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高 考 数 学 必 修 第 一 册 必 备 知 识
集合与简易逻辑 2．绝对值不等式 推论： = 1 2 3 . . . = 1 2 1 1
①若 a＞0， ⑴ | | < < < “小于取中间”
1．集合中元素具有确定性、无序性、互异性． ( > 0,N > 0,a > 0,a ≠ 1,b > 0,b ≠ 1,c > 0 且 c ≠ 1,a1,a2...a > 0,a1,a2...a ≠ 1)
⑵ | | > < 或 > “大于取两边”
2．常用数集：正整数集 ( +),自然数集 ,整数集 ,有理数集 ,实数集 ． 3．函数定义域： ②若 c＞0， ⑴ |ax＋b| < c －c < ax＋b < c；
3．集合的性质： ⑴分式：
1 (x≠0) ⑵偶次方根：√ ( ≥ 0) ⑶零指数幂： 0 ( ≠ 0)
⑵ |ax＋b| ＞ c ax＋b＞c 或 ax＋b <－c x

①任何一个集合是它本身的子集，记为 ； ⑷对数：log ( > 0) (5)正切： （ ≠ + ， ∈ ）
③| + | > | + | | + |2
2
> | + |2
4．函数解析式求法：
②空集是任何集合的子集，记为 ；
3．重要不等式：
(1)换元法（从前到后） (2)配凑法（从后到前）
③空集是任何非空集合的真子集；
(1) 2 + 2 ≥ 2 ( , ，当且仅当 = 取等号) (3)待定系数法． (4)解方程组法： 与 1f(x) f ( ) f(－x)解方程组．
x
④如果 ，同时 ，那么 A = B； 、
+
(2)基本不等式： ≥ √ ( , > 0，当且仅当 = 取等号)
2 5．函数单调性：
⑤如果 ， ，那么 ．
(3)平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数)： 设 x1、x2 [a, b],且 1 < 2，那么
4．含 n 个元素的集合有 2n 个子集, 有 2n－1 个真子集, 有 2n－2 个非空真子集. f(x1)－f(x2)
a 2+b 2 a +b 2 (当 a = b 时取等) ⑴ ( 1) ( 2) < 0 ( )为增函数；若 >0 f(x)为增函数（同号为增）
ab x1－x2
5．集合的运算性质： 2 2 1 1+
a b f(x1)－f(x2)⑵ ( 1) ( 2) > 0 ( )为减函数；若 <0 f(x)是减函数（异号为减） x1－x2
∪ = ∩ = a +b 2 a
2+b 2 ( a +b a
2+b 2
特别地， ab ( ) 当 a = b 时， ( ) 2= = ab) 特别地：复合函数 f(g(x))的单调性：内函数 u＝g(x)，外函数 f(u) ， “同增异减”.
6．条件： 2 2 2 2
记：P 的范围构成集合 A，q 的范围构成集合 B. 6．函数奇偶性：（判断奇偶性：务必先求定义域）
4．利用不等式求最值（一正二定三相等）：
(1)公式法：直接利用基本不等式（积定和最小，和定积最大） 偶函数：定义域关于原点对称且 ( ) = ( )，偶函数图象关于 y 轴对称。
① p 是 q 的充分不必要条件(A 是 B 的真子集) (2)配凑法.
(3)常数代换法． 奇函数：定义域关于原点对称且 ( ) = ( )，奇函数图象关于原点对称。
② p 是 q 的必要不充分条件(B 是 A 的真子集) (4)换元法．
常用结论：奇函数 f(x)在 x=0 处有定义，则必有 f(0)=0；
(5)消元法．
③ p 是 q 的充要条件(A = B 相等) 公共定义域内有：奇±奇＝奇,偶±偶＝偶,奇×奇＝偶,偶×偶＝偶,奇×偶＝奇．
函数与性质
7．周期性：
④ p 是 q 的既不充分也不必要条件(p、q 互不包含) 1．指数：
(1)若 ( + T) = ( )，T为非零常数，则 T 为 ( )的周期.
技巧：小范围推大范围，大范围不能推小范围，即小的推大的，大的不能推小的 根式运算：√ √ = √ ； ( √ ) = ； (2)两个对称轴间距为 ,即：f(x)关于直线 x＝a,x＝b 对称，则 T＝2| |．
2
7．⑴逻辑联词：或，且，非．(或命题一真就真，且命题全真才真，非命题真假互换) 1
整数幂：⑴ = ( 个 相乘) ⑵ = ⑶
0 = 1( ≠ 0) ( 3 )

两个对称中心间距为 ,即：f(x)关于点(a，0),(b，0)对称，则 T＝2| |．
非(结论否定)： p 与 p 一真一假. 2
1
1

(2) 全称命题“存在 中的一个 ，使 ( )成立”，记作“ ∈ ， ( )”； 分数幂：⑴ = √ ⑵ = √ ⑶ = ( , ∈ ) √ (4)对称轴与对称中心间距为 ：f(x)关于直线 x＝a、点(b,0)对称,则 T＝4| |． 4

特称命题“对 中任意一个 ，有 ( )成立”，记作“ ∈ ， ( )”． 指数运算： = + ； = ； 8．图像变换：
含量词命题的否定：全称命题 ： ∈ ， ( )，它的否定 ： ∈ ， ( )． (1)平移变换
( ) = ； ( ) = .
不等式 2．对数：
基本性质：①负数和零没有对数； ② = 1， 1 = 0 (a > 0 且 a ≠ 1) 1．分式不等式
f(x) f(x)
(1) > 0 f(x)·g(x)>0． (2) ≥ 0 f(x)·g(x) ≥ 0 且 g(x)≠0. 对数运算： ( ) = + =
g(x) g(x)

f(x) f(x)
f x g x f x g x g x

(3) <0 ( )· ( )<0． (4) ≤ 0 ( )· ( ) ≤ 0 且 ( )≠0.
= log = log
g(x) g(x)

f(x) 对数恒等式：
= 换底公式： =
(5) g(x)
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(2)对称变换 4．三角函数的公式： π⑶ 最值：当 ωx＋φ＝ ＋2kπ， ∈ 时，y 最大；
关于x轴对称 2
①y＝f(x)―――――――→y＝－f(x)；
(一)同角三角函数基本关系 当 ωx＋φ＝ ＋2kπ， ∈ 时，y 最小.
2
关于y轴对称
②y＝f(x)――――――→y＝f(－x)； 2 2 2 ⑷ 单调性： 由 + 2 ≤ + ≤ + 2 ， ∈ 可解得增区间； ⑴ sin θ＋cos θ＝1 知一求二： (sin α±cos α) ＝1±2sinαcos α=1±sin2α； 2 2
3
由 + 2 ≤ + ≤ + 2 ， ∈ 可解得减区间.
关于原点对称 2 2
③y＝f(x) ―――――→ y＝－f(－x)； sin θ⑵ tan θ＝ . 弦切互化(分式齐次，分子分母同除以 cosθ)
cos θ π 1 ⑸ 对称轴：由 ωx＋φ＝kπ＋ 可得对称轴为： = ( + )， ∈ ；
(3)伸缩变换 2 2
1 (二)诱导公式：
a＞1，横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变
a 对称中心：由 ωx＋φ＝kπ 可得对称中心为：( ，0)， ∈ .
①y＝f(x) →y＝f(ax)； ⑴ 诱导公式的作用：化简：大角化小角，负角化正角，最好化成特殊角；
1
0＜a＜1，横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变
a 5．三角形中
⑵ 谨记：形如“ + ”即出现(或配凑)轴上角才用诱导公式；
2
a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 ⑴ 三角形内角和定理： + + = = ( + )
②y＝f(x) →y＝af(x)．
0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 ⑶ 口诀：“奇变偶不变，符号看象限， 当作锐角看”.
① sin C＝sin(A＋B)； ② cos C＝－cos(A＋B) ③ tan C＝－tan (A＋B)；
(4)翻折变换 (三)恒等变换：
⑵ 边角关系(大边对大角)：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边.
保留x轴上方图象
①y＝f(x)―将―x―轴―下―方―图―象――翻―折―上―去→y＝|f(x)|.
(1)两角和与差公式
常用结论：在 中， > > > ;
Sα±β：sin(α±β)＝sinα cosβ ± cosα sinβ；
保留y轴右边图象，并作其 指数函数
②y＝f(x)―――关―于―y―轴―对―称――的―图―象――→y＝f(|x|)． Cα±β：cos(α±β)＝cosα cos β sinα sinβ； ① a>1 ② 0y＝ax
7．零点问题： tan α±tan β
Tα±β：tan(α±β)＝ .
1 tan αtan β
(1)方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点
(2)倍角与降幂公式
函数 y＝f(x)有零点．
图象
2 = 2 .
(2)函数零点存在性定理：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且 f(a)·f(b)＜0，
2 = 2 2 = 2 2 1 = 1 2 2 .
则区间[a，b]内存在零点．函数在区间[a，b]上单调，则有且仅有一个零点。 2
2 = 2 .
(3)函数 ( ) = ( ) ( )零点个数的判断方法： 1
定义域 R
1+ 2 1 2
①直接解方程 ( ) = 0求出零点； 降幂公式： 2 = ; 2 = .
2 2 值域 (0，＋∞)
②利用零点存在性定理，再结合函数 ( )的单调性确定零点个数；(常用于证
(3)万能公式 过定点(0,1) 即 x＝0 时，y＝1
明零点个数)

