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课后限时练(三)　解三角形(A)
1．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
2．(多选)(2025·广西玉林北流市月考)对于△ABC，有如下判断，其中错误的是(　　)
A．若A＞B，则sin A＞sin B
B．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形
C．若B＝30°，c＝4，b＝3，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是锐角三角形
3．(2025·四川乐山模拟)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°，45°，60°，＝2，AB＝10米，则该建筑的高度OP＝(　　)
A．10米 B．5米
C．5米 D．5米
4．[人教A版必修第二册P48练习T2(2)]在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝________．
5．[结构不良题](2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin2B＝b cos B．
(1)求∠A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：c sin A＝．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
课后限时练(三)　解三角形(B)
1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(2025·南京模拟)某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为(　　)
A．10米 B．20米
C．米 D．米
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(多选)(2025·长沙芙蓉区一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　)
A．(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7
B．△ABC为钝角三角形
C．若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r
D．若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是6
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．[易错题]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，A＝，则b＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2．
(1)求bc；
(2)若＝1，求△ABC面积．
1 / 4课后限时练(三)(A)
1．A　[cos A＝，因为0°2．BD　[选项A，在△ABC中由大边对大角可知，若A>B，则a>b，
又由正弦定理可得sin A>sin B，A说法正确；
选项B，若acos A＝bcos B，则由正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，在三角形中，可得2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，B说法错误；
选项C，因为B＝30°，c＝4，b＝3，所以由正弦定理可得sin C＝>sin B，
所以角C有两个值，此时符合条件的△ABC有两个，C说法正确；
选项D，若sin2A＋sin2B所以cos C＝<0，即角C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，D说法错误．故选BD．]
3．B　[设OP＝x，则可得OA＝x，OB＝x，OC＝x，
由＝2，可得B是AC的中点，所以AB＝BC＝10，
而∠OBA＋∠OBC＝π，
则cos ∠OBA＋cos ∠OBC＝0，
在△ABO，△CBO中，由余弦定理可得：＝0，
解得x＝5，所以该建筑的高度OP＝5米．故选B．]
4．　[由题知B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，得c＝．]
5．解：(1)因为sin 2B＝bcos B＝2sin Bcos B，
因为A为钝角，所以B为锐角，cos B≠0，
所以sin B＝b，
在△ABC中，由正弦定理得，
因为a＝7，所以sin A＝，
因为A为钝角，所以A＝．
(2)若选条件①，因为b＝7，a＝7，
所以B＝A＝，与A＋B＋C＝π矛盾，
此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①．
若选条件②，因为cos B＝，所以sin B＝，
在△ABC中，由正弦定理得，
所以b＝·sin B＝×＝3，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝××，
所以△ABC的面积为S＝absin C＝×7×3×．
若选条件③，由(1)知A＝，
因为csin A＝，所以c＝5，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即72＝b2＋52－2b×5×cos，解得b＝3，
所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝×3×5×sin．
课后限时练(三)(B)
1．C　[因为acos B－bcos A＝c，所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A)，则2sin Bcos A＝0．在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，A＝．所以B＝π－A－C＝π－．故选C．]
2．D　[依题意可得如图图形，
在△ABC中，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40，
由正弦定理得，
解得BC＝＝20，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CD＝BCtan 30°＝20×，
所以红豆树的高度为米．]
3．BC　[因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
由正弦定理知a∶b∶c＝2∶3∶4，
令a＝2t，b＝3t，c＝4t(t>0)，
对于选项A，(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5t∶7t∶6t＝5∶7∶6，故A错误；
