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4　数列不等式的证明
基础打底
1．求证：＋＋＋…＋＜－(n≥2，n∈N*)．
【解答】 因为n≥2，n∈N*时，＜=－，所以＋＋＋…＋=＜==－，所以＋＋＋…＋＜－(n≥2，n∈N*)．
2．设数列{an}的前n项积Tn=，前n项和为Sn，求证：Sn＞－＋n＋1．
【解答】 由Tn=，可得当n≥2时，an==，又当n=1时，a1=T1=，也满足此式，所以an=＞=－，所以Sn＞＋＋…＋=－=－＋n＋1．
强技提能
放缩法求和比大小
例1－1　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，(n－2)Sn＋1＋2an＋1=nSn，n∈N*．
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】 由(n－2)Sn＋1＋2an＋1=nSn，得(n－2)Sn＋1＋2(Sn＋1－Sn)=nSn，整理得nSn＋1=(n＋2)Sn，故=，所以是常数列，且==1，故Sn=n(n＋1)．当n≥2 时，an=Sn－Sn－1=n(n＋1)－n(n－1)=2n，当n=1时也满足此式，故an=2n．
(2) 求证：＋＋…＋＜．
【解答】 方法一：=＜=，故当n≥2时，＋＋…＋＜＋=＋＜＋×=＜．又=＜，故＋＋…＋＜．
方法二：当n≥3时，=×＜×=，所以＋＋…＋＜＋=＋=－＜．当n=1，2时也成立，所以＋＋…＋＜．
方法三：由于＜(n≥2)，当n≥2时，=＜×=×，所以＋＋…＋＜＋×=＋=－＜．当n=1时也成立，所以＋＋…＋＜．
例1－2　(2025·宜昌模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=1，3Sn=(n＋2)an．
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】 由3Sn=(n＋2)an，得当n≥2时，3Sn－1=(n＋1)an－1，两式相减得3an=(n＋2)an－(n＋1)an－1，整理得=，所以当n≥2时，an=a1×××…××=1×××…××=，又a1=1也满足an=，所以an=(n∈N*)．
(2) 求证：＋＋＋…＋＜．
【解答】 因为==＜=，所以＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋=＋=＋＜＋=，从而得＋＋＋…＋＜．
常见的放缩技巧(n≥2，n∈N*)：
①＜=；
②－＜＜－；
③2(－)＜＜2(－)；
④＜＜，＜≤．
变式1　(2025·台州质检)已知数列{an}和{bn}满足a1(b1＋1)＋a2(b2＋1)＋…＋an(bn＋1)=(2n－3)·2n＋1＋6，n∈N*，且a1=b1=1，bn＋1=2bn＋1．
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
【解答】 由bn＋1=2bn＋1可得bn＋1＋1=2(bn＋1)，且b1＋1=2，所以数列{bn＋1}是首项和公比都为2的等比数列，所以bn＋1=2·2n－1=2n，故bn=2n－1．由a1(b1＋1)＋a2(b2＋1)＋…＋an(bn＋1)=(2n－3)·2n＋1＋6，可得2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan=(2n－3)·2n＋1＋6 ①，当n≥2时，有2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1=(2n－5)·2n＋6 ②，①－②得2nan=(2n－1)·2n，解得an=2n－1，a1=1也满足an=2n－1，故对任意的n∈N*，an=2n－1．
(2) 求的值(其中［x］表示不大于x的最大整数，如［3.2］=3)．
【解答】 因为==＞= =－＋，所以＞(－1＋)＋(－＋)＋(－＋)＋…＋(－＋)=－1．另一方面，当n≥2时，==＜==－＋，所以＜1＋(－1＋)＋(－＋)＋…＋(－＋)=，所以－1＜＜，又－1＞－1=9，＜＜10，所以=9．
函数思想比大小
例2　设数列{an}的前n项和为Sn，且3an=2(Sn＋2n)，n∈N*．
(1) 证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
【解答】 因为3an=2(Sn＋2n) ①，当n=1时，3a1=2(S1＋2)，解得a1=4；当n≥2时，3an－1=2(Sn－1＋2n－2) ②，由①－②并整理得an=3an－1＋4，所以an＋2=3(an－1＋2)，所以数列{an＋2}是首项为6，公比为3的等比数列，故an＋2=6×3n－1，所以an=2×3n－2．
(2) 设bn=log3，求证：·…·＞．
【解答】 由(1)可得bn=log3=log33n=n，即证(1＋1)·…·＞．
方法一：令f(n)=，则=，因为(2n＋2)2＞(2n＋1)(2n＋3)，所以f(n＋1)＞f(n)，所以f(n)单调递增，即f(n)＞f(1)=＞1，即·…·＞．
方法二：记数列{cn}，且cn=1＋=，记数列{dn}，且{dn}的前n项积Qn=，则当n≥2时，dn==，只需证cn＞dn(n≥2)即可，即证＞，也即证2n＞，而上式显然成立；当n=1时，c1=2，d1=，c1＞d1，得证．
方法三：只要证ln(1＋1)＋ln＋ln＋…＋ln＞ln(2n＋1)．令{cn}的前n项和为Tn=ln(2n＋1)，当n=1时，c1=ln 3；当n≥2时，cn=ln，显然c1=ln 3满足上式，即证ln＞ln，即证2＞，实事上，2=2=2=1＋＋2，==1＋，所以2＞，得证．