2 1 2
当 x>0 时，y > 1； 当 x> 0 时，0 < y < 1；
2 性质
2
③利用函数 ( )与 ( )图象的交点个数判断. = =
2 2
= 当 x<0 时，0 < y < 1 当 x < 0 时，y > 1
1+ 2 1+ 2 1 2
2 2 2
在(－∞，＋∞)上是增函数（同号） 在(－∞，＋∞)上是减函数（异号）
三角函数 (4)辅助角公式
对数函数
① a>1 ② 0180° 2 2
1.角度制与弧度制的互化： = 180 ，1 = ≈ 57 = + = √ + ( + )
y＝logax


2.扇形弧长与面积： = ， 其中 = ， = √ 2+ 2 √ 2+ 2
⑴ 圆的周长: = 2 ；圆的面积: = 2 4. 正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A> 0) 解题方法：整体代入 图象
⑵ 扇形的弧长公式： = | | ；
y＝sin x 的图象：
1 1
⑶ 扇形面积公式： = = | | 2.
2 2 定义域 (0，＋∞)
3．三角函数的定义:角 终边上任一点 P (x, y) ,设 | OP |= r 2 值域 R ⑴ 周期： =
| |
过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0

则： = = π
⑵ 奇偶性：当 φ＝kπ＋ ， ∈ 时，y＝Asin(ωx＋φ)＝±Acosωx 偶函数；
2 当 x>1 时，y>0； 当 x>1 时，y<0； 性质
当 φ＝kπ， ∈ 时，y＝Asin(ωx＋φ)＝±sinωx 奇函数. 当 00
= （ ≠ 0）

在(0，＋∞)上是增函数（同号） 在(0，＋∞)上是减函数（异号）
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③平面法向量的求法：设 、 、 是平面 上任意三点 2、直线的五种方程
空间向量 第一步：设平面的法向量为 = ( , , )
名称 方程 已知条件 局限
1、向量的相关定理 第二步：将 、 、 ， 的坐标代入{
= 0，得两个关于 , , 方程组；
= 0 (1) 点斜式 y－y1＝k(x－x1) 点(x1，y1) 、斜率 k 不能表示竖线
(1)空间中任意两个非零向量 , ，不一定共线，但一定共面 第三步：任取一组解，从而得到法向量
若 ≠ 0 ，存在实数 使 = ，则 , 共线(共线向量定理) （注意：平面的法向量有很多个，我们只要能算出其中一个即可） (2) 斜截式 y＝kx＋b 斜率 k、在 y 轴上截距 b 不能表示竖线
若平面内存在点 O，使 = + ( + = 1, , ∈ )，则 , , 三 11、用空间向量证明平行、垂直问题 A 没有局限
(3) 一般式 Ax＋By＋C＝0 AB 不同时为 0， k＝－
点共线(三点共线定理) ①证线线平行：设 , 分别为直线 , 的方向向量，则 = 线线平行 B
(2)空间中任意三个非零向量 , , ，不一定共面
②证线面平行：设 为直线 的方向向量， 为平面 的法向量，则 = 0 线 y－y1 x－x1 不能表示竖线、横线
若 , 非零不共线，存在实数对 , 使 = + ，则 , , 共 (4) 两点式 ＝ 两点(x1，y1)，(x2，y2)
面平行 y2－y1 x2－x1
面(共面向量定理)(平面向量基本定理)
, , ∈ ③证面面平行：设 1 , 2 分别为平面 , 的法向量，则 1 = 2 面面平行 若空间内存在一点 O 使 = + + ( + + = 1 λ μ R)， x y 不能表示竖线、横线、 （5）截距式 ＋ ＝1 x 轴截距 a、y 轴截距 b
则 , , , 四点共面(四点共面定理) ④证线线垂直：设 , 分别为直线 , 的方向向量，则 = 0 线线垂直 a b 不能表示过原点的直线
2、平面、空间向量基本定理 ⑤证线面垂直：设 为直线 的方向向量， 为平面 的法向量，则 = 线
①平面向量基本定理：若平面内存在两个非零不共线的向量 , ， 面垂直 3、两条直线的平行和垂直 1 2
则平面内任意一个向量 都有 = 1 + 2 (x,y∈R) ⑥证面面垂直：设 1 , 2 分别为平面 , 的法向量，则 1 2 = 0 面面垂直
（1）若 1: = 1 + 1， 2: = 2 + 2（两直线斜率均存在）
②空间向量基本定理：若平面内存在三个非零不共面的向量 , , ， = 1 2 3 12、用空间向量求夹角 ① 1// {
1 2
2 ； ② 1 ⊥ 2 1 2 = 1
则空间内任意一个向量 都有 =x 1 + 2 + 3 (x,y,z∈R)
1 ≠ 2
①两直线的夹角：设 , 分别为直线 , 的方向向量，两直线的夹角为 ∈ [0, ]，（2）若 1: 1 + 1 + 1 = 0， 1: 2 + 2 + 2 = 0（A 与 B 不同时为 0）
3、空间向量的运算律 2
存在（ 1 2 ≠ 0）
①加减法： + = + ，( + ) + = + ( + ) 则 = | , | 不存在（ 1 = 0， = 0）① 1// 2 { = 0 或 { 2
②数乘运算： ( ) = ( ) ，( + ) = + ， ( + ) = + ②直线与平面的夹角：设
为直线 的方向向量， 为平面 的法向量，直线与 1 2 2 1
≠ 0 1
2 2 1 ≠ 0
1 2 2 1
③数量积： = ， ( + ) = + ，( ) = ( ) 平面的夹角为 ∈ [0, ]，则 = | , | 2 ② 1 ⊥ 2 1 2 + 1 2 = 0
4、 与 的数量积(内积)： = | | | | , ③平面与平面的夹角：设 1 , 2 分别为平面 , 的法向量，两平面的夹角为 ∈ （3）平行和垂直直线的设法
,
、空间向量的坐标运算 [0, ]，则 = | , | = |
1 2 | 与直线 平行的直线可设为 + + 1 = 0 5 2 1 2 | 1 || 2 |
①设 =( 1, 1, 1), =( 2, 2, 2)，则 + =( + , + , + ) ④二面角：设 1 , 2 分别为平面 , 的法向量， ∩ = ，二面角 的1 2 1 2 1 2 与直线 垂直的直线可设为 + 2 = 0.
②设 =( 1, 1, 1), =( 2, 2, 2)，则 =( 1 2, , )
平面角为 ∈ [0, ]，
1 2 1 2 4、距离公式
,
③设 =( , , )， ∈ ，则 =( , , ) 若观察出二面角 为锐角，则 = | 1 , 2 | = |
1 2 |
| || | ⑴ 两点间的距离:| | = √( 2 1)
2 + ( 2
2
1 2 1) (点 A( 1, 1)，点 B( 2, 2))．
④设 =( , , ), =( , 1 1 1 2, 2, 2)，则 = 1 2 + 1 2 + 1 2 若观察出二面角 为钝角，则 = | , | = | 1 2 | Ax0+By0+C1 2 | 1 || 2 | (2)点到直线的距离: d = （点 ( 0, 0)， : + + = 0）．
6、向量的模 2 2
13、用空间向量求距离 A +B
① =( , , )，则| | = √ 2 = √ = √ 2 + 2 + 2 → C1 C 2
①点到直线的距离：如图 1，设 是直线 外一点， 是直线 上任意一点， 是 (3)两平行线间的距离：d = （ ： + + = 0， ： + + = 0）.
② ( 1, 1, 1)， ( 2, 2, 2),| | = √( 22 1) + ( 22 1) + ( 2 2
1 1 2 2
1) → → A2 +B 2
7、两向量的夹角公式 直线 的方向向量， 是 在直线 的投影向量，则点 到直线 的距离：
5、对称问题
设 =( , , ), =( , , )，则 ,
|
= = 1
2+ 1 2+ 1 2| 2
1 1 1 2 2 2 2 →
2 2
→
1+ 2 1+ 2
| | | |
√ 2+ 2+ 2√ 2+ 2+ 2 =
√| | | | =√| | ( ) 中点公式：点 P(x，y)、点 P′( 2， 2)的中点 Q( , )
1 1 1 2 2 2 | |
2 2
x′＝2a－x，
8、向量的平行与垂直 ②求点到面的距离：如图 2，设 n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条射线， (1)中心对称：①P(x,y)关于 Q(a,b)的对称点 P′(x′,y′)则
→ → y′＝2b－y.
设 =( 1, 1, 1), =( 2,
→ →
2, 2)， | |其中 ∈ ，则点 B 到平面 的距离为 → ． ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
| |
① // = 2 = 1 (2)轴对称：①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点 A′(m，n)，
{ 2 = 1 图 1： ( ) = 1，
2 = 1 图 2：
→ → → → → 则有{ ② ⊥ ( ≠ 0) → = 0 1 2 + 1 2 + 1 2 = 0 + +
+ + = 0
9、投影向量 2 2③求异面直线间的距离：设向量 n 与两异面直线 a,b 都垂直， ∈ , ∈ ,则
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． ·
投影向量： 在 方向上的投影向量：| |cosθ = · | |
两异面直线 a,b间的距离就是
在向量 n 方向上投影的长度．即 = .
| | | | | | | | 二、圆的方程．
· 2
投影（数量）： 在 方向上的投影（数量）：| |cos θ= 直线与圆 1、圆的标准方程： (x a) +(y b)
2=r 2．圆心:(a，b)，半径：r
| | 一、直线方程． 2、圆的一般方程： 2 + 2 + + + = 0．（ + > ）
| · |
投影长度： 在 方向上的投影长度：| ||cosθ|= 1、直线的倾斜角与斜率 √
2+ 2 4
| | 其中圆心 ( , )，半径 = ．
2 2
(
、方向向量与法向量 （1）设直线过点 1, 1
)，( 2, 2)，倾斜角为 ，斜率为 ，
2
10
2 2