对于选项B，因为cos C＝＝－<0，
所以角C为钝角，故B正确；
对于选项C，由选项B知sin C＝，
由正弦定理得＝2R，所以2R＝，得到R＝，
又absin C＝(a＋b＋c)r，得到r＝，所以5R＝16r，故C正确；
对于选项D，a＋b＋c＝9t＝18，得到t＝2，所以a＝4，b＝6，
又sin C＝，
所以△ABC的面积为S＝absin C＝×4×6×＝3，故D错误．
故选BC．]
4.1或2　[由，得sin C＝，所以C＝．当C＝时，B＝，所以b＝2；当C＝时，B＝，所以b＝1．综上所述，b＝2或b＝1．]
5．解：(1)由余弦定理的推论，知cos A＝，
又＝2，所以2bc＝2，
故bc＝1．
(2)由正弦定理及＝1，
得＝1，
化简得＝1．
∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C，
∴sin(A－B)－sin B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B－sin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴－2cos Asin B＝sin B．
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－．
∵A∈(0，π)，∴sin A＝．
由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×．
4 / 4课时3　解三角形
[备考指南]　解三角形一是求边长、角度、面积等，二是利用三角恒等变换，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围等问题，综合性较强，难度中等．
基础考点1　利用正、余弦定理求边或角
【母题1】　[苏教版必修第二册P93练习T4]在△ABC中，已知 a2＋b2＋ab＝c2，则C＝ ．
　[因为cos C＝＝＝－，又 C∈(0，π)，所以C＝．]
【母题2】　[人教A版必修第二册P48练习T3]在△ABC中，已知cos A＝，B＝，b＝，则a的值为 ；c的值为 ．
　[由cos A＝，可知A为锐角，则sin A＝＝．由正弦定理，得a＝＝．又sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，所以由正弦定理，得c＝＝．]
链接核心知识：(1)正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．
变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
(2)余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A．
变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝．
1．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
B　[因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，
所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，
即a2－c2＝ab－b2，
则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝，
又0＜C＜π，所以C＝．故选B．]
2．(2025·江西宜春一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos 2B＋cos 2C＋2sin B sin C＝cos 2A＋1．
(1)求A；
(2)若b＋c＝5，△ABC的面积为，求a．
[解]　(1)因为cos 2B＋cos 2C＋2sin B sin C＝cos 2A＋1，
所以1－2sin2B＋1－2sin2C＋2sinB sin C＝1－2sin2A＋1，
化简得sinB sin C＝sin2B＋sin2C－sin2A，
所以bc＝b2＋c2－a2．
由余弦定理的推论，得cosA＝＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2)由△ABC的面积为bc sin A＝，解得bc＝6．
由(1)可得b2＋c2－a2＝bc，所以(b＋c)2－2bc－a2＝bc，
即(b＋c)2－a2＝3bc，所以52－a2＝3×6，解得a＝(a＝－舍去)．
反思领悟：应用正弦、余弦定理解题的技巧
(1)涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理．
(2)涉及边a，b，c的齐次式时，要根据式子的特点进行转化．如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
基础考点2　与三角形的周长、面积有关的问题
【母题3】　[人教A版必修第二册P54习题6.4T22] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，且△ABC的面积为，求b，c．
[解]　(1)由a cos C＋a sin C－b－c＝0及正弦定理，得sin A cos C＋sin A sin C－sin B－sin C＝0．
因为sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin A sin C－cos A sin C－sin C＝sin C·(sin A－cos A－1)＝0．
因为sin C≠0，所以sin A－cos A－1＝0，
所以sin ＝．
又0所以A－＝，解得A＝．
(2)由题意，得△ABC的面积S＝bc sin A＝，
所以bc＝4．①
因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝2，
所以b2＋c2＝8，②
联立①②，得b＝c＝2．
链接核心知识：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，则(1)S＝ah1＝bh2＝ch3(h1，h2，h3分别为BC，AC，AB边上的高)；(2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．
(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C．
(1)求C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
[解]　(1)∵sin 2C＝sin C，∴2sin C cos C＝sin C，又C∈(0，π)，∴cos C＝，C＝．
(2)∵S△ABC＝6，∴ab sin C＝6，a＝4，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，解得c＝2，
