m/s2的加速度开始减速,从开始减速计时,则在第一个2 s内与第二个2 s内,电动汽车所走的位移之比为(　　)
[A] 8∶1 [B] 1∶1
[C] 3∶1 [D] 8∶3
【答案】 A
【解析】 汽车从开始减速到停止运动的时间为t0===3 s,汽车在第一个2 s内的位移为 x1=v0t-at2=15 m/s×2 s-×5 m/s2×(2 s)2=20 m,汽车在 3 s末停止运动,所以在第二个2 s内的位移为 x2=a-x1=×5 m/s2×(3 s)2-20 m=2.5 m,在第一个2 s内与第二个 2 s内,电动汽车所走的位移之比为==,故A正确,B、C、D错误。
4.(4分)自驾游是目前比较流行的旅游方式,在人烟稀少的公路上行驶,司机会经常遇到动物过公路的情形。如图所示是一辆汽车正在以v0=20 m/s的速度匀速行驶,突然公路上冲出三只小动物,司机马上刹车,假设刹车过程是匀减速运动,加速度大小为 4 m/s2,小动物与汽车距离约为55 m,以下说法正确的是(　　)
[A] 汽车匀减速6 s末的速度大小为4 m/s
[B] 匀减速运动的汽车一定撞上小动物
[C] 汽车第2 s末的速度为10 m/s
[D] 汽车匀减速第4 s末到第6 s末位移为2 m
【答案】 D
【解析】 根据题意,由公式v=v0+at代入数据解得 t=5 s,可知汽车在刹车5 s后停止运动,故6 s末速度为0,故A错误;由A分析可知,汽车在刹车 5 s后停止运动,根据公式x=v0t+at2,代入数据解得x=50 m,汽车刹车行驶50 m停下,小于 55 m,则没有撞上小动物,故B错误;根据题意,由公式 v=v0+at,解得汽车第2 s末的速度v=12 m/s,故C错误;汽车刹车减速5 s停止,根据逆运算,第4 s末到第 6 s末位移可看成第5 s末反向初速度为零的匀加速运动,则加速时间为1 s,根据公式x=at2,代入数据解得x=2 m,故D正确。
考点二　速度与位移关系v2-=2ax
5.(4分)在一次交通事故中,交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30 m,该车辆的刹车加速度是 15 m/s2,该路段限速为60 km/h,则该车(　　)
[A] 超速
[B] 刹车前速度为30 km/h
[C] 无法判断是否超速
[D] 刹车前速度为60 km/h
【答案】 A
【解析】 设车辆刹车前的速度为v,刹车距离为x=30 m,刹车过程的加速度a=15 m/s2,由位移—速度公式可得v2=2ax,代入数据得v=30 m/s=108 km/h,该速度大于限速,该车超速,故B、C、D错误,A正确。
6.(4分)列车在某一路段做匀加速直线运动,速度由 10 m/s 增加到20 m/s时的位移为x,接着列车再运动4x的位移时,列车的速度是(　　)
[A] 30 m/s [B] 40 m/s
[C] 50 m/s [D] 60 m/s
【答案】 B
【解析】 设列车的加速度为a,根据-=2ax,有x=,当列车接着运动4x的位移时,设末速度为v2,根据-=2a·4x,则4x=,把v0=10 m/s,v1=20 m/s代入,联立解得v2=40 m/s,故B正确,A、C、D错误。
7.(6分)(多选)对于如图所示的情境,交通法规定“车让人”,否则驾驶员将受到处罚。若以
8 m/s匀速行驶的汽车即将通过路口,有行人正在过人行横道,此时汽车的前端距停车线
8 m,该车减速时的加速度大小恒为5 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A] 驾驶员立即刹车制动,则至少需要2 s汽车才停止
[B] 在距停车线6.4 m处才开始刹车制动,汽车前端恰能停止于停车线处
[C] 若经0.2 s后才开始刹车制动,汽车前端恰能停止于停车线处
[D] 若经0.4 s后才开始刹车制动,汽车前端恰能停止于停车线处
【答案】 BC
【解析】 驾驶员立即刹车到停止所需的时间t==1.6 s,故A错误;将刹车制动逆向看作初速度为零的匀加速直线运动,可知刹车时汽车发生的位移x==6.4 m,故B正确;经0.2 s汽车前进距离l=v0Δt=1.6 m,此时汽车与停车线的距离 Δx=8 m-1.6 m=6.4 m,则此时刹车恰能停止于停车线处,故C正确,D错误。
8.(4分)(2025·贵州阶段练习)利用图像法研究物理量之间的关系是常用的一种数学物理方法。某物体做直线运动的t图像如图所示,根据图像的信息,下列说法正确的是(　　)
[A] 物体在前2 s内的位移为8 m
[B] 物体做匀变速直线运动的加速度大小为1 m/s2
[C] 物体在前2 s内的平均速度大小为5 m/s