2 1 当 + 4 = 0时，方程表示一个点( , )． 则 = = ；( ≠ , ≠ ) 2 2
①直线的方向向量：设 、 是直线 上任意两点，则 为直线的方向向量 2 1 22 1
当 2+ 2 4 < 0时，方程无图形(称虚圆)．
②平面的法向量：若向量 所在的直线与平面 垂直，则 为平面的法向量 （2）若直线的方向向量 = ( , )，则 =

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3、点和圆的位置关系：给定点 ( , )及圆C : (x a)2+(y b)2=r 20 0 ． 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 3、常用结论
① 在圆 内 ( 2 2 20 ) + ( 0 ) < （1）双曲线 2 2 = ( ≠ 0)为等轴双曲线，其渐近线为 = ± ，离心率 = √2．
② 在圆 上 ( 0 )
2 + ( 0 )
2 = 2 2 y 2 2x x 2 y 2 y 2x
图像 （2） = 与 = 互为共轭双曲线，有共同渐近线： = 0．
2 2 2 2
③ 在圆 外 ( 0 )
2 + ( 20 ) >
2 a b a b a 2 b 2
4、直线和圆的位置关系： x 2 y 2 2x 2 y
（3）共渐近线的双曲线系方程： = ( 0) 。渐近线方程为 = 0．
a 2 b 2 a 2 b 2
2 2 2 2
设圆 ： (x a)2+(y b)2=r 2 ( 0)；直线 ： + + = 0( 2+ 2 ≠ 0)； x y y x标准方程 2＋ 2＝1(a＞b＞0) 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b a b （4）从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于 b．
2 2
Aa + Bb+C 焦点 ( , 0), ( , 0) (0, ), (0, ) （5） 为双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)左支上一点，若 是左焦点，则 的取1 2 1 2
圆心 ( , )到直线 的距离 d = ．
2 2 轴长与焦距 长轴长: 2 ， 短轴长: 2 ， 焦距: 2 （ 2 = 2 + 2） 值范围是[ ,+∞)，若 是右焦点，则 的取值范围是[ + , +∞). A +B
2 2
四个顶点 ( , 0), ( , 0), (0, ), (0, ) (0, ), (0, ), ( , 0), ( , 0) （6） 为双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)上一点，其中 1, 2是双曲线的左右焦点，
※ 弦长公式：| | = 2√ 2 2
2
2
离心率 = = √1 2 ∈ (0,1)
∠ 1 2 = ，则 = . 1 2
2
5、过点 P(x0 ,y0)的圆 ：( ) + ( ) = 的切线方程： 2 2（7）已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)，若点 , 是双曲线上关于原点对称的2 2
（1）若点 P 在圆 C 上，则切线方程为：( – )( – )+( – )( – )= 2． 弦长 x a x a y b y b |AB|＝ (1＋k )[(x1＋x2) －4x1x2]交点 A(x1，y1)，B(x

2，y2)
0 0 2
两点， 是双曲线上异于 , 的一点.若 , 的斜率分别为 1, 2，则 1 2 = . 2
2
特别地，过圆 x2+y 2=r 2 上一点 P(x0 ,y 0 )的切线方程为 + =
2． 2 0 0 通径 焦点弦中通径最短： =
三、抛物线方程．
（2）若点 P 不在圆 C 上，则检验过 P 斜率不存在时的直线 = 0是否为切线， 3、常用结论 设 > 0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
2 y 2x
斜率存在时，设切线方程为： = ( )，并由 d=r 求出 切线方程． （1）共离心率的椭圆系的方程： + = t(t ≠0， > > 0) 0 0
a 2 b 2
6、圆与圆的位置关系（R>r）
x 2 y 2
（2） 是椭圆 + = 1上的任意一点， 是椭圆的一个焦点，则| |的取值
a 2 2
1 1
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 b
范围是[ , + ].
几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 2 2
（3） 为椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)上一点，其中 1
, 2是椭圆的左右焦点，

