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(共72张PPT)
专题二　
三角函数与解三角形
课时2　三角函数的图象和性质
[备考指南]　三角函数的图象和性质常常与三角恒等变换交汇命题，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，难度为中等或偏下，其中数形结合是研究三角函数性质的重要方法．
基础考点1　图象变换
【母题1】　[人教A版必修第一册P254复习参考题5T8]画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到：
(1)y＝sin ； (2)y＝－2sin ；
(3)y＝1－sin ； (4)y＝3sin ．
[解]　作出四个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，如图所示：
(1)先将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝
sin 3x的图象，
再向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 3＝sin 的图象，
最后将所有点的纵坐标变为原来的得到函数
y＝sin 的图象．
(2)先将y＝sin x图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，
再将所有点的纵坐标变为原来的2倍得到函数
y＝2sin 的图象，最后作出关于x轴对称的图象得到函数
y＝－2sin 的图象．
(3)先将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝
sin 2x的图象，
再向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2＝sin 的图象，
然后作出关于x轴对称的图象得到函数y＝－sin 的图象，最后将所得函数图象向上平移一个单位长度得到函数y＝1－
sin 的图象．
(4)y＝3sin ＝－3sin ，
先将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到函数y＝sin x的图象，
再向右平移个单位长度，得到函数y＝sin ＝sin 的图象，
再将所有点的纵坐标变为原来的3倍得到函数y＝3sin 的图象，
最后作出关于x轴对称的图象得到函数y＝－3sin 的图象．
链接核心知识：由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤
√
1．[苏教版必修第一册P212练习T4改编]将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，则所得图象的函数表达式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
D　[将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，
则所得图象的函数表达式是y＝sin 2＝sin ．
故选D．]
√
2．(2025·南通模拟)将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度后与函数g(x)＝cos 的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
B　[将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度，
得到y＝sin ＝sin
＝cos 的图象，
则＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3＋12k，k∈Z，又ω＞0，
所以ω的最小值为3．
故选B．]
易错提醒：在三角函数的图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin (ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ．
【教用·备选题】
(2025·秦皇岛昌黎县模拟)将函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)＝sin x的图象，则φ的值为(　　)
A． B．
C． D．－
√
D　[∵将函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的图象向右平移个单位长度，可得y＝cos 的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)＝
cos ＝sin x的图象，
∴ω＝1且－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z．
解得ω＝2，当k＝0时，φ＝－．
故选D．]
基础考点2　图象与解析式
【母题2】　[人教A版必修第一册P241习题5.6T4]已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π) 在一个周期内的图象如图所示，则此函
数的解析式为________________．
y＝2sin
y＝2sin 　[由题意，得T＝2×＝π，则ω＝2．因为A＝2，所以y＝2sin (2x＋φ)，则2sin ＝2，解得φ＝＋2kπ，k∈Z．又0<φ<π，所以φ＝，所以y＝2sin ．]
链接核心知识：由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)最值定A，B：A＝，B＝．
(2)T定ω：由 T＝，可得ω＝．
(3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
√
1．[北师大版必修第二册P67习题1－8A组T1改编]交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数
I＝A sin (ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5安
B．5安
C．－5安
D．5安
D　[因为电流的最大值为10，最小值为－10，所以A＝10．
由函数的周期T＝＝，解得ω＝100π，
将点代入函数表达式，可得sin ＝1，
所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
结合0<φ<，取k＝0得φ＝，函数表达式为I＝10sin ．
所以当t＝秒时，电流强度I＝10sin ＝10sin ＝5安．故选D．]
√
√
√