[D] 物体在第2 s末的速度大小为5 m/s
【答案】 C
【解析】 由题图可知物体在前2 s内的平均速度为5 m/s,故物体在前2 s内的位移为x=t=5 m/s×2 s=10 m,A错误,C正确;由位移时间公式x=v0t+at2,可得=v0+at,故图像纵截距为初速度v0=3 m/s,斜率为a= m/s2=1 m/s2,故a=2 m/s2,B错误;物体在第2 s末的速度大小为v=v0+at=3 m/s+2 m/s2×2 s=7 m/s,D错误。
9.(6分)(多选)如图,以8 m/s匀速行驶的汽车即将通过路口,绿灯还有2 s将熄灭,此时汽车车头距离停车线18 m。设车加速时加速度大小恒为 2 m/s2,刹车时加速度大小恒为5 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A] 若此时立即做匀加速运动,在绿灯熄灭前汽车车头不能通过停车线
[B] 若此时立即刹车,在绿灯熄灭前汽车车头一定不能通过停车线
[C] 若驾驶员反应时间为1 s,然后刹车,在绿灯熄灭前汽车车头一定不会通过停车线
[D] 若驾驶员反应时间为1.5 s,然后刹车,在绿灯熄灭前汽车车头一定会通过停车线
【答案】 BC
【解析】 如果立即做匀加速运动,汽车位移为x=v0t+a1t2=8 m/s×2 s+×2 m/s2×(2 s)2=20 m,在绿灯熄灭前汽车车头能通过停车线,故 A错误;利用逆向思维法根据=2a2x′得,
x′===6.4 m,在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线,故B正确;若驾驶员反应时间为 1 s,此时汽车的位移为x1=v0t1=8 m/s×1 s=8 m,汽车减速运动t2=t-t1=2 s-1 s=1 s,减速的位移为x2=v0t2-a2=8 m/s×1 s-×5 m/s2×(1 s)2=5.5 m,汽车运动的位移为x″=x1+x2=
8 m+5.5 m=13.5 m<18 m,在绿灯熄灭前汽车车头一定不会通过停车线,故C正确;若驾驶员反应时间为1.5 s,此时汽车的位移为x3=v0t3=8 m/s×1.5 s=12 m,汽车减速运动t4=t-t3=
2 s-1.5 s=0.5 s,减速的位移为x4=v0t4-a2=8 m/s×0.5 s-×5 m/s2×(0.5 s)2=3.375 m,汽车运动的位移为x =x3+x4=12 m+3.375 m=15.375 m<18 m,在绿灯熄灭前汽车车头一定不会通过停车线,故D错误。
10.(10分)某同学骑自行车回家,途经两段路:下坡路段AB和坡底水平路段BC,这两段路长度相等,施工C处放了警示牌。他以初速度v0=4 m/s,加速度a1=2 m/s2匀加速行驶通过AB下坡路段,用时 t1=3 s到达坡底B点,接着以大小不变的速度进入水平路段BC,匀速行驶t2=1 s后刹车减速行驶,加速度大小为a2=5 m/s2。
(1)求该同学到达B点的速度大小;
(2)求AB段长度;
(3)试分析他的车是否能安全停下。若能,会停在距C点多远的地方 若不能,以多大速度撞在警示牌上
【答案】 (1)10 m/s　(2)21 m　(3)能　1 m
【解析】 (1)该同学到达B点的速度vB=v0+a1t1=10 m/s。
(2)AB段长度x1=v0t1+a1=21 m。
(3)该同学在水平路段运动的最远距离为x2=vBt2+=20 m<21 m,
所以他能安全停下,停下时,到C点的距离Δx=x1-x2=1 m。
11.(10分)如图所示,冰壶在运动员推力作用下由静止开始做匀加速直线运动,加速度大小为1 m/s2,经3 s到达投掷线,撤掉推力,冰壶又沿直线匀减速前进,冰壶到达营垒中心时得分最高,投掷线到营垒中心距离s为30 m。某次投掷冰壶正好停在营垒中心处。求冰壶:
(1)匀减速运动的加速度大小;
(2)前25 s内运动的位移大小。
【答案】 (1)0.15 m/s2　(2)34.5 m
【解析】 (1)冰壶匀加速运动的末速度v=a1t1=1 m/s2×3 s=3 m/s,
冰壶匀减速过程中,有0-v2=-2a2s,
解得匀减速运动的加速度大小a2=0.15 m/s2。
(2)冰壶匀减速运动的总时间t2===20 s,
整个过程中冰壶所用总时间t=t1+t2=3 s+20 s=23 s<25 s,
可见25 s时冰壶已经停止运动。冰壶匀加速的位移x1=a1=×1 m/s2×(3 s)2=4.5 m,
前25 s内冰壶运动的位移x=x1+s=4.5 m+30 m=34.5 m。(共48张PPT)
3　匀变速直线运动的位移与时间的关系