∠ 1 2 = ，则 =
2 ； = 2 + 2 ；P 为短轴端点时 最大. 1 2 2 1 2
图像 x2 y 2
（4）已知椭圆 + =1( > > 0)，若点 , 是椭圆上关于原点对称的两点，
a 2 b2
2
是椭圆上异于 , 的一点.若 , 的斜率分别为 1, 2，则 1 2 = 2.
公切线 4 条 3 条 2 条 1 条 0
二、双曲线方程．
附：
1、双曲线的第一定义：
2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 0 2、标准方程与性质
（1）两圆相切，则{ 两式相减为公切线方程．
2 + 2 + + + = 0 焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 2 2 2
2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 0
（2）两圆相交，则{ 两式相减为公共弦方程.
2 + 2 + 2 + 2 + = 0 图像 2
2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 0
（3）两圆相离，则{ 两式相减为圆心 的
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 0 2 2 2 2
标准方程
2 (2 = 1 > 0, > 0) 2 2 = 1( > 0, > 0) 连线的中垂线方程．
轴长与焦距 实轴长= 2 虚轴长= 2 焦距: 2
圆锥曲线
焦点 1( , 0) 2( , 0) 焦点 1(0, ) 2(0, )
焦点与顶点
一、椭圆方程． 顶点 1( , 0) 2( , 0) 顶点 1(0, ) 2(0, )
1、椭圆方程的第一定义： 离心率
2 2+ 2 2
= = √ 2 = √ = √1 +
2 2
2 2 ( > 1) （ = +
2）


渐近线方程 = ± = ±
2、标准方程与性质
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1
第一章 集合与简易逻辑 第二章 基本初等函数 (7)两个对称中心是半个周期 T：f(x)关于点(a，0)(b，0)对称，那么 T＝2| |．
2
1．集合中元素具有确定性、无序性、互异性． 1．指数：
1
(8)对称轴与对称点是 个周期：f(x)关于直线x＝a、点(b，0)对称，那么T＝4| |．
4

2．常用数集：正整数集 ( +),自然数集 ,整数集 ,有理数集 ,实数集 ．

根式运算：√ √ = √ ； ( √ ) = ； 6.图像变换：
3．集合的性质： 1 (1)平移变换
整数幂：⑴ = ( 个 相乘) ⑵ = 0 ⑶ = 1( ≠ 0)
①任何一个集合是它本身的子集，记为 ；
1
1分数幂：⑴ = ⑵ = ⑶ = ( , ∈ )
②空集是任何集合的子集，记为 ； √ √ √

③空集是任何非空集合的真子集； 指数运算： = + ； = ；( ) =
；( ) =

④如果 ，同时 ，那么 A = B． 2．对数：
⑤如果 ， ，那么 ． 基本性质：①负数和零没有对数； ② = 1, 1 = 0 (a > 0且 a ≠ 1)

4．含 n 个元素的集合有 2n 个子集, 有 2n－1 个真子集, 有 2n－2 个非空真子集. 对数运算： ( ) = + = (2)对称变换
5．集合的运算性质： 关于x轴对称

= log = log ①y＝f(x)―――――――→y＝－f(x)；
∩ ( ∪ ) = ∪ ( ∩ ) = 关于y轴对称
②y＝f(x)――――――→y＝f(－x)； 对数恒等式： = 换底公式：
A ∩ B =
=
(Cu ) (Cu ) C u ( A ∪ B) (Cu A )∪ (Cu B)= Cu (A ∩ B) 关于原点对称
③y＝f(x) ―――――→ y＝－f(－x)；
∪ = ∩ = 推论： = 1 2 . . . = 1 2 3 1 1 (3)伸缩变换
6．条件： ( > 0,N > 0,a > 0,a ≠ 1,b > 0,b ≠ 1,c > 0且 c ≠ 1,a1,a2...a > 0,a1,a2...a ≠ 1) 1
a＞1，横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变
a
3．奇偶性： ①y＝f(x) →y＝f(ax)；
1
0＜a＜1，横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变
a
① p 是 q 的充分不必要条件(p 是 q 的真子集) 偶函数：定义域关于原点对称且 ( ) = ( )，偶函数图象关于 y 轴对称。
a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变
②y＝f(x) →y＝af(x)．
② p 是 q 的必要不充分条件(q 是 p 的真子集) 奇函数：定义域关于原点对称且 ( ) = ( )，奇函数图象关于原点对称。 0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变
常用结论：奇函数 f(x)在 x=0 处有定义，则必有 f(0)=0； (4)翻折变换
③ p 是 q 的充要条件 (p = q 相等)
一般有：奇±奇＝奇,偶±偶＝偶,奇×奇＝偶,偶×偶＝偶,奇×偶＝奇． 保留x轴上方图象①y＝f(x)―将―x―轴―下―方―图―象――翻―折―上―去→y＝|f(x)|.
④ p 是 q 的既不充分也不必要条件(p、q 互不包含)
4．对称性：
保留y轴右边图象，并作其
②y＝f(x)―――关―――――――――――→y＝f(|x|)． 技巧：小范围推大范围，大范围不能推小范围，即“小推大，大不推小”. 对称轴：f(a＋x)＝f(a－x) f(x)图像关于直线 x＝a 对称． 于y轴对称的图象
7．零点问题：
7．⑴逻辑联词：或,且,非．(或命题一真则真，且命题全真才真，非命题真假互换) + f(a＋x)＝f(b－x) 对称轴 =
2 (1)方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y＝f(x)有
①且(交集)： p∧q； ②或(并集)： p∨q； ③非(结论否定)： p .
对称中心：f(a＋x)＋f(a－x)＝2b f(x)图像关于点(a，b)对称． 零点．
⑵短语“对所有的”、“对任意一个”称为全称量词，用“ ”表示；
+
f(a＋x)＋f(b－x)＝0 对称中心（ ，0） (2)函数零点存在性定理：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且 f(a)·f(b)＜0，
2
短语“存在一个”、“至少有一个”称为存在量词，用“ ”表示．
则区间[a，b]内存在零点．函数在区间[a，b]上单调，则必存在一个零点。
5．周期性：
(3) 全称命题：“对 中任意一个 ，有 ( )成立”，记作“ ∈ ， ( )”； (3)函数 ( ) = ( ) ( )零点个数的判断方法：
(1)f(x＋a)＝f(x)，T＝| |． (2)f(x＋a)＝－f(x)，T＝2| |．
特称命题：“存在 中的一个 0，使 ( 0)成立”，记作“ 0 ∈ ， ( 0)”． ①直接解方程 ( ) = 0求出零点；
1 1
(3)f(x＋a)＝ ，T＝2| |． (4)f(x＋a)＝－ ，T＝2| |．
含量词命题的否定：全称命题 ： ∈ ， ( )，它的否定 ： ( ) ( ) ②利用零点存在性定理，再结合函数 ( )的单调性确定零点个数；(常用于证0 ∈ ， ( 0)；
特称命题 ： 0 ∈ ， ( 0)，它的否定 ： ∈ ， ( )． (5)f(a＋x)＝f(b＋x)，T＝| |．
明零点个数)
口诀：“改量词，否结论”（条件不变） 1 ( ) ( )(6)两个对称轴是半个周期 T：f(x)关于直线 x＝a，x＝b 对称，那么 T＝2| |． ③利用函数 与 图象的交点个数判断.
2
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4. 正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A> 0) 方法：整体代入
第三章 数列 第四章 三角函数
2
⑴ 周期： =
| |
1．等差数列： 180°1.角度制与弧度制的互化： = 180 ，1 = ≈ 57 π
⑵ 奇偶性：当 φ＝kπ＋ 时，y＝Asin(ωx＋φ)＝±Acosωx 偶函数；
2
⑴ 定义： +1 = ( ∈ +) 1 = ( ≥ 2 ， ∈ +) 2.扇形弧长与面积： 当 φ＝kπ 时，y＝Asin(ωx＋φ)＝±sinωx 奇函数
⑵ 通项公式：① = 1 + ( 1) ； ② = + ( ) ； π
⑴ 圆的周长: = 2 ；圆的面积: = 2 ⑶ 最值：当 ωx＋φ＝ ＋2kπ 时，y 最大；ωx＋φ＝ ＋2kπ 时，y 最小。
2 2
⑶ 等差中项：① 若 , , 成等差数列，则 + = 2 ；
⑵ 扇形的弧长公式： = | | ； ⑷ 单调性： 由 + 2 ≤ + ≤ + 2 可解得增区间； 2 2
3
②若 + = + = 2 ，则 + = + = 2 由 + 2 ≤ + ≤ + 2 可解得减区间； 1 1 2 2
⑶ 扇形面积公式： = = | | 2.
2 2 π
( 1+ ) ( 1)
1
⑷ 前 项和公式： = ； = + ； ⑸ 对称轴：由 ωx＋φ＝kπ＋ 可解得对称轴为： = ( + )； 2 1 2 2 2
3．三角函数的公式：
⑸ 前 n 项和性质：若等差数列{ }的前n 项和 S ，则 ， ， 对称中心：由 ωx＋φ＝kπ 可解得对称轴为：( ，0). n 2 3 2 … (一)基本关系
是等差数列 ⑴ sin2θ＋cos2θ＝1 知一求二： (sin α±cos α)2＝1±2sinαcos α； 第五章 平面向量
2．等比数列： sin θ 1．平面向量的概念 ⑵ tan θ＝ . 弦切互化(分式齐次，分子分母同除以 cosθ)
cos θ ⑴向量的定义：既有大小，又有方向的量(位移、力、速度等)；向量的大小叫

