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新人教版数学8年级下册培优备课课件
19.1.1二次根式的概念
第十九章　二次根式
授课教师： Home .
班 级： .
时 间：2026年01月18日 .
新疆吐鲁番市托克逊县第一中学
1．了解二次根式的概念．
2．理解并掌握二次根式有意义的条件．（重点）
问题1 什么叫作平方根？
一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根．
问题2 什么叫作算术平方根？
正数 a 有两个平方根，其中正的平方根???? 叫作 a 的算术平方根．正数 a 的算术平方根记为 ???? ．
?
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m．
（2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______．
????2+1
?
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时离地面的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_______．
你发现这些结果有哪些共同特征？
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
65，????2+1 ，?5，它们表示一些正数的算术平方根．
?
我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0．
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，“ ”称为二次根号．二次根式也是代数式.
1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；
2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”．
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A
1.
下列各式中，是二次根式的是(　　)
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2.
C
下列各式中，一定是二次根式的是(　　)
（1）????；
（2）?????；
（3）????????????；
（4）????????+????；
（5）?????????（a≥2）；
（6）?????????（a＜b）．
?
例1 指出下列哪些是二次根式.
√
√
√
二次根式
必须含有二次根号“”；
被开方数 a≥0 ；
被开方数 a 可以表示一个数，也可以表示一个含有字母的式子．
?
只有在满足条件 a≥0 时才叫二次根式．即 a≥0 是 为二次根式的前提条件．
1．二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数，反之也成立，即：
有意义 ? a≥0．
2．二次根式无意义的条件是被开方数（式）为负数，反之也成立，即：
无意义 ? a＜0．
例2 当 x 满足什么条件时，?????????在实数范围内有意义？
?
解：由 x－2≥0， 得
x≥2．
所以当 x≥2 时，?????????在实数范围内有意义．
?
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3.
D
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4.
D
返回
5.
解：x≤0.
(16分)[教材P3练习T2变式]当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
x为任意实数．
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6.
已知一个正方体的表面积为12 dm2，则这个正方体的棱长为________dm．
思考 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x≥0.
当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）?????1；（2）13?????；（3）(????+1)2;（4）?????4+(?????6)0．
?
解：（1）由 a－1≥0， 得 a≥1．
所以当 a≥1 时，?????1在实数范围内有意义．
?
（2）由13?????≥0 且 3－a≠0 ，得 a＜3．
所以当 a＜3 时，13?????在实数范围内有意义．
?
解：（3）因为不论 a 为何值，(????+1)2≥0 恒成立，
所以 a 取任意实数，(????+1)2在实数范围内都有意义．
?
（4）由 x－4≥0，得 x≥4．
由 x－6≠0，得 x≠6．
当 x≥4 且 x≠6 时，?????4+(?????6)0在实数范围内有意义．
?
当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）?????1；（2）13?????；（3）(????+1)2;（4）?????4+(?????6)0．
?
　　求使式子有意义的字母取值范围：
　　（2）分式型：
　　（3）零指数幂型：a0＝1
　　（1）二次根式型：
被开方数≥0
分母≠0
底数≠0
例3 （1）当 x =?2时，二次根式?????????+????????的值为 ；
（2）当 x =2时，二次根式????+????????的值为 .
?
解析：（1）当 x =－2时， ?????????+????????=16.
所以?????????+????????=????????=4．
（2）当 x =2时， ????+????????=5.
所以????+????????=5．
?
4
5
?
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7.
返回
8.
D
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9.
2
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10.
(4分)[教材P5习题T3变式]有一个长、宽之比为5∶1的长方形过道，其面积为10 m2，求这个长方形过道的长和宽．
11.
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二次根式
概念
含有二次根号
被开方数为非负数
有意义的条件
被开方数（式子）为非负数，
中 a≥0

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