数列情境中一些特定的不等式的证明，如不等式一侧为前n项和，另一侧为一个代数式，一般可借助相应函数进行放缩处理，也可以将多项式看作某个函数的前n项和，利用退位相减法求出通项，将问题转化为通项与通项的比较．
变式2　已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且＋＋…＋=．
(1) 求a1和a2的值，并求出数列{an}的通项公式；
【解答】 由题意知，当n=1时，=，因为an＞0，所以a1=1．当n=2时，1＋=(1＋a2)2，即－a2－2=0，解得a2=2．因为＋＋…＋=，所以＋＋…＋＋=，两式相减，得=－=(Sn＋1＋Sn)(Sn＋1－Sn)=(Sn＋1＋Sn)an＋1=(2Sn＋an＋1)an＋1，又因为an＞0，所以=2Sn＋an＋1，故2Sn=－an＋1，2Sn－1=－an(n≥2)，两式相减，得2an=－an＋1－＋an，则(an＋1＋an)(an＋1－an)=an＋1＋an．因为an＋1＋an＞0，所以an＋1－an=1(n≥2)．又因为a1=1，a2=2，所以对 n∈N*，有an＋1－an=1，故{an}是等差数列，因此an=n．
(2) 求证：＋＋…＋＞ln(1＋n)．
【解答】 由(1)知，即证1＋＋＋…＋＞ln(1＋n)．
方法一：设f(x)=ln(1＋x)－x(x＞0)，则f′(x)=－1=＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)＜f(0)=0，从而ln(x＋1)＜x．令x=(n∈N*)，得ln＜，即ln(n＋1)－ln n＜，分别取n=1，2，…，n，则ln 2－ln 1＜，ln 3－ln 2＜，ln 4－ln 3＜，…，ln(n＋1)－ln n＜，累加得ln(n＋1)＜1＋＋＋…＋，得证．
方法二：设数列{bn}的前n项和为ln(n＋1)，则b1=ln 2，bn=ln(n＋1)－ln n，只要证＞ln(n＋1)－ln n即可，也即证ln＜，即证ln＜，利用常见的对数不等式ln(x＋1)＜x可得证．
配套热练
1．求证：1＋＋＋…＋＞－(n≥2)．
【解答】 因为＞=(n≥2)，所以＞1＋=1＋=－，故1＋＋＋…＋＞－(n≥2)．
2．求证：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜－1)．
【解答】 因为＞=2(－)，所以1＋＋＋…＋＞2(－1＋－＋…＋－)=2(－1)．又＋=＜=2，所以＜= =－)，所以1＋＋＋…＋＜－＋－＋－＋…＋－)=－1)．综上，2(－1)＜1＋＋＋…＋＜－1)，故得证．
3．已知数列{an}的前n项和Sn=1－2－n，且满足bn=an．
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
【解答】 因为Sn=1－2－n，所以当n≥2时，an=Sn－Sn－1=1－2－n－(1－2－n＋1) =．又当n=1时，a1=S1=1－2－1=也满足上式，所以当n∈N*时，an=，bn=an==n．
(2) 记数列的前n项和为Tn，比较Sn和Tn的大小．
【解答】 由bn=n，得==－，Tn=＋＋＋…＋=－＋－＋…＋－=1－，Sn－Tn=－=－=．当n=1时，2n=n＋1；当n≥2时，2n=＝＞＞n＋1，Sn＞Tn．综上所述，当n=1时，Sn=Tn，当n≥2时，Sn＞Tn．
4．已知数列{an}满足a1=3，an＋1=7an＋3．
(1) 证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
【解答】 因为an＋1=7an＋3，所以an＋1＋=7，且a1＋=，则an＋≠0，即=7，所以数列是首项为a1＋=，公比为7的等比数列，所以an＋=·7n－1=，则an=．
(2) 求证：＋＋…＋＜．
【解答】 由(1)可知=．因为7n－1－6·7n－1=7n－1－1≥0，即7n－1≥6·7n－1，只有当n=1时等号成立，所以=≤，只有当n=1时等号成立．当n=1时，=＜，成立；当n≥2时，＋＋…＋＜=×=－×n＜．综上可知，＋＋…＋＜．
5．已知函数f(x)=ln(x＋1)－x，数列{an}满足a1=1，an＋1=an＋，n＞2，n∈N*．
(1) 求f(x)的最大值；
【解答】 因为f(x)的定义域为(－1，＋∞)，所以f′(x)=－1=，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，f(x)在(－1，0)上单调递增；当x＞0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．所以f(x)在x=0时有最大值，所以f(x)max=f(0)=0，即f(x)的最大值为0．
(2) 求证：＋＋…＋＜ln(2n－3)．
【解答】 由(1)知ln(x＋1)≤x(x＞－1)，又n＞2，n∈N*，所以ln＜－，所以ln＜－，即ln(2n－3)－ln(2n－1)＜－，所以ln(2n－5)－ln(2n－3)＜－，…，ln 1－ln 3＜－，累加得－ln(2n－3)＜－，即＋＋…＋＜ln(2n－3)．
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专题三
4　数列不等式的证明
数　列
基础打底
【解答】
【解答】
强技提能
目标
1
放缩法求和比大小
　　　　　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，(n－2)Sn＋1＋2an＋1＝nSn，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
【解答】
1－1
【解答】
1－1