⑴ 定义： +1 = (公比) ( ∈ +)
= (公比) ( ≥ 2 ， ∈ )
+ 1 (二)诱导公式： 做向量的长度(或称模)；
→
1 ⑵零向量：模为 0 的向量；记作： 。零向量的方向是任意的，与任何向量都⑵ 通项公式：① = 1 ； ② = ⑴ 诱导公式的作用：化简：大角化小角，负角化正角，最好化成特殊角；
平行(共线)；
⑶ 等比中项：① 若 , , 成等比数列，则 = 2 ⑵ 谨记：形如“ + ”即出现(或配凑)轴上角才用诱导公式；
2 ⑶单位向量：模为 1 的向量.与非零向量 同向的单位向量为 ； | |
② 若 + = + = 2 ，则
2
= =
⑶ 口诀：“奇变偶不变，符号看象限， 当作锐角看”. ⑷平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量。向量可以平移；
a n1(1－q ) ⑸相等向量：大小相等，方向相同；
⑷ 前 项和公式：当 q＝1 时，Sn＝na1； 当 q≠1 时，Sn＝
1－q (三)恒等变换： ⑹相反向量：大小相等，方向相反.
(1)两角和与差公式 2．平面向量的线性运算
⑸ 前 n 项和性质：若等比数列{ }的前n 项和 Sn ，则 ，S2m Sm 3 2 …
Sα±β：sin(α±β)＝sinα cosβ ± cosα sinβ； ⑴向量的加法： = + 满足三角形法则和平行四边形法则
是等比数列
Cα±β：cos(α±β)＝cosα cos β sinα sinβ；
3．求通项公式方法：
tan α±tan β 1 = 1( = 1)① 与 a 关系： = { Tα±β：tan(α±β)＝ . n 1( ≥ 2) 1 tan αtan β ⑵向量的减法： = (口诀：共起点，连终点，指向被减)
②累加法：形如 +1 = ( )； (2)倍角与降幂公式
≥ 2时： = ( 1) + ( 1 2) + + ( 2 1) + 1 2 = 2 .

③累乘法：形如 +1

= ( )； ≥ 2时： = 1 2 1 2 =
2 2 = 2 2 1 = 1 2 2 .
1 2 1
2
④构造法：形如 +1 = + ，又叫待定系数法： 2 = . 1 2
设： ⑶向量的数乘： λ ①当 λ>0 时，λ 与 的方向相同； +1 + = ( + )，求出 ;
1+ 2 1 2
降幂公式：
2 = ; 2 = .
⑤倒数法：形如 = ． 2 2 ②当 λ<0 时，λ 与 的方向相反； +1 +
(3)万能公式 ③当 λ＝0 时，λ ＝ .
4．常用求和方法：

2 1 2 2 3．共线向量定理
①分组求和法 — 等差数列±等比数列 = 2 ； = 2 ； = 2 .
1+ 2

1+ 2 1 2 ⑴ 若向量 与 共线，则 ＝λ .( ≠ ，λ 唯一)
2 2 2
②倒序相加法 — 与首尾项等距离的项相加之和为定值 → 1 → →
(4)辅助角公式 ⑵ 若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP＝ (OA＋OB) 2
③错位相减法 — 等差数列*等比数列
= + = √ 2 + 2 ( + ) → → →⑶ OA＝λOB＋μOC，A，B，C 三点共线 λ＋μ＝1.
④裂项相消法 — 把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项 → → → 1 → →
定比分点：若 = ,则0 = 0 + 0 .
= , 其中 = ， = . +1 +1
√ 2+ 2 √ 2+ 2
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4．平面向量基本定理： ＝ + . 不共线的向量 ， 叫做平面内的一 3．直线的平行与垂直
第六章 不等式
组基底， ， 唯一． （1）若 1: = 1 + 1， 2: = 2 + 2（两直线斜率均存在）
→ → 1.分式不等式 1 = 2
⑴ 原点(0,0)点 A( , )，则 =（ , ）终点减起点，模| | = √ + . ① // 1 2 { ； ② 1 ⊥ 2 1 2 = 1
f(x) f(x) 1 ≠ 2
→ (1) > 0 f(x)·g(x)>0． (2) ≥ 0 f(x)·g(x) ≥ 0 且 g(x)≠0. g(x) g(x) （2）若 1: 1 + 1 + 1 = 0， 1: 2 + 2 + 2 = 0（A 与 B 不同时为 0）
⑵ 点 （ , ），点 （ , ），则 = ( 2 1, 2 1)终点减起点，模
f(x) f(x) 存在（ 1 2 ≠ 0）
→ (3) <0 f(x)·g(x)<0． (4) ≤ 0 f(x)·g(x) ≤ 0 且 g(x)≠0. 不存在（ ① // { = 0 或 { 1
= 0， 2 = 0）
长：| | = √( 2 1)
2 + ( 2 1)
2 g(x) g(x) 1 2
1 2 2 1 1 2 2 ≠ 0 1 2
1
2.绝对值不等式 2
1 ≠ 0
→ →
⑶ =（ , ）， 为实数，则 =（ , ） ② 1 ⊥ 2 1 2 + 1 2 = 0 ①若 a＞0， ⑴ | | < < < “小于取中间”
（3）平行和垂直直线的设法
⑷ = ( 1, 1)， = ( 2, 2)，则： ⑵ | | > < 或 > “大于取两边”
与直线 平行的直线可设为 + + 1 = 0
→ → ②若 c＞0， ⑴ |ax＋b| < c －c < ax＋b < c； + = ( + , + 与直线 垂直的直线可设为 + = 0. 1 2 1 2)， = ( 1 2, 1 2) 2
⑵ |ax＋b| ＞ c ax＋b＞c 或 ax＋b <－c
1+ 2 1+ 2
⑸ 点 ( , 4．距离公式 1 1)，点 ( 2, 2)的中点坐标为( ， ) ③| + | > | + | | + |2 > | + |2 2 2
3．重要不等式： ⑴ 两点间的距离:| | = √( 2
2
1) + ( 2 1)
2 (点 A( 1, 1)，点 B( 2, 2))．
5．平面向量数量积
(1) 2 + 2 ≥ 2 ( , ，当且仅当 = 取等号) Ax0+By0+C(2)点到直线的距离: d = （点 ( 0, 0)， : + + = 0）．
⑴数量积定义： · =| || |·cos θ + 2 2(2)基本不等式： ≥ √ ( , > 0，当且仅当 = 取等号) A +B
2
· 1 2+ C C1 2
夹角公式 cos θ＝ ＝ 夹角范围[0，π] (3)平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数)：
1 2
(3)两平行线间的距离：d = （ 1： + + 1 = 0， 2： + + 2 = 0）.
| || | 2 2
√ 2+ 2√ 2+ 2 A +B1 1 2 2 a
2+b 2 a +b 2 (当 a = b 时取等)
ab
1 1 5．中点公式与对称公式 2 2
⑵投影数量：| |cos θ 叫 在 方向上的投影，| |cos θ 叫做 在 方向上的投影 + 1+ 2 1+ a b 2中点公式：点 P( 1， 1)、点 P′( 2， 2)的中点 Q( , )
· 2 2 2 2 2 2
投影向量： 在 方向上的投影向量：| |cosθ = · a +b a +b a +b a +b 特别地，
ab ( )
2 ，当 a = b 时， ( ) 2= = ab . ′
| | | | | | + = 2 ，2 2 2 2 (1)中心对称：①P(x,y)关于 Q(a,b)的对称点 P′(x′,y′)则{
′
⑶设向量 ＝( 1, 1)， ＝( 2, 2)，则向量的数量积: · ＝ 1 2 + + = 2 ．1 2
第七章 直线和圆的方程
向量垂直： ⊥ 1 2 + 1 2＝0. 向量平行： ∥ 1 2＝
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
2 1
(2) 轴对称：①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点 A′(m，n)，
6．解三角形 一、直线方程．
( ) = 1，