∴△ABC的周长为6＋6．
反思领悟：与三角形面积有关问题的解题策略
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．
【教用·备选题】
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a cos B－b sin A＝c，c＝2．
(1)求A的大小；
(2)点D在BC上．
①当AD⊥AB，且AD＝1时，求AC的长；
②当BD＝2DC，且AD＝1时，求△ABC的面积．
[解]　(1)因为a cos B－b sin A＝c，
所以由正弦定理可得sin A cos B－sin B sin A＝sin C，
又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
所以－sin B sin A＝cos A sin B，
因为B为三角形内角，sin B>0，
所以－sin A＝cos A，
可得tan A＝－，
因为A∈(0，π)，
所以A＝．
(2)①因为AB＝2＝2AD，AD⊥AB，
所以DB＝＝，
所以cos ∠ABC＝＝，sin ∠ABC＝＝，
sin C＝sin ＝＝－．
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
即AC＝＝＝．
②设∠CAD＝α，由S△ABC＝S△BAD＋S△CAD，
可得b＝2sin ＋b sin α，
即b－b sin α＝2sin ①．
因为＝＝，
由于BD＝2DC，
所以＝，
所以b＝②，
由①②解得sin α＝，b＝，
则S△ABC＝bc sin A＝．
能力考点　三角函数在实际建模中的应用
【典例1】　[人教A版必修第二册P51练习T2改编]如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝30米，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB＝60°，则塔高AB约为(单位：米，≈1.414)(　　)
A．30.42 B．42.42
C．50.42 D．60.42
B　[由题意，在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得BC＝10，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
所以AB＝BC tan 60°＝10＝30≈42.42(米)．故选B．]
【典例2】　(2025·泰安模拟)在同一平面上有相距14千米的A，B两座炮台，A在B的正东方向．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18千米外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(　　)
A．7千米 B．8千米
C．9千米 D．10千米
D　[结合题意作出图形，AC＝BC＝18，AB＝14，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝，
在△ABC中，由余弦定理的推论，得
cos θ＝＝，
因为cos2＝＝，
且cos >0，所以cos ＝，
在△ABM中，由余弦定理的推论，得
cos ＝＝，解得MB＝10．
故选D．]
反思领悟：三角函数在实际建模中的应用的注意点
(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来使用，这样可以优化解题过程；(3)注意题目中的隐含条件以及解的实际意义．
1．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝(　　)
A．2＋1 B．2－1
C．－1 D．＋1
C　[在△ABC中，BC＝
＝＝50()，
在△BCD中，sin ∠BDC＝
＝＝－1，
又∵cos θ＝sin ∠BDC，∴cos θ＝－1．
故选C．]
2．据气象部门报道，某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400 km的位置，台风中心以40 km/h的速度向正北方向移动，距离台风中心350 km的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为 h．
　[如图，A点为该市的位置，B点是台风中心向正北方向移动前的位置．
设台风移动t h后的位置为C，则BC＝40t．
又∠ABC＝60°，AB＝400，
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 60°＝4002＋－2×400×40t×＝1 600t2－16 000t＋160 000，由AC350可得，
1 600t2－16 000t＋160 0003502，整理可得，16t2－160t＋3750，解得t，又＝，
所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为 h．]
【教用·备选题】
(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
A．346 B．373
C．446 D．473
B　[如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝．
在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝．
又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373．]
(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2．
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
[解]　(1)由sin A＋cos A＝2，得
sin A＋cos A＝1，即sin ＝1，
由于A∈(0，π)，所以A＋∈，
故A＋＝，
所以A＝．
(2)由题设条件和正弦定理得
sin B sin C＝2sin C sin B cos B，
又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，所以cos B＝，
所以B＝，所以C＝π－(A＋B)＝．
sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝，
由正弦定理＝＝，可得＝＝，解得b＝2，c＝，
故△ABC的周长为2＋＋3．
课后限时练(三)　解三角形(A)
1．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
A　[cos A＝＝＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°．]
2．(多选)(2025·广西玉林北流市月考)对于△ABC，有如下判断，其中错误的是(　　)
A．若A＞B，则sin A＞sin B