2．(多选)(2025·南阳模拟)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．φ＝－
B．ω＝2
C．f (x)＝2cos
D．若将f(x)的图象向左平移个单位长度可以得到g(x)的图象，则
g(x)为奇函数
ABC　[根据函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象，
可得f (0)＝－1，即2sin φ＝－1，即sin φ＝－，
所以φ＝－，故A正确；
再根据五点法作图，可得ω·＝0，求得ω＝2，故B正确；
故f (x)＝2sin ＝2cos
＝2cos ＝2cos ，故C正确；
由题意可得g(x)＝f ＝2sin ＝2cos 2x为偶函数，故D错误．
故选ABC．]
反思领悟：已知图象求解析式，A通过最值得出，由|ω|＝可求ω，φ有如下两种方法：
方法一：若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，即可求出φ．
方法二：将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ．若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．
【教用·备选题】
1．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，
将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________________．
(－2，－]
(－2，－]　[由f (x)的部分图象，可得A＝1．
由题图可知点在f(x)的图象上，则sin ＝1，sin ＝－，
由五点作图法可得ω×＋φ＝，ω×＋φ＝2π－，解得ω＝，φ＝，则f (x)＝sin ．
将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象．
作出函数g(x)的部分图象如图所示，
根据函数g(x)的图象知：
当－2＜m－时，直线y＝m与函数g(x)在上的图象有两个交点，
即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．]
2．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝
________________．
－
－　[设A，B，由＝可得x2－x1＝，
由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，
ωx2＋φ－＝＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4．
因为f ＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．
所以f (x)＝sin ＝sin (k∈Z)，
所以f ＝sin 或f ＝－sin ，
又因为f <0，所以f(x)＝sin ，
所以f ＝sin ＝－．]
能力考点　三角函数的性质及应用
【典例】　(1)[人教A版必修第一册P214习题5.4T16改编](多选)已知函数
f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则下列正确的是(　　)
√
√
A．f (x)的图象关于点对称
B．f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x)在区间上单调递减
D．f (x)在区间上的值域为(1，3)
√
√
(2)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝
sin ，下列说法中正确的有(　　)
A．f (x)与g(x)有相同的零点
B．f (x)与g(x)有相同的最大值
C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(1)BC　(2)BC　[(1)根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象，
可得B＝＝3，A＝＝2，故有f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋3．
把点(0，2)代入，可得2sin φ＋3＝2，
即sin φ＝－，φ＝－，
故有f (x)＝2sin ＋3．
再根据五点法作图，可得ω×＝－，
∴ω＝2，f (x)＝2sin ＋3．
令x＝，求得f(x)＝4，故f (x)的图象不关于点对称，故A错误；
令x＝，求得f (x)＝5，为最大值，故f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；
当x∈时，2x－∈，f(x)单调递减，故C正确；
当x∈时，2x－∈(－π，0)，sin ∈[－1，0)，
∴函数f(x)的值域为[1，3)，故D错误．故选BC．
(2)A选项，令f (x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f (x)的零点，
令g(x)＝sin ＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f (x)，g(x)的零点不同，A选项错误；
B选项，显然f (x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f (x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质，f (x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
显然f (x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．
故选BC．]
反思领悟：研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解．
√
1．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f (x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点中心对称，则f ＝(　　)
A．1 B．
C． D．3
A　[由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3，
又因为函数图象关于点对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，
所以ω＝－k，k∈Z，
所以ω＝，f (x)＝sin ＋2，
所以f ＝sin ＋2＝1．
故选A．]
√