⑴ 三角形内角和定理： + + = = ( + ) y y1．直线的倾斜角与斜率：斜率 k = tan = 1 2 倾斜角 ∈ [ °, °). 则有{ + +
x1 x2 + + = 0． 2 2
① sin C＝sin(A＋B)； ② cos C＝－cos(A＋B) ③ tan C＝－tan (A＋B)； 注意：当 = 90 时，斜率 k 不存在. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
⑵ 边角关系(大边对大角)：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边. 2．直线方程的几种形式： 二、圆的方程．
1．圆的标准方程： (x a)
2+(y b)2=r 2．圆心:(a，b)，半径：r
常用结论：在 中， > > > ; 名称 方程 已知条件 局限
a b c (1) 点斜式 y－y1＝k(x－x1) 点(x1，y1) 、斜率 k 不能表示竖线 2．圆的一般方程：
2 + 2 + + + = 0． 2+ 2 4 > 0)
⑶ 正弦定理： ＝ ＝ ＝2R. (R 为△ABC 外接圆半径)
sin A sin B sin C
(2) 斜截式 y＝kx＋b 斜率 k、在 y 轴上截距 b 不能表示竖线 √ 2+ 2 4
其中圆心 ( , )，半径 = ．
边化角：a＝2Rsin A； b＝2Rsin B； c＝2Rsin C A 2 2 2
(3) 一般式 Ax＋By＋C＝0 A、B 不同时为 0， k＝－ 没有局限
B 2 2
边角关系：a :b : c = sin A : sinB : sinC 当 + 4 = 0时，方程表示一个点( , )． y－y1 x－x 2 21
(4) 两点式 ＝ 两点(x1，y1)，(x2，y2) 不能表示竖线、横线 2 2
⑷ 余弦定理： 2 = 2 + 2 2 2 = 2 + 2 2 y2－y1 x2－x1 当 + 4 < 0时，方程无图形(称虚圆)．
x y 不能表示竖线、横线、 2 2 2
2 = 2 + 2 2 （5）截距式 ＋ ＝1 x 轴截距 a、y 轴截距 b
3．点和圆的位置关系：给定点 ( 0, 0)及圆C : (x a) +(y b) =r ．
a b 不能表示过原点的直线
2 2 2 2 2 2 2 2 2 附：（1）直线系：对于直线的斜截式方程 = + ，当 , 均为确定的数值时， ① 在圆 内 (x a)
2+(y 2 2
b ＋c －a a ＋c －b b ＋a －c 0 0 b) r
推论：cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ .
2bc 2ac 2ab ② 在圆 上 （x a)2+(y b)2=r 2
它表示一条确定的直线，如果 , 变化时，对应的直线也会变化． 0 0
2 2 2
⑸ 三角形面积公式 (x a) +(y b) r①当 为定值， 变化时，它们表示过定点(0， )的直线束． ③ 在圆 外 0 0
1 4．直线和圆的位置关系：
＝ a·ha (ha 表示边 a 上的高)； ②当 为定值， 变化时，它们表示一组平行直线． 2
2 2 2
1 1 1 : + + = 0 设圆 ： (x a) +(y b) =r ( > 0)；
＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A (两边夹角正弦) （2）过{
1 1 1 1 的交点的直线系方程(不含 2 + 2 + 2 = 0)：2 2 2 2: 2 + 2 + 2 = 0
1 直线 ： + + = 0(
2+ 2 ≠ 0)；
= ( + + ) (r 为三角形内切圆半径) 2 为： 1 + 1 + 1 + ( 2 + 2 + 2) = 0，或先求交点，再设 k． | + + |
圆心 ( , )到直线 的距离 = ． ※ 弦长公式：| | = 2√
2 2
√ 2+ 2
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2 2
5、过点 P(x0 ,y0)的圆 ：( ) + ( ) = 的切线方程：
3、常用结论 （6） 为双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)上一点，其中 1, 2是双曲线的左右焦点，
x 2 y
2
（1）若点 P 在圆 C 上，则切线方程为：(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)= 2． （1）共离心率的椭圆系的方程： + = t(t ≠0， > > 0) ． 2
a 2 b 2 ∠ 1 2 = ，则 = . 1 2
特别地，过圆 x2+y 2=r 2 上一点
2
P(x0 ,y 0 )的切线方程为 +
2
0 0 = ． x 2 y 2 2 2
（2） 是椭圆 + = 1上的任意一点， 1是椭圆的一个焦点，则|

1|的取值 （7）已知双曲线 = 1( > 0, > 0)，若点 , 是双曲线上关于原点对称的
（2）若点 P 不在圆 C 上，则检验过 P 斜率不存在时的直线 = 0是否为切线， a
2 b 2 2 2
2
斜率存在时，设切线方程为： 0 = ( 0)，由 d=r 求 进而得切线方程．
范围是[ , + ]. 两点， 是双曲线上异于 , 的一点.若 , 的斜率分别为 1, 2，则 1 2 = 2.
2 2
（3） 为椭圆 + = 1( > > 0)上一点，其中 , 是椭圆的左右焦点，
6、圆与圆的位置关系（R>r） 2 2 1 2
三、抛物线方程．
∠ 1 2 = ，则
2
= ； = 2 + 2 ；P 为短轴端点时 最大. 1 2 2 1 2
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 2 2 设 p 0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： x y
（4）已知椭圆 + =1( > > 0)，若点 , 是椭圆上关于原点对称的两点，
2 2
几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r a b 标准方程 y 2= 2px y 2= 2px x2= 2py x2= 2py
2
是椭圆上异于 , 的一点.若 , 的斜率分别为 1, 2，则 1 2 = 2. ▲
y ▲
y ▲ ▲
二、双曲线方程． y y
图像
PF1 PF 2 = 2a F 1F 2 方程为双曲线
图形 x x x x
O O O O1．双曲线的第一定义： PF1 PF 2 = 2a F F 1 2 无轨迹
公切线 4 条 3 条 2 条 1 条 0
PF1 PF 2 = 2a = F 1F 2 以F 1,F 2的一个端点的一条射线
2 + 2 + 1 + + 附：（1）两圆相切，则{ 1 1
= 0 p p p p
2 2
两式相减为公切线方程． 2．标准方程与性质 焦点 F( ,0) F( ,0) F(0, ) F(0, )
+ + 2 + 2 + 2 = 0 2 2 2 2
焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
2 + 2 + +
（2）两圆相交，则{ 1 1
+ 1 = 0 p p p p
2 2 两式相减为公共弦方程. 准线 x = x = y = y = + + 2 + 2 + 2 = 0 2 2 2 2
2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 0 图像 范围 x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0 （3）两圆相离，则{ 2 2 两式相减为圆心 的 + + 2 + 2 + 2 = 0