B．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形
C．若B＝30°，c＝4，b＝3，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是锐角三角形
BD　[选项A，在△ABC中由大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，
又由正弦定理可得sinA＞sin B，A说法正确；
选项B，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理可得sin Acos A＝sin B cos B，
即sin 2A＝sin 2B，在三角形中，可得2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，B说法错误；
选项C，因为B＝30°，c＝4，b＝3，所以由正弦定理可得sin C＝>sin B，
所以角C有两个值，此时符合条件的△ABC有两个，C说法正确；
选项D，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则由正弦定理角化边可得a2＋b2＜c2，
所以cosC＝<0，即角C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，D说法错误．故选BD．]
3．(2025·四川乐山模拟)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°，45°，60°，＝2，AB＝10米，则该建筑的高度OP＝(　　)
A．10米 B．5米
C．5米 D．5米
B　[设OP＝x，则可得OA＝x，OB＝x，OC＝x，
由＝2，可得B是AC的中点，所以AB＝BC＝10，
而∠OBA＋∠OBC＝π，
则cos ∠OBA＋cos ∠OBC＝0，
在△ABO，△CBO中，由余弦定理可得：＝0，
解得x＝5，所以该建筑的高度OP＝5米．故选B．]
4．[人教A版必修第二册P48练习T2(2)]在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝ ．
　[由题知B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理＝，得c＝＝＝＝．]
5．[结构不良题](2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝b cos B．
(1)求∠A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：c sin A＝．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
[解]　(1)因为sin 2B＝b cos B＝2sin B cos B，
因为A为钝角，所以B为锐角，cos B≠0，
所以sin B＝b，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
因为a＝7，所以sin A＝，
因为A为钝角，所以A＝．
(2)若选条件①，因为b＝7，a＝7，
所以B＝A＝，与A＋B＋C＝π矛盾，
此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①．
若选条件②，因为cos B＝，所以sin B＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以b＝·sin B＝＝3，
又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝＝，
所以△ABC的面积为S＝ab sin C＝×7×3×＝．
若选条件③，由(1)知A＝，
因为c sin A＝，所以c＝5，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即72＝b2＋52－2b×5×cos ，解得b＝3，
所以△ABC的面积为S＝bc sin A＝×3×5×sin ＝．
课后限时练(三)　解三角形(B)
1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
C　[因为a cos B－b cos A＝c，所以由正弦定理得sin Acos B－sin B cos A＝sin C＝sin (B＋A)，则2sin B cos A＝0．在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，A＝．所以B＝π－A－C＝π－＝．故选C．]
2．(2025·南京模拟)某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为(　　)
A．10米 B．20米
C．米 D．米
D　[依题意可得如图图形，
在△ABC中，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40，
由正弦定理得＝，
解得BC＝＝20，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CD＝BC tan 30°＝20＝，
所以红豆树的高度为米．]
3．(多选)(2025·长沙芙蓉区一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　)
A．(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7
B．△ABC为钝角三角形　
C．若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r
D．若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是6
BC　[因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
由正弦定理知a∶b∶c＝2∶3∶4，
令a＝2t，b＝3t，c＝4t(t＞0)，
对于选项A，(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5t∶7t∶6t＝5∶7∶6，故A错误；
对于选项B，因为cos C＝＝＝－<0，
所以角C为钝角，故B正确；
对于选项C，由选项B知sin C＝＝，
由正弦定理得＝2R，所以2R＝＝，得到R＝，
又ab sin C＝(a＋b＋c)r，得到r＝，所以5R＝16r，故C正确；
对于选项D，a＋b＋c＝9t＝18，得到t＝2，所以a＝4，b＝6，
又sin C＝，
所以△ABC的面积为S＝ab sin C＝×4×6×＝3，故D错误．
故选BC．]
4．[易错题]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，A＝，则b＝ ．
1或2　[由＝，得sin C＝＝＝，所以C＝或．当C＝时，B＝，所以b＝2；当C＝时，B＝，所以b＝1．综上所述，b＝2或b＝1．]