[定位·学习目标]　
1.掌握位移公式、位移速度公式的意义,形成物理观念。2.经历位移公式的推导过程,掌握运用数学知识——函数图像、微元法分析物理问题的能力,掌握科学思维方法。3.通过位移与时间关系、速度与位移关系的应用,培养解决实际问题的能力。
探究·必备知识
知识点一　匀变速直线运动的位移
「探究新知」
1.利用v-t图像求位移
vt
如图甲所示,物体做匀速直线运动,若速度为v,则t时间内物体的位移x= ,即位移为图中 ;启示我们:匀变速直线运动的v-t图像中
所围面积应该是t时间内物体的位移。在图乙中,物体做
匀变速直线运动的位移x= 。
阴影面积
图线与坐标轴
2.匀变速直线运动位移与时间的关系式
x= ,一般称为位移公式。当初速度为0时,x= 。
v-t图像中图线与坐标轴所围成的面积有时在时间轴上方,有时在时间轴下方。这与物体的位移有何关系
「新知检测」
【答案】 根据v-t图像的物理意义,图线在时间轴上方,表明物体向正方向运动,图线与坐标轴所围图形的面积代表物体的位移为正值。同理,图线与坐标轴所围图形的面积在时间轴的下方,表明物体的位移为负值。
知识点二　速度与位移的关系
「探究新知」
1.速度与位移的关系式
2ax
2.公式推导
已知匀变速直线运动的速度与时间的关系式v=v0+at
联立两式消去t可得 。
正误辨析
(1)只有匀变速直线运动的v-t图像与坐标轴所围的面积才等于物体的位移。
(　 　)
×
×
(3)初速度越大,时间越长,做匀变速直线运动的物体的位移一定越大。
(　 　)
(4)当匀变速直线运动的初速度为零时,物体的位移一定与时间的二次方成正比。(　 　)
×
√
突破·关键能力
要点一　匀变速直线运动的位移
「情境探究」
阅读教材“拓展学习”栏目,体会微元法的基本思想。
探究:某质点做匀变速直线运动的v-t图像如图所示,已知初速度为v0,在t时刻的速度为v,加速度为a,试根据v-t图像推导出匀变速直线运动的位移与时间的关系式。
1.位移公式的适用条件:匀变速直线运动。
2.公式中各个量的意义
「要点归纳」
其中的x、v0、a都是矢量,应用时必须选取正方向。一般选初速度v0的方向为正方向。
3.公式的应用
运动情况 取值
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向,a取正值
位移x>0,物体总处于起始点的正方向一侧
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向,a取负值
若x>0,物体处于起始点正方向一侧;若x<0,物体处于起始点负方向一侧
[例1] 铁路两旁有很多间隔都是50 m的电线杆,某乘客想利用手机中的秒表计时功能,测量火车出站时的加速度(火车出站可看成匀加速直线运动),他经过第1根电线杆时开始计时,到第5根电线杆时用时8 s,到第9根电线杆时停止计时,共用时12 s,求:
(1)火车的初速度大小;
(2)火车的加速度大小。
「典例研习」
·规律方法·
应用位移公式解题的一般步骤
(1)确定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负,并用带有正、负号的数值表示。
(3)根据位移与时间关系式或其变形式列式、求解。
(4)说明所求量的大小、方向。
要点二　匀变速直线运动速度与位移的关系
「情境探究」
在某城市的一条道路上,规定车辆行驶速度不得超过30 km/h。在一次该路段的交通事故中,肇事车是一辆客车,测得这辆车紧急刹车(车轮被抱死)时留下的刹车痕迹长为7.6 m,已知该客车刹车时的加速度大小为7 m/s2。
探究:(1)车辆行驶速度与刹车所需位移有何关系
(2)请判断该车是否超速。
「要点归纳」
1.速度位移公式的适用条件:匀变速直线运动。
2.公式中各个量的意义
(1)物体做加速运动时,a取正值;做减速运动时,a取负值。
(2)若x>0,说明物体处于起始点的正方向一侧;若x<0,说明物体处于起始点的负方向一侧。
4.两种特例
(1)当v0=0时,v2=2ax。
[例2] (教材改编)有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统,弹射系统可以使飞机达到一定的初速度,然后飞机在跑道上以最大加速度5 m/s2继续加速,当飞机的速度达到50 m/s时,才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。
(1)若要求该飞机离开弹射系统后,滑行160 m起飞,弹射系统必须使飞机具有多大的初速度
「典例研习」
【答案】 (1)30 m/s