2．(2025·深圳龙岗区二模)奇函数f (x)＝2cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的单调递减区间可以是(　　)
A． B．
C． D．
A　[f (x)＝2cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)为奇函数，
即 f (－x)＝2cos (－2x＋φ)＝－2cos (2x＋φ)＝－f (x)，
cos (2x－φ)＝－cos (2x＋φ) cos (2x－φ)＋cos (2x＋φ)＝2cos 2x cos φ
＝0对所有x均成立，所以cos φ＝0，又0＜φ＜π，故φ＝．f(x)＝
2cos ＝－2sin 2x．
令2kπ－2x＋2kπ(k∈Z)，
解得x∈，k∈Z，
当k＝0时，单调递减区间为．
故选A．]
√
【教用·备选题】
1．(多选)(2025·温江区模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到
原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则(　　)
A．g为偶函数
B．g(x)的最小正周期是π
C．g(x)的图象关于直线x＝对称
D．将g(x)图象向左平移个单位长度后在上单调递减
√
√
BCD　[由题图知，A＝2，f (0)＝－1，则2sin φ＝－1，即sin φ＝－，
因为－π<φ<－，所以φ＝－，
因为x＝为f (x)的零点，则＝kπ(k∈Z)，得ω＝1＋，
由题图知，即
解得<ω<，
所以k＝1，ω＝，从而f (x)＝2sin ，
由题设，g(x)＝2sin ＝2sin ，
则g＝2sin
＝2sin 为非奇非偶函数，所以A错误；
g(x)的最小正周期T＝＝π，所以B正确；
当x＝时，2x－＝，则g(x)的图象关于直线x＝对称，所以C正确；
将g(x)图象向左平移个单位长度后，得到h(x)＝2sin ＝2sin 2x，
当x∈时，2x∈ ，所以h(x)在上单调递减，故D正确．
故选BCD．]
√
2．(多选)(2025·九江模拟)函数f (x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．φ＝－
B．f (x)的表达式可以写成f(x)＝cos
C．f (x)的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是偶函数
D．若方程f (x)＝1在(0，m)上有且只有6个根，则m∈
√
CD　[由函数f (x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象知，f (0)＝sin φ＝
－1，所以sin φ＝－，
由－<φ<，得φ＝－，选项A错误；
又f ＝sin ＝0，得ω－＝kπ，k∈Z，
解得ω＝8k＋2，k∈Z，又0＜ω2，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ，选项B错误；
f (x)的图象向左平移个单位长度，得y＝f ＝sin ＝sin ＝cos 2x，该函数是偶函数，选项C正确；
由f (x)＝1得sin ＝，当x∈(0，m)时，2x－∈，函数f (x)＝1在(0，m)上有且只有6个根，由正弦函数的图象知，4π＋<2m－6π＋，解得所以m的取值范围是，选项D正确．
故选CD．]
3．(2025·赣州模拟)已知f(x)＝2tan (ωx＋φ)，
f (0)＝，最小正周期T∈，f (x)图象的一个对称中心为点，则f 的值为________________．
　[由f (0)＝，可得2tan φ＝，tan φ＝，
又|φ|<，所以φ＝．
因为f (x)图象的一个对称中心为点，
故ω＋ ＝，k∈Z，得ω＝3k－1，k∈Z．
因为T∈，
所以<<π，
解得<ω<4，
所以ω＝2．
故f (x)的解析式为f (x)＝2tan ，
所以f ＝2tan ＝－．]
当堂进阶　真题试做　感悟高考
√
1．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点．
故选C．]
√
2．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则
f ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
D　[由题意得＝＝，解得ω＝2，易知x＝是f (x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f (x)＝sin ＝sin ，f ＝＝sin ＝，故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
8
课后限时练(二)　三角函数的图象和性质
1．(2024·北京卷)设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
B　[因为f (x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f (x1)＝－1，f (x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f (x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
2．(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f (x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
B　[依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin y＝sin 的图象f (x)＝sin 的图象．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
3．(2025·咸阳模拟)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f ＝(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
D　[由函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象易知A＝2，
可得＝＝，得到T＝π，
又ω＞0，
所以＝π，解得ω＝2，
又函数图象经过点，
则有2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以f (x)＝2sin ，
则f ＝2sin ＝－．
故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