5．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2．
(1)求bc；
(2)若＝1，求△ABC面积．
[解]　(1)由余弦定理的推论，知cos A＝，
又＝2，所以2bc＝2，
故bc＝1．
(2)由正弦定理及＝1，
得＝1，
化简得＝1．
∵A＋B＝π－C，
∴sin (A＋B)＝sin C，
∴sin (A－B)－sin B＝sin C＝sin (A＋B)，
∴sin A cos B－cos A sin B－sin B＝sin A cos B＋cos Asin B，
∴－2cos A sin B＝sin B．
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－．
∵A∈(0，π)，∴sin A＝＝．
由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bc sinA＝×1×＝．
1 / 3课时3　解三角形
[备考指南]　解三角形一是求边长、角度、面积等，二是利用三角恒等变换，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围等问题，综合性较强，难度中等．
基础考点1　利用正、余弦定理求边或角
【母题1】　[苏教版必修第二册P93练习T4]在△ABC中，已知 a2＋b2＋ab＝c2，则C＝________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【母题2】　[人教A版必修第二册P48练习T3]在△ABC中，已知cos A＝，B＝，b＝，则a的值为________；c的值为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　链接核心知识：(1)正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．
变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B, c＝2R sin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
(2)余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A．
变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝．
1．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
2．(2025·江西宜春一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos 2B＋cos 2C＋2sin B sin C＝cos 2A＋1．
(1)求A；
(2)若b＋c＝5，△ABC的面积为，求a．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟：应用正弦、余弦定理解题的技巧
(1)涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理．
(2)涉及边a，b，c的齐次式时，要根据式子的特点进行转化．如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
基础考点2　与三角形的周长、面积有关的问题
【母题3】　[人教A版必修第二册P54习题6.4T22] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，且△ABC的面积为，求b，c．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
链接核心知识：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，则(1)S＝ah1＝bh2＝ch3(h1，h2，h3分别为BC，AC，AB边上的高)；(2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．
(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C．
(1)求C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟：与三角形面积有关问题的解题策略
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．
能力考点　三角函数在实际建模中的应用
【典例1】　[人教A版必修第二册P51练习T2改编]如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝30米，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB＝60°，则塔高AB约为(单位：米，≈1.414)(　　)
A．30.42 B．42.42
C．50.42 D．60.42
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例2】　(2025·泰安模拟)在同一平面上有相距14千米的A，B两座炮台，A在B的正东方向．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18千米外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(　　)
A．7千米 B．8千米
C．9千米 D．10千米
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟：三角函数在实际建模中的应用的注意点
(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来使用，这样可以优化解题过程；(3)注意题目中的隐含条件以及解的实际意义．
1．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝(　　)
A．2＋1 B．2－1
C．－1 D．＋1
2．据气象部门报道，某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400 km的位置，台风中心以40 km/h的速度向正北方向移动，距离台风中心350 km的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为________h．
(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2．
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1 / 2(共61张PPT)
专题二　
三角函数与解三角形
课时3　解三角形