　　　　　(2025·宜昌模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝1，3Sn＝(n＋2) an．
(1)求数列{an}的通项公式；
【解答】
1－2
【解答】
1－2
变式1　(2025·台州质检)已知数列{an}和{bn}满足a1(b1＋1)＋a2(b2＋1)＋…＋ an(bn＋1)＝ (2n－3)·2n＋1＋6，n∈N*，且a1＝b1＝1，bn＋1＝2bn＋1．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
【解答】
　　　　由bn＋1＝2bn＋1可得bn＋1＋1＝2(bn＋1)，且b1＋1＝2，所以数列{bn＋1}是首项和公比都为2的等比数列，所以bn＋1＝2·2n－1＝2n，故bn＝2n－1．
由a1(b1＋1)＋a2(b2＋1)＋…＋an(bn＋1)＝(2n－3)·2n＋1＋6，可得2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝(2n－3)·2n＋1＋6 ①，
当n≥2时，有2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝(2n－5)·2n＋6 ②，①－②得2nan＝(2n－ 1)·2n，解得an＝2n－1，a1＝1也满足an＝2n－1，故对任意的n∈N*，an＝2n－1．
【解答】
目标
2
函数思想比大小
　　　设数列{an}的前n项和为Sn，且3an＝2(Sn＋2n)，n∈N*．
(1)证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
2
【解答】
　　　　因为3an＝2(Sn＋2n)①，当n＝1时，3a1＝2(S1＋2)，解得a1＝4；当n≥2时，3an－1＝ 2(Sn－1＋2n－2)②，
由①－②并整理得an＝3an－1＋4，所以an＋2＝3(an－1＋2)，所以数列{an＋2}是首项为6，公比为3的等比数列，故an＋2＝6×3n－1，所以an＝2×3n－2．
【解答】
2
数列情境中一些特定的不等式的证明，如不等式一侧为前n项和，另一侧为一个代数式，一般可借助相应函数进行放缩处理，也可以将多项式看作某个函数的前n项和，利用退位相减法求出通项，将问题转化为通项与通项的比较．
【解答】
【解答】
热练
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】4　数列不等式的证明
基础打底
1．求证：＋＋＋…＋＜－(n≥2，n∈N*)．
2．设数列{an}的前n项积Tn=，前n项和为Sn，求证：Sn＞－＋n＋1．
强技提能
放缩法求和比大小
例1－1　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，(n－2)Sn＋1＋2an＋1=nSn，n∈N*．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求证：＋＋…＋＜．
例1－2　(2025·宜昌模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=1，3Sn=(n＋2)an．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 求证：＋＋＋…＋＜．
常见的放缩技巧(n≥2，n∈N*)：
①＜=； ②－＜＜－；
③2(－)＜＜2(－)； ④＜＜，＜≤．
变式1　(2025·台州质检)已知数列{an}和{bn}满足a1(b1＋1)＋a2(b2＋1)＋…＋an(bn＋1)=(2n－3)·2n＋1＋6，n∈N*，且a1=b1=1，bn＋1=2bn＋1．
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 求的值(其中［x］表示不大于x的最大整数，如［3.2］=3)．
函数思想比大小
例2　设数列{an}的前n项和为Sn，且3an=2(Sn＋2n)，n∈N*．
(1) 证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn=log3，求证：·…·＞．
数列情境中一些特定的不等式的证明，如不等式一侧为前n项和，另一侧为一个代数式，一般可借助相应函数进行放缩处理，也可以将多项式看作某个函数的前n项和，利用退位相减法求出通项，将问题转化为通项与通项的比较．
变式2　已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且＋＋…＋=．
(1) 求a1和a2的值，并求出数列{an}的通项公式；
(2) 求证：＋＋…＋＞ln(1＋n)．
配套热练
1．求证：1＋＋＋…＋＞－(n≥2)．
2．求证：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜－1)．
3．已知数列{an}的前n项和Sn=1－2－n，且满足bn=an．
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 记数列的前n项和为Tn，比较Sn和Tn的大小．
4．已知数列{an}满足a1=3，an＋1=7an＋3．
(1) 证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2) 求证：＋＋…＋＜．
5．已知函数f(x)=ln(x＋1)－x，数列{an}满足a1=1，an＋1=an＋，n＞2，n∈N*．
(1) 求f(x)的最大值；
(2) 求证：＋＋…＋＜ln(2n－3)．
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