对称轴 x 轴 y 轴
连线的中垂线方程．
x2 y2 y
2 x2 顶点 （0，0）
第八章 圆锥曲线 标准方程 =12 2 (a 0,b 0) =1 a 0,b 0 a b a2 b2
( )
离心率 = 1
一、椭圆方程． 轴长与焦距 实轴长= 2a 虚轴长= 2b 焦距: 2c
p p p p
PF1 + PF2 = 2a F1F 2 方程为椭圆, 焦点 1( , 0) 2( , 0) 焦点 1(0, ) 2(0, ) 焦半径 PF = +x1 PF = + x1 PF = +y1 PF = + y1
1．椭圆方程的第一定义： 焦点与顶点 2 2 2 2PF1 + PF2 = 2a F1F 2 无轨迹, 顶点 1( , 0) 2( , 0) 顶点 1(0, ) 2(0, )
PF1 + PF2 = 2a = F1F 2以F1,F 2为端点的线段 2
2 2
2+ 2 2 弦长 2 |AB|＝ (1＋k )[(x1＋x2) －4x1x2] 交点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 离心率 = = √ = √ √2 2 = 1 + 2 ( > 1) （ =
2 + 2）
2．标准方程与性质
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 b a 通径 过焦点且垂直于对称轴的弦，焦点弦中通径最短： = 2
渐近线方程 y = x y = x
a b
注：
弦长 |AB|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x x图像 1 2] 交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)
3、常用结论
2 2 2 2 （1）双曲线 2 2x y y x = ( ≠ 0)为等轴双曲线，其渐近线为 = ± ，离心率 = √2．
标准方程 2＋ 2＝1(a＞b＞0) 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b a b 2 y 2x 2 2x 2 y x y 2
焦点 1( , 0), 2( , 0) 1(0, ), 2(0, ) （2） = 与 = 互为共轭双曲线，有共同渐近线： = 0 ． a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2
轴长与焦距 长轴长: 2a， 短轴长: 2b， 焦距: 2c （ 2 = 2 + 2）
2 2 2 2
四个顶点 ( , 0), ( , 0), (0, ), (0, ) (0, ), (0, ), ( , 0), ( , 0) x y x y（3）共渐近线的双曲线系方程： = ( 0) ，渐近线方程为 = 0．
2
2 a b
2
a 2 b 2
离心率 = = √1 2 ∈ (0,1) 四、圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 的点的
（4）从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于 b．

弦长 |AB|＝ (1＋k2)[(x ＋x )2－4x x ]交点 A(x ，y )，B(x ，y ) 2 2 轨迹（ = ）． 1 2 1 2 1 1 2 2 （5） 为双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)左支上一点，若 是左焦点，则 的取


2 2 当0 < < 1时，轨迹为椭圆； 当 = 1时，轨迹为抛物线；
通径 过焦点且垂直于长轴的弦，焦点弦中通径最短： = 值范围是[ ,+∞)，若 是右焦点，则 的取值范围是[ + , +∞).
当 > 1时，轨迹为双曲线； 当 = 0时，轨迹为圆（当 c = 0, a = b时）．
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5. 垂直的判定与性质． 如右图所示，设 l 为平面 α 的斜线，l ∩α＝A， 为 l 的方向向量， 为平
第九章 立体几何
(1) 线面垂直的判定与性质： 面 α 的法向量，θ=∠BAO 为 l 与 α 所成的角，
| · |
1、 空间几何体表面积与体积 图形 条件 结论 则 sin θ＝|cos〈 ， 〉|＝ . | || |
表面积或侧面积 体积
a⊥m，a⊥n，m α，n α，m∩n＝O a⊥α ④平面与平面的夹角 θ： ∈ (0, ] 2
圆柱 S 表＝2πr(r＋l) V＝Sh＝πr2h 判定 , 设 1 , 2 分别为平面 , 的法向量，则 = |
1 2
1 , 2 | = | |
1 1 1 | 1 || 2 |
圆锥 S 侧＝πrl V＝ Sh＝ πr2h＝ πr2 l2－r2 a∥b，a⊥α b⊥α 3 3 3 ⑤求二面角：二面角 的平面角记为 ∈ [0, ]，
1
圆台 S 侧＝π(r 上＋r 下)l V＝ h (S 上＋S 下＋ S上S下) 3 a⊥α，b α a⊥b
1 性质
棱锥 S 表= S 侧 +S 底 V＝ Sh 3 a⊥α，b⊥α a∥b
1
棱台 S 表= S 侧 + S 上+ S 下 V＝ h (S 上＋S 下＋ S上S下) 3 (2) 面面垂直的判定与性质： 设 1 , 2 分别为平面 , 的法向量， ∩ = ，
,
2 4 3 文字语言 图形语言 符号语言 若观察二面角 为锐角，则 = | , | = |
1 2 |
球 S 球表＝4πR V＝ 1 2πR | 1 || 2 |3
1 , 若观察二面角 为钝角，则 = | , | = | 2