[备考指南]　解三角形一是求边长、角度、面积等，二是利用三角恒等变换，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围等问题，综合性较强，难度中等．
基础考点1　利用正、余弦定理求边或角
【母题1】　[苏教版必修第二册P93练习T4]在△ABC中，已知 a2＋b2＋ab＝c2，则C＝________________．
　[因为cos C＝＝＝－，又C∈(0，π)，所以C＝．]
【母题2】　[人教A版必修第二册P48练习T3]在△ABC中，已知cos A＝，B＝，b＝，则a的值为______________________；c的值为
________________．
　[由cos A＝，可知A为锐角，则sin A＝＝．由正弦定理，得a＝＝．又sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，所以由正弦定理，得c＝＝．]
链接核心知识：(1)正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．
变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
(2)余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A．
变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝．
√
1．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－
sin B)，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
B　[因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，
所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，
即a2－c2＝ab－b2，
则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝，
又0＜C＜π，所以C＝．故选B．]
2．(2025·江西宜春一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos 2B＋cos 2C＋2sin B sin C＝cos 2A＋1．
(1)求A；
(2)若b＋c＝5，△ABC的面积为，求a．
[解]　(1)因为cos 2B＋cos 2C＋2sin B sin C＝cos 2A＋1，
所以1－2sin2B＋1－2sin2C＋2sinB sin C＝1－2sin2A＋1，
化简得sinB sin C＝sin2B＋sin2C－sin2A，
所以bc＝b2＋c2－a2．
由余弦定理的推论，得cosA＝＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2)由△ABC的面积为bc sin A＝，解得bc＝6．
由(1)可得b2＋c2－a2＝bc，所以(b＋c)2－2bc－a2＝bc，
即(b＋c)2－a2＝3bc，所以52－a2＝3×6，解得a＝(a＝－舍去)．
反思领悟：应用正弦、余弦定理解题的技巧
(1)涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理．
(2)涉及边a，b，c的齐次式时，要根据式子的特点进行转化．如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
基础考点2　与三角形的周长、面积有关的问题
【母题3】　[人教A版必修第二册P54习题6.4T22] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，且△ABC的面积为，求b，c．
[解]　(1)由a cos C＋a sin C－b－c＝0及正弦定理，得sin A cos C＋sin A sin C－sin B－sin C＝0．
因为sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin A sin C－cos A sin C－sin C＝sin C·(sin A－cos A－1)＝0．
因为sin C≠0，所以sin A－cos A－1＝0，
所以sin ＝．
又0所以A－＝，解得A＝．
(2)由题意，得△ABC的面积S＝bc sin A＝，
所以bc＝4．①
因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝2，
所以b2＋c2＝8，②
联立①②，得b＝c＝2．
链接核心知识：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，则(1)S＝ah1＝bh2＝ch3(h1，h2，h3分别为BC，AC，AB边上的高)；(2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．
(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C．
(1)求C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
[解]　(1)∵sin 2C＝sin C，∴2sin C cos C＝sin C，又C∈(0，π)，∴cos C＝，C＝．
(2)∵S△ABC＝6，∴ab sin C＝6，a＝4，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，解得c＝2，
∴△ABC的周长为6＋6．
反思领悟：与三角形面积有关问题的解题策略
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．
【教用·备选题】
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a cos B－
b sin A＝c，c＝2．
(1)求A的大小；
(2)点D在BC上．
①当AD⊥AB，且AD＝1时，求AC的长；
②当BD＝2DC，且AD＝1时，求△ABC的面积．
[解]　(1)因为a cos B－b sin A＝c，
所以由正弦定理可得sin A cos B－sin B sin A＝sin C，
又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
所以－sin B sin A＝cos A sin B，
因为B为三角形内角，sin B>0，
所以－sin A＝cos A，
可得tan A＝－，
因为A∈(0，π)，
所以A＝．
(2)①因为AB＝2＝2AD，AD⊥AB，
所以DB＝＝，
所以cos ∠ABC＝＝，sin ∠ABC＝＝，
sin C＝sin ＝＝－．
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
即AC＝＝＝．
②设∠CAD＝α，由S△ABC＝S△BAD＋S△CAD，