4．(2025·郑州模拟)函数f(x)＝2sin 与函数g(x)＝log2x的图象交点个数为(　　)
A．3 B．5
C．6 D．7
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
A　[通过五点法
作出周期函数f(x)的图象，
再通过两点法(1，0)，(4，2)作出单调函数g(x)＝log2x的图象，
因为4∈，所以通过图象可判断它们有3个交点．
故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
5．[易错题](2025·全国一卷)若点(a，0)(a＞0)是函数y＝
2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
B　[令x－＝，k∈Z，得x＝，k∈Z，故y＝2tan 的图象的对称中心为，k∈Z．因为a＞0，所以当k＝0时，a取得最小值．
故选B．]
易错提醒：利用正切函数图象的对称中心的有关结论，写出参数ω满足的关系式，易误认为ωx＋φ＝kπ，k∈Z，而是ωx＋φ＝，k∈Z．
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
√
6．(多选)(2025·苏锡常镇二模)已知函数f (x)＝sin x＋cos x＋|sin x－
cos x|，则(　　)
A．f (x)的图象关于点(π，0)对称
B．f (x)的最小正周期为2π
C．f (x)的最小值为－2
D．f (x)＝在[0，2π]上有四个不同的实数解
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
BD　[法一：f (0)＝2，f (2π)＝2，f (2π)＋f (0)≠0，
则f (x)的图象不可能关于点(π，0)对称，A错误；
y1＝sin x＋cos x的最小正周期为2π，y2＝|sin x－cos x|的最小正周期为π，
则f (x)＝y1＋y2的最小正周期为2π，B正确；
当0x时，f (x)＝2cos x，当＜xπ时，f (x)＝2sin x；当＜x2π时，f (x)＝2cos x，f (x)min＝－，
f (x)＝在[0，2π]上有4个根，C错误，D正确．故选BD．
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
法二：易知f(x)可化简为f (x)＝2max{sin x，cos x}，作出y＝2sin x和y＝2cos x的图象，取位于上方的部分即可：
可知A错误，B正确，C错误．
至于D，计算知2sin x与2cos x在(0，π)内的交点坐标为，而＜＜2，所以f (x)与y＝在[0，2π]内有四个交点，D正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
7．(2025·上海卷)函数y＝cos x在上的值域为________________．
[0，1]
[0，1]　[由余弦函数的单调性可知，y＝cos x在上单调递增，在上单调递减，所以ymax＝cos 0＝1．又cos ＝0，cos ＝，故函数y＝cos x在上的值域为[0，1]．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
8
8．[易错题]函数y＝3sin 的单调递增区间是____________________________．
，k∈Z
，k∈Z　[由题意得y＝－3sin ，令2kπ＋2x－2kπ＋，k∈Z，可得kπ＋xkπ＋，k∈Z，由复合函数的单调性原理，得函数y＝3sin 的单调递增区间是，k∈Z．]
谢 谢！课后限时练(二)　三角函数的图象和性质
1．(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(2025·咸阳模拟)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f＝(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．(2025·郑州模拟)函数f(x)＝2sin 与函数g(x)＝log2x的图象交点个数为(　　)
A．3 B．5
C．6 D．7
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．[易错题](2025·全国一卷)若点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．(多选)(2025·苏锡常镇二模)已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋|sin x－cos x|，则(　　)
A．f(x)的图象关于点(π，0)对称
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的最小值为－2
D．f(x)＝在[0，2π]上有四个不同的实数解
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．(2025·上海卷)函数y＝cos x在上的值域为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．[易错题]函数y＝3sin 的单调递增区间是________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1 / 2课后限时练(二)
1．B　[因为f(x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2．]
2．B　[依题意，将y＝sin个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin
y＝sin的图象f(x)＝sin的图象．]
3．D　[由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象易知A＝2，
可得，得到T＝π，
又ω>0，
所以＝π，解得ω＝2，
又函数图象经过点，
则有2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝－．
故选D．]
4．A　[通过五点法作出周期函数f(x)的图象，
再通过两点法(1，0)，(4，2)作出单调函数g(x)＝log2x的图象，
因为4∈，所以通过图象可判断它们有3个交点．
故选A．]
5．B　[令x－，k∈Z，得x＝，k∈Z，故y＝2tan，k∈Z．因为a>0，所以当k＝0时，a取得最小值．
故选B．]
易错提醒：利用正切函数图象的对称中心的有关结论，写出参数ω满足的关系式，易误认为ωx＋φ＝kπ，k∈Z，而是ωx＋φ＝，k∈Z．
6．BD　[法一：f(0)＝2，f(2π)＝2，f(2π)＋f(0)≠0，