|
2. 四个基本事实． 如果一个平面过另一个平面的 l β 1 2 | 1 || 2 |
判定 α⊥β
基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 垂线，那么这两个平面垂直 l⊥α
基本事实 2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个 第十章 排列组合二项式定理
α⊥β
平面内. 两个平面垂直，如果一个平面
∩ ＝ 一、两个原理． α β a 基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 内有一条直线垂直于这两个平性质 l⊥α 1．加法原理：做一件事有 n 类办法，则方法数 N=m1 +m2 +……+mn l β过该点的公共直线． 面的交线，那么这条直线与另
一个平面垂直 l⊥a 2．乘法原理：做一件事分 n 步完成，则方法数 N=m m … m 基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行（传递性）． 1 2 n
二、排列．
3. 线、面位置关系． (3) 空间中垂直关系的内在联系：
1．(1)对排列定义的理解．
(1)直线与直线位置关系：相交、平行、异面．
定义：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定顺
异面直线判定：如图： ， ∩ = ， ， 异面 ．．．．．
序．排成一列，
(2)直线与平面位置关系：相交、平行、线在面内． 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．排列数，用符号 表示
六．空间向量． !
(3)平面与平面位置关系：相交、平行． (2)排列数公式： = ( 1) ( + 1) = ( ≤ , , ∈ ) → → → ( )!
4. 平行的判定与性质． 1．①共面向量定理：如果两个向量
→ , 不共线，则向量 与向量→ , 共面的充 规定：0! = 1
→ →
(1) 线面平行的判定与性质： 要条件是存在实数对 x、y 使 =
→ + ． 三、组合．
→ → → →
判定 ②空间任．一．点．O．和．不．共．线．三．点．A．、．B．、．C．，则 = + + ， 1．(1)组合：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不 性质
定义 定理 + + = 1是 P、A、B、C 四点共面的充要条件． 同元素中取出 m 个元素的一个组合．
m m
注：①②是证明四点共面的常用方法． (2)组合数公式m： A An(n n1)(n (1n) m(n+ 1)m +1) n! n!
图形 C n= C
mn
n==
n = C mn= C
m
m m n
=
→ → → → A A m! m! m!(n m!m(n)! m)! m m2．空间向量基本定理：如果三．个．向．量． , , 不．共．面．，那么对空间任一向量 ， m n m a b
条件 a∩α＝ a α，b α，a∥b a∥α a∥α，a β， ∩ ＝ → (3)两个公式性质：①Cn =Cn ；若α β b Cn = Cn ,则 a = b或 a + b = n；
存在一个唯一的有序实数组 x、y、z，使→ = → + + → ．
结论 a∥α b∥α a∩α＝ a∥b C m C m 1 m② n + n = Cn+1
3．(1)空间两点的距离公式： = √( )2 + ( )2 + ( 2
(2) 面面平行的判定与性质： 2 1 2 1 2 1
) ．
四、排列、组合综合．
判定 2 法向量：若向量→ ( ) 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ， 1．排列、组合问题几大解题方法及题型：
性质
定义 定理 → ①直接法； ②排除法； ③捆绑法：主要解决“元素相邻问题”； 记作 ⊥ ，那么向量→ 叫做平面 的法向量．
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档
图形 (3)空间向量的应用： 中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
C n C n C n
a β，b β， α∥β， ①利用法向量求点到面的距离：如图，设 是平面 的法向 kn (k 1)n n⑤平均法：若把 kn 个不同元素平均分成 k 组，每组 n 个，共有 ；
k
条件 α∩β＝ a∩b＝P， α∩γ＝a， α∥β，a β A→ k
| |
a∥α，b∥α β∩γ＝b 量，AB 是平面 的一条射线，其中 ∈ ，则点 B 到平面 的距离为 ．
| | ⑥隔板法：常用于解正整数解组数的问题．
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 2．排列组合常见解题策略：
②求异面直线所成角 θ： ∈ (0, ]
(3) 空间中的平行关系的内在联系： 2 ①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略；
| ·
|
设向量 ， 分别是直线 a，b 的方向向量，则 cosθ＝ ．
③排列、组合混合问题先选元素，后排列的策略； | || |
④正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题捆绑处理策略；
③求直线与平面所成角 θ： ∈ (0, ]
2 ⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略；
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五、二项式定理． 二、概率． x1 x 2 … x i …
1．二项式定理： (a+b)n=C 0anb0+C 1an 1b+ +C ran rbr + +C na0 nn n n n b ． 1．概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值． P p1 p 2 … p i …
2．展开式（共有 + 1项）具有以下特点：
事件 A包含的基本事件数 （A）
①二项式系数：依次为组合数 0 1 ， ， ， ； 2．等可能事件 A 的概率 ( ) = = ． 基本事件总数 （Ω） 则称 = 1 1 + 2 2 + + + 为 ξ 的数学期望或平均数、均值．数
②每一项的次数是 n 次，展开式依 a 的降幕排列，b 的升幕排列展开．
3．①互斥事件：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)， 学期望又简称期望．数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．
3．二项展开式的通项．
（a+b)n 展开式中的第 + 1项为： = (0 ≤ ≤ , ∈ )． ②对立事件：两．个．事．件．必．有．一．个．发．生．的．互．斥．事．件．叫对立事件．
2．期望的性质．
+1
4．二项式系数的性质． 注意：i．对立事件的概率和等于 1： ( ) + ( ) = ( + ) = 1． (1)随机变量 = + 的数学期望： = ( + ) = +
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ii．互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件． (2)两点分布： = 0 × + 1 × =
②二项展开式的中间项二．项．式．系．数．最大．
③相互独立事件的充要条件：P(A·B)=P(A)·P(B)． (3)二项分布： = ，分布列为 ～ ( , )．
n

I．当 n 是偶数时，中间项是第 + 1 项，它的二项式系数C 2
2 n
最大； 注意：i．一般地，如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 , 与 B， 与 也都 3．方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为 ( = ) = ( = 1,2, )
+1 +1
II．当 n 奇数时，中间项为两项，即第 项和第 + 1 项，二项式系
2 2 相互独立． 时，则称 = ( 1 )
2 + ( ) 21 2 2 + + ( )
2 + 为 ξ 的方
n 1 n+1
数C 2 =C 2 最大． ii．必然事件与任何事件都是相互独立的． 差． 越．小．，．稳．定．性．越．高．，．波．动．越n n ．
小．．．
C 0+C 1n n+ +C
n n
n=2 n k 4．方差的性质． ③二项式系数和： ④独立重复试验： 次独立重复试验中，这个事件恰好发生 次的概率：
C 0 2n+C n+C
4
n+ =C
1
n+C
3 n 1
n+ =2 (1)随机变量 = + 的方差 ( ) = ( + ) = 2 ．(a、b 均为常数)
Pn (k) =C
k Pk (1 P)n kn ．
第十一章 统计与概率 (2)两点分布： =
4．对任何两个事件都有 ( + ) = ( ) + ( ) ( )
(3)二项分布： =
一、统计． ( ) ( )
5．条件概率：事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率： ( | ) = = .
( ) ( ) 5．期望与方差的关系．
1、随机抽样
6．全概率公式： ( ) = ∑ =1 ( ) ( | )；( ， ,… , 两两互斥， ) 简单随机抽样（逐个抽取，总体个数较少） 1 2 (1)如果 和 都存在，则 ( ± ) = ± (1)
①抽签法：编号→制签→装入不透明容器摇匀→逐个抽取（不放回）→获得样本 三、随机变量． (2)设 ξ 和 是互相独立的两个随机变量，则 ( ) = , ( + ) = +
②随机数表法：编号→随机数表→随机定起始位置→依次抽取(去重)→获得样本 2 2
1．概率分布列：设离散型随机变量 ξ 可能取的值为： , , , , ，ξ 取每一 (3)期望与方差的转化： D = E (E ) 1 2
(2)分层随机抽样（按差异分层，按比例抽取）
(4) ( ) = ( ) ( ) = = 0．( 为一常数)
(样)
①步骤：分层→计算抽样比例（ ）→按比例分层抽样→获得样本 个值 ( = 1,2, )的概率 P( =x i ) =p i ，则随机变量 ξ 的概率分布列为：
(总)
五、正态分布．
②等量关系： = 1 = 2 = （ 第 i 层样本量， 第 i 层总体个数） x1 x 2 … x i … 1 2
P p p … p … 如果随机变量 X服从正态分布，则记为 X~ N(μ，σ2). （μ：为均值；σ2：方差.）
③总体平均数 与方差 2：若第一层总体个数：m ，平均数： 21，方差： 1
1 2 i
第二层总体个数：n ，平均数： ，方差： 2 性质：① ≥ 0, = 1,2, ； ② 1 + 2 + + + = 1． 2 2 , ( )的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
1+ 2
则：总平均数： = = + ， 2．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复
+ + 1 + 2
k k n k
总方差： 2

= [ 2 + ( )2] + [ 2 + ( )2] 试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是： P(ξ = k) =Cn p q （其中 =
+ 1 1 + 2 2
2、用样本估计总体 0,1, , , = 1 ），ξ 服从二项分布，记作 ～B(n，p)，其中 n、p 为参数；
频率分布直方图 3．超几何分布：一批产品共有 N 件，其中有 M(M＜N)件次品，今抽取 (1 ≤ ≤
数据排序(小→大)： 1, 2, 3, … , 表示第 i 组底边中点横坐标 ) 件 ， 则 其 中 的 次 品 数 ξ 是 一 离 散 型 随 机 变 量 ， 分 布 列 为 ：

1 + 2 + + 1 正态曲线的性质：
= = ∑ = ∑ k n k
平均数
CM C N M
=1 =1 P(ξ = k) = (0 k M,0 n k N M)．
C n ①曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交． N
众数 出现次数最多的数 最高矩形底边中点的横坐标
注：超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取 ②曲线关于直线 = 对称． 1、从小到大排列数据；
P%分位数 2、计算：i＝n×p%；
C k n k ③当 = 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈（第 P 百 1 P%分位数左侧矩形面积为 P%
3、若 i 为整数，则为 ( + )； P(ξ = k) = a
C b
+1 n 件(1≤n≤a+b)，则次品数 ξ 的分布列为 k = 0,1, , n. ．
分位数） 2 C n
若 i 不为整数，则为大于 i 的比邻 a+b 现出“中间高、两边低”的钟形曲线．
整数项.
四、数学期望与方差． ④当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”．表示总体的分布 1
方差
2 = ∑( )
2 2 =∑( 2 ) 1．期望的含义：一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布为： 越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
=1 =1
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