可得b＝2sin ＋b sin α，
即b－b sin α＝2sin ①．
因为＝＝，
由于BD＝2DC，
所以＝，
所以b＝②，
由①②解得sin α＝，b＝，
则S△ABC＝bc sin A＝．
能力考点　三角函数在实际建模中的应用
√
【典例1】　[人教A版必修第二册P51练习T2改编]如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝30米，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB＝60°，则塔高AB约为(单位：米，≈1.414)(　　)
A．30.42 B．42.42
C．50.42 D．60.42
B　[由题意，在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得BC＝10，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
所以AB＝BC tan 60°＝10＝30≈42.42(米)．故选B．]
√
【典例2】　(2025·泰安模拟)在同一平面上有相距14千米的A，B两座炮台，A在B的正东方向．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18千米外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(　　)
A．7千米 B．8千米
C．9千米 D．10千米
D　[结合题意作出图形，AC＝BC＝18，AB＝14，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝，
在△ABC中，由余弦定理的推论，得
cos θ＝＝，
因为cos2＝＝，
且cos >0，所以cos ＝，
在△ABM中，由余弦定理的推论，得
cos ＝＝，解得MB＝10．
故选D．]
反思领悟：三角函数在实际建模中的应用的注意点
(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来使用，这样可以优化解题过程；(3)注意题目中的隐含条件以及解的实际意义．
√
1．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝(　　)
A．2＋1 B．2－1
C．－1 D．＋1
C　[在△ABC中，BC＝
＝＝50()，
在△BCD中，sin ∠BDC＝
＝＝－1，
又∵cos θ＝sin ∠BDC，∴cos θ＝－1．
故选C．]
2．据气象部门报道，某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400 km的位置，台风中心以40 km/h的速度向正北方向移动，距离台风中心350 km的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为______________h．
　[如图，A点为该市的位置，B点是台风中心向正北方向移动前的位置．
设台风移动t h后的位置为C，则BC＝40t．
又∠ABC＝60°，AB＝400，
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 60°＝4002＋－2×400×40t×＝1 600t2－16 000t＋160 000，由AC350可得，
1 600t2－16 000t＋160 0003502，整理可得，16t2－160t＋3750，解得t，又＝，
所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为 h．]
【教用·备选题】
(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
A．346 B．373
C．446 D．473
√
B　[如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝．
在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝．
又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝
＋100＝100(＋1)＋100≈373．]
当堂进阶　真题试做　感悟高考
(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2．
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
[解]　(1)由sin A＋cos A＝2，得
sin A＋cos A＝1，即sin ＝1，
由于A∈(0，π)，所以A＋∈，
故A＋＝，
所以A＝．
(2)由题设条件和正弦定理得
sin B sin C＝2sin C sin B cos B，
又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，所以cos B＝，
所以B＝，所以C＝π－(A＋B)＝．
sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝，
由正弦定理＝＝，可得＝＝，解得b＝2，c＝，
故△ABC的周长为2＋＋3．
√
课后限时练(三)
解三角形(A)
1．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　)
A．45° B．60°
C．120° D．135°
A　[cos A＝＝＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°．]
√
√
2．(多选)(2025·广西玉林北流市月考)对于△ABC，有如下判断，其中错误的是(　　)
A．若A＞B，则sin A＞sin B
B．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形
C．若B＝30°，c＝4，b＝3，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是锐角三角形
BD　[选项A，在△ABC中由大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，
又由正弦定理可得sinA＞sin B，A说法正确；
选项B，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理可得sin Acos A＝sin B
cos B，
即sin 2A＝sin 2B，在三角形中，可得2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，B说法错误；
选项C，因为B＝30°，c＝4，b＝3，所以由正弦定理可得sin C＝>sin B，
所以角C有两个值，此时符合条件的△ABC有两个，C说法正确；
选项D，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则由正弦定理角化边可得a2＋b2＜c2，