则f(x)的图象不可能关于点(π，0)对称，A错误；
y1＝sin x＋cos x的最小正周期为2π，y2＝|sin x－cos x|的最小正周期为π，
则f(x)＝y1＋y2的最小正周期为2π，B正确；
当0x时，f(x)＝2cos x，当f(x)＝在[0，2π]上有4个根，C错误，D正确．故选BD．
法二：易知f(x)可化简为f(x)＝2max{sin x，cos x}，作出y＝2sin x和y＝2cos x的图象，取位于上方的部分即可：
可知A错误，B正确，C错误．
至于D，计算知2sin x与2cos x在(0，π)内的交点坐标为<<2，所以f(x)与y＝在[0，2π]内有四个交点，D正确．]
7．[0，1]　[由余弦函数的单调性可知，y＝cos x在上单调递减，所以ymax＝cos 0＝1．又cos＝0，cos，故函数y＝cos x在上的值域为[0，1]．]
8．，k∈Z　[由题意得y＝－3sin，令2kπ＋2x－2kπ＋，k∈Z，可得kπ＋xkπ＋，k∈Z，由复合函数的单调性原理，得函数y＝3sin，k∈Z．]
1 / 3课时2　三角函数的图象和性质
[备考指南]　三角函数的图象和性质常常与三角恒等变换交汇命题，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，难度为中等或偏下，其中数形结合是研究三角函数性质的重要方法．
基础考点1　图象变换
【母题1】　[人教A版必修第一册P254复习参考题5T8]画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到：
(1)y＝sin ；
(2)y＝－2sin ；
(3)y＝1－sin ；
(4)y＝3sin ．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
链接核心知识：由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤
1．[苏教版必修第一册P212练习T4改编]将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，则所得图象的函数表达式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
2．(2025·南通模拟)将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度后与函数g(x)＝cos 的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
易错提醒：在三角函数的图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin (ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ．
基础考点2　图象与解析式
【母题2】　[人教A版必修第一册P241习题5.6T4]已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π) 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
链接核心知识：由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)最值定A，B：A＝，B＝．
(2)T定ω：由 T＝，可得ω＝．
(3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
1．[北师大版必修第二册P67习题1－8A组T1改编]交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5安 B．5安
C．－5安 D．5安
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(多选)(2025·南阳模拟)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．φ＝－
B．ω＝2
C．f(x)＝2cos
D．若将f(x)的图象向左平移个单位长度可以得到g(x)的图象，则g(x)为奇函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟：已知图象求解析式，A通过最值得出，由|ω|＝可求ω，φ有如下两种方法：
方法一：若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，即可求出φ．
方法二：将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ．若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．
能力考点　三角函数的性质及应用
【典例】　(1)[人教A版必修第一册P214习题5.4T16改编](多选)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则下列正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于点对称
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)在区间上单调递减
D．f(x)在区间上的值域为(1，3)
(2)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　)
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟：研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解．
1．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　)
A．1 B．
C． D．3
2．(2025·深圳龙岗区二模)奇函数f(x)＝2cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的单调递减区间可以是(　　)
A． B．
C． D．
1．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
2．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
1 / 3课时2　三角函数的图象和性质
[备考指南]　三角函数的图象和性质常常与三角恒等变换交汇命题，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，难度为中等或偏下，其中数形结合是研究三角函数性质的重要方法．
