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新人教版数学8年级下册培优备课课件
21.3.2.1 菱形的性质
第二十一章 四边形
授课教师： Home .
班 级： .
时 间：2026年01月19日 .
新疆吐鲁番市托克逊县第一中学
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？
都具有
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
平行四边形
菱形
有一组邻边相等
注意：（1）一组邻边相等的四边形不一定是菱形．
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定．
因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一般性质，即：
A
B
D
C
对边平行且相等
对角线互相平分
对角相等
除此之外，菱形还有特殊的性质吗？
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到一个菱形.
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5
1.
如图，在 ABCD中，AB＝5，当AD＝______时，四边形ABCD是菱形．
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2.
C
如图，菱形ABCD的对角线AC在x轴上，BD交x轴于点E，已知A(1，0)，D(3，5)，则点B，C的坐标分别是(　　)
A．(5，－3)，(5，0)
B．(3，－5)，(4，0)
C．(3，－5)，(5，0)
D．(－3，5)，(4，0)
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它
的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系 菱形的两对角线有什么关系
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
已知：如图，在 ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA.
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD.
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证一证
（2）∵AB = AD.
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中.
∵OB = OD.
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD.
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA.
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
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3.
B
菱形具有而矩形不具有的性质是(　　)
A．对角线相等
B．对角线互相垂直
C．对角相等
D．是中心对称图形
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4.
D
如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，则∠ADB的度数是(　　)
A．110°
B．70°
C．45°
D．35°
菱形的性质：
菱形的四条边都相等.
B
D
A
C
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD.
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
B
D
A
C
菱形的性质：
符号语言:
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD ;
AC平分∠BAD和∠BCD ；
BD平分∠ABC和∠ADC.
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
菱形ABCD中
AB=CD=AD=BC
OA=OC,OB=OD.
∠DAB=∠BCD , ∠ABC =∠CDA.
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4,∠5=∠6=∠7=∠8.
△ABC , △ DBC , △ACD,△ABD.
Rt△AOB, Rt△BOC ,Rt△COD, Rt△DOA.
Rt△AOB ≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA.
△ABD≌△CBD ,△ABC≌△ADC.
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5.
C
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为(　　)
A．12
B．15
C．20
D．24
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6.
B
[2025常州中考]如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC的长是(　　)
A．4
B．5
C．6
D．10
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
数学语言:
菱形的性质
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是菱形
∥
=
∴ AD BC
AB CD
∥
=
∴ AB=BC=CD=DA
A
D
C
B
O
∴∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
∠ADB=∠CDB
∠ABD=∠CBD
AC⊥BD
∴ OA=OC;OB=OD
∴ ∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC
∴ ∠DAB+∠ABC= 180°
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
E
能．过点A作AE⊥BC于点E，
则S菱形ABCD＝底×高＝BC·AE．
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积．
A
B
C
D
O
菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD＝S△ABC ＋S△ADC
＝AC·BO＋ AC·DO
＝AC(BO＋DO)＝ AC·BD．
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7.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC.
∵AE＝CF，∴BE＝BF.
又∵∠B＝∠B，∴△ABF≌△CBE，∴AF＝CE.
(4分)[2025泸州中考]如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE．
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8.
B
某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线作支架．如图，经测量，AC＝2 dm，BD＝3 dm，则这个风筝的面积是(　　)
例1 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：EF⊥AD．
1
2
3
A
E
B
D
C
F
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠2＝∠3，四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴EF⊥AD．
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9.
[教材P80习题T11变式][2025重庆长寿区期中]如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是________．
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
A
B
C
D
O
解：设AC，BD相于点O.
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=×60°=30°.
在Rt△ABO中，
AO= AB= ×20=10，
BO= .
花坛的面积
S菱形ABCD=4×S△ABO=4×AOBO=346.4(m2).
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20（m），BD=2BO=34.64(m).
10.
(4分)[教材P73例3变式]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积．
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11.
1
[2025福建中考]如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为________．
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12.
D
[2025河南中考]如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为(　　)
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13.
B
[2025广州中考]如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为(　　)
14.
证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
∵DF∥AC，∴∠OAD＝∠ADF.
又∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE(ASA)．
(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：△AOE≌△DFE；
解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF. ∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
(2)判断四边形AODF的形状，并说明理由．
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菱形
定义
特殊性质
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
①四条边都相等；
②对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③轴对称图形
有关计算
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半

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