所以cosC＝<0，即角C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，D说法错误．故选BD．]
√
3．(2025·四川乐山模拟)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°，45°，60°，＝2，AB＝10米，则该建筑的高度OP＝(　　)
A．10米 B．5米
C．5米 D．5米
B　[设OP＝x，则可得OA＝x，OB＝x，OC＝x，
由＝2，可得B是AC的中点，所以AB＝BC＝10，
而∠OBA＋∠OBC＝π，
则cos ∠OBA＋cos ∠OBC＝0，
在△ABO，△CBO中，由余弦定理可得：＝0，
解得x＝5，所以该建筑的高度OP＝5米．故选B．]
4．[人教A版必修第二册P48练习T2(2)]在△ABC中，已知b＝2，A＝
45°，C＝75°，则c＝________________．
　[由题知B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理＝
，得c＝＝＝＝．]
5．[结构不良题](2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝b cos B．
(1)求∠A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：c sin A＝．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
[解]　(1)因为sin 2B＝b cos B＝2sin B cos B，
因为A为钝角，所以B为锐角，cos B≠0，
所以sin B＝b，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
因为a＝7，所以sin A＝，
因为A为钝角，所以A＝．
(2)若选条件①，因为b＝7，a＝7，
所以B＝A＝，与A＋B＋C＝π矛盾，
此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①．
若选条件②，因为cos B＝，所以sin B＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以b＝·sin B＝＝3，
又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝＝，
所以△ABC的面积为S＝ab sin C＝×7×3×＝．
若选条件③，由(1)知A＝，
因为c sin A＝，所以c＝5，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即72＝b2＋52－2b×5×cos ，解得b＝3，
所以△ABC的面积为S＝bc sin A＝×3×5×sin ＝．
课后限时练(三)　解三角形(B)
1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[因为a cos B－b cos A＝c，所以由正弦定理得sin Acos B－sin B cos A＝sin C＝sin (B＋A)，则2sin B cos A＝0．在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，A＝．所以B＝π－A－C＝π－＝．故选C．]
√
2．(2025·南京模拟)某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为(　　)
A．10米 B．20米
C．米 D．米
D　[依题意可得如图图形，
在△ABC中，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40，
由正弦定理得＝，
解得BC＝＝20，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CD＝BC tan 30°＝20＝，
所以红豆树的高度为米．]
√
√
3．(多选)(2025·长沙芙蓉区一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　)
A．(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7
B．△ABC为钝角三角形　
C．若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r
D．若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是6
BC　[因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
由正弦定理知a∶b∶c＝2∶3∶4，
令a＝2t，b＝3t，c＝4t(t＞0)，
对于选项A，(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5t∶7t∶6t＝5∶7∶6，故A错误；
对于选项B，因为cos C＝＝＝－<0，
所以角C为钝角，故B正确；
对于选项C，由选项B知sin C＝＝，
由正弦定理得＝2R，所以2R＝＝，得到R＝，
又ab sin C＝(a＋b＋c)r，得到r＝，所以5R＝16r，故C正确；
对于选项D，a＋b＋c＝9t＝18，得到t＝2，所以a＝4，b＝6，
又sin C＝，
所以△ABC的面积为S＝ab sin C＝×4×6×＝3，故D错误．
故选BC．]
4．[易错题]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，A＝，则b＝________________．
1或2
1或2　[由＝，得sin C＝＝＝，所以C＝或．当C＝时，B＝，所以b＝2；当C＝时，B＝，所以b＝1．综上所述，b＝2或b＝1．]
5．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2．
(1)求bc；
(2)若＝1，求△ABC面积．
[解]　(1)由余弦定理的推论，知cos A＝，
又＝2，所以2bc＝2，
故bc＝1．
(2)由正弦定理及＝1，
得＝1，
化简得＝1．
∵A＋B＝π－C，
∴sin (A＋B)＝sin C，
∴sin (A－B)－sin B＝sin C＝sin (A＋B)，
∴sin A cos B－cos A sin B－sin B＝sin A cos B＋cos Asin B，
∴－2cos A sin B＝sin B．
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－．
∵A∈(0，π)，∴sin A＝＝．
由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bc sinA＝×1×＝．
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