基础考点1　图象变换
【母题1】　[人教A版必修第一册P254复习参考题5T8]画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到：
(1)y＝sin ；
(2)y＝－2sin ；
(3)y＝1－sin ；
(4)y＝3sin ．
[解]　作出四个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，如图所示：
　
　
(1)先将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝sin 3x的图象，
再向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 3＝sin 的图象，
最后将所有点的纵坐标变为原来的得到函数
y＝sin 的图象．
(2)先将y＝sin x图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，
再将所有点的纵坐标变为原来的2倍得到函数
y＝2sin 的图象，最后作出关于x轴对称的图象得到函数y＝－2sin 的图象．
(3)先将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝sin 2x的图象，
再向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2＝sin 的图象，
然后作出关于x轴对称的图象得到函数y＝－sin 的图象，最后将所得函数图象向上平移一个单位长度得到函数y＝1－sin 的图象．
(4)y＝3sin ＝－3sin ，
先将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到函数y＝sin x的图象，
再向右平移个单位长度，得到函数y＝sin ＝sin 的图象，
再将所有点的纵坐标变为原来的3倍得到函数y＝3sin 的图象，
最后作出关于x轴对称的图象得到函数y＝－3sin 的图象．
链接核心知识：由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤
1．[苏教版必修第一册P212练习T4改编]将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，则所得图象的函数表达式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
D　[将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，
则所得图象的函数表达式是y＝sin 2＝sin ．
故选D．]
2．(2025·南通模拟)将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度后与函数g(x)＝cos 的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
B　[将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度，
得到y＝sin ＝sin
＝cos 的图象，
则＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3＋12k，k∈Z，又ω＞0，
所以ω的最小值为3．
故选B．]
易错提醒：在三角函数的图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin (ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ．
【教用·备选题】
(2025·秦皇岛昌黎县模拟)将函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)＝sin x的图象，则φ的值为(　　)
A． B．
C． D．－
D　[∵将函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的图象向右平移个单位长度，可得y＝cos 的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)＝cos ＝sin x的图象，
∴ω＝1且－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z．
解得ω＝2，当k＝0时，φ＝－．
故选D．]
基础考点2　图象与解析式
【母题2】　[人教A版必修第一册P241习题5.6T4]已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π) 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．
y＝2sin 　[由题意，得T＝2×＝π，则ω＝2．因为A＝2，所以y＝2sin (2x＋φ)，则2sin ＝2，解得φ＝＋2kπ，k∈Z．又0<φ<π，所以φ＝，所以y＝2sin ．]
链接核心知识：由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)最值定A，B：A＝，B＝．
(2)T定ω：由 T＝，可得ω＝．
(3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
1．[北师大版必修第二册P67习题1－8A组T1改编]交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5安 B．5安
C．－5安 D．5安
D　[因为电流的最大值为10，最小值为－10，所以A＝10．
由函数的周期T＝＝，解得ω＝100π，
将点代入函数表达式，可得sin ＝1，
所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
结合0<φ<，取k＝0得φ＝，函数表达式为I＝10sin ．
所以当t＝秒时，电流强度I＝10sin ＝10sin ＝5安．故选D．]
2．(多选)(2025·南阳模拟)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．φ＝－
B．ω＝2
C．f(x)＝2cos
D．若将f(x)的图象向左平移个单位长度可以得到g(x)的图象，则g(x)为奇函数
ABC　[根据函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象，
可得f(0)＝－1，即2sin φ＝－1，即sin φ＝－，
所以φ＝－，故A正确；
再根据五点法作图，可得ω·＝0，求得ω＝2，故B正确；
故f(x)＝2sin ＝2cos