(2)若航空母舰上不装弹射系统,要求该飞机仍能在航空母舰上正常起飞,则该航空母舰甲板长至少应为多少
【答案】 (2)250 m
·规律方法·
(1)当物体做匀变速直线运动时,如果不涉及时间,一般用速度位移公式较方便。
(2)末速度为零的匀减速直线运动,应用此公式往往较方便。
要点三　刹车类问题
「要点归纳」
1.刹车问题:车辆刹车时可看成做匀减速直线运动直至速度为零,所以刹车时车辆只在“刹车时间”内做匀减速运动,而速度减为零后保持静止。刹车时间取决于初速度和加速度的大小。
2.常见错误:当给定的时间大于“刹车时间”时,误认为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动,简单套用速度公式v=v0+at,得出的速度出现负值的典型错误。
3.逆向解题法
(1)方法:末速度为零的匀减速直线运动是初速度为零、加速度大小相等的反向匀加速直线运动的逆运动。若物体的初速度为v0,加速度大小为a,末速度为零,则可将此运动逆向看成初速度为0、加速度大小为a的匀加速直线运动,末速度为v0。
[例3] (2025·四川乐山阶段练习)汽车以10 m/s的速度沿平直公路匀速行驶,现以大小为0.5 m/s2的加速度开始刹车。求:
(1)汽车开始刹车后4 s末的速度大小;
「典例研习」
【答案】 (1)8 m/s　
【解析】 (1)刹车过程,设经t0时间速度减为零,由v=v0-at0,得t0=20 s,
因为t1=4 s由v1=v0-at1,解得v1=8 m/s。
(2)汽车刹车后行驶75 m所需的时间;
【答案】 (2)10 s
(3)汽车30 s内行驶的距离。
【答案】 (3)100 m
·规律方法·
刹车类问题的处理思路
刹车类问题可认为是做匀减速直线运动,当速度减小到零时,物体就会停止而不会接着反向运动。解答此类问题的思路:
(2)比较所给时间t与停止时间t刹的关系确定物体运动状态,最后再利用运动公式求解。若t>t刹,物体已停止运动,不能盲目地把时间t代入;若t提升·核心素养
逆向思维法
「核心归纳」
把运动过程的“末态”作为“初态”的逆向研究问题的方法。一般用于末态已知的情况,例如可将物体匀减速至零的直线运动的情况看成初速度为零的匀加速直线运动处理。汽车刹车问题及如图所示的子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题等均可以利用逆向思维法求解。
「典例研习」
[例题] 高速公路上,为防止汽车连续下坡或转弯时刹车失灵发生事故,道路旁常建有斜向上的“缓冲坡”。如图所示,一质量为m的货车冲上缓冲坡做匀减速直线运动,已知其初速度为v0,经过时间t速度减为零。求货车:
(1)加速度大小a;
(2)最大上行距离L;
(3)冲上缓冲坡一半距离时的速度大小。
检测·学习效果
1.物体做匀加速直线运动,已知第1 s末的速度是 6 m/s,第2 s末的速度是8 m/s,则下列结论正确的是(　　)
[A] 物体零时刻的速度是3 m/s
[B] 物体的加速度是2 m/s2
[C] 第1 s内的位移是6 m
[D] 第1 s内的平均速度是6 m/s
B
2.以速度v0=27 m/s匀速行驶的汽车,突然刹车,刹车过程中汽车以a=-6 m/s2 的加速度继续前进,则刹车后,下列说法正确的是(　　)
[A] 第1 s内的位移为27 m
[B] 前2 s内汽车的平均速度为24 m/s
[C] 刹车5 s内的位移为60 m
[D] 第5 s内的位移为0.75 m
D
3.(多选)(2025·湖北武汉期中)彩虹滑道是很有趣的游玩项目,游客坐在橡皮圈上随之一起滑下,如图所示。假设游客(视为质点)从静止开始做匀加速直线运动,第1 s内的位移是0.5 m,下列说法正确的是( 　　)
[A] 游客的加速度大小是2 m/s2
[B] 游客在1 s末的速度是1 m/s
[C] 游客在第3 s内的平均速度是2.5 m/s
[D] 游客在第5 s内的位移大小是2.75 m
BC
4.一质点由静止开始做匀加速直线运动,它在第10 s内的位移为19 m,则其加速度大小为(　　)
[A] 1.9 m/s2 [B] 2.0 m/s2
[C] 9.5 m/s2 [D] 3.0 m/s2
B
5.电动玩具小车在水平地面上由静止开始做初速度为零的匀加速直线运动,已知第6 s末的速度大小为3 m/s,求:
(1)小车的加速度大小;
【答案】 (1)0.5 m/s2
(2)小车开始运动后前6 s内的位移大小;
【答案】 (2)9 m
(3)小车在4～6 s内的平均速度大小。
【答案】 (3)2.5 m/s
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