＝2cos ＝2cos ，故C正确；
由题意可得g(x)＝f＝2sin ＝2cos 2x为偶函数，故D错误．
故选ABC．]
反思领悟：已知图象求解析式，A通过最值得出，由|ω|＝可求ω，φ有如下两种方法：
方法一：若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，即可求出φ．
方法二：将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ．若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．
【教用·备选题】
1．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
(－2，－]　[由f(x)的部分图象，可得A＝1．
由题图可知点在f(x)的图象上，则sin ＝1，sin ＝－，
由五点作图法可得ω×＋φ＝，ω×＋φ＝2π－，解得ω＝，φ＝，则f(x)＝sin ．
将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象．
作出函数g(x)的部分图象如图所示，
根据函数g(x)的图象知：
当－2＜m－时，直线y＝m与函数g(x)在上的图象有两个交点，
即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．]
2．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝ ．
－　[设A，B，由＝可得x2－x1＝，
由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，
ωx2＋φ－＝＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4．
因为f＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．
所以f(x)＝sin ＝sin (k∈Z)，
所以f＝sin 或f＝－sin ，
又因为f<0，所以f(x)＝sin ，
所以f＝sin ＝－．]
能力考点　三角函数的性质及应用
【典例】　(1)[人教A版必修第一册P214习题5.4T16改编](多选)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则下列正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于点对称
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)在区间上单调递减
D．f(x)在区间上的值域为(1，3)
(2)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　)
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(1)BC　(2)BC　[(1)根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象，
可得B＝＝3，A＝＝2，故有f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋3．
把点(0，2)代入，可得2sin φ＋3＝2，
即sin φ＝－，φ＝－，
故有f(x)＝2sin ＋3．
再根据五点法作图，可得ω×＝－，
∴ω＝2，f(x)＝2sin ＋3．
令x＝，求得f(x)＝4，故f(x)的图象不关于点对称，故A错误；
令x＝，求得f(x)＝5，为最大值，故f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；
当x∈时，2x－∈，f(x)单调递减，故C正确；
当x∈时，2x－∈(－π，0)，sin ∈[－1，0)，
∴函数f(x)的值域为[1，3)，故D错误．故选BC．
(2)A选项，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点，令g(x)＝sin ＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)，g(x)的零点不同，A选项错误；
B选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．
故选BC．]
反思领悟：研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解．
1．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　)
A．1 B．
C． D．3
A　[由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3，
又因为函数图象关于点对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，
所以ω＝－k，k∈Z，
所以ω＝，f(x)＝sin ＋2，
所以f＝sin ＋2＝1．
故选A．]
2．(2025·深圳龙岗区二模)奇函数f(x)＝2cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的单调递减区间可以是(　　)
A． B．
C． D．
A　[f(x)＝2cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)为奇函数，
即 f(－x)＝2cos (－2x＋φ)＝－2cos (2x＋φ)＝－f(x)，
cos (2x－φ)＝－cos (2x＋φ) cos (2x－φ)＋cos (2x＋φ)＝2cos 2x cos φ＝0对所有x均成立，所以cos φ＝0，又0＜φ＜π，故φ＝．f(x)＝2cos ＝－2sin 2x．
令2kπ－2x＋2kπ(k∈Z)，
解得x∈，k∈Z，
当k＝0时，单调递减区间为．
故选A．]
【教用·备选题】
1．(多选)(2025·温江区模拟)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则(　　)
A．g为偶函数
B．g(x)的最小正周期是π
C．g(x)的图象关于直线x＝对称
D．将g(x)图象向左平移个单位长度后在上单调递减
BCD　[由题图知，A＝2，f(0)＝－1，则2sin φ＝－1，即sin φ＝－，
因为－π<φ<－，所以φ＝－，
因为x＝为f(x)的零点，则＝kπ(k∈Z)，得ω＝1＋，
由题图知，即
解得<ω<，
所以k＝1，ω＝，从而f(x)＝2sin ，
由题设，g(x)＝2sin ＝2sin ，
则g＝2sin
＝2sin 为非奇非偶函数，所以A错误；
g(x)的最小正周期T＝＝π，所以B正确；
当x＝时，2x－＝，则g(x)的图象关于直线x＝对称，所以C正确；
将g(x)图象向左平移个单位长度后，得到h(x)＝2sin ＝2sin 2x，
当x∈时，2x∈ ，所以h(x)在上单调递减，故D正确．
故选BCD．]
2．(多选)(2025·九江模拟)函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．φ＝－
B．f(x)的表达式可以写成f(x)＝cos
C．f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是偶函数
D．若方程f(x)＝1在(0，m)上有且只有6个根，则m∈
CD　[由函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象知，f(0)＝sin φ＝－1，所以sin φ＝－，
由－<φ<，得φ＝－，选项A错误；
又f＝sin ＝0，得ω－＝kπ，k∈Z，
解得ω＝8k＋2，k∈Z，又0＜ω2，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ，选项B错误；
f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝f＝sin ＝sin ＝cos 2x，该函数是偶函数，选项C正确；
由f(x)＝1得sin ＝，当x∈(0，m)时，2x－∈，函数f(x)＝1在(0，m)上有且只有6个根，由正弦函数的图象知，4π＋<2m－6π＋，解得所以m的取值范围是，选项D正确．
故选CD．]
3．(2025·赣州模拟)已知f(x)＝2tan (ωx＋φ)，f(0)＝，最小正周期T∈，f(x)图象的一个对称中心为点，则f的值为 ．
　[由f(0)＝，可得2tan φ＝，tan φ＝，
又|φ|<，所以φ＝．
因为f(x)图象的一个对称中心为点，
故ω＋ ＝，k∈Z，得ω＝3k－1，k∈Z．
因为T∈，
所以<<π，
解得<ω<4，
所以ω＝2．
故f(x)的解析式为f(x)＝2tan ，
所以f＝2tan ＝－．]
1．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点．
故选C．]
2．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
D　[由题意得＝＝，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin ＝sin ，f＝＝sin ＝，故选D．]
课后限时练(二)　三角函数的图象和性质
1．(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[因为f(x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2．]
2．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
B　[依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin y＝sin 的图象f(x)＝sin 的图象．]
3．(2025·咸阳模拟)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f＝(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
D　[由函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象易知A＝2，
可得＝＝，得到T＝π，
又ω＞0，
所以＝π，解得ω＝2，
又函数图象经过点，
则有2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)＝2sin ，
则f＝2sin ＝－．
故选D．]
4．(2025·郑州模拟)函数f(x)＝2sin 与函数g(x)＝log2x的图象交点个数为(　　)
A．3 B．5
C．6 D．7
A　[通过五点法作出周期函数f(x)的图象，
再通过两点法(1，0)，(4，2)作出单调函数g(x)＝log2x的图象，
因为4∈，所以通过图象可判断它们有3个交点．
故选A．]
5．[易错题](2025·全国一卷)若点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
B　[令x－＝，k∈Z，得x＝，k∈Z，故y＝2tan 的图象的对称中心为，k∈Z．因为a＞0，所以当k＝0时，a取得最小值．
故选B．]
易错提醒：利用正切函数图象的对称中心的有关结论，写出参数ω满足的关系式，易误认为ωx＋φ＝kπ，k∈Z，而是ωx＋φ＝，k∈Z．
6．(多选)(2025·苏锡常镇二模)已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋|sin x－cos x|，则(　　)
A．f(x)的图象关于点(π，0)对称
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的最小值为－2
D．f(x)＝在[0，2π]上有四个不同的实数解
BD　[法一：f(0)＝2，f(2π)＝2，f(2π)＋f(0)≠0，
则f(x)的图象不可能关于点(π，0)对称，A错误；
y1＝sin x＋cos x的最小正周期为2π，y2＝|sin x－cos x|的最小正周期为π，
则f(x)＝y1＋y2的最小正周期为2π，B正确；
当0x时，f(x)＝2cos x，当＜xπ时，f(x)＝2sin x；当＜x2π时，f(x)＝2cos x，f(x)min＝－，
f(x)＝在[0，2π]上有4个根，C错误，D正确．故选BD．
法二：易知f(x)可化简为f(x)＝2max{sin x，cos x}，作出y＝2sin x和y＝2cos x的图象，取位于上方的部分即可：
可知A错误，B正确，C错误．
至于D，计算知2sin x与2cos x在(0，π)内的交点坐标为，而＜＜2，所以f(x)与y＝在[0，2π]内有四个交点，D正确．]
7．(2025·上海卷)函数y＝cos x在上的值域为 ．
[0，1]　[由余弦函数的单调性可知，y＝cos x在上单调递增，在上单调递减，所以ymax＝cos 0＝1．又cos ＝0，cos ＝，故函数y＝cos x在上的值域为[0，1]．]
8．[易错题]函数y＝3sin 的单调递增区间是 ．
，k∈Z　[由题意得y＝－3sin ，令2kπ＋2x－2kπ＋，k∈Z，可得kπ＋xkπ＋，k∈Z，由复合函数的单调性原理，得函数y＝3sin 的单调递增区间是，k∈